BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH 2

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
----------------

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN
MƠN GIẢI TÍCH 2
ĐỀ TÀI 03
ĐẠO HÀM CẤP CAO, PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE
VÀ ỨNG DỤNG

GVHD: Cơ Bùi Thị Khun
Cơ Nguyễn Ngọc Quỳnh Như

Lớp: L33
Nhóm thực hiện: Nhóm 3
Họ và tên
Nguyễn Hồng Thái Duy
Đinh Nhật Duy
Nguyễn Thị Quỳnh Giang
Lê Phúc Hậu
Lê Trung Hiếu

MSSV
2113018
2112996
2113257
2113324
2111185

1

Tp. Hồ Chí Minh, tháng 5 năm 2022

LỜI MỞ ĐẦU
Trước tiên với tình cảm sâu sắc và chân thành nhất, cho phép chúng em được
bày tỏ lòng biết ơn đến tất cả các cá nhân và tổ chức đã tạo điều kiện hỗ trợ, giúp
đỡ trong suốt quá trình học tập và làm bài tập lớn. Trong suốt thời gian từ khi bắt
đầu học tập tại trường đến nay, chúng em đã nhận được rất nhiều sự quan tâm,
giúp đỡ của q Thầy Cơ, bạn bè và anh chị.
Với lịng biết ơn sâu sắc nhất, nhóm em chân thành cảm ơn quý Thầy đã tận
tình truyền đạt kiến thức suốt q trình học tập. Đặc biệt là cơ Bùi Thị Khuyên và
cô Nguyễn Ngọc Quỳnh Như đã trực tiếp giúp đỡ, quan tâm, hướng dẫn chúng em
hoàn thành tốt bài tập lớn này. Nhờ có những lời hướng dẫn, dạy bảo của Cơ nên
đề tài của nhóm em mới có thể hoàn thiện tốt đẹp. Với vốn kiến thức được tiếp
thu trong q trình học khơng chỉ là nền tảng cho chúng em làm bài tập lớn mà
còn là hành trang quý báu để chúng em bước vào đời vững chắc và tự tin.
Do chưa có nhiều kinh nghiệm làm đề tài cũng như những hạn chế về kiến
thức, trong bài chắc chắn sẽ khơng tránh khỏi nhiều thiếu sót. Rất mong nhận
được sự nhận xét, ý kiến đóng góp, phê bình từ phía cơ để bài tập lớn của nhóm
em được hồn thiện hơn.
Cuối cùng xin kính chúc thầy cơ sức khỏe dồi dào, gia đình hạnh phúc, gặp
nhiều may mắn và sự nghiệp nở hoa trên con đường nhà giáo cao quý. Chúng
em xin chân thành cảm ơn!
2


MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU

2

1. Đạo hàm cao cấp
1.1 Định Nghĩa

4

1.2Công thức

4

1.3Ví dụ

5

1.4Ứng dụng cơ học của đạo hàm cấp hai

7

2.Phương Trình Laplace
2.1 Định nghĩa

8

2.2 Các dạng khác nhau của phương trình Laplace

8

2.3Ứng dụng

9

TÀI LIỆU THAM KHẢO

13

3


1. Đạo hàm cấp cao
1.1 Định nghĩa
'

-

Giả sử hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có đạo hàm 𝑓 (𝑥)

-

Đạo hàm của hàm số 𝑓 (𝑥), nếu có, được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số

'

''

''

𝑓(𝑥), kí hiệu là 𝑦 hay 𝑓 (𝑥).
-

''

Đạo hàm của hàm số 𝑓 (𝑥), nếu có, được gọi là đạo hàm cấp ba của hàm số
'''

'''

𝑓(𝑥), kí hiệu là 𝑦 hay 𝑓 (𝑥).
-

Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1) được gọi là đạo hàm cấp n của hàm
(𝑛)

(𝑛)

số 𝑦 = 𝑓(𝑥), kí hiệu là 𝑦 hay 𝑓 (𝑥).
(𝑛)

[

(𝑛−1)

𝑓 (𝑥) = 𝑓

'

]

(𝑥) , 𝑣ớ𝑖 𝑛 𝑡ℎ𝑢ộ𝑐 𝑍 𝑣à 𝑛 ≥2.

1.2 Công thức
* Các công thức đạo hàm thường gặp
'

-

𝑐 =0

-

( ) = 𝑛. 𝑥𝑛−1

-

(𝑢1 ± 𝑢2± … ±𝑢𝑛)' = 𝑢'1 ± 𝑢'2± … ±𝑢'𝑛

𝑛 '

𝑥

4


'

'

'

-

(𝑢𝑣) = 𝑢 𝑣 + 𝑢𝑣

-

(𝑐𝑢) = 𝑐𝑢

-

(𝑢𝑣𝑤) = 𝑢 𝑣𝑤 + 𝑢𝑣 𝑤 + 𝑢𝑣𝑤

-

( )' =

'

'

'

'

𝑢
𝑣

'

'

𝑢'𝑣−𝑢𝑣'
2

𝑣

▪ Đạ𝑜 ℎà𝑚 𝑐ủ𝑎 ℎà𝑚 𝑠ố ℎợ𝑝:
-

𝐶ℎ𝑜 𝑦 = 𝑓(𝑢), 𝑢 = 𝑔(𝑥)𝑡ℎì 𝑦 = 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔ọ𝑖 𝑙à ℎà𝑚 𝑠ố ℎợ𝑝
𝑦'𝑥 = 𝑦'𝑢. 𝑢'𝑥

* Các công thức đạo hàm cấp cao
-

𝑚 (𝑛)

= 𝑚(𝑚 − 1) ... (𝑚 − 𝑛 + 1). 𝑥

(𝑛)

-

(𝑙𝑛𝑥)

-

(𝑎 )

-

(𝑠𝑖𝑛𝑥)

-

(𝑐𝑜𝑠𝑥)

-

(𝑒 )

-

𝑚−𝑛

(𝑥 )

𝑥 (𝑛)

𝑛−1

=

( )

𝑥
𝑥

(𝑛)

1 (𝑛)

𝑥

(𝑛−1)!

𝑛

𝑛

= 𝑎 . 𝑙𝑛 𝑎, 𝑣ớ𝑖 𝑎 > 0.

(𝑛)

𝑥 (𝑛)

(−1)

= 𝑠𝑖𝑛(𝑥 + 𝑛

π
2

)

(

= cos 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑛

π
2

)

𝑥

=𝑒.
𝑛

−𝑛−1

= (− 1) . 𝑛!. 𝑥

* Công thức Lepnit
5


-

(𝑛)

𝑁ế𝑢 𝑢 𝑣à 𝑣 𝑙à 𝑐á𝑐 ℎà𝑚 𝑘ℎả 𝑣𝑖 𝑛 𝑙ầ𝑛 𝑡ℎì (𝑢𝑣)

𝑛

𝑘 (𝑘)

(𝑛−𝑘)

= ∑ 𝐶𝑛𝑢 . 𝑣
𝑘=0

𝑘

𝑣ớ𝑖 𝐶𝑛 𝑘í ℎ𝑖ệ𝑢 𝑡ổ ℎợ𝑝 𝑐ℎậ𝑝 𝑘 𝑐ủ𝑎 𝑛 𝑝ℎầ𝑛 𝑡ử:
𝑘

𝐶𝑛 =

𝑛(𝑛−1)...(𝑛−𝑘+1)
𝑘!

1.3 Ví dụ đạo hàm cấp cao:
1
𝑥+1

Bài 1: tính đạo hàm cấp n của hàm số 𝑦 =

Lời giải:
''

'

1

Ta có: 𝑦 =

2

(𝑥+1)

−2

=

− (𝑥 + 1)

−3

𝑦 = 2(𝑥 + 1)
'''

−4

𝑦 =− 2. 3(𝑥 + 1)
……
(𝑛)

𝑛

−(𝑛+1)

-

Dự đốn: 𝑦

-

Chứng minh cơng thức đúng bằng quy nạp:

= (− 1) . 𝑛!. (𝑥 + 1)

𝑛

=

(−1) .𝑛!
𝑛+1

(𝑥+1)

−2

𝑣ớ𝑖 𝑛 = 1: 𝑦 =− (𝑥 + 1) ⟹ công thức đúng với 𝑛 = 1
-

Giả sử công thức đúng với
(𝑘)

𝑛 = 𝑘: 𝑦

-

𝑘

−(𝑘+1)

= (− 1) . 𝑘!. (𝑘 + 1)

𝑘

=

(−1) .𝑘!

Ta sẽ chứng minh công thức đúng với 𝑛 = 𝑘 + 1

6

𝑘+1

(𝑥+1)

, 𝑣ớ𝑖 𝑛∈𝑁


(𝑘+1)

𝑘+1

−(𝑘+2)

𝑘+1

-

Nghĩa là: 𝑦

-

Thật vậy, áp dụng cơng thức tính đạo hàm cấp n ta được:

(𝑘+1)

𝑦

[

(𝑘)

= (− 1)

'

. (𝑘 + 1)! . (𝑥 + 1)

𝑘

] [

-

Vậy 𝑦

-

Do đó: 𝑦

(𝑛)

𝑘+1

= (− 1)

𝑘+2

(𝑥+1)

] = − (− 1)𝑘. 𝑘! (𝑘 + 1)(𝑥 + 1)−(𝑘+1)−

−(𝑘+2)

. (𝑘 + 1)!. (𝑥 + 1)

𝑛

.(𝑘+1)!

−(𝑘+1)

(𝑥) = 𝑦 (𝑥) = (− 1) . 𝑘!. (𝑥 + 1)
(𝑘+1)

=

(−1)

−(𝑛+1)

= (− 1) . (𝑛)!. (𝑥 + 1)

𝑘+1

=

(−1)

𝑛

=

(−1) .(𝑛)!
𝑛+1

(𝑥+1)

.(𝑘+1)!
𝑘+2

(𝑥+1)

luôn đúng.

với n ∈ N.

1.4 Ứng dụng cơ học của đạo hàm cấp hai
-

Xét chuyển động xác định bởi phương trình 𝑠 = 𝑓(𝑥), Vận tốc tức thời tại
thời điểm t của chuyển động là 𝑣(𝑡) = 𝑓'(𝑡)

-

Lấy số gia ∆𝑡 tại t thì 𝑣(𝑡) có số gia tương ứng là ∆𝑣

-

Khi đó 𝑣 (𝑡) =

-

Kí hiệu là 𝑎(𝑡)

-

Hệ quả 𝑎(𝑡) = 𝑣 (𝑡) = 𝑠''(𝑡)

'

∆𝑣
∆𝑡

là gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t.

'

3

2

Ví dụ: Một vật đang chuyển động với phương trình 𝑠(𝑡) = 5𝑡 –3𝑡 + 4𝑡 –9 (m).
Tìm gia tốc của vật tại thời điểm t = 2

7


Lời giải:
-

Vận tốc v(t) của vật là đạo hàm cấp 1 đối với quãng đường s(t)
'

2

𝑣(𝑡) = 𝑠 (𝑡) = 5. 3. 𝑡 − 6𝑡 + 4(𝑚/𝑠)
-

Gia tốc a(t) là đạo hàm cấp 1 đối với vận tốc v(t) hay đạo hàm cấp 2 đối với
quãng đường s(t)
'

''

𝑎(𝑡) = 𝑣 (𝑡) = 𝑠 (𝑡) = 30𝑡 − 6
2

⟹𝑎(2) = 54 (𝑚/𝑠 )

2. Phương trình Laplace
2.1 Định nghĩa
-

Trong tốn học, phương trình Laplace là một phương trình đaọ hàm riêng được
đặt theo tên người khám phá, Pierre-Simon Laplace. Nghiệm của phương trình
Laplace là khá quan trọng trong nhiều ngành khoa học, đáng chú ý là trong các
ngành điện từ trường , thiên văn học , và cơ chất lỏng, bởi vì chúng mô tả hành
vi của thế năng của điện, trọng lực, và chất lỏng. Lý thuyết tổng quát của các
nghiệm của phương trình Laplace được gọi chung là lý thuyết thế năng
(potential theory).

-

Trong không gian n chiều , cho u là hàm thực khả vi 2 lần , phương trình
Lapace sẽ là phương trình:
8


2

2

∂𝑢

+

2

∂𝑥

2

∂𝑥

1

+ …+

2

∂𝑥

1

∂𝑢
2

∂𝑥

2

=0

𝑛

Khi vế phải không thuần nhất

2

∂𝑢

2

∂𝑢

2

+

∂𝑢
2

∂𝑥

2

(

∂𝑢

+ … +

∂𝑥

2

𝑛

)

= 𝑓 𝑥1, 𝑥2, …, 𝑥𝑛 𝑓∈𝑅 thì phương trình này là phương

2

𝑛

trình Poisson
2.2 Các dạng khác nhau của phương trình Laplace trong không gian 3 chiều:
+Trong hệ tọa độ Descartes:
2

∂𝑓
2

∂𝑥

2

+

2

∂𝑓

∂𝑓

+

2

∂𝑦

=0

2

∂𝑧

+Trong hệ tọa độ trụ:
1 ∂
𝑟 ∂𝑟

∆𝑓 =

( )
∂𝑓
∂𝑟

+

ρ sin𝑠𝑖𝑛 θ

∂
∂θ

𝑟

1
2

𝑟

2

∂𝑓
2

∂ϕ

2

+

∂𝑓

=0

2

∂𝑧

+Trong hệ tọa độ cầu:
∆𝑓 =

1
2

ρ

∂
∂ρ

(

2 ∂𝑓
∂ρ

ρ

)

+

1
2

(

sin 𝑠𝑖𝑛 θ

∂𝑓
∂θ

)

+

2

1
2

∂𝑓
2

2

ρ 𝑠𝑖𝑛 θ ∂φ

=0

- Nó được viết tổng quát lại là
2

2

∇ 𝑓 = 0 ℎ𝑎𝑦 ∆𝑓 = 0, 𝑣ớ𝑖 ∆ = ∇
là toán tử Laplace hay Laplacian
2

∆𝑓 = ∇ 𝑓 = ∇. ∇𝑓 = 𝑑𝑖𝑣 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓
Trong đó :
∇. 𝑎 = 𝑑𝑖𝑣 𝑎 là divergence của vectơ a và ∇𝑓 = 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓 là gradient của f
- Nghiệm của phương trình Laplace được gọi là hàm điều hòa (harmonic function).
9


- Nếu vế phải là một hàm biết trước, chẳng hạn ∆𝑓 = ℎ thì phương trình được gọi
là phương trình Poisson. Phương trình Laplace hay phương trình Poisson là
những dạng đơn giản nhất của các phương trình đaọ hàm riêng ellip. Tốn tử vi
2

phân, ∇ ℎ𝑎𝑦 ∆ (mà có thể định nghĩa được trong không gian n-chiều) được gọi
là tốn tử Laplace hay Laplacian.

- Phương trình Laplace là trường hợp đặc biệt của phương trình Helmholtz

10


Bảng biến đổi laplace:

11


2.3 Ứng dụng biến đổi Laplace trong giải phương trình vi phân, tích phân
-

𝐿[𝑓(𝑡)] = 𝐹(𝑥)

-

𝐿 𝑓 (𝑡) = 𝑆. 𝐹(𝑠) − 𝑓(0)

-

𝐿 𝑓 (𝑡) = 𝑆 . 𝐹(𝑠) − 𝑆. 𝑓(0) − 𝑓 (0)

-

𝐿 𝑓 (𝑡) = 𝑆 . 𝐹(𝑠) − 𝑆

[

'

]

[

''

]

[

(𝑛)

2

'

𝑛

]

𝑛−1

+∞

-

𝑛−2

. 𝑓(0) − 𝑆

𝑛−1

. 𝑓(0) − … − 𝑆. 𝑓

𝑛

(0) − 𝑓 (0)

−𝑠𝑡

𝐹(𝑠) = 𝐿[𝑓(𝑥)] = ∫ 𝑒

𝑓(𝑡)𝑑𝑡

0
'

-

𝐿[𝑡𝑓(𝑡)] =− 𝐹 (𝑠)

-

𝐿[𝑓(𝑡)] =

1
2

sin𝑠𝑖𝑛 (𝑘𝑡) −𝑘𝑡𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑡)

2 2

2

2𝑘

(𝑆 +𝑘 )

1) Giải phương trình vi phân sau bằng phương pháp Laplace với các điều kiện ban
(4)

''

đầu: {𝑥
-

'

''

'''

+ 8𝑥 + 16𝑥 = 0 𝑥(0) = 𝑥 (0) = 𝑥 (0) = 0 ; 𝑥 (0) = 1

Lấy 𝐿 2 vế phương trình :

[

(4)

''

[ (4)] + 8𝐿[𝑥''] + 16𝐿[𝑥] = 0

]

𝐿 𝑥 + 8𝑥 + 16𝑥 = 0⟺𝐿 𝑥
- Đặt 𝐿[𝑥(𝑡)] = 𝑋(𝑠)

[

'

]

[

''

2

]

'

2

[

⟹{𝐿 𝑥 (𝑡) = 𝑆. 𝑋(𝑠) − 𝑥(0) = 𝑆. 𝑋(𝑠) 𝐿 𝑥 (𝑡) = 𝑆 . 𝑋(𝑠) − 𝑆. 𝑥(0) − 𝑥 (0) = 𝑆 . 𝑋(𝑠) 𝐿 𝑥

(4)

''

4

2

[ ] + 8𝐿[𝑥 ] + 16𝐿[𝑥] = 𝑆 . 𝑋(𝑠) − 1 + 8(𝑆 . 𝑋(𝑠)) + 16(𝑆. 𝑋(𝑠)) = 0

⟹𝐿 𝑥

(

4

2

)

⟺𝑋(𝑠). 𝑆 + 8. 𝑆 + 16𝑆 = 1 <=> 𝑋(𝑠) =

1
4

−1
−1
⎤
1
1

⎤ = 𝐿−1⎡
𝑥(𝑡) = 𝐿 [𝑥(𝑠)] = 𝐿 ⎡⎢ 4 2
2
⎥
⎢
⎥=
2
2
⎣ 𝑆 +8.𝑆 +16𝑆 ⎦
⎣ (𝑆 +2 ) ⎦

12

2

𝑆 +8.𝑆 +16𝑆
𝑠𝑖𝑛(2𝑡)−2𝑡𝑐𝑜𝑠(2𝑡)
16


-

𝑠𝑖𝑛(2𝑡)−2𝑡𝑐𝑜𝑠(2𝑡)
16

Vậy 𝑥(𝑡) =

là nghiệm của phương trình vi phân

'

2) Giải phương trình vi phân 𝑦 + 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛3𝑡 , 𝑦(0) = 0
-

Lấy 𝐿 2 vế của phương trình:

[ ']

3

𝐿 𝑦 + 𝐿[𝑦] = 𝐿[𝑠𝑖𝑛3𝑡]⟺𝑝𝑌 + 𝑌 =
3

⟹𝑌(1 + 𝑝) =
𝐵

1
3

𝐴
10

𝐵
10

+

𝑌=
3
10

𝐶
2

+

3

-

𝑝 +9

𝑝 +9

3

<=> 𝑌 =

𝐴𝑝+𝐵

=

2

(𝑝 +9).(1+𝑝)

2

𝑝 +9

+

𝐶
𝑝+1

Thay lần lượt 𝑝 = 0 ; 𝑝 = 1 ; 𝑝 = 2 vào ta có hệ phương trình:

{9 + 𝐶 =

⟹𝑦 =−

2

2

3

− 10 𝑝+ 10

+

2

𝑝 +9

𝑐𝑜𝑠3𝑡 +

1
10

3
20

3
10

𝑝+1

𝑠𝑖𝑛3𝑡 +

3
10

Vậy 𝑦 =−

=

2𝐴
13

=−

3
10

3
10

−𝑡

𝑐𝑜𝑠3𝑡 +

𝐵
13

+
.

𝐶
3

+

𝑝
2

𝑝 +9

=

1
10

+

.

1
13

⟹ {𝐴 =−

3

+

2

𝑝 +9

3
10

.

3
10

𝐵=

3
10

𝐶=

3
10

1
𝑝+1

𝑒

1
10