Bài tập đại số tuyến tính và hình học giải tích khu quốc lanh

XHU QUỐC ANH - NGUYÊN ANH KIỆT- TẠ MÂN- NGUYÊN DĨÃN TUẤN

z©8
LE Bes

KH
sy
e
DAI SO TUYEN TINH VA
HINH HOC GIAI TICH


KHU QUOC ANH - NGUYEN ANH KIET
TA MAN - NGUYEN DOAN TUAN

BAI TAP DAI SO TUYEN TINH
VA HINH HOC GIAI TicH
In lần thứ3

LC/478

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI


LOI GIG! THIEU
Cuon

sach

bai

tap

da

Đại

số

tuyến

tNhà
đề

nêu

xuất
Sách
bài

của

gồm

Tác

giả của
Khu

tập

bộ

Chúng

và

tập

Giáo

giúp sinh

học

phần.

viên

học

Tốn

đại

cương

giải

tích

của

Hà

Nội,

1998).

trình

Quốc

chương.

gia
Phần

Phần

I là tóm
II

là

cùng

tất

lời

giải

I, Il, III theo

thứ

tập, giải các
phần

một:

các

tác

giả

lý thuyết

và

nêu

chỉ

tiết

tương

đối

đó.
các chương

Quốc

Anh,

tơi nghỉ cuốn
mơn

tơi

nhằm

Hình

học
hai

từng

này

trong

Đại
có

bài

Chúng
học

ra

bản

tập

tập

tính

các

Tuấn,

bài

cơ

xin

bản

giới

Tạ

Mân

và

Nguyễn

tự là Nguyễn

Anh

Kiệt.

sách sẽ giúp ích cho mọi sinh
này

thiệu

của

Tốn

đại

các

độc

cùng

Người

GS.

Đại

học

Sư

viên muốn

cương.

giả.

giới

Đồn

phạm,

Dỗn

thiệu

Quynh

ĐHỌG

Hà

Nội


PHAN |

TOM TAT LY THUYET
VA BAI TAP


Chương I

MO DAU VE LY THUYET TAP HOP VA

ANH XA. SO THUC VA SO PHUC
§1. TAP HOP. QUAN HE. ANH XA

1. Tap hgp
xem

Ta

thường

nghĩa mà được hiểu như là một sự tụ tập những
đối tượng có thể liệt kê ra được, hoặc có cùng
chung nào đấy.
Y,

Z,

thuộc

bàng

tập

z, .. Nếu

A được

thuộc

X,

nhau

ta

gọi
viết

mọi

nếu

hợp

bởi

x thuộc

tập

A

C

X.

tử

phần

Hai

nếu

mọi

tập

hợp

X

hai

tập

hợp

là

đều

ngược lại, ta viết X = Y. Như vậy X
Cho

€

X.

X

của

hoa

A,

X.

Nếu

phần

= Y =XC

ŸY

tử

A

được

gọi

là

Y và

của

Ta

Phép

hợp:

A

U

B

=

{x

| x€A

hoặc xeB)

Phép

giao:

AN

B

=

{x

| x€A

và xeB}

nghĩa

và x€B}

Y

và

Y C X.

B.

= {x | x€A

a,

của

và

Phép trừ: A\B

X,

x khơng

A

định

C,

tử

phần
va

B,

in thường

bởi chữ

X

của

vật hay những
một tính chất

in

ta viết x

x €

con

chit

kí hiệu

X,

X hay

là tập

cdc

hợp

tập

tử của

tập X ta viết x ý

Tập
đều

hiệu

phần

.. Các

b, c, x, y,

kí

định

được

khơng

bản

cơ

niệm

khái

một

là

hợp

tập

Ta


Néu

A

C

Các

phép

ki hiéu la CyA.

thi X\A

tốn

duge-goi

hợp

và giao

có

la phần

bù

thể

rộng

suy

của

A trong
cho

một

X
số

rà

tủy

tập hợp:
UA,

= {x | x€A, với một ¡ nào đó]

iel

nA,
i€l

II

. Hãy

{x | x€A; với mọi i e1]

chứng

minh

công

thức

De

Morgan

a) X\UA;¡ = nŒX\A)
iel

i€l

b) X\NA, = U(K\A)
i€l

Chitng

iél

minh

rang:

‘a) AB =$¢ ACB
b) A\(A\B)

= AN

c) Af

(B\C)

đ)

AC

Nếu

B

= (AN B)
B,

CC

\ (AN C)

Dth

AnCcCBnD.

e) Nếu AnCCAnBvàAUCCAUBULìCCB
Chứng
a

minh

b) (A x C)
a)
b)

MN (B x D)

=

(AN B)

x (CN D)

mối liên hệ giữa các tập sau đây (bằng, chứa, chứa trong).
PY

. Tìm

rằng:

AnBz¿c©(AxB)n(BxA)

arwD

ý các

X

=

{xER

| x’ + 2x

> 1}

=

jxeR

|x>2

- 1]

=

ịn €Z|n<

là tập

các

nghiệm

18);

Z là tập

nguyên

x’ — 14x*
— 32 = 0

của

các

số

phương

nguyên.
trình


2. Logic ménh
Mệnh
Một

đề là một câu

mệnh

đề

đề

là các

mệnh

chân

dé

lý bằng

tốn

phản

học

mệnh

chỉ
đế

ánh

có

hai

chưa

l cịn mệnh

đúng

hay sai thực tế khách

giá

xác

trị

định.

đúng

hoặc

Mệnh

đề

đề sai có giá trị chân

sai.

đúng

quan.

Các
có

biến

giá

trị

lý bằng 0. Các mệnh

đề thường được kí hiệu là p, q, s.....

Phủ định của mệnh đề p. kÍ hiệu p được định nghĩa bởi p đúng
khi và chỉ khi p sai.
Tuyển của hai mệnh đề p và q (kí hiệu là pVq) là một mệnh đề

sai khi và chỉ khi cả p và q đều sai
Hội

của

hai

mệnh

đề

p và

q (ki

hiệu

là pAq)

là một

mệnh

đề

đúng khi và chỉ khi cả p và q đều đúng.

Cho hai mệnh

đề p và q. Mệnh

đề "p kéo theo q" (kí hiệu p = q).

là một mệnh đề sai khi p đúng, q sai và đúng trong các trường hợp
con lai.

có nghỉa là p > q

Mệnh đề "p tương đương q" (kí hiệu p ©q)

4

va q > p.

5. a) Biét mệnh đề q = p sai. Hỏi mệnh đề p = q đúng hay sai?
b) Biết mệnh đề p = q đúng, p ©‹q sai, có thể nói gì về giá trị
cân lý của p và q.
thứ

6. Mệnh
bảy"

đúng

3. Quan

hệ

Cho

hai

le tap

hợp,

đo

€

x

khi

tập
kí

X và

Cho

tập hợp

rếu RC

XxX.

nào

hợp

và

X

hiệu

X

y

€ Ÿ.

và
x

X, ta nơi

Y,

là thứ

nay

hơm

ngày

"Nếu

đề

hai,

thì

sai

khi

nào

(vể

mặt

Y.

Ta

gọi

tích

Đề-các

gồm

các

cặp

rằng R là một

sắp
quan

mai

ngày

là

logic).

thứ

của

X

tự

(x,y)

hệ hai ngôi

và Y
sao

trên ÄX


Với xy
nếu (xy)

R

Quan
x

hệ

€X,

x,y

ta

©

cầu

X

xRy

truyền

đương

hệ

trên

hệ

quan

hai

X

tương
hệ

phần

tử

đương

nhau

đương

hồn

của
được
tồn

tử đại diện.

hoặc

giao

tương

lớp

nhau

đương.

tương

tương

đương
"~"

X

Quan
z

tính

gọi

chất

phản

được

X

hai

phần

là

một

xác

tùy

được

thì

y

theo

quan

xạ

nếu

với

mọi

chất

đối

xứng

nếu

hệ

R có

tính

chất

bác

ý

mà

và

yRz

thì

nếu

với

x,y

xRy

đối

xứng

định

rỗng.

kí hiệu

bởi

"~".

Nếu

hé

mà

được

gọi

là tập

tương

bác

cầu.

trên

X

tất

cả

tập

con

của

X

gồm

bất

kỳ

của

X

đều

tương

Mỗi

lớp

tương

của

nó,

gọi

đương.

một

vậy

hợp

hệ
và

phần

đương

tập

quan

xứng

tương

Như

một
đối

tử

bởi

lớp tương

là

xạ,

một

lớp

đó

và

tính

phản

"~",

Hai

R

chất

đương

gọi

phản

có

véi

y.

thường

bất
X

là

mỗi

phần

thương

của

tử

là

kỳ hoặc

trùng

hợp

rạc

các

lớp

nó

là

một

rời

tử

quan

hệ

R trên tập X được gọi là một
có tính chất phản xạ, phản đối

quan
xứng

hé
và

kí hiệu

X

của

đối

nhau,

với

được

Quan hệ hai ngơi
tự trên X nếu nó

thứ

hệ

tính

=

mà

chất

x, y.

trên

có

bằng

Khi

đương

nó

được

phần

x
R

đương

tương

có

thi

hé

tính

với

R

quan

có yRx.

nếu

hệ

co

Quan

cũng

ngơi

nếu

có

R.

ứng)

va yRx

Quan

R

€

thì

xRy

.

các

(xx)

Quan

co

C6

có

ngơi

có xRz.

ma

Quan

hai

ma

(hay

cũng

© X, ta ndi rang x
€ R, và viết xRy.

là X/~.

bấc cầu, quan hệ thứ tự thường được kí hiệu bởi "<". Nếu
quan hệ "<" trên X có tính chất: với mọi x € X và y € Y
ta có x < y hoặc y < x thì nó được gọi là quan hệ thứ tự
tồn phần. Tập hợp X cùng với quan hệ thứ tự "<" trên mớ

được

gọi

là tập sắp

phần

thì

ŒX,

Cho
chặn

đó

io

trên

(X,

q được

<)
<)

nếu

gọi

thứ

tự.

Nếu

"<"

là quan

sắp

thứ

được

gọi

là tập

là một

tập

sắp

tồn

tại

là một

q

€

phần

X

sao

tử

thứ
cho

chặn

tự

hệ

thứ

tồn

A

C

X.

A

a

<

q

với

mọi

của

A

tồn

phần.

tự,

trên

tự

được
a

gọi
©

là
A.

bị
Khi


Nếu
từ
trên

chan

q

chạn

là

một

trên

của

A,

Cho

(X,

q`

phân

tử

chặn

A

đều

có

sup

A.

của

kí

hiệu

<) là một

Nếu

p

với

mọi

p được

elạn

là

tập sắp thứ

là

A

trên

là phần

phần

cận

vừa

tử

tử

tử chặn
dưới

trong

stp A con

q,

sao

thì

q

tự. Tập con

(X.

bị

chạn

nhất

của

gọi

là phần

tỏ

rằng

b)

Trên

tập

của

A

A,

kí

hiệu

Inf

gọi

dưới.

Nếu

A,

kí hiệu

tử lớn

cho

moi

được

phan

gọi

là

cận

A C X được gọi là bị

T

như

sau:

Q

các

trong

ta đều

(X,

có

<

A

€

A,

min

A.

Nếu

của

A, kí hiệu max

quan

bị

chán,

nếu

thì

p, thi

A

Inf

sup

tỷ, ta xác

vừa

A

A

định

bị

cịn

gọi

A

thì

€

A.

một

quan

< b
hệ

hữu

sao

A.

Inf

nhất

<)

p`

tập

©œaŸ

số

A

là

các số hữu

S là một

hợp

của

p`

được

7. a) Trên tập hợp Q

hai ngôi 5 như sau:

Chứng

dưới

dưới

của

<)

bé

chạn

aSb

ngôi

<

A

tử chặn dưới của A.

một

phần

gọi

Tap

h¿

q

của

dưới nếu tồn tại p € X sao cho p < a với moi a € A. Khi do p

được gọi là một phần

clo

trên

thứ

tự

toàn

phan.

ta

xác

định

quan

tỷ,

hệ

hai

aTb = a! < bỉ
Xét

xem

T

T có là quan

có

phải

hệ tương

là

quan

đương

hệ

trên

thứ

Q hay

tự

trên

khơng?

Q

hay

8. Quan hệ R trên tập X có dạng như thế nào, nếu
là quan hệ tương đương, vừa là quan hệ thứ tự trên X.

4 Ánh

R

vừa

một

quy

tit y =

f(x)

xạ

Cho

hai

tập

hợp

tá đặt tương ứng mỗi
hàn

khơng?

tồn

xác

định

X,

Y.

phần
của

Một

ánh

xạ

f từ

X

tu x của X với một

đến

phan

Y

là

Y.

11


Ta

kí hiệu

Tập

hợp

f

X

X —>

được

Y

gọi

hay

là

X —>

tập

I

nguồn,

Y
tập

Y

được

gọi

là tập

=

[x eX

| f(x) €

By

tập

điểm

{y},

của ánh xạ f Với A C X, tap f(A) = {f(x) |xe Al
ảnh của
được

tập hợp A. Với

gọi

là

thì f l{y)

tạo

ảnh

B C

của

Y, tap

tập

hợp

f !(B)
B.

Khi

B

là

đích

được gọi là

một

cịn kí hiệu là £ l(y).

Tập fX) cịn gi là ảnh của f hay là tap gid trị của £ kí hiệu Imf

Anh xa f được gọi là đơn ánh nếu với x, x'` © X,x # x’ thi fix) ¥ fix’)
Anh

mọi

y

xạ

€

Y,

Ánh
ánh,

tồn

xạ

vừa

Giả
ánh

f duge

là
h:

là tích

hay

9.

Giả

la

tại x €

f:' X —>

sử

xạ

goi

—>

Y

Z

được

sử

thành
f

R

dé

f(x)

=

X

và

f' X
hợp

néu

được

ánh.

—>

anh

Y

tồn
X

toan

g:
xác

của

—>

gọi

là

f+%) = x2+4x—5

là song

ánh

Z

là

định

bởi

h(x)

ánh

xạ

f và

ánh

=

Y,

nghia

là

với

y.

Y —>

hai

R

f(X)

xạ

được

nếu

f vừa

hai

ánh

=

g(f(x))

g và
cho

xạ,

viết
bởi

h

cơng

là đơn

khi

đó

được

gọi

=

gf

thức:

với mọi x € R. Hãy tìm f(), f (1),

ˆ fA), f(A) với A = {x e RỊ -8minh

10.

11.

minh

Cho

rằng:

ánh

xạ

f:

X

—>

Y,

a)

f(A

U

B)

=

f(A)

U

f(B).

b)

f(A

M

B)

€

f(A)

NM

£(B).

Cho

ánh

xạ

f:

X

—>

Y,

C

X,

BC

X

Chứng

A

C

Y,

BC

Y.

Chứng

rang:

:

a) FA

U B) = f(A)

U f4).

b) fF!A

n B) = f!A)

n f£!@),

e) fF!ANB) = f !AN £ 14),
12

A


12.

Chứng

ft: X —+'Y

mỉnh

các

Ac

X,

vi

a Ac
f(X) \

những

đây

cho

một

ánh

xạ

tùy

ý

cB

f(A)

C

f(XÀA!.

'Ị,

e) [a n £14®)]
họ

sau

Bc Y.

ad) f 4YSB) = XI
13. Nếu

thức

f'[ fA)

b) t[r '®]
ce)

hệ

= f(A) A B

f: X —> Y là một ánh xạ và

tập

con

của

a) fF (UE)

Y,

được

đánh

chỉ

|E,,¡ € tt là một

số

bởi

tập

I,

thì

ta

có:

= uf (B)

i€l

i€l

b) F!{n Ej) = n £!Œ,)
i€l

14. Cho

i€I

Z là tập các số nguyên, a b, œ d,

Xót ánh xạ f: Z° > Z

€

Z mà ad

- be

=

1,

/

(x, y) -> (ax

+

by,

cx

+

dy)

a) Chứng tỏ f là một song ánh, hãy viét cong thtic xdc dinh f!
b)

Chứng

tỏ

thì gof cũng
và

lỗ.

Giả

sử

Z.

=

Chứng

Nếu

h là tồn

b)

Nếu

h

ví

kết

dụ

16.

g:

h

Cho

R

—>

là

luận

minh
ánh

R

nếu

gf

minh

ánh,

ngược

hoạ.

cho

là

ánh,

đơn

xạ

f và

xạ có dạng

a)
Các

xạ

là ánh

g:; Y —>

Nêu

rằng

f:

bởi

g là các

trên.

hàm

rằng:

hợp

thì g là tồn
thì

f là

đơn

lại của

mệnh

R\

—>

g(x)

của

{0}

=

đề

R

ánh

xạ

các

hàm

có

dạng
f:

X

trên,
—>

Y

ánh
ánh.
a)

và

cho

bởi

b)

có

f(x)

đúng

=

1
:

khơng?

va

anh

3:

ae

1+x*

13

a) Anh

nao

xa

trong hai anh

anh

toan

anh,

1a don

xa trén

Hay

tim Imf, Img.
b) Hay xac dinh anh xa tich gof.
f: X—>Y,

17. Cho các ánh xạ f: X—>Y,

g: Y —>Z

a) Chứng minh rằng nếu g đơn ánh và gsf = gof’ thi f = Ÿ
b) Chứng minh ràng nếu với mọi

suy ra f = f, thì g là đơn ánh.
Y.

—>

X

f

sử

Giả

18.

f, Ÿ mà
tập

Trên

X

ta

ta luôn

từ gf = gŸ

R

hệ

quan

định

xác

= f(x’). Hay chting to R la một quan hệ tương
duong trén X va anh xa f: X/R —> Y xée dinh boi T(x) = f(x) là
một đơn ánh ((x) là lớp tương đương chứa phần tử x).

như sau: xRx’ = f(x)

5. Lực lượng của một tập hợp
Cho hai tập hợp X và Y. Ta
cùng lực lượng (hay có cùng bản
Tập hợp X và Y có cùng lực
đương. Nếu X tương đương với
có

ø

bàng

0. Những
hợp

Tập

X

tập

có =ùng

gọi

như

tập

là có

lưc lượng

lực

=

vậy

n,

gọi

là những

đếm

lượng

với tập số tự

#X

hoặc

n.

Lực

tập

hợp

=

được,

nếu

N.

Như

nhiên

lượng

hữu
hạn

hữu

X

vây

+

Tập con của một tập đếm được là một tập đếm được

+

Hợp

đếm

được những tập hợp đếm

phan

hợp

P(A)

các

tập

con

của

20. Cho A là tập gồm n
Chứng minh rằng tập hợp
tw.

A

gồm

được là tập đếm

2"

phần

của

hạn.
hoặc

ta có:

“+ Tích Đề các của hai tập hợp đếm được là đếm được.
19. Cho A là tập hữu hạn gồm n phần tử. Chứng

tử.

14

X

cardX

hay

tử,

phần

n

X

nơi rằng hai tập hợp X và Y cd
số) nếu có song ánh f: X —> Ÿ.
lượng cịn gọi là hai tập tương
tập (1, 2, ., n} thì ta nơi rằng ;

được

tỏ rằng;

tử.

phần tử, B là tập gồm 2 phầnạ
các ánh xạ từ A đến B gồm oon

:


21. Giả sử X là tập hợp gồm n phần tử (CardX = n), Y
là tập gồm m phần tử (CardY = m). Chứng mỉnh ràng tích Dê

các
với

XxŸ

là tập

gồm

nm

ti

(Card

ham

mii

exp:

22.

a)

Bang

mọi

x

cach

€

xét

Hãy

chứng

số thực

R.

dương

b)

Bang

RỶ

cach

có cùng

xét hàm

Hãy

chứng

minh

lượng với tập hợp R”
khoảng

(0,

1) có

tỏ

ràng

lực

|

số

R’,

thực

néu

O
nếu

g
đơn

exp
R

R*

khoảng

lực

nm).

R —>

cho bởi

và

x

=

tập

€Ÿ
các

cơng thức:

1

1.

vị mở

các số thực dương.

cùng

=

1) —>

4q1=

rằng

XxY

tập

lượng.

f: (0,

x

ffx)=}
và

phan

lượng.

(0,

1) co cùng

lực

Từ do suy ra R, R*

§2. TRƯỜNG SỐ THỰC VÀ TRƯỜNG SỐ PHỨC
Cho
trên

X là một

X

là

một

tập hợp

ánh

xạ

đi

tùy ý. Ta gọi một
từ

XxX

đến

phép

tốn

X.

hai ngơi

Giả

sử X là tập hợp tùy ý và "*" là phép toán hai ngôi trên
X. Cập (X, *) được gọi là một nhớm nếu phép tốn (*) có các
tính chất sau:
a)

Với

mọi

(x
b)

Tồn

x,

y,

* y)

tại

z

€

* z =

phần

X,

ta

có:

x * (y * z)

tử e €

X

sao

(tính

chất

kết

hợp)

cho:

x*e=e*
với
x=
mọi x
x€ X

©)

Với

mọi

x

€

X,

tổn

x*x=x*x
x, y

Khi
©

phép
X ta cé

tốn

"*" có

x * y =

tính

tại x €

X

sao

cho:

=e,
chất

giao

hốn,

tức

là với

y * x thi nhom (X, *) duge gọi

mọi

là nhớm
15


hay nhớm

giao hốn
gọi

Phần

tử e trong định

hịa

thay

phần

tập

hợp,

trên

trung

tử

phần

là

Abel.

tử đối xứng

tử x được gọi là phần
phần tử x.

được

nhóm,

phần

của

đảo)

tử nghịch

phần

(hay

của

vị)

đơn

tử

nhóm

nghia

"+"

va

"" X cùng với hai phép toán trên làm thành một vành nếu ŒX,
là một nhớm Abel, cịn phép tốn "" có tính chất kết hợp

+)
và

phối

phân

là

đối

với

được

gọi

là

vành

phần

tử

đơn

vị

vành

được

"+"

tốn

có

là vành

gọi

=

đơn

vị.

gọi

được

vành

của

1x

là

tức

1,

có

X,

thì
phép

trong

hịa

khơng.

tử

là phần

trung

tử

Phần

vành

€

x

mọi

với

x

=

xl

trong

"”

tốn

phép

Nếu

hốn.

giao

vành

thì

hốn,

giao

chất

tính

có

""

nhân

tốn

phép

hai

có

đó

cộng.

tốn

phép

tốn

phép

Nếu

một

X

sử

Giả

Tập hợp X có q một phần tử cùng với hai phép tốn hai
ngơi trên nó, được kí hiệu là "+" và "*" được gọi là một trường
nếu X với hai phép tốn đó làm thành một vành giao hốn, có
phép

vị

nhân).

phép

tốn

được

gọi

tồn

là
sử

Giả

phần

Nếu

và

cảm

sinh

trường

con

.) là

một

""

"+",
một

+,

ŒX,

"<"

sao

đều

có

tập

con

X'

thành

làm

từ X

trường,

(đối

với

C

một

X

cùng

với

các

X''

thì

trường

:

X.-'

trường

của

đảo

nghịch

trên

đó

có

quan

+

x”

với

mọi

thứ tự

hệ

í

cho:

x

<

x’

thi

nếu

0

<

x,

Khi đó trường

khơng

trường,

một

.) là

+,

(X,

Cho

khác

tử

phần

moi

1 va

ŒX, +,

+

x

0

<

In

đơn

x’

x

<

x”

thiO

x”

©

X

xx’.

<

.) được gọi là một

trường sắp thứ tự.

Ta nhận thấy tập các số hữu tỷ Q cùng với hai phép tốn cộng¢
và

nhân

khơng

thơng

phải

thường

tập con

nào

làm

thành

của Q cũng

một

trường

có cận trên

sắp

thứ

tự.

(hay cận dưới)

Nhưngø

trong g

Q. Ta noi rằng Q là trường sắp thứ tự không đẩy. Ta cần xây dựngg
một trường K sắp thứ tự, đẩy, chứa trường Q mà quan hệ thứ tự và à

các phép toán trên Q là do thu hẹp quan hệ thứ tự và các phép toán n

16


trên K (tức Q là trường sắp thứ tự con của K).

Người ta chứng minh

được có trường như thế và trường đó là duy nhất (sai khác đẳng cấu
trường sắp thứ tự chứa @) và gọi nó là trường số thực, kí hiệu R. Cơ
nhiều

cách

(xem

rộng

là

trường

số

nghiệm

trên

trường

số

trình

x”+1

=

thực

âm,

R.

R,

đề

cớ

tỷ Q

bình

trình

đặt

một

ra

số

số

= 0

cách

tự

hơn,
này

số

R

thực

bất

khơng

có

nhiên

trong

được

thực

1998).

một

x°+1

rộng

Trường

Nội,

của

một

trường

trường

Hà

phương

phương

nghiệm.

thành

- NXBDHQG

được

thành

0

hữu

do

nên

Vấn

R

số

và HHGT

số

khơng

rộng
số

trường

giáo trình ĐSTT

Trên

kì

mở

là

đó

gọi

mở

phương

là

trường

phức.

Xét C = {@, b)|aER,
phép

trén C ta dinh nghia hai

tốn:
(a, b) +
(a, b).
Tập

hợp

C

và

nhân

như

trên,

: số

phức.

Với
‹coi

be RI,

a €

trường
dat

((0,

1).

(0,

tsố

phức,

:=(a,

0)
a

tb

là

R
1)

=

(0,
gọi

là

phần

=
phần

ảo

thành

i

bi

thực

của

z,

của

kí

+

Với

be)
hai

trường

của

¡ gọi

là i +
và

a)

1

đơn

=

gọi

vị

ảo,

nghiệm.

Ta

được

gọi

là

dạng

đại

z

(a,

b),

kí

hiệu

b

=

C.
thế

0 vì thế trong

co

hiệu

cộng

là trường

số phức

= 0
=

tốn

(a, 0), ta có thể

trường
là

phép

được

với số phức

con

C,

x*+1

a +

một

ứng

€

nghĩa

trinh

bì

số phức.

là trường
=

c,
b +

(ac - bd, ad

tương

-1,

phương
+

¡phức,

gọi

1)

làm

ta đặt

(0,

=

là tập các
C

số thực

Ta

(c, d)

gọi

R,

(c, d)
= (a +

thì

trường

có

(a,

b)

số

của

số

a

=

Rez,

Imz.

Nếu z = a + bi, số phức z = a— bi được gọi là liên hợp của số

I phức z.

. LC/2*2

17


bị,

gọi

là mođun

1s. a2
Tế
tit do:
Nếu

oh
ae

a + bi

a

khơng

phức

Va? +b?
b

=

argz.

định.

phức

có

tổng

bằng

hai

của

vậy,

argument

của

Cho số phức z, căn bậc n của
z

sử

Jo| =

|

n

dãy

tồn

hai số phứcc

z là số phức œ sao

và

biệtt:

đặc

và

Moivre.

cho œ” = z2.

= |w|(cosy +isiny),

œ

thhi

Qn
Iz| vay = £4 k=, k © Z C6 n nghiệm phân biệệt

Một
cơ

tại

dãy
bản

số

(Ai,

=

{an}

số

hữu

tỷ

nếu

với

mọi

£

>

tập

số

tự

k thuộc

n -1.
1,.,

k = 0,

ứng với

œ" = z ( z # 0)

của œ để
23.

+ isine)

|z|(cos

=

moduna,

hai

thức

là cơng

Day

hai sốố

tích

của

tích

|z|”(eomg +isimø)

= cosnø + isinnø.

thii

|w|(cosp+isinp)

Như

bằng

mođun

z" =

đó

Từ

phần.

argu:-

0 và

modun

0 có

=

z

coi

Ta

số

argument

choo

sao

Z)

la argumentt

goi

duge

= ———— . ¢

€

(k

2kx

cộng

khác

sai

|z|(cosp + isinp), w =

một

là

+ ising) )
|z|(cosp

|

=

(cosø + isinø)"

18

b

= |z|.|œ| (cosy + #) + isin(y + #)).

thành

Q),

có

Va2 +b?

xác

z

Néu

là

0, ta

sing

y

hiéu

ki

z,

ment

Giả

#

Ýa? +b?

cia

a? + b?

a’ bbe

định

xác

góc

ab’ —a’b.
tee

aa’ + bb’
=p

ae
Ýa? + b?

Ya“+b

là

a2+b`
#

= ————,

cosp

cịn

a
ae

RE

y

dé

ZZ

=

=

z
6

z

bi.

la nhi

2
be

số

# 0, ta có:

z

Nếu

+bi

a +

z =

số phức

của

= a’

z’

+ bi,

a

=

z

st

Gia

|z|= ÝzZ= Ýa+hể,

đạt

+

được

Va? +b?

=

|z|

a

=

z

Với

0

..;an,

4¿,

(£

thuộc

nhiên

NÑ

tập

sao

..)
số

cho

duge

hữu

với

gooi
tyy

mọọi


P,

q

2

k,

ta

a)

la, ~ ag|

<

£

Ki

hiéu

Chứng

tỏ

rằng

mỗi

dãy

cơ

bản

bì Cho hai dãy cơ bản lan] và {Pn

Hãy

là

an +b; \ = (ai

=

= [oy

py

gọi

tai

chứng

tổng,

c)

Mét

k,

>

đương

tỏ

+bị,

a)

va

{4n}

dãy
trên

|

tập

sử

một

các

tập

Ta thành

dây

cơ

bị

chặn

lập các dãy sau:

wep By + Dy gees)

..., anba,...)

lan | là các

sige

bản

|an|
®

dãy

là tích

gọi

co

ban.

Day

{en } được

của

hai

day

cơ

bản

nếu

với

mọi

£

>

0, tổn

hệ

tương

là 0 - dãy

< £ với

được

xác

mọi

định

{Pa} = [an - bạ)

chứng

tỏ rằng quan

®.

tập

trên

cơ

0 để

~

Hãy

{en|

n
như

hệ ~

là một

định

{FB}
= o}
{Sa}+ {B
{@} * {Bo} = {Po}

e)
trường

tỏ rằng,
trường.

với

kụ.

Xét

quan

sau:

n

Hay chứng
làm thành một

>

là một 0 - dãy.

d) tT K = ®⁄~. Ta xác
sau: với {ay}. {Ba} thuộc KK,

hai

quan

hai

phép

tốn

xác

hệ tương đương
tốn

đẩy

vậy

ý:
mà

Người
thu

có

thể

hẹp

trên

Q,

K

đẳng

cấu

trường

phương

ta

pháp

nhát

cát

xây
ta

với
hay

trên

K

như

n

phép

định

Hãy chứng tỏ rằng trường số hữu tỷ Q
con của trường K được xây dựng ở trên.

Chú

¡theo

là

a; +bạ,

= (ayb,, ab),

{e a

day

{20} ~

Nhu

là

{Po}:

và

tự

®

trên

như

bản

co

dựng
được

trên
quan

phương

có

K

một

hệ

thứ

trường số thực
pháp

sử

như

trên,

K

coi

là

thể
quan

tự

được
dụng

ở

hệ

thứ

trên

Q.

xây dung
số

thập
19


phân.

Day

24.

là một

Hãy

phương

pháp

khác

để

xây

dựng

a+"
8). sang

(cosp + ising)”
Die on ste en

c)

d)

(cosp — i siny)

(1 + cosy
+ ising)"

25. a) Tính căn bậc hai của 1 +3i,

b) Tim
26.

can

Chứng

minh

rằng

số phức

bất

kỳ

27.

tính

tổng:

Hãy

bằng

các

= cosx + cos2x+ ...

b)

S

=

sinx

+

giá

trị của

căn

bậc

+

= C\o},
trên

.. +

sinnx;

(x

#

k2z)

ở đớ C là tập các số phức, đượcc
mặt

phẳng

toạ độ

Oxy.

trường

số

Xét

I

—
= U).
Zz

tìm

a)

Rez

b)

|z|

Tìm

ảnh
=

= const (=
tạo

ảnh

a)

Rw

=c

b)

Imw

=

Giải
2

của các đường

const

các
+

của

( =

a)

R).
các

đường:

c.

phương

n của

+ cosnx

trình

sau

trên

52 +8=0

b) 227 — (2 + 3i)z + 31 = 0
20

-Ý3.

O* —+> C*

1) Hãy

a)

sin2x

bởi các điểm

Zz

29.

1+i,

không.

C

f

2)

tổng

a)

diễn

(1 +V8¡)!"

bậc n của V3 —i, ¡, 1 và 4+ 4Vði.

28. Kí hiệu C*
biểu

số thực.

tính:

Gay

một

trường

phức:

ánh

xạa


c) zt - 52?

- 6 =0

30. Giả sử X = jer
tỏ

rằng

X

31.

tập

khác

nhóm

tập

cùng

số

32.

Cho

với

sắp

33.

bậc

(n

rỗng

khi

các

trường

phép

nhân

thơng

Giả sử Z là nhóm

con

một

với

|e

G

và

chỉ

ngun

hai

Giả

chia

X

=

thứ

tự.

khi

Z

hết

tốn

1, €,

với

G

cộng

1. Chứng

minh

a)

(l-—€)(1 -&)..(1-€)

1-¢,

n.Z

một
cộng

(n

€ Q|.

nhân

+

tiên

1 giá

nhóm

gíao

hốn.

Chứng

minh

ràng

trên

€

Z;

Chứng

tập

trị

# 0Ì. Chứng
Z

n

số

khác

làm

>

thành

0,

nZ

là

minh

rằng
là

X

một

nhau

của

căn

thực

rằng:
= n+1
1

+.

1-€

n).

và

la n

1

dang

| a,b

.. €;

+

tốn

cho

1) của
1

là

phép

co

+

b)

thường

cộng các số ngun.

Ja+V5b

phép

sit

của

€ Qvax?+y*

1-€&,

n

=>:

2

© Tập {1, £¡,.., £ạ| lầm thành mit nhóm vớ phép nhân trong C.

§3. DA THUC TREN TRUONG SO THUC
VA TRUONG SO PHUC
1. Vành đa thức
Giả sử K là một trường. Gọi Y là tập hợp các dãy (a„, ai,
sy Gp +.) trong đó các a¿ € K với mọi ¡ € N, và bằng không
hầu hết trừ một số hữu hạn. Với mỗi dãy (a, aj, ..., ay -.)
€

Y,

giả

sử

a, +

ax

+

n

là

ax?

chỉ

số

lớn

+

.. +

nhất

mà

a„ạ

z

0.

a,x" được

gọi

là đa

Khi

đó

thức

biểu

bậc

ẩn x (hay biến x), n gọi là bậc của đa thức. Đa thức
dãy (0, 0,.., 0,..) được gọi là đa thức không. Ta quy
của

đa

thức

0 bằng

ẩm x với hệ tử thuộc

-œ

hoặc

trường

khơng

K được

có

bậc.

Tập

các

đa

thức

n của
ứng với
ước bậc

thức

gọi là tập các đa thức

của

trên
21


trường K, kí hiệu K[x].
hiệu la f(x), g(x), ...

phép

Tập

K[x]

Giả

sử

tốn

cộng

làm

và

f(x)

duge

và

f(x).g(x)

QQ

=

k

5

xdc

là

ajb,_;

dinh

=

0

hoae

phần

tử

mét

vanh

giao

xác

thức

béi day

đa

thức

(k =

0,

1,..).

xác

b,,

Ta

nhận

định

bởi

don

+

(c„

k¿i

véi

heai

(a,

ai,

.., an,

bj,

...,

an

eị,....

thấy

=

được

vi,

..) thi f(x) +

a;

f(x).g(x)

0.

day

thường

cd

sau:

bởi

(a, +

K[x]

hodn,

như

định

nghĩa là néu
=

của

(b,, bj, .., by,

day

g(x)

định

xác

bdi

i=o
có ước của khơng
f(x)

nhân

la đa

g(x) được xác định
thtic

thành

Các

K[x]

g(x)
+

Cp

-.)

..) vưà
bạ,...)

la vành

0 (đa thức

la dia

6 did

khơnag

khơng) tÈhì

Định lý I:

Gia st f(x), g(x) lA hai da thức của
nhất da thtic q(x) va r(x) thuéc K[x],

duy

vành K[x], khi đó tồn ttại
sao cho f(x) = g(x).q(x) -+

r(x), néu r(x) # 0 thì bac r(x) < bac g(x).
f(x) duge goi la chia hét cho g(x).
Dinh

1

và

KW0).
tố
nào

f(x)

chỉ

chia

Hai đa thức fx)

cùng

nhau

nếu

có

bậc

>

Ta

có

một

Định

r(x)

=

0, đa

thúức

lý 2:

Gia su f(x) © K[x] và c € K,
cho x - c là f(c).
Da thie f(x) € K[x] được gọi
>

Khi

lý

1

cho

€ K[x]

chúng
của

số

hết

khơng

khi đó dư của
là bất

đa

và gœ)
cùng

khả

quy

thức

dạng

€

K[x] được

chia

hết

phép

chia

f(Xx)

nếu

bậc

fC(x)

kf&)
cho

với

k

‹€

gọi là nguyên
một

đa

thúức

K[x].

định

lý sau:

3:

Hai da thuc f(x), g(x) cua K[x] nguyên tố cùng nhau khi và chỉ kkhi
có r(x) và s(x) của K[x] sao cho f(x).r(x) +

g(x)s(x)

=

1.

Định lý 4:
Mọi
2

đa

thức

bậc

>

1 trên

trường

số

phức

đều

có

nghiệma.