chương 5 phép tính vi phân hàm nhiều biến

1
CHƯƠNG 5 : PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

5.1 Hàm nhiều biến :
5.1.1 Khái niệm
1. Định nghĩa : Cho D ⊂ R
n
, ánh xạ f : D Æ R là một hàm nhiều biến
xác định trên D
f: D Æ R
M
a u = f(M) với M (x
1
,x
2
,…, x
n
) ∈ D
• D : miền xác định của f
• f(D) ⊂ R : miền giá trị của f
2. Ví dụ : Tìm miền xác định
a) f : D Æ R ( D ⊂ R
2
)
(x,y )
a u = f(x,y) =
22
4 yx −−
b)f : D Æ R ( D ⊂ R
2
)

(x,y )
a u = f(x,y) với u = ln ( 6 - 6x
2
– 3y
2
)

5.1.2 Giới hạn – Liên tục :
1. Giới hạn :
Cho hàm số f : D Æ R với D ⊂ R
n
, M
o
∈ D
M
a f(M) M (x
1
, x
2
,…,x
n
) ∈ D
• Số L được gọi là giới hạn của hàm f(M) khi M Æ M
o
nếu :
∀ ε > 0 , ∃ δ > 0 sao cho
o
MM − < δ ⇒
ε
<− LMf )(

Ký hiệu
L
M
f
o
MM
=
→
)(lim
• Số L được gọi là giới hạn của hàm f(M) khi M Æ M
o
nếu :
Mọi dãy { M
n
} : { M
n
}ÆM
o
⇒ { f(M
n
) }ÆL
Ghi chú :
• Khoảng cách giữa 2 điểm M(x
1
,x
2
,…,x
n
) và N(y
1

,y
2
,…,y
n
) trong R
n
:
d(M,N) =
NM −
=
22
22
2
11
)( )()(
nn
yxyxyx −++−+−

• M Æ M
o

o
MM −⇔
Æ 0
2. Liên tục :
• f(M) liên tục tại M
o

⇔
)()(lim

o
MM
MfMf
o
=
→
(1)
• f(M) liên tục trên D nếu f(M) liên tục tại mọi điểm của D
2
Ví dụ 1 : Cho hàm số f : D Æ R (D ⊂ R
2
)
(x,y )
a f(x,y) =
2
22
x
y
x
y
+

Tìm
0
0
lim ( , )
x
y
f
xy

→
→

Ví dụ 2 : Cho hàm số f : D Æ R (D ⊂ R
2
)
(x,y )
a f(x,y) =
22
x
y
x
y
+

CMR
0
0
lim ( , )
x
y
f
xy
→
→
không tồn tại .
Ví dụ 3 : Cho hàm số f : D Æ R (D ⊂ R
2
)
f(x,y) =

2
22
(, ) (0,0)
0(,)(0,0)
xy
khi x y
xy
khi x y
⎧
≠
⎪
+
⎨
⎪
=
⎩

Xét tính liên tục của hàm số f tại (0,0) .
5.2 Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần :
5.2.1 Đạo hàm riêng :
Cho hàm số u = f (x,y) xác định trên miền D ⊂ R
2
, M
o
(x
o,
y
o
)∈ D .
Nếu

0000
0
(,)(,)
lim
x
f
xxyfxy
x
Δ→
+Δ −
Δ
tồn tại hữu hạn thì giới hạn này được
gọi là đạo hàm riêng theo biến x của hàm f(x,y) tại điểm (x
o,
y
o
) , ký
hiệu : f’
x
(x
o
,y
o
) hoặc
),(
00
yx
x
f
∂

∂

Tương tự ,ta có đạo hàm riêng theo biến y của hàm f(x,y) là :
f’
y
(x
o
,y
o
) hoặc ),(
00
yx
y
f
∂
∂

Ghi Chú
: Tính đạo hàm riêng của hàm nhiều biến thực chất là tính đạo
hàm theo một biến còn các biến kia không đổi .
Ví dụ 1
: Cho f(x,y) = x
2
+ 3xy + 2y
2
+ 4x -5y +10. Tìm
y
f
x
f

∂
∂
∂
∂
,
Ví dụ 2
: Cho z =e
x
cosy .Tìm
y
z
x
z
∂
∂
∂
∂
,
Ví dụ 3
: Cho f(x,y,z) = xsin(yz+z
3
). Tìm
f
x
∂
∂
,
f
y
∂

∂
,
f
z
∂
∂
.


3
5.2.2 Vi phân toàn phần :
Cho hàm số u = f (x,y) xác định trên miền D ⊂ R
2
, M
o
(x
o,
y
o
)∈ D.
Vi phân tòan phần của f(x,y) tại (x
o,
y
o
) :
df(x
o,
y
o
) = f’

x
(x
o
,y
o
) dx + f’
y
(x
o
,y
o
)dy
df(x
,
y) = f’
x
(x,y) dx + f’
y
(x,y)dy hay
df = f’
x
dx + f’
y
dy
Tổng quát : u = f(x
1
, x
2
,…, x
n

)
du =
1
1
f
dx
x
∂
∂
+
2
2
f
dx
x
∂
∂
+…+
n
n
f
dx
x
∂
∂

Ví dụ
: Tìm vi phân toàn phần của hàm số :
a) f(x,y) = x
4

+ 3xy + 2y
2
+ arctgx
b) f(x,y) = arctg
yx
yx
−
+

Đạo hàm và vi phân cấp cao :
1. Đạo hàm riêng cấp cao :
Đạo hàm riêng cấp hai là đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp một.
Hàm hai biến z = f(x,y)có các đạo hàm riêng cấp hai sau :

''''
2
2
2
)(
x
xx
ff
x
f
x
f
x
==
∂
∂

=
∂
∂
∂
∂

''
2
)(
xy
f
yx
f
x
f
y
=
∂∂
∂
=
∂
∂
∂
∂

''
2
)(
yx
f

xy
f
y
f
x
=
∂∂
∂
=
∂
∂
∂
∂

''''
2
2
2
)(
y
yy
ff
y
f
y
f
y
==
∂
∂

=
∂
∂
∂
∂


Ví dụ
: Tìm đạo hàm riêng cấp 2 của các hàm
a) f(x,y) = xlny
b) f(x,y) = ln(x
2
+ y
2
)
Ghi chú
: f(x,y) là hàm xác định trên D ⊂ R
2
và có các đạo hàm riêng cấp 2
),(
2
yx
yx
f
∂∂
∂
và
2
(, )
f

x
y
yx
∂
∂∂
trong lân cận của (x
o
,y
o
) ∈ D. Nếu chúng liên tục tại
(x
o
,y
o
) thì
),(
00
2
yx
yx
f
∂∂
∂
=
2
00
(, )
f
x
y

yx
∂
∂∂


2. Vi phân cấp cao :
df =
dy
y
f
dx
x
f
∂
∂
+
∂
∂

4
d
2
f = d(df) =
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝

⎛
∂
∂
+
∂
∂
dy
y
f
dx
x
f
d

=
2
2
2
dx
x
f
∂
∂
+ dydx
xy
f
∂∂
∂
2
+ dxdy

yx
f
∂∂
∂
2
+
2
2
2
dy
y
f
∂
∂

Nếu đạo hàm hỗn hợp bằng nhau thì ta có :
d
2
f =
2
2
2
dx
x
f
∂
∂
+ 2
dxdy
yx

f
∂∂
∂
2
+
2
2
2
dy
y
f
∂
∂

Ví dụ
: Cho f(x,y) = x
2
e
y
. Tìm vi phân cấp 2 .

5.3 CỰC TRỊ :
5.3.1 Cực trị tự do:
1/ Định nghĩa
:
Cho hàm f(x,y) xác định trên D ⊂ R
2
. Điểm M
o
(x

o
, y
o
) gọi là điểm cực đại
(hoặc điểm cực tiểu
) nếu f(M) ≤ f(M
0
) (hoặc f(M) ≥ f(M
0
) ) với mọi M(x,y) trong
lân cận M
o
.
2/ Định lý 1
(điều kiện cần)
Nếu hàm f(x,y) đạt cực trị tại M
o
(x
o
, y
o
) mà tại đó hàm có các đạo hàm
riêng
y
f
x
f
∂
∂
∂

∂
,
tồn tại thì
x
f
∂
∂
(x
o
, y
o
) = 0 và
y
f
∂
∂
(x
o
, y
o
)= 0 .
3/ Định nghĩa
: Nếu
x
f
∂
∂
(x
o
, y

o
) = 0 và
y
f
∂
∂
(x
o
, y
o
) = 0 thì M
o
(x
o
, y
o
) được
gọi là điểm dừng
của hàm f(x, y).
Ghi chú : Điểm cực trị là điểm dừng nhưng ngược lại chưa chắc đúng.
Phản ví dụ
: Cho f (x, y) = x
2
- y
2
xác định trên R
2
.
Ta thấy p = q = 0 tại M
o

(0,0) nhưng M
o
(0,0) không phải là điểm cực trị vì
f(x, 0) = x
2
≥ 0 = f (0,0) còn f (0, y) = - y
2
≤ 0 = f(0,0)
4/ Định lý 2
(điều kiện đủ)
Giả sử điểm M
o
(x
o
, y
o
) là điểm dừng của hàm số f(x,y).
Đặt A =
2
2
x
f
∂
∂
(x
o
, y
o
) , B =
yx

f
∂∂
∂
2
(x
o
, y
o
) , C =
2
2
y
f
∂
∂
(x
o
, y
o
)
* AC – B
2
> 0 : M
0
(x
o
, y
o
) là điểm cực trị
5

• A > 0 : M
o
(x
o
, y
o
) là điểm cực tiểu
• A < 0 : M
o
(x
o
, y
o
) là điểm cực đại
* AC – B
2
< 0 : M
0
(x
o
, y
o
) không phải là điểm cực trị
* AC – B
2
= 0 : Chưa kết luận được .
Tìm cực trị :
Ví dụ 1
: Cho hàm f(x, y) = x
3

+ y
3
+ 3xy
HD : Hàm f(x, y) có hai điểm dừng là M
o
(0, 0) và M
1
( - 1, - 1)
* Tại M
o
(0,0) : AC – B
2
= - 9 < 0 : M
o
(0, 0) không phải là điểm
cực trị
* Tại M
1
(-1, -1) : AC – B
2
= 27 > 0 : M
1
(-1, -1) là điểm cực trị
Ví dụ 2
: Cho hàm g(x, y) = x
2
+ xy + y
2
– 3x – 6y
Ví dụ 3

: Cho hàm f(x, y) = x
2
+ y
4

HD : Ta thấy AC – B
2
= 0 nên không kết luận được , cần xét cụ thể f(x,y).
Ví dụ 4
: Cho hàm f(x, y) = x
3
+ y
4

5.3.2 Cực trị có điều kiện :
* Cho hàm 2 biến u = f(x,y) . Cực trị của hàm f(x,y) thỏa điều kiện
φ(x,y) = 0 được gọi là cực trị có điều kiện .
* Phương pháp tìm cực trị có điều kiện
:
1.Trường hợp 1
: Nếu từ điều kiện φ(x,y) = 0 ta suy ra được y = y(x) thì
thay vào hàm u=f(x,y) ta được hàm một biến u=f(x,y(x)) .Từ đó ,ta tìm
cực trị của hàm một biến thông thường .
Ví dụ
: Tìm cực trị của hàm z = f(x,y) =
22
1 yx −− với điều kiện
x + y – 1 = 0
2.Trường hợp 2
: Nếu từ điều kiện φ(x,y) = 0 ta không suy ra được y

= y(x) thì ta dùng phương pháp nhân tử Lagrange
như sau :
• Tìm các điểm dừng
M
o
(x
o
,y
o
) bằng cách giải hệ phương trình :
6
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂

+
∂
∂
0),(
0
0
yx
yy
f
xx
f
ϕ
ϕ
λ
ϕ
λ
(
λ
: nhân tử Lagrange)
• Lập hàm Lagrange : L(x,y,
λ
) = f(x,y) +
λ
φ(x,y)
Xét vi phân toàn phần cấp 2 của hàm Lagrange :
d
2
L =
2
2

x
L
∂
∂
dx
2
+ 2
yx
L
∂∂
∂
2
dxdy +
2
2
y
L
∂
∂
dy
2
tại các điểm dừng M
o
(x
o
,y
o
) .
Chú ý điều kiện :
x

∂
∂
ϕ
(x
o
,y
o
) = 0 .
 d
2
L ≥ 0 : M
o
(x
o
,y
o
) là điểm cực tiểu
 d
2
L ≤ 0 : M
o
(x
o
,y
o
) là điểm cực đại

Ví dụ
: Tìm cực trị của hàm f(x,y) = x + 2y với điều kiện
φ(x,y) = x

2
+ y
2
- 5 = 0