Nguyễn duy thuận bài tập đại số tuyến tính

NGUYỄN

DUY

THUẬN



TS. NGUYỄN DUY THUẬN

B À I

T Ậ P

ĐẠI SÔ TUYẾN TÍNH
(Sách dùng cho các trường Cao đẳng và Đại học)

DẠI HỌC THAI NGUYÊN
TRUNG TÂMHỌC LIÊU
NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC s ư PHẠM



Mục lục

Lịi nói đầu
Kí hiệu

Trang
5
7

Chương I. ĐỊNH THỨC 11
§1. Phép thế
§2. Định nghĩa và tính chất của định thức
§3. Khai triển định thức
§4. Phương pháp tính định thức
§5. Hệ phương trình Cramer

li
15
22
28
37

Chương li. KHƠNG GIAN VECTƠ 42
§1. Định nghĩa và các tính chất đơn giản
§2. Khơng gian con - Khơng gian thương
§3. Sự độc lập tuyến tính - Sự phụ thuộc tuyến tính
§4. Cơ sở của khơng gian vectơ
§5. Số chiều của khơng gian vectơ
§6. Toa độ của một vectơ
§7. Hạng của hệ vectơ - Hạng của ma trận

42
46
52
58
62
67
73

Chướng IM. ÁNH XẠ TUN TÍNH 83
§1. Định nghĩa ánh xạ tuyến tính - Sự xác định một ánh xạ tuyến tính
§2. Ảnh, hạt nhân của một ánh xạ tuyến tính
§3. Các phép tốn trẽn các ánh xạ tuyến tính
§4. Khơng gian đối ngẫu

83
88
91.
99

Chương IV. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUN TÍNH 101
§1. Hệ phương trình tuyến tính - Phương pháp Gauss
§2. Điều kiện để hệ phương-trình tuyến tinh có nghiệm
§3. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

101
108
118

3


Chương V. MA TRẬN
§1. Ma trận của một ánh xạ tuyến tính
§2. Các phép tốn trên các ma trận
§3. Đại số cấc ma trận vng cấp n Mat„(K)
§4. Sự thay đổi của ma trận của một ánh xạ tuyến tính khi thay đổi cơ sở
Ma trận đồng dạng

§5. Vectơ riêng - Giá trị riêng
§6. Chéo hoa ma trận

125
125
130
140
148
151
158

Chương VI. DẠNG SONG TUN TÍNH - DẠNG TỒN PHƯƠNG 165
§1. Dạng tuyến tinh và dạng song tuyến tính
165
§2. Dạng tồn phương
172
§3. Đưa dạng tồn phương về dạng chính tắc
176
§4. Khơng gian vectơ ơclit
178
§5. Sơ lược về khơng gian unita
192
Lài giải - hướng dẫn - trả lời 195

4


Lịi nói đ ầ u

Trong các mơn tốn ở truồng đại học thì Đại số tuyến tính khơng phải

là mơn học khó nhất. Tuy vậy, đối vói sinh viên thì nó cũng là một mơn khó
vì thường sinh viên được học môn này ở năm thứ nhất, khi mà họ vừa mới
bưóc chân từ truồng trung học vào trường đại học, phải bắt đầu làm quen
vói những mơn học mới lạ với khối lượng kiến thức đồ sộ và vói những
phương pháp tính tốn và tư duy hồn tồn mới mẻ. Họ khơng những phải
làm những phép tính cồng kềnh, với những phường pháp tính tốn địi hỏi
nhiều kĩ thuật mà còn phải tập luyện một phương pháp tư duy chặt chẽ và
tinh tế, một phương pháp học tập, nghiên cứu một cách khoa học và sáng
tạo. Những cuốn sách bài tập tốt sẽ giúp đỡ họ rất nhiều để vượt qua
những khó khăn trong học tập, trong việc tiếp nhận, đào sâu, củng cố kiến
thức và trong việc rèn luyện óc tư duy sáng tạo của họ.
Mục tiêu biên soạn cuốn sách này là như thê. Nội dung cuốn sách này
được biên soạn sát vối nội dung kiến thức về Đại số tuyên tính mà sinh
viên được học ở các trường đại học và cao đẳng hiện nay, đặc biệt là các
trưòng đại học và cao đẳng sư phạm.
Trong cuốn sách có 520 bài tập đáp ứng tất cả các nội dung về Đại số
tuyến tính. Các bài tập rất đa dạng, bao gồm đủ các thế loại: có những bài
tập về rèn luyện kĩ năng tính tốn và cũng có nhiều bài có tính lí thuyết
giúp học sinh rèn luyện khả năng vận dụng kiến thức và rèn luyện tư duy
sáng tạo.
Việc sắp xếp thứ tự các bài tập cũng được cân nhắc một cách kĩ lưỡng:
từ dễ đến khó, từ những bài tập củng cố đến những bài tập đào sâu kiến
thức rồi đến những bài tập rèn luyện tư duy sáng tạo, rất thuận tiện cho
việc sử dụng của nhiều đối tượng sinh viên.
Trong sô các bài tập có nhiêu bài tập nâng cao nhằm giúp các sinh
viên có khả năng có thể có một tư liệu học tập tốt.
Đối với sinh viên, cuốn sách này có thể giúp các bạn từng bưốc nâng
cao trình độ của mình.

5

Đối với các thầy cơ giáo, cuốn sách này có thể là một tư liệu tốt giúp
các bạn chuẩn bị bài giảng. Các bạn có thể dùng nó để thiết kế những bài
tập lổn và cũng có thể khai thácỏ đây những đề tài luận văn tốt nghiệp.
Phần "Lời giải - Hướng dẫn - Trả lời" có đưa ra những huống dẫn
bổ ích giúp bạn đọc tìm ra phương hướng giải quyết bài tốn, đồng thịi
có nhiều phân tích giúp bạn đọc trau dồi được kinh nghiệm, biết cách
suy nghĩ để vận dụng kiến thức và phát triển khả năng tư duy. Đối vối
những bài tập khó tác giả có đưa ra những phương pháp giải cùng với
những lí giải giúp bạn đọc hiểu rằng cần suy nghĩ như thế nào để đưa ra
cách giải ấy.
Cuối cùng xin lưu ý rằng trong cuốn sách này chỉ xét không gian vectơ
trên các trường số. Chữ K dùng để kí hiệu chung cho trường số hữu tỉ Q,
truồng số thực R và truồng số phức c.
Tác giả hi vọng rằng cuốn sách thực sự hữu ích đối vối một đối tượng
rộng lớn các bạn đọc.
Tuy đã có nhiều cố gắng trong việc biên soạn, song khơng sao tránh
được mọi sai sót. Rất mong nhận được những lời chỉ bảo quý báu của bạn
đọc. Tác giả xin chân thành cảm ơn.
TÁC GIẢ

6


C á c kí hiệu

Tập hợp {Ì, 2,..., n} gồm n số tự nhiên
từ Ì đến n

x„
' Ì 2 ... n
ơ=
,0*1) ơ(2)... ơ(n)
s„
sgn(ơ)
n

Phép thế ơ biến phần tử i thành ơ(i)
Tập hợp các phép thế trên tập x„
Dấu của phép thế ơ
Tổng a, + a +... + a
2

n

Tổng các số a,, vối j thuộc tập chỉ số J
n

Tích a,a ...a
2

1=1

n

Tích các thừa soa,, vối j thuộc tập chỉ số J
A = nì
A = (a )„
Mat„(K)

s

•A
À-'
|A|

Ma trận A có m dịng, n cột, với các
thành phần ở dòng thứ i, cột thứ j .
Ma trận vuông cấp n
Tập hợp các ma trận vuông cấp n với các
thành phần thuộc trường K
Ma trận chuyển vị của ma trận A
Ma trận nghịch đảo của ma trận A
Định thức của ma trận A

ì

Ma trận đơn vị

Mij

Định thức con bù của thành phần a,j
trong ma trận vuông (a,j)
Phần bù đại số của thành phần a„

Au


Mi' ị'

Định thức con xác định bồi các dòng i,,..., i, và
các cột
j
r

- í -ì,
Mi,..,,

Đinh thức con bù của đinh thức con Mí ~ị
1,-1,
Phần bù đại số của định thức con M* f

Ki
hạng(A)
A+B
AB
ã

Hạng của ma trận A
Tổng của hai ma trận A và B
Tích của hai ma trận A và B
Vectó, là một phần tử của khơng gian vectđ

-ã

Vectơ đối của ã

õ
A= {ã,, ă ,..., ã J

Vectơ không
Hệ vectơ gồm các vectơ ã,,

hạng(A)
(E) = {ẽ „ Ẽ ,..., s j
dim V

Hạng của hệ vectơ A

2

2

K

ă

2

ã

Cơ sỏ (é) của không gian vectd
Số chiều của K - không gian vectơ V

f: V-> w

Anh xạ tun tính từ khơng gian V đến khơng
gian w

f(X)

Anh của tập X qua ánh xạ tuyến tính f

Imf

Ánh của khơng gian V hay ảnh của ánh xạ
tun tính f

f-'00
Kerfhay f-'(0)
Hom (V, W)

Anh ngược của tập Y "

K

f+g
g.f

Hạt nhân của ánh xạ tuyến tính f
Tập hợp các ánh xạ tuyến tính từ V đến w
Tơng của hai ánh xạ tuyến tính f và g
Tích của hai ánh xạ tuyến tính f và g

ă|

Tích vơ hướng của hai vectơ

Síp

ã trực giao vói p

H1G

Khơng gian H trực giao vài khơng gian G


Chuẩn của ã
Hình chiếu của ã lên khơng gian w.
Mơđun của số phức z
Số phức liên hợp của số phức z
Chứng minh điều kiện cần
Chứng minh điều kiện đủ



Chng è
NH

THC

Đ1. PHẫP THấ
1.1. nh ngha phộp th
ã Cho tp X = li, 2,
ni. Một song ánh or x„ ->X được gọi là một
phép thế. Nó được biểu diễn như sau:
n

n

Ì
2
{cs(l) ơ(2)

3
ơ(3)

n
ơ(n)J

(1).

Tập hợp các phép thê trên tập X được kí hiệu bởi s„ và gồm nỉ
phần tử.
• Một phép thế T trên tập X (n > 1), được gọi là một chuyển trí hai
phần tử i, j thuộc X nếu ĩ(i) = j, ĩ(j) = ivà ĩ(k) = k, với mọi k e x„ k * ì, k *ị.
Nó cịn được kí hiệu bởi (í, j).
• Phép thể p trẽn tập x„ (n > 1), được gọi là một chu trình (hay một
vịng xích) r phần tử, nếu nó có dạng:
n

m

n

p=
nói cách khác:
pd,) = i , pti-ỷ = í*
pdr-n = i„ (XỤ = i„ p(ij) = ij với mọi j e li, 2,
Khi đó phép thế này cịn được kí hiệu bởi (i,, i ,

i _ , , i ).
2

2

r

ri.

r

Mỗi sối,, i , . . . , i,-1, i được gọi là một phần tử của vịng xích.
Hai vịng xích được gọi là độc lập nếu chúng khơng có phần tử chung.
Ta quy ước gọi phép thế đồng nhất là vịng xích Ì phần tử.
Một chuyển trí là một vịng xích 2 phần tử.
2

r

li


Ví dụ: 1) p

'1

2 3 4 5 6 7 8

,1

9

là vịng xích 5

2 7 5 3 4 6 8 9

phần tử,
p = (3, 7, 6, 4, 5).
2) p = (3, Ì, 8, 5) là một vịng xích 4 phần tử và
p(3) = Ì, p(l) = 8, p(8) = 5, p(5) = 3.
1.2. Nghịch thế - Phép thế chẵn, phép thế lẻ
• Giả sử a là một phép thế trên tập X . Với í, j e x„ i *j, ta nói cặp
(a(i),a(j)) là một nghịch thế của ơnếu í <j nhưng a(i) > aỢ).
• Ta gọi phép thế ơ là một phép thế chẵn nếu nó có một số chẵn
nghịch thế.
ơđược gọi là phép thếlẻ nếu nó có một số lẻ nghịch thế.
Ta gán cho mỗi phép thế chẩn một giá trị bằng +1, mỗi phép thế lè
một giá trị bằng -1.
Giá trị này của phép thế ơ được gọi là dấu của G và được kí hiệu bởi
sgn(ơ).
n

Như vậy, theo định nghĩa, sgn(à) •

Ì
-Ì

nếu a chẵn,
nêu ơ lẻ

> Mọi phép chuyển trí đều là phép thểu.
> sgn(ơụ) = sgn(ơ)sgn(ụ).

BÀI TẬP
Trong các bài tập dưới đây ta viết gọn
ơ(X„) = <ơ(l), ơ(2), ...,o(n)>;
chẳng hạn ơ

12

:

1

2

3

4'

1

4

2

3 ,

được viết gọn là ơ(X ) = < Ì, 4, 2 3 >
4

1.

Hãy biểu diễn các phép thế X, n, ơ sau đây đuôi dạng (1), biết rằng:
a) \(X ) = < Ì, 3, 5, 6, 4, 7, 2 >;
b) n(X ) = < 4, 7, 2, 6, 5, Ì, 3 >;
c) ơ(X ) = < 2, 5, Ì, 3, 7, 6, 4 >.
7

7

7

2.

Với các phép thế X, ịi, ơ đã cho trong bài tập Ì, hãy biểu diễn các phép
thế Xu, Xa, a\, ơn, ịiX, \ụa đuối dạng (1).

3.

Hâỵ biểu diễn mỗi tích những vịng xích sau đây dưới dạng (1):
a) (Ì, 4, 5)(2, 6, 8)(3, 7);
b) (2, 4, 6)(5, 3, 8, 1)(7)(9);
c) (3, 2, 1)(6, 5, 4) ... (3k, 3k - Ì, 3k - 2).

4.

Ánh xạ ngược của phép thế ơ được kí hiệu bởi ơ" . Cho hai vịng xích
1

ơ = (b, a, d), ịi = (c, a, e).
Chứng tỏ rằng ữ~ ịi~ G\x = (a, b, c).
l

5.

l

Cho các phép thế

' (Ì 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

4

2

6

5

Ì

6^1
(1
>n =
3j
ụ

2

3

4

5

2

6

3

5

N

p

=

1^4 2 5 Ì 3 6j
hãy tìm phép thế ơ trong mỗi trương hợp sau:
a) Xaịi - p;
b) ịíX = ơp;
c) pịxa = Ằ;
ả) aX = vĩ.
6

Mót phép thế có thể phân tích thành tích của những vịng xích độc
lập. Chảng hạn, phép thế
'Ì

2

3

4

5Ì

4

1

5

2

3;

(3, 5)(1, 4, 2).

13


Hãy chứng minh rằng mỗi phép thế trên tập x„ đều là tích của nhũng
vịng xích độc lập.
7.

Hãy phân tích các phép thế trong bài tập Ì thành tích của những
vịng xích độc lập.

8.

Chứng minh rằng mọi phép thế đều phân tích được thành tích của
những chuyển trí.

9.

Tính số nghịch thế của các phép thế X, m ơ trong bài tập 1. Phân tích
mỗi phép thế thành tích của những chuyển trí.

10. Tính số nghịch thế của các phép thế trong bài tập 2. Kiểm tra các
đẳng thức:
sgn(X(i) = sgn(X)sgn(n), sgn(A-ơ) = sgn(A.)sgn(ơ)
sgn(^ơ) = sgn(X)sgn(n)sgn(ơ).
li.

Tính số nghịch thế của phép thế ơ biết rằng ơ(X„) = (n, n - Ì, n - 2,

.... 2, 1).

12. Xác định dấu của các phép thế X, ịi, p, ơ, biết rằng chúng được biểu
diễn bởi những vịng xích như sau:
a)MX ) = (l,3, 2, 6, 4, 5);
b) (1(X,) = (4, 7, 2, 1)(6, 5, 7, 3);
6

c) p(X ) = (5, 4, 3X2, 1);
d) ơ(X ) = (l,3, 5)(8, 6, 4, 2);
5

8

13. B iết rằng ơ(X„) = (i„i ,
sgn(n) theo sgn(ơ).
2

i„_„ i„), |i(X ) = (i„, i„_„
n

i , i,). Hãy tính
2

14. Chứng minh rằng một phép thế là chẵn (lẻ) khi và chỉ khi nó là tích
của một số chẵn (lẻ) chuyển trí.

14

§2. ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC
2.1. Ma trận
• Một bảng gồm mn số được viết thành m dòng, n cột như sau

(1)
a

a„... a

;i

K

được gọi là một ma trận kiểu (m, ri).
Mỗi số (ly được gọi là một thành phần của ma trận. Nó nằm ở dịng
thứ i và cột thứ j.
Ta thuồng kí hiệu ma trận bơi các chữ in hoa A, B,....
Có thê viết ma trận (1) một cách đơn giản bởi
A = (aij)( . , hoặc A = (a;j)
m n

Nếu m = n thì ma trận được gọi là ma trận vuông cấp n và viết là
A = (a^„.
• Ta gọi ma trận
1

Q ... c .

U

21

u

Vin 2n in inn )
là ma trận chuyển vị của ma trận (1) và kí hiệu là 'A.
a

a

a

15


2.2.

Định thức
• Với ma trận vng

n i2 ij in

a

a

a

a

A=

a., a„ a
li i2 ij
:

(2)

a
"
;

ta gọi tống
D = X sgn(a)a a , ...a , ...a „ „
lơ(1)

2( (2)

ic (i)

n

(

)

là định thức của ma trận A và kí hiệu bởi

a

i i i2
a

a

a„, a_,

u
a_,

a

(3)

„
a.

hay |A|, /lay det(A).
Trong cách kí hiệu này ta cũng nói mỗi ày là một thành phần, các
thành phần au, ai2,..., a tạo thành dòng thứ i, các thành phần a,j, a j , a „ j
tạo thành cột thứ j của định thức.
Khi ma trận A có cấp n ta cũng nói |A| là một định thức cấp n.
in

Tính chất 1. Nếu định thức

16

2

mà mọi thành phần ở dịng thứ ì đều có dạng a = ajj + a-j thì
s

an

•

D = ai, a - ...a .. •a'
r

a

a •
n2

an a . . •• U" •• am

V a,„

m

a

12

+ a» a*2- • i ••• aL

• a„n

a

a

n. a„2" • Ky

TínA c/ỉấí 2. ATếu mọi thành phần ở dịng thứ í của định thức có thừa
số chung c thì có thể đặt c ra ngồi dấu định thức.
Tính chất 3. Trong định thức nếu đổi chỗ hai dòng cho nhau thì
định thức đổi dấu.
Tính chất 4. Nếu định thức có hai dịng giống nhau thì định thứcấy
bằng 0.
Tính chất 5. Nếu định thức có hai dịng mà các thành phần (cùng
cột), tương ứng tỉ lệ thì định thứcấy bằng 0.
Tính chất 6. Nếu nhân mỗi thành phần ở dòng thứ i với cùng một sốc
rồi cộng vào thành phần cùng cột ở dịng thứ k thì được một định thức mới.
bằng định thức đã cho.
Tính chất 7. Với 'A là ma trận chuyển vị của ma trận A ta có:
'A =|A|

BÃI TẬP
15. Xét xem mỗi tích sau có phải là một hạng tử của một định thức cấp 5
hay khơng, nếu phải hãy xác định dấu của nó:
a) aníÌ24 35 -li 52!
b) ai5 24 3i 42 53ỉ
c) aa24a35a44a2;
d) a a a 3a a
e) a a23344553a

a

a

a

a

a

a

13

14

5

22

3

25

a

51

a

11 2

ĐẠIHỌCTHÁỈ NGUYÊN
TRUNG TẤM HÓC mu

17


16. Xác định ị, k để mỗi tích sau là một hạng tử của một định thức cấp 5:
a) Ễll2 2j 35 4k 5lỉ
b) an 22 3j 44 5kí
c) a,5a a a a ;
d) aijâ24a3 a a i .
a

a

a

a

a

2j

a

a

a

3k

41

5

4Ị

52

5 t

17. Xác định í, k để mỗi tích trong bài tập 16 là một hạng tử của một
định thức cấp 5 và:
a) ai a a3 a a với dấu +;
b) a a a a a với dấu - ;
c) ai a a3 a a vối dấu - ;
d) a a 4a a a với dấu +,
2

2j

11

5

lj

22

2j

2

5

3j

k

35

4t

51

44

5t

41

52

41

5k

18. Trong mỗi trường hợp sau hãy điền vào chỗ trống những phần tử a,,
thích hợp để được những hạng tử của một định thức cấp 5:

a)... a3ỄỈ3iâ42"- ĩ
b) a ...a ... a ;
* ) i5 22 -" 44 •••>
d) a ì I&2335
2

c

a

13

32

a

a

51

a

19. Xác định dấu của hai hạng tử a a 2 ... a„„ và a a„. 1.2 ••• 2, n - l^ln
trong định thức cấp n.
n

2

nl

20. Dùng định nghĩa của định thức để chứng minh:

0

a,

a)

"2, n
a a 2 ••• a -1.n-1
u

0
00

18

^2, n-1

0

2

0

a


•M.n-l

"Lu

b)

=

0
n-t. Ì a.0-1,2
a
0 ... 0

(~1)

n(p-l)
nl n-l,2 ••• 2.n-l
2

a

a

a

0
0

nil

Áp dụng bài tập 20 để tính các định thức sau:
3

1

5 -2

8

4

2

7

li

9

0 --4

6

0

li

0

3

7

8

0

Ũ 0

2

9

0

0 -9

2

6

0

0

0 -8

0

0

0

4

15

ũ

0

0

ũ

ũ

0

0

2

13

ũ -1

4

5

7

-2

7

3 -4

4

b) 0

;

0

3

0

3

8

10

0

7

5

0

4

0

9 -5

0

12 -2

0

0 ;

-7

5

0

0

0

15

1

0

0

2

0

0

0

0

4

0

0

0

d)

Dùng định nghĩa của định thức để tính định thức:
il

a

21

a

a

a

a

i2

a

22

a

31

a

a„

a

a

a

51

32

J2

52

i3

a

23

a

u

2J

a,5
25

a

0

0

0

0

0

0

0

0

0

a


23. Cho D là định thức của ma trận vuông A = (a^,,. Trong mỗi trường
hợp sau đây định thức thay đổi như thế nào nếu:
a) Chuyển dòng thứ nhất thành dòng cuối cùng?
b) Chuyển dòng thứ i thành dòng thứ nhất?
c) Chuyển dòng thứ i thành dòng cuối cùng; tiếp tục chuyển cột thứ ị
của định thức vừa được thành cột cuối cùng?
d) Nhân dòng thứ i với số c rồi chuyển nó thành dịng thứ k?
24. Chứng minh rằng định thức không đổi nếu ta cộng các thành phần
của dòng thứ i vào các thành phần cùng cột của dịng thứ i - Ì, với
mọi i e {2, 3,
n} (n là cấp của định thức).
25. Chứng minh rằng định thức không đổi nếu ta lấy các thành phần của
cột thứ ị trừ đi các thành phần cùng dòng của cột thứ j + Ì, vối mọi
j 6 {Ì, 2, 3,

ri - 1} (n là cấp của định thức).
26. Trong định thức cấp n viết dưối dạng (3), đường chéo có hai đầu mút
là a và a„„ được gọi là đường chéo chính, đưịng chéo cịn lại gọi là
đường chéo phụ.
n

a) Định thức thay đổi như thế nào nếu ta thay mỗi thành phần của
định thức bởi thành phần đối xứng với nó qua đường chéo chính?
b) Định thức thay đôi như thế nào nếu ta thay mỗi thành phần của
định thức bởi thành phần đối xứng vối nó qua đường chéo phụ?
27. Chứng minh rằng:
b+c

c+a

a+b

a

b, +c,

c, +a,

a,+b,

= 2 a.

b +c

c +a

a +2

2

20

2

2

2

b

2

a

2

b

c
1

C

\

2

C


28. Biết rằng 95, 380, 133, 171 chia hết cho 19. Chứng minh rằng:
12
48 80
-45
a)

120

49

131

150

19 -86

45 -7

b)

50

75

9

0

5

0

0

3

8

0

0

3

7

1

1 3
0

80

0

chia hết cho 19.

58

chia hết cho 19.

29. Chứng minh rằng:
a

b

d

b

c

a

d

b

a+b

b+c

c+d

0.

d+a

30. Khơng tính, dùng tính chất của định thức chứng tỏ các định thức sau
bằng 0:

a)

c)

3

0

7

9

5

4

-3

2

8

1

2

4

15

37

;

b)

- 10 -7

7

4

3

2

-7

li

-6

0

2

8

3

6

-48 -18

6

1

9

12

5

79

8

1

30 -4

li

25

48 -10

4

26

-10

5

9

10

7

12 -6

15

3

6 -3

8 -5
;

d)

0
7

2

-5

10

21


a

b

b

a

b

b

a

b

e) c

d

e

e

c

d

đ é c

ĩ

e

g

f

g

g

f

g

b

g

§3. KHAI TRIỂN ĐỊNH THỨC
3.1. Định thức con - Phần bù đại số
Cho định thức D cấp n.
1) Nếu chọn r dịng Ì,,..., í, và r cột//,..., j„ (r < rì), thì các thành phần
nằm ở giao của r dòng và r cộtấy lập thành một định thức kí hiệu bởi
M'' ' nà gọi là một định thức con cấp r của D.
2) Nếu xoa đì r dịng và r cột ấy thì các thành phần cịn lại lập thành
một định thức kí hiệu bởi Mj"j và gọi là định thức con bù của định thức
Mị-ị .
3)
<-irđược gọi là phần bù đại số của M;' .
Chú ý. Mỗi thành phần ày của một định thức D là một định thức con
cấp một của D. Đê đơn giản cách viết, định thức con bù và phần bù đại số
của ày được kí hiệu lần lượt bởi Mij và Áy.
Ví dụ: Cho định thức
8 3 5 -1
D

22

2

0-2

0 4

Ì

-6 Ì

0


Nếu chọn dịng thứ ba, cột thứ hai thì a = 4, là một định thức con cấp
một của D,
32

8

5 -1

M32 = 2 -2
-6

9 là định thức con bù của a

3

0

7
8

A =(-l)

34

1Y± = (-•Ì) *

3

2

32

32

5-1

2-2
-6

0

9 là phần bù đại số của
7

Nếu chọn hai dòng: thứ nhất và thứ ba, hai cột: thứ hai và thứ ba thì:
Mí, =

Mí

3 5

là một định thức con cấp hai của D;

4 Ì
2 9
-6 7

là nh thc con bự ca M " ;

:(_ !)!ã>ãô

2 9

l phần bù đại số của M " .

-6 7

3.2. Khai triển định thức theo một dịng hoặc một cột
• Cho định thức D cấp n có các thành phần là dự Với mỗi ie li, 2,..., ni,
ta đều có:
n
D = a, A , + a Ai2 + - + a, A» = X ^iAi •
i-1
Ta nói đó là cách khai triển định thức theo dịng thứ í.
• Cho định thức D cấp n với các thành phần dịp ta có:
i2

aiẠ

hl

+... + aiẠ +... + a,„A„ = 0 nếu k *i.
kj

t

(viết gọn là: ^a^A^ = ớ, nếu k *i).

23