Bai14 tich phan duong loai 1

Chương 3:

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
Phần 1:

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1


NỘI DUNG
1.Tham số hóa đường cong
2.Định nghĩa tích phân đường loại 1
3.Tính chất tích phân đường loại 1
4.Cách tính tích phân đường loại 1


THAM SỐ HÓA ĐƯỜNG CONG PHẲNG
Tổng quát: (C) viết dạng tham số:
x = x(t), y = y(t)
VD: 1/ Đoạn thẳng nối A(a1,a2) và B(b1,b2)

 x a1  t (b1  a1 )
,0 t 1

 y a2  t (b2  a2 )
 x t
2/ Đường cong y = f(x): 
 y f (t )


THAM SỐ HĨA ĐƯỜNG CONG PHẲNG
3/ Đường trịn: (x – a)2 + (y – b)2 = R2

 x a  R cos t

,0 t 2
 y b  R sin t
x2 y 2
4/ Ellipse: 2  2 1
a
b
 x a cos t

,0 t 2
 y b sin t


THAM SỐ HÓA ĐƯỜNG CONG PHẲNG
5/ Đường cong trong tọa độ cực: r = r()

 x r ( )cos 

 y r ( )sin 
VD: đường tròn : r = 2sin có dạng tham
số

 x 2sin  cos 
,0






2
 y 2sin 
Lưu ý: hướng ngược chiều Kim đồng hồ là
tham số tăng


THAM SỐ HĨA ĐC TRONG KHƠNG GIAN
B1: Chiếu đường cong lên mặt phẳng thích
hợp
B2: Tham số hóa cho đường cong hình
chiếu (trong mặt phẳng)
B3: Tham số hóa cho biến cịn lại


Ví dụ
1/ Tham số hóa cho giao tuyến của mặt
trụ x2 + y2 = 4 và mặt phẳng z = 3
Hình chiếu gtuyến lên mp Oxy là đtrịn:
x2 + y 2 = 4
Vậy dạng tham số là:

x 2cos t , y 2sin t , z 3


2/ Tham số hóa cho giao tuyến của mặt
cầu x2 + y2 + z2 = 6z và mặt phẳng z = 3 – x
Hình chiếu gtuyến của 2 mặt lên mp Oxy là :
x2 + y2 + (3 – x)2 = 6(3 – x)  2x2 + y2 =9

3
3
x  cos t , y 3sin t , z 3 
cos t
2
2


ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 1
Cho AB là đường cong hữu hạn trong mặt
phẳng Oxy, f(x,y) xác định trên đường cong.
B

A

Phân hoạch cung AB thành
những cung Ck, trên mỗi cung
Ck lấy Mk, lk là độ dài cung Ck,
tính tổng tích phân
n

Sn   f (Mk )l k
k 1


n

Sn   f (Mk )l k
k 1

f ( x , y )dl  lim Sn : tp đường loại 1 của f
n 
trên AB
AB



Trong R3, tp đường loại 1 cũng định nghĩa
tương tự.


TÍNH CHẤT TP ĐƯỜNG LOẠI 1
1/ Tp đường loại 1 không phụ thuộc chiều
đường đi
2 / L  1dl = độ dài cung AB
AB

3 /  c.fdl c  fdl
AB

AB

 (f  g )dl   fdl   gdl

AB

AB

AB

5 / C C1  C2  fdl  fdl  fdl
C

C1

C2


CÁCH TÍNH TP ĐƯỜNG LOẠI 1
TH1: (C) viết dạng tham số:
x = x(t), y = y(t), t1  t  t2
t2

f ( x , y )dl  f ( x (t ), y (t ))





C

 x (t ) 

2

2

  y (t )  dt

t1

TH2: (C) viết dạng y = y(x), a  x  b
b
2

f ( x , y )dl  f ( x , y ( x )) 1   y ( x )  dx



C


a


CÁCH TÍNH TP ĐƯỜNG LOẠI 1
TH3: (C) viết dạng r = r(),     

2

f ( x , y )dl  f (r cos  , r sin  ) r  r d



C




2

(C) là đường cong trong không gian
(C) viết dạng tham số:
x = x(t), y = y(t), z = z(t), t1  t  t2
t2

2

2

2

f ( x , y , z)dl  f ( x (t ), y (t ), z(t ))  x (t )    y (t )    z(t )  dt



C


t1


Lưu ý: nếu C = C1  C2 (trong R2 )đối xứng
qua Oy
• f lẻ theo x:
f ( x , y )dl 0



C

• f chẵn theo x:

f ( x , y )dl 2 f ( x , y )dl



C



C1

* Trên R3, xét tính đối xứng qua các mặt
tọa độ.


Ví dụ
1/ Tính I  ( x  y )dl



C là biên tam

C

giác OAB, với O(0, 0), A(1, 1), B(2, 0)
A y

1
O

=

y

x

1

I

x

=

2

B
2

( x  y )dl 



OA

+

( x  y )dl 



AB

( x  y )dl



OB


A y

1
y

O

=

x

1

+

x

=

1

OA: y = x, 0  x 
1
2

B
2



2

1  y  1 1  2

( x  y )dl  ( x  x ) 2dx





OA

0

AB: y = 2 – x , 1  x  
2
2

1  y 2  1  1  2

( x  y )dl  ( x  2  x ) 2dx



AB


1


OB: y = 0 , 0  x 
2



2

( x  y )dl  ( x  0).1dx


OB


0

7
 I 2 

2
3

2

1  y  1  0 1


2/ Tính

I  xydl với C : x2 + y2 = 2x, y  0
C

Hai cách tham số hóa cho C:
C1: (x – 1)2 + y2 = 1, y  0


1



2

 x 1  cos t , y sint

0 t 
2

2

I  (1  cos t )sin t sin t  cos tdt



0


 (sin t  sin t cos t )dt 2




C2: x= rcos, y= rsin
x2+y2 =2x  r = 2cos, cos  0
y  r  sin  0

 x 2cos  sin  , y 2sin 2 
C viết lại: 
0   / 2
 2

I

2

2

2cos  2cos  sin  r  r d



0

2

 2

4

3

2

2

cos  sin  4cos   4sin  d


0