chương 4 phép tính vi phân hàm nhiều biến

1
CHƯƠNG 4 : PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

4.1.
Vi phân hàm nhiều biến
4.2.1. Khái niệm
1. Định nghĩa. Cho D  R
n
, ánh xạ f : D  R là một hàm nhiều biến
xác định trên D
f: D  R
x
 u = f(x) với x = (x
1
,x
2
,…, x
n
)  D
 D : miền xác định của f
 U = f(D)  R : miền giá trị của f
2. Ví dụ. Tìm miền xác định
a. f : D  R ( D  R
2
)
(x,y )
 u = f(x,y) =
22
4 yx 
Hàm số xác định
22 22

40 4xy xy

.
Vậy


22 2
(, ) : 4DxyRxylà hình tròn tâm 0 bán kính 2.
b. f : D  R ( D  R
2
)
(x,y)
 u = f(x,y) với u = ln (x + y)
Hàm số xác định
0
x
yyx

.
Vậy


2
(, ) : 0DxyRxylà nửa mặt phẳng nằm phía trên đường
thẳng y = -x.

4.1.2. Giới hạn – Liên tục
1. Giới hạn
Cho hàm số f : D  R với D  R
n

, M
o
 D
M
 f(M) M = (x
1
, x
2
,…,x
n
)  D
Số L được gọi là giới hạn của hàm f(M) khi M  M
o
nếu :
  > 0 ,   > 0 sao cho
o
MM  <  

 LMf )(
Ký hiệu
L
M
f
o
MM


)(lim
Ghi chú :

 Khoảng cách giữa 2 điểm M(x
1
,x
2
,…,x
n
) và N(y
1
,y
2
,…,y
3
) trong R
n
:
d(M,N) =
NM  =
22
22
2
11
)( )()(
nn
yxyxyx 
 M  M
o

o
MM 
 0

2
2. Liên tục
 f(M) liên tục tại M
o


)()(lim
o
MM
MfMf
o


(1)
 Điểm M
o
gọi là điểm gián đoạn nếu (1) không thỏa mãn.
 f(M) liên tục trên D nếu f(M) liên tục tại mọi điểm của D
Ví dụ
: Cho hàm số f : D  R (D  R
2
)
(x,y )
 u = f(x,y) =
yx
yx



Xét tính liên tục của f(x,y) tại (0,0).

4.1.3. Đạo hàm và vi phân
1. Đạo hàm riêng
Cho hàm số u = f (x,y) xác định trên miền D  R
2
, M
o
(x
o,
y
o
) D .
Nếu
x
yxfyxxf
x
u
x
x
x








),(),(
limlim
0000

00
tồn tại hữu hạn thì giới hạn
này được gọi là đạo hàm riêng theo biến x của hàm f(x,y) tại điểm (x
o,
y
o
) ,
ký hiệu : f’
x
(x
o
,y
o
) hoặc ),(
00
yx
x
f



Tương tự ,ta có đạo hàm riêng theo biến y của hàm f(x,y) là :
f’
y
(x
o
,y
o
) hoặc ),(
00

yx
y
f



Ví dụ Tính đạo hàm riêng của hàm số
(, ) sin( )
f
xy xy

bằng định nghĩa.
Ta có
00
00
(,)(,) sin()sin()
lim lim
2cos sin
sin
22
2
lim lim cos cos( )
2
2
xx
xx
f fxxyfxy xxy xy
xx x
yx yx
yx

xy
yx
y
xy y xy
yx
x
 
 
 

 














Tương tự:
cos( )
f
x
xy

y



.
Ghi Chú
: Tính đạo hàm riêng của hàm nhiều biến thực chất là tính đạo
hàm theo một biến còn các biến kia không đổi .
Ví dụ Tìm đạo hàm riêng cấp 1 của các hàm số sau
a. f(x,y) = x
2
+ 3xy + 2y
2
+ 4x -5y +10 b. z =e
x
cosy
c.
22
ln( )zxxy d.
y
x
zx
Giải
3
a. Từ công thức đạo hàm của hàm một biến ta có
234; 345
ff
x
yxy
xy


 

.
b.
cos ; sin
xx
zz
ey ey
xy




c.




22
22
22
22 22 22
1
1
x
xy
xxy
z
x

x
y
xxy xyxxy








 


  
.





22
22 22 22
y
xy
zy
x
x
xy xyx xy









  

d. Lấy ln hai vế, ta được:
ln ln
y
zx x
. Suy ra
111 1
yx ln ( ln 1) ( ( ln 1))
y
yyy xy
x
x
z
xx x y x z x x y x
z
 


  

222
ln ln ln

yy
y
yxyxy
y
z
x
xzxx xx x
z



 


2. Vi phân toàn phần
Cho hàm số u = f (x,y) xác định trên miền D  R
2
, M
o
(x
o,
y
o
) D.
Vi phân tòan phần của f(x,y) tại (x
o,
y
o
) :
df(x

o,
y
o
) = f’
x
(x
o
,y
o
) dx + f’
y
(x
o
,y
o
)dy

Tổng quát : u = f(x
1
, x
2
,…, x
n
)
du =
n
n
x
x
f

x
x
f
dx
x
f










2
2
1
1

Ví dụ Tìm vi phân toàn phần của hàm số
22
zxy
Ta có:
22 22
;
zxzy
xy
x

yxy





Vậy:
22 22
xy
dz dx dy
xy xy




4.1.4. Đạo hàm và vi phân cấp cao
1. Đạo hàm riêng cấp cao
4
Đạo hàm riêng của f’
x
(x,y) theo biến x được gọi là đạo hàm riêng cấp hai
theo biến x và ký hiệu
),(
''
yxf
xx
hoặc ),( yx
x
f
x











hoặc ),(
2
2
yx
x
f



Tương tự ta có đạo hàm riêng cấp hai theo biến y : ),(
''
yxf
yy
hoặc
),( yx
y
f
y













hoặc ),(
2
2
yx
y
f




Đạo hàm riêng của f’
x
(x,y) theo biến y được gọi là đạo hàm hỗn hợp theo x
và theo y , ký hiệu
),(
''
yxf
xy
hoặc ),( yx
x

f
y










hoặc
),(
2
yx
yx
f


.
Tương tự ta có đạo hàm hỗn hợp theo y và theo x:
),(
''
yxf
yx
hoặc ),( yx
y
f
x













hoặc ),(
2
yx
xy
f



Ví dụ 1 Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số
35
(, ) ysin2
y
f
xy xe x
2
25 5
2
32cos2 64sin2

yy
ff
x
eyx xeyx
xx

 


2
35 35
2
5sin2 25
yy
ff
x
ex xe
yy




2
35 25
5sin2 152cos2
yy
ff
x
ex xe x
yyx


 



Ví dụ 2 Chứng minh rằng hàm số
22
(, ) ln( )
f
xy x ythỏa mãn phương trình:
22
22
0
ff
xy



.




22
22 2
2
22
22 2
22 22
2

22
2
y
x
xy x
fx f
xx y x
xy xy





 



Tương tự:


22
2
2
2
22
2
x
y
f
y

xy






Suy ra:






22 22
22
22
22
22 22
22
0
yx xy
ff
VP
xy
xy xy


  



(đpcm).
5
Ghi chú : f(x,y) là hàm xác định trên D  R
2
và có các đạo hàm riêng cấp 2
),(
2
yx
yx
f


và ),(
2
yx
yx
f


trong lân cận của (x
o
,y
o
)  D. Nếu chúng liên tục tại
(x
o
,y
o
) thì

),(
00
2
yx
yx
f


=
),(
00
2
yx
yx
f



2. Vi phân cấp cao
 df =
dy
y
f
dx
x
f







 d
2
f = d(df) =













dy
y
f
dx
x
f
d

=
2
2
2

dx
x
f


+ dydx
xy
f


2
+ dxdy
yx
f


2
+
2
2
2
dy
y
f



Nếu đạo hàm hỗn hợp bằng nhau thì ta có :
d
2

f =
2
2
2
dx
x
f


+ 2 dxdy
yx
f


2
+
2
2
2
dy
y
f




4.1.5. Đạo hàm hàm số hợp và hàm ẩn
1. Đạo hàm hàm hợp
 Nếu f(x,y) khả vi trong miền D và x = x(t) và y = y(t) khả vi
trong khoảng (a,b) thì hàm hợp f(x(t),y(t)) cũng khả vi trong khoảng

(a,b) và:
dt
df
=
dt
dx
x
f


+
dt
dy
y
f



 Nếu f(u,v) khả vi theo u,v và u(x,y) ,v(x,y) lại khả vi theo x,y
thì hàm hợp f(u(x,y),v(x,y)) có đạo hàm :
x
f


=
u
f


x

u


+
v
f


x
v



y
f


=
u
f


y
u


+
v
f



y
v



Ví dụ:
Tìm đạo hàm u = (3x – y) ln (x
2
+ y
2
)
2. Đạo hàm hàm ẩn
a. Định Nghĩa: Cho F (x,y) = 0 trong đó F (x,y) là hàm hai biến
xác định trên D  R
2
. Nếu tồn tại hàm một biến y = f(x) xác định trên I
6
sao cho (x, f(x))  D và F (x, f(x)) = 0 thì hàm y = f(x) gọi là hàm ẩn
xác định bởi phương trình F(x,y) = 0
b. Ví dụ:
(1) x
2
+ y
2
– 1 = 0
 x  [-1, 1] : y =
2
1 x , y = -
2

1 x là các hàm ẩn xác định bởi phương
trình đã cho
(2) 01
2
2
2
2

b
y
a
x

 x  [-a, a] : y = +

22
xa
a
b
 là các hàm ẩn
c. Định lý: Giả sử F(x
o
, y
o
) = 0. Nếu hàm F(x, y) có các đạo hàm
riêng liên tục ở lân cận điểm M
o
(x
o
, y

o
) và nếu F’
y
(x
o
, y
o
)  0 thì F (x,
y) = 0 xác định một hàm ẩn y = y(x) trong lân cận của x
o
. Hàm y = y(x)
liên tục, có đạo hàm liên tục ở lân cận x
o
và y(x
o
) = y
o
.
Ngoài ra : y’(x) = -
'
'
y
x
F
F
hay
dx
dy
= -
y

F
x
F





Mở rộng đối với hàm 3 biến F (x, y, z) = 0 , ta có z = z(x,y) thì :

x
z


= -
z
F
x
F




và
y
z


= -
z

F
y
F






Ví dụ 1
: Tìm đạo hàm các hàm ẩn , xác định bởi các phương trình :
a) F(x,y) = x
2
+ y
2
– 1 = 0 b)F(x,y) = 01
2
2
2
2

b
y
a
x

Ví dụ 2
: Tìm đạo hàm y’ và y’’của hàm ẩn y = f(x) ; xác định bởi phương trình:
1 + xy – ln(e
xy

+ e
-xy
) = 0
4.2. CỰC TRỊ
4.2.1. Cực trị tự do
a. Định nghĩa
7
Cho hàm f(x,y) xác định trên D  R
2
. Điểm M
o
(x
o
, y
o
) gọi là điểm cực đại
(hoặc điểm cực tiểu) nếu f(M)  f(M
0
) (hoặc f(M)  f(M
0
) ) với mọi M(x,y)
trong lân cận M
o
.
Ta sử dụng ký hiệu : p =
x
f


; q =

y
f


; r =
2
2
x
f


; s =
yx
f


2
; t =
2
2
y
f



b. Định lý 1 (điều kiện cần)
Nếu hàm f(x,y) đạt cực trị tại M
o
mà tại đó hàm có các đạo hàm riêng
y

f
x
f




,
tồn tại thì p =
x
f


= 0 và q =
y
f


= 0 tại M
o
(x
o
, y
o
).
c. Định lý 2 :
Nếu p =
x
f



= 0 và q =
y
f


= 0 tại M
o
(x
o
, y
o
) thì M
o
(x
o
, y
o
) được gọi là
điểm dừng của hàm f(x, y).
Ghi chú : Điểm cực trị là điểm dừng nhưng ngược lại chưa chắc đúng.
Phản ví dụ
: Cho f (x, y) = x
2
- y
2
xác định trên R
2
.
Ta thấy p = q = 0 tại M

o
(0,0) nhưng M
o
(0,0) không phải là điểm cực trị vì
f(x, 0) = x
2
 0 = f (0,0) còn f (0, y) = - y
2
 0 = f(0,0)
d. Định lý 3 (điều kiện đủ)
Giả sử hàm f(x,y) có các đạo hàm riêng đến cấp 2 liên tục trong lân cận của
M
o
(x
o
, y
o
) và tại M
o
ta có p = 0 và q = 0 .
* s
2
– rt < 0 : f (x,y) đạt cực trị tại M
0
(x
o
, y
o
)
 r > 0 : M

o
là điểm cực tiểu
 r < 0 : 
o
là điểm cực đại
* s
2
– rt > 0 : f (x,y) không đạt cực trị tại M
0

* s
2
– rt = 0 : Chưa kết luận được .
Ví dụ 1 Cho hàm g(x, y) = x
3
+ y
3
+ 3xy
HD : Hàm f(x, y) có hai điểm dừng là M
o
(0, 0) và M
1
( - 1, - 1)
* Tại M
o
(0,0) : s
2
– rt = 9 > 0 : f(x, y) không đạt cực trị
* Tại M
o

(-1, -1) : s
2
– rt = -27 < 0 : : f(x, y) đạt cực trị M
o
(-1, -1)
8
Ví dụ 2 Cho hàm f(x, y) = x
2
+ y
4

HD : Ta thấy s
2
– rt = 0 nên không kết luận được , cần xét cụ thể f(x,y).
Ví dụ 3 Khảo sát cực trị của các hàm số sau
22
32 1021zx xyy xy
D = R
6210; 222
zz
xy xy
xy

 


Giải hệ phương trình:
62100 2
2220 1
xy x

xy y

 




 

.
Tính các đạo hàm cấp 2:
22 2
22
6; 2; 2
zz z
rst
xyxy


  


Suy ra:
2
80srt, và r = 6 > 0.
Vậy M(-2; 1) là cực tiểu.
Ví dụ 4 Khảo sát cực trị của các hàm số sau
33
3zx y xy
MXĐ: D = R

2

22
33; 33
zz
x
yyx
xy

 


Giải hệ phương trình:
2
2
0
0
330
1
330
1
x
y
xy
x
yx
y

























.
Vậy có hai điểm tới hạn: M
1
(0; 0) và M
2
(1; 1).
Tính các đạo hàm cấp 2:
22 2
22

6; 6; 3
zz z
rxtys
xy xy
 

  
 

 Tại M
1
(0; 0) ta có:
2
90srt

 nên điểm này không phải là điểm
cực trị của hàm số.
 Tại M
1
(1; 1) ta có:
2
27 0srt

  và r = 6 > 0 nên điểm này là
điểm cực tiểu của hàm số và giá trị cực tiểu là - 1.
9
4.2.2. Cực trị có điều kiện
*Cho hàm 2 biến u = f(x,y) . Cực trị của hàm f(x,y) thỏa điều kiện φ(x,y)=0
được gọi là cực trị có điều kiện .
* Phương pháp tìm cực trị có điều kiện :

 Trường hợp 1
: Nếu từ điều kiện φ(x,y) = 0 ta suy ra được y = y(x)
thì thay vào hàm u=f(x,y) ta được hàm một biến u=f(x,y(x)) .Từ đó ,ta
tìm cực trị của hàm một biến thông thường .
Ví dụ
: Tìm cực trị của hàm z = f(x,y) =
22
1 yx  với điều kiện
x + y – 1 = 0
 Trường hợp 2
: Nếu từ điều kiện φ(x,y) = 0 ta không suy ra được
y = y(x) thì ta dùng phương pháp nhân tử Lagrange như sau :
 Tìm các điểm dừng M
o
(x
o
,y
o
) bằng cách giải hệ phương trình :























0),(
0
0
yx
yy
f
xx
f





(

: nhân tử Lagrange)
 Lập hàm Lagrange : L(x,y,

) = f(x,y) +


φ(x,y)
Xét vi phân toàn phần cấp 2 của hàm Lagrange :
d
2
L =
2
2
x
L


dx
2
+ 2
yx
L


2
dxdy +
2
2
y
L


dy
2
tại các điểm dừng M

o
(x
o
,y
o
) .
Chú ý điều kiện :
x



(x
o
,y
o
) = 0 .
 d
2
L  0 : Hàm đạt cực tiểu tại M
o
(x
o
,y
o
)
 d
2
L  0 : Hàm đạt cực đại tại M
o
(x

o
,y
o
)

Ví dụ 1 Tìm GTLN và GTNN của hàm số
22
(, )
f
xy x xy y trên đường tròn
22
1xy

 .
Lập hàm Lagrange:
2222
(, , ) ( 1)Lxy x xy y x y


 
22
22; 22; 1
LL L
xy x x y y x y
xy


 
  
 

10
Giải hệ phương trình:
22
220
22 0
10
xy x
xy y
xy



 


 





Ta được
12
13
à
22
v

  .

 Với
1
1

2

 có hai điểm tới hạn:
12
11 11
,; ,
22 22
MM




.
 Với
2
3

2

 có hai điểm tới hạn:
34
11 1 1
,; ,
22 2 2
MM





.
12
1
() ()
2
fM fM
, hàm đạt giá trị bé nhất.
34
3
() ()
4
fM fM, hàm đạt giá trị lớn nhất.
Ví dụ 2 Tìm cực trị của hàm số
(, ) 2
f
xy x y


với điều kiện
22
5xy
22
(, )
f
xy x xy y trên đường tròn
22
1xy


 .
Lập hàm Lagrange:
22
(, , ) 2 ( 5)Lxy x y x y


 
22
12 ; 22 ; 5
LL L
xyxy
xy


 
     
 

Giải hệ phương trình:
22
12 0
22 0
50
x
y
xy













Ta được
12
11
à
22
v

  .
 Với
1
1

2


có điểm tới hạn:


1
1, 2M .
 Với

2
1

2

 có hai điểm tới hạn:


2
1, 2M


.
Tại

1
1, 2M ta có
22
1
(, ) 2 ( 5)
2
Lxy x y x y

  và
222
(1, 2) 0d L dx dy   . Do đó tại


1
1, 2M hàm (, )

f
xy đạt cực đại.
11
Tại

2
1, 2M  ta có
22
1
(, ) 2 ( 5)
2
Lxy x y x y

  và
222
(1, 2) 0d L dx dy   . Do đó tại


2
1, 2M

 hàm (, )
f
xy đạt cực tiểu.
BÀI TẬP CƯƠNG 4
4.1 Tìm miền xác định
a)
f(x,y) =
22
22

4
)1ln(
yx
yx


b)f(x,y) = xy ln
c) f(x,y) =
y + ln(sinx) d)f(x,y) = ln(108 -27x
2
– 18y
2
– 12z
2
)
4.2 Tìm giới hạn
a) f(x,y) =
yx
yx


khi (x,y) (0,0)
b)
f(x,y) =
222
22
)( yxyx
yx

khi (x,y) (0,0)

c)
f(x,y) =
42
2
yx
xy

khi (x,y) (0,0)
d)
f(x,y) =
22
yxyx
yx


khi (x,y)  ),(



4.3 Xét sự liên tục của các hàm số sau đây tại điểm (0,0)
a) f(x,y) =










)0,0(),(0
)0,0(),(
22
33
yxkhi
yxkhi
yx
yx

b) f(x,y) =








)0,0(),(0
)0,0(),(
22
2
yxkhi
yxkhi
yx
yx

4.4
Tính các đạo hàm riêng cấp 1
a) f(x,y) = x

3
+y
3
+x
2
y+xy
2
+xy b) f(x,y) = ln(x +
22
yx  )
c) f(x,y) = arcsin(x+3y) d) f(x,y) = e
xy
cosxsiny
e)
22
(, ) ln(4 )
f
xy x y f)
os
(, )
y
c
x
f
xy e
g)
2
(, ,)
yz xz
f

xyz xe ye h)
23
(, ,)
x
yz
f
xyz xyze
4.5 Tính vi phân toàn phần cấp 1
a) u = e
x
(cosy + xsiny) b) u =
y
x
e

c) u =
zy
x
2
d) u = xe
y
+ ye
z
+ ze
x

12
4.6 Tính các đạo hàm riêng cấp 2
a) f(x,y) = xy
2

+ y x b) f(x,y) = xln(x +y)
c) f(x,y) = ln(x +
22
yx  ) d) f(x,y) = arctg
x
y

4. 7 a) Chứng minh rằng nếu
y
x
zxyxe thì:
zz
x
yxyz
xy





.
b) Chứng minh rằng nếu
22
ln( )zy x y thì:
2
11zzz
x
xyy y





.

4.8
Tính đạo hàm các hàm số hợp
a) f(x,y) = x
y
với x = lnt , y = sint b)f(x,y) = arctg
x
y
với x=e
2t
+1 , y=e
2t
-1
c) f(x,y) =
)ln(
22
2
2
yx
x
y
 d)f(x,y)=(x
2
sin
2
y)ycosx–(y
2

cos
2
x)xsiny
4.9 Tính đạo hàm các hàm số ẩn
a) f(x,y) = ysinx - cos(x-y) = 0 . Tính
)0(
dx
dy
.
b)
F(x,y,z) = z
3
– 4xz + y
2
– 4 = 0 . Tính )2,1( 


x
z
và
)2,1( 


y
z
biết rằng
z(1,-2) = 2 . Tính dz biết rằng yz = arctg(xz) .
4.10 Tìm cực trị của các hàm số
a) f(x,y) = (x – 1)
2

+ 2y
2
. b) f(x,y) = 2x
4
+ y
4
– x
2
– 2y
2
.
c) f(x,y) = x
2
+ y
2
– 2xy + 2x – 2y . d) f(x,y) = 1 -
22
yx 
e)
22
(, ) 4( )
f
xy x y x y f)
22
22( )
(, ) ( )
x
y
fxy x y e



g) ( , )
y
f
xy x y xe h)
23 33
(, ) 3 6
f
xy x x y y

 
4.11 Tìm cực trị có điều kiện
a.
f(x,y) = xy với điều kiện x + y = 1
b.
f(x,y) = xy với điều kiện x
2
+ y
2
= 2a
2

c.
f(x,y) = x
2
+ y
2
với điều kiện 1
32


yx

d.
f(x,y) =
yx
11
 với điều kiện
222
111
ayx
 ( a > 0 )