Bai 2 2 mach dao dong rlc

Bài 2.2. Mạch dao động RLC
2.5. Biểu diễn dòng điện sin bằng số phức
j

Cho:
i  I 2 sin(t  i )

u U 2 sin(t  u )
.

•

•

.

U Ue
Im ;U m
•

Biên độ phức;
Dạng đại số:

I ;U
.

j . i
.
e
m
m

U mU m .e j . u

j u

ψi

I.  I cos i  jI . sin i

U U cos u  jU . sin u
.

I 10e

i 10 2 sin(t  30 )
Ví dụ:

ψu
0

Hiệu dụng phức.

0

•

U

Biểu diễn: Thay trục Ox bằng trục số
thực +1 và thay trục Oy bằng trục ảo +j,
ta đã thực hiện việc biểu diễn đại lượng

sin bằng số phức
. trong tọa độ phức.
Dạng số mũ: I  Ie ji Hoặc: I I

0

u 200 2 sin(t  60 )

.

 j 30 0

U 200e

10  300
j 60 0

200600

.

I

+1


Chuyển sang dạng đại số:

I 10.e  j 30o 10 cos( 30o )  j10 sin( 30o ) 5 3  j 5
o

U 200.e j 60 200 cos(60o )  j 200 sin(60o ) 

100  j100 3
100 là phần thực của U :

100 3 là phần ảo của

100 ReU
U :100 3 ImU

Real part: Phần thực; Imaginary part: phần ảo

j 1

Là đơn vị ảo

Từ đó ta có: j2 = -1 hay:

 j

1
j

Chuyển các số phức từ dạng đại số sang dạng số mũ
Ví dụ: Cho các số phức sau: 4+j3; 4-j3 ; -4+j3 ; -4-j3 . Chuyển sang dạng số mũ


Giải: Cả 4 số phức trên có mơđun như nhau:

C  42  32 5

Để tính argumen có thể dựa vào các hình vẽ dưới đây:
3
36o87
4
3
C 4  j 3 :  arctg
 36o87
4
3
C  4  j 3 :  arctg
180o  36o87 143o13
 4
3
C  4  j 3 :  arctg
180o  36o87 216o87
 4
C 4  j 3 :  arctg

Tóm lại:
C 4  j 3 536o87
C 4  j 3 5  36o87
C  4  j 3 5143o13
C  4  j 3 5216o87 5  143o13


Nhắc lại một số phép tính về số phức
a) Cộng, trừ: Biến đổi về dạng đại số, cộng (trừ) phần thực với phần
thực, phần ảo với phần ảo.
Ví dụ:

(4+j3) + (5-j6) = (4 + 5) + j (3 - 6) = 9 – j3

b) Nhân (chia): Đưa về dạng mũ:
Nhân (chia) hai mơđun cịn acgumen thì cộng (trừ) cho nhau
Ví dụ:

o

o

5e j120 .2e j 40 10.e j160

o

o

255.e j 35
o

5.e j15

51.e j 20

o

Cũng có thể thực hiện dưới dạng đại số;
(4+j3) X (5-j6) = 4.5+ 4. -j6 + j3.5 -j2 3.6 = 38 – j9
Khi chia ta nhân tử và mẫu cho biểu thức liên hợp của mẫu:

a  jb (a  jb)(c  jd ) (ac  bd )  j (bc  ad ) (ac  bd )

(bc  ad )




j
c  jd (c  jd )(c  jd )
c2  d 2
c2  d 2
c2  d 2


c) Nhân số phức với

e  j

Ae j .e  j  Ae j (  )
d) Nhân số phức với

j

Theo công thức Ơle



e j / 2 cos( )  j sin( )  j
2
2



e  j / 2 cos( )  j sin( )  j
2
2

e) Biểu diễn đạo hàm, tích phân:

i I 2 sin t
di

 I 2 sin(t  )
dt
2
t

idt  2
0

.

I



j I


I
I

I

cos t  2 sin(t  ) 


2
j


2.6.

Dịng điện hình sin trong nhánh R -L-C nối tiếp

Khi có dịng điện i = I maxsinωt qua nhánh R -L-C nối tiếp (hình a) sẽ gây ra
những điện áp uR, uL, uC trên các phần tử R, L, C.
i


U

uR
u


U

L

C

uL

z

u -uC

uC

X=XL-XC

l L






U

R
R

Hình c)

Hình b)

Hình a)

 


Điện áp nguồn U bằng: U U  U  U

R

L

C

Từ đồ thị véctơ ta tính được trị số hiệu dụng của điện áp:
U  U 2R  (U L  U C ) 2  (IR ) 2  (IX L  IX C ) 2 I R 2  ( X L  X C ) 2 Iz

Trong đó: Z  R  (X  X )
2

L

Đặt:

X X  X
L
C

2

C

X được gọi là Điện kháng của nhánh.


Nghiên cứu nhánh R -L-C nối tiếp ta rút ra:
Quan hệ giữa trị hiệu dụng dòng và áp trên nhánh R -L-C nối tiếp
là:

U
I

U = Iz hoặc:
z
Điện áp lệch pha so với dịng điện một góc:  được tính như sau:
tg 

U L  U C I(X L  X C ) X L  X C X



UR
IR
R
R

Khi , X L - X C 0 góc  = 0 dịng điện trùng pha với điện áp, lúc này
ta có hiện tượng cộng hưởng điện áp, dòng điện trong nhánh đạt trị
số lớn nhất.
Nếu , XL  XC
 > 0, mạch có tính chất điện cảm, dịng điện
chậm sau điện áp một góc .
Nếu , XL .X
 < 0, mạch có tính chất điện dung, dịng điện
C
vượt trước điện áp một góc .


Ta có: u = uR + uL + uC

di 1
u Ri  L  idt
dt C
1
u Ri  jL.i 
.i
j C

1 
U RI  jLI  j
I
C
1 
U [ R  j (L 
)]I [ R  j ( X L  X C )]I ( R  jX ) I Z .I
C
Trong đó:

Z R  jX z.e j

là tổng trở phức của nhánh R-L-C nối tiếp

Nếu xét chung cho một mạng 2 cực khơng nguồn thì Z có thể được gọi là Trở kháng
của hai cực. Trong đó Trở kháng trên phần tử R là: ZR = R; Trở kháng trên phần tử
L là: ZL = jωL= jXL; Trở kháng trên phần tử C là: ZC = -j1/ωC = -jXC
Nghịch đảo của Z, ký hiệu là Y; gọi là Dẫn nạp của hai cực. Hay là Tổng dẫn của
mạch R – L – C nối tiếp.
1
1
R

 X
j
Y 
 2

j

G

jB

Y
e
Z R  jX R  X 2
R2  X 2
G: Điện dẫn; B: Điện nạp


Đồ thị biểu diễn sự thay đổi của R,
X, /Y/, /Z/ theo tần số được cho
trên hình vẽ.

R( ) R const
1
X ( ) L 
C
1 2
)
C
L  1 / C

 ( ) arctg
R
Z ( )  R 2  (L 

1
)
1
1

C
Y 

G ( )  jB ( )  Y ( ) e j ( )
Z R  j (L  1 ) R 2  (L  1 ) 2
C
C
1
1
Trong đó:
Y ( ) 

Z ( )
1 2
R 2  (L 
)
C
1





Nhận xét: Ở tần số
LC thì X = 0, B = 0, φ = 0, Z và Y chỉ có phần thực,
dịng i(t) và u(t) cùng pha với nhau, hai cực có tính thuần trở. ω0 là tần số cộng
hưởng.
R  j (L 

0


Mạch R – L – C song song
Theo định luật K1:

I I R  I L  IC
U U U
1
1
1

U .Y  

U ( 
 )
Z R Z L ZC
Z R Z L ZC
1
1
1 1
1
1

Y 

 
 jC g  j (C 
) G  jB  Y e j
Z R Z L Z C R j L
L
Y: Dẫn nạp của hai cực.

G ( ) g const
B ( ) C 

1
L

Y ( )  g 2  (C 
Z ( ) 

1

Y ( )

 ( ) arctg

1 2
)
L
1

g 2  (C 

C  1 / L
g

1 2
)
L

1




0
Nhận xét: Ở tần số
LC thì X = 0, B

= 0, α = 0, Z và Y chỉ có phần thực, dịng i(t)
và u(t) cùng pha với nhau, hai cực có tính
thuần trở. ω0 là tần số cộng hưởng.


Biểu diễn các định luật Kirchhoff dưới dạng phức


Định luật Kirchhoff 1:
Định luật Kirchhoff 2:

 I 0




 U  E

Công suất phức
~





j u

 j i

j (u  i )

S U I U .e I .e U .I .e
UI cos   jUI sin  P  jQ

UIe

j


Phức hóa sơ đồ mạch:

u (t ) 220 2 sin 3t ,V

 jX 1C

I1

I3
I2
jX 3 L

R2
U 22000V

R4
jX 2 L

I4

jX 1L

Sơ đồ phức hóa mạch hinh 1

 jX 5C
I5