Kiểm tra bài cũ:
Cho mạch điện 1 chiều như trên hình vẽ. Viết:
* Phương trinh định luật Kirchhoff 1 cho các nút a, b, c.
* Phương trinh định luật Kirchhoff 2 cho các vòng I, II, III
Bài 1.3. Các phương pháp cơ bản phân tích mạch điện
1. Phương pháp dịng điện nhánh
Ẩn số cần tìm là các dòng điện nhánh của mạch điện. Phương
pháp dòng điện nhánh là phương pháp cơ bản phân tích mạch và còn
được gọi là phương pháp các định luật Kirchhoff.
Các bước phân tích mạch:
+ Bước 1: Đánh dấu thứ tự các nút, nhánh và chọn chiều dòng điện
chạy trong các nhánh.
+ Bước 2: Chọn các mạch vòng độc lập và chọn chiều đi vịng.
+ Bước 3: Viết phương trình theo định luật Kirchhoff 1 đối với (n - 1)
nút, viết phương trình theo định luật Kirchhoff 2 đối với (m - n + 1)
mạch vịng độc lập thì chúng ta sẽ có hệ phương trình dịng điện
nhánh được viết dưới dạng ma trận như sau:
N I 0
M I E
(1.3.1)
Dễ dàng nhận thấy, hệ phương trình (1.3.1) gồm m phương trình (m
là số nhánh của mạch) và là hệ phương trình độc lập tuyến tính.
+ Bước 4: Giải hệ phương trình (1.3.1) để tìm ra dịng điện nhánh.
Thí dụ : Viết hệ phương trình dịng điện nhánh trong mạch điện
một chiều hình 1.6.
Nút a:
I1 I 4 I 5 0
(1)
Nút b:
I 2 I 5 I 6 0
(2)
Nút c:
I 3 I 4 I 6 0
(3)
Vòng I:
(4)
R1 I1 R2 I 2 R5 I 5 E1 E2
Vòng II:
(5)
R2 I 2 R3 I 3 R6 I 6 E2 E3
R4 I 4 R5 I 5 R6 I 6 E4
Vòng
III: dạng ma trận:
Viết dưới
(6)
1
0
0
R1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
0
R2
0
0
R5
R2
0
R3
0
0
R4
0
R5
0 I1 0
1 I2 0
1 I3 0
0 I 4 E1 E2
R6 I 5 E2 E3
R6 I 6 E4
Giải hệ phương trình trên ta tìm được dịng điện các nhánh: I1; I2 ; I3 ; I4; I5; I6
1.8. Phương pháp dòng điện vòng
Ẩn số của hệ phương trình là dịng điện vịng khép mạch trong các vịng
độc lập (các mắt lưới ). Hệ phương trình có: m-(n-1) phương trình.
Khi viết hệ phương trình ta vận dụng định luật Kirchhoff 2 viết cho một
vòng như sau:
Tổng đại số các điện áp rơi trên các phần tử của vòng do các dòng điện
vòng gây ra bằng tổng đại số các sức điện động của vịng. Trong đó các
dịng điện vịng, các sức điện động có chiều trùng với chiều đi vịng lấy dấu
dương, ngược lại lấy dấu âm.
Ví dụ: Cho mạch điện một chiều như hình
vẽ 1.7. Chọn các dịng vịng: II ; III ; IIII có
chiều đi vịng như hình vẽ.
Hệ phương trình viết theo định luật K2
cho các vòng như sau:
Vòng I: ( R1 R5 R2 ) I I R2 I II R5 I III E1 E2
Vong II: ( R2 R6 R3 ) I II R2 I I R6 I III E2 E3
Vòng III: ( R4 R5 R6 ) I III R5 I I R6 I II E4
Viết dưới dạng ma trận:
R2
R5
( R1 R5 R2 )
I I E1 E2
I E E
R2
( R2 R6 R3 )
R6
3
II 2
R5
R6
( R4 R5 R6 ) I III E4
Tổng quát dạng ma trận:
M vM I vM E vM
Trong đó:
T
+ I vM i I i II ... i M
là vector ma trận cột, mỗi phần tử của nó là các
dịng điện mạch vịng tương ứng.
T
+ E vM e I e II ... e M là vector ma trận cột, mỗi phần tử của nó là
tổng đại số các nguồn điện áp tác động chứa trong các nhánh thuộc mạch vòng
tương ứng.
T11 T12 ... T1M
+ M vM là ma trận toán tử:
T
T22 ... T2 M
21
M vM
Ma trận toán tử M vM , là ma trận
...
... ... ...
vuông cấp MxM. Các phần tử nằm
T
T
...
T
M1
M2
MM
trên đường chéo chính Tkk là tổng
các tốn tử nhánh của tất cả các
nhánh thuộc mạch vịng thứ k
ln mang dấu dương; các phần tử nằm ngồi đường chéo chính Tnm Tmn
( n m ) là tốn tử nhánh chung của mạch vòng thứ n và m, phần tử Tnm mang
dấu dương (+) khi dòng điện mạch vòng của mạch vòng thứ n và m chạy qua
nhánh chung là cùng chiều, ngược lại nếu dòng điện mạch vòng của mạch vòng
thứ n và m chạy qua nhánh chung là ngược chiều thì phần tử Tnm mang dấu âm
(-); nếu giữa mạch vòng n và mạch vòng m khơng có nhánh chung thì .Tnm Tmn 0
Giải hệ phương trình dịng điện vịng
ta được các giá trị dòng điện vòng II, III ;IIII
Dòng điện của một nhánh bằng tổng
đại số các dòng điện vòng qua nhánh ấy,
trong đó dịng điện vịng nào có chiều
trùng với chiều dòng điện nhánh sẽ lấy
dấu dương, ngược lại lấy dấu âm.
Dòng điện các nhánh là:
I 1 I I
I I
4
III
I 2 I II I I
I 5 I I I III
I 3 I II
I 6 I II I III
Các bước phân tích mạch theo phương pháp dịng điện mạch vòng:
+ Bước 1: Xác định các mạch vòng độc lập, chọn chiều của các dòng
điện mạch vòng độc lập.
+ Bước 2: Viết hệ phương trình theo định luật Kirchhoff 2 đối với (m - n
+1) mạch vòng độc lập:
+ Bước 3: Giải hệ phương trình để tìm ẩn số là dòng điện mạch vòng.
+ Bước 4: Xác định dòng điện nhánh theo các dịng điện mạch vịng đã
tìm được.
Ví dụ ứng dụng: Cho mạch điện 1 chiều như trên hình vẽ. Viết:
• Phương trinh định luật Kirchhoff 2 cho các vòng I, II, III ẩn số là các dịng vịng.
• Tìm các dịng điện nhánh.
Ta có hệ phương trình dịng vịng như sau:
( R1 R4 ) I I R4 I II E1 E4
( R3 R4 R5 ) I II R4 I I R6 I III R3 I IV E4
( R5 R6 ) I III R5 I II E6
( R2 R3 ) I IV R3 I II E2
Viết dưới dạng ma trận:
R1 R4
R
4
0
0
R4
0
0
R3 R4 R5
R6
R5
R5 R6
R3
0
I I E1 E4
R3 I II E4
0 I III E6
R2 R3 I IV E2
Ta có các dịng nhánh như sau:
I1 I I
I 2 I IV
I 4 I II I I
I 5 I II I III
I 3 I II I IV
I 6 I III
1.9. Phương pháp điện thế nút
Èn sè cđa hƯ ph¬ng trình là điện thế các nút. So với phơng pháp dòng
nhánh số phơng trình của phơng pháp điện thế nút giảm (m-n+1) phơng
trình.
Vớ d: Cho mch in mt chiu nh
hỡnh vẽ 1.8. Tìm các dịng điện nhánh.
Chọn 1 nút bất kỳ cho thế tại nút = 0.
Giả sử chọn φ3 = 0.
Theo định luật Ơm mở rộng, ta tìm dịng
các nhánh:
E1 U13
E1 U13 g1 E1 1 g1
R1
E U12
I2 2
E2 U12 g 2 E2 1 2 g 2
R
U12 2
I3
1 2 g3
R3
E U13
I4 4
E4 U13 g 4 E4 1 g 4
R4
U
I 5 23 2 g 5
R5
E6 U 23
I6
E6 U 23 g 4 E6 2 g 6
I1
Theo định luật Kirchhoff 1 tại nút 1:
I1 I 4 I 2 I 3 0
Thay vào, ta có:
E
1
1 g1 E4 1 g 4 E2 1 2 g 2 1 2 g3 0
Biến đổi và chuyển vế:
g
1
Đặt:
g 2 g 3 g 4 1 g 2 g3 2 E1 g1 E4 g 4 E2 g 2
g11 g1 g 2 g 3 g 4 g k
1
là: Tổng điện dẫn các nhánh nối tới nút 1.
Hay là Điện dẫn riêng tại nút 1.
Đặt:
g12 g 2 g 3 g k
12
là: Tổng điện dẫn nối trực tiếp
giữa 2 nút 1,2. Hay là Điện dẫn tương hỗ
giữa 2 nút 1,2.
Đặt: E1 g1 E4 g 4 E2 g 2 Ek g k J n1
1
là: Tổng đại số nguồn dòng tới nút 1.
(1)
Phương trình cho nút 1:
g
1
g 2 g 3 g 4 1 g 2 g3 2 E1 g1 E4 g 4 E2 g 2
(1)
Làm tương tự như nút 1, viết phương trình cho nút 2:
g
2
g3 g5 g 6 2 g 2 g3 1 E2 g 2 E6 g 6
(2)
Hệ 2 phương trình (1) và (2) có thể viết dưới dạng ma trận:
g1 g 2 g 3 g 4
g g
2
3
g 2 g3 1 E1 g1 E4 g 4 E2 g 2
g 2 g 3 g 5 g 6 2 E2 g 2 E6 g 6
Một cách tổng quát, mạch điện có n nút, từ nút 1 đến nút thứ (n-1) có
thể viết hệ phương trình dưới dạng ma trận sau:
g11
g
21
...
g ( n 1)1
g12
g 22
...
g ( n 1) 2
... g1( n 1) 1 J n1
... g 2 ( n 1) 2 J n 2
...
... ... ...
... g ( n 1)( n 1) ( n 1) J n ( n 1)
(3)
Từ hệ phương trình trên, ta tính được điện thế tại các nút: φ1 ; φ2….
Theo định luật Ơm, ta tính được dịng điện các nhánh .
E1 U13
E1 U13 g1 E1 1 g1
R1
E U12
I2 2
E2 U12 g 2 E2 1 2 g 2
R
U12 2
I3
1 2 g3
R3
E U13
I4 4
E4 U13 g 4 E4 1 g 4
R4
U
I 5 23 2 g 5
R5
E6 U 23
I6
E6 U 23 g 4 E6 2 g 6
R6
I1
Thuật toán giải mạch điện theo phơng pháp điện thế nót nh sau:
- Tuú ý chän 1nót, coi thÕ nót đó bằng 0. Giả sử chọn nút thứ n. Còn lại (n-1)
nút. Chọn thế các nút đó làm ẩn.
- Lập hệ phơng trình thế nút, có dạng:
g 111 g12 2 ... g1( n 1) ( n 1) Eg
1
g 211 g 22 2 ... g 2 ( n 1) ( n 1) Eg
(4)
2
g ( n 1)11 g ( n 2 ) 2 2 ... g ( n 1)( n 1) ( n 1) Eg
( n 1)
Hoặc viết dưới dạng ma trn nh (3)
Trong đó: g11 , g22 ,..., gii là tổng điện dẫn nối tới từng nút, gọi là điện dÉn
riªng cđa nót i.
g ii g k
i
g12 , g21 ,..., gij là tổng điện dẫn nối giữa 2 nút i, j gọi là điện dẫn tơng hỗ
g ij g k
gi÷a 2 nót i,j.
ij
Ek g k J ni là tổng nguồn dòng hớng tới nút i, nếu nguồn ®ã rêi khái nót i
i
sÏ mang dÊu ©m, híng tíi nút i sẽ mang dấu dơng.
- Giải hệ phơng trình (4) gồm (n-1) phơng trình, tìm đợc điện thế của (n-1)
nút. Sau đó áp dụng định luật Ôm cho từng nhánh để tính dòng điện trong
các nhánh .
Ví dụ:
Cho mạch điện một chiều như hình vẽ. Biết
E1 = 10V, E2 = 12V, E3 = 15V, E4 = 16V, R1 =
1Ω, R2 = 2 Ω, R3 = 3 Ω, R4 = 4 Ω, R5 = 5 Ω ,
R6 = 6 Ω. Tìm dịng điện các nhánh.
Giải:
Chọn φ4 = 0.
Điện dẫn riêng tại nút 1,2,3:
g11 g1 g 5 g 4 1,45S
g 22 g 2 g 5 g 6 0,867 S
g 33 g 3 g 4 g 6 0,75S
Điện dẫn tương hỗ tại các nút:
g12 g 21 g 5 0,2 S
g 23 g 32 g 6 0,167 S
g13 g 31 g 4 0,25S
Tổng nguồn dòng nối tới nút:
J n1 Ek g k E1 g1 E4 g 4 6 A
1
J n 2 Ek g k E2 g 2 6 A
2
J n 3 Ek g k E3 g 3 E4 g 4 9 A
3
Thay vào hệ phương trình:
g111 g12 2 g133 Ek g k
1
g 211 g 222 g 233 Ek g k
2
g 311 g 32 2 g 333 Ek g k
3
Ta có:
1,451 0,22 0,253 6
0,21 0,867 2 0,1673 6
0,251 0,167 2 0,753 9
Giải hệ phương trình trên, ta có điện thế tại các nút là:
1 12,617V
2 11,386V
3 8,069V
Theo định luật Ơm mở rộng, ta tìm dịng các nhánh:
E1 U14
E1 U14 g1 E1 1 g1 2,617 A
R1
E2 U 24
I2
E2 U 24 g 2 E2 2 g 2 0,307 A
R2
E3 U 34
I3
E3 U 34 g 3 E3 3 g 3 2,31A
R3
E U13
I4 4
E4 U13 g 4 E4 1 3 g3 2,863 A
R4
U
I 5 12 1 2 g 5 0,246 A
R5
I1
U
I 6 23 2 3 g 6 0,553 A
R6
BI TP V NH:
Bài 1. Cho mạch điện một chiều nh hình
vẽ 1.
Trong đó: R1 = 1; R2 = 2; R3 = 3;
E1 = 10V; E2 = 15V.
I1 =
Tìm dòng điện trong các nhánh.
0,45A
ỏp s:
I2 =
2,72A
I3 =
Bài 2. Cho mạch
điện mét chiỊu nh h×nh vÏ
3,17A
Hình 1
2. BiÕt :
E1 = 50V;
E2 = 80V;
R1 = 3;
R2 = 8;
R3 = 20;
R4 = 40;
R5 = 60;
Tính dòng điện các nhánh.
Đáp số: I1 = 1,52A ;I2 = 1,7A ;I3 = -2,1A ;
A
B
C
Hình 2
Bài 3. Cho mạch điện một chiều nh
hình vẽ 3. BiÕt:E1 = E2 = 12V; E4 =
E6 = 15V;
r1 = 2; r2 = 4; r3 = 10;
r4 = 5; r5 = 5; r6 = 2,5 .
Tìm dòng điện trong các nh¸nh.
Đáp số: I1 0,95 A
I 2 2,22 A
I 4 0,98 A
I 3 0,31A
I 5 2,64 A
I 6 1,96 A
Hình 3
Bài 4. Xác định dòng điện các nhánh
của mạch điện cho trên hình vẽ 4.
Biết : E1 = 120V; E2 = 110V; r1 = r2 = 1 ;
r3 =2 ; r4 =9 ; r5 = 4.
Đáp số:
I1 = 16,86A; I2 = 17,67A;
I3 = 5,4A; I4 = 11,46A; I5 = 23,07A.
Hình 4
Gustav Robert Kirchhoff
( 1824 – 1887) là một nhà
vật lý người Đức
Dinh luat Kirchhoff 1847