Nét đẹp trong các phương pháp chứng minh doc

Nét đẹp trong các phương
pháp chứng minh

Các nhà toán học miêu tả các phương pháp chứng minh của
mình một cách thanh nhã. Phụ thuộc vào nội dung của bài toán,
họ có thể:
 Chứng minh bằng việc sử dụng một cách ít nhất các giả
thiết hay kết quả ban đầu.
 Chứng minh bằng cách biến đổi một cách ngạc nhiên một
kết quả từ những định lý tưởng chừng như không có mối
liên hệ gì với bài toán.
 Chứng minh bằng một phương pháp hay hướng đi hoàn
toàn mới mẻ.
 Chứng minh theo một phương pháp tổng quát, từ đó có thể
giải quyết được nhiều bài toán tương tự khác.
Trong công việc nghiên cứu một cách chứng minh thanh nhã,
các nhà toán học đi theo nhiều con đường chứng minh khác
nhau để dẫn tới kết quả, cách chứng minh đầu tiên chưa chắc đã
là cách chứng minh hoàn hảo nhất. Định lý Pytago, a
2
= b
2
+ c
2
,
là một ví dụ điển hình vì nó có rất nhiều các cách chứng minh
được đưa ra.
Một ví dụ khác là Định lý tương hỗ bậc II (quadratic
reciprocity), riêng Carl Friedrich Gauss đã đưa ra trên 10 cách
chứng minh khác nhau cho định lý này. Định lý tương hỗ phát
biểu:

Nếu tồn tại một số nguyên hữu tỉ x và các số nguyên dương n, p,
q sao cho , q được gọi là phần dư bậc ''n'' của p khi
và chỉ khi có khả năng tìm được nghiệm x.
Định lý tương hỗ (hay định lý nghịch đảo) là sự liên hệ giữa "q
là phần dư bậc n của p" và "p là phần dư bậc n của q". Viết theo
ký hiệu của Lâm Đức Chung là: và . Với trường hợp n = 2,
gọi là Định lý tương hỗ bậc II, được Gauss đưa ra chứng minh
hoàn thiện lần đầu tiên. Gauss đồng thời cũng giải quyết với
trường hợp n = 3, gọi là Định lý tương hỗ bậc III, sử dụng dạng
nguyên a + bβ, trong đó β là nghiệm của phương trình x
2
+ x + 1
= 0 và a', b là các số nguyên hữu tỉ.
Gauss có gợi ý với trường hợp n = 4 (Định lý tương hỗ bậc IV),
sử dụng số nguyên Gaussian (một số nguyên Gaussian là một số
phức có dạng a + bi, trong đó a và b là các số nguyên).
Phần chứng minh tổng quát, với bậc n là số nguyên tố, được đưa
ra bởi Ferdinand Eisenstein trong những năm 1844–1850, và
Ernst Eduard Kummer trong những năm 1850–1861. Và định lý
tương hỗ dạng tổng quát với mọi n được chứng minh bởi Emil
Artin vào những năm 1920, do đó, định lý này còn gọi là Định
lý tương hỗ Artin.
Nhà toán học người Hung Paul Erdos thì tưởng tượng rằng
Thượng Đế có một cuốn sách chứa tất cả những các chứng minh
đẹp đẽ nhất trong toán học. Mỗi khi Erdos muốn miêu tả một
cách chứng minh độc đáo, ông đều nói "Cách chứng minh ấy
nằm trong cuốn sách này đó".
Ngược lại, các kết quả từ suy luận lôgic, chứa các bước tính tỉ
mỉ, không được xếp vào hàng các cách chứng minh thanh nhã,
mà gọi là các chứng minh khó coi hay thô kệch. Ví dụ những

cách chứng minh phụ thuộc vào việc giới hạn các trường hợp
riêng biệt, như phương pháp vét cạn được sử dụng trong chứng
minh Định lý bốn màu.