Baitaplongt1 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TPHCM
KHOA KHOC HỌC ỨNG DỤNG
BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG
——————– * ———————

BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 1

TPHCM
Ngày 21 tháng 12 năm 2015


Bài tập lớn

0.1

Giải Tích 1

Hồng Hải Hà

Phần 1- DỄ

Câu 0.1.1 Cho hàm tham số y = f (x) dưới dạng tham số x = x(t), y = y(t). Tính đạo hàm
y n (x). Input: x(t), y(t), n.
Câu 0.1.2 Cho hàm số y = f (x). Điểm M = x0 . Tính giá trị đạo hàm y (n) (M ). Vẽ ý nghĩa
hình học của đạo hàm cấp 1 tại M. Input: f (x), điểm M , n.
Câu 0.1.3 Cho hàm số y = f (x), a ≤ x ≤ b. Tính diện tích mặt cong tạo bởi khi quay y
quanh OX. Input: f (x), a, b.
Câu 0.1.4 Cho hàm số y = f (x), điểm x0 . Xuất ra biểu thức dn f (x0 ). Input: f (x), n, x0 .
Câu 0.1.5 Cho hàm ẩn y = y(x) có phương trình F (x, y) = 0. Tính đạo hàm cấp n y n (x).
Input: F (x, y).
Câu 0.1.6 Cho cung y = f (x), x ≤ x ≤ b. Tính độ dài cung này. Input: f(x), a, b.


 f (x) if x ≥ x
1
0
Câu 0.1.7 Cho hàm y=
. Khảo sát tính liên tục của y tại x0 . Input:
 f2 (x) if x < x0
f1 (x), f2 (x), x0 .

 f (x) if
1
Câu 0.1.8 Cho hàm y=
 f2 (x) if
f1 (x), f2 (x), x0 .

0.2

x ≥ x0
x < x0

. Khảo sát đạo hàm của y tại x0 . Input:

Phần 2- LẬP TRÌNH

Câu 0.2.1 Cho hai hàm số y1 = f (x), y2 = g(x), x = a, x = b(a < b). Tính diện tích miền
D giới hạn bởi các đường trên. Input: f (x), g(x), a, b.
Nội dung gợi ý:
• Tìm tất cả các giao điểm của f (x) và g(x) giữa a, b.
• Diện tích cần tích bằng tổng diện tích các miền nhỏ tạo bởi các giao điểm nằm giữa a,
b.

Câu 0.2.2 Cho hai hàm số y1 = f (x), y2 = g(x) cắt nhau tại đúng hai giao điểm, nằm cùng
một phía với trục OX. Tính thể tích vật thể khi quay miền D giới hạn bởi y1 , y2 quanh trục
Ox. Input: y1 , y2 .
Nội dung gợi ý:
2


Bài tập lớn

Giải Tích 1

Hồng Hải Hà

• Kiểm tra số giao điểm
• Kiểm tra nằm về một phía Ox.
• Thể tích.
Câu 0.2.3 Giải hê phương trình vi phân : X 0 (t) = AX(t) + F (t) bằng phương pháp trị
riêng-vecto riêng. Trong đó, X(t), F (t) ∈ M3×1 , A ∈ M3×3 .
Câu 0.2.4 Cho hàm y = f (x) là phân thức hữu tỷ. Khảo sát cực trị của hàm. Input: Hàm
f (x).
Nội dung gợi ý:
• Giải nghiệm đạo hàm cấp 1.
• Xét dấu đạo hàm.
CHÚ Ý: Sẽ được điểm cộng nếu f (x) tổng quát hơn( có hàm logarit, hàm mũ, hàm lượng
giác, hàm trị tuyệt đối.
y
Câu 0.2.5 1. Giải phương trình vi phân đẳng cấp y 0 = f ( ), thỏa đk Cauchy: y(x0 ) = y0 .
x
y
Input: vế phải f ( ), x0 , y0 . Yêu cầu: Kiểm tra vế phải có đúng là pt đẳng cấp.(Không dùng

x
lệnh giải ptvp của Matlab).
2. Giải phương trình vi phân tồn phần P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0, thỏa đk Cauchy: y(x0 ) =
x0 . Input: P(x,y), Q(x,y), x0 , y0 . Yêu cầu: Kiểm tra đk vi phân tồn phần.( Khơng dùng
lệnh giải ptvp của Matlab).
Câu 0.2.6 Cho tích phân suy rộng LOẠI 1

+∞
R

f (x)dx. Khảo sát sự hội tụ của của tích phân

a

này. Input: a, f(x).

0.3

Phần 3-LẬP TRÌNH

Câu 0.3.1 Cho n hàm số f1 (x), f2 (x), ...fn (x) là các đại lượng VÔ CÙNG LỚN khi x →
+∞. Sắp xếp các VCL này theo chiều tăng dần của bậc. Input: f1 (x), f2 (x), ..., fn (x) .
Nội dung gợi ý:
• Kiểm tra điều kiện VCL khi x → +∞
• Các VCL có bậc bằng nhau thì xuất ra riêng(ở dạng vecto trong matlab)
3


Bài tập lớn

Giải Tích 1

Hồng Hải Hà

• Lấy một đại diện của các VCL có bậc cùng nhau để sắp thứ tự.
VÍ DỤ: Nhập các VCL là n, n + 1, lnn. Kết quả xuất ra như sau:
Các VCL có bậc bằng nhau: [n n+1].
Kết quả sắp thứ tự theo chiều tăng dần là: [lnn n]
Câu 0.3.2 Cho n hàm số f1 (x), f2 (x), ...fn (x) là các đại lượng VCB khi x → x0 . Tìm bậc
của các đại lượng VCB trên. Input: f1 (x), f2 (x), ...fn (x), điểm x0 .
Nội dung gợi ý:
• Kiểm tra điều kiện VCB khi x → x0
• Xuất kết quả bậc ở dạng vecto theo thứ tự tương ứng với thứ tự nhập hàm.
VÍ DỤ: Nhập sinx, x, x0 = 0. Kết quả xuất ra bậc VCB là [1 1].
Câu 0.3.3 Giải phương trình vi phân cấp 2: y 00 + py 0 + qy = f (x) bằng phương pháp biến
thiên hằng số. Input: p, q, f (x).
Nội dung gợi ý
• Giải nghiệm phương trình thuần nhất y0 = C1 y1 (x) + C2 y2 (x).

 C 0 (x)y (x) + C 0 (x)y (x) = 0
1
2
1
2
0
0
• Tìm C1 (x), C2 (x) bằng cách giải hệ :
 C 0 (x)y 0 (x) + C 0 (x)y 0 (x) = f (x)
1

1

2

2

• Tìm C1 (x), C2 (x).
Câu 0.3.4 Cho hàm y = f (x) liên tục trên khoảng [a, b]. Tìm GTLN-GTNN của hàm số
trên [a, b]. Input: f (x), a, b.
Nội dung gợi ý:
• Giải nghiệm đạo hàm, loại bỏ các nghiệm phức, nghiệm khơng thuộc tập xác định.
• So sánh các giá trị của hàm tại các nghiệm và tại hai đầu a, b.
Câu 0.3.5 1. Giải phương trình vi phân cấp 1 : y 0 + p(x)y = q(x). Input: p(x), q(x).
2. Giải phương trình tách biến : P (x)dx + Q(y)dy = 0. Input: P(x), Q(y). Nội dung phải
có: Kiểm tra điều kiện tách biến.
Cả hai câu đều không dùng lệnh giải ptvp của matlab.
Câu 0.3.6 Cho tích phân suy rộng loai 2:

Rb

f (x)dx. Khảo sát sự hội tụ của tích phân này.

a

Input: f(x), a, b.

0.4

Phần 4-ĐỒ THỊ
4