Rèn luyện kỹ năng cho học sinh giải hệ phương trình đối xứng

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG CHO
HỌC SINH GIẢI HỆ PHƯƠNG
TRÌNH ĐỐI XỨNG




A. ĐẶT VẤN ĐỀ :
Trong quá trình giảng dạy, việc tổ chức cho học sinh biết ôn tập các kiến
thức đã học và vận dụng nó vào việc giải toán là một việc làm rất cần thiết.
Việc làm đó thể hiện được sự đổi mới phương pháp giảng dạy và đơn giản hóa
các vấn đề phức tạp với mục đích giúp cho học sinh hiểu được bài và vận dụng
nó vào giải bài tập.
Trong chương trình toán ở trường phổ thông hiện nay, trong sách giáo
khoa lớp 10 có trình bày việc giải các hệ phương trình đại số rất đơn giản và
thời lượng cũng còn quá ít. Trong khi đó khi học sinh tham dự thi học sinh giỏi
các cấp hay thi vào đại học thì lại gặp một vấn đề có thể nói là phức tạp, học
sinh rất lúng túng khi giải các bài toán này. Tuy nhiên nếu nắm vững tốt về các
phương pháp giải thì đó là cơ hội rèn cho người làm toán một kỹ năng, kỹ xão
nhằm hình thành tính sáng tạo trong học và giải toán, ngoài ra còn có cả sự
khéo léo trong khi biến đổi để đưa bài toán phức tạp về lớp các bài toán đã biết
cách giải.
Mặc dù vậy song vẫn là chưa đủ bởi sáng tạo của mỗi người làm toán là

vô hạn. Chính vì vậy trong bài viết này tôi muốn đề cập về "Rèn luyện kỹ năng
cho học sinh giải hệ phương trình đối xứng " qua thực hiện dạy chương trình tự
chọn của môn toán lớp 10 nhằm trang bị thêm cho học sinh một số công cụ
hữu hiệu để các hệ phương trình và phương trình đại số.
B. QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN :
Nhằm cung cấp cho học sinh nhận ra các dấu hiệu ban đầu để phân loại
và nhận dạng khi thực hiện giải các hệ phương trình đối xứng, trong mỗi loại
hệ phương trình đối xứng loại 1 hay loại 2, tôi phân chia thành ba dạng toán
như sau:
Dạng 1 : Giải hệ phương trình:
Dạng 2: Tìm điều kiện tham số để hệ đối xứng loại 1 có nghiệm
Dạng 3: Một số bài toán giải bằng cách đưa về hệ phương trình
Qua thực tế giảng dạy ở các lớp khối 10 trường THPT và các lớp bồi
dưỡng học sinh giỏi, tôi nhận thấy việc phân chia dạng như trên là hợp lý,
lôgíc cụ thể, có thể nhanh chóng tìm ra phương pháp chứng minh được bất
đẳng thức bằng cách áp dụng phương pháp này vào việc giải toán, từ đó làm
nền tảng cho hai kỳ thi tốt nghiệp THPT và thi vào các trường Đại học và Cao
đẳng sau này.



Để cho tiết ôn tập đạt được hiệu quả cao, thì mỗi học sinh phải chuẩn bị
bài tốt trước khi đến lớp đồng thời phải biết tích cực, tự giác học tập, phải biết
suy nghĩ tìm tòi và sáng tạo. Người giáo viên phải biết dẫn dắt học sinh biết
phân tích đề bài, từ đó đi tìm tòi lời giải đúng và sáng tạo, ngắn gọn. Muốn làm
tốt khâu này giáo viên thiết kế một giáo án theo hướng tích cực hoá hoạt động
học tập, cụ thể tiến hành theo các bước:
I. BƯỚC CHUẨN BỊ :
1) Nghiên cứu nội dung cần ôn tập , cần truyền đạt:
Vạch ra mục tiêu của bài dạy, chọn lọc kiến thức cần ôn tập và chuẩn bị

trước, lập phương án kiểm tra nội dung kiến thức dùng cho tiết ôn tập.
2)Chọn bài tập mẫu :
Chọn bài tập theo dụng ý nội dung cần ôn tập phù hợp với các đối tượng
học sinh nhằm củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo, rèn luyện tư duy
thuật toán hay kiểm tra sự lĩnh hội của học sinh .
3/Phân phối thời gian cho mỗi hoạt động của thầy và trò:
Cần phải phân bố thời gian phù hợp với mỗi bài tập. Dự kiến thời gian
cho mỗi học sinh giải bài tập trên bảng.
4) Bước chuẩn bị của trò và thầy :
4.1) Chuẩn bị của trò : Các kiến thức cần nắm
4.1.1 Định lý Viét:
· Nếu phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 có hai nghiệm x
1
, x
2
thì:

1 2
1 2

.
ì
= + = -
ï
ï
í
ï
= =

ï
î
b
S x x
a
c
P x x
a

· Ngược lại, nếu 2 số x
1
, x
2
thỏa mãn
1 2
+ =
x x S
và
1 2
.
=
x x P
thì x
1
, x
2

là nghiệm của phương trình bậc hai; X
2
- SX + P = 0.

4.1.2 Hệ phương trình đối xứng đối với hai ẩn x và y:
1. Phương trình hai ẩn x và y được gọi là đối xứng nếu thay x bởi y; y
bởi x thì phương trình không thay đổi.
2. Hệ phương trình đối xứng theo hai ẩn số x, y là hệ phương trình khi ta
thay x bởi y và thay y bởi x thì hệ phương trình không thay đổi.



3. Một hệ hai phương trình chứa hai ẩn x, y được gọi là đối xứng loại
một nếu trao đổi vai trò của x, y thì mỗi phương trình hệ này trở thành chính
nó(không thay đổi)
Dấu hiệu nhận biết:
( , ) 0
( , ) 0
f x y
g x y
=
ì
í
=
î
, trong đó
( , ) ( , )
( , ) ( , )
f x y f y x
g x y g y x
=
ì
í
=

î

4. Một hệ hai phương trình chứa hai ẩn x, y được gọi là đối xứng loại hai
nếu trao đổi vai trò của x, y thì phương trình này chuyển thành phương trình
kia của hệ.
Dấu hiệu nhận biết:
( , ) 0
( , ) 0
f x y
g x y
=
ì
í
=
î
, trong đó
( , ) ( , )
( , ) ( , )
f x y g y x
g x y f y x
=
ì
í
=
î
.
4.2)Chuẩn bị của thầy:
* Phiếu học tập và phiếu trả lời cho học sinh.
* Giấy A
2

cho 4 nhóm học sinh hoạt động
* Giáo án và các dụng cụ có liên quan.
* Phiếu học tập về các bài tập đề nghị để học sinh tự làm thêm bài
tập ở nhà
* Bảng tóm tắt phương pháp giải toán cụ thể:
Hệ phương trình đối xứng loại 1
Dạng 1: Giải phương trình:
Phương pháp giải chung:
· Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).
· Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và
2
4
³
S P
.
· Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P
rồi dùng Viét đảo tìm x, y.
Chú ý:
+ Cần nhớ: x
2
+ y
2
= S
2
– 2P, x
3
+ y
3
= S
3

– 3SP.
+ Nếu
(
)
0 0
;
x y
là nghiệm của hệ phương trình đối xứng loại 1, thì
(
)
0 0
;
y x
cũng là nghiệm tương ứng.
+ Nếu hệ phương trình đối xứng loại 1 có nghiệm duy nhất thì theo trên
ta được
0 0
x y
=
.
+ Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv.
+ Có những hệ phương trình trở thành đối xứng loại 1 sau khi đặt ẩn
phụ.



Dạng 2: Tìm điều kiện tham số để hệ đối xứng loại 1 có nghiệm
Phương pháp giải chung:
· Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).
· Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và

2
4
S P
³

(*).
· Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P
theo m rồi từ điều kiện (*) tìm m.
Chú ý: Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm
chính xác điều kiện của u, v.
Dạng 3: Một số bài toán giải bằng cách đưa về hệ phương trình.
Phương pháp giải chung:
Chọn ẩn số phụ u và v thích hợp để đưa về hệ phương trình đối xứng.
CÁC BÀI TẬP MẪU:
Dạng 1 : Giải hệ phương trình:
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình
2 2
3 3
30
35
+ =
ì
í
+ =
î
x y xy
x y
.
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình
3 3

( ) 2
2
- = -
ì
í
- =
î
xy x y
x y
.
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình
2 2
2 2
1 1
4
1 1
4
ì
+ + + =
ï
ï
í
ï
+ + + =
ï
î
x y
x y
x y
x y

.
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình
2 2
2 8 2 (1)
4 (2)
ì
+ + =
ï
í
+ =
ï
î
x y xy
x y
.
Dụng ý:
Ø Củng cố về định nghĩa hệ phương trình đối xứng.
Ø Rèn luyện cho học sinh các kỹ năng giải hệ phương trình đối
xứng
Ø Rèn luyện kỹ năng dùng ẩn số phụ để đưa một hệ phương trình
về hệ phương trình đối xứng loại 1.
Ø Rèn luyện kỹ năng dùng các hằng đẳng thức quen thuộc để
biến đổi biểu thức đối xứng theo S = x+y và P = x.y



Dạng 2: Tìm điều kiện tham số để hệ đối xứng loại 1 có nghiệm
Phương pháp giải chung:
+ Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).
+ Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và

2
4
S P
³
(*).
+ Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P theo m rồi
từ điều kiện (*) tìm m.
Chú ý: Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm
chính xác điều kiện của u, v.
Bài tập :
Ví dụ 1 (trích đề thi ĐH khối D – 2004). Tìm điều kiện m để hệ phương trình
sau có nghiệm thực:
1
1 3
+ =
ì
í
+ = -
î
x y
x x y y m
.
Ví dụ 2. Tìm điều kiện m để hệ phương trình
2 2
3 9
+ + =
ì
í
+ = -
î

x y xy m
x y xy m
có nghiệm
thực.
Ví dụ 3. Tìm điều kiện m để hệ phương trình
4 1 4
3
- + - =
ì
í
+ =
î
x y
x y m
có nghiệm
thực.
Ví dụ 4. Tìm điều kiện m để hệ phương trình
2 2
4 4 10
( 4)( 4)
+ + + =
ì
í
+ + =
î
x y x y
xy x y m
có
nghiệm thực.
Ví dụ 5. Tìm điều kiện m để hệ phương trình

2 2
2
2(1 )
( ) 4
x y m
x y
+ = +
ì
í
+ =
î
có đúng hai
nghiệm thực.
Ví dụ 6. Tìm điều kiện m để hệ phương trình
2
2 1
( )
x y xy m
xy x y m m
+ + = +
ì
í
+ = +
î
có nghiệm
duy nhất.
Dụng ý :
Ø Củng cố về định nghĩa hệ phương trình đối xứng.
Ø Rèn luyện cho học sinh các kỹ năng tìm điều kiện của tham số
để hệ phương trình đối xứng có nghiệm, có hai nghiệm, có

nghiệm duy nhất.



Ø Rèn luyện kỹ năng dùng ẩn số phụ để đưa một hệ phương trình
về hệ phương trình đối xứng loại 1.
Ø Rèn luyện kỹ năng dùng các hằng đẳng thức quen thuộc để
biến đổi biểu thức đối xứng theo S = x+y và P = x.y

Dạng 3: Một số bài toán giải bằng cách đưa về hệ phương trình
Ví dụ. Giải phương trình:
3 3
3
1
2
+ - =
x x .
Dụng ý:
Ø Rèn luyện cho học sinh các kỹ năng đặt ẩn số phụ để đưa một
phương trình đại số vế hệ phương trình đối xứng, thông qua đó
để giải một số phương trình đại số phức tạp.
Hệ phương trình đối xứng loại 2:
Phương pháp giải chung:
· Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).
· Bước 2: Lấy (1) - (2) hoặc (2) - (1) ta được: (x-y)g(x,y)=0. Khi
đó ta được x-y=0 hoặc g(x,y)=0.
+ Trường hợp 1: x-y=0 kết hợp với phương trình (1) hoặc (2) suy ra được
nghiệm.
+ Trường hợp 2: g(x,y)=0 kết hợp với phương trình (1) + (2) suy ra nghiệm
(trong trường hợp này hệ phương trình mới trở về hệ đối xứng loại 1) và thông

thường vô nghiệm.

CÁC BÀI TẬP MẪU:
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình
(
)
( )
3
3
3 8 1
3 8 2
= +
ì
ï
í
= +
ï
î
x x y
y y x
(I)
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình
4
4
1 1
1 1
ì
+ - =
ï
í

+ - =
ï
î
x y
y x

Ví dụ 3: Cho hệ phương trình
2
2
= - +
ì
í
= - +
î
x y y m
y x x m
(I)
a. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm.
b. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.



Ví dụ 4: Giải phương trình:
3
3
1 2 2 1
+ = -
x x
.
II.BƯỚC SOẠN GIẢNG:

Ngày soạn: ……………
Ngày dạy: …………….
Tiêt PPCT : 28,29
Tên bài : HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG
( Chuyên đề tự chọn Toán 10 – Nâng cao)
A> Mục tiêu bài dạy:
1. Kiến thức : Hiểu và nhận biết được hệ phương trình đối xứng. Hệ
thống hóa được các hằng đẳng thức cơ bản thường dùng.
2. Kỹ năng : Biết cách giải các dạng bài tập của hệ phương trình đại số,
biết vận dụng các hằng đẳng thức liên quan để biến đổi đưa về biểu thức đối
xứng của S = x + y và P = x.y.
3. Tư duy : Rèn luyện tư duy so sánh, tư duy thuật toán, tương tự hoá và
tư duy logic.
B>Đồ dùng dạy học:
1.GV : Bảng tóm tắt các phương pháp giải toán theo từng dạng và phiếu
học tập phát cho học sinh kiểm tra ở phần củng cố cuối mỗi dạng toán.
2. HS : Bảng tóm tắt các hằng đẳng thức thường dùng của biểu thức đối
xứng.
C>Hoạt động dạy và học :
1.Kiểm tra bài cũ
Tiết 1( Tiết 34) 2 phút: Kiểm tra việc lập bảng tóm tắt các công thức
lượng giác ở nhà của học sinh.
Tiết 2(Tiết 35) 2 phút:
2. Hoạt động trên lớp :
Hoạt động của giáo giáo viên và học sinh

Nội dung ghi bảng

Tiết: 1( Tiết 28)
Hoạt động 1 (20 phút)

•GV giới thiêu hệ phương trình đối xứng
loại 1
Giáo viên phát phiếu học tập về bài tập

Dạng 1 :

Giải hệ phương trình



dạng 1 cho học sinh. Sau đó chia lớp thành
4 nhóm mỗi nhóm thực hiện theo sự phân
chia như sau:

Nhóm 1 Nhóm 2 Nhóm 3 Nhóm 4
VD1
VD3
VD2
VD4
VD1
VD3
VD2
VD4

Sau đó GV hướng dẫn học sinh biến đổi hệ
phương trình theo các biểu thức của S và P
vào 4 ví dụ của bài tập dạng 1.
GV cho đại diện mỗi nhóm phân tích đề bài
và nêu cách giải của từng ví dụ

Phương pháp:

· Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).
· Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều
kiện của S, P và
2
4
³
S P
.
· Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ
phương trình. Giải hệ tìm S, P rồi dùng hệ
thức Viét đảo tìm x, y.
Chú ý:
+ Cần nhớ: x
2
+ y
2
= S
2
– 2P,
x
3
+ y
3
= S
3
– 3SP.
+ Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ u = u(x), v =
v(x)

và S = u + v, P = uv.
+ Có những hệ phương trình trở thành đối
xứng loại 1 sau khi đặt ẩn phụ.


CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
* Đối với VD 1:
GV: Em hãy cho biết VD1 yêu cầu gì ?
Muốn giải bài toán này ta làm như thế nào?
( Cho đại diện nhóm 1 )
HS nhóm 1:
+VD1 yêu cầu giải phương trình
+Muốn giải phương trình thì ta phải
biến đổi từng phương trình của hệ qua biểu
thức S và P bằng cách đặt
.
S x y
P x y
= +
ì
í
=
î
và
giải hệ để tìm S,P rồi dùng Định lý Viet1
đảo tìm x, y
VD 1: Giải hệ phương trình
2 2
3 3
30

35
+ =
ì
í
+ =
î
x y xy
x y
.
Giải:

Đặt
S , P
x y xy
= + =
, điều kiện
2
4
S P
³
.
Hệ phương trình trở thành:
( )
2
2
SP 30

S(S 3P) 35
30
P

S
90
S S 35
S
=
ì
ï
ï
í
ï
- =
ï
î
ì
ï
=
ï
ï
ï
Û
í
ï
ï
- =
ï
ï
î

S 5
P 6
x y 5
xy 6
x 2 x 3
y 3 y 2
=
ì
ï
ï
Û
í
ï
=
ï
î
+ =
ì
ï
ï
Û
í
=
ï
ï
î
= =
ì ì
ï ï

ï ï
Û Ú
í í
= =
ï ï
ï ï
î î

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm
là:
(2;3) và (3;2)




* Đối với VD 2:
GV: Em hãy cho biết ví dụ 2 yêu cầu gì ?
Muốn giải bài toán này ta làm như thế nào?
( Cho đại diện nhóm 2 trả lời)
HS nhóm 2:
+VD2 yêu cầu giải hệ phương trình
3 3
( ) 2
2
- = -
ì
í
- =
î
xy x y

x y

+Muốn giải hệ phương trình thì ta đưa
về hệ đối xứng loại 1, bằng cách đặt :
t = - y. Từ đó biến đổi hệ phương trình trở
thành:
3 3
xt(x t) 2
x t 2
ì
+ =
ï
ï
í
ï
+ =
ï
î
. Đây là hệ đối xứng
loại 1 đã biết cách giải.


VD 2: Giải hệ phương trình
3 3
( ) 2
2
- = -
ì
í
- =

î
xy x y
x y
.
Giải:
Đặt
= -
ì
ï
= +
í
ï
=
î
t y
S x t
P xt
,
điều kiện
2
4
S P
³

Hệ phương trình trở thành:
3
3 3
SP 2
xt(x t) 2
S 3SP 2

x t 2
=
ì
+ =
ì
ï
ï
ï
ï
Û
í í
ï ï
- =
+ =
ï ï
î
î
S 2 x 1 x 1
t 1 y 1
P 1
= = =
ì
ì ì
ï
ï ï
ï ï ï
Û Û Û
í í í
= = -
ï ï ï

=
ï ï ï
î î
î

Vậy hệ phương trình có một nghiệm là
(1;-1)

* Đối với VD 3:
GV: Em hãy cho biết ví dụ 3 yêu cầu gì ?
Muốn giải bài toán này ta làm như thế nào?
VD3: Giải hệ phương trình



( Cho đại diện nhóm 3 trả lời)
HS nhóm 3:
+VD3 yêu cầu giải hệ phương trình
2 2
2 2
1 1
4
1 1
4
ì
+ + + =
ï
ï
í
ï

+ + + =
ï
î
x y
x y
x y
x y

+Muốn giải hệ phương trình thì ta đưa
về hệ đối xứng loại 1, bằng cách
xem
1
x
x
+
và
1
y
y
+
là hai ẩn số mới, đặt :


(
)
( )
2
1 1
S x y ,
x y

1 1
P x y ,
x y
S 4P
æ ö
÷
ç
= + + +
÷
ç
÷
è ø
æ ö
÷
ç
= + +
÷
ç
÷
è ø
³

Từ đó biến đổi hệ phương trình theo S, P.
Giải hệ tìm S,P
Þ
x, y.

2 2
2 2
1 1

4
1 1
4
ì
+ + + =
ï
ï
í
ï
+ + + =
ï
î
x y
x y
x y
x y
.
Giải:
Điều kiện
0, 0
x y
¹ ¹
.
Hệ phương trình tương đương với:
(
)
( )
2
2
1 1

x y 4
x y
1 1
x y 8
x y
ì æ ö
ï
÷
ç
+ + + =ï
÷
ç
÷
ï
è ø
ï
ï
í
ï
æ ö
ï
÷
ç
+ + + =
ï
÷
ç
÷
ï
è ø

ï
î

Đặt
(
)
( )
2
1 1
S x y ,
x y
1 1
P x y ,
x y
S 4P
æ ö
÷
ç
= + + +
÷
ç
÷
è ø
æ ö
÷
ç
= + +
÷
ç
÷

è ø
³

ta có:
( )
( )
2
S 4
S 4
P 4
S 2P 8
1 1
x y 4
x y
1 1
x y 4
x y
=
=
ì
ì
ï
ï
ï
ï
Û
í í
ï ï
=
- =

ï ï
î
î
ì æ ö
ï
÷
ç
+ + + =
ï
÷
ç
÷
ï
è ø
ï
ï
Û
í
ï
æ ö
ï
÷
ç
+ + =
ï
÷
ç
÷
ï è ø
ï

î
1
x 2
x 1
x
1
y 1
y 2
y
ì
ï
+ =
ï
=
ì
ï
ï
ï ï
Û Û
í í
=
ï ï
ï ï
î
+ =
ï
ï
î
.
Vậy nghiệm của hệ phương trình là : (1 ; 1)

Đối với VD 4:
GV: Ví dụ này yêu cầu mức độ khó hơn 3
ví dụ đầu. Ở phương trình (2) của hệ có
chứa
x
và
y
tuy nhiên khi bình phương
VD 4: Giải hệ phương trình
2 2
2 8 2 (1)
4 (2)
x y xy
x y
ì
+ + =
ï
í
+ =
ï
î
.
Giải:



hai vế lại xuất hiện
xy
, do đó nếu đặt
t =

xy
.Em hãy biến đổi
2 2
x y và x y
+ +

theo t? Muốn giải bài toán này ta làm như
thế nào?
( Cho đại diện nhóm 4 trả lời)
HS nhóm 4:
+ Đặt
0
t xy
= ³
, ta có:
2
xy t
=
.
+ Từ
(2) x y 16 2t
Þ + = -
.
+
2 2
x y
+
=
2
t 32t 128

- +

+ Đến bước bài toán đã đơn giản và đã biết

GV cho các nhóm thảo luận.Sau đó nhóm 1
và nhóm 3 kiểm tra chéo lẫn nhau; nhóm 2
và nhóm 4 kiểm tra chéo lẫn nhau. Mỗi
nhóm cử một người lên bảng trình bày sau
đó cho cả lớp nhận xét. Cuối cùng giáo
viên nhận xét đánh giá.

Điều kiện
, 0
x y
³
.
Đặt
0
t xy
= ³
, ta có:
·
2
xy t
=
và
(2) x y 16 2t
Þ + = -
.

·
2 2
x y
+
=
2
t 32t 128
- +
· Thế vào (1), ta được:

2
t 32t 128 8 t
- + = -
(
0
³
t
)
2 2
8 t 0
t 0
t 32t 128 64 16t t
0 t 8
t 4
t 4
ì
ï
- ³
ï
ï

ï
ï
Û ³
í
ï
ï
ï
- + = - +
ï
ï
î
£ £
ì
ï
ï
Û
í
=
ï
ï
î
Û =

Suy ra:
xy 16 x 4
x y 8 y 4
= =
ì ì
ï ï
ï ï

Û
í í
+ = =
ï ï
ï ï
î î
.
Vậy nghiệm của hệ phương trình là : (4 ; 4)

Ho
ạt động 2 ( 20 phút)
: GV phát phiếu bài
tập dạng 2 cho HS.
GV : Hãy nêu điều kiện để hệ phương trình
đối xứng loại 1 có nghiệm ?
HS : Hệ phương trình đối xứng loại 1 có
nghiệm khi và chỉ khi
2
4
S P
³
.
GV chia lớp thành 4 nhóm:
* Nhóm I và II giải 2 Ví dụ 1, 3, 5.
* Nhóm III và IV giải 2 Ví dụ 2, 4, 6.
Sau đó hoán vị cho mỗi nhóm cùng làm
bài tập giống nhau nhận xét rồi cho cả lớp
cùng nhận xét và GV đánh giá. Cuối cùng
GV treo phiếu trả lời và chỉnh sửa cho học
sinh những sai lầm.

Sơ đồ nhóm như sau:
Bảng đen
D
ạng 2
: Tìm điều kiện tham số để hệ đối
xứng loại 1có nghiệm
Phương pháp giải chung:
+ Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).
+ Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều
kiện của S, P và
2
4
S P
³
(*).
+ Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương
trình. Giải hệ tìm S, P theo m rồi từ điều
kiện (*) tìm m.
Chú ý: Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x)
và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm chính xác
điều kiện của u, v.







Nhóm I Nhóm II
Nhóm III Nhóm IV

CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Phiếu trả lời 2.1
Điều kiện
, 0
x y
³
ta có:
3 3
x y 1

x x y y 1 3m
x y 1
( x) ( y) 1 3m
+ =
ì
ï
ï
í
+ = -ï
ï
î
+ =
ì
ï
ï
Û
í
ï

+ = -
ï
î

Đặt
S x y 0, P xy 0
= + ³ = ³
,
2
S 4P.
³

Hệ phương trình trở thành:
3
S 1
S 1
P m
S 3SP 1 3m
=
=
ì
ì
ï
ï
ï
ï
Û
í í
ï ï
=

- = -
ï ï
î
î
.
Từ điều kiện
2
S 0, P 0,S 4P
³ ³ ³
ta có
1
0 m
4
£ £
.


VD1: (trích đề thi ĐH khối D – 2004).
Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có
nghiệm thực:
1
1 3
+ =
ì
í
+ = -
î
x y
x x y y m

Giải:
Điều kiện
, 0
x y
³
ta có:
3 3
x y 1

x x y y 1 3m
x y 1
( x) ( y) 1 3m
+ =
ì
ï
ï
í
+ = -ï
ï
î
+ =
ì
ï
ï
Û
í
ï
+ = -
ï
î

Đặt
S x y 0, P xy 0
= + ³ = ³
,
2
S 4P.
³

Hệ phương trình trở thành:
3
S 1
S 1
P m
S 3SP 1 3m
=
=
ì
ì
ï
ï
ï
ï
Û
í í
ï ï
=
- = -
ï ï
î

î
.
Từ điều kiện
2
S 0, P 0,S 4P
³ ³ ³
ta có
1
0 m
4
£ £
.
Phiếu trả lời 2.2
2 2
x y xy m

x y xy 3m 9
(x y) xy m
xy(x y) 3m 9
+ + =
ì
ï
ï
í
ï
+ = -
ï
î
ì + + =
ï

ï
Û
í
ï
+ = -
ï
î
.
Đặt S = x + y, P = xy,
2
S 4P.
³
Hệ phương
trình trở thành:
S P m
SP 3m 9
+ =
ì
ï
ï
í
ï
= -
ï
î
.
Suy ra S và P là nghiệm của phương trình
2
t mt 3m 9 0
- + - =

VD2: Tìm điều kiện m để hệ phương trình
2 2
3 9
+ + =
ì
í
+ = -
î
x y xy m
x y xy m
có nghiệm thực.
Giải:
2 2
x y xy m

x y xy 3m 9
(x y) xy m
xy(x y) 3m 9
+ + =
ì
ï
ï
í
ï
+ = -
ï
î
ì + + =
ï

ï
Û
í
ï
+ = -
ï
î
.
Đặt S = x + y, P = xy,
2
S 4P.
³

Hệ phương trình trở thành:



S 3 S m 3
P m 3 P 3
= = -
ì ì
ï ï
ï ï
Þ Ú
í í
ï ï
= - =
ï ï
î î
.

Từ điều kiện ta suy ra hệ có nghiệm
2
2
3 4(m 3)
(m 3) 12
21
m m 3 2 3
4
é
³ -
ê
Û
ê
- ³
ê
ë
Û £ Ú ³ +
.

S P m
SP 3m 9
+ =
ì
ï
ï
í
ï
= -
ï
î

.
Suy ra S và P là nghiệm của phương trình
2
t mt 3m 9 0
- + - =

S 3 S m 3
P m 3 P 3
= = -
ì ì
ï ï
ï ï
Þ Ú
í í
ï ï
= - =
ï ï
î î
.
Từ điều kiện ta suy ra hệ có nghiệm
2
2
3 4(m 3)
(m 3) 12
21
m m 3 2 3
4
é
³ -
ê

Û
ê
- ³
ê
ë
Û £ Ú ³ +

Phiếu trả lời 2.3

Đặt
u x 4 0, v y 1 0
= - ³ = - ³

hệ trở thành:
2 2
u v 4
u v 4
21 3m
u v 3m 5
uv
2
+ =
ì
ï
+ =
ì
ï
ï
ï
ï

Û
í í
-
ï ï
+ = -
=
ï ï
î
ï
î
.
Suy ra u, v là nghiệm (không âm) của
2
21 3m
t 4t 0
2
-
- + =
(*).
Hệ có nghiệm
Û
(*) có 2 nghiệm không
âm.

/
0
S 0
P 0
3m 13
0

2
21 3m
0
2
13
m 7
3
ì
ï
D ³
ï
ï
ï
ï
Û ³
í
ï
ï
ï
³
ï
ï
î
-
ì
ï
³
ï
ï
ï

Û
í
-ï
ï
³
ï
ï
î
Û £ £
.

VD3: Tìm điều kiện m để hệ phương trình
4 1 4
3
- + - =
ì
í
+ =
î
x y
x y m
có nghiệm.
Giải:
Đặt
u x 4 0, v y 1 0
= - ³ = - ³

Hệ phương trình trở thành:
2 2
u v 4

u v 4
21 3m
u v 3m 5
uv
2
+ =
ì
ï
+ =
ì
ï
ï
ï
ï
Û
í í
-
ï ï
+ = -
=
ï ï
î
ï
î
.
Suy ra u, v là nghiệm (không âm) của
2
21 3m
t 4t 0
2

-
- + =
(*).
Hệ có nghiệm
Û
(*) có 2 nghiệm không
âm.




/
0
S 0
P 0
3m 13
0
2
21 3m
0
2
13
m 7
3
ì
ï
D ³
ï
ï
ï

ï
Û ³
í
ï
ï
ï
³
ï
ï
î
-
ì
ï
³
ï
ï
ï
Û
í
-ï
ï
³
ï
ï
î
Û £ £
.
Phiếu trả lời 2.4

2 2

2 2
2 2
x y 4x 4y 10

xy(x 4)(y 4) m
(x 4x 4) (y 4y 4) 18
(x 4x)(y 4y) m
ì
+ + + =
ï
ï
í
ï
+ + =
ï
î
ì
+ + + + + =
ï
ï
Û
í
ï
+ + =
ï
î
.
Đặt
2 2
u (x 2) 0,v (y 2) 0

= + ³ = + ³
.
Suy ra
2
x 4x u 4
+ = -
;
2
y 4y v 4
+ = -

Hệ phương trình trở thành:
u v 18
S 18
P m 56
uv 4(u v) m 16
+ =
=
ì
ì
ï
ï
ï ï
Û
í í
ï ï
= +
- + = -
ï ï
î

î

(S = u + v, P = uv).
Điều kiện
2
S 4P
S 0 56 m 25
P 0
ì
ï
³
ï
ï
ï
ï
³ Û - £ £
í
ï
ï
ï
³
ï
ï
î


VD4
: Tìm điều kiện m để hệ phương trình
2 2
4 4 10

( 4)( 4)
+ + + =
ì
í
+ + =
î
x y x y
xy x y m
có nghiệm thực.
Giải:
2 2
2 2
2 2
x y 4x 4y 10

xy(x 4)(y 4) m
(x 4x 4) (y 4y 4) 18
(x 4x)(y 4y) m
ì
+ + + =
ï
ï
í
ï
+ + =
ï
î
ì
+ + + + + =
ï

ï
Û
í
ï
+ + =
ï
î
.
Đặt
2 2
u (x 2) 0, v (y 2) 0
= + ³ = + ³
.
Suy ra
2
x 4x u 4
+ = -
;
2
y 4y v 4
+ = -

Hệ phương trình trở thành:
u v 18
S 18
P m 56
uv 4(u v) m 16
+ =
=
ì

ì
ï
ï
ï ï
Û
í í
ï ï
= +
- + = -
ï ï
î
î
(S = u + v, P = uv).
Hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:
2
S 4P
324 4m 224
S 0 18 0
m 56 0
P 0
56 m 25
ì
ì
ï
ï
³
³ +
ï
ï
ï

ï
ï
ï
ï ï
³ Û ³
í í
ï ï
ï ï
ï ï
+ ³
³
ï ï
ï
ï
î
î
Û - £ £

Vậy:
56 m 25
- £ £








Phiếu trả lời 2.5

2 2 2
2 2
2(1 ) ( ) 2 2(1 )
( ) 4 ( ) 4
x y m x y xy m
x y x y
+ = + + - = +
ì ì
Û
í í
+ = + =
î î

Đặt
S x y,P xy
= + =
, với
2
S 4P.
³

Hệ phương trình trở thành:
2
2
S 2P 2(1 m) S 2
P 1 m
S 4
ì
- = + = ±
ì

ï
ï
ï
ï
Û
í í
ï ï
= -
=
ï ï
î
î
.
Hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:
2
S 4P 4 4(1 m) 0 m 0
³ Û - - ³ Û ³

Suy ra x, y là hai nghiệm của phương trình:
·
2
t 2t 1 m 0
- + - =
có biệt số
'
1
m
D =

·

2
t 2t 1 m 0
+ + - =
có biệt số
'
2
m
D =

Nếu
m > 0
thì
'
1,2
0
D >
nên cả 2 phương
trình có 4 nghiệm do đó hệ phương trình có
4 nghiệm.
Vậy để hệ phương trình có đúng hai
nghiệm thì
m 0
=
, khi đó
t x y 1; t x y 1
= = = = = = -

Vậy
m 0
=

thì hệ phương trình có đúng hai
nghiệm.
Ví d
ụ 5.
Tìm điều kiện m để hệ phương
trình
2 2
2
2(1 )
( ) 4
x y m
x y
+ = +
ì
í
+ =
î
có đúng hai
nghiệm thực.
Giải:
2 2 2
2 2
2(1 ) ( ) 2 2(1 )
( ) 4 ( ) 4
x y m x y xy m
x y x y
+ = + + - = +
ì ì
Û
í í

+ = + =
î î

Đặt
S x y,P xy
= + =
, với
2
S 4P.
³

Hệ phương trình trở thành:
2
2
S 2P 2(1 m) S 2
P 1 m
S 4
ì
- = + = ±
ì
ï
ï
ï
ï
Û
í í
ï ï
= -
=
ï ï

î
î
.
Hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:
2
S 4P 4 4(1 m) 0 m 0
³ Û - - ³ Û ³

Suy ra x, y là hai nghiệm của phương trình:
·
2
t 2t 1 m 0
- + - =
(1)
·
2
t 2t 1 m 0
+ + - =
(2)
Phương trình (1) có biệt số
'
1
m
D =

Phương trình (1) có biệt số
'
2
m
D =

Vì cả hai phương trình (1) và (2) đều có
'
m
D =
nên cả 2 phương trình có 4 nghiệm
khác nhau là
1,2 1,2
t 1 m;t 1 m khi m > 0
= ± = - ± , do
đó hệ phương trình có 4 nghiệm.
Nên để hệ phương trình có đúng hai nghiệm
thì
m 0
=
, khi đó
t x y 1; t x y 1
= = = = = = -

Vậy
m 0
=
là giá trị cần tìm.




Phiếu trả lời 2.6
Đặt
S x y,P xy

= + =
, với
2
S 4P.
³

Hệ phương trình trở thành:
2
S P 2m 1

S.P m m
+ = +
ì
ï
ï
í
ï
= +
ï
î

Suy ra S ; P là hai nghiệm của phương
trình :
2 2
t (2m 1)t m m 0
- + + + =
(*)
Hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
phương trình (*) có nghiệm hay :
0

D ³

Mà
2 2
(2m 1) 4(m m) 1 0
D = + - + = >

Nên phương trình có nghiệm với mọi giá trị
của m.
S m S m 1
(*)
P m 1 P m
x m
x m 1

y m 1 y m
= = +
ì ì
ï ï
ï ï
Û Ú
í í
ï ï
= + =
ï ï
î î
=
= +
ì ì
ï ï

ï ï
Û Ú
í í
= + =
ï ï
ï ï
î î

Vậy để hệ có nghiệm duy nhất thì
0 0
=
x y
m 1
Û =

Ví d
ụ 6.
Tìm điều kiện m để hệ phương
trình
2
2 1
( )
x y xy m
xy x y m m
+ + = +
ì
í
+ = +
î
có nghiệm duy

nhất.
Giải:
Đặt
S x y,P xy
= + =
, với
2
S 4P.
³

Hệ phương trình trở thành:
(
(
)
2
S P 2m 1
S m m 1

P m. m 1
S.P m m
S m S m 1
P m 1 P m
x m
x m 1
y m 1 y m
+ = +
= + +
ì
ì
ï

ï
ï
ï
Û
í í
ï ï
= +
= +
ï ï
î
î
= = +
ì ì
ï ï
ï ï
Û Ú
í í
ï ï
= + =
ï ï
î î
=
= +
ì ì
ï ï
ï ï
Û Ú
í í
= + =
ï ï

ï ï
î î

Từ đó suy ra hệ phương trình có nghiệm
với mọi giá trị của m
Do tính đối xứng nếu
(
)
0 0
;
x y
là nghiệm của
hệ thì
(
)
0 0
;
y x
cũng là nghiệm tương ứng.
Vậy để hệ có nghiệm duy nhất thì
0 0
=
x y
m 1
Û =

Vậy
m 1
=
là giá trị cần tìm.

Tiết 2( Tiết 29)
Hoạt động 3 ( 10 phút) : GV giới thiệu bài
tập về một số bài toán đưa về hệ phương
trình, bằng cách chọn u và v thích hợp để
đưa về hệ phương trình đối xứng.

D
ạng 3
:
Một số bài toán giải bằng cách đưa về hệ
phương trình
1) Phương pháp:
Chọn u và v thích hợp để đưa về hệ phương
trình đối xứng.
CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
GV :
Phương trình đã cho có chứa căn bậc
ba. Các biểu thức trong hai căn bậc ba ấy
có tổng là một hằng số. Nếu đặt
3
u x
=
và
3
v 1 x
= -
em hãy cho biết điều kiện của u
và v. Đồng thời theo cách đặt đó ta suy ra
VD1: Giải phương trình:
3 3

3
1
2
+ - =
x x .
Đặt:
3
3
x u
1 x v
ì
=
ï
í
- =
ï
î
.



c h phng trỡnh nh th no ?
HS : Da vo bi toỏn ta thy :
ã Ta cú tng ca hai biu thc trong
cn bc ba l x + 1 x = 1.
ã Nu t
3
u x
=
v

3
v 1 x
= -
thỡ u
v v l hai s thc no ú.
ã Ta cú :
+
3
u
= x v
3
v
= 1 x.
+ Ta cú h:
3 3
3
u v
2
u v 1
ỡ
+ =
ù
ớ
ù
+ =
ợ
vi
,
u v
ẻ

Ă

+ õy l h phng trỡnh i xng ó
bit cỏch gii.


Ta cú h:
3 3
3
u v
2
u v 1
ỡ
+ =
ù
ớ
ù
+ =
ợ

2
3
u v
2
(u v) (u v) 3uv 1
ỡ
+ =
ù
ớ
ù

+ + - =
ộ ự
ở ỷ
ợ


3
u+v =
2
19
u.v =
36
ỡ
ù
ù
ớ
ù
ù
ợ

Suy ra u, v l hai nghim ca phng trỡnh:
2
3 19
X - X + = 0
2 36

ị
9+ 5
u =
12

9 - 5
u =
12
ộ
ờ
ờ
ờ
ờ
ở
ị
3
3
9 + 5
x =
12
9 - 5
x =
12
ộ
ổ ử
ờ
ỗ ữ
ờ
ố ứ
ờ
ổ ử
ờ
ỗ ữ
ờ
ố ứ

ở

Vy phng trỡnh cú tp nghim l:
S =
3 3
9 5 9 5
;
12 12
ỡ ỹ
ổ ử ổ ử
+ -
ù ù
ỗ ữ ỗ ữ
ớ ý
ố ứ ố ứ
ù ù
ợ ỵ
.
Ho
t ng 4 ( 30 phỳt)
:
ã GV gii thiờu h phng trỡnh i xng
loi 2
ã Giỏo viờn phỏt phiu hc tp v bi tp
dng 1 cho hc sinh. Sau ú chia lp thnh
4 nhúm mi nhúm thc hin theo s phõn
chia nh sau:
Nhúm 1 Nhúm 2 Nhúm 3 Nhúm 4
VD1 VD2 VD3 VD4
Sau ú GV hng dn hc sinh bin i h

phng trỡnh ó cho tng ng vi hai
h phng trỡnh theo hai trng hp
+ Trng hp 1: x-y=0 kt hp vi
phng trỡnh (1) hoc (2) suy ra c
H phng trỡnh i xng loi 2
1. Phng phỏp:
ã Bc 1: t iu kin (nu cú).
ã Bc 2: Ly (1) - (2) hoc (2) - (1) ta
c: (x-y)g(x,y)=0. Khi ú ta c x-y=0
hoc g(x,y)=0.
+ Trng hp 1: x-y=0 kt hp vi
phng trỡnh (1) hoc (2) suy ra c
nghim.
+ Trng hp 2: g(x,y)=0 kt hp vi
phng trỡnh (1) + (2) suy ra nghim (trong
trng hp ny h phng trỡnh mi tr v
h i xng loi 1) v thụng thng vụ
nghim.



nghiệm.
+ Trường hợp 2: g(x,y)=0 kết hợp với
phương trình (1) + (2) suy ra nghiệm (trong
trường hợp này hệ phương trình mới trở về
hệ đối xứng loại 1) và thông thường vô
nghiệm.
· GV cho đại diện mỗi nhóm phân tích đề
bài và nêu cách giải của từng ví dụ

CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
GV
: Gọi 1 học sinh đại diện nhóm 1 đứng
tại chỗ và hỏi: Em hãy cho biết nội dung
VD1 yêu cầu gì ? Để giải quyết bài toán
này ta làm như thế nào ?
Học sinh đại diện nhóm 1:
· Đây là hệ phương trình đối xứng loại 2,
vì khi ta thay đổi vai trò của x bởi y và y
bởi x thì phương trình (1) của hệ biến thành
phương trình (2), đồng thời phương trình
(2) biến thành phương trình (1).
· Để giải hệ này ta làm như sau:
+ Lấy (1) - (2) ta được:
2 2
2 2
(x - y)(x + xy + y + 5) = 0
x - y = 0
x + xy + y + 5 = 0
é
Û

ê
ë

+ Xết hai trường hợp:
TH1: Khi x = y
TH2:
2 2
x + xy + y + 5 = 0

+ Biến đổi thu gọn được kết quả .
GV cho nhóm 1 thảo luận và giải VD1,
sau đó gọi 1 học sinh đại diện nhóm lên
bảng giải sau đó cho cả lớp nhận xét. GV
đánh giá lời giải và sửa chữa những sai
lầm ( nếu có)
VD1:Giải hệ phương trình
(
)
( )
3
3
3 8 1
3 8 2
= +
ì
ï
í
= +
ï
î

x x y
y y x
(I)
GIẢI
· Lấy (1) - (2) ta được:
2 2
2 2
(x - y)(x + xy + y + 5) = 0
x - y = 0
x + xy + y + 5 = 0
é
Û
ê
ë

Trường hợp 1:
3
x = 3x + 8y
(I)
x = y
ì
Û
í
î


3
x = 0
x - 11x = 0
x = ± 11

x = y
x = y
ì
é
ì
ï
ê
Û Û
í í
ë
î
ï
î
.
Trường hợp 2: (I)
( )
2 2
3 3
x +xy+y +5=0
x +y =11 x+y
ì
ï
Û
í
ï
î
(hệ
này vô nghiệm)
Vậy hệ phương trình đã cho có tập
nghiệm:

{
}
S= (0,0); ( 11, 11); (- 11,- 11)

GV
: Gọi 1 học sinh đại diện
nhóm 2
đứng
Ví d
ụ 2:
Giải hệ phương trình



tại chỗ và hỏi: Em hãy cho biết nội dung
VD2 yêu cầu gì ? Để giải quyết bài toán
này ta làm như thế nào ?
Học sinh đại diện nhóm 2:
· Đây là hệ phương trình đối xứng loại 2,
vì khi ta thay đổi vai trò của x bởi y và y
bởi x thì phương trình (1) của hệ biến thành
phương trình (2), đồng thời phương trình
(2) biến thành phương trình (1).
· Để giải hệ này ta làm như sau:
+ Đặt ĐK để phương trình có nghĩa.
+Dùng phương pháp đặt ẩn số phụ bằng
cách Đặt:
4
4
x - 1 = u 0; y - 1 = v 0

³ ³

+ Biến đổi thu gọn được kết quả .
GV cho nhóm 2 thảo luận và giải VD2,
sau đó gọi 1 học sinh đại diện nhóm lên
bảng giải sau đó cho cả lớp nhận xét. GV
đánh giá lời giải và sửa chữa những sai
lầm ( nếu có)

4
4
1 1
1 1
ì
+ - =
ï
í
+ - =
ï
î
x y
y x

GIẢI
Đặt:
4
4
x - 1
y - 1
u

v
ì
=
ï
í
=
ï
î
với u≥ 0 và v ≥ 0
Hệ phương trình trở thành

4 4
4 4
u + 1 + v = 1 u + v = 0
v + 1 + u = 1 v + u = 0
ì ì
Û
í í
î î

u = 0
v = 0
ì
Û
í
î
(Do u, v ≥ 0)
x = 1
y = 1
ì

Þ
í
î
.
Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm
là: ( 1; 1)

GV
: Gọi 1 học sinh đại diện
nhóm 3
đứng
tại chỗ và hỏi: Em hãy cho biết nội dung
VD3 yêu cầu gì ? Để giải quyết bài toán
này ta làm như thế nào ?
Học sinh đại diện nhóm 3:
· Đây là hệ phương trình đối xứng loại 2,
vì khi ta thay đổi vai trò của x bởi y và y
bởi x thì phương trình (1) của hệ biến thành
phương trình (2), đồng thời phương trình
(2) biến thành phương trình (1).
· Bài toán yêu cầu là tìm m để hệ phương
trình có nghiệm, có nghiệm duy nhất.
· Để giải bài toán này ta làm như sau:
+ Lấy (1) – (2) về theo vế để đưa hệ đã
cho tương đương với hai hệ phương trình
mới.
VD 3:
Cho hệ phương trình
2
2

= - +
ì
í
= - +
î
x y y m
y x x m
(I)
a. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm.
b. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm
duy nhất.
Giải:



+ Dùng phương pháp thế để đưa về :

2 2
x = y x = - y
x - 2x + m = 0 y + m = 0
ì ì
Ú
í í
î î

+ Hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ
khi có ít nhất một trong hai phương trình :
2
x - 2x + m = 0
và

2
y + m = 0
có nghiệm.
+ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi
và chỉ khi phương trình :
2
x - 2x + m = 0

có nghiệm kép và
2
y + m = 0
vô nghiệm
hoặc phương trình :
2
x - 2x + m = 0
vô
nghiệm và
2
y + m = 0
có nghiệm kép.
GV cho nhóm 3 thảo luận và giải VD3,
sau đó gọi 1 học sinh đại diện nhóm lên
bảng giải sau đó cho cả lớp nhận xét. GV
đánh giá lời giải và sửa chữa những sai
lầm ( nếu có)

2 2
2
2
2 2

2 2
x - y = y - y - x + x
(I)
x = y - y + m
x = ± y

x = y - y + m
x = y x = y
x = y - y + m x - 2x + m = 0

x = - y x = - y
x = y - y + m y + m = 0
ì
ï
Û
í
ï
î
ì
Û
í
î
é é
ì ì
í íê ê
î î
ê ê
Û Û
ê ê
ì ì

ê ê
í í
ê ê
î î
ë ë

a) Hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ
khi:
'
x
'
y
Δ 0
1 - m 0
- m 0
Δ 0
m 1
m 1
m 0
³
é
³
é
Û
ê
ê
³
³
ë
ë

£
é
Û Û £
ê
£
ë

Vậy m
£
1 thì hệ phương trình có nghiệm.
b) Hệ phương trình có nghi
ệm duy nhất
'
x
'
y
'
x
'
y
Δ = 0
Δ < 0

Δ < 0
Δ = 0
é
ì
ï
ê
í

ï
ê
î
Û
ê
ì
ï
ê
í
ê
ï
î
ë
Û
1 - m = 0
- m < 0
1 - m < 0
- m = 0
é
ì
í
ê
î
ê
ê
ì
ê
í
ê
î

ë

Û m = 1.
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.
GV
: Gọi 1 học sinh đại diện
nhóm 4
đứng
tại chỗ và hỏi: Em hãy cho biết nội dung
VD4 yêu cầu gì ? Để giải quyết bài toán
này ta làm như thế nào ?
Học sinh đại diện nhóm 4:
· Đây là phương trình vô tỉ .Để giải
phương trình này ta làm như sau:
+ Dùng phương pháp đặt ẩn số phụ bằng
cách Đặt
3
2x - 1 = t
Þ 2x - 1 = t
3
.
Þ t
3
+1 = 2x
Ví d
ụ 4:

Giải phương trình sau:

3

3
1 2 2 1
+ = -
x x
.
Giải:
Đặt
3
2x - 1 = t
Þ 2x - 1 = t
3
.
Ta có hệ phương trình:

3
3
x + 1 = 2t
t + 1 = 2x
ì
í
î

Û
3
2 2
x + 1 = 2t
(x - t)(x + xt + t + 1) = 0
ì
í
î

+

Biến đổi thu gọn được kết quả .
GV cho nhóm 4 thảo luận và giải VD4,
sau đó gọi 1 học sinh đại diện nhóm lên
bảng giải sau đó cho cả lớp nhận xét. GV
đánh giá lời giải và sửa chữa những sai
lầm ( nếu có)
Û
3
x - 2x + 1 = 0
x = t
ì
í
î

Û
2
(x - 1)(x + x - 1) = 0
x = t
ì
í
î

Þ
x = 1
- 1 ± 5
x =
2
é
ê
ê
ê
ë

Vậy phương trình có 3 nghiệm là:
1;
- 1 ± 5
2
.

3. Củng cố và dặn dò: ( 5 phút/ 1 tiết ) :
Tiết 28:
v Củng cố từng phần qua mỗi dạng toán.
v Nắm vững phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại 1.
v Nắm vững phương pháp tìm giá trị của tham số để hệ phương trình có
nghiệm.
Tiết 29:
v Củng cố từng phần qua mỗi dạng toán.
v Nắm vững phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại 1.
v Nắm vững phương pháp tìm giá trị của tham số để hệ phương trình có
nghiệm.
v Xem laị 3 dạng toán vừa học và các ví dụ đã làm.
v Bài tập về nhà:( Làm các bài trong phiếu bài tập đề nghị)

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 1 :
I. Giải các hệ phương trình sau:
1)
3 3
5 5 2 2
1+ =
ì
í
+ = +
î
x y
x y x y
2)
2 2
4 2 2 4
5
13
+ =
ì
í
- + =
î
x y
x x y y

3)
30
35
ì
+ =

ï
í
+ =
ï
î
x y y x
x x y y
4)
2 2
18
( 1)( 1) 72
+ + + =
ì
í
+ + =
î
x x y y
xy x y




5)
2 2
2 2
1
( )(1 ) 5
1
( )(1 ) 49
ì

+ + =
ï
ï
í
ï
+ + =
ï
î
x y
xy
x y
x y
6)
( )( )
2 2 3 3
4
280
+ =
ì
ï
í
+ + =
ï
î
x y
x y x y

7)
6 6
3 3

1
3 3
+ =
ì
í
- = -
î
x y
x x y y
8)
4 4
6 6
1
1
+ =
ì
í
+ =
î
x y
x y

II. Gải hệ phương trình có tham số:
1. Giải và biện luận:
a)
2 2 2
4
+ =
ì
í

+ =
î
x y
x y m
b)
4 4 4
+ =
ì
í
+ =
î
x y m
x y m
c)
1
2 5
2
2
2
ì
+ + =
ï
-
ï
í
+
ï
=
ï
-

î
x y
x y
x y
m
x y

2. Tìm giá trị của m:
a)
(
)
5 4 4
1
+ - =
ì
í
+ - = -
î
x y xy
x y xy m
có nghiệm.
b)
2 2
2
1
+ + = +
ì
í
+ = +
î

x y xy m
x y xy m
có nghiệm duy nhất.
c)
( )
( )
2
2 2
4
2 1
ì
+ =
ï
í
+ = +
ï
î
x y
x y m
có đúng hai nghiệm.
3.
2 2
+ + =
ì
í
+ =
î
x xy y m
x y m

a. Giải hệ phương trình khi m = 5.
b. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm.
4.
2 2
3 8
+ + =
ì
í
+ = -
î
x xy y m
x y xy m

a Giải hệ phương trình khi m = 7/2.
b. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm.
5.
2 2
1
+ + = +
ì
í
+ =
î
x xy y m
x y xy m

a. Giải hệ phương trình khi m=2.

b. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x;y) với x >0, y
>0.

III. Giải phương trình bằng cách đưa về hệ phương trình:
1. Giải phương trình:
4 4
1 18 3
- + - =
x x .
2. Tìm m để mỗi phương trình sau có nghiệm:
a. 1 1
- + + =
x x m
b.
- + + =
m x m x m
c.
3 3
1 1
- + + =
x x m


BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 2 :

1.Giải các hệ phương trình sau:
a.
1 3
2
1 3

2
ì
+ =
ï
ï
í
ï
+ =
ï
î
x
y x
y
x y
b.
2
2
3
2
3
2
ì
+ =
ï
ï
í
ï
+ =
ï
î

x y
x
y x
y
c.
3
3
1 2
1 2
+ =
ì
í
+ =
î
x y
y x

d.
9 9
9 9
ì
+ + =
ï
í
+ + =
ï
î
x y
y x
e.

2 2
2 2
ì
+ - =
ï
í
+ - =
ï
î
x y
y x
g.
5 2 7
5 2 7
ì
+ + - =
ï
í
+ + - =
ï
î
x y
y x

2. Cho hệ phương trình
2
2
( ) 2
( ) 2
- + =

ì
í
- + =
î
x x y m
y x y m
.
a. Giải hệ với m = 0.
b. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.
3. Tìm m để hệ:
3 2 2
3 2 2
7
7
= + -
ì
í
= + -
î
x y x mx
y x y my
có nghiệm duy nhất.
4. Giải các phương trình:
a.
2
5 5
+ + =
x x .
b.
3

3
3 3 2 2
- + =
x x .




D> ĐÁNH GIÁ HIỆU QUẢ:

Quá trình chuẩn bị một tiết dạy khoa học , khéo léo và chu đáo thì tiết
học sinh động, học sinh sẽ nắm chắc được nội dung bài học, hiểu và vận dụng
được kiến thức vào việc giải bài tập, Qua tiết dạy tôi đã kiểm tra để đánh giá
từng lớp học sinh như sau:

LỚP 10 T( Năm học 2008- 2009) và Lớp 10T2(Năm học 2009- 2010)

Đề kiểm tra 15 phút :

Cho hệ phương trình:
2 2
+ + =
ì
í
+ =
î
x xy y m
x y m

1. Giải hệ phương trình khi m = 5.

2. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm.

Kết quả:

Lớp Số lượng
Điểm xếp theo loại
Giỏi Khá Trung
bình
Yếu Kém
10T 47 14 20 10 3 0
10T2 38 9 18 8 3 0

Nhận xét:
Lớp 10T( Năm học 2008- 2009)
· Đa số học sinh làm được bài.
· Có 13 học sinh làm câu b) chưa hoàn chỉnh, cụ thể chưa tìm được
S và P trong trường hợp tổng quát nên không sử dụng được điều
kiện có nghiệm của hệ.
· Có ba học sinh do biến đổi sai nên có kết quả thấp.

Lớp 10T2( Năm học 2009- 2010)
· Đa số học sinh làm được bài.