Hướng dẫn học sinh giải và khai thác một số bài toán về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng cho học sinh lớp 10 thpt

LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình hoàn thành khóa luận em luôn nhận được sự giúp đỡ và
chỉ bảo tận tình của cô giáo - Thạc sĩ Nguyễn Hải Lý. Đồng thời em cũng nhận
được sự sự giúp đỡ tận tình của các thầy, cô giáo trong khoa Toán - Lý - Tin.
Phòng KH & QHQT, trung tâm thông tin thư viện trường Đại học Tây Bắc, các
thầy cô trong trường THPT Vân Cốc, các em học sinh lớp 10A5, 10A8 cùng các
bạn sinh viên lớp K53 ĐHSP Toán.
Em xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo, các bạn sinh viên và các em
học sinh đã giúp em trong quá trình hoàn thành khóa luận.
Trong quá trình thực hiện khóa luận không tránh khỏi những thiếu xót, rất
mong nhận được nhứng ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn để khóa
luận được hòan thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Sơn La, tháng 5 năm 2016
Người thực hiện
Nguyễn Thị Công Dung


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ...................................................................................................... 5
1. Lý do chọn khóa luận ............................................................................ 5
2. Mục đích, nhiệm vụ của khóa luận ....................................................... 5
2.1. Mục đích nghiên cứu...................................................................... 5
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu ..................................................................... 5
3. Đối tượng nghiên cứu ........................................................................... 6
4. Phương pháp nghiên cứu....................................................................... 6
5. Đóng góp của khóa luận........................................................................ 6
6. Cấu trúc của khóa luận .......................................................................... 6
CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ................................. 7
1.1. Quan niệm về bài toán ....................................................................... 7
1.2. Hướng dẫn học sinh giải bài tập toán ................................................ 7

1.3. Vai trò, vị trí và chức năng của bài tập toán ...................................... 9
1.3.1. Vai trò của bài tập toán trong quá trình dạy học......................... 9
1.3.2. Vị trí của bài tập toán học ......................................................... 11
1.3.3. Các chức năng của bài tập toán học .......................................... 12
1.4. Yêu cầu đối với lời giải một bài toán............................................... 13
1.5. Phương pháp chung để giải bài toán ................................................ 14
1.5.1. Tìm hiểu nội dung đề bài .......................................................... 14
1.5.2. Tìm cách giải ............................................................................. 15
1.5.3. Trình bày lời giải...................................................................... 17
1.5.4. Nghiên cứu sâu lời giải ............................................................. 17
1.6. Các bài toán về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng .................... 18
1.6.1. Vị trí, phân phối chương trình phương pháp tọa độ trong mặt . 18
1.6.2. Một số dạng toán về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng ..... 18
1.6.2.1. Một số dạng toán về phương trình đường thẳng ................ 18
1.6.2.2. Một số dạng toán về phương trình đường tròn ................. 21


1.6.2.3. Một số dạng toán về đường elip......................................... 21
1.7. Thực trạng trong việc hướng dẫn học sinh giải và khai thác một số
bài toán về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng ở một số trướng THPT ..... 23
1.7.1. Điều tra đối với giáo viên ......................................................... 23
1.7.2. Điều tra học sinh ....................................................................... 23
CHƢƠNG 2: HƢỚNG DẪN GIẢI VÀ KHAI THÁC MỘT SỐ BÀI
TOÁN VỀ PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG CHO HỌC
SINH LỚP 10 THPT ......................................................................................... 25
2.1. Một số bài toán về phương trình đường thẳng................................. 25
2.2. Một số bài toán về phương trình đường tròn ................................... 44
2.3 . Một số bài toán về phương trình đường elip................................... 49
CHƢƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ........................................... 56
3.1. Mục đích thực nghiệm ..................................................................... 56

3.2. Phương pháp thực nghiệm ............................................................... 56
3.3. Nội dung thực nghiệm...................................................................... 56
3.4. Tổ chức thực nghiệm ....................................................................... 56
3.5. Kết quả thực nghiệm ........................................................................ 57
3.6. Kết luận rút ra từ thực nghiệm ......................................................... 58
KẾT LUẬN ................................................................................................ 59
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................ 60


DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT
Từ viết tắt

Viết đầy đủ

THPT

Trung học phổ thông

ptts

Phương trình tham số

pttp

Phương trình tổng quát

vtpt

Véctơ pháp tuyến

vtcp

Véctơ chỉ phương

TH

Trường hợp

ĐT

Đường thẳng


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn khóa luận
Trong chương trình toán lớp10 - THPT, học sinh bước đầu làm quen với
phương pháp tọa độ trong mặt phẳng đó là nền tảng kiến thức để đến lớp 12
học sinh dễ dàng tiếp cận nội dung phương pháp tọa độ trong không gian.
Đây cũng là hai nội dung quan trọng trong chương trình toán THPT. Nội dung
này thường xuất hiện trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT và các kỳ thi đại học,
cao đẳng, trung học chuyên nghiệp.
Tuy nhiên số tiết dạy trên lớp không đủ để giáo viên có thể đưa ra nhiều
dạng toán cho học sinh mà chỉ có thể dừng lại ở một số bài toán cơ bản. Vì
vậy học sinh sẽ gặp khó khăn khi giải các bài toán tổng hợp và phức tạp.
Với mong muốn giúp học sinh mở rộng và khai thác sâu hơn các bài toán
về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng em chọn khóa luận:” Hướng dẫn giải
và khai thác một số bài toán về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng cho học
sinh lớp 10 THPT”.
2. Mục đích, nhiệm vụ của khóa luận
2.1. Mục đích nghiên cứu

Mục đích của khóa luận là nghiên cứu việc hướng dẫn giải và khai thác một
số bài toán về phương pháp tọa đô trong mặt phẳng cho học sinh lớp 10 - THPT.
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu một số vấn đề lý luận có liên quan đến việc hướng dẫn giải
và khai thác một số bài toán về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
- Điều tra thực trạng việc hướng dẫn giải và khai thác bài tập về phương
pháp tọa độ trong mặt phẳng cho học sinh lớp 10 của giáo viên ở một số
trường THPT.
- Đề xuất một số bài toán được khai thác từ bài toán cơ bản về phương
pháp tọa độ trong mặt phẳng.
- Tiến hành thực nghiệm sư phạm để bước đầu có kết luận cần thiết cho
việc nghiên cứu.

5


3. Đối tƣợng nghiên cứu
Một số bài toán về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Hình học 10 –
THPT.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận
- Phương pháp quan sát - điều tra
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm
5. Đóng góp của khóa luận
Khóa luận có thể là tài liệu tham khảo cho sinh viên chuyên ngành sư
phạm toán, cho học sinh và giáo viên THPT.
6. Cấu trúc của khóa luận
Ngoài phần mở đầu, danh mục, tài liệu tam khảo khóa luận gồm ba
chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Hướng dẫn giải và khai thác một số bài toán về phương pháp
tọa độ trong mặt phẳng cho học sinh lớp 10 THPT
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

6


CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Quan niệm về bài toán
Bài toán là một tình huống kích thích, đòi hỏi một lời giải đáp không có
sẵn ở người giải tại thời điểm bài toán được đưa ra.
Theo quan niệm trên bài toán gồm ba ý chính:
- Chỉ có bài toán đối với người nào đó hay chính xác hơn là trạng thái
phát triển nào đó của người giải.
- Lời giải đáp phải tương thích với tình huống của bài toán.
- Lời giải đáp gắn liền với tình huống như một đặc trưng của tình huống
mà người giải đã quen thuộc.
1.2. Hƣớng dẫn học sinh giải bài tập toán
Muốn hướng dẫn học sinh giải được một bài toán cụ thể nào đó thì điều
kiện cần là giáo viên phải giải được bài toán đó nhưng như vậy là chưa đủ.
Muốn việc hướng dẫn giải bài toán được định hướng một cách đúng đắn thì
trước hết giáo viên cần hướng dẫn học sinh xác định đúng dạng bài toán dựa
vào yêu cầu mà bài toán đó đòi hỏi, mỗi bài toán tuy nằm trong một dạng
nhưng lại có những đặc điểm riêng của nó. Dựa vào những đặc điểm cụ thể đó
giáo viên phân tích bài toán để dẫn tới phương pháp giải từng bài cụ thể.
Mặt khác phải xuất phát từ mục đích sư phạm cụ thể của công việc cho
học sinh giải bài tập để xác định kiểu hướng dẫn phù hợp. Phương pháp
hướng dẫn học sinh giải một bài toán cụ thể nào đó là sử dụng tư duy trong
giải toán vào việc phân tích phân tích phương pháp giải bài tập cụ thể.
Các kiểu hƣớng dẫn học sinh giải bài tập gồm:

Hướng dẫn theo mẫu(hướng dẫn Angôrit): Sự hành động theo mẫu đã có
thường gọi là hướng dẫn theo mẫu hay hướng dẫn Angôrit. Hướng dẫn theo
mẫu là sự hướng dẫn chỉ rõ cho học sinh những hành động cụ thể cần thực
hiện và trình tự thực hiện các hành động đó để đi tới kết quả mong muốn.
Những hoạt động này được học sinh hiểu một cách đơn giản và học sinh
đã nắm vững cách thực hiện không đòi hỏi học sinh phải tìm tòi xác định các
hoạt động cần thực hiện để giải quyết vấn đề đặt ra mà chỉ đòi hỏi học sinh
thực hiện theo trình tự đã có.
7


Kiểu hướng dẫn Angôrit đòi hỏi giáo viên phải phân tích một cách lôgic
các giả thiết để xác định một trình tự chính xác chặt chẽ của các hoạt động
cần thực hiện để giải quyết được bài tập và phải đảm bảo các hoạt động đó
học sinh có thể thực hiện được.
Kiểu hướng dẫn này thường được áp dụng khi cần dạy cho học sinh
phương pháp giải bài tập điển hình nào đó. Người ta xây dựng các Angôrit
giải cho từng loại bài tập cơ bản điển hình và luyện tâp cho học sinh kỹ năng
giải bài tập đó dựa trên việc cho học sinh nắm được Angôrit giải.
Hướng dẫn tìm tòi (hướng dẫn Ơrixtic): Hướng dẫn tìm tòi là kiểu
hướng dẫn mang tính chất gợi ý cho học sinh suy nghĩ, tìm tòi phát hiện cách
giải quyết, không phải là giáo viên hướng dẫn cho học sinh chấp hành theo
mẫu đã có, mà là giáo viên gợi mở để học sinh giải quyết.
Kiểu hướng dẫn tìm tòi được vận dụng khi học sinh gặp khó khăn trong
tư duy cần giúp đỡ để giải được bài tập đồng thời vẫn đảm bảo yêu cầu phát
triển tư duy của học sinh tự lực tìm tòi, giải quyết.
Kiểu hướng dẫn khái quát chương trình hóa:
Đây cũng là kiểu hướng dẫn cho học sinh tự tìm tòi giải quyết vấn đề.
Nét đặc trưng của kiểu hướng dẫn này là giáo viên định hướng tư duy
cho học sinh theo đường lối, khái quát của việc giải quyết vấn đề.

Sự định hướng ban đầu đòi hỏi sự tự lực tìm tòi giải quyết của học sinh,
nếu học sinh không đáp ứng được yêu cầu thì sự giúp đỡ tiếp theo của giáo
viên là sự phát triển định hướng khái quát ban đầu, cụ thể hóa thêm một bước
bằng gợi ý thêm cho học sinh để thu hẹp thêm phạm vi tìm tòi giải quyết cho
vừa sức của học sinh, nhưng nếu học sinh vẫn không đủ năng lực tự giải
quyết thì hướng dẫn của giáo viên trở thành hướng dẫn theo mẫu để đảm bảo
cho học sinh hoàn thành một bước sau đó yêu cầu học sinh tự lực tìm tòi bước
tiếp theo, cứ như thế cho đến khi giải quyết xong vấn đề đặt ra.
Kiểu hướng dẫn này được áp dụng khi có điều kiện, tiến trình hoạt động
giải bài tập của học sinh, nhằm giúp học sinh tự giải quyết được bài tập đã
cho đồng thời dạy cho học sinh cách suy diễn trong quá trình giải bài tập.
Ưu điểm của kiểu hướng dẫn này là kết hợp được các yêu cầu: rèn luyện
tư duy của học sinh trong quá trình giải toán và đảm bảo cho học sinh giải
được bài tập đã cho.
8


Tuy nhiên, sự hướng dẫn đòi hỏi phải theo sát tiến trình hoạt động giải
bài tập của học sinh, không thể chỉ dựa vào những lời hướng dẫn soạn sẵn mà
phải kết hợp được việc định hướng với việc kiểm tra kết quả hoạt động của
học sinh để điều chỉnh sự giúp đỡ thích ứng với trình độ của học sinh.
Dạy học giải Toán không chỉ làm cho học sinh nhớ mẫu rồi áp dụng mà
còn phải làm cho học sinh ngày càng phát triển năng lực vận dụng linh hoạt,
sáng tạo các kiến thức đã học vào giải quyết các vấn đề trong bài toán cũng
như trong thực tiễn cuộc sống. Để đạt được yêu cầu trên, phương pháp tốt
nhất trong dạy học giải Toán là phải tạo cho học sinh tư duy độc lập, chủ
động để tìm ra cách giải bài toán. Giáo viên không bao giờ chỉ ra lời giải cho
học sinh một cách thụ động.
Chính vì thế, trong giờ dạy học giải Toán, học sinh phải được hoạt động
tích cực, chủ động, còn giáo viên phải biết tổ chức điều khiển bằng nhiều cách

khác nhau như: tổ chức cho học sinh thảo luận nhóm, tập trình bày các ý kiến
riêng của nhóm, của cá nhân hoặc dùng hệ thống các câu hỏi vấn đáp gợi mở,
vấn đáp củng cố để đi đến cách giải tốt nhất hoặc kết luận cần thiết cho mỗi
giờ dạy học giải Toán hoặc mỗi bài toán cụ thể.
1.3. Vai trò, vị trí và chức năng của bài tập toán
1.3.1. Vai trò của bài tập toán trong quá trình dạy học
Trong quá trình dạy học môn toán bài tập toán học chiếm một vai trò vô
cùng quan trọng. Trong dạy hoạt động giải toán, giải bài tập là hoạt động
quan trọng được thực hiện thường xuyên liên tục trong quá trình dạy học lên
lớp của giáo viên, mặt khác có thể thấy trong giải toán, hoạt động giải bài tập
là hoạt động cụ thể có tác dụng trong rèn luyện kỹ năng, bồi dưỡng năng lực
giải toán của học sinh. Bài tập toán và hoạt động giải bài tập toán thể hiện mối
liên hệ mật thiết giữa hoạt động học của học sinh và hoạt động dạy của giáo
viên với mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy học. Tức là thông qua bài tập
toán và hoạt động giải bài tập toán người học sinh thể hiện được mức độ
thông hiểu, lĩnh hội tri thức thông qua quá trình dạy học của người giáo viên.
Để giải tốt được một bài tập toán tức là người học sinh phải thực hiện những
hoạt động nhất định của việc học bao gồm hoạt động nhận dạng và thể hiện
khái niệm, định nghĩa, định lý, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động
toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học, những
9


hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ. Chính vì vậy mà theo
quan điểm của Nguyễn Bá Kim thì bài tập có vai trò “giá mang hoạt động”
của học sinh. Vai trò của bài tập toán trong quá trình dạy học được thể hiện
trên cả ba bình diện: mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy học.
+ Trên bình diện mục tiêu: Bài tập là giá mang những hoạt động mà việc
thực hiện các hoạt động đó thể hiện mức độ đạt mục tiêu. Mặt khác những bài
tập cũng thể hiện những chức năng khác nhau hướng đến việc thực hiện các

mục tiêu dạy học môn Toán, cụ thể là:
- Bài tập hình thành củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở những khâu khác
nhau của quá trình dạy học kể cả kỹ năng ứng dụng toán học vào thực tiễn.
- Bài tập phát triển năng lực trí tuệ: Rèn luyện những hoạt động tư duy
hình thành những phẩm chất trí tuệ.
- Bài tập bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những
phẩm chất đạo đức của người lao động mới.
+ Trên bình diện nội dung dạy học: Bài tập là giá mang hoạt động liên hệ
với những nội dung nhất định, là một phương tiện cài đặt nội dung để hoàn
chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó được trình bày trong phần lý
thuyết.
+ Trên bình diện phương pháp dạy học: Bài tập là giá mang hoạt động để
người học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực hiện những
mục tiêu dạy học khác nhau. Khai thác tốt các bài tập như vậy sẽ góp phần tổ
chức cho học sinh học tập trong hoạt động. Bằng hoạt động tự giác, tích cực,
chủ động, sáng tạo học sinh được thực hiện độc lập học tập trong giao lưu.
[Phương pháp dạy học môn Toán, Nguyễn Bá Kim, NXB Đại học sư phạm,
tr.412  413]
Ngoài dụng ý trên thì bài tập toán còn là tiêu chuẩn để kiểm tra, đánh giá
mức độ, kết quả dạy của người giáo viên và kết quả học của người học sinh
cũng như đánh giá khả năng làm việc một cách độc lập và trình độ phát triển
tư duy của học sinh theo hướng tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo.
Việc rèn luyện, bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh chính là rèn
luyện cho học sinh khả năng thực hiện, vận dụng bốn bước theo phương pháp
tìm lời giải bài toán của Polya. Điều này cũng phù hợp với phương pháp dạy

10


học phát hiện và giải quyết vấn đề theo xu hướng đổi mới phương pháp dạy

học của nền giáo dục ở nước ta hiện nay.
Muốn bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh, người giáo viên cần
hình thành cho học sinh kỹ năng giải toán. Tức là người giáo viên cần phải:
+ Giúp cho học sinh hình thành một đường lối chung (khái quát) để giải
quyết các đối tượng, các bài tập cùng loại.
+ Xác lập được mối liên hệ giữa những bài tập khái quát và các kiến thức
tương ứng.
Đặc biệt người giáo viên cần làm rõ cho học sinh nắm bắt được đâu là
các dạng bài tập ở cấp độ tri thức phương pháp được đưa ra tường minh có
thuật giải và đâu là dạng bài tập ở cấp độ tri thức phương pháp đưa ra ở dạng
ẩn tàng chưa có thuật giải.
Bên cạnh đó, một điểm đáng chú ý nữa là: “Trong quá trình giải một bài
tập toán cho nên tìm được nhiều cách giải là luyện tập cho học sinh biết cách,
cần khuyến khích cho học sinh tìm tòi nhiều cách giải cho một bài toán. Mọi
cách giải đều dựa vào một số đặc điểm nào đó của dữ kiện, nhìn nhận một vấn
đề theo nhiều khía cạnh khác nhau, điều đó rất bổ ích cho việc phát triển năng
lực tư duy. Mặt khác, tìm được nhiều cách giải thì sẽ tìm được cách giải hay
nhất, đẹp nhất…” (Theo Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy (1992), Phương
pháp dạy học môn Toán (phần I), NXB Giáo dục).
1.3.2. Vị trí của bài tập toán học
“Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học
sinh có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Các
bài tập toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có và không thể hiệu
quả thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư
duy, hình thành kỹ năng kỹ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn. Hoạt động
giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các nhiệm vụ dạy học toán ở
trường phổ thông. Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán học
có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán” (Theo Nguyễn Bá Kim,
Vũ Dương Thụy (1992), Phương pháp dạy học môn toán (phần I), NXB Giáo
Dục).

Giải bài tập toán không chỉ giúp cho học sinh củng cố một cách bền
vững các kiến thức mới được tiếp cận cho học sinh mà còn nhằm phát triển tư
11


duy cho học sinh, đặc biệt là rèn luyện các thao tác trí tuệ. Vì vậy, trong quá
trình dạy học người thầy giáo phải chú trọng bồi dưỡng năng lực giải toán cho
học sinh. Như chúng ta đã biết thì năng lực giải bài toán chính là khả năng
vận dụng các quy tắc, thuật giải đối với những bài toán ở dạng tường minh
cũng như khả năng xác định và ứng dụng bốn bước trong phương pháp tìm lời
giải bài toán của Polya đối với những bài toán đưa ra ở dạng ẩn tàng, không
có thuật giải.
1.3.3. Các chức năng của bài tập toán học
Mỗi bài tập toán học đặt ra ở một thời điểm nào đó của quá trình dạy học
đều chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau.
Các chức năng đó là:
+ Chức năng dạy học.
+ Chức năng giáo dục.
+ Chức năng phát triển.
+ Chức năng kiểm tra.
Các chức năng đều hướng tới việc thực hiện các mục đích dạy học:
+ Chức năng dạy học: Bài tập toán nhằm hình thành củng cố cho học sinh
những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy
học.
+ Chức năng giáo dục: Bài tập toán nhằm hình thành cho học sinh thế
giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, sáng tạo, có niềm tin và
phẩm chất đạo đức của người lao động mới.
+ Chức năng phát triển: Bài tập toán nhằm phát triển năng lực tư duy
cho học sinh, đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ hình thành những
phẩm chất tư duy khoa học.

+ Chức năng kiểm tra: Bài tập toán nhằm đánh giá mức độ kết quả dạy và
học, đánh giá khả năng độc lập học toán, khả năng tiếp thu, vận dụng kiến
thức và trình độ phát triển của học sinh.
Hiệu quả của việc dạy toán ở trường phổ thông phần lớn phụ thuộc vào
việc khai thác và thực hiện một cách đầy đủ các chức năng có thể có của các
tác giả viết sách giáo khoa đã có dụng ý đưa vào chương trình. Người giáo
viên phải có nhiệm vụ khám phá và thực hiện dụng ý của tác giả bằng năng lực sư
phạm của mình.
12


1.4. Yêu cầu đối với lời giải một bài toán
Để phát huy tác dụng của bài tập toán, trước hết cần nắm vững các yêu
cầu của lời giải. Nói một cách vắn tắt, lời giải phải đúng và tốt. Nói như vậy
là bao hàm đủ các ý cần thiết, nhưng quá cô đọng. Để thuận tiện cho việc thực
hiện các yêu cầu của lời giải trong quá trình dạy học và đánh giá học sinh, có
thể cụ thể hóa các yêu cầu, đương nhiên phải chấp nhận những yếu tố trùng
lặp nhất định trong các yêu cầu chi tiết:
Một là: Kết quả đúng, kể cả ở bước trung gian
Kết quả cuối cùng phải là một đáp án đúng, một biểu thức, một hàm số,
một hình vẽ,… thỏa mãn các yêu cầu đề ra. Kết quả các bước trung gian cũng
phải đúng. Như vậy lời giải không chứa những sai lầm tính toán, vẽ hình, biến
đổi biểu thức,…
Hai là: Lập luận chặt chẽ
Đặc biệt lời giải phải tuân thủ các yêu cầu sau:
- Luận đề phải nhất quán
- Luận cứ phải đúng
- Luận chứng phải hợp logic
Ba là: Lời giải đầy đủ
Yêu cầu này có nghĩa lời giải không được bỏ sót một trường hợp, một

chi tiết cần thiết nào. Cụ thể là giải phương trình không được thiếu nghiệm,
phân chia trường hợp không được thiếu một khả năng nào,…
Bốn là: Ngôn ngữ chính xác
Đây là một yêu cầu giáo dục về tiếng mẹ đẻ đặt ra cho tất cả các bộ môn.
Việc dạy học môn Toán cũng phải tuân thủ yêu cầu này.
Năm là: Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật
Yêu cầu này dặt ra đối với cả lời văn, chữ viết, hình vẽ, cách sắp xếp các
yếu tố (chữ, số, kí hiệu, hình,…) trong lời giải.
Sáu là: Tìm ra nhiều cách giải chọn cách giải ngắn gọn, hợp lí nhất

13


Cần khuyến khích học sinh tìm nhiều cách giải cho cùng một bài toán,
phân tích so sánh các cách giải khác nhau để tìm ra các giải ngắn gọn, hợp lí
nhất trong số các cách đã tìm được nhằm củng cố và rèn luyện tư duy độc lập
suy nghĩ, tự giác, phát tiển tư duy tổng hợp hóa, khái quát hóa và so sánh cho
học sinh.
Bảy là: Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược
vấn đề
Cho học sinh làm quen với việc nghiên cứu giải các bài toán tương tự
bằng cách mở rộng hay lật ngược vấn đề sẽ giúp học sinh có cái nhìn tổng
quát đối với vấn đề. Giúp củng cố, khắc sâu kiến thức cho học sinh.
Sau khi cho học sinh giải xong những bài tập ở cấp độ tri thức phương
pháp đưa ra ở dạng ẩn tang thì giáo viên cần phải cho học sinh khái quát lại tri
thức phương pháp để học sinh có khả năng tự giải quyết những dạng bài tập
tương tự, còn người giáo viên không cho học sinh khái quát lại tri thức
phương pháp sau khi giải xong bài tập thì việc giải bài tập này là vô nghĩa vì
học sinh không giải được những bài toán tương tự.
1.5. Phƣơng pháp chung để giải bài toán

Trong dạy học giải toán, kỹ năng tìm kiếm lời giải là một trong những kỹ
năng quan trọng, và hoạt động tư duy là một thành phần không thể thiếu trong
dạy học giải toán. G.Pôlya đưa ra 4 bước để tìm ra lời giải mọt bài toán như
sau.
1.5.1. Tìm hiểu nội dung đề bài
Tìm hiểu đề toán là việc làm trước tiên trong quá trình dạy học giải toán.
Muốn học sinh tự mình giải quyết được những yêu cầu đòi hỏi của bài toán
người giáo viên cần phải làm cho học sinh nắm được ý nghĩa nội dung của bài
toán, xác định yếu tố cơ bản của bài toán đồng thời biết thể hiện bài toán dưới
một hình thức ngắn gọn dễ hiểu. Có nhiều cách để tìm hiểu đề bài toán và
chúng ta thấy rằng: mỗi cấp học khác nhau, mỗi bài toán cụ thể sẽ có cách tìm
hiểu đề khác nhau. Thông thường để tìm hiểu đề toán, người dạy toán cần
hướng học sinh tới những câu hỏi: phân tích giả thiết và kết luận của bài toán:
Đâu là ẩn, Đâu là dữ kiện? Đâu là điều kiện? Điều kiện và dữ kiện liên quan
14


tới điều gì? Có thể biểu diễn bài toán dưới hình thức khác không? Điều kiện
này đã đủ để xác định ẩn chưa? Đối với bài toán hình học nói chung thường
phải vẽ hình (nhất là đối với hình học không gian). Sau khi vẽ hình xong và
thể hiện các yếu tố đã cho, yếu tố cần tìm trên hình vẽ, lúc đó học sinh sẽ hiểu
rõ bài toán hơn. Điều cần lưu ý là: hình vẽ phải tổng quát, không nên vẽ trong
trường hợp đặc biệt. Như vậy, ngay ở bước “Tìm hiểu nội dung đề bài” ta đã
thấy vai trò của tư duy sáng tạo trong việc định hướng để tìm tòi lời giải.
1.5.2. Tìm cách giải
Xây dựng chương trình giải toán là xác định trình tự cho việc giải quyết
những đòi hỏi của bài toán hoặc nói cách khác là dạy cho học sinh tìm ra cách
giải bài toán. Người dạy có thể sử dụng các câu hỏi phân tích đi lên, tổng hợp
hoặc các phép suy luận, quy nạp để học sinh tự tìm ra lời giải của bài toán.
Ở bước này, chú ý phân tích bài toán đã cho thành nhiều bài toán đơn

giản hơn, phải huy động kiến thức có liên quan đến những khái niệm, những
quan hệ trong đề toán, rồi lựa chọn trong số những kiến thức gần gũi hơn cả
với những dữ kiện của bài toán. Dự đoán, thử xét một vài khả năng, kể cả một
vài trường hợp đặc biệt, đôi khi còn xét một bài toán tương tự hoặc bài toán
khái quát của bài toán đã cho… thông qua các kỹ năng sau bằng cách đặt câu
hỏi:
- Huy động kiến thức có liên quan:
+ Bài toán này có thuật giải hay không?
+ Em đã gặp bài toán này chưa? hay bài này ở dạng khác lần nào chưa ?
Em có biết bài nào liên quan không? Một định lý có thể dùng được không ?
+ Thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng ẩn hay ẩn số tương tự ?
+ Có thể sử dụng kết quả của bài nào đó em đã từng giải không ?
- Dự đoán kết quả phải tìm:
+ Em có thể nghĩ ra một bài toán có liên quan mà dễ hơn không ? Một bài
toán tổng quát hơn ? Một trường hợp riêng ? Một bài toán tương tự ?
+ Em đã sử dụng mọi dữ kiện chưa ? Đã sử dụng hết điều kiện chưa ? Đã
để ý hết khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa ?
+ Hãy giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia, khi đó ẩn được xác
định đến đâu và biến đổi như thế nào ?
15


- Sử dụng phép phân tích đi lên và phép phân tích đi xuống để tìm kiếm
hướng giải quyết vấn đề.
Trong quá trình dạy học nếu giáo viên khai thác triệt để được những gợi
ý trên thì sẽ hình thành và pháp triển ở học sinh kỹ năng tìm tòi lời giải toán.
Tuy nhiên để đạt được điều này giáo viên cần phải kiên trì tất cả các giờ dạy
toán, đồng thời học sinh phải được tự mình áp dụng vào các hoạt động giải
toán của mình.
Muốn đạt được kết quả, đòi hỏi rất nhiều đến nghệ thuật hướng dẫn của

người thầy và cả những điều kiện mà người học phải có đó là: những kiến
thức có sẵn, những thói quen suy luận, sự tập trung, say mê trong giải toán.
Sau đây là sự minh họa các phương pháp giúp học sinh tìm được lời giải toán.
Chẳng hạn, sử dụng phương pháp phân tích đi xuống giúp học sinh tìm
được lời giải bài toán.
Phân tích đi xuống (suy ngược tiến) để tìm ra hướng giải quyết một bài
toán là cách là xuất phát từ câu hỏi của bài toán suy ra dần đến giả thiết đã
cho hoặc điều đúng nào đấy đã biết.
Ví dụ 1: Hướng dẫn học sinh giải bài toán:
a b
 ab
2
Hướng dẫn:
Bước 1: Phân tích - tìm lời giải

Chứng minh rằng với a, b 0 thì

1

Giả sử có 1
a b
a b
 ab 
 ab  0  a  b  2 ab  0
2
2




a b



2

 0 (luôn đúng)

Bước 2: Trình bày lời giải
Với a, b 0 



a b



2

 0  a  2 ab  b  0  a  b  2 ab

a b
 ab ( điều phải chứng minh)
2
Như vậy, phân tích đi xuống giúp học sinh tìm được lời giải bài toán
hoặc có thể đi đến bác bỏ bài toán. Sử dụng phương pháp này, học sinh được


16

tư duy một cách tự nhiên đồng thời đem lại sự tự tin và hứng thú cho các em
trong hoạt động giải toán. Tuy nhiên, không phải lúc nào sử dụng phương
pháp này cũng tìm ra được lời giải của bài toán. Vì vậy trong dạy học giải
toán, đôi khi còn phải sử dụng phương pháp phân tích đi lên (phương pháp
tổng hợp). Phương pháp tổng hợp là cách suy luận từ giả thiết đã cho hoặc
điều đúng nào đó dẫn đến điều cần tìm, cần chứng minh. Phương pháp tổng
hợp đã làm cho giả thiết và kết luận của bài toán tiến gần nhau hơn. Song cần
lưu ý trong quá trình suy diễn từ A đến B ở mỗi bước phải đưa ra định hướng
đúng đắn có ích cho kết luận. Nếu không có định hướng đúng đắn sẽ làm tăng
bước suy diễn hoặc làm cho bài toán trở nên phức tạp hơn. Trong dạy học giải
toán, để tìm được lời giải bài toán nhiều khi cần kết hợp cả phân tích và tổng
hợp.
1.5.3. Trình bày lời giải
Hoạt động thực hiện kế hoạch giải toán bao gồm: việc chọn một cách
giải và trình bày lời giải bài toán dễ hiểu nhất, phù hợp nhất với bậc học. Lời
giải bài toán được hiểu là tập hợp các thao tác sắp theo thứ tự để đi đến mục
đích yêu cầu đòi hỏi của bài toán. Thao tác đó có thể là phép tính cơ bản,
phép dựng hình cơ bản, hoặc một dãy các suy luận,…
Cần phải lưu ý rằng: cùng một vấn đề nhưng cách trình bày lời giải ở
mỗi cấp là khác nhau. Tuy nhiên, dù trình bày theo cách nào thì lời giải một
bài toán không cho phép có sai lầm. Yêu cầu này có nghĩa là lời giải bài toán
phải đảm bảo độ chính xác về kiến thức, hợp lôgíc về quy tắc suy luận, ngôn
ngữ diễn đạt trong sáng.
1.5.4. Nghiên cứu sâu lời giải
Học sinh thường có thói quen khi đã tìm được lời giải của bài toán thì
thỏa mãn, ít đi sâu kiểm tra lời giải xem có sai lầm thiếu sót gì không, ít quan
tâm tới việc nghiên cứu cải tiến lời giải, khai thác lời giải. Vì vậy trong quá
trình dạy học, giáo viên cần chú ý cho học sinh thường xuyên thực hiện các
yêu cầu sau:

- Kiểm tra lại kết quả, kiểm tra lại suy luận.
- Xem xét đầy đủ các trường hợp có thể xảy ra của bài toán.
- Tìm cách giải khác của bài toán: một bài toán thường có nhiều cách giải,
học sinh thường có những suy nghĩ khác nhau trước một bài toán, và kết quả
17


là có nhiều lời giải độc đáo và sáng tạo. Vì vậy, giáo viên cần lưu ý để phát
huy tính sáng tạo của học sinh trong việc tìm lời giải gọn, hay của một bài
toán. Tuy nhiên, cũng không nên quá thiên về lời giảng hay, làm cho học sinh
trung bình và kém chán nản.
Tìm cách sử dụng kết quả hay phương pháp giải bài toán này cho một
bài toán khác, đề xuất bài toán mới: Có thể yêu cầu này là quá cao đối với học
sinh yếu kém, nhưng có thể coi là một phương hướng bồi dưỡng học sinh
giỏi. Tuy nhiên, trong một số trường hợp đơn giản, dễ hiểu, giáo viên có thể
cho học sinh thấy được tác dụng của việc phân tích lời giải của bài tập toán để
áp dụng vào bài toán khác hoặc đề xuất ra bài toán mới.
Nên hệ thống hóa các bài toán có liên quan với một chủ đề hay mô hình
nào đấy để học sinh thấy được những tính chất đa dạng thông qua các mô
hình và chủ đề đó (rất thích hợp khi tổng kết chương), cũng là cơ sở quan
trọng để phát triển tư duy sáng tạo trong quá trình học tập và nghiên cứu.
1.6. Các bài toán về phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng
1.6.1. Vị trí, phân phối chƣơng trình phƣơng pháp tọa độ trong mặt
phẳng
Nội dung phương pháp tọa độ trong mặt phẳng được trình bày trong
chương 3:Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng - Hình học 10. Theo phân
phối chương trình của BGD & ĐT năm 2010 – 2011 nội dung này có 12 tiết
học bao gồm:

$1 : Phương trình đường thẳng – Luyện tập (6 tiết)

$2 : Phương trình đường tròn – Luyện tập (2 tiết)
$3 : Phương trình đường elip – Luyện tập (2 tiết)

- Ôn tập chương - Kiểm tra một tiết (2 tiết)
1.6.2. Một số dạng toán về phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng
1.6.2.1. Một số dạng toán về phƣơng trình đƣờng thẳng
Dạng 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng

18


Phƣơng pháp
Để viết phương trình tham số của đường thẳng  ta thực hiện các bước
sau:


+ Tìm vectơ chỉ phương u =  u1; u2  của đường thẳng  ;
+ Tìm một điểm M 0 ( x0 ; y0 ) thuộc  ;
 x  x0  tu1
+ Phương trình tham số là 
, t
y

y

tu
0
2


Chú ý:


+ Nếu  có hệ số góc là k thì  có một vectơ chỉ phương u  (1; k )


+ Nếu  có vectơ pháp tuyến n  (a; b) thì  có vectơ chỉ phương




u  (b; a) hoặc u  (b; a)

Dạng 2: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng
Phƣơng pháp
Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng  ta thực hiện các bước:


+ Tìm một vectơ pháp tuyến n  (a; b) của  .
+ Tìm một điểm M 0 ( x0 ; y0 ) thuộc  .
+ Viết phương trình  theo công thức: a( x  x0 )  b( y  y0 )  0 .
+ Biến đổi về dạng: ax  by  c  0
Chú ý:
+ Nếu đường thẳng  cùng phương với đường thẳng d thì  có phương
trình tổng quát: ax  by  c '  0
+ Nếu đường thẳng  vuông góc với đường thẳng d thì  có phương
trình tổng quát: bx  ay  c ''  0
Dạng 3: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
Phƣơng pháp
Để xét vị tí tương đối của hai đường thẳng

1 : a1x  b1 y  c1  0 và 2 : a2 x  b2 y  c2  0 . Ta xét các trường hợp

sau:
19


Nếu a2b2c2  0 thì:
+ 1 cắt  2 

a 1 b1

a2 b2

+ 1 //  2 

a1 b1 c1
 
a 2 b2 c2

+ 1   2 

a1 b1 c1
 
a2 b2 c2

a x  b1 y  c1  0
Ta xét số nghiệm của hệ phương trình:  1
(I)
a2 x  b2 y  c2  0

Hệ (I) có một nghiệm thì 1 cắt  2
Hệ (I) vô nghiệm thì 1 //  2
Hệ (I) vô số nghiệm thì 1   2
Dạng 4: Tính khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng
Phƣơng pháp
- Khoảng cách từ điểm M 0 ( x0 ; y0 ) đến đường thẳng có phương trình
ax  by  c  0 là d (M 0 ; ) 

ax0  by0  c
a 2  b2

.

- Nếu đường thẳng  : ax  by  c  0 chia mặt phẳng Oxy thành hai nửa
mặt phẳng có bờ là  , ta luôn có:
+ Một nửa mặt phẳng chứa các điểm M 2 ( x2 ; y2 ) thỏa mãn
(M1 )  ax1  by1  c  0

+ Nửa mặt phẳng còn lại chứa các điểm M 2 ( x2 ; y2 )  ax2  by2  c  0
- Nếu cho hai đường thẳng cắt nhau 1;  2 có phương trình:
1 : ax1  by1  c  0; và 2 : ax2  by2  c  0 . Gọi d và d’ là hai đường thẳng

chứa hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng 1;  2 . Ta có:
M (x; y)  d d'  d(M; 1 )  d ( M ;  2 ) 

a1 x  b1 y  c1
a12  b12



a2 x  b2 y  c2
a22  b22

Vậy phương trình của hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai
đường thẳng 1;  2 là:
20


a1 x  b1 y  c1
a12  b12



a2 x  b2 y  c2
a22  b22

1.6.2.2. Một số dạng toán về phƣơng trình đƣờng tròn
Dạng 1: Viết phương trình đường tròn
Phƣơng pháp
Cách 1:
Tìm tọa độ tâm I (a; b) của đường tròn (C);
Tìm bán kính R của (C);
Viết phương trình (C) theo dạng:
( x  a)2  ( y  b)2  R2

(1)

Chú ý:
+ (C) đi qua A, B  IA2  IB2  R2
+ (C) đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng  tại A thì IA  R

+ (C) tiếp xúc với hai đường thẳng 1 và  2  d ( I ; 1 )  d ( I ; 2 )  R
Cách 2:
Gọi phương trình của đường tròn (C) là:
x2  y 2  2ax  2by  c  0

(2)

Từ điều kiện của đề bài đưa đến hệ phương trình với ẩn là a, b, c.
Giải hệ phương trình tìm a, b, c thế vào (2) ta được phương trình đường
tròn (C).
Dạng 2: Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Phƣơng pháp
- Lập phương trình tiếp tuyến tại điểm M 0 ( x0 ; y0 ) thuộc đường tròn (C)
Tìm tọa độ tâm I(a;b) của đường tròn (C);
Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M 0 ( x0 ; y0 ) có dạng:
( x0  a)( x  x0 )  ( y0  b)( y  y0 )  0

- Lập phương trình tiếp tuyến của  với (C) khi chưa biết tiếp điểm
Dùng điều kiện tiếp xúc để xác định  :
 tiếp xúc với đường tròn với (C) tâm I(a;b), bán kính R  R  d ( I , )

1.6.2.3. Một số dạng toán về đƣờng elip
21


Dạng 1: Viết phương trình chính tắc của elip
Phƣơng pháp
Từ các thành phần đã biết, áp dụng công thức liên quan để tìm phương
trình chính tắc của elip.
Phương trình chính tắc của elip có dạng:

x2 y 2
 2  1 với b2  a 2  c2
2
a
b

Các yếu tố:
+ Tiêu cự: FF1  2c
+ A1 A2  2a : trục lớn
+ B1B2  2b : trục nhỏ
+ M  ( E )  MF1  MF2  2a
+Ta có tọa độ các điểm đặc biệt của elip (E)
+Bốn đỉnh: A1  a;0 , A2  a;0  , B1  0; b  , B2  0; b 
+Hai tiêu điểm: F1  c;0  , F2  c;0 
Dạng 2: Viết phương trình chính tắc của Hypebol
Phƣơng pháp
Từ các thành phần đã biết, áp dụng công thức liên quan để tìm phương
trình chính tắc của Hypebol.
Phương trình chính tắc của Hypebol có dạng:

x2 y 2

 1 với
a 2 b2

b2  c 2  a 2

Các yếu tố:
+ A1 A2  2a : trục thực
+ B1B2  2b : trục ảo

+ Các đỉnh: A1  a;0 , A2  a;0 , B1  0;  b  , B2  0; b 
+ Các tiêu điểm: F1  c;0  , F2  c;0 
+ Tiêu cự: F1F2  2c

c
 MF1  a  a xM

Bán kính qua tiêu điểm M  ( H ) là: 
 MF  a  c x
M
 2
a

22


1.7. Thực trạng việc hƣớng dẫn học sinh giải và khai thác một số bài
toán về phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng ở một số trƣờng THPT
1.7.1. Điều tra đối với giáo viên
- Mục đích điều tra: Bước đầu điều tra việc hướng dẫn học sinh giải và khai
thác một số bài toán về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
- Đối tượng điều tra: Giáo viên đang giảng dạy tại trường THPT Vân Cốc.
Bảng 1:
Số
lựơng
giáo
viên

Dưới
10

10 20

Trên
20

CĐ

ĐH

Trên
ĐH

Giỏi

Khá

Trung
bình

13

6

4

3

0

12

1

4

7

2

Tuổi nghề (năm)

Hệ đào tạo

Trình độ chuyên môn

Nhận xét:
Qua bảng điều tra trên cho thấy đa phần giáo viên có tuổi nghề còn trẻ
chưa có nhiều kinh nghiệm giảng dạy mặc dù có trình độ đào tạo cao. Các
thầy, cô chủ yếu chỉ hướng dẫn học sinh giải những bài toán cơ bản chưa
hướng dẫn học sinh mở rộng, khai thác các bài toán để học sinh có các cách
giải khác, gây khó khăn cho học sinh khi giải các bài toán không phải dạng cơ
bản như đã học.
1.7.2. Điều tra học sinh
- Mục đích điều tra: Bước đầu điều tra việc hướng dẫn học sinh giải và khai
thác một số bài toán về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
- Đối tượng điều tra: Học sinh lớp 10A1 (38 HS), 10A3 (40 HS)
STT

Lớp

Sĩ số

Kết quả học tập
Giỏi

Khá

TB

Yếu

1

10A1

38

3

14

18

3

2

10A3

40

2

17

27

4

23


Nhận xét: Qua bảng điều tra cho thấy số lượng học sinh khá giỏi vẫn còn
hạn chế trong khi đó số lượng học sinh trung bình,yếu kém khá nhiều. Do dó
cần có sự quan tâm nhiều hơn nữa để các em phát triển khả năng của mình.

24


CHƢƠNG 2: HƢỚNG DẪN GIẢI VÀ KHAI THÁC MỘT SỐ BÀI
TOÁN VỀ PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG CHO
HỌC SINH LỚP 10 THPT
2.1. Một số bài toán về phƣơng trình đƣờng thẳng
Bài toán 1: Viết phươg trình đường thẳng  đi qua điểm A  2;3  và
song song với đường thẳng d có phương trình x  y  2  0
a) Phân tích - Tìm lời giải
Một đường thẳng được xác định khi biết một điểm thuộc đường thẳng và
một vtcp hoặc một vtpt. Bài toán đã biết  đi qua điểm A ta chỉ cần tìm vtcp
của đường thẳng .

Do đường thẳng  song song với đường thẳng d nênvtcp của đường
thẳng d cũng là vtcp của đường thẳng  .
Bài toán trở về dạng cơ bản là viết phương trình tham số của đường
thẳng khi biết một điểm và vtcp.
b) Trình bày lời giải
Ta có nd  1; 1  ud  1;1
Do  / / d nên ud  u  1;1 .
x  2  t
Vậy phương trình tham số của đường thẳng  : 
 y 3 t

t

c) Khai thác bài toán
Cách giải khác:
Vì  / / d nên  có phương trình: x  y  c  0

1

Do  đi qua A nên tọa độ điểm A thỏa mãn 1 thay A  2;3 vào 1 ta
được c 1
Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng  là x  y 1 0

25