Skkn rèn luyện kĩ năng tư duy hình học qua việc khai thác một số bài toán về tứ giác nội tiếp cho học sinh lớp 9 trường thcs minh lộc

ỦY BAN NHÂN DÂN HUYỆN HẬU LỘC

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG TƯ DUY HÌNH HỌC QUA VIỆC KHAI
THÁC MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ TỨ GIÁC NỘI TIẾP CHO HỌC
SINH LỚP 9 TRƯỜNG THCS MINH LỘC

Người thực hiện: Lưu Thị Hồng
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị cơng tác: Trường THCS Minh Lộc
SKKN thuộc mơn: Tốn

MỤCNĂM
LỤC 2022
HẬU LỘC

skkn


NỘI DUNG
1. Mở đầu
1.1. Lý do chọn đề tài
1.2. Mục đích nghiên cứu
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1.4. Phương pháp nghiên cứu
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.2.Thực trạng vấn đề trức khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
3. Kết luận và kiến nghị.
3.1. Kết luận:
3.2.Kiến nghị:
TÀI LỆU THAM KHẢO

skkn

TRANG
1
1
1
1
1
2
2
2
2
13
14
14
14
16


1

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài

Trong chương trình THCS, Tốn học chiếm vai trị rất quan trọng. Cùng với
sự phát triển mạnh mẽ của khoa học kĩ thuật bộ mơn Tốn cũng có sự đổi mới rõ
rệt. Đó là giúp hình thành và phát triển các phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và
năng lực toán học cho học sinh; phát triển kiến thức, kĩ năng then chốt chốt và tạo
cơ hội để học sinh trải nghiệm, vận dụng toán học vào thực tiễn. Giáo dục toán học
tạo ra sự kết nối giữa các ý tưởng toán học, giữa tốn học với các mơn học và hoạt
động giáo dục khác; giữa tốn học và đời sống thực tiễn.
Hình học là một phần quan trọng của giáo dục toán học, giúp học sinh tiếp
thu về kiến thức không gian và phát triển kĩ năng thực tế thiết yếu. Trong chương
trình lớp 9, nội dung về tứ giác nội tiếp là một trong những nội dung quan trọng,
luôn xuất hiện trong các bài kiểm tra, thi cuối kì, thi vào lớp 10, thi học sinh giỏi,
trường chuyên,... và ứng dụng vào thực tiễn phong phú. Qua thời gian trực tiếp
giảng dạy về nội dung, tơi nhận thấy những khó khăn mà học sinh gặp phải trong
quá trình học kiến thức cơ bản dẫn tới khả năng tiếp thu kiến thức mới khó khăn và
có tâm lí ngại mơn hình. Cụ thể:
+ Học sinh chưa nhận dạng và vận dụng được các dấu hiệu về chứng minh
tứ giác nội tiếp.
+ Học sinh chưa sử dụng được các kết quả về tứ giác nội tiếp để chứng minh
các yếu tố khác hoặc tính tốn.
Từ đó, tơi đã trao đổi và nghiên cứu để tìm ra những biện pháp khắc phục,
phù hợp giúp cho các em phần nào giảm bớt túng túng trong việc giải các bài toán
liên quan đến tứ giác nội tiếp. Do vậy tôi đã chọn đề tài: “Rèn luyện kĩ năng tư
duy hình học qua việc khai thác một số bài toán về tứ giác nội tiếp cho học
sinh lớp 9 trường THCS Minh Lộc”.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Với kiến thức sách giáo khoa, các bài tập về chứng minh tứ giác nội tiếp và
áp dụng kiến thức đó vào các bài tập là khơng khó nhưng đối với học sinh nơng
thơn vùng biển thì các bài tốn trên các em lại gặp khó khăn. Do đó, các em cần
được tiếp cận kiến thức một cách có hệ thống, làm quen với các bài tốn từ dễ đến
khó. Bên cạnh đó, học sinh biết phân tích tổng hợp và trình bày lời giải bài tốn

một cách logic, khoa học. Đồng thời, rèn luyện khả năng tổng quát hóa, khái qt
hóa và tìm các định hướng giải khác nhau cho các bài tốn mới. Từ đó, các em u
và chủ động, tích cực trong mơn hình học và vận dụng được vào thực tiễn.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Nghiên cứu kĩ năng tư duy hình học qua các bài tốn liên quan đến tứ giác
nội tiếp. Sau khi đọc đề nắm bắt thông tin, học sinh biết cách sắp xếp các thơng tin
và liên kết lại với nhau để tìm ra ý tưởng, phương pháp giải quyết vấn đề.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Trong quá trình nghiên cứu và làm sáng kiến này tôi đã sử dụng các phương
pháp nghiên cứu sau đây:
+ Phương pháp nghiên cứu tài liệu SGK, sách tham khảo, internet.
+ Phương pháp đàm thoại trực tiếp.
+ Phương pháp tổng kết kinh nghiệm giáo dục thông qua thực tế dạy học.

skkn


2

+ Điều tra, khảo sát thực tế, thống kê, phân tích, so sánh, xử lí số liệu.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Các bài tốn hình học về tứ giác nội tiếp rất phong phú và đa dạng. Do đó để
học sinh tiếp thu và vận dụng được phần kiến thức này địi hỏi giáo viên phải kiên
trì và tìm ra phương pháp và cách thức dạy học phù hợp với đối tượng học sinh.
Với đề tài: “Rèn luyện kĩ năng tư duy hình học qua việc khai thác một số bài
toán về tứ giác nội tiếp cho học sinh lớp 9 trường THCS Minh Lộc”, tôi hi
vọng sẽ giúp học sinh vững vàng hơn trong việc tìm lời giải cho các bài toán liên
quan đến tứ giác nội tiếp.
2.2. Thực trạng của vấn đề.

a. Thuận lợi:
+ Được sự quan tâm và chỉ đạo của nhà trường và các cấp, giáo viên luôn
được tạo mọi điều kiện để phấn đấu học tập và nghiên cứu, phát huy các phương
pháp đổi mới trong chun mơn.
+ Giáo viên trẻ năng động chịu khó tìm tịi, học hỏi, nghiên cứu và chia sẻ
kinh nghiệm lẫn nhau.
b. Khó khăn:
Bên cạnh những mặt thuận lợi cũng có nhiều những khó khăn như:
+ Học sinh ở vùng biển thường có bố mẹ đi làm ăn xa, khơng quản lí và đốc
thúc việc học cho các em được. Một số gia đình có hồn cảnh khó khăn, phụ huynh
chưa quan tâm.
+ Khả năng tiếp thu kiến thức của học sinh không đồng đều.
+ Học sinh phần lớp ngại học hình nên phần kiến thức cơ bản khơng nắm
được, khơng biết cách trình bầy bài hình một cách logic.
c. Số liệu thống kê:
Sau khi cho các em làm các bài kiểm tra trắc nghiệm, tự luận và các bài thi
liên quan đến tứ giác nội tiếp, tôi đã ghi nhận được như sau:
Tổng số
Điểm từ TB trở lên
Điểm dưới trung bình
Lớp
học sinh
Số lượng
Tỉ lệ
Số lượng
Tỉ lệ
9A
39
13
33,3%

26
66,7%
9E
36
8
22,2%
28
77,8%
2.3.Các giải pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề
2.3.1. Biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài.
Để thực hiện tôi đã áp dụng các giải pháp sau:
+ Soạn bài đầy đủ, chi tết phân dạng dạy theo đối tượng. Mỗi dạng bài sẽ từ
dễ đến khó dần, các bài sau khó hơn sẽ được phát triển từ bài trước. Từ đó học sinh
thấy hứng thú với các bài tốn hơn.
+ Hướng dẫn học sinh cách học các bài toán cơ bản trước. Các bài này nằm
trong SGK, SBT. Từ đó, phát triển các bài toán cơ bản thành các bài tốn khó hơn.
+ Tổ chức dạy học theo chun đề, trong các giờ chính khóa hoặc các giờ
phụ đạo tùy thuộc vào đối tượng và khả năng tiếp thu của học sinh đồng thời định
hướng, hướng dẫn học sinh tự tìm tịi, nghiên cứu thêm.

skkn


3

+ Thực hiện theo phương pháp dạy học đổi mới: Phát triển năng lực tốn
học chung và riêng.
+ Ln kiểm tra, đánh giá, sửa lỗi, động viên học sinh trong quá trình thực
hiện giảng dạy để các em tự tin và u thích mơn học.
2.3.2. Kiến thức cơ bản.

a. Khái niệm tứ giác nội tiếp:
+ Tứ giác nội tiếp đường trịn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên đường trịn đó.
b. Định lý:
+ Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180o.
+ Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180 o thì tứ giác đó
nội tiếp được một đường tròn.
c. Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp:
+ Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180o.
+ Tứ giác có góc ngồi tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
+ Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (có thể xác định được). Điểm đó
là tâm của đường trịn ngoại tiếp tứ giác.
+ Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại dưới một
góc α.
d. Một số kết quả được suy ra từ tứ giác nội tiếp:
+ Tổng hai góc đối diện bằng 180o
+ Góc ngồi tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
+ Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung bằng nhau…
2.3.3. Một số dấu hiệu cơ bản chứng minh tứ giác nội tiếp và sử dụng kết
quả để giải các bài toán liên quan.
Sau đây, tơi xin trình bày các ví dụ chứng minh tứ giác nội tiếp và sử dụng
kết quả chứng minh vào các bài tốn khác. Trong các ví dụ, tơi xin được trình bày
định hướng tư duy. Phần trình bày chứng minh dựa vào sơ đồ nên cho phép tơi
khơng trình bày ở đây.
a, Dấu hiệu 1. Trong một tứ giác, nếu tổng của hai góc đối diện bằng 180O
thì tứ giác đó nội tiếp được đường trịn.
Kiến thức
Tứ giác ABCD có
(hoặc
)
 Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp

Hình vẽ
C
B

A

skkn

D


4

*Trường hợp đặc biệt:
thì tứ giác ABCD nội tiếp
đườn trịn đường kính BD và tâm của
đường trịn là trung điểm của đoạn thẳng
BD
*Kết quả: Nếu tứ giác ABCD nội tiếp thì
tổng hai góc đối bằng 180o.

C
B

A
D

Ví dụ 1: Cho tam giác ABM. Điểm F là hình chiếu của điểm A trên đoạn
BM. Trên đoạn AF lấy điểm C. Từ điểm C, kẻ CD vng góc với AB, CE vng

góc với AM (D thuộc AB, E thuộc AM). Chứng minh:
a, Tứ giác CDBF, CDAE là các tứ giác nội tiếp được đường tròn.
b,
Hướng dẫn:
Quan sát tứ giác CDAE và tứ giác CDBF ta nhận
thấy đặc điểm chung là có 2 góc đối tại đỉnh D và
E; D và F đều bằng 90o nên dễ dàng chứng minh
tứ giác nội tiếp.

A
1 2

E

D
1
B

a,

C

(gt) ,

2
F

(gt)

M

Tứ giác ADCE, BDCF nội tiếp được đường tròn.
(Dấu hiệu 1)
b, Để chứng minh
ta nhận thấy
do đó ta tìm
mối liên hệ giữa các góc trên. Ta có sơ đồ như sau:
Tứ giác ADCE, BDCF nội tiếp được đường trịn.

(Kết quả)

hay
Ví dụ 2 (Phát triển từ VD1): Từ điểm M ở ngồi đường trịn tâm O, vẽ hai
tiếp tuyến MA, MB với đường tròn. Trên cung nhỏ AB lấy một điểm C. Vẽ CD

skkn


5

vng góc với AB, CE vng góc với MA, CF vng góc với MB. Gọi I là giao
điểm của AC và DE, K là giao điểm của BC và DF. Chứng minh:
a, Tứ giác ICKD nội tiếp được đường tròn.
b, IK vng góc với CD.
c, CD2 = CE . CF
Hướng dẫn: Sử dụng kết quả của ví dụ 1, ta có
A

Mà theo ĐL tổng ba góc trong

12
O
D
1
B

E

I
K
2

C

Mà

(góc tạo bởi tiếp
tuyến và dây cung cùng
chắn
,
)

M

F

Tứ giác ICKD nội tiếp được đường tròn.(Dấu hiệu 1)
b, Vận dụng kết quả tứ giác để chứng minh câu b. Nhận thấy: CD vng góc với
AB, nên để IK vng góc với CD ta đi chứng minh IK//AB. Sử dụng kết quả tứ
giác nội tiếp ta có sơ đồ sau:

Tứ giác ICKD nội tiếp được đường trịn
(cùng chắn cung CK)
Mà
(tứ giác CDBF nội tiếp)
Lại có

(chứng minh trên)

Mà hai góc sole trong
IK//AB
Do CD AB
CD IK
c, Để chứng minh CD = CE . CF ta áp dụng tính chất tỉ lệ thức để suy luận tìm ra
tỉ số bằng nhau. Từ đó tìm ra được cặp tam giác đồng dạng cần chứng minh.
(ví dụ 1)
(ví dụ 1)
Mà
(c/m trên)
Mà
(c/m trên)
(C/m trên)
(c/m trên)
(Tứ giác DCEA nội tiếp)
(tứ giác CDAE nội tiếp)
2

skkn


6

(g.g)

CD2 = CE . CF
b, Dấu hiệu 2: Trong một tứ giác, nếu góc ngồi tại một đỉnh bằng góc
trong tại đỉnh đối diện thì tứ giác đó nội tiếp dược đường trịn.
Kiến thức
Hình vẽ
Tứ giác ABCD có
 Tứ giác x
C
B
ABCD là tứ giác nội tiếp
Chứng minh: Giả sử đã có
.
Mà
và
là hai góc kề bù
nên
.
Từ đó suy ra
. Khi A
đó, tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn
(theo phương pháp 1). Ta cũng có thể
D
chứng minh cặp góc khác tương tự.
Trường hợp đặc biệt:
Nếu
thì AC cũng chính
là đường kính của đường tròn ngoại

tiếp tứ giác ABCD.
Kết quả: Nếu tứ giác ABCD nội tiếp
thì góc ngồi tại một đỉnh bằng góc
trong tại đỉnh đối diện.
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. M là một điểm nằm trong tam
giác. Hạ MH vng góc với BC. Gọi P, Q, E, F lần lượt là hình chiếu của H trên
các đường thẳng MB, MC, AB, AC. Giả sử P, Q, E, F thẳng hàng. Chứng minh:
a, Điểm M là trực tâm của tam giác ABC.
b, Tứ giác BEFC nội tiếp được đường tròn.
Hướng dẫn:
Dựa vào dấu hiệu 1, ta dễ dàng nhận
ra các tứ giác: BEPH, HPMQ, HQFC,
…là các tứ giác nội tiếp.
Để chứng minh điểm M là trực tâm
của tam giác, ta chứng minh CK và BI

skkn


7

là hai đường cao (vì vai trị của hai
đường cao CK, BI như nhau nên ta có
thể chứng minh tương tự).

A
I
F
K

M

Q

P
E
B

H

C

a, gt:
Tứ giác
MPHQ nội tiếp

Tứ giác BEPH nội tiếp

(cùng chắn

)

(Cùng phụ
với
)

(đối đỉnh)

mà hai góc đồng vị
Chứng minh tương tự

BI AC

CK//EH
mà EH AB
CK AB

M là trực tâm của
b,

(giả thiết)

Tứ giác HQFC nội tiếp dược đường tròn
(Kết quả)

QH//AB
(đồng vị)

Tứ giác BEFC nội tiếp được đường tròn.(Dấu hiệu 2)

skkn


8

c, Dấu hiệu 3: Trong một tứ giác, nếu hai đỉnh kề nhau của tứ giác nhìn
cạnh chứa hai đỉnh cịn lại bởi hai góc có số đo bằng nhau thì tứ giác đó nội tiếp
được đường trịn.
Kiến thức
Hình vẽ
Tứ giác ABCD có

 Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp

B
C

Chứng minh: Giả sử đã có
.
Mà AD cố định.
 B, C nằm trên cung chứa góc α dựng trên
đoạn AD (xem bài tốn quỹ tích cung chứa
góc).
Khi đó kết luận bốn đỉnh của tứ giác
cùng nằm trên một đường tròn. Tức là tứ
giác đó nội tiếp được đường trịn.
*Trường hợp đặc biệt
Nếu
thì tứ giác ABCD nội
tiếp đường trịn đường kính AD.
Khi đó tâm đường trịn ngoại tiếp tứ
giác ABCD chính là trung điểm I của đoạn
thẳng AD.

D
A

C
B

D
A

I

Kết quả: Trong tứ giác nội tiếp, hai góc có
đỉnh kề nhau cùng nhìn một đoạn thẳng
thì có số đo bằng nhau.
Ví dụ 4: Cho nửa đường trịn đường kính AB. Gọi M là điểm đối xứng của
điểm O qua điểm A. Đường thẳng qua M cắt nửa đường tròn tâm O tại C và D.
(Điểm C nằm giữa M và D). Gọi E là giao điểm của AD và BC, N là trung điểm
cảu OA. Chứng minh:
a, Tứ giác NEDB nội tiếp được đường tròn.
b, EN MB
D
C

M

A

E

N

O

B

Hướng dẫn:
Theo dấu hiệu 3, nhận thấy tứ giác
ACDB nội tiếp nên

.
Để tứ giác NEDB nội tiếp, ta cần có
.
Từ đó ta chứng minh
.

skkn


9

a,

NOD và

DOM có:
(gt),

chung

mà

Tứ giác CDBA nội tiếp
DA là tia phân giác của góc MDN
(cùng chắn

)

Tứ giác NEDB nội tiếp được đường tròn (Dấu hiệu 3)
b, Từ kết quả :

NEDB là tứ giác nội tiếp

Mà

(góc nội tiếp chắn nửa đường
trịn)

hay EN MB
*Từ bài tốn trên ta cịn chứng minh được
AE . AD = AN . AB
Thật vậy: Xét

Suy ra
Suy ra

AND và AEB có:
chung
(góc nội tiếp chắn cung EN)
(g.g)
hay AE . AD = AN . AB.

Kết quả trên cũng là nội dung của dấu hiệu sau.

skkn

(g.g) suy ra


10

d. Dấu hiệu 4: Trong một tứ giác, tích hai đoạn thẳng từ giao điểm hai cạnh
đối (hoặc hai đường chéo) của tứ giác đến hai đỉnh của cạnh này bằng tích của
hai đoạn thẳng từ giao điểm đó đến hai đỉnh của cạnh kia thì tứ giác đó nội tiếp
đường trịn.
Kiến thức
Hình vẽ
-Trường hợp 1: K là giao điểm hai cạnh
(kéo dài) của tứ giác:
T
Tứ giác ABCD có
KA . KB = KC . KD
 Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.
*Chứng minh:
Giả sử AB cắt CD tại K (hình vẽ).
KA . KB = KC . KD
Xét hai tam giác KAC và KDB, có:
là góc chung
(cmt)
Suy ra KAC KDB (c.g.c)
(hai góc tương ứng)
Từ đó dựa vào phương pháp 4 ta kết luận
được tứ giác ABCD nội tiếp được đường
tròn.
Chú ý: Khi KT là tiếp tuyến thì:
KA . KB = KC . KD = KT2
- Trường hợp 2: K là giao điểm hai đường
chéo của tứ giác:
Tứ giác ABCD có
KA . KC = KB . KD

 Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.
Chứng minh: Tứ giác ABCD có
KA . KC = KB . KD

A
B

;

(đối đỉnh)
 KAD KBC (c.g.c)
(hai góc tương ứng). Hay
Ta cũng kết luận được tứ giác ABCD
nội tiếp.
Kết quả: Nếu tứ giác ABCD nội tiếp và K
là giao điểm của AB và CD suy ra:
KA . KB = KC . KD = KT2

skkn

1

K
2

D
C


11

Ví dụ 5: Từ điểm A nằm ngồi đường trịn tâm O. Vẽ các tiếp tuyến AM, AN đến
đường tròn tâm O và cát tuyến ADC. Gọi B là điểm trên cung CM không chứa điểm D và
H là giao điểm của MN và BD, E là giao điểm của CH và đường tròn tâm O.
a, Gọi K là giao điểm của AH và đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN. Chứng minh
tứ giác AEKC, HKCD nội tiếp được đường tròn.
b, Chứng minh ba điểm A, E, B thẳng hàng.

M
B
E

K

A

Hướng dẫn:
Nhận thấy, tứ giác KEAC có hai
đường chéo cắt nhau tại điểm H nên sử
dụng dấu hiệu 2 như sau:

H
D

C
N

a, Tứ giác KMAN nội tiếp đường
tròn đi qua 3 đỉnh A, M, N

Tứ giác EMCN nội tiếp (O)
HE . HC = HM . HN (Kết quả)

HK . HA = HM . HN (Kết quả)
HK . HA = HE . HC
Tứ giác KEAC nội tiếp được đường tròn (Dấu hiệu 4, trường hợp 2)
* Đối với tứ giác KHDC có đường thẳng KH và CD cắt nhau tại A nên ta có:
Hệ thức lượng trong tam giác
vng AMK có đường cao MH:
AH . AK = AM2

Đường ADC là cát tuyến của đường
tròn (O) theo kiến thức trên
AD . AC = AM2

AH . AK = AD . AC
Tứ giác KHDC nội tiếp đường tròn (Dấu hiệu 4, trường hợp 1)
b, Chứng minh ba điểm thẳng hàng có nhiều cách như: Chứng minh hai góc kề nhau có
tổng bằng 180o; chứng minh dựa vào tiên đề Ơclit; chứng minh hai tia trùng nhau;…
Vận dụng kết quả tứ giác nội tiếp trên ta có thể chứng minh:
như sau:

skkn


12

Tứ giác BCDE nội tiếp đường tròn tâm O

(Cùng chắn

Tứ giác CKEA nội tiếp (câu a)

)

(Cùng chắn

Mà

)

(Tứ giác CKHD nội tiếp)

Ba điểm A, E, B thẳng hàng.
e. Dấu hiệu 5: Trong một tứ giác, nếu bốn đỉnh cách đều một điểm thì tứ giác đó
nội tiếp được đường trịn.
Để chứng minh một tứ giác nội tiếp được đường tròn, ta chỉ cần chứng minh
bốn đỉnh của tứ giác đó cách đều một điểm nào đó cho trước (nghĩa là điểm cách
đều đó phải xác định được). Điểm đó chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ
giác, khoảng cách từ điểm đó đến các đỉnh chính là bán kính của đường trịn này.
Kiến thức
Hình vẽ
Tứ giác ABCD có:
B
A
OA = OB = OC = OD (= R)
 Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp
Khi đó O, R lần lượt là tâm và bán
kính của đường trịn ngoại tiếp.
O

D
C

Ví dụ 6: Cho đường trịn tâm O. Kẻ hai đường kính AB và CD vng góc với
nhau. Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ BC, AM cắt CD tại E, DM cắt AB tại F.
Chứng minh:
a, Tứ giác BCEF nội tiếp.
b, EF//DC
A
Hướng dẫn:
Nhận thấy, hai đường kính AB, CD
vng góc với nhau nên:
E

C

O

D

F
M
B

(góc có đỉnh ở bên

skkn


13

trong đường trịn)

(góc nội tiếp)

MCE cân tại M
MC = MB
(Hai cung bằng nhau)

c/m tương tự

MC = ME

MB = MF

MB = MC = ME = MF
Tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn tâm M (Dấu hiệu 5)
b,

Tứ giác BCEF nội tiếp đường trịn tâm M

Mà
hai góc đồng vị
EF//BC
Trên đây, tơi đã hệ thống lại một số phương pháp cơ bản dựa trên các dấu
hiệu nhận biết để chứng minh một tứ giác nội tiếp và vận dụng kết quả đó để giải
một số bài tốn liên quan thường gặp. Ngồi các định hướng trên, khuyến khích
học sinh tìm thêm các định hướng khác giúp các em phát triển các năng lực toán
học.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.

Khi bắt đầu áp dụng sáng kiến kinh nghiêm: “Rèn luyện kĩ năng tư duy
hình học qua việc khai thác một số bài toán về tứ giác nội tiếp cho học sinh
lớp 9 trường THCS Minh Lộc”, học sinh còn bối rối trong cách suy luận và sai
sót trong cách trình bày. Nhưng thông qua các buổi bồi dưỡng, ôn tập chi tiết, có
hệ thống học sinh đã tiếp thu một cách chủ động; biết phân tích bài tốn và sử
dụng dấu hiệu đã học để chứng minh tứ giác nội tiếp đồng thời khai thác được các
kiến thức về tứ giác nội tiếp vào các bài toán khác liên quan. Đồng thời, dựa vào sơ
đồ tư duy học sinh biết cách trình bày bài tốn logic hơn. Từ đó các em tự tin hơn
trong mơn hình và thậm chí có cái nhìn đầy đủ và hoàn thiện hơn ở những nội
dung khác. Bên cạnh đó cịn giúp cho học sinh khá giỏi có điều kiện tìm hiểu thêm
một số phương pháp giải khác, các dạng toán khác nâng cao hơn, nhằm phát huy

skkn


14

tài năng tốn học, phát huy tính tự học, tìm tịi, sáng tạo của học sinh trong học
tốn và vận dụng vào các bài tốn thực tế.
Tơi đã áp dụng đề tài này ở khối lớp 9 trong năm học 2020-2021. Sau khi
thực hiện giải pháp của đề tài, tôi thu được kết quả khá khả quan và đã thống kê lại
trong bảng sau:
Tổng số
Điểm từ TB trở lên
Điểm dưới trung bình
Lớp
học sinh
Số lượng
Tỉ lệ
Số lượng

Tỉ lệ
9A
39
33
84,6%
6
15,4%
9E
36
28
77,8%
8
22,2%
Thơng qua bảng số liệu cho thấy sáng kiến này có tính ứng dụng và mang lại
hiệu quả cho việc học tập của học sinh.
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1.Kết luận.
Bài toán liên quan đến tứ giác nội tiếp không chỉ đơn thuần chứng minh
được ngay nhờ những phương pháp trên mà thường phải suy luận ngược từ điều
cần chứng minh và kết hợp với giả thiết để tìm ra phương pháp chứng minh phù
hợp. Cùng một bài tập, các em có thể chứng minh bằng nhiều cách khác nhau, và
lựa chọn cách tối ưu nhất để giải quyết. Trên đây là một số phương pháp thường
dùng và có hiệu quả đối với học sinh lớp 9 ở trường THCS, giúp cho các em có
tiền đề về kĩ năng suy luận về phần tứ giác nội tiếp nói riêng và hình học nói chung
để các em tự tin trong các bài kiểm tra đánh giá.
Đây là nợi dung tương đối khó và có khới lượng kiến thức lớn của đề tài nên
tôi cảm thấy đang còn nhiều vấn đề chưa trình bày hết được tôi sẽ tiếp tục nghiên
cứu hoàn thiện. Tuy nhiên, trong khuôn khổ của bài viết và thời gian có hạn, khơng
thể tránh được những sai sót nên tơi rất mong được sự nhận xét, góp ý của cấp lãnh
đạo, của đồng nghiệp và của tổ chuyên môn .

3.2.Kiến nghị.
Trên đây chỉ là các phương pháp cơ bản để giải toán liên quan đến tứ giác
nội tiếp. Để học sinh nắm chắc kiến thức và có hứng thú học tập, giáo viên phải chọn
lọc hệ thống kiến thức, hệ thống bài tập theo mức độ tăng dần, từ dễ đến khó, giúp học
sinh phát huy khả năng suy luận và tính độc lập sáng tạo. Bên cạnh đó, thường xuyên
dự giờ thăm lớp để học hỏi kinh nghiệm giảng dạy của đồng nghiệp. Đối với học
sinh, để tiếp thu tốt cần ôn tập lại các kiến thức cũ có liên quan (như là cung chứa
góc, hai tam giác đồng dạng, các hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác
vuông, …)
Những sáng kiến kinh nghiệm có tính vận dụng tốt, đạt giải cao trong tỉnh
kính mong Sở, Phịng GD&ĐT tạo điều kiện để cho cán bộ, giáo viên được học hỏi
kinh nghiệm; đồng thời tăng cường các hoạt động chuyên đề, các tiết mẫu để giáo
viên có thể nâng cao trình độ chuyên môn. Nhà trường tạo điều kiện về thời gian
và cơ sở vật chất, tăng cường dự giờ và sinh hoạt chun mơn để giáo viên có thể
học hỏi, tích lũy và sáng tạo trong dạy học.
Tơi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA

Minh Lộc, ngày 12 tháng 3 năm 2022

skkn


15

THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Tôi xin cam đoan đây là SKKN
của mình viết, khơng sao chép nội dung
của người khác.

NGƯỜI VIẾT

LƯU THỊ HỒNG

skkn


16

TÀI LIỆU THAM KHẢO.
1. SGK, SBT, SGV Toán 9 tập 2 – Bộ Giáo dục và Đào tạo – Nhà xuất bản
Giáo dục.
2. Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức, kĩ năng mơn Tốn THCS – Bộ Giáo
dục và Đào tạo – Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam.
3. Toán nâng cao và các chuyên đề Hình học 9 – Vũ Dương Thụy, Nguyễn
Ngọc Đạm.
4. Toán nâng cao và phát triển tập 2 –Vũ Hữu Bình.
5. Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 – Trần Thị Vân Anh.
6. www.vnschool.net
7. www.giaovien.net

skkn


17

DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Lưu Thị Hồng
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THCS Minh Lộc

TT

1

2

3

Tên đề tài SKKN
Một số kinh nghiệm hướng
dẫnhọc sinh lớp 9 giải bài
tốn bằngcách lập hệ
phương trình ở trường
THCS Minh Lộc.
Kinh nghiệm giải bài tốn
bằng cách lập hệ phương
trình cho học sinh lớp 9 ở
trường THCS Minh Lộc –
Hậu Lộc – Thanh Hóa.
Rèn luyện kĩ năng tư duy
hình học qua việc khai thác
một số bài toán về tứ giác
nội tiếp cho học sinh lớp 9
trường THCS Minh Lộc.

Cấp đánh giá
xếp loại

(Ngành GD cấp
huyện/tỉnh;
Tỉnh...)

Kết quả
đánh giá
xếp loại
(A, B,
hoặc C)

Năm học
đánh giá
xếp loại

Phòng Giáo dục
và Đào tạo

B

2016-2017

Phòng Giáo dục
và Đào tạo

B

2018-2019

Phòng Giáo dục
và Đào tạo

A

2021-2022

skkn