Chương 1. Các định luật chuyển động của không khí

Chương 1
Các định luật chuyển động của khơng khí
1.1. Những đặc tính của khơng khí và dịng khí
1.1.1. Giả thuyết tính liên tục
Khơng khí là tập hợp các phân tử chuyển động hỗn loạn. Số phân tử trong
một đơn vị thể tích và các đặc tính chuyển động hỗn loạn của nó phụ thuộc vào
độ cao:
Độ cao, km
ở mặt đất
40
3
16
Số phân tử trong 1mm
2,5.10
8,3.1013
Chiều dài trung bình khoảng chạy tự do, mm 6,3.10-5
2,0.10-2
Tần số của sự va chạm C-1
6,9.109
2,1.107
Nồng độ lớn các phân tử, khoảng cách nhỏ trao đổi động lượng giữa các
phân tử và tần số va đập cao tn theo giả thuyết liên tục, như vậy khơng khí
được xem như môi trường liên tục với vật chất phân bố đều trong không gian.
Giả thuyết liên tục thể hiện tất cả các đặc tính của dịng bởi các hàm tích
phân liên tục của tọa độ và thời gian. Ngồi ra các bề mặt đặc biệt là các bề mặt
tách dịng, ở đó các đặc tính này và các đạo hàm của nó thay đổi có dạng bước
nhảy.
Giới hạn sử dụng giả thiết liên tục được xác định theo giá trị chỉ số
Кnugсен:nugсен:
Kn = ℓ/L
Trong đó: ℓ: độ dài trung bình khoảng chạy tự do các phân tử

L: độ dài đặc trưng kích thước dịng chảy.
Khơng khí được coi là môi trường liên tục khi Kn < 0,01 để cho các khí cụ
bay hiện đại bay dưới 40km thì thoả mãn điều kiện này.
1.1.2. Các tham số nhiệt động
Trong một thể tích khơng khí hữu hạn chứa rất nhiều các phân tử. Đối
tượng vật chất mà kích thước của nó lớn hơn đáng kể kích thước của các hạt tạo
ra nó thì được gọi là hệ thống vĩ mơ. Tất cả các dấu hiệu vĩ mô đặc trưng cho hệ
thống và mối quan hệ của nó với mơi trường xung quanh được gọi là các tham
số vĩ mô. Tập hợp các tham số vĩ mô độc lập xác định trạng thái của hệ thống.
Các tham số đặc trưng cho trạng thái của hệ thống nhiệt động được gọi là các
tham số nhiệt động. Trạng thái của khơng khí được xác định bởi các tham số
sau:
Nhiệt độ: là mức đo cường độ chuyển động nhiệt của các phân tử
1


- Nhiệt độ tính theo nhiệt giai bách phân Xenxiut (oC): 0oC ứng với nước đá
đang tan và 100oC ứng với nước sôi bay hơi trong điều kiện áp suất 1at. Chia
khoảng nhiệt độ đó theo nhiệt kế thành 100 phần bằng nhau, mỗi phần tương
ứng với 1oC. Ký hiệu toC.
- Nhiệt độ tính theo nhiệt giai Ken-vin (oK): 0oK ứng với trạng thái các
phân tử ngừng chuyển động hoàn tồn cịn gọi là nhiệt độ tuyệt đối T.
Mối liên hệ:
T = t + 273,15; [oK]
Mật độ: là giới hạn của tỉ số khối lượng ∆m và thể tích mà nó chiếm chỗ
∆W khi thể tích giảm tới 1 điểm:
m
W 0 W
Đại lượng nghịch đảo của mật độ được gọi là thể tích riêng, ký hiệu v
  lim

v

1


áp suất: là giới hạn của tỉ số lực ép ∆P và diện tích bề mặt ∆S khi ∆S 0.
P
S 0 S

p  lim

Nội năng riêng: là năng lượng bên trong của 1 kg khí; Năng lượng bên
trong bao gồm năng lượng chuyển động tịnh tiến, quay và dao động của các
phân tử, năng lượng do tác động tương hỗ giữa các phân tử, năng lượng tác dụng
qua lại trong các hạt nhân và nguyên tử... ký hiệu e.
Nhiệt hàm riêng: Ký hiệu i; i= e + pv, là tổng của nội năng và thể năng áp
suất (p.v) của 1 kg khí. (Nhiệt hàm còn gọi là "entanpi").
Entropi: là đại lượng vật lý mà khi có sự thay đổi của nó thì chứng tỏ có sự
trao đổi năng lượng dưới dạng nhiệt (entropi cho 1kg khí gọi là entropi riêng).
dq
ds 
Ký hiệu: s;
T
dq - lượng nhiệt truyền cho 1kg khí trong quá trình cân bằng
1
Các tham số bên trong của hệ nhiệt động là hàm của tham số ngoại (v = )

và nhiệt độ:
P = P(, T); e = e(,T); i = i(,T); S = S(,T)

2

(1.1)


Trong nhiệt động người ta đưa ra mẫu khí lý tưởng: là chất khí mà trong đó
bỏ qua thể tích của bản thân nó, khơng có sự tác động tương hỗ giữa các phân tử
và coi nhiệt dung riêng cP và cV là đại lượng khơng đổi.
Để cho chất khí đó ta có các phương trình sau:
P = RT

(1.2)

e = cv T
i = cp.T

(1.3)
(1.4)

S  cv ln

p
 const


Trong đó: R: Hằng số khí riêng; : chỉ số đoạn nhiệt  

(1.5)
cp

cv

c p  cv  R

(1.6)

Để cho khơng khí khi T < 450oK; cp = 1000 J/kg.độ; cv = 713 J/kg độ;
R = 287 J/kg.độ;  =1,4.
Phương trình (1.2) là phương trình Klapayrơn.
Các q trình trong đó entropi khơng thay đổi được gọi là quá trình đẳng
entropi. Từ (1.5) suy ra trong q trình đẳng entropi của khí lý tưởng:
p
 const .


(1.7)

Đây là phương trình đẳng entropi.
1.1.3. Các định luật nhiệt động
Quá trình nhiệt động được gọi là cân bằng khi trong q trình của nó tất cả
các tham số đặc trưng biến đổi không những chậm mà hệ thống luôn ở các trạng
thái cân bằng.
Các qui luật của các quá trình cân bằng được thể hiện dưới dạng các định
luật nhiệt động.
Định luật nhiệt động thứ nhất: là trường hợp riêng của định luật bảo toàn
năng lượng và để cho các q trình xảy ra trong khơng khí được thể hiện: Lượng
nhiệt q cấp cho 1kg khơng khí sẽ làm thay đổi nội năng của nó de và thực hiện
1
công cho môi trường pd   .


1
q  de  pd  

3

(1.8)


Hoặc từ (1.1), (1.2), (1.3); (1.6) ta có:
 dp 
q  di   
  

(1.9)

Định luật nhiệt động thứ hai: Thiết lập sự tồn tại của entropi s và sự khơng
giảm của nó trong mọi q trình trong hệ thống cơ lập.
Biểu diễn tốn học:
Tds = q  0

(1.10)

Dấu "=" là cho quá trình cân bằng và ">" là q trình khơng cân bằng. Từ
(1.3); (1.8) và (1.10) để cho trường hợp các quá trình cân bằng ta có:
1
Tds = dcvT + pd  


(1.11)

Các q trình xảy ra trong khơng khí có thể thuận nghịch hoặc khơng thuận
nghịch. Q trình thuận nghịch là q trình trong đó hệ cô lập chuyển từ trạng
thái thứ nhất sang trạng thái thứ hai và ngược lại mà khơng có sự thay đổi đối
với nó và mơi trường xung quanh. Nếu điều kiện khơng thoả mãn là q trình
khơng thuận nghịch.
1.1.4. Các biến khí động
Máy bay, tên lửa bay trong khơng khí hoặc khơng khí chuyển động bao
quanh tên lửa, tồn tại chuyển động cơ học đòi hỏi các các đặc tính chung của các
q trình chảy bao đó có các tham số nhiệt động và còn đưa vào các tham số
chuyển động cơ học. Các tham số chuyển động cơ học và nhiệt động được gọi

chung là các biến khí động. Đó là vận tốc V , áp suất p, mật độ , nhiệt độ T, nội
năng e, nhiệt hàm i và entropi s.
Trong trường hợp chung các biến khí động phụ thuộc vào tọa độ và thời
gian.
- Dòng chảy trong đó các biến khí động khơng thay đổi theo thời gian gọi
là dòng ổn định (ổn lập).
- Dòng chảy trong đó các biến khí động thay đổi theo thời gian gọi là dịng
khơng ổn định.
- Dịng chảy trong đó các biến khí động phụ thuộc cả 3 tọa độ gọi là dịng
khơng gian (3 chiều).
- Dịng chảy trong đó các phần tử khí chuyển động song song với mặt
phẳng cố định nào đó được gọi là dịng song song mặt phẳng...
1.1.5. Dòng chảy tầng và chảy rối
4


Dịng chảy trong đó các hạt khơng khí chuyển động được xắp xếp theo lớp,
q trình dịch chuyển đó ở mức phân tử được gọi là chảy tầng. Trong dòng chảy
rối các hạt khơng khí chuyển động phức tạp khơng theo trật tự. Giá trị đích thực

của các biến khí động tại một điểm của dòng chảy rối hỗn loạn thay đổi theo
thời gian. Dịng chảy rối có thể coi như sự chồng chéo các chuyển động hỗn
loạn, cưỡng bức xung của các hạt khơng khí trong dịng chảy trung bình.
Ví dụ: Tại một điểm nào đó trong dịng chảy, ở thời điểm t thì hình chiếu
trung bình của véctơ vận tốc và áp suất được xác định:
t T /2

t T /2

1
Vx 
Vx dt ;
T t T /2

1
p
pdt.
T t T /2

Trong đó: T: Khoảng thời gian trung bình.
Dịng trung bình có thể xem như dịng chảy có cấu trúc lớp chảy tầng. Nếu
tại một cũng như các điểm ở những thời điểm khác nhau giá trị các biến khí
động trung bình như nhau thì dịng chảy đó gọi là dịng ổn định (ổn lập).
Hiệu giá trị thực và giá trị trung bình các biến khí động tại một điểm cố
định của dòng chảy ở thời điểm đã cho được gọi là xung động:
Vx'  Vx  Vx Xung vận tốc
p  p  p

Xung áp suất

Xung động trung bình được tính:
t T /2

1
V 
Vx' 2 dt .

T t T /2
'2
x

Bậc (Độ) chảy rối: là tỷ số giữa biên độ trung bình của xung vận tốc và vận
tốc trung bình của dòng theo thời gian tại một điểm xem xét gọi là bậc chảy rối.


1 1 '2
Vx  Vy' 2  Vz'2 

V 3

Trong đó: V là vận tốc trung bình của dòng;
Vx' ; Vy' ;Vz' : các xung véctơ vận tốc thành phần.
'
'
'
Khi độ chảy rối đẳng hướng  Vx Vy  Vz 



1

Vx' 2
V

Thơng thường  tính theo %; cho khí quyển bình thường  = 0,03%. Gần bề
mặt của vật chảy bao nó có thể tăng lên hơn 2 lần.
5


1.1.6. Độ nhớt
Độ nhớt của khơng khí là khả năng chống lại sự chuyển dịch. Độ nhớt xuất
hiện dưới dạng lực ma sát bên trong, xuất hiện do kết quả dịch chuyển của các
hạt chuyển động cơ học có hướng khi nó chuyển từ lớp này sang lớp khác, làm
xuất hiện ứng suất tiếp tuyến sẽ làm tăng tốc lớp này nhưng lại hãm lớp khác.
Theo giả thuyết Niutơn ứng suất tiếp tuyến tỉ lệ với vận tốc v x theo phương
pháp tuyến với lớp và được xác định:
τл = μ

dvx
dv
  x .
dy
dy

(1.12)

Đại lượng : [a.S] đặc
trưng cho sự dịch chuyển các phân
tử được gọi là độ nhớt khí động; 
= /; [m2/s] là độ nhớt động học.

dssfg

Khi T tăng thì  tăng do tăng
chuyển động nhiệt của các phân
tử.
1  T1 
 
 2  T2 

n

(1.13)

trong đó: n = 0,76 khi T < 1300oK va n = 0,9 khi T  1300oK.
Mối quan hệ giữa lực quán tính và lực nhớt được đặc trưng bằng chỉ số
Reynold:
Re = VL/,
trong đó: V: Vận tốc đặc trưng; L: Chiều dài đặc trưng; : Độ nhớt động lực.
Khi tăng độ cao  tăng, Re giảm và vai trò của độ nhớt tăng.
Trong chuyển động chảy rối ứng suất tiếp tuyến tăng hơn và tương tự có:
τт = μт

dvx
dv
 ν т x
dy
dy

(1.14)

ứng suất tiếp tuyến của chảy rối phụ thuộc xung vận tốc:
' '
T = -  v x v y

(1.15 )

Sử dụng giả thuyết Prandt:
T = ℓ2

dvx dvx
.
dy dy
6

(1.16)


ℓ: độ dài quãng đường dịch chuyển và là quãng đường tự do các phân tử
ℓ = K . y trong đó: K: Hằng số thực nghiệm.
1.1.7. Độ nén. Sự lan truyền nhiễu động yếu trong dịng khí
Độ nén là tính chất của mơi trường thay đổi thể tích khi thay đổi áp suất.
Khơng khí và các khí bất kỳ đều có tính chất nén. Điều đó xác định đặc điểm lan
truyền nhiễu động yếu giống như các sóng đàn hồi nén và giãn và chính là vận
tốc âm thanh:
a

dp
.
d

(1.18)

Rõ ràng a phụ thuộc vào qui luật thay đổi mật độ khi thay đổi áp suất. Vì
vậy vận tốc âm thanh đặc trưng cho tính nén của khơng khí.
a 

p
 RT  20,1 T .
ρ

(1.19)

ở điều kiện tiêu chuẩn, mực nước biển trung bình a = 340 m/s.
Số Max:

M = V/a

M < 1: dưới âm
M = 1: Bằng âm
M > 1: vượt âm.
ở môi trường đứng
yên V = M = 0: nhiễu
động yếu lan truyền theo
tất cả các hướng với vận
tốc như nhau a.
Trong dòng dưới
âm (0 < M < 1; 0 < V <
a): sóng nhiễu động vẫn
bảo tồn hình cầu nhưng
dịch về sau theo dịng.

Trong dịng bằng
âm (M = 1; V = a): vận tốc dòng và vận tốc sóng âm thanh bằng nhau; nên các
hình cầu chỉ truyền về một phía mặt phẳng và trùng nhau tại một điểm.
Trong dòng vượt âm (M > 1; V > a) xem hình vẽ:
sin μ 

at 1
 .
Vt M
7

(1.20)


Bề mặt nón của sóng nhiễu động gọi là nón Max, góc  là góc Max.
Như trên ta xét đối với dịng ổn định, nếu dịng khơng ổn định bức tranh lan
truyền của nhiễu động yếu sẽ có hình dạng phức tạp hơn.
1.1.8. Truyền nhiệt
Sự chuyển nhiệt từ vùng này đến vùng khác của dòng được gọi là trao đổi
nhiệt hoặc truyền nhiệt. Đó là q trình có thể được thực hiện do dẫn nhiệt, đối
lưu và bức xạ.
Mật độ bề mặt dòng nhiệt là lượng nhiệt truyền qua một đơn vị diện tích bề
mặt trong một đơn vị thời gian được xác định theo định luật Phuriê.

q  t
(1.21)
, [W/m.K0]: Hệ số dẫn nhiệt

q : Mật độ dòng nhiệt có chiều ngược chiều gradien nhiệt độ t.
Liên quan tới truyền xung lượng và nhiệt của các phân tử được đặc trưng

bằng chỉ số Prandt: Pr = CP /; số Prandt phụ thuộc vào nhiệt độ, trong điều
kiện khí quyển có thể coi như Pr = 0,7.
Đối với dịng chảy rối ta cũng sẽ có:

q  T T

(1.22)

trong đó: T: hệ số dẫn nhiệt dịng chảy rối.
Chỉ số prandt khơng thứ nguyên PrT = CP T/T là chỉ số prandt chảy rối.
Dẫn nhiệt trong chất khí thực tế rất ít gặp. Mà chỉ sử dụng khi tính tốn cho các
mẫu.
Trao đổi nhiệt đối lưu: là sự trao đổi nhiệt giữa các vùng khơng khí nung
nóng khác nhau, hoặc giữa khơng khí và vật rắn được gọi là sự tỏa nhiệt và xác
định theo công thức Niutơn:
q =  (T - TCT)

(1.23)

trong đó: ; [W/m2độ]: là hệ số toả nhiệt: là lượng nhiệt nhận được hoặc toả ra
của một đơn vị diện tích thành trong một đơn vị thời gian và hiệu nhiệt độ khí
và thành bằng 1oK.
T: nhiệt độ đặc trưng của khí
TCT: nhiệt độ đặc trưng của thành.
 phụ thuộc vào tốc độ tương đối giữa khơng khí và thành vật, chế độ chảy
gần bề mặt vật, vật liệu của thành và các yếu tố khác.
Bức xạ nhiệt: là trao đổi nhiệt dưới dạng sóng điện từ, cơ bản ở quang phổ
hồng ngoại. Đối với khơng khí tia nhiệt chỉ có khi T > 2000 oK. Kiến thức dịng
8

nhiệt từ khơng khí truyền đến vỏ khí cụ bay làm rõ các đặc tính khí động học và
chỉ ra sự biến đổi tính chất cơ học của vật liệu khi tính độ bền kết cấu khí cụ bay
và xác định ứng suất nhiệt của các thành phần kết cấu và đưa ra các hệ thống
làm mát nó.
1.1.9. Khí quyển chuẩn
Các tham số nhiệt động của khơng khí phụ thuộc vào độ cao, thời điểm
trong năm, ngày đêm, tọa độ bề mặt trái đất, điều kiện thời tiết và các yếu tố
khác. Để so sánh kết quả thử nghiệm bay diễn ra trong các điều kiện khí quyển
khác nhau với kết quả tính tốn và thử nghiệm khác nhau người ta đưa ra các
điều kiện thống nhất đó là khí quyển chuẩn (CA). CA được tính theo các điều
kiện thống nhất theo qui luật phân bố tham số nhiệt động của nó theo độ cao,
tính từ mực nước biển trung bình. Các tham số CA gần tương ứng giá trị trung
bình các tham số của khí quyển trên diện rộng trung bình trong thời gian bay.
Các tham số ở mực
nước biển trung bình được
xác định theo CA được gọi
các tham số tiêu chuẩn ký
hiệu có chữ C ở dưới: Pc =
101300Pa, c = 1,225kg/
m3; Tc = 288,2oK; ac =
340m/s; c = 25,3.103
W/mđộ; v = 14,6.106 2
m /s.
Với sự tăng độ cao thì
áp suất, mật độ khơng
ngừng giảm xuống (hình
1.3). Nhiệt độ giảm theo
qui luật tuyến tính, giảm
6,5oK khi tăng độ cao 1km

đến 11km. Từ khoảng 11 - 20km nhiệt độ khơng đổi và bằng 216 oK. Cịn mật
độ và vận tốc âm thanh thay đổi theo hình (1.3). Theo bảng [CA].
§1.2. Động học khơng khí
1.2.1. Chuyển động của các hạt khơng khí
Nhìn chung chuyển động của hạt khơng khí
trong một khoảng thời gian nhỏ có thể coi là tổng của

9


chuyển động tịnh tiến điểm nào đó của hạt này được gọi là cực, chuyển động
quay quanh cực này và chuyển động biến dạng.
Chuyển động tịnh tiến của các hạt: giả sử hạt khơng khí sau khoảng thời
gian ngắn nào đó t dịch chuyển từ điểm 1, vị trí của nó trong khơng gian được



xác định bởi vectơ r , đến điểm 2, vị trí của nó được xác định r +  r . Giới hạn

của tỉ số  r và t khi t  0 xác định vận tốc tịnh tiến của hạt:



r dr
V  lim

(1.24)
t 0 t
dt
Trên hệ trục tọa độ Đềcác theo các trục ta có:

 


 r  ix  jy  kz.
  
trong đó: i , j , k véctơ đơn vị theo trục ox, oy, oz.

(1.25)


Từ (1.24) và (1.25) suy ra:

 
V  iVx  jVy  kVz .

(1.26)

trong đó: Vx, Vy, Vz là vận tốc thành phần theo các trục tọa độ tương ứng được
xác định theo công thức:
Vx 

dx
;
dt

Vy 

dy
;
dt

Vz 

dz
dt

Trong trường hợp chung vận tốc và các thành phần của nó phụ thuộc vào
hệ tọa độ và thời gian. Nếu biết được các mối quan hệ này có thể biểu diễn được
dòng chảy bằng đường dòng và quĩ đạo.
Đường dịng là đường mà tại mỗi điểm của nó trong thời điểm đã cho vectơ
vận tốc hướng theo tiếp tuyến với nó. Như vậy phương trình của đường dịng có
dạng:
  
 dr , V   0 .
(1.27)

trong đó: r : vectơ bán kính xác định vị trí điểm của đường dịng với một tâm
điểm nào đó 0.
Trong dịng chảy không ổn định vận tốc tại một điểm cố đinh phụ thuộc
vào thời gian. Vì vậy trong dịng chảy khơng ổn định hình dạng đường dịng
thay đổi theo thời gian. Trong dòng chảy ổn định vận tốc tại một điểm cố định
khơng phụ thuộc vào thời gian và hình dạng đường dịng khơng thay đổi theo
thời gian. Các đường dịng khơng cắt nhau, tức là qua mỗi điểm của dịng chỉ có
một đường dịng đi qua. Rõ ràng nếu đường dịng cắt nhau thì tại một điểm giao
vận tốc trong thời điểm xem xét sẽ có hai giá trị khác nhau, điều đó về mặt vật

10


lý khơng thể có. Ngoại trừ các điểm đặc biệt của dịng, tại đó vận tốc bằng 0 và

đường dịng phân nhánh.
Bề mặt được tạo bởi các đường dòng, đi qua các điểm của đường nào đó
khơng phải là đường dòng người ta gọi là bề mặt dòng.
Bề mặt dòng đi qua khung kín được gọi là ống dịng. Khơng khí chuyển
động bên trong ống dịng tạo thành tia; Tia được gọi là tia cơ bản nếu mặt cắt
ngang của tia đủ nhỏ, tại một thời điểm cố định thì các vận tốc của tất cả các
điểm trên mặt cắt có thể coi là như nhau.
Quỹ đạo là vị trí hình học của các điểm tương ứng đặt nối tiếp nhau của hạt
chuyển động. Vận tốc của hạt tại tất cả các điểm của quĩ đạo hướng tiếp tuyến
với nó và phương trình của quĩ đạo trùng với phương trình đường dòng.
 
 dr , V   0
(1.28)

Sự khác nhau của vận tốc V ở phương trình (1.27) là vận tốc của các
hạt khác nhau nằm trên đường dòng ở một thời điểm cố định, cịn ở phương
trình (1.28) là vận tốc của một hạt ở các thời điểm khác nhau. Trong chuyển
động ổn định đường dòng và quĩ
đạo trùng nhau.
Ta tìm gia tốc chuyển động
tịnh tiến của các hạt. Giả sử tại
thời điểm t hạt ở điểm
 1 với tọa độ
x, y, z có vận tốc V1 (x, y, z, t). Qua
khoảng thời gian rất nhỏ t nó dịch
đến điểm 2 với tọa độ x + x;
y+
y; t + t và có vận tốc V2 = V1 + 
 
V = V2 (x + x, y + y, z + z, t +

t).

Giới hạn của tỉ số V và t khi t  0 ta xác định gia tốc của chuyển
động tịnh tiến:


dV
V
 lim
(1.29)
dt t 0 t

Triển khai hàm V2  x  x, y  y , z  z , t  t ,  theo dãy Taylo:




 
  V
V
V
V
tV2  V1  V  V1 
x 
y 
z
t
x
y
z


Khi đã xác định sự thay đổi V từ (1.29) ta tìm:
11










dV V
V
V
V V

 Vx
 Vy
 Vz

  V ,  V
dt
t
x
y
z
t

(1.30)

Trên hình chiếu các trục tọa độ cơng thức (1.30) có dạng:

dVx Vx

  V , Vx  ;
dt
dt
dVy
dt



Vy
dt


  V , V y  ;

(1.31)


dVz Vz

  V , Vz  ;
dt
dt
ở các dòng ổn định:


V Vx Vy Vz



0
t
t
t
t
và thay vào (1.30) và (1.31) ta có:

dV
.. x   V , Vx  ; ..
dt

dVz
  V , Vz  ;
dt

(1.32)

Lưu ý rằng sự biến đổi theo quĩ đạo của hạt các tham số nhiệt động vô
hướng được xác định bằng các công thức logic tương tự như (1.31). Ví dụ mật
độ:

d  






  V ,   
 Vx
 Vy
 Vz
(1.33)
dt t
t
x
y
z
Chuyển động quay của các hạt
Ta xét trong dòng ổn định song song với mặt phẳng, ở thời điểm ban đầu,
hạt chuyển động có dạng vng góc theo các gờ hình hộp x, y, z song song
với các trục tọa độ (hình 1.5). Giả sử đạo hàm của các vận tốc thành phần theo
Vx
trục tọa độ bằng 0, ngoài
. Sau một khoảng thời gian t gờ AB tiến đến vị
x
trí A'B' (hình 1.6a) tức là dịch chuyển theo các trục một khoảng cách Vxt, và
Vyt. Ngoài ra cịn quay một góc:
Vy 

 Vy  x x  t  Vy t

1  tg(1 ) 
x
12



Vy
x

t


Vận tốc góc của cạnh AB quay quanh trục song song với trục oz đi qua
điểm A bằng 1/t = vy/x mang dấu dương tương ứng quay ngược chiều kim
đồng hồ. Tương tự nhận được vận tốc góc quay của cạnh AD. Giả sử bắt đầu
góc quay từ 0, đạo hàm của tốc độ thành phần theo các tọa độ vx/y từ hình
1.6. ta tìm:

Vx 
 Vx  y y  t  Vx t

 2  tg ( 2 )  
y
Suy ra: Tốc độ quay của cạnh AD:



Vx
t
y

 2
Vx
dVx


 0 khi quay
vì
t
y
y

cùng chiều kim đồng hồ.
Giá trị trung bình của vận tốc góc cạnh AB và AD được gọi là vận tốc góc
của mặt ABCD quanh trục oz hoặc vận tốc góc thành phần của hạt. Theo oz tức
là:
z 

1  1
 2 
1  Vy




2  t
t 
2  x

Có thể nói rằng z
bằng vận tốc góc của
đường phân giác góc giữa
cạnh AB và AD. Trường
hợp chung hạt quay tương
đối quanh ba trục với vận
tốc góc:


 
i
j
k


 1 

(1.34)
2 x y z
Vx Vy Vz

Thành phần của nó theo các trục là:

13



Vx 
y 


1  V V 
1  V V 
1  V V 
x   x  y  ;  y   x  z  ; z   y  x  ;
2  y
z 
2  x

y 
2  z
x 
(1.35)
Chuyển động biến dạng của hạt
Chuyển động biến dạng là các biến dạng đường và biến dạng xiên góc. Xét
ban đầu là biến dạng đường dọc ox. Giả sử tất cả đạo hàm vận tốc góc thành
Vx
phần bằng 0 theo trục tọa độ trừ
khác 0. Sau khoảng thời gian ngắn t,cạnh
x
AB (Hình 1.7) dịch chuyển đến vị trí A'B'.
V


Từ hình vẽ độ dài x1  x   Vx  x x  t  Vx t
x


Vận tốc tương đối của biến dạng đường
thẳng:
exx 

x1  x Vx

xt
x

(1.36)
(1.36)

Tương tự cho trục oy và oz:
eyy 

Vy
y

; ezz 

Vz
; (1.37)
z

Tổng biến dạng thẳng tương đối theo 3 hướng được gọi là biến dạng thể tích :



1 d  W  Vx Vy Vz



 divV
W
t
x
y
z

(1.38)

Tiếp tục ta xét biến dạng xiên: trong mặt phẳng song song với mặt phẳng
Oxy. Đó là biến dạng do sự xiên của góc vng giữa cạnh AB và CD.
Vận tốc xiên góc của góc vng BAD bằng hiệu vận tốc góc cạnh AB và
AD.
2exy  2eyx 

1  2 Vy Vx



t t
x
y

(1.39)

Tương tự ta tìm vận tốc xiên góc của các góc vng khác của các mặt:

14


Vt Vy

;
y z
v v
 2e zx  x  z ;
z x

2e zy  2e yz 

2e zx

(1.40)

Các công thức nhận được trên để xác định vận tốc chuyển động của mọi
điểm của hạt khơng khí từ các vận tốc của chuyển động tịnh tiến, quay và biến
dạng.
1.2.2. Chuyển động xốy và có thế. Thế năng của vận tốc và tính chất
của nó
Nếu trong q trình chuyển động các hạt khí quay, chuyển động đó là
chuyển động xốy; khơng có sự quay thì khơng có chuyển động xốy.
Trong dịng khơng xoáy:
1  V V 
x   z  y   0;
2  y
z 

1  V V 
y   x  z   0 ;
2  z
x 

1  V V 
z   y  x   0 ;
2  x
y 
Suy ra:

Vy Vx
Vz Vy Vx Vz


;

;

y
z
z
x
x
y

Rõ ràng các phương trình sau cùng này là điều kiện tồn tại các hàm vô
hướng của các tọa độ theo thời gian: (x, y, z, t), có tính chất là đạo hàm theo
mọi tọa độ bằng các vận tốc thành phần tương ứng.




 Vx ;
 Vy ;
 Vz ;   V .
x
y
z

(1.41)

Hàm (x, y, z, t) được gọi là thế năng của vận tốc.
Chuyển động, do thế năng vận tốc gọi là chuyển động có thế. Vậy chuyển

động khơng xốy là chuyển động có thế, và ngược lại bất kỳ chuyển động có thế
là chuyển động khơng xốy.
Rõ ràng nếu tồn tại thế năng vận tốc  thì:
1  Vz Vy  1   2
 2 
x  

 

0.
2  y
z  2  zy
yz 
và các thành phần vận tốc góc cịn lại = 0 và chuyển động đó khơng xốy. Đạo
hàm riêng của thế năng vận
 tốc theo hướng bất kỳ bằng hình chiếu vectơ vận tốc

V theo hướng đó v; Nếu o là vectơ đơn vị của đường thẳng L tuỳ ý thì:
15



 

L  
Vl  V ; l0  ; l0   ,  
L  L




 



(1.42)

các trường hợp riêng theo tọa độ cực:
Vr 



1 



; Vs 
;
s  ( r) r 
r

(1.43)

trong đó: s = r: cung tạo bởi bán kính r và  góc tọa độ cực.
1.2.3. Xoáy
Khi nghiên cứu các chuyển động xoáy sử dụng các khái niệm: đường xoáy,
mặt xoáy, ống xoáy, dải xoáy, xốy.
Đường xốy
là đường mà
tại mỗi điểm

của nó ở một
thời
điểm
cho
trước
vectơ vận tốc
góc hướng
theo phương
tiếp
tuyến
với nó.

Hình 1.8. Xác định lưu tốc
1- Chiều dương theo khung L
2- Tiếp tuyến khung L
Vl – Hình chiếu vận tốc V lên
tiếp tuyến với khung L

Hình 1.9. Các xoáy cắt bề mặt S
thể hiện lên khung L

Từ đó ta có phương trình đường xốy:


  , dr   0
(1.44)

trong đó: r bán kính vectơ, xác định vị trí của điểm mà đường xốy tương đối
quanh một tâm nào đó.
Nếu qua mỗi điểm của đường L nào đó, khơng là đường xốy, đi qua các

đường xốy thì tổng hợp của nó tạo thành bề mặt xốy. Nếu đường L là đường
khung khép kín thì bề mặt xốy tạo thành ống xốy.
ống xốy mà trong đó khơng khí bị xoáy tạo thành dải xoáy và thường gọi
tắt là xoáy.
Cường độ hoặc sức căng của xoáy J được gọi là dịng gấp đơi của vectơ

vận tốc góc  qua mặt cắt ngang của xoáy S.
 
J  2  , n  ds
s


trong đó: n vectơ đơn vị vng góc với mặt phẳng s.

16


Khi diện tích tiết diện dải xốy tiến tới 0 và cường độ xốy khơng đổi thì
cường độ xốy cịn được coi là sợi xoáy hay thường gọi là xoáy.
Cường độ xốy liên hệ với sự tuần hồn vận tốc. Giả sử L là khung kín tuỳ
ý (hình 1.8) chọn chiều dương vịng theo khung theo mũi tên (Hình 1.8). Hình
chiếu của tốc độ tịnh tiến lên tiếp tuyến khung ký hiệu v ℓ, nếu cùng chiều chọn
là dương, ngược là âm thì:
Sự lưu chuyển (tuần hồn) vận tốc theo khung kín L được gọi là tích phân
đường cong
   VdL
L

Định lý: Lưu tốc theo khung khép kin L bằng tổng
cường độ xoáy cắt ngang bề mặt s tùy ý tạo ra

khung đó (Hình 1.9).
n

n

i 1

i 1

 
   vdL   J i  2    , n  ds
L

s 'i

Trường hợp một xoáy:
 
   vdL  J  2    , n  ds
L

s'

Chúng ta chứng minh rằng cường độ xốy theo chiều dài của nó khơng đổi.
 
  2  ( w, n) ds J1 và   2  (, n )dS J 2 .
s '1

s '2

tức là J1 = J2.

Nếu chọn S'1 vµ S'2 tuỳ ý thì để cho mọi mặt cắt J 1 = J2, rõ ràng cường độ
xốy khơng đổi theo chiều dài của nó.
Theo định lý về vectơ vận tốc góc trung bình:
 
2
(

J =  , n )dS  2  n dS  2ncp. S
s

s

Ta thấy theo chiều dài xoáy J = const khi S  0 thì ncp  . Điều đó về
mặt vật lý khơng thể có. Vì vậy
khẳng định rằng:
Trong dịng chảy liên tục của
khí lý tưởng ống xốy theo thời gian
khơng bị phá huỷ và ln tồn tại
ống xốy, cường độ dải xốy khơng
thay đổi.
17


1.2.4. Xác định vận tốc bởi xoáy cảm ứng V 


 cos 1  cos 2 
4 R

(1.45)

trong đó: : lưu tốc tạo bởi sợi xoáy
R: khoảng cách từ điểm tính vận tốc (Điểm C) vng góc với đoạn
AB
1, 2: các góc giữa hướng đoạn AB với bán kính vectơ tương đối với
điểm C.
Xác định vận tốc bởi xoáy thẳng vô tận: Giả sử 1 = 0; 2 = .
V


2R

(1.46)

Xác định vận tốc tạo bởi xốy theo một phía vơ tận: 1 = 0, 2 = /2.
V


4R

(1.47)

§1.3. Các phương trình chuyển động của khơng khí
1.3.1. Phương trình liên tục: là biểu diễn tốn học của Định luật bảo tồn
khối lượng.
Phương trình xét đối với dịng chảy ổn định trong tia cơ bản có tiết diện F,
vận tốc dịng V và mật độ khí  có dạng:
 . V. F = const

(1.48)

Trong trường hợp môi trường không nén được  = const thì:
V . F = const

(1.49)

Nếu xét phương trình liên tục cho dịng khơng ổn định trong khơng gian:
Ký hiệu W là thể tích các hạt khơng khí qua tiết diện trong một đơn vị
thời gian
Khối lượng khí qua là: W ta có:
d
 W   0
dt
lấy vi phân:
trong đó:

d
1 d ( W )

0
dt
W
dt

1 d (W )
: Tốc độ thay đổi tương đối thể tích hạt khơng khí.
W
dt
18

Từ (1.38) ta có:

d
 divV  0
dt

(1.50)

Để cho tích vơ hướng ta có:


 div  V   0
dt

(1.51)

Trên các trục tọa độ Đề các:
 


  Vx    Vy    Vz   0
dt x
y
z

 0 , ta có (dịng ổn định):
dt

div  V   0

(1.52)

Trường hợp riêng nếu

(1.53)

Nếu khơng khí khơng bị nén thì cho dịng ổn định và khơng ổn định:

divV  0
(1.54)

Nếu dịng khơng xốy thì: V =  và nếu mơi trường khơng bị nén thì
phương trình liên tục sẽ trở về phương trình Laplac:
 2  2  2 
  2  2  2  0
x y
z

(1.55)

1.3.2. Các lực tác động trong dịng khí
Ta xét trong dịng có khối khí chiếm thể tích W, có bề mặt bao S (hình
1.15) lực tác dụng lên khối này chia làm 2 nhóm: lực khối lượng và lực bề mặt.
Lực khối lượng tác dụng phân bố đến từng hạt trong thể tích xem xét. Đó là
trọng lực, lực tĩnh điện, lực điện tử... Lực khối lượng được đặc trưng bởi lực

căng kéo là giới hạn của tỉ số vectơ lực khối lượng  F và thể tích của nó khi
tiến dần tới 0 (tức là W  0).



F
F  lim
W 0 W
Hình chiếu lên các trục của hệ trục tọa độ Đề các là: Fx, Fy, Fz.
Nhìn chung lực kéo khối lượng phụ thuộc vào tọa độ và thời gian. Nếu các
lực khối lượng có thế năng  thì lực kéo là:

F  

19


Lực bề mặt là lực phân bố tác dụng lên các
 hạt trên bề mặt S. Nếu có bề

R
mặt S có lực tác dụng lên  Rn thì giới hạn
khi S  0 (kéo về một điểm)
S
thì gọi là lực căng bề mặt tại điểm đó.


Rn
Pn  lim
S 0 S
ở đây n là hướng vng góc bề mặt ngồi của bề
mặt S. (Hình 1.15).
Ta xét các hạt khí có dạng hình hộp
(Hình
 

 1.16)
các lực tác dụng lên các mặt ký hiệu Px , Py , Pz và các
thành phần của nó lên các trục tọa độ là: P xx; Pxy; Pxz;
Pyx; Pyy; Pyz; Pzx; Pzy; Pzz.
Rõ ràng rằng:
 

Px = i Pxx + j Pxy +
 

Py = i Pyx + j Pyy +
 

Pz = i Pzx + j Pzy +


k Pzz ;

k Pyz ;

k Pzz

(1.57)

Sức căng bề mặt hay cịn gọi là sức
căng nhớt (do có độ nhớt gây ra):



Px = - i P +  x ;




Py = - j P +  y



Pz = - k P +  z
(1.58)
  
trong đó:  x ,  y ,  z : sức căng nhớt tác
dụng lên các mặt tương ứng dấu (-) vì áp suất ln tác dụng theo hướng vng
góc vào trong sức căng nhớt thành phần thu các trục ký hiệu:
xx, xy, xz, yx, yy, yz, zx, zy, zz
Tổng ứng lực bề mặt có dạng:





Px = - i P + i xx + j xy + k xz





Py = - i P + i yx + j yy + k yz (1.59)






Pz = - k P + i zx + j zy + k zz
Trong dòng chảy tầng sức căng nhớt
theo giả thuyết Niutơn tỉ lệ với vận tốc biến
20

(hình 1.17)