chương 6 tích phân đường tích phân mặt

CHƯƠNG 6 : TÍCH PHÂN ĐƯỜNG –TÍCH PHÂN MẶT
6.1. Tích phân đường loại 1
6.1.1. Định nghĩa
Cho hàm số f(x, y) xác định trên 1 cung phẳng AB
 Chia cung AB thành n cung nhỏ bởi các điểm A = A0, A1, ..., An = B.
Gọi độ dài cung Ai-1Ai là si
 Trên cung nhỏ Ai-1Ai lấy 1 điểm tuỳ ý Mi(xi, yi)
 Lập tổng tích phân In =

n

 f ( x , y )s
i 1

i

i

i

 Nếu lim I n tồn tại mà không phụ thuộc cách chia cung AB và cách chọn
n

điểm Mi thì nó được gọi là tích phân đường loại 1 của hàm số f(x, y) theo cung
AB

Ký hiệu :

I=



f ( x, y )ds

AB

Ghi chú :
 Nếu hàm số f (x, y) có tích phân đường loại I theo cung AB ta nói hàm số
f(x, y) khả tích trên cung AB .
 Cung AB cho bởi phương trình : y = y(x) với a  x  b được gọi là cung
trơn nếu hàm số y = y(x) có đạo hàm liên tục trên [a,b]
 x  x(t )
( t1  t  t2 ) được gọi là
 y  y (t )

 Cung AB cho bởi phương trình tham số 

cung trơn nếu hai hàm số x = x(t) và y = y (t) có đạo hàm liên tục trên

đoạn [

t1, t2 ].
Định lý: Nếu hàm số f(x, y) liên tục trên cung trơn AB thì nó khả tích trên
cung này.

6.1.2. Cách tính tích phân đường loại 1
1. Nếu cung AB trơn, được cho bởi phương trình y = y(x), a  x  b và
f(x, y) liên tục trên AB thì :




b

f ( x, y )ds =

 f ( x, y( x)).

1  ( y '( x)) 2 dx

a

AB

 x  x(t )
 y  y (t )

2. Nếu cung AB trơn, được cho bởi phương trình tham số 
( t1  x  t2 ) và hàm f(x, y) liên tục trên AB thì :



t2

 f ( x(t ), y(t )).

f ( x, y )ds =

( x '(t )) 2  ( y '(t )) 2 dt

t1

AB

3. Nếu cung AB cho trong toạ độ cực
r  r(),      . Khi ấy coi  là tham số, ta có phương trình của cung AB
x  r()cos

y  r()sin 



x2  y2  r()2  r()2

Vậy



f ( x, y )ds =  f(r()cos, r()sin ) r()2  r()2 d





AB

4. Tích phân đường loại một trong khơng gian
Cho hàm số f(x, y, z) liên tục trên cung trơn AB có phương trình tham số
x = x(t), y = y(t), z = z(t), t1  t  t 2 . Khi đó



t2

f ( x, y, z )ds =

 f ( x(t ), y(t ), z (t )).

( x '(t )) 2  ( y '(t )) 2  ( z(t )) 2 dt

t1

AB

Ví dụ 1 Tính  (x  y)ds , với C – tam giác với các đỉnh O(0, 0), A(1, 0), B(0, 1).
C

Giải
Ta có  
C

  

OA

AB

.

BO

Trên OA: y = 0, ds = dx. Suy ra



OA

1

(x  y)ds   xdx 
0

1

Trên OB: x = 0, ds = dy. Suy ra

 (x  y)ds   ydy 

OB

Trên AB: y = 1 – x. Suy ra

0

1
.
2
1
.
2

1

 (x  y)ds  2  dx  2 .

ds  1  (y(x))2 dx  2dx 

AB

0

Vậy  (x  y)ds  1  2 .
C

Ví dụ 2 Tính



x 2  y 2 ds,C : x 2  y 2  ax.

C

Giải

2


2

Đưa C về toạ độ cực ta được r = acos  ,     , r 2  r2  a.



Vậy

x 2  y 2 ds 

C


2

 ard  a  cosd  2a .


Ví dụ 3 Tính I 


2

2


2



2



2

 z ds, với cung AB có phương trình
2

AB

x  a cos t,y  as int,z  bt,0  t  3.

Giải
Ta có:
I



AB

b

2

3

z 2 ds   b2 t 2 a2 sin 2 t  a2 cos2 t  b2 dt
0

a b
2

2

3

 t dt  9b
2

2

a2  b 2 .

0

Ví dụ 4 Tính  x 2 ds,C : x 2  y 2  4 .
C

Giải
Ngồi cách tính trực tiếp với C có phương trình y   4  x 2 (hoặc đưa về
toạ độ cực), ta có thể sử dụng tính đối xứng. Vì đường trịn C đối xứng cả x
1
2 C



và y nên rõ ràng ta có:  x 2 ds    x 2 ds   y 2 ds  
C



C

1
2
2
 (x  y )ds
2C

Trên đường tròn C ta có x 2  y 2  4 . Vậy  x 2 ds  2  ds  2.4  8 .
C

(  ds  chu vi đường tròn = 4 )
C

C


6.2. Tích phân đường loại 2
6.2.1. Định nghĩa. Cho 2 hàm số P(x, y) và Q(x, y) xác định trên cung AB
 Chia cung AB thành n cung nhỏ bởi các điểm : A = A0, A1, ....., An = B


 Gọi hình chiếu của vectơ Ai 1 Ai trên 2 trục Ox và Oy là xi và yi
 Trên cung Ai-1 Ai lấy 1 điểm Mi (  i , i ) tùy ý
 Lập tổng tích phân:
In =

n


i 1

[P(  i , i )xi + Q(  i , i )yi]

 Nếu lim I n tồn tại không phụ thuộc cách chia cung AB và cách chọn Mi thì
n

được gọi là tích phân đường loại 2 của các hàm số P(x, y) và Q(x, y) dọc theo
cung AB.

Ký hiệu:

I=



P(x, y) dx + Q(x, y) dy

AB

 Định lý : Nếu P(x, y) và Q(x, y) liên tục trên cung trơn AB thì tích phân
đường loại 2 tồn tại.
 Chiều của đường lấy tích phân :


AB

Pdx + Qdy = -  Pdx  Qdy
BA

6.2.2. Cách tính tích phân đường lọai 2
Giả sử AB là cung trơn và các hàm P(x, y), Q(x, y) liên tục trên cung AB.

1. Nếu cung AB được cho bởi phương trình : y = y(x), a là hoành độ
của A, b là hoành độ của B thì :



AB

P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 

b

a

[P(x, y(x)) + Q(x, y(x)) . y’(x)] dx

Ví dụ 1 Tính I   x 2 ydx  ( x  2 y )dy , với L là các đường sau:
L

a. (P): y = x2, nối O(0, 0) với A(1, 1).
1

I   x 2 ydx  ( x  2 y )dy   ( x 4  x  2 x 2 )dx  
L

0

2
15

b. L là đường thẳng nối O(0, 0) với A(1, 1)
1

I   x ydx  ( x  2 y )dy   ( x 3  x)dx  
2

0

L

1
4

2. Nếu cung AB được cho bởi phương trình tham số

{

x  x (t )
y  y (t )

với

các đầu mút A, B theo thứ tự ứng với các giá trị tA, tB của các tham số thì



tB

P(x, y) dx + Q(x, y) dy =

  P( x(t ), y(t )) x '(t )  Q( x(t ), y(t )) y '(t )dt

tA

AB

Ví dụ 2 Tính I   ydx  ( x  2 y )dy , với L là đường nối A(1, 0) và B(0, 1)
L

theo các đường sau:
a. Đường gấp khúc ACB, với B(1, 1).
b. Đường tròn tâm O bán kính 1.
Giải
a. Ta có: I   ydx  ( x  2 y )dy 
L

 x  1  dx  0
. Do đó
Trên AC: 
y : 0 1

 y  1  dy  0
. Do đó
 y :1  0

Trên CB: 

 

AC

CB
1

   (1  2 y)dy  2

AC



BC

0

0

  dx  1 .
1

Vậy I = 1.
 x  cos t
dx   sin tdt


;0  t 
2
 y  sin t
dy  cos tdt

b. Tham số hóa: 





2

2

0

0

I   sin t.( sin t )dt  (cost  2sin t ) cos tdt   (  sin 2 t  cos 2t  2sin t cos t )dt




2

2
1
  (cos2t  sin 2t )dt  (sin 2t  cos2t )  1 .
2
0
0

Ví dụ 3 Tính I   y 2 dx  x 2 dy
C

C – vịng trịn tâm (0, 0) bán kính 1.
C có phương trình
x  cos t,y  sin t,0  x  2
2

Vậy I   sin 2 t( sin t)  cos2 t(cos t)dt  0


0

Ghi chú :
 Tích phân đường loại 1 : chiều của đường lấy tích phân khơng quan trọng
 Tích phân đường loại 2 : Phải chú ý chiều của đường lấy tích phân.
 Trong trường hợp, L là đường cong khép kín , ta tính tích phân đường
lọai 2 theo chiều dương của L.
 Qui ước : Chiều dương của đường cong kín là chiều mà đi theo chiều đó ,ta
thấy miền giới hạn ở bên trái.
Ký hiệu :




Pdx + Qdy

L

6.2.3. Công thức Green
Cho hai hàm P(x,y) và Q(x,y) có đạo hàm riêng liên tục trong miền D và L
là biên của D, ta có cơng thức Green:




P(x, y) dx + Q(x, y) dy =

L

Q

P

 ( x  y )dxdy
D

Hệ quả: Nếu L là đường biên kín của miền D thì diện tích S của miền D
cho bởi cơng thức :
S=

1
 xdy-ydx
2
L

Ví dụ 1 Tính I   xy 2 dy  x 2 ydx,C : x 2  y 2  1

C

Ta có P  x 2 y,Q  xy 2
Q P


 x2  y2
x y

Vận dụng công thức Green ta được


I




x2  y2 1

2

1

0

(x 2  y 2 )dxdy 

0

3
 d r dr 


2

6.2.4. Sự độc lập đối với đường lấy tích phân

Định Lý. Tích phân đường



P(x, y) dx + Q(x, y) dy

chỉ phụ thuộc vào

AB

2 đầu mút A,B mà khơng phụ thuộc vào đường lấy tích phân từ A đến B khi và chỉ
khi :

P Q

.
y x

VD 1: Chứng minh tích phân I =

 6 xe

y

dx + (3x 2 + y + 1) e y dy không

AN

phụ thuộc vào đường lấy tích phân.
VD 2: Chứng minh tích phân I   ( x  y )dx  ( x  y )dy phụ thuộc vào

AB

đường lấy tích phân
VD 3: Tính I   ( x  3 y )dx  ( y  3x)dy với A (1,1), B(2,3).
AB
(3,4)

VD 4: Tính I =



ydx  xdy

(0,1)

6.2.5. Ứng dụng của tích phân đường loại 1

s=

1. Chiều dài cung:

 ds

AB

2. Khối lượng của cung:
m=

  ( x, y)ds

AB

với (x,y) là khối lượng riêng tại M(x,y)
3. Tọa độ trọng tâm của cung

xG =

1
 x ( x, y)ds
m AB

 Nếu cung đồng nhất

,

yG =

1
 y  ( x, y)ds
m AB


xG =

1
 xds
s AB

, yG =

1
 yds
s AB

Với s là độ dài cung AB
VD 1: Tìm khối lượng của cung tròn x = cost, y = sint ( 0  t  ) nếu khối
lượng riêng của nó tại M (x,y) bằng y.
VD 2: Tìm tọa độ trọng tâm của cung x = t - sint , y = 1 - cost (0  t  ) .
6.3. Tích phân mặt loại 1
6.3.1 Định nghĩa
Cho hàm số f(x,y,z) xác định trên một mặt S
 Chia mặt S thành n mãnh nhỏ có diện tích là Si (i= 1, n )
 Trên mỗi mảnh nhỏ chọn 1 điềm tùy ý Mi (xi , yi , zi)
 Lập tổng tích phân: In =

n

 f (M )S
i 1

 Nếu

lim I n

i

i

tồn tại mà không phụ thuộc vào cách chia mặt S và cách chọn

n 

điểm Mi thì nó được gọi là tích phân mặt loại 1 của hàm số f (x,y,z) trên mặt S.
Ký hiệu :

I=

 f ( x, y, z )dS
S

Định lý: Nếu mặt S trơn (nghĩa là mặt S liên tục và có pháp tuyến biến
thiên liên tục) và hàm số f(x,y,z) liên tục trên S thì tích phân mặt loại 1 tồn tại.
Tích phân mặt loại I có các tính chất giống tích phân kép.
6.3.2. Cách tính tích phân mặt loại 1
Giả sử mặt S cho bởi pt z = z(x,y) trong đó z(x,y) liên tục, có các đạo hàm
riêng z’x và z’y liên tục trong miền đóng bị chặn D với D là hình chiếu của S
xuống mặt phẳng Oxy .
Nếu f (x,y,z) liên tục trên S thì ta có:

 f ( x, y, z )dS
S

=

 f ( x, y, z ( x, y))
D

trong đó : p 

z

z
, q
y
x

1  p 2  q 2 dxdy


Ví dụ 1 Tính I   ( x 2  y 2 )ds , S là nữa mặt cầu: x 2  y 2  z 2  R 2 , z  0 .
S

Giải
Chiếu S xuống Oxy ta được đường tròn: x 2  y 2  1 , trên miền này mặt S
có phương trình: z  R 2  x 2  y 2 . Do đó: ds 
Vậy: I   ( x 2  y 2 )ds  
S

Dxy

2

R

0

0

I  R  d 

R

R x y
2

2

2

R
R2  x2  y 2

.

.( x 2  y 2 )dxdy .

r2

4
.rdr   R 4 .
3
R2  r 2

Ví dụ 2 Tính I   ( x  y  z )ds , trong đó S là phần mặt phẳng : 2 x  2 y  z  2 ,
S

trong góc x  0, y  0, z  0 .
Giải
Chiếu S xuống Oxy ta được đường tròn: x 2  y 2  1 , trên miền này mặt S
có phương trình: z  R 2  x 2  y 2 . Do đó: ds 
Vậy: I   ( x 2  y 2 )ds  
S

Dxy

2

R

I  R  d 
0

0

R
R x y
2

2

2

R
R  x2  y 2
2

.

.( x 2  y 2 )dxdy .

r2

4
.rdr   R 4 .
3
R r
2

2

6.3.3. Ứng dụng tích phân mặt loại 1
1. Diện tích mặt:
S=

 dS
S

2. Khối lượng của mặt:
m=

  ( x, y, z )dS
S

3. Tọa độ trọng tâm của mặt:
xG 

1
x  ( M )dS
m 
S

với  ( x, y, z ) là khối lượng riêng.

yG 

1
y  ( M )dS
m 
S

zG 

1
z  ( M )dS
m 
S

Nếu mặt S đồng phẳng thì:
xG 

1
xdS ,
S 
S

yG 

1
1
 ydS , zG  S  zdS
S S

S

VD 1: Tính khối lượng của mặt cầu bán kính R nếu khối lượng riêng tại
mỗi điểm bằng bình phương khỏang cách từ đó đến một đường kính cố định nào
đó của mặt cầu . (  ( M )  R 2  x 2 )
VD 2: Tính tọa độ trọng tâm của phần mặt phẳng z= x giới hạn bởi các
mặt phẳng x + y = 1, y = 0, x = 0.
6.4. Tích phân mặt loại 2

6.4.1. Định nghĩa. Nếu hàm P(x,y,z), Q (x,y,z), R (x,y,z) liên tục trên mặt S
có định hướng thì tích phân mặt loại 2 của bộ ba hàm số đó là:

 Pdydz  Qdzdx  Rdxdy
S

Ghi chú:
 Nếu đổi hướng của mặt S thì tích phân đổi dấu.
 Tích phân mặt loại 2 có các tính chất giống tích phân kép.
6.4.2. Cách tính tích phân mặt loại 2
Việc tính tích phân mặt loại 2 đưa về việc tính tích phân kép.
Giả sử mặt S có phương trình z = z (x,y) liên tục, xác định trên D1 là hình
chiếu của S trên mặt phẳng Oxy ta có:

 Rdxdy   R( x, y, z ( x, y))dxdy
S

Các tích phân

D1

 Pdydz ,  Qdzdx
S

cũng tính tương tự :

S

 Pdydz =  P( x( y, z ), y, z )dydz ;  Qdzdx =  Q( x, y( x, z ), z )dzdx
S

D2

S

D3

VD 1: Tính I   xdydz  dzdx  xz 2 dxdy trong đó S là phần mặt cầu tâm O,
S

bán kính 1, nằm trong góc phần tám thứ nhất và có pháp vectơ hướng ra ngoài.


VD 2 Tính I   xydydz  yzdzdx  xzdxdy trong đó S là các mặt của hình
S

chóp OABC với A(1,0,0) , B(0,1,0) , C(0,0,1) .
6.4.3. Định lý Stokes
Giả sử các hàm P(x,y,z) , Q(x,y,z) và R(x,y,z) liên tục và có đạo hàm riêng
liên tục trên một mặt định hướng S , biên của S là một đuờng cong kín L.
Ta có cơng thức Stokes :



D

 R Q 
 Q P 
 P R 

 y  z dydz   z  x dxdz   x  y dxdy   Pdx  Qdy  Rdz









L

VD: Tính



y2dx+z2dy+x2dz trong đó L là chu tuyến tam giác ABC với

L

A  a,0,0  , B  0,a,0  , C  0,0,a  lấy theo chiều dương .

6.4.4. Định lý Gauss – Ostrogratski
Giả sử V là 1 miền đóng và bị chặn trong R3 có biên là mặt S kín và trơn
từng mảnh. Các hàm P(x,y,z) , Q(x,y,z), R(x,y,z) liên tục và có đạo hàm riêng liên
tục trên V. Ta có cơng thức Gauss –Ostrogratski như sau :
 P

Q

R 

  x  y  z dxdydz   Pdydz  Qdxdz  Rdxdy




V

S

trong đó vectơ pháp tuyến của S hướng ra ngồi .
VD : Tính I =



S

zdxdy +(y+y2)dxdz trong đó S là mặt phía ngồi của vật

thể giới hạn bởi z = x2+y2, z = 0 , z = 1 bằng công thức Gauss – Ostrogratski.

BÀI TẬP CƯƠNG 6

6.1 Tính các tích phân đường loại 1
1. I=  ( x  y )ds với AB l đọan thẳng nối A(1,2) với B(2,4).
AB

2. I=  xyds với L là cung AB của elip
L

x2 y2

 1 trong đó A(0,2) và B(-3,0).
9
4


3. I=  ( x 2  y 2 )ds với L là biên của hình tam giác OAB trong đó A(1,1) v B(-1,1) .
L

4. I=  ( x 2  y 2 )ds với AB là một phần đường trịn tâm O ,bán kính R nằm trong
AB

góc tọa độ thứ nhất .
5. I=  xyds với L là biên của hình vng x  y  1 .
L

 x  a(t  sin t )
( 0  t  2
6. I=  y 2 ds với L là cung đầu tiên của đường Cyclôit 

 y  a(1  cos t )
L
, a>0 )
7. I=



OA

ds
x  y2  4
2

với OA là đọan thẳng nối O và A(1,2).

6.2 Tính các tích phân đường loại 2
8. I=  ( x 2  2 xy )dx  ( y 2  2 xy )dy với L là cung parabol y = x2 nối từ điểm
L

A(-1,1) đến điểm B(1,1).
9. I=  ( x 2  2 xy )dx  (2 xy  y 2 )dy với L là chu tuyến dương của miền D giới
L

hạn bởi parabol y = x2 ,y = 1 , x = 0 và x  0 .
10. I=  (2a  y )dx  xdy với L là cung đầu tiên của đường Cyclôit
L

 x  a(t  sin t )
, t thay đổi từ 0 đến 2  .


 y  a(1  cos t )
dx  dy
x y
L

11. I= 

với L là chu tuyến dương của hình vng ABCD với các đỉnh

A(1,0) , B(0,1) , C(-1,0) , D(0,-1) .
12. I=  ( x 2 y )dx  xy 2 dy với L là đường tròn x2+y2 = 4 lấy theo chiều dương .
L

13. I=  2( x 2  y 2 )dx  ( x  y ) 2 dy với L là chu tuyến dương của tam giác ABC
L

với A(1,1) , B(2,2) , C(1,3) .
a) Áp dụng cơng thức Green để tính I .
b) Tính trực tiếp để kiểm tra kết quả .


14. I=  (2 xy  x 2 )dx  ( x  y 2 )dy với L là chu tuyến dương của miền tạo bởi
L

parabol y = x2 và x = y2 .
a) Áp dụng công thức Green để tính I .
b) Tính trực tiếp để kiểm tra kết quả .
15. I=  (2 x 3  y 3 )dx  ( x 3  y 3 )dy với L là đường tròn x2+y2=1 theo chiều
L

dương .
16. I=  (2 x  y )dx  ( x  3 y )dy với L là đường nối từ điểm A(1,2) đến điểm
L

B(2,4).
(1,1)

 ( x  y)dx  ( x  y)dy

17. I=

( 0,0 )

18. I=  ( ye xy  2 x cos y  x 2 y )dx  ( xe xy  x 2 sin y  xy 2  xy )dy với L nửa trên
L

đường tròn x2+y2=2x ( y  0 ) đi từ điểm A(2,0) đến O .
y
2

x
2

19. I=  xy[( x  )dx  (  y )dy ] với L là chu tuyến dương của tam giác ABC
L

với các đỉnh A(-1,0) ,B(1,-2) và C(1,2).
20. I=  2( x 2  y 2 )dx  (4 y  3) xdy với L là đường gấp khúc tạo bởi 2 đọan
L

thẳng OA và AB của tam giác OAB với A(1,1) , B(0,2) .
21. I   xydx với L là cung parapol y 2  x , từ A(1; -1) đến B(1;1)
L

22. I   ( xy  1)dx  x 2 ydy với L là cung nối từ A(1; 0) , B(0; 2)
L

a. Theo đường thẳng AB
b. Theo cung parapol y 2  4(1  x)
23. I   2 xdx  ( x  2 y )dy với L là chu tuyến của tam giác ABC theo chiều
L

ngược kim đồng hồ với A(-1; 0), B(0; 2), C(2; 0)
24. I   (2 x  3 y  xy 2 )dx  ( yx 2  4 x  y  2)dy với C là nửa đường tròn
C

x  y  4, y  0 , cùng chiều kim đồng hồ
2

2

25. I   ( y  x 2 y  xy 2 )dx  (3x 
C

chiều kim đồng hồ

xy 2
y2
 x 2 y )dy với C là elip x 2 
 1 , ngược

4
4


26. I   ( y  x 2 y  xy 2  y sin( xy ))dx  (3 x 
C

elip x 2 

xy 2
 x 2 y  x sin( xy )) dy với C là nửa
4

y2
 1, y  0 , ngược chiều kim đồng hồ
4