Vận dụng phương pháp điều kiện cần và đủ để giải một số dạng toán về phương trình chứa tham số trong chương trình Đại số 10

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU
KIỆN CẦN VÀ ĐỦ ĐỂ GIẢI MỘT
SỐ DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG
TRÌNH CHỨA THAM SỐ TRONG
CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 10



MỤC LỤC
Trang

Mục lục 1
Mở đầu 2
Chương 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn 4
1.1.Các bài toán về phương trình chứa tham số trong đại số 10 4
1.2.Đặc điểm của các bài toán về phương trình chứa tham số trong đại số 10 4
1.3. Phương pháp điều kiện cần và đủ 5
Chương 2. Vận dụng phương pháp điều kiện cần và đủ để giải một số dạng toán
về phương trình chứa tham số 6
2.1. Một số kiến thức liên quan 6
2.1.1. Bất đẳng thức tam giác 6
2.1.2. Bất đẳng thức Bunhiacopski cho 2 bộ số >

, >


và ú

, ú

6
2.2. Hệ thống bài tập giải bằng phương pháp điều kiện cần và đủ 6
2.2.1. Tính đối xứng của các biểu thức có mặt trong bài toán đối với việc xác định
điều kiện cần 6
2.2.2. Sử dụng điểm thuận lợi để xác định điều kiện cần 13
2.2.3. Một số phương pháp khác để tìm điều kiện cần 17
Kết luận …………………………………………………………………… …22
Tài liệu tham khảo……………………………………………………………… 24






MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Đất nước ta đang trên đà phát triển và hội nhập. Để đáp ứng nhu cầu công
nghiệp hoá-hiện đại hoá đất nước, cùng với sự phát triển của khoa học-công nghệ,
giáo dục-đào tạo được xem là quốc sách hàng đầu, nhằm nâng cao dân trí, đào tạo
nhân lực và bồi dưỡng nhân tài.
Trong chương trình giáo dục trung học phổ thông, môn toán chiếm vị trí đặc biệt
quan trọng trong các môn học, nó là cơ sở của nhiều môn học khác. Môn toán có
khả năng to lớn giúp học sinh phát triển năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện
cho học sinh tư duy biện chứng, tư duy trừu tượng, tư duy logic…
Phương trình đặc biệt là phương trình chứa tham số chiếm một khối lượng
không nhỏ trong chương trình toán phổ thông nhất là đối với chương trình đại số

10. Vì vậy, việc đưa ra những phương pháp cụ thể để giải các dạng toán ở nội dung
này là hết sức cần thiết. Có khá nhiều tài liệu nghiên cứu về nội dung này song chỉ
trình bày tổng hợp nhiều phương pháp nên mức độ của mỗi phương pháp thực sự
chưa được làm sâu.
Phương pháp điều kiện cần và đủ có lẽ đã quen thuộc đối với giáo viên, sinh
viên ngành toán song đối với nhiều học sinh cấp III đây còn là một vấn đề khá mới
mẻ. Tuy nhiên, phương pháp điều kiện cần và đủ lại tỏ ra khá hiệu quả đối với việc
giải các bài toán về phương trình chứa tham số. Bằng phương pháp này, học sinh
có thể vận dụng vào giải các bài toán về phương trình chứa tham số một cách đơn
giản và dễ hiểu, nhất là đối với một số phương trình đặc biệt sẽ được đề cập đến
trong phần sau. Xuất phát từ vị trí và tính hiệu quả của phương pháp điều kiện cần
và đủ đối với kỹ năng giải toán của học sinh, tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài: “ Vận
dụng phương pháp điều kiện cần và đủ để giải một số dạng toán về phương
trình chứa tham số trong chương trình đại số 10” với mong muốn cung cấp cho
học sinh thêm một phương pháp hữu hiệu trong học toán và giải toán, đồng thời
góp phần tích luỹ những kiến thức cần thiết cho công tác giảng dạy của bản thân.
Hy vọng đề tài này sẽ là một tài liệu hữu ích cho giáo viên và học sinh tham khảo
trong việc ôn luyện thi vào các trường Đại học, Cao đẳng cũng như bồi dưỡng học
sinh giỏi.




2. Mục đích nghiên cứu
- Nghiên cứu để làm rõ nội dung của phương pháp điều kiện cần và đủ, trên cơ
sở đó vận dụng vào việc giải các bài toán về phương trình chứa tham số trong
phạm vi chương trình đại số 10.
- Nhằm nâng cao chất lượng dạy học chủ đề phương trình chứa tham số ở lớp 10.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tổng hợp các kiến thức cơ bản liên quan đến phương trình phục vụ cho đề tài.

- Trình bày phương pháp điều kiện cần và đủ.
- Vận dụng điều kiện cần và đủ để giải một số dạng toán về phương trình chứa
tham số.
4. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là phương pháp điều kiện cần và đủ cùng với một số bài
toán phương trình chứa tham số giải bằng phương pháp điều kiện cần và đủ trong
chương trình đại số 10.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến phương trình chứa tham số và phương
pháp điều kiện cần và đủ.
- Trên cơ sở đó phân tích, tổng hợp, khái quát…rút ra những vấn đề cần thực hiện
trong đề tài.
6. Cấu trúc của đề tài
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo thì đề tài bao gồm 2 chương:
Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn của đề tài.
Chương 2: Vận dụng phương pháp điều kiện cần và đủ để giải một số dạng
toán về phương trình chứa tham số.





Chương 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1 . Các bài toán về phương trình chứa tham số trong đại số 10
Theo sách giáo khoa đại số 10 thì các nội dung về phương trình được đề cập đến
bao gồm:
-Phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn.
-Phương trình quy về được phương trình bậc nhất hoặc bậc hai.
-Phương trình bậc nhất hai ẩn.

Trong các nội dung đó, có một số nội dung có lẽ không gây khó khăn đối với học
sinh lớp 10. Để đáp ứng được phạm vi nghiên cứu và yêu cầu của đề tài những nội
dung này sẽ không được đề cập đến. Vì vậy, trong đề tài này tôi xin được trình bày
các bài toán về phương trình chứa tham số của các nội dung sau:
-Phương trình bậc hai một ẩn.
-Phương trình qui về được phương trình bậc nhất hoặc bậc hai.
Ngoài ra, trong đề tài này tôi cũng xin trình bày một số bài toán về phương trình
chứa tham số nhưng không nằm trong nội dung sách giáo khoa nhằm phục vụ cho
việc bồi dưỡng học sinh giỏi cho học sinh khối lớp 10.
1.2. Đặc điểm của các bài toán về phương trình chứa tham số trong đại số 10
Trong một phương trình ngoài ẩn số ra còn có chữ khác mà chữ này được xem
như là hằng số thì phương trình đó được gọi là phương trình chứa tham số, chữ cái
khác ở trên được gọi là tham số.
Các bài toán về phương trình chứa tham số trong đại số 10 chủ yếu được phân
theo 2 dạng:
Dạng 1: Giải và biện luận phương trình theo giá trị của tham số.
Dạng 2: Xác định tham số để phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước.


Các bài toán được đề cập đến trong đề tài này tập trung vào dạng thứ 2, tức là xác
định tham số để phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước nào đó, chẳng hạn như,
xác định tham số để phương trình có nghiệm, có duy nhất nghiệm, hoặc nghiệm
đúng với mọi x thuộc một khoảng nào đó
1.3. Phương pháp điều kiện cần và đủ
Cho phương trình chứa tham số N

2, 

= 0 (I) với 2 ∈ 


, ∈ 

, trong đó
2 là biến,  là tham số, 

, 

lần lượt là miền của 2,  đang xét.
Phương pháp điều kiện cần và đủ được chia làm 2 bước:
Bước 1 (Điều kiện cần): Giả sử (I) thỏa mãn tính chất P mà đầu bài đòi hỏi. Dựa
vào tính chất P, hàm số N

2, 

và miền 

đang xét ta tìm ra một điều kiện ràng
buộc nào đó của . Điều kiện đó chính là điều kiện cần để bài toán đã cho có tính
chất P.
Khi đó ∈ 

⊂ 

và 

sẽ chứa các giá trị của  để làm cho bài toán thỏa
mãn tính chất P. Nếu 

∉ 


thì ứng với 

, (I) không có tính chất P. Nghĩa là
những giá trị  cần tìm chỉ chứa trong tập 

này. Trong tập 

có thể có những
giá trị  không làm cho bài toán thỏa mãn tính chất P nên để loại những giá trị đó
ta cần đến bước thứ 2, bước: điều kiện đủ.
Bước 2 (Điều kiện đủ): Giả sử ∈ 

. Ta cần tìm xem trong những giá trị đó giá
trị nào của  làm cho (I) thỏa mãn tính chất P. Khi đó ta có điều kiện đủ để (I)
thỏa mãn tính chất P.
Nếu 

là tập hữu hạn các giá trị  thì ta lần lượt thay từng giá trị , rồi giải bài
toán để xem nó có thỏa mãn tính chất P hay không, nếu thỏa mãn thì nhận còn
không thì loại. Nếu 

là một khoảng hay một đoạn giá trị thì ta dựa vào đặc trưng
của bài toán và một số kiến thức liên quan về lí thuyết phương trình để giải chúng.
Kết quả của phép giải sẽ loại đi những giá trị không thích hợp của .




Chương 2
VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ

DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ
2.1. Một số kiến thức liên quan
2.1.1. Bất đẳng thức tam giác
Với mọi >, ú ∈ ℝ ta luôn có:
|
> + ú
|
≤
|
>
|
+
|
ú
|

Dấu “=” xảy ra khi >ú ≥ 0.
2.1.2. Bất đẳng thức Bunhiacopski cho 2 bộ số >

, >

và ú

, ú


Với 2 bộ số >

, >


và ú

, ú

ta có:


>

ú

+ >

ú



≤

>


+ >



ú


+ ú





Dấu “=” xảy ra khi




=




.
2.2. Hệ thống bài tập giải bằng phương pháp điều kiện cần và đủ
2.2.1. Tính đối xứng của các biểu thức có mặt trong bài toán đối với việc xác
định điều kiện cần
Trong phần này tôi xin trình bày các bài toán có chung một yêu cầu đó là tìm
tham số để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Các phương trình đưa ra đều
có một đặc điểm chung đó là nếu 2 là một nghiệm của phương trình thì − 2 cũng
là nghiệm của phương trình đó. Lợi dụng đặc điểm đó mà ta có phương pháp
chung để giải các bài toán này như sau:
Giả sử phương trình có nghiệm 2

lúc đó nó còn có một nghiệm khác là −
2

, do tính duy nhất nghiệm nên 2 nghiệm này phải bằng nhau, từ đây ta tính được
2


. Thế 2

vào phương trình đầu để tìm tham số. Sau đó thế ngược những tham số
tìm được vào phương trình đầu để giải. Nếu ứng với tham số nào mà phương trình
không thỏa mãn tính duy nhất nghiệm thì ta sẽ loại giá trị tham số đó. Những giá
trị tham số còn lại chính là kết quả cần tìm của bài toán.


Một số bài toán sau đây được giải bằng phương pháp trên:
Bài toán 1: Tìm  để phương trình sau có nghiệm duy nhất

√
4 − 2 +
√
2 + 5 =  (1)
Giải:
Tập xác định của (1) là =

− 5; 4

.
1. Điều kiện cần:
Giả sử phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 2 = 2

.
Vì 2 = 2

là nghiệm nên ta có


4 − 2

+

2

+ 5 = 


− 1 − 2


+ 5 +

4 −

− 1 − 2


= 
Điều này có nghĩa là 2 = − 1 − 2

cũng là nghiệm của phương trình đã cho. Để
đảm bảo tính duy nhất nghiệm thì 2

= − 1 − 2

2


= −


.
Thay 2 = 2

= −


vào (1) ta được = 3
√
2.
2. Điều kiện đủ:
Giả sử = 3
√
2. Lúc đó (1) trở thành

√
4 − 2 +
√
5 + 2 = 3
√
2
Theo bất đẳng thức Bunhiscopski ta có:


√
4 − 2 +
√
2 + 5



≤

1

+ 1


4 − 2 + 2 + 5

= 18

√
4 − 2 +
√
5 + 2 ≤ 3
√
2
Dấu “=” xảy ra khi
√
4 − 2 =
√
5 + 2 4 − 2 = 5 + 2 2 = −


.


Do đó phương trình có nghiệm duy nhất 2 = −



.
Tóm lại, = 3
√
2 là điều kiện cần và đủ để (1) có nghiệm duy nhất.
Nhận xét:
Trong lời giải này, điểm khó nhất có lẽ là việc nhận ra 2 = − 1 − 2

cũng là
nghiệm của phương trình đã cho, thực sự công việc này cũng không hề đơn giản,
cái cơ bản là phải tiếp xúc với nhiều bài tập dạng này mới hình thành được kỹ năng
đó.
Bài toán 2: Tìm >, ú,  sao cho phương trình sau đây có nghiệm duy nhất

|
2 − >
|
+
|
2 − ú
|
=  (2)
Giải:
1. Điều kiện cần:
Giả sử phương trình (2) có nghiệm duy nhất 2 = 2

.
Vì 2


là nghiệm của (2) nên ta có

|
2

− >
|
+
|
2

− ú
|
= 
|

> + ú − 2


− >
|
+
|

> + ú − 2


− ú
|
= 

Do đó 2 = > + ú − 2

cũng là nghiệm của (2).
Do tính duy nhất nghiệm ta suy ra 2

= > + ú − 2

2

=


.
Thay 2 = 2

=


vào (2) ta được
|
> − ú
|
= .
Vậy
|
> − ú
|
=  chính là điều kiện cần để phương trình (2) có nghiệm duy nhất.
2. Điều kiện đủ:
Giả sử

|
> − ú
|
= , khi đó (2) trở thành

|
2 − >
|
+
|
2 − ú
|
=
|
> − ú
|

|
2 − >
|
+
|
2 − ú
|
=
|

2 − ú

−


2 − >

|



Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

|

2 − ú

−

2 − >

|
=
|

2 − ú

+

> − 2

|
≤
|

2 − ú
|
+
|
> − 2
|

=
|
2 − ú
|
+
|
2 − >
|

Dấu “=” xảy ra khi

2 − ú

> − 2

≥ 0

2 − >

2 − ú

≤ 0
*Nếu > ≠ ú bất phương trình này có chứa 2 nghiệm 2 = >, 2 = ú nên không thỏa

tính duy nhất nghiệm.
*Nếu > = ú thì bất phương trình trở thành

2 − >


≤ 0 2 = >. Do đó phương
trình đã cho có nghiệm duy nhất 2 = >. Từ > = ú suy ra =
|
> − ú
|
= 0.
Vậy điều kiện cần và đủ để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là > = ú,= 0.
Bài toán 3: Tìm  để phương trình sau có nghiệm duy nhất

√
3 + 2 +
√
6 − 2 −


3 + 2

6 − 2

=  (3)
Giải:
Tập xác định của (3) là =

− 3; 6


.
1. Điều kiện cần:
Giả sử phương trình có nghiệm duy nhất 2 = 2

.
Do 2

là nghiệm của (3) nên ta có


3 + 2

+

6 − 2

−


3 + 2


6 − 2


= 


3 +


3 − 2


+

6 −

3 − 2


−


3 +

3 − 2


6 −

3 − 2


= 
Suy ra 2 = 3 − 2

cũng là nghiệm của (3).
Do tính duy nhất nghiệm nên ta phải có 2


= 3 − 2

2

=


.


Thay 2 = 2

=


vào (3) ta được =

√
1

.
Vậy =

√
1

là điều kiện cần để phương trình (3) có nghiệm duy nhất.
2. Điều kiện đủ:
Giả sử =


√
1

, lúc đó (3) trở thành

√
3 + 2 +
√
6 − 2 −


3 + 2

6 − 2

=

√
1

(3.1)
Đặt =
√
3 + 2 +
√
6 − 2

≥ 0

thì 


= 9 + 2


3 + 2

6 − 2




3 + 2

6 − 2

=


1

. Khi đó (3) có thể viết lại:
−


1

=

√
1




− 2+ 6
√
2 − 18 = 0 = 3
√
2 hoặc = 2 − 3
√
2
(nghiệm = 2 − 3
√
2 < 0 nên bị loại)
Với = 3
√
2, ta có:
√
3 + 2 +
√
6 − 2 = 3
√
2 9 + 2


3 + 2

6 − 2

= 18



3 + 2

6 − 2

=
1



3 + 2

6 − 2

=



2

− 32 +
1

= 0 2 =


∈ 
Suy ra 2 =



là nghiệm duy nhất của phương trình (3.1).
Tóm lại,  =

√
1

là điều kiện cần và đủ để phương trình đã cho có nghiệm duy
nhất.
Nhận xét:
Với bài toán này, nếu sử dụng bằng phương pháp tam thức bậc hai để giải thì có
thể không giải được, hoặc nếu được thì công việc đó không hề đơn giản đặc biệt là
đối với học sinh lớp 10. Song với phương pháp điều kiện cần và đủ như trình bày ở


trên thì lời giải khá gọn gàng và dễ hiểu. Điều này cho thấy, trong một số bài toán
phương pháp điều kiện cần và đủ tỏ rõ được thế mạnh của mình.
Bài toán 4: Tìm >, ú để phương trình sau có nghiệm duy nhất
2

+ >
|
2
|
+ ú = 0 (4)
Giải:
1. Điều kiện cần:
Giả sử (4) có nghiệm duy nhất 2 = 2

.

Nhận thấy rằng nếu 2

là nghiệm của (4) thì − 2

cũng là nghiệm của (4). Do tính
duy nhất nghiệm nên ta phải có 2

= − 2

2

= 0.
Thay 2 = 2

= 0 vào (4) ta được ú = 0.
Vậy ú = 0 là điều kiện cần để phương trình (4) có nghiệm duy nhất.
2. Điều kiện đủ:
Với ú = 0, phương trình (4) trở thành
2

+ >
|
2
|
= 0
|
2
|

|

2
|
+ >

= 0
Nếu > ≥ 0 thì (4) có nghiệm duy nhất 2 = 0.
Nếu > < 0 thì (4) luôn có 3 nghiệm đó là 2 = 0 và 2 = ± >.
Do đó điều kiện cần và đủ để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là > ≥ 0 và
ú = 0.
Bài toán 5: Tìm  để phương trình sau có nghiệm duy nhất

√
2

+ 1 =
|
2
|
+  (5)
Giải:


1. Điều kiện cần:
Giả sử (5) có nghiệm duy nhất 2 = 2

.
Nhận thấy rằng 2

là nghiệm của phương trình (5) thì − 2


cũng là nghiệm của nó.
Do tính duy nhất nghiệm ta suy ra 2

= − 2

2

= 0.
Thay 2 = 2

= 0 vào (5) ta được = 1.
Do đó = 1 là điều kiện cần để (5)có nghiệm duy nhất.
2. Điều kiện đủ:
Với = 1, phương trình (5) trở thành

√
2

+ 1 =
|
2
|
+ 1 2

+ 1 =

|
2
|
+ 1



2

+ 1 = 2

+ 2
|
2
|
+ 1
2
|
2
|
= 0 2 = 0
Suy ra 2 = 0 là nghiệm duy nhất của phương trình (5).
Vậy = 1 là điều kiện cần và đủ để phương trình (5) có nghiệm duy nhất.
Nhận xét:.
Các phương trình chứa tham số được đưa ra trong phần này đều có một đặc
điểm chung đó là nếu 2

là nghiệm của phương trình đã cho thì − 2

cũng là
nghiệm của nó. Chính vì lợi dụng điểm này cùng với yêu cầu duy nhất nghiệm của
bài toán ta mới tìm được giá trị của tham số.
Khi dạy học phần này cho học sinh lớp 10, giáo viên có thể thực hiện theo trình
tự sau:
-Giới thiệu phương pháp cho học sinh.

-Trình bày đặc điểm chung của dạng toán sắp giới thiệu.
-Đưa ra ví dụ cụ thể, hướng dẫn học sinh tìm lời giải theo phương pháp đã
nêu, cụ thể:


+ Giả sử 2

là một nghiệm của phương trình, yêu cầu học sinh tìm một
nghiệm khác của phương trình mà biểu thị theo 2

.
+ Từ tính duy nhất nghiệm, gợi ý cho học sinh tìm cách tính 2

.
+ Thay ngược giá trị 2

lại phương trình đầu, yêu cầu học sinh xác định
các giá trị tham số.
+ Đối với mỗi giá trị tham số cho học sinh giải phương trình để loại những
giá trị tham số không thỏa mãn.
Chú ý rằng, điểm khó nhất trong dạy học phần này đó là làm sao cho học sinh thấy
được 2

là nghiệm của phương trình thì − 2

cũng là nghiệm của nó. Giáo viên
cần làm rõ để học sinh có thể xác định được số  đó.
2.2.2. Sử dụng điểm thuận lợi để xác định điều kiện cần
Trong phần này, tôi xin giới thiệu các bài toán về phương trình chứa tham số có
dấu hiệu sau đây: các bài toán đòi hỏi xác định giá trị của tham số làm cho phương

trình được thỏa mãn với mọi giá trị của biến số thuộc một miền cho trước  nào
đó.
Với những loại bài toán này, phương pháp giải chúng như sau:
Vì phương trình đã cho đúng ∀2 ∈ , nên khi thế một vài giá trị cụ thể nào đó của
tập , ta sẽ được các giá trị của tham số mà trong đó chắc chắn chứa các giá trị
tham số cần tìm. Từ những giá trị tham số tìm được ở bước trên ta thế lại vào
phương trình ban đầu xem có thỏa mãn yêu cầu của bài toán không, từ đó để loại
những giá trị tham số không thỏa mãn. Tất nhiên cái khó ở đây là nên chọn từ tập
 những giá trị nào để thay vào phương trình ban đầu? Câu trả lời là không có qui
tắc nào để chọn cả, tuy nhiên những giá trị được chọn phải làm sao cho thuận lợi
đến việc giải bài toán nhất. Việc chọn những giá trị này thường dựa trên trực giác
và kinh nghiệm tích lũy được, những trực giác và kinh nghiệm này đương nhiên
không tự dưng mà có, mà phải được rèn luyện đúc rút ra thông qua việc giải toán.
Mong rằng qua các bài toán được trình bày trong phần này có thể giúp học sinh
vận dụng tốt phương pháp này vào việc học toán của mình.


Sau đây là một số bài toán được giải bằng phương pháp vừa nêu trên:
Bài toán 6: Tìm > sao cho phương trình sau có tập nghiệm là

− 1; + ∞



|
2 − >
|
−
|
2 + 1

|
= 2 (6)
Giải:
1. Điều kiện cần:
Giả sử phương trình đã cho có tập nghiệm là

− 1; + ∞

.
Do

− 1; + ∞

là tập nghiệm của (6) nên rõ ràng 2 = − 1 là nghiệm của nó.
Thay 2 = − 1 vào (6) ta được
|
> + 1
|
= 2 > = 1 ∨ > = − 3.
Vậy điều kiện cần để phương trình đã cho có tập nghiệm

− 1; + ∞

là > = 1 hoặc
> = − 3.
2. Điều kiện đủ:
* Với > = 1, phương trình đã cho trở thành

|
2 − 1

|
−
|
2 + 1
|
= 2 (6.1)
Nhận thấy rằng 2 = 0 không thỏa mãn (6.1) nên không là nghiệm của (6.1), do đó
tập nghiệm của (6.1) không phải là

− 1; + ∞

. Suy ra > = 1 không thỏa mãn điều
kiện bài toán.
* Với > = − 3, phương trình đã cho trở thành

|
2 + 3
|
−
|
2 + 1
|
= 2 (6.2)
Nếu 2 < − 3 thì (6.2)⇔

− 2 − 3

−

− 2 − 1


= 2 − 2 = 2 (không thỏa mãn)
Nếu − 3 ≤ 2 < − 1 thì (6.2) 2 + 3 −

− 2 − 1

= 2 2 = − 1 (không thỏa)
Nếu 2 ≥ − 1 thì (6.2)

2 + 3

−

2 + 1

= 2 2 = 2 (thỏa ∀2 ≥ − 1)
Vậy tập nghiệm của (6.2) là

− 1; + ∞

.


Tóm lại > = − 3 là điều kiện cần và đủ để phương trình (6) có tập nghiệm

− 1; + ∞

.
Bài toán 7: Tìm >, ú để phương trình sau đúng ∀2 ∈ ℝ
>

√
2

+ 1 −
√
2

+ ú2 + 1 = 0 (7)
Giải:
1. Điều kiện cần:
Giả sử phương trình (7) đúng ∀2 ∈ ℝ. Khi đó (7) nói chung phải đúng khi 2 = 0
và 2 = 1.
Thay 2 = 0 và 2 = 1 vào phương trình (7) ta có hệ


> − 1 = 0
>
√
2 −
√
ú + 2 = 0


> = 1
√
ú + 2 = >
√
2 =
√
2


> = 1
ú = 0

Do đó > = 1, ú = 0 chính là điều kiện cần của bài toán.
2. Điều kiện đủ:
Với > = 1, ú = 0 thì rõ ràng (7) thỏa mãn ∀2 ∈ ℝ.
Vậy điều kiện cần và đủ để (7) đúng ∀2 ∈ ℝ là > = 1 và ú = 0.
Bài toán 8: Tìm  để phương trình sau nghiệm đúng ∀2 ∈

0; 2


√22 − 2

=

1 − +

+ 1

2 − 2

(8)
Giải:
1. Điều kiện cần:
Giả sử phương trình (8) nghiệm đúng ∀2 ∈

0; 2


, điều này cho phép ta suy ra
2 = 0 cũng là nghiệm của (8).
Thay 2 = 0 vào phương trình (8) ta được
√
1 − = 0 = 1.


Đây chính là điều kiện cần của bài toán.
2. Điều kiện đủ:
Với = 1 thì dễ nhận thấy phương trình (8) thỏa mãn ∀2 mà căn bậc hai có
nghĩa, tức là thỏa mãn ∀2 ∈

0; 2

.
Vậy  = 1 chính là điều kiện cần và đủ để phương trình (8) nghiệm đúng
∀2 ∈

0; 2

.
Bài toán 9: Tìm  để phương trình sau nghiệm đúng ∀2 ≥ 1

√
2

− 22 + 

− 3+ 3 = 2− 1 (9)
Giải:

1. Điều kiện cần:
Giả sử phương trình (9) nghiệm đúng ∀2 ≥ 1, điều này có nghĩa là 2 = 1 cũng là
nghiệm của (9).
Thay 2 = 1 vào (9) ta được

√


− 3+ 2 = − 1



− 3+ 2 ≥ 0


− 3+ 2 = 

− 2+ 1



− 3+ 2 = 

− 2+ 1

= 1
Như vậy, m = 1 chính là điều kiện cần của bài toán.
2. Điều kiện đủ:
Với m = 1, phương trình (9) trở thành

√
2

− 22 + 1 = 2 − 1



2 − 1


= 2 − 1

|
2 − 1
|
= 2 − 1
(9.1)
Rõ ràng
1
x
" ³
thì (9.1) đều thỏa mãn.
Do đó khi
1
m
=
thì phương trình (9.1) nghiệm đúng
1
x
" ³

Tóm lại, điều kiện cần và đủ để phương trình (9) nghiệm đúng
1
x
" ³
là
1
m
=
.


Nhận xét:
Khi dạy học dạng bài tập này bằng phương pháp điều kiện cần và đủ cho học sinh
lớp 10 muốn đạt kết quả tốt, giáo viên cần phải lưu ý đến những điểm sau:
+Dạy kỹ phương pháp giải dạng bài tập này cho học sinh (có kèm theo ví dụ).
+Dạy bài tập đi từ dễ tới khó nhằm tạo tính kích thích học tập ở học sinh.
+Giáo viên cần cung cấp cho học sinh thật nhiều bài tập để học sinh có điều kiện
rèn luyện.
Hình thành cho học sinh kỹ năng giải dạng bài tập này bằng phương pháp điều
kiện cần và đủ không phải là chuyện ngày một ngày hai cho nên giáo viên cần phải
tiến hành từ từ, từng bước, không nóng vội. Tôi nghĩ rằng những điều chú ý trên ít
nhiều cũng sẽ tạo điều kiện thuận lợi cho học sinh trong việc hình thành kỹ năng
này. Do đó giáo viên cần đặc biệt lưu tâm.
2.2.3 Một số phương pháp khác để tìm điều kiện cần
Phương pháp điều kiện cần và đủ thường tỏ ra là phương pháp hiệu quả để giải
các dạng toán sau:
-Tìm tham số để phương trình có nghiệm duy nhất.
-Tìm tham số để phương trình nghiệm đúng ∀2 ∈  cho trước.
-Tìm tham số để phương trình có nghiệm.

Ở 2 phần trước chúng ta đã làm quen với 2 dạng toán đầu. Ở phần 3 này các bài
tập chủ yếu tập trung vào dạng thứ 3. Nhìn chung các bài tập ở phần này có phần
phức tạp hơn các phần trước vì sau khi tìm được điều kiện cần thường không đi
ngay đến điều kiện đủ mà muốn tìm ra đáp số của bài toán ta cần thắt chặt các “đầu
nút” của điều kiện cần (ở 2 phần trước phần lớn các bài toán đưa ra sau khi tìm
được điều kiện cần ta thường có ngay kết quả của bài toán).
Đối với các bài toán đưa ra trong phần này thì nói chung không có một phương
pháp giải cụ thể nào cả, tất cả chỉ dựa trên những kiến thức đã học về phương trình


và khả năng suy luận để giải. Bởi thế công việc giải các bài toán này sẽ đòi hỏi tính
tư duy ở người học rất cao.
Sau đây là một số bài toán minh họa cho ý đã nói ở trên:
Bài toán 10: Tìm  để phương trình sau có nghiệm và các nghiệm đều không âm
2

− 2 −  = 0 (10)
Giải:
1. Điều kiện cần:
Để phương trình (10) có nghiệm và các nghiệm đều không âm thì một điều kiện
cần đó là (10) phải có nghiệm, tức là:
Δ ≥ 0 1 + 4≥ 0 ≥ −


.
Đây chính là điều kiện cần của bài toán.
2. Điều kiện đủ:
Giả sử ≥ −



.
* Xét > 0. Lúc đó phương trình (10) có 2 nghiệm trái dấu nên dĩ nhiên không
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
* Xét −


≤  ≤ 0.
Ta có phương trình (10) có 2 nghiệm theo  đó là
2

=

√


và 2

=

√


> 0
Với −


≤ ≤ 0 thì 0 ≤ 1 + 4≤ 1 suy ra
√
1 + 4≤ 1, và do đó


√


≥ 0.
Như vậy trong trường hợp này các nghiệm của (10) đều không âm.


Tóm lại, với ∈ −


; 0 thì yêu cầu của bài toán được thỏa mãn.

Bài toán 11: Tìm các giá trị của > sao cho phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt


> − 1

2

− >2

+ >

− 1 = 0 (11)
Giải:
1. Điều kiện cần:
* Nếu > = 1 thì (11) là phương trình bậc hai nên không thể có 3 nghiệm phân biệt,
do đó 1 điều kiện cần là > ≠ 1.
* Nếu > ≠ 1 thì (11) là phương trình trùng phương nên để (11) có 3 nghiệm phân
biệt thì (11) phải có nghiệm 2 = 0.

(Vì nếu 2 = 0 không là nghiệm của (11) thì (11) hoặc vô nghiệm hoặc có số
nghiệm chẵn).
Thay 2 = 0 vào phương trình (11) ta được >

− 1 = 0 > = ± 1, kết hợp với
> ≠ 1 ta được > = − 1.
Vậy > = − 1 là điều kiện cần để phương trình (11) có 3 nghiệm phân biệt.
2. Điều kiện đủ:
Giả sử > = − 1, phương trình (11) lúc đó trở thành − 22

+ 2

= 0. Phương trình
này có 3 nghiệm phân biệt đó là 2 = 0, 2 = −

√

và 2 =

√

.
Tóm lại, điều kiện cần và đủ để (11) có 3 nghiệm phân biệt là > = − 1.
Bài toán 12: Cho phương trình 2

2

− 22

+

√
2

− 22 + 3 − = 0 (12)
Với giá trị nào của  thì phương trình có nghiệm?
Giải:


Đặt =
√
2

− 22 + 3, ta có =


2 − 1


+ 2 ≥
√
2. Lúc này phương trình (12)
trở thành 2

+ − − 6 = 0 (12.1)
Bài toán đã cho tương đương với bài toán sau: Tìm  để phương trình (12.1) có
nghiệm thuộc

√
2; + ∞


.
1. Điều kiện cần:
Viết lại (12.1): 2

+ = + 6
Giả sử 

≥
√
2 là một nghiệm của phương trình (12.1), lúc đó ta có
2


+ 

= + 6 (12.2)
Mà 2


+ 

≥ 2

√
2


+
√
2 = 4 +

√
2
Do vậy từ (12.2) ta suy ra + 6 ≥ 4 +
√
2 ≥
√
2 − 2.
Đây chính là điều kiện cần của bài toán.
2. Điều kiện đủ:
Giả sử ≥
√
2 − 2.
Xét phương trình (12.1) ta có Δ = 1 + 8

+ 6

= 8+ 49 > 0 (do  ≥
√
2 −
2).
Nên (12.1) có 2 nghiệm 

=

√
1

và 

=


√
1

.
Ta thấy rằng: với ≥
√
2 − 2 thì

√
8+ 49 ≥

8
√
2 − 16 + 49 =

33 + 8
√
2 = 4
√
2 + 1


=

√
1

≥


√


=
√
2.
Do đó phương trình (12.1) có nghiệm 

≥
√
2.


Tóm lại, với những giá trị ≥
√
2 − 2 thì phương trình đã cho ban đầu có
nghiệm.
Nhận xét:
Nhìn chung các bài toán được trình bày trong phần 3 này có phần hơi phức tạp
bởi vì không có một phương pháp cụ thể nào để tìm điều kiện cần, hơn nữa khi tìm
được điều kiện cần, thì những giá trị tham số tìm được thường không phải là kết
quả của bài toán mà chúng ta cần phải thắt chặt các “đầu nút” mới đi đến được kết
quả cuối cùng. Công việc này đòi hỏi tính kỹ thuật rất cao, tuy rằng nếu vận dụng
tốt có thể rèn luyện tính tư duy cao nhưng khi tiếp nhận nó học sinh cũng sẽ gặp
không ít những khó khăn. Vì thế, khi dạy học phương pháp điều kiện cần và đủ cho
học sinh, giáo viên có thể đưa hoặc không đưa nội dung này vào, tùy theo từng đối
tượng học sinh của mình.

KẾT LUẬN
1. Kết quả đạt được
Nội dung chính của đề tài bao gồm 2 chương:
Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn.
Chương 2: Vận dụng phương pháp điều kiện cần và đủ để giải một số dạng
toán về phương trình chứa tham số.
Đề tài trình bày việc vận dụng phương pháp điều kiện cần và đủ vào việc giải một
số dạng toán về phương trình chứa tham số trong chương trình đại số 10, tập trung
chủ yếu vào 3 dạng toán với 12 bài toán, 3 dạng toán cụ thể như sau:
- Định tham số để phương trình có nghiệm duy nhất.
- Định tham số để phương trình thỏa mãn với mọi 2 trên một khoảng (đoạn)
nào đó.
- Định tham số để phương trình có nghiệm.
Chương 2 đã trình bày các bài toán giải bằng phương pháp điều kiện cần và đủ ở
đầy đủ 3 dạng toán này. Thông qua lời giải của các bài toán trong chương ta thấy
rằng có một số bài toán giải bằng phương pháp điều kiện cần và đủ rất mất tự
nhiên, có đôi lúc hơi rườm rà nhưng ngược lại có rất nhiều bài toán giải bằng
phương pháp này lại cho lời giải gọn gàng, dễ hiểu và nhanh chóng, một số bài
toán còn thể hiện được tính độc đáo của phương pháp. Đặc biệt, khi tôi dạy thử
nghiệm nội dung này cho đội tuyển học sinh giỏi thì nhiều em còn tỏ ra thích thú
khi được tiếp nhận một phương pháp khá mới và khá độc đáo đối với các em. Tuy
nhiên, như đã nói từ trước, phương pháp điều kiện cần và đủ không phải là “chiếc

chìa khóa vàng” để mở cửa mọi bài toán mà nó chỉ thực sự có hiệu quả đối với một
số dạng bài toán nhất định cho nên chỉ nên xem phương pháp này như là một
phương pháp bổ trợ mà thôi. Tôi tin tưởng rằng nếu người học vận dụng tốt
phương pháp này thì việc giải toán phương trình chứa tham số sẽ thuận lợi hơn rất
nhiều. Với những kết quả đã làm được trong đề tài, tôi hy vọng rằng đề tài sẽ là
một tài liệu tốt cho giáo viên và học sinh trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi và
luyện thi môn toán vào các trường Đại học, Cao đẳng.



2. Một số hạn chế
- Số lượng các bài toán được trình bày trong đề tài là khá ít, một số bài toán trình
bày còn hơi rườm rà.
- Phương pháp trình bày trong đề tài chỉ phù hợp vói một số dạng toán nhất định,
không phải là phương pháp tổng quát. Cụ thể là nó chỉ phù hợp nhất với dạng toán
thứ nhất và thứ hai trong chương 2 của đề tài.
- Việc sử dụng phương pháp này chỉ đưa lại hiệu quả tốt đối với học sinh có học
lực khá trở lên nên không được áp dụng một cách rộng rãi.
3. Kiến nghị và đề xuất
- Phương pháp được trình bày trong đề tài này phù hợp với học sinh có mức học
lực từ khá trở lên do đó chỉ nên xem nó như là một tài liệu tham khảo cho giáo viên
và học sinh trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi và luyện thi vào các trường Đại học,
Cao đẳng, không nên giảng dạy đại trà cho tất cả học sinh.
- Xuất phát từ tâm nguyện của một người giáo viên đang từng ngày giảng dạy cho
học sinh thân yêu của mình, tôi mong muốn rằng nếu đề tài của tôi được đánh giá
thì cần được phổ biến một cách rộng rãi để tài liệu này được đến tay những giáo
viên và học sinh yêu thích môn toán.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Lương Mậu Dũng-Lê Mậu Thống, Nâng cao đại số 10-tự luận và trắc nghiệm,
Nhà xuất bản Thanh Hoá, 2007.
2. Phan Huy Khải, Toán nâng cao cho học sinh THPT-Đại số, tập 1, Nhà xuất bản
Hà Nội, 2001.
3. Phan Huy Khải, Phương trình và bất phương trình đại số, Nhà xuất bản khoa học
Tự nhiên và Công nghệ, 2009.
4. Nguyễn Bá Kim-Đinh Nho Chương-Nguyễn Mạnh Cảng-Vũ Dương Thụy-
Nguyễn Văn Thường, Phương pháp dạy học môn toán-Phần 2: Dạy học những nội
dung cơ bản, Nhà xuất bản giáo dục, 1994.
5. Đoàn Quỳnh-Nguyễn Huy Đoan, Đại số 10(nâng cao), Nhà xuất bản giáo dục,
2008.
6. Ngô Hữu Tâm-Nguyễn Thị Ngoạn-Võ Văn Thông, Đại số giải tích-Tài liệu
luyện thi Đại học môn toán, Nhà xuất bản TPHCM, 2007.
7. Huỳnh Công Thái, Các chuyên đề đại số nâng cao-Bất phương trình, hệ bất
phương trình, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia TPHCM, 2007.
8. Tuyển tập theo chuyên đề Toán học và Tuổi trẻ, Nhà xuất bản giáo dục, 2007.