Toán ứng dụng trong kinh tế Chương 4: Hàm số nhiều biến

CHƯƠNG 4: HÀM SỐ NHIỀU BIẾN


NỘI DUNG BÀI 4 GỒM CÁC PHẦN

4.1. Các khái niệm về hàm nhiều biến
4.2. Độ co giãn của cầu
4.3. Tối ưu hóa các hàm kinh tế


4.1. Hàm nhiều biến
• Định nghĩa hàm hai biến
• Đạo hàm riêng của hàm nhiều biến
• Cơng thức tính giá trị gần đúng của hàm hai biến


4.1. Hàm nhiều biến
4.1.1. Định nghĩa hàm hai biến
Hàm số (h/s) hai biến số f là một quy tắc sao cho ứng với mỗi cặp số
thực (x,y) ∈ D ⊂ 𝑅2 thì có tương ứng duy nhất một giá trị thực z ∈ R
kí hiệu z = f(x,y)
Tập D được gọi là tập xác định của hàm số
Tập tất cả giá trị z có thể nhận được gọi là tập giá trị của h/s
Các biến x, y được gọi là biến độc lập của hàm số ,z được gọi là biến
phụ thuộc (z cịn gọi là hàm số)
Ví dụ: Ta có các hàm hai biến sau
1) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 2 + 𝑦 2 − 3𝑥 + 4𝑦 + 1
2) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 1 − 𝑥 2 − 𝑦 2 + ln 𝑥 + 𝑦 ; 4)𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑒 𝑥𝑦 cos 𝑥 + 𝑦

3) 𝑧 =

𝑥 2 +𝑦 2 −5𝑥𝑦
𝑥−𝑦

5) Hàm sản xuất Cobb-Douglas
𝑄 = 𝑎𝐿𝛼 𝐾𝛽 (a, 𝛼, 𝛽 là các hằng số dương; L, K là biến độc lập, Q là
biến phụ thuộc)


• Tập xác định hàm hai biến:
TXĐ của hàm nhiều biến nói chung và
hàm hai biến nói riêng là một tập hợp
phẳng nằm trong mp (xoy)
Ví dụ 1. Tìm tập xác định của hàm số
𝑓 𝑥, 𝑦 = 9 − 𝑥 2 − 𝑦 2
Giải: HS xác định khi 9 − 𝑥 2 − 𝑦 2 ≥ 0 ⟺
𝑥2 + 𝑦2 ≤ 9
Vậy TXĐ là 𝐷 = 𝑥, 𝑦 |𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 9
D là hình trịn tâm O(0,0), bán kính R = 3


Ví dụ 2. Tìm TXĐ hàm số
𝑥+𝑦+1
𝑓 𝑥, 𝑦 =
𝑥−1
Lời giải: HS xác định khi 𝑥 + 𝑦 + 1 ≥
0, 𝑣à 𝑥 ≠ 1
⟹ 𝑥 + 𝑦 ≥ −1 𝑣à 𝑥 ≠ 1
Vậy TXĐ là
𝐷 = 𝑥, 𝑦 |𝑥 + 𝑦 ≥ −1 𝑣à 𝑥 ≠ 1
Vậy D là nửa mặt phẳng phía trên đường

thẳng x + y = 1
( mp chứa điểm O(0,0)), trừ các điểm của
đường thẳng x = 1
.


• Đồ thị hàm nhiều biến:
Đồ thị hàm nhiều biến nói chung là một mặt cong trong khơng gian
Ví dụ: Xét hàm số 𝑧 = 9 − 𝑥 2 − 𝑦 2
Ta có đẳng thức trên tương đương với 𝑧 2 = 9 − 𝑥 2 − 𝑦 2 , 𝑧 ≥ 0
𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 32 , 𝑧 ≥ 0
Do đó đồ thị h/s trên là nửa mặt cầu tâm O(0,0,0), bán kính R = 3
Nằm phía trên mp (xoy) , Hình b)


4.1.2. Đạo hàm riêng
a) Định nghĩa:
Cho hàm hai biến z = f(x,y). Ta biết rằng giá trị z phụ thuộc
vào giá trị x và y. Sự thay đổi của biến x và biến y dẫn đến
sự thay đổi của z. Nghiên cứu tốc độ thay đổi của z khi từng
biến thay đổi dẫn đến khái niệm đạo hàm riêng
Vì hàm có hai biến số nên ta có hai đạo hàm riêng tương
ứng với hai biến khác nhau.
𝜕𝑍
𝜕𝑓
hoặc
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝑓 𝑥+∆𝑥,𝑦 −𝑓(𝑥,𝑦)
lim

∆𝑥
∆𝑥→0

- Đạo hàm riêng của f theo x, kí hiệu
được định nghĩa
( với y cố định)

𝜕𝑓
bởi:
𝜕𝑥

=

hoặc 𝑓𝑥′


- Đạo hàm riêng theo y: Ký hiệu
𝜕𝑓
𝜕𝑦

=

𝑓 𝑥,𝑦+∆𝑦 −𝑓(𝑥,𝑦)
lim
∆𝑦
∆𝑦→0

𝜕𝑧 𝜕𝑓
; ;
𝜕𝑦 𝜕𝑦

𝑓𝑦′

(x cố định)

Chú ý: Từ định nghĩa ta có, để tính đạo hàm riêng của hàm f(x,y)
theo x ta coi y là hằng số và tính như tính đạo hàm của hàm
một biến. Tương tự, khi tính đạo hàm riêng của hàm f(x,y) theo
y, ta coi x là hằng số và tính tốn như tính cho hàm số một
biến số y
VD 1: Tính đạo hàm riêng của h/s
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 3 + 𝑥 2 𝑦 3 − 2𝑦 2
𝜕𝑓
𝜕𝑓
= 𝑓𝑥′ = 3𝑥 2 + 2𝑥𝑦 3 + 0;
= 𝑓𝑦′ = 0 + 3𝑥 2 𝑦 2 − 4𝑦
𝜕𝑥

𝜕𝑦

VD 2: Tính đạo hàm riêng của h/s (HV tự tính ?)
𝑧 = 𝑥 5 − 3𝑥 2 𝑦 3 + 2𝑥𝑦 2 + 2𝑥 + 3𝑦
𝑓 𝑥, 𝑦 =

𝑥
𝑒𝑦

+ sin(𝑥 + 𝑦)

b) Đạo hàm riêng cấp cao: Cho hàm số z = f(x,y)
𝜕𝑓 𝜕𝑓
- Các đhr , gọi là các đhr cấp 1 của hàm f. các đạo hàm riêng
𝜕𝑥 𝜕𝑦

cấp một của f theo x và y nói chung cũng là hàm hai biến số
- Gọi đhr của đhr cấp 1 là đhr cấp hai của hàm f
Có 4 ĐHR cấp 2 của hàm f, kí hiệu như sau:
𝜕2 𝑓
𝜕 𝜕𝑓
=
𝜕𝑥 2
𝜕𝑥 𝜕𝑥
𝜕2𝑓
𝜕

𝜕𝑦 2

=

𝜕𝑦
𝜕2𝑓
𝜕
=
𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑦
𝜕2𝑓
𝜕
=
𝜕𝑦𝜕𝑥 𝜕𝑥

′′
= (𝑓𝑥′ )′𝑥 = 𝑓𝑥𝑥
= 𝑓𝑥′′2

𝜕𝑓
′′
= (𝑓𝑦′ )′𝑦 = 𝑓𝑦𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑓
′′
= (𝑓𝑥′ )′𝑦 = 𝑓𝑥𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑓
′′
= (𝑓𝑦′ )′𝑥 = 𝑓𝑦𝑥
𝜕𝑦


VD 3: Tính đạo hàm riêng cấp hai của h/s
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 3 + 𝑥 2 𝑦 3 − 2𝑦 2
Giải: - Các đhr cấp một
𝜕𝑓
𝜕𝑓
= 𝑓𝑥′ = 3𝑥 2 + 2𝑥𝑦 3 ;
= 𝑓𝑦′ = 3𝑥 2 𝑦 2 − 4𝑦
𝜕𝑥

𝜕𝑦

- Các đhr cấp hai của h/s

+

+
+
+

𝜕2 𝑓
′′ = (3𝑥 2 + 2𝑥𝑦 3 )′ = 6𝑥 + 2𝑦 3
=
𝑓
𝑥𝑥
𝑥
𝜕𝑥 2
𝜕2 𝑓
′′ = (3𝑥 2 𝑦 2 − 4𝑦 )′ = 6𝑥 2 𝑦 − 4
=
𝑓
𝑦𝑦
𝑦
𝜕𝑦 2
𝜕2 𝑓
′′ = (3𝑥 2 + 2𝑥𝑦 3 )′ = 6𝑥𝑦 2
= 𝑓𝑥𝑦
𝑦
𝜕𝑥𝜕𝑦
𝜕2 𝑓
′′ = (3𝑥 2 𝑦 2 − 4𝑦 )′ = 6𝑥𝑦 2
= 𝑓𝑦𝑥
𝑥
𝜕𝑦𝜕𝑥

4.1.3. Cơng thức tính giá trị gần đúng của hàm hai biến
Xét hàm số z = f(x,y). Khi x thay đổi ∆𝑥 đơn vị từ x0 thành x0 + ∆𝑥, y thay đổi ∆𝑦
đơn vị từ y0 thành y0 + ∆𝑦 thì z thay đổi một lượng
∆𝑧 = 𝑧 𝑥0 + ∆𝑥, 𝑦0 + ∆𝑦 − 𝑧(𝑥0 , 𝑦0 )
Từ định nghĩa đạo hàm riêng, ta thấy
- nếu x thay đổi một lượng nhỏ ∆x trong khi y được cố định, thì sự thay đổi
∆𝑍
𝜕𝑧
𝜕𝑧
tương ứng trong z là: ≈ ⟺ ∆𝑧 ≈ × ∆𝑥
∆𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑥
- Nếu y thay đổi một lượng nhỏ ∆y trong khi x được cố định, thì sự thay đổi
∆𝑍
𝜕𝑧
𝜕𝑧
tương ứng trong z là: ≈ ⟺ ∆𝑧 ≈ × ∆𝑦
∆𝑦

𝜕𝑦

𝜕𝑦

- Trong thực tế, thường x và y thay đổi đồng thời. Khi đó sự thay đổi của z sẽ
là tổng của hai sự thay đổi thành phần:
𝜕𝑧
𝜕𝑧

∆𝑧 ≈
× ∆𝑥 +
× ∆𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑦


Ví dụ 4.1.2.3. Cho hàm số hai biến số 𝑧 = 𝑥 3 𝑦 − 𝑦 3 𝑥
a/ Tính 𝑧𝑥′ và 𝑧𝑦′ tại điểm (1;3);
b/ Khơng dùng máy tính, tính gần đúng giá trị hàm số tại điểm (1,1; 2,8).
Lời giải:
𝜕𝑧
a/ Ta có: = 3𝑥 2 𝑦 − 𝑦 3 ;
𝜕𝑥

Tại điểm (1,3) ta có:

𝜕𝑧
𝜕𝑥

𝜕𝑧
𝜕𝑦
2

= 𝑥 3 − 3𝑦 2 𝑥

= 3. 1 . 3 − 33 = −18;

𝜕𝑧
𝜕𝑥

= 13 − 3. 32 . 1 = −26

b/ Sự thay đổi của x và y lần lượt là:
∆𝑥 = 1,1 − 1 = 0,1; ∆𝑦 = 2,8 − 3 = −0,2
Sự thay đổi giá trị của z sẽ là:
𝜕𝑧
𝜕𝑧
∆𝑧 ≈ × ∆𝑥 + × ∆𝑦 = −18 . 0,1 + −26 . −0,2 = 3,4
𝜕𝑥

𝜕𝑦

Giá trị của hàm số z tại điểm (1;3) là: z(1,3) = 13.3 – 33.1 = - 24
Vậy là, giá trị gần đúng của hàm số z tại điểm (1,1;2,8) là:
Z(1,1;2,8) = (-24) + 3,4 = -20,6


4.2. Độ co giãn của cầu
Nhận xét: Trên thực tế, nhu cầu Q của một loại sản phầm
không chỉ phụ thuộc vào giá P của sản phẩm đó, mà nó
cịn phụ thuộc vào thu nhập Y của người tiêu dùng, phụ
thuộc vào giá 𝑃𝐴 của sản phẩm A có liên quan trên thị
trường
Như vậy, hàm cầu là hàm của ba biến Q = f(P, 𝑃𝐴 , Y). Câu
hỏi đặt ra là:
Nhu cầu Q sẽ bị ảnh hưởng thế nào khi ba yêu tố P, 𝑃𝐴 và
Y thay đổi?
Để trả lời câu hỏi trên, ta xét ba độ co giãn sau đây:

4.2. Độ co giãn của cầu
• Độ co giãn của cầu theo giá
• Độ co giãn của cầu theo giá chéo
• Độ co giãn của cầu theo thu nhập


1) Độ co giãn của cầu theo giá
𝑃ℎầ𝑛 𝑡𝑟ă𝑚 𝑡ℎ𝑎𝑦 đổ𝑖 𝑐ủ𝑎 𝑄
𝐸𝑃 = −
𝑃ℎầ𝑛 𝑡𝑟ă𝑚 𝑡ℎ𝑎𝑦 đổ𝑖 𝑐ủ𝑎 𝑃
Dấu âm của phân số trên để đảm bảo 𝐸𝑃 > 0.
Tương tự như định nghĩa độ co giãn của cầu
theo giá cho trường hợp hàm một biến số, ta có
𝑃 𝜕𝑄
𝑃 ′
𝐸𝑃 = − ×
= − . 𝑄𝑃
𝑄 𝜕𝑃
𝑄
2) Độ co giãn của cầu theo giá chéo

𝐸𝑃𝐴 =

𝑃ℎầ𝑛 𝑡𝑟ă𝑚 𝑡ℎ𝑎𝑦 đổ𝑖 𝑐ủ𝑎 𝑄
𝑃ℎầ𝑛 𝑡𝑟ă𝑚 𝑡ℎ𝑎𝑦 đổ𝑖 𝑐ủ𝑎 𝑃𝐴

𝐸𝑃𝐴

𝑃𝐴

= × 𝑄𝑃′ 𝐴
𝑄


Chú ý: Từ t/c hàm số Q = f(𝑃𝐴 ), ta có:
𝜕𝑄
- nếu
> 0 ⟹ 𝐸𝑃𝐴 > 0: sản phẩm A thay thế được
𝜕𝑃𝐴

sản phẩm đang xét.
𝜕𝑄
- Nếu
< 0 ⟹ 𝐸𝑃𝐴 < 0: sản phẩm A bổ sung cho sản
𝜕𝑃𝐴

phẩm đang xét.
3) Độ co giãn của cầu theo thu nhập
𝑃ℎầ𝑛 𝑡𝑟ă𝑚 𝑡ℎ𝑎𝑦 đổ𝑖 𝑐ủ𝑎 𝑄
𝐸𝑌 =
𝑃ℎầ𝑛 𝑡𝑟ă𝑚 𝑡ℎ𝑎𝑦 đổ𝑖 𝑐ủ𝑎 𝑌
𝑌 𝜕𝑄 𝑌
𝐸𝑌 = ×
= × 𝑄𝑌′
𝑄 𝜕𝑌 𝑄
Chú ý: Từ t/c hàm số Q = f(Y) ta có:
𝜕𝑄
- nếu
> 0 ⟹ 𝐸𝑌 > 0: sản phẩm đang xét là đồ cao cấp
𝜕𝑌

𝜕𝑄
Nếu
𝜕𝑌

< 0 ⟹ 𝐸𝑌 < 0: sản phẩm đang xét là loại rẻ tiền hay
đồ thứ cấp.


4) Độ co giãn của lợi nhuận theo giá
𝑃ℎầ𝑛 𝑡𝑟ă𝑚 𝑡ℎ𝑎𝑦 đổ𝑖 𝑐ủ𝑎 𝜋
𝐸𝜋 = −
𝑃ℎầ𝑛 𝑡𝑟ă𝑚 𝑡ℎ𝑎𝑦 đổ𝑖 𝑐ủ𝑎 𝑃
𝑃 𝜕𝜋
𝑃
𝑃
′
𝐸𝜋 = − ×
= − × 𝜋𝑃 =− − × 𝜋𝑄′ . 𝑄𝑃′
𝜋 𝜕𝑃
𝜋
𝜋


Ví dụ . Cho hàm cầu Q = 100 - 2P + 𝑃𝐴 + 0,1Y,
với P = 10, 𝑃𝐴 = 12 và Y = 1000. Tìm:
a/ Độ co giãn của cầu theo giá;
b/ Độ co giãn của cầu theo giá chéo;
c/ Độ co giãn của cầu theo thu nhập.
Lời giải:
Khi P = 10, 𝑃𝐴 = 12 và Y = 1000, ta có

Q = 100 - 2(10) + 12 + 0,1(1000) = 192.
a/ Để tính độ co giãn của cầu theo giá, ta tính
𝜕𝑄
𝑃
𝜕𝑄
10
= −2 ⟹ 𝐸𝑃 = − × = −
× (−2) ≈ 0,1
𝜕𝑃

𝑄

𝜕𝑃

192

b./ Để tính độ co giãn của cầu theo giá chéo, ta tính
𝜕𝑄
𝑃𝐴
𝜕𝑄
12
= 1 ⟹ 𝐸𝑃𝐴 = ×
=
× 1 ≈ 0,06
𝜕𝑃𝐴

𝑄

𝜕𝑃𝐴

192

Vậy A là sản phẩm thay thế được cho sản phẩm ban đầu.


c/ Để tính độ co giãn của cầu theo thu nhập, ta tính
𝜕𝑄
𝑌
𝜕𝑄
1000
= 0,1 ⟹ 𝐸𝑌 = × =
× 0,1 ≈ 0,52
𝜕𝑌

𝑄

𝜕𝑌

192

Vậy sản phẩm đang xem xét là sản phẩm cao cấp.
BÀI TẬP:
Làm các bài tập sau chương 4


4.3. Cực trị và tối ưu hóa các hàm kinh tế
• Cực trị của hàm nhiều biến
• Tối ưu hóa các hàm kinh tế
- Tối ưu không ràng buộc
- Tối ưu có ràng buộc

4.3. Cực trị và tối ưu hóa các hàm kinh tế.
4.3.1. Cực trị hàm nhiều biến
Trong mục này chúng ta sẽ tìm hiểu cách sử
dụng đạo hàm riêng để tìm cực trị của hàm số
hai biến số. Trước hết, ta xem xét đồ thị một
hàm số có dạng "đồi núi - thung lũng" như trên
hình 4.8. Độ cao của các đình đồi minh họa các
giá trị cực đại cịn độ sâu của các đáy thung
lũng minh họa các giá trị cực tiểu của hàm số.


Hình 4.8. Cực trị địa phương và cực trị tồn cục


a) Định nghĩa:
- Ta nói hàm số f(x,y) đạt cực tiểu địa phương tại điểm (a,b)
nếu f(x,y) ≥ f(a,b) với mọi điểm (x,y) thuộc lân cận điểm (a,b).
- Ngược lại, hàm số f(x,y) đạt cực đại địa phương tại (a,b)
nếu f(x,y) ≤ f(a,b) với mọi điểm (x,y) thuộc lân cận điểm (a,b).
- CTĐP và CĐĐP gọi chung là cực trị địa phương.
- Nếu các bất đẳng thức trên đúng với mọi điểm (x,y) thuộc
miền xác định của hàm số f(x,y), ta có tương ứng khái
niệm cực tiểu tồn cục và cực đại toàn cục
- Cực tiểu toàn cục và cực đại tồn cục có tên gọi chung là
cực trị tồn cục.


Điểm dừng: *Điểm (a,b) được gọi là điểm dừng của

𝑓𝑥′ (a,b) = 0
hàm số f(x,y) nếu
hoặc tại đó các ĐHR
𝑓𝑦′ (a,b) = 0
khơng tồn tại.
*Điểm dừng có thể là điểm cực đại địa phương, cũng
có thể là điểm cực tiểu địa phương, hoặc có thể khơng
phải là điểm cực trị.
* Nếu h/s có CĐ hoặc CT thì chỉ có tại các điểm dừng