Chuyên đề con lắc đơn

I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1.Khái niệm con lắc đơn.
- Con lắc đơn gồm một vật nhỏ, khối lượng m, treo ở đầu một sợi dây mềm không dãn,
khối lượng không đáng kể, dài l.
- Trong hệ quy chiếu quán tính, vị trí cân bằng của con lắc đơn là vị trí dây treo có phương
thẳng đứng, vật nặng ở vị trí thấp nhất.
- Khi dao động của con lắc đơn với góc lệch nhỏ ( sinα
α
≈
(rad)), con lắc dao động điều hoà
với chu kỳ:
g
l
T
π
2=
Trong đó:l là chiều dài của con lắc (đơn vị là mét); g là gia tốc trọng trường tại vị trí đặt con lắc
( đơn vị m/s
2
).
2. Con lắc đồng hồ.
- Đồng hồ quả lắc có con lắc làm bằng thanh kim loại mảnh và dao động của con lắc có
thể coi như dao động điều hoà của con lắc đơn.
- Chu kỳ chạy đúng của đồng hồ là T (thường T =2s); trong một số trường hợp do nhiệt
độ môi trường thay đổi và vị trí đặt con lắc thay đổi nên đồng hồ chạy sai. Gọi chu kỳ chạy sai
của đồng hồ là T2 (còn chu kỳ chạy đúng T =T1) và độ biến thiên chu kỳ là
∆
T = T2 – T1. Nếu:
+
∆
T> 0: T2 > T1: Chu kỳ tăng, đồng hồ chạy chậm.

+
∆
T< 0: T2 < T1 :Chu kỳ giảm, đồng hồ chạy nhanh.
+
∆
T= 0. Chu kỳ không đổi, con lắc chạy đúng.
- Thời gian con lắc đồng hồ chạy sai sau khoảng thời gian
τ
:
+ Thời gian biểu kiến con lắc chạy sai chỉ là:
1
'
nT=
τ
.
Với n là số chu kỳ con lắc chạy sai T2 trong khoảng thời gian
τ
:
2
T
n
τ
=
.
+ Thời gian chạy sai:
12
'
T
T
T

T
∆
≈
∆
=−=
ττττθ
Nếu T2 thay đổi không đáng kể so với T1 thì:
1
T
T∆
≈
τθ
II. CÁC DẠNG BÀI TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Chu kỳ con lắc đơn thay đổi theo chiều dài l.
1.1/ Con lắc đơn có chiều dài cắt ghép.
1.2/ Chu kỳ của con lắc vướng đinh .
1
α
B
l
A
m
1.3/ Chiều dài con lắc đơn thay đổi theo nhiệt độ môi trường.
1.4/ Chiều dài con lắc thay đổi do cắt (hoặc thêm) một lượng rất nhỏ
l
∆
Dạng 2: Chu kỳ con lắc đơn thay đổi theo gia tốc trọng trường g.
2.1/ Gia tốc g thay đổi theo độ cao.
2.2/ Gia tốc trong trường g thay đổi theo độ sâu.
2.3/ Thay đổi vị trí địa lí đặt con lắc.

Dạng 3: Thay đổi đồng thời cả chiều dài l và gia tốc trọng trường g.
3.1/ Thay đổi nhiệt độ môi trường và thay đổi gia tốc trọng trường g.
3.2/ Chiều dài con lắc thay đổi do cắt (hoặc thêm) một lượng
l
∆
và thay đổi
gia tốc g.
Dạng 4: Chu kỳ con lắc đơn thay đổi khi có thêm lực lạ.
4.1/ Lực lạ là lực đẩy Acsimet.
4.2/ Lực là lực điện.
4.3/ Lực là là lực quán tính.
Sử dụng một số công thức gần đúng:
Nếu
ε
rất nhỏ so với 1 thì:
;1)1(
εε
n
n
+≈+

;1)1(
εε
n
n
−≈−
2121
1)1)(1(
εεεε
±±≈±±

Dạng 1: Chu kỳ con lắc đơn thay đổi theo chiều dài l
1.1/ Con lắc đơn có chiều dài cắt ghép.
* Phương pháp:
- Viết công thức tính chu kỳ T theo chiều dài l
1
;l
2
:( giả sử l
2
>l
1
).
g
l
T
1
1
2
π
=
g
l
T
2
2
2
π
=
- Chu kỳ T của con lắc chiều dài l là
g

l
T
π
2=
l = l
1
+l
2
Biến đổi ta được :
2
2
2
1
TTT +=
l = l
1
- l
2
Tương tự:
2
2
2
1
TTT −=
* Ví dụ:
Ví dụ 1: Con lắc đơn chiều dài l
1
dao động điều hoà tại một nơi với chu kỳ T
1
= 1,5s. Con lắc

đơn chiều dài l
2
cũng dao động điều hoà tại nơi đó với chu kỳ T
2
=0,9s. Tính chu kỳ của con lắc
chiều dài l dao động điều hoà ở nơi trên với:
l = l
1
+l
2
và l = l
1
- l
2
2
Hướng dẫn:
-Với l = l
1
+l
2
Sử dụng công thức
2
2
2
1
TTT +=
Thay số:
sT 75,19,05,1
22
=+=

-Với l = l
1
- l
2
Sử dụng công thức
2
2
2
1
TTT −=
Thay số:
sT 2,19,05,1
22
=−=
Ví dụ 2:
Một con lắc đơn có dây treo chiều dài l. Người ta thay đổi độ dài của nó tới giá trị l
’
sao cho chu
kỳ dao động mới chỉ bằng 90% chu kỳ dao động ban đầu. Hỏi chiều dài l
’
bằng bao nhiêu lần
chiều dài l ?
Hướng dẫn: Chu kỳ con lắc chiều dài l và l
’
lần lượt là:
g
l
T
π
2

1
=
và
g
l
T
'
2
2
π
=
Tỷ số:
9,0%90
'
1
2
===
l
l
T
T

ll 81,0
'
=⇒
Ví dụ 3:
Tại một nơi trên mặt đất một con lắc đơn dao động điều hoà.Trong khoảng thời gian
t∆
, con
lắc thực hiện 60 dao động toàn phần; thay đổi chiều dài con lắc một đoạn 44 cm thì cũng trong

khoảng thời gian
t∆
ấy, nó thực hiện 50 dao động toàn phần. Xác định chiều dài ban đầu của
con lắc ?
Hướng dẫn:
Gọi chu kỳ con lắc chiều dài l
1
, l
2
là T
1
;T
2
Xét trong khoảng thời gian
t
∆
như nhau thì: 60T
1
= 50T
2
5
6
1
2
1
2
==⇒
l
l
T

T

25
36
1
2
=⇒
l
l

12
25
36
ll =⇒
và l
2
= l
1
+44.
Giải hệ được: l = 100 cm.
1.2/Chu kỳ của con lắc vướng đinh .
*Phương pháp:
Một dao động toàn phần của con lắc bị
vướng đinh gồm 2 giai đoạn:
+ Giai đoạn đầu con lắc dao động với
chiều dài l và chu kỳ
g
l
T
π

2
1
=
.
+ Giai đoạn còn lại nó dao động với
3
α
1
l
I
α
2
chiều dài l
’
(điểm treo con lắc là vị trí đinh)
và chu kỳ
g
l
T
'
2
2
π
=
.
Chu kỳ của con lắc là:
)(
2
1
2

1
2
1
2121
TTTTT +=+=
* Ví dụ:
Một con lắc đơn gồm một quả cầu nhỏ khối lượng m làm bằng thép treo vào đầu một sợi dây
mềm có khối lượng không đáng kể dài l = 1 m.Phía dưới điểm treo Q theo phương thẳng đứng
của sợi dây có một chiếc đinh được đóng vào điểm O
’
cách Q một đoạn O
’
Q = 50 cm sao cho
con lắc bị vấp phải đinh trong quá trình dao động điều hoà.
a/ Xác định chu kỳ dao động của quả cầu? cho gia tốc g = 9,8 m/s
2
b/Nếu không đóng đinh vào O
’
mà đặt tại vị trí cân bằng O một tấm thép được giữ cố định thì
hiện tượng xảy ra như thế nào? (Coi rằng va chạm của quả cầu vào vật cản là hoàn toàn đàn hồi)
Hướng dẫn:
a/ Trong quá trình dao động con lắc bị vướng vào đinh O
’
nằm trên phương thẳng đứng của
dây treo nên mỗi dao động toàn phần của con lắc gồm 2 giai đoạn
+ Giai đoạn đầu con lắc dao động với chiều dài l =1m và chu kỳ
s
g
l
T 2

8,9
1
22
1
===
ππ
.
+ Giai đoạn còn lại nó dao động với chiều dài l
’
= OO
’
=0,5m và chu kỳ
s
g
l
T 4,1
8,9
5,0
22
'
2
===
ππ
.
Chu kỳ của con lắc bị vướng đinh là:
)(
2
1
2
1

2
1
2121
TTTTT +=+=
= 1/2 (2+1,4) = 1,7 s
b/ Tấm thép đặt tai VTCB O: Vì va chạm giữa quả cầu và tấm thép là hoàn toàn đàn hồi nên khi
quả cầu va chạm vào tấm thép nó sẽ bật ngược lại với vận tốc có cùng độ lớn ngay trước lúc va
chạm và vật lại lên đúng vị trí cao nhất A ( Vì cơ năng bảo toàn).
Vậy con lắc chỉ dao động trên cung OA nên chu kỳ dao động
là:
T = 1/2T
1
= 1 s.
*Ví dụ 1:
Một đồng hồ quả lắc đếm giây có chu kỳ T = 2s. Quả lắc được coi như một con lắc đơn với dây
treo và vật nặng làm bằng đồng có hệ số nở dài
α
= 17.10
-6
K
-1
. Giả sử đồng hồ chạy đúng ở chân không, nhiệt độ 20
0
c.
4
O
A
Tính chu kỳ của con lắc trong chân không ở 30
0
c ? ở 30

0
c đồng hồ chạy nhanh hay chậm? Mỗi
ngày chạy sai bao nhiêu?
Hướng dẫn: + Sử dụng công thức:
12
)
2
1
1( TtT ∆+=
α
Thay số:
2)).2030(10.17
2
1
1(
6
2
−+=
−
T
= 2,00017 s
+ Chu kỳ T
2
>T nên đồng hồ chạy chậm.
Thời gian chạy chậm trong một ngày đêm :
τ
= 24.60.60 s là:
t
T
T

∆=
∆
=
αττθ
2
1
1
= 24.3600.1/2.17.10
-6
.10 = 7,34 s.
Ví dụ 2:
Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ vào mùa nóng khi nhiệt độ trung bình là 32
0
c, con lắc có thể
xem là con lắc đơn. Hệ số nở dài của dây treo con lắc
α
= 2.10
-5
K
-1
. Vào mùa lạnh nhiệt độ trung bình là 17
0
c hỏi con lắc sẽ chạy như thế nào? Một
tuần nó chay sai bao nhiêu?
Hướng dẫn: Do nhiệt độ vào mùa đông giảm nên chu kỳ con lắc giảm, đồng hồ chạy nhanh.
Một tuần :
τ
= 7.24.60.60 s đồng hồ chạy nhanh một thời gian:
t
T

T
∆=
∆
=
αττθ
2
1
1
= 7.24.3600.1/2.2.10
-5
.15 = 90,72 s.
Ví dụ 3: Con lắc đồng hồ có dây treo làm bằng thanh kim loại mảnh. khi nhiệt độ môi trường
tăng thêm 10
0
c thì trong 12 giờ con lắc chạy chậm 30s. Nếu muốn con lắc chạy mỗi ngày chỉ
chậm 45s thì nhiệt độ môi trường phải tăng lên bao nhiêu? Coi gia tốc trọng trường không thay
đổi.
Hướng dẫn:
Vận dụng công thức:
t
T
T
∆=
∆
=
αττθ
2
1
1
Khi nhiệt độ tăng thêm30

0
c thì mỗi ngày sẽ chạy chậm:
1 1
1
60
2
t s
θ α
= ∆ =
;
Nếu con lắc chạy chậm mỗi ngày 45s thì nhiệt độ tăng lên
2
t∆
thoả mãn:
0
2 2 2 1
1
45 3 / 4 11,25
2
t s t t c
θ α
= ∆ = ⇒ ∆ = ∆ =
1.3.Chiều dài con lắc đơn thay đổi theo nhiệt độ môi trường.
- Con lắc đơn có dây treo làm bằng thanh kim loại mảnh khi nhiệt độ môi trường thay đổi từ t
1

đến t
2
thì chiều dài của dây được xác định bởi:
).1(

12
tll ∆+=
α
5
O
với
12
ttt −=∆
: Là độ biến thiên nhiệt độ của môi trường;
α
: là hệ số nở dài của kim loại (Thường có giá trị rất nhỏ).
* Phương pháp:
+ Công thức tính chu kỳ T
1
; T
2
tương ứng với chiều dài l
1
, l
2
của con lắc:
g
l
T
1
1
2
π
=
g

l
T
2
2
2
π
=
+ Xét tỷ số:
tt
l
tl
l
l
T
T
∆+≈∆+=
∆+
==
αα
α
2
1
1)1(
)1(
2
1
1
1
1
2

1
2
12
)
2
1
1( TtT ∆+=⇒
α
Và :
t
T
TT
T
T
∆=
−
=
∆
α
2
1
1
12
1
* Nhận xét: Khi nhiệt độ của môi trường tăng thì chu kỳ của con lắc sẽ tăng (đồng hồ
chạy chậm) và ngược lại.
Thời gian chạy sai sau một khoảng thời gian
τ
:
t

T
T
∆=
∆
=
αττθ
2
1
1
*Ví dụ 1:
Một đồng hồ quả lắc đếm giây có chu kỳ T = 2s. Quả lắc được coi như một con lắc đơn với dây
treo và vật nặng làm bằng đồng có hệ số nở dài
α
= 17.10
-6
K
-1
. Giả sử đồng hồ chạy đúng ở chân không, nhiệt độ 20
0
c.
Tính chu kỳ của con lắc trong chân không ở 30
0
c ? ở 30
0
c đồng hồ chạy nhanh hay chậm? Mỗi
ngày chạy sai bao nhiêu?
Hướng dẫn: + Sử dụng công thức:
12
)
2

1
1( TtT ∆+=
α
Thay số:
2)).2030(10.17
2
1
1(
6
2
−+=
−
T
= 2,00017 s
+ Chu kỳ T
2
>T nên đồng hồ chạy chậm.
Thời gian chạy chậm trong một ngày đêm :
τ
= 24.60.60 s là:
t
T
T
∆=
∆
=
αττθ
2
1
1

= 24.3600.1/2.17.10
-6
.10 = 7,34 s.
6
Ví dụ 2:
Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ vào mùa nóng khi nhiệt độ trung bình là 32
0
c, con lắc có thể
xem là con lắc đơn. Hệ số nở dài của dây treo con lắc
α
= 2.10
-5
K
-1
. Vào mùa lạnh nhiệt độ trung bình là 17
0
c hỏi con lắc sẽ chạy như thế nào? Một
tuần nó chay sai bao nhiêu?
Hướng dẫn: Do nhiệt độ vào mùa đông giảm nên chu kỳ con lắc giảm, đồng hồ chạy nhanh.
Một tuần :
τ
= 7.24.60.60 s đồng hồ chạy nhanh một thời gian:
t
T
T
∆=
∆
=
αττθ
2

1
1
= 7.24.3600.1/2.2.10
-5
.15 = 90,72 s.
Ví dụ 3: Con lắc đồng hồ có dây treo làm bằng thanh kim loại mảnh. khi nhiệt độ môi trường
tăng thêm 10
0
c thì trong 12 giờ con lắc chạy chậm 30s. Nếu muốn con lắc chạy mỗi ngày chỉ
chậm 45s thì nhiệt độ môi trường phải tăng lên bao nhiêu? Coi gia tốc trọng trường không thay
đổi.
Hướng dẫn:
Vận dụng công thức:
t
T
T
∆=
∆
=
αττθ
2
1
1
Khi nhiệt độ tăng thêm30
0
c thì mỗi ngày sẽ chạy chậm:
1 1
1
60
2

t s
θ α
= ∆ =
;
Nếu con lắc chạy chậm mỗi ngày 45s thì nhiệt độ tăng lên
2
t∆
thoả mãn:
0
2 2 2 1
1
45 3 / 4 11,25
2
t s t t c
θ α
= ∆ = ⇒ ∆ = ∆ =
1.4/Chiều dài con lắc thay đổi do cắt (hay thêm)
một lượng rất nhỏ ∆l
* Phương pháp:
+ Chu kỳ T theo chiều dài l
1
; l
2
:( giả sử l
2
= l
1
+
l∆
).

g
l
T
1
1
2
π
=
g
l
T
2
2
2
π
=
+ Tỷ số:
1
2
1
11
1
1
2
1
2
2
1
1)1(
l

l
l
l
l
ll
l
l
T
T
∆
+≈
∆
+=
∆+
==
Khi đó:
1
1
2
)
2
1
1( T
l
l
T
∆
+≈
7
Và:

11
12
1
2
1
l
l
T
TT
T
T ∆
=
−
=
∆
Với
l
∆
= l
2
- l
1
+ Thời gian chạy sai sau khoảng thời gian
τ
11
2
1
l
l
T

T
∆
=
∆
=
ττθ
* Ví dụ 1:
Một con lắc đếm giây có chu kỳ chạy đúng T = 2 s. Người ta thay đổi một lượng nhỏ chiều dài
con lắc thì thấy mỗi ngày nó chạy nhanh 90s. Hỏi chiều dài đã thay đổi một lượng bằng bao
nhiêu chiều dài ban đầu,biết gia tốc trọng trường của con lắc không thay đổi.
Hướng dẫn: Vì đồng hồ chạy nhanh (chu kỳ giảm) và gia tốc trọng trường g không thay đổi
nên chiều dài con lắc phải giảm.
Sử dụng công thức:
90
2
1
.3600.24
2
1
111
=
∆
=
∆
=
∆
=
l
l
l

l
T
T
ττθ
=
∆
⇒
1
l
l
0,00208 = 0,208%
Vậy chiều dài của con lắc giảm đi một đoạn bằng 0,208% chiều dài ban đầu.
Ví dụ 2.
Một con lắc đơn dao động nhỏ với chu kỳ T.Nếu chu kỳ của con lắc bị giảm 1% so với giá trị
lúc đầu thì chiều dài của con lắc sẽ thay đổi như thế nào? Bằng bao nhiêu phần trăm so với
chiều dài ban đầu?
Hướng dẫn:
Vì chu kỳ tỷ lệ thuận với căn bậc hai chiều dài nên chu kỳ giảm chiều gài cũng giảm:
Vận dụng công thức :
0,01 0,02
2
T l l
T l l
∆ ∆ ∆
= = ⇒ =
Vậy chiều dài con lắc giảm 2%.
Dạng 2: Chu kỳ con lắc thay đổi theo gia tốc
trọng trường g.
2.1/Gia tốc g thay đổi theo độ cao.
* Phương pháp:

+Tại mặt đất gia tốc g được xác định: g = G
2
R
M
.
Chu kỳ
g
l
T
π
2
1
=
Tại độ cao h so với mặt đất ( h rất nhỏ so với R):
8
g
’
= G
2
)( hR
M
+
. Khi đó
'
2
2
g
l
T
π

=
+ Tỷ số
R
h
R
hR
g
g
T
T
+=
+
== 1
'
1
2
12
)1( T
R
h
T
+=⇒
R
h
T
T
=
∆
⇒
1

* Nhận xét: Đưa con lắc lên cao chu kỳ tăng nên đồng hồ chạy chậm. Thời gian con lắc
đồng hồ chạy chậm sau khoảng thời gian
τ
:
R
h
T
T
ττθ
=
∆
=
1
* Ví dụ 1:
Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ trên mặt đất với chu kỳ T =2s. Đưa con lắc lên độ cao
h=1km so với mặt đất và coi như nhiệt độ ở độ cao đó không đôi so với mặt đất.
a/ Xác định chu kỳ của con lắc tại độ cao đó? Cho bán kính trái đất R= 6370 km.
b/ Tại độ cao h con lắc chạy nhanh hay chậm , mỗi ngày chạy sai bao nhiêu?
Hướng dẫn:
a/Chu kỳ của đồng hồ ở độ cao h:
12
)1( T
R
h
T +=
Thay số:
2).
6370
1
1(

2
+=T
=2.00013 s.
b/Chu kỳ tăng, đồng hồ chạy chậm:
6370
1
.3600.24
1
==
∆
=
R
h
T
T
ττθ
= 13,569 s
Ví dụ 2:
Một con lắc đơn có chu kỳ dao động T = 4s tại mặt đất. Đem con lắc lên độ cao h so với mặt đất
thì chu kỳ dao động thay đổi 0,2% so với ban đầu. Tính độ cao h? Cho bán kính trái đất R =
6400 km.
Hướng dẫn: + Tại mặt đất chu kỳ T = 4s. Lên độ cao h chu kỳ T
’
và có:
∆
T = T
’
- T = 0,2% T
002,0=
∆

⇒
T
T
9
+ áp dụng công thức:
R
h
T
T
=
∆
002,0=⇒
R
h

kmRh 8,12002,0 ==⇒
2.2/ Gia tốc trong trường g thay đổi theo độ sâu.
*Phương pháp:
+ Tại mặt đất lực hấp dẫn của trái đất tác dụng lên vật:
mg
R
mR
G
R
Vm
G
R
mM
GF ====
2

3
22
3
4
.
.

πρ
ρ
Và chu kỳ
g
l
T
π
2
1
=
+ Xét ở độ sâu h trong lòng trái đất, lực hấp dẫn tác dụng lên vật:
'
2
3
2
'
2
'
'
)(
3
4
.

.

mg
R
mhR
G
R
mV
G
R
mM
GF =
−
===
πρ
ρ
Khi đó chu kỳ
'
2
2
g
l
T
π
=
+ Tỷ số
R
h
R
h

hR
R
g
g
T
T
2
1)1(
2
1
'
1
2
+≈−=
−
==
−
12
)
2
1( T
R
h
T +=⇒

R
h
T
T
2

=
∆
⇒
* Nhận xét: Đưa con lắc xuống sâu trong lòng đất chu kỳ của con lắc tăng lên, đồng hồ
chạy chậm.
Thời gian đồng hồ quả lắc chạy chậm sau khoảng thời gian
τ
:
R
h
T
T
2
1
ττθ
=
∆
=
* Ví dụ 1:
Một con lắc đơn có chu kỳ dao động nhỏ tại mặt đất là T= 2s. Đưa con lắc xuống giếng sâu
100m so với mặt đất thì chu kỳ của con lắc là bao nhiêu ? Coi trái đất như một hình cầu đồng
chất bán kính R = 6400km và nhiệt độ trong giếng không thay đổi so với nhiệt độ trên mặt đất.
Hướng dẫn:
Vận dụng công thức:
sT
R
h
T 0000156,2)
6400.2
1,0

1()
2
1(
12
=+=+=
Chu kỳ con lắc dưới giếng tăng lên so với con lắc đặt trên mặt đất.
10
Ví dụ 2:
Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ tren mặt ‘đất. Đưa đồng hồ lên cao 320m so với mặt đất
thấy đồng hồ chạy chậm. Đưa đồng hồ xuống hầm mỏ sâu h
’
so với mặt đất lại thấy đồng hồ
chạy giống ở độ cao h.
a/ Xác định độ sâu của hầm mỏ? Coi nhiệt độ không thay đổi .
b/ Sau một tuần thì đồng hồ chạy sai bao nhiêu thời gian? Coi trái đất hình cầu đồng chât bán
kính R = 6400km.
Giải:
a/ Gọi chu kỳ chạy đúng của đồng hồ là T
1
; chu kỳ ở độ cao h và ở hầm mỏ là T
2
và T
2
’
.
⇒
T
2
= T
2

’

11
T
T
T
T ∆
=
∆
⇒
b/ Thời gian đồng hồ chạy chậm sau 1 tuần :
Vận dụng công thức:
s
R
h
T
T
24,30
6400.2
64,0
.3600.24.7
2
1
===
∆
=
ττθ
2.3/ Thay đổi vị trí địa lí đặt con lắc.
* Phương pháp:
Đặt con lắc tại 2 vị trí A(g

1
); B(g
2
)
Với g
1
; g
2
lệch nhau không nhiều (Giả sử g
2
= g
1
+
g∆
)
thì chu kỳ con lắc lần lượt là:
1
1
2
g
l
T
π
=
và
2
2
2
g
l

T
π
=
11
1
2
1
1
2
2
1
g
g
gg
g
g
g
T
T
∆
−≈
∆+
==⇒
1
1
2
)
2
1( T
g

g
T
∆
−=⇒
Với
g∆
= g
2
-g
1
.
11
2g
g
T
T ∆
−=
∆
⇒
+ Thời gian con lắc đồng hồ chạy sai sau khoảng thời gian
τ
:
11
2g
g
T
T
∆
=
∆

=
ττθ
*Ví dụ 1.
11
mhh
R
h
R
h
6402
2
'
'
==⇒=⇔
Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ tại Hà Nội (T = 2s). Đưa con lắc vào Hồ Chí Minh giả sử
nhiệt độ không thay đổi, Biết gia tốc ở Hà Nội và Hồ Chí Minh lần lượt là: g
1
= 9,793m/s
2
và
g
2
= 9,787m/s
2
.
a/ Hãy xác định chu kỳ của con lắc tại Hồ Chí Minh?
b/ Tại Hồ Chí Minh con lắc chạy nhanh hay chậm? Sau 12giờ nó chạy sai bao nhiêu thời gian?
Hướng dẫn:
a/
g∆

= g
2
-g
1
= 9,787 – 9,793 = -0,006.
Sử dung công thức:
1
1
2
)
2
1( T
g
g
T
∆
−=
Thay số T
2
= 2,006 s.
b/ Chu kỳ tăng nên đồng hồ chạy chậm. Thời gian con lắc chạy chậm trong một ngày đêm:
s
g
g
T
T
23,13
793,9.2
006,0
.3600.12

2
11
==
∆
=
∆
=
ττθ
Ví dụ 2; Con lắc đơn dao động nhỏ được đưa từ Quảng Ngãi vào thành phố Hồ Chí Minh, thì
chu kỳ dao động tăng 0,015%. Xác định gia tốc tại Quảng Ngãi biết gia tốc trọng trương tại Hồ
Chí Minh là
g = 9,787m/s
2
?
Hướng dẫn: Vận dụng công thức:
11
2g
g
T
T ∆
−=
∆
⇒
0 0
0
2
0
0,00015 0,00015
0,00015 9,790 /
g

g g g
g
g g g m s
∆
⇒ = − ⇒ − = −
⇒ = + =
Dạng 3:Thay đổi đồng thời cả chiều dài l
và gia tốc trọng trường g.
3.1/Thay đổi nhiệt độ môi trường và thay đổi gia tốc trọng trường g.
Trường hợp 1: Gia tốc g thay đổi theo độ cao hoặc độ sâu.
*Phương pháp:
+ Tại mặt đất (nhiệt độ t
1
) chu kỳ con lắc :
g
l
T
1
1
2
π
=
+ Tại độ cao h so với mặt đất (nhiệt độ t
2
) chu kỳ là:
'
2
2
2
g

l
T
π
=
12
+ Xét tỷ số
1
2
T
T
:
R
h
t
R
h
t
g
g
l
l
T
T
+∆+≈+∆+==
αα
2
1
1)1.(1
'
1

2
1
2
12
)
2
1
1( T
R
h
tT +∆+=⇒
α
R
h
t
T
T
+∆=
∆
⇒
α
2
1
1
Với
12
ttt
−=∆
+ Nếu con lắc ở độ sâu h trong lòng đất thì:
R

h
t
T
T
22
1
1
1
2
+∆+≈
α
12
)
22
1
1( T
R
h
tT +∆+=⇒
α
R
h
t
T
T
22
1
1
+∆=
∆

⇒
α
+ Thời gian con lắc chạy sai sau khoảng thời gian
τ
:
Độ cao h:
)
2
1
(
1
R
h
t
T
T
+∆=
∆
=
αττθ
Độ sâu h:
)
22
1
(
1
R
h
t
T

T
+∆=
∆
=
αττθ
Ví dụ1:
Một con lắc đồng hồ được coi như một con lắc đơn nó chạy đúng ở ngang mực nước biển, nhiệt
độ 20
0
c. Đưa con lắc lên độ cao h = 3.2km, nhiệt độ
-10
0
c thì nó chạy nhanh hay chạy chậm? Mỗi ngày chạy sai bao nhiêu biết hệ số nở dài của con
lắc là
α
= 1,8.10
-5
K
-1
. Bán kính trái đất R = 6400 km.
Hướng dẫn: Sử dụng CT:
010.3,2
6400
2,3
)2010(10.8,1.
2
1
2
1
45

1
>=+−−=+∆=
∆
−−
R
h
t
T
T
α
Vậy đồng hồ chạy chậm.
Thời gian chạy chậm sau một ngày đêm:
s
R
h
t
T
T
87,1910.3,2.3600.24)
2
1
(
4
1
==+∆=
∆
=
−
αττθ
13

Ví dụ 2:
Một con lắc đồng hồ ( xem như con lắc đơn) chạy đúng với chu kỳ T =2 s tại mặt đất có nhiệt
độ 25
0
c. Dây treo con lắc làm bằng kim loại có hệ số nở dài
α
= 2.10
-5
K
-1
.
a/ Đưa con lắc lên độ cao 1,5km so với mặt đất con lắc lại chạy nhanh hay chạy chậm? Một
tuần chạy sai bao nhiêu? Coi nhiệt độ vẫn là 25
0
c.Cho biết bán kính trái đất R = 6400km.
b/ ở độ cao h=1,5km, muốn đồng hồ vẫn chạy đúng thì nhiệt độ ở đó phải là bao nhiêu?
Hướng dẫn:
a/ Tại mặt đất t
1
= 25
0
c, T = 2s. Lên độ cao h nhiệt độ môi trường không thay đổi nên chu kỳ
tăng lên. Đồng hồ chạy chậm.
Sau 1 tuần (7.24.3600s) đồng hồ chạy chậm một thời gian:
s
R
h
T
T
75,141

6400
5,1
.3600.24.7
1
===
∆
=
ττθ
b/ ở độ cao h =1,5km, nhiệt độ t
2
. Muốn chu kỳ con lắc không thay đổi ( vẫn là T)
00
1
=
∆
⇒=∆⇒
T
T
T
.
Vận dụng công thức:
0
2
1
2
1
1
=+∆⇒+∆=
∆
⇒

R
h
t
R
h
t
T
T
αα
0
5
12
56,1
10.2.6400
5,1.2
25
2
=−=−=⇒
−
α
R
h
tt
Ví dụ 3:
Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ trên mặt đất với chu kỳ T
0
ở nhiệt độ t
1
. Biết hệ số nở dài
của dây treo con lắc là

α
= 4.10
-5
K
-1
.
a/ Tại mặt đất nếu nhiệt độ của môi trường tăng thêm 30
0
c thì chu kỳ của con lắc sẽ tăng hay
giảm bao nhiêu phần trăm so với lúc đầu?
b/ Đưa đồng hồ lên độ cao h so với mặt đất, nhiệt độ giảm 25
0
c. Muốn đồng hồ vẫn chạy đúng
thì h bằng bao nhiêu?
c/ Người ta đưa đồng hồ trên xuống hầm mỏ sâu 400m so với mặt đất, nhiệt độ dưới hầm thấp
hơn nhiệt độ trên mặt đất 15
0
c, hỏi đồng hồ chạy thế nào? mỗi ngày đồng hồ chạy sai bao nhiêu?
Cho biết bán kính trái đất R = 6370km.
Hướng dẫn:
a/ Trên mặt đất chu kỳ con lắc thay đổi theo nhiệt độ. Nhiệt độ tăng do đó chu kỳ con lắc tăng.
Vận dụng công thức:
%06,010.630.10.4.
2
1
2
1
45
0
===∆=

∆
−−
t
T
T
α
14
b/ Đưa đồng hồ lên cao, gia tốc g giảm nhưng đồng thời nhiệt độ cũng giảm do đó chiều dài
con lắc giảm.
Vận dụng công thức:
R
h
t
T
T
+∆=
∆
α
2
1
0
Muốn chu kỳ con lắc không thay đổi thì
0
2
1
0 =+∆⇒=∆
R
h
tT
α

km
tR
h 18,3
2
)25.(10.4.6370
2
5
=
−
−=
∆
−=⇒
−
α
c/ Khi đưa con lắc xuống độ sâu h so với mặt đất sự biến thiên chu kỳ của con lắc thay đổi tính
theo công thức:
44
0
10.68,2
6370.2
4,0
)15(10.4.
2
1
22
1
−−
−=+−=+∆=
∆

⇒
R
h
t
T
T
α
0<∆T
nên đồng hồ chạy chậm.
Thời gian đồng hồ chạy sai sau một ngày :
s
R
h
t
T
T
20,23
6370.2
4,0
)15(10.4.
2
1
.3600.24)
22
1
(
5
0
=+−=+∆=
∆

=
−
αττθ
Trường hợp2: Gia tốc g thay đổi theo vị độ địa lí.
* Phương pháp:
+ Chiều dài con lắc phụ thuộc vào nhiệt độ: l
2
= l
1
(1+
t
∆
α
)
+Gia tốc trọng trường g tại 2 vị trí có vĩ độ khác nhau: g
1
; g
2
(giả sử g
2
= g
1
+
g∆
)
Ta có:
11
1
2
1

1
2
1
2
2
1
2
1
11
g
g
t
gg
g
t
g
g
l
l
T
T
∆
−∆+≈
∆+
∆+==
αα
11
2
1
2

1
g
g
t
T
T ∆
−∆≈
∆
⇒
α
+ Thời gian đồng hồ quả lắc chạy sai sau một thời gian
τ
:
)
2
1
2
1
(
11
g
g
t
T
T
∆
−∆≈
∆
=
αττθ

Ví dụ :
15
Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ tại Hà Nội được đem vào Hồ Chí Minh đã chạy chậm
34,56s trong một ngày đêm.
a/ Tính gia tốc g tai TP.HCM biết tại Hà Nội gia tốc là g
1
= 9,793m/s
2
và nhiệt độ tại Hà Nội
thấp hơn ở Hồ Chí Minh 10
0
c.
b/ Muốn đồng hồ ở HCM chạy đúng người ta đặt đồng hồ vào phòng có nhiệt độ thích hợp. Hỏi
nhiệt độ rong phòng và bên ngoài chênh lệch nhau là bao nhiêu? Cho hệ số nở dài của thanh
treo là 2.10
-5
K
-1
Hướng dẫn:
a/ Khi đưa đồng hồ từ Hà Nội vào Hồ Chí Minh thì chu kỳ dao động của quả lắc đồng hồ chịu
ảnh hưởng đồng thời của nhiệt độ và gia tốc g do thay đổi vĩ độ.
Vận dụng công thức:
)
2
1
2
1
(
11
g

g
t
T
T
∆
−∆≈
∆
=
αττθ
Vì đồng hồ chạy chậm mỗi ngày 34,56s nên:
56,34)
2
1
2
1
(
1
=
∆
−∆≈
g
g
t
ατθ
4
1
10.4
2
1
2

1
−
=
∆
−∆
g
g
t
α

4
1
10.4
2
1
2
1
−
−∆=
∆
t
g
g
α
445
1
10.610.810.10.2
−−−
−=−=
∆

⇒
g
g
4 2
2 1 1 2
6.10 9,787 /g g g g m s
−
⇒ − = − ⇒ =
b/ Gọi nhiệt độ ở Hà Nội: t
1
; HCM: t
2
; trong phòng ở HCM : t
2
’
'
2 2 2
' ' '
2 2 2
1
1 .
(1 . ) 2
T l l
t
T l l t
α
α
= = ≈ − ∆
+ ∆
Mặt khác:

1
12
1
2
2
1
)(
2
1
1
g
g
tt
T
T
∆
−−+≈
α
Và T
2
’
= T
1
.
Giải hệ được: Nhiệt độ trong phòng và bên ngoài ở TP.HCM chêch
lệch -25
0
c.
3.2/ Chiều dài con lắc thay đổi do cắt (hoặc thêm)
một lượng ∆l và thay đổi gia tốc g.

Trường hợp 1: g thay đổi khi thay đổi độ cao (hoặc độ sâu) của con lắc.
* Phương pháp:
Chiều dài của con lắc tại mặt đất và ở độ cao h là: l
1
; l
2
16
( Giả sử l
2
= l
1
+
l
∆
21
lll
−=∆⇒
)
Chu kỳ dao động lần lượt T
1
;T
2
:
Lập tỷ số
1
2
T
T
:
'

1
2
1
2
g
g
l
l
T
T
=
+ Con lắc ở độ cao h:
R
h
l
l
R
h
l
l
g
g
l
l
T
T
+
∆
+≈+
∆

+==
11
'
1
2
1
2
2
1
1)1()1(
R
h
l
l
T
T
+
∆
=
∆
⇒
11
2
1
+ Con lắc ở độ sâu h:
R
h
l
l
T

T
22
1
11
+
∆
=
∆
⇒
+Với con lắc đồng hồ, thời gian chạy sai sau khoảng thời gian
τ
:
Độ cao h:
)
2
1
(
1
R
h
l
l
T
T
+
∆
=
∆
=
ττθ

Độ sâu h:
)
22
1
(
1
R
h
l
l
T
T
+
∆
=
∆
=
ττθ
Trường hợp 2: Thay đổi vĩ độ địa lí đặt con lắc.
* Phương pháp:
+ Vị trí A(gia tốc trọng trường g
1
), vị trí B(gia tốc trọng trường g
2
)
( giả sử g
2
= g
1
+

g∆

12
ggg −=∆⇒
)
111
1
1
1
2
1
1
2
1
2
2
1
2
1
1
g
g
l
l
gg
g
l
ll
g
g

l
l
T
T
∆
−
∆
+≈
∆+
∆+
==
1
11
2
)
2
1
2
1
1( T
g
g
l
l
T
∆
−
∆
+≈⇒
Và

111
2
1
2
1
g
g
l
l
T
T ∆
−
∆
≈
∆
+Thời gian đồng hồ quả lắc chạy sai sau một thời gian
τ
:
)
2
1
2
1
(
111
g
g
l
l
T

T
∆
−
∆
≈
∆
=
τθ
Ví dụ 1:
Một con lắc đơn có chu kỳ dao động nhỏ tại mặt đất T = 2,006s.
a/ Tính chiều dài của con lắc biết tại mặt đất g = 9,8m/s
2
.
17
b/Để chu kỳ của con lắc không thay đổi khi đưa lên độ cao h người ta đã thay đổi chiều dài của
con lắc 1mm. Hỏi chiều dài đã tăng hay giảm? Độ cao h bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn:
a/ Vận dụng công thức:
2
l
T
g
π
=
. Suy ra l=1m
b/ Khi lên cao gia tốc trọng trường giảm. Để chu kỳ không đổi thì chiều dài cũng phải giảm.
Gọi
l
∆
là độ giảm chiều dài thì

2 1
1l l l mm∆ = − = −
Vận dụng công thức:
R
h
l
l
T
T
+
∆
=
∆
⇒
11
2
1
.
0
2
R l
T h
l
∆
⇒ ∆ = ⇒ ≈
Thay số h=3,2km.
Ví dụ 2:
Một con lắc đơn dao động điều hoà có chu kỳ T= 1 s tại Hà Nội có gia tốc trọng trường là g
1
=

9,787 m/s
2
,đưa con lắc sang Pa-ri có gia tốc g
2
= 9,805 m/s
2
,coi nhiệt độ ở 2 nơi là như nhau.
a/ Tại Pa-ri chu kỳ con lắc tăng hay giảm? sai lệch bao nhiêu phần trăm so với tại Hà Nội?
b/ Muốn chu kỳ dao động của con lắc tại Pa-ri vẫn là 1s thì chiều dài con lắc phải thay đổi như
thế nào so với chiều dài ban đầu?
Hướng dẫn:
+ Tại Hà Nội: g
1
= 9,787 m/s
2
; T= 1 s
Tại Pa-ri chu kỳ dao động T
’
:
a/ Vận dụng công thức:
4
1
10.2,9
787,9
787,9805,9
2
1
2
1
−

−=
−
−=
∆
−≈
∆
g
g
T
T
0
'
TTT −=∆⇒
. Vậy chu kỳ tại Pa-ri giảm.
%092,010.2,9
4
==
∆
−
T
T
b/ Để tại Pa-ri chu kỳ con lắc vẫn là 1s thì
0=∆T
.
Vận dụng công thức:
3
11111
10.8,1
878,9
787,9805,9

2
1
2
1
−
=
−
=
∆
=
∆
⇒
∆
−
∆
≈
∆
g
g
l
l
g
g
l
l
T
T
Vậy chiều dài phải tăng thêm 0,18% chiều dài ban đầu.
Ví dụ 3: Đưa một con lắc đơn từ mặt đất lên độ cao h=9,6km. Biết bán kính trái đất R=6400km,
coi chiều dài của con lắc đơn không phụ thuộc vào nhiệt độ. Muốn chu kỳ của con lắc đơn

không thay đổi thì chiều dài của con lắc phải thay đổi thế nào?
Hướng dẫn:
18
Vận dụng công thức sự biến đổi chu kỳ theo độ cao và theo nhiệt độ:
1
. .
2
T h
t
T R
α
∆
= + ∆
Vì chu
kỳ không thay đổi nên
2 2.9,6
0 0,003
6400
0
l h
T
l R
l
l
∆
∆ = ⇒ = − = − = −
∆
⇒ p
Vậy chiều dài con lắc đơn giảm 0,3%chiều dài ban đầu.
Dạng 4: Chu kỳ con lắc đơn thay đổi

khi có thêm lực lạ.
* Phương pháp:
Ngoài trọng lực
P
con lắc còn chịu thêm tác dụng của những lực
F
không đổi thì coi
như con lắc chịu tác dụng của trọng lực hiệu dụng
hd
P
với
hd
P
=
P
+
F
hd
P
gây ra
hd
g
(ở VTCB nếu cắt dây vật sẽ rơi với gia tốc
hd
g
này)
hd
g
=
m

P
hd
Chu kỳ mới của con lắc được xác định bởi:
hd
g
l
T
π
2=
4.1/ Lực lạ là lực đẩy Acsimet.
Ví dụ 1: Hãy so sánh chu kỳ của con lắc đơn trong không khí với chu kỳ của nó trong
chân không biết vật nặng có khối lượng riêng D, không khí có khối lượng riêng là d.
* Phương pháp:
Trong chân không:
g
l
T
π
2
0
=
Trong không khí:
hd
P
=
P
+
a
F
P

hd
= P - F
a
g
D
d
g
DV
dVg
gg
hd
−=−=
T =






−
D
d
g
l
1
2
π
D
d
T

T
−
=
1
1
0
19
P
a
F
4.2/ Lực lạ là lực điện
Ví dụ 1: Con lắc đơn có chiều dài l, vật nặng m tích điện +q đặt trong điện trường đều có cường
độ
E
ở nơi có gia tốc trọng trường g có chu kỳ dao động như thế nào?
*Phương pháp:
a) Khi cường độ điện trường hướng thẳng đứng xuống dưới:
hd
P
=
P
+
F
P
hd
= P+F
m
qE
g
m

F
gg
hd
+=+=
hd
g
l
T
π
2=
m
qE
g
l
+
=
π
2
b) Khi cường độ điện trường hướng thẳng đứng lên trên:
hd
P
=
P
+
F
P
hd
= P- F
m
qE

g
m
F
gg
hd
−=−=
hd
g
l
T
π
2=
m
qE
g
l
−
=
π
2
(điều kiện:
m
qE
g >
)
Nếu F>P thì có hiện tượng như bóng bay và
g
m
qE
l

T
−
=
π
2
c) Khi cường độ điện trường hướng sang phải:
* Vị trí cân bằng được xác định bởi
θ
:
tan
θ
=
mg
qE
P
F
=
*
hd
P
=
P
+
F
Theo hình vẽ:
( )
2
2
qEPP
hd

+=
20
P
F
E
P
F
E
hd
P
F
P
θ
E
2
2






+=
m
qE
gg
hd
2
2
2







+
=
m
qE
g
l
T
π
d) Khi cường độ điện trường có hướng hợp với phương ngang một
góc
β
:
hd
P
=
P
+
F
Theo hình vẽ:
( )
( )
β
−−+=
0

2
22
90cos 2 qEPqEPP
hd
( )
β
−−






+=
0
2
2
90cos 2
m
qE
g
m
qE
gg
hd
hd
g
l
T
π

2=
* Vị trí cân bằng được xác định bởi
θ
:
Theo định lí hàm số cos:
( )
θ
cos 2
22
2
hdhd
PPPPqE −+=
4.3/ Lực lạ là lực quán tính
a) Khi điểm treo con lắc có gia tốc
0
a
hướng thẳng đứng lên
trên.
(Tức điểm treo chuyển động thẳng đứng lên trên nhanh dần đều
hoặc chuyển động thẳng đứng xuống dưới chậm dần đều)
Ở đây :
hd
P
=
P
+
Fqt
P
hd
= P + F

qt
0
maPP
hd
+=
g
hd
=g+a
0
0
2
ag
l
T
+
=
π
b) Khi điểm treo con lắc có gia tốc
0
a
hướng thẳng đứng
xuống dưới.
(Tức điểm treo chuyển động thẳng đứng đi xuống nhanh dần đều
21
hd
P
F
P
θ
E

β
P
qt
F
0
a
P
qt
F
0
a
hoặc chuyển động thẳng đứng lên trên chậm dần đều)
Ở đây :
hd
P
=
P
+
Fqt
P
hd
= P - F
qt
0
maPP
hd
−=
g
hd
=g - a

0
0
2
ag
l
T
−
=
π
/
(điều kiện g>a
0
)
c) Khi điểm treo con lắc có gia tốc
0
a
hướng ngang sang
phải.
* Vị trí cân bằng được xác định bởi
θ
:
tan
θ
=
g
a
mg
ma
P
F

o
qt
==
0
*
hd
P
=
P
+
qt
F
Theo hình vẽ:
( )
2
0
2
maPP
hd
+=
2
0
2
agg
hd
+=
2
0
2
2

ag
l
T
+
=
π
d)Khi điểm treo con lắc có gia tốc
0
a
hướng xiên lên một góc
β
:
hd
P
=
P
+
qt
F
Theo hình vẽ:
( )
( )
β
+−+=
0
0
2
0
22
90cos 2 maPmaPP

hd
( )
β
+−+=
0
0
2
0
2
90cos 2 agagg
hd
hd
g
l
T
π
2=
* Vị trí cân bằng được xác định bởi
θ
:
Theo định lí hàm số cos:
( )
θ
cos 2
22
2
0 hdhd
PPPPma −+=
22
hd

P
qt
F
P
θ
0
a
qt
F
P
θ
0
a
β
hd
P
e)Khi điểm treo con lắc có gia tốc
0
a
hướng xiên xuống một
góc
β
:
hd
P
=
P
+
qt
F

Theo hình vẽ:
( )
( )
β
−−+=
0
0
2
0
22
90cos 2 maPmaPP
hd
( )
β
−−+=
0
0
2
0
2
90cos 2 agagg
hd
hd
g
l
T
π
2=
* Vị trí cân bằng được xác định bởi
θ

:
Theo định lí hàm số cos:
( )
θ
cos 2
22
2
0 hdhd
PPPPma −+=
Qua việc tổng hợp một số dạng bài tập về chu kỳ của con lắc đơn khi chiều dài và gia tốc trọng
trường thay đổi và vận dụng vào trong quá trình giảng dạy tôi thấy học sinh đã biết xác định
dạng bài trong từng trường hợp cụ thể và có kỹ năng tính toán.
Bên cạnh những kết quả đạt được khi vận dụng, song chuyên đề không tránh khỏi thiếu sót,
mong nhận được những nhận xét, góp ý của các thầy cô giáo để chuyên đề được hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
23
hd
P
qt
F
P
θ
0
a
β
β