Bài tập toán A2 (Phần 1) docx

Trường Đại Học Bách Khoa TP HCM Họ và tên:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Bộ môn Toán Ứng Dụng. Nhóm:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ 10
Môn học: Đại số tuyến tính
Thời gian: 90 phút
Câu 1 : Tính det( A)
100
, với I là ma trận đơn vò cấp 3 và A =



2 1 −1
3 0 4
−2 5 2



.
Câu 2 : Trong không gian IR
3
với tích vô hướng chính tắc cho hai không gian con
F = {( x
1
, x
2
, x
3
) |x
1
+ 2 x
2

− x
3
= 0 } và G =< ( 1 , 0 , 1 ) , ( 3 , −2 , 1 ) >.
Tìm chiều và một cơ sở của ( F ∩ G)
⊥
.
Câu 3 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR
3
−→ IR
3
, biết ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cơ sở
E = {( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 0 , 1 ) , ( 1 , 1 , 0 ) } là A =



2 2 −2
1 3 −1
−1 1 1



.
Tìm m để véctơ ( 2 , 1 , m) là véctơ riêng của f.
Câu 4 : Tìm chiều và một cơ sở trực chuẩn của không gian nghiệm của hệ










x + y + z + t = 0
2 x + 3 y + 4 z − t = 0
3 x + 5 y + 7 z − 3 t = 0
4 x + 7 y + 1 0 z − 5 t = 0
Câu 5 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR
2
−→ IR
2
, biết
f( 1 , 1 ) = ( 5 , 1 ) ;
f( 1 , −1 ) = ( 9 , −1 ) .
Tìm cơ sở của IR
2
sao cho ma trận của f trong cơ sở đó là ma trận chéo D. Tìm D.
Câu 6 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR
3
−→ IR
3
thoả
∀( x
1
, x
2
, x
3
) ∈ IR
3

: f( x
1
, x
2
, x
3
) = ( 3 x
1
+ x
2
− x
3
, 2 x
1
− x
2
+ 2 x
3
, x
1
− x
2
+ 2 x
3
) .
Tìm ma trận A của f trong cơ sở E = {( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 ) , ( 1 , 2 , 1 ) }.
Câu 7 : Cho ma trận vuông cấp 2 A =

−1 1 6
−2 0 1 1


.
Tìm ma trận B sao cho B
2010
= A.
Câu 8 : Chứng minh rằng A là ma trận vuông cấp n khả nghòch khi và chỉ khi λ = 0 không là trò riêng
của A. Giả sử λ
0
là trò riêng của ma trận A, chứng tỏ
1
λ
0
là trò riêng của A
−1
Giảng viên: TS Đặng Văn Vinh
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 20 09- 201 0
Môn học : Đại số tuyến tính.
Th ời gian làm b à i: 9 0 phú t. Đề thi go àm 7 câu.
Sinh viên k hông đư ợc sử dụn g tài liệu.
HÌNH THỨC THI : TỰ LUẬN
CA 1
Câu 1 : C ho ma trậ n A =



7 4 1 6
2 5 8
−2 −2 −5




. T ính A
2010
, b ie át A có h ai trò riêng là 1 và 3 .
Câu 2 : T ìm chie àu và mo ät cơ sơ û TRỰC C HUẨN của kh ông g ian n ghiệm củ a hệ ph ương trình









x
1
+ x
2
− x
3
− 2 x
4
= 0
2 x
1
+ x
2
− 3 x
3

− 5 x
4
= 0
3 x
1
+ x
2
− 5 x
3
− 8 x
4
= 0
5 x
1
+ 3 x
2
− 7 x
3
− 1 2 x
4
= 0
Câu 3 : C ho ánh x ạ tuyến tính f : IR
3
−→ IR
3
, b ie át ma trận của f tron g cơ sở chín h tắc là
A =




2 1 −1
1 3 4
−1 1 0



. T ìm m a trận của f tro ng cơ sở E = {( 1 , 2 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) }.
Câu 4 : C ho ánh x ạ tuyến tính f : IR
3
−→ IR
3
, b ie át ma trận của f tron g cơ sở
E = {( 0 , 1 , 1 ) , ( 1 , 0 , 1 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) } là A =



2 1 −1
3 2 4
4 3 9



. T ìm cơ sở và s ố chiều của ker f.
Câu 5 : C hoA là ma trận v uông tùy ý, th ực, cấp n, th oả A
10
= 0 . C hứn g tỏ rằng A chéo hoá được k hi
và chỉ kh i A là ma trận kh ông.
Câu 6 : T ìm m để ma trận A =




1 −2 3
−2 5 1
3 1 m



có ba trò ri êng dư ơng (c ó thể trùng n hau).
Câu 7 : T rong h ệ trụ c toạ độ Oxy cho đư ờng cong ( C) có ph ương trìn h 5 x
2
+2 xy+5 y
2
−2
√
2 x+4
√
2 y = 0 .
Nhận d ạng v à vẽ đường c ong ( C) .
Đáp án đề thi Đại số tuyến tính, năm 2009-2010, ca 1
Thang điểm: Câu 1, 2, 3, 4, 5, 6: 1.5 điểm; câu 7: 1.0 điểm.
Câu 1(1 .5đ) . Chéo hóa m a trận ( 1đ) A = P DP
−1
; P =



−2 −1 −4
−1 1 0
1 0 1




. D =



1 0 0
0 3 0
0 0 3



.
A
2010
= PD
2010
P
−1
, tính ra được P
−1
=



1 1 4
1 2 4
−1 −1 −3




; D
2010
=



1 0 0
0 3
2010
0
0 0 3
2010



.
Câu 2 (1. 5đ). T ìm một cơ sơ û tùy ý của khôn g gian n ghiệm : E = {( 2 , −1 , 1 , 0 ) , ( 3 , −1 , 0 , 1 ) }
Dùn g quá trình Gram -Schm id t đưa về cơ sở tr ực giao: E
1
= {( 2 , −1 , 1 , 0 ) , ( 4 , 1 , −7 , 6 ) }
Ch uẩn hóa, có cơ sở tr ực chuẩn: E
2
= {
1
√
6
( 2 , −1 , 1 , 0 ) ,
1
√

67
( 4 , 1 , −7 , 1 ) }
1
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
Câu 3 ( 1.5 đ). C ó nhiều cách làm. Ma trận ch uyển cơ sở từ chính tắc sang E là: P =



1 1 1
2 1 1
1 2 1



Ma trận của ánh x ạ tuyến tính tro ng cơ sở E là B = P
−1
AP =



8 1 1 6
−2 −1 −2
−3 −9 −2



Câu 4(1. 5đ) . Giả sử x ∈ Kerf; [x]
E
= ( x
1

, x
2
, x
3
)
T
. Khi đó f ( x) = 0 ⇔ [f( x) ]
E
= 0 ⇔ A·[x]
E
= 0
⇔



2 1 −1
3 2 4
4 3 9






x
1
x
2
x
3




=



0
0
0



⇔ [x]
E
=



6 α
−1 1 α
α



⇔ x = ( −1 0 α, 7 α, −4 α) .
Dim( Kerf) = 1 , cơ sở: ( 1 0 , −7 , 4 ) .
Câu 5 (1. 5đ). Vì A
10
= 0 nên A chỉ có một tr ò riêng là λ = 0 ( theo tính ch ất, nếu λ

0
là TR của A,
thì λ
10
0
là TR của A
10
. A ch éo hóa được ⇔ A = P · D ·P
−1
, D là ma tr ận 0 nên A = 0 .
Câu 6 ( 1.5 đ). M a trận đối x ứng thực có ba trò riêng dương , suy r a dạng toàn p hươn g tươn g ư ùng xác
đònh dương ( h ay ma t rận đ ã c ho xa ùc đònh dương ). Th eo Sylves ter, A xác đòn h d ương khi v à chỉ kh i
các đònh th ức con chín h dương ⇔ δ
1
= 1 > 0 , δ2 = 1 > 0 , δ
3
= det( A) = m − 5 8 > 0 ⇔ m > 5 8 .
Câu 7(1. 0đ) . Xét dạ ng toàn ph ương 5 x
2
1
+ 2 x
1
x
2
+ 5 x
2
2
có m a trận A =

5 1

1 5

. C héo h óa tr ực
giao m a tr ận A bởi ma tr ậ n trực giao P =
1
√
2

1 −1
1 1

v à ma tr ận chéo D =

6 0
0 4

Đường cong ( C) có pt rình tr ong h ệ trục Ouv v ới hai véctơ cơ sở là

1
√
2
,
1
√
2

,

−1
√

2
,
1
√
2

là:
6 ( u +
1
6
)
2
+ 4 ( v +
3
4
)
2
=
11
12
. Đây là đường cong ellipse. Hệ trục Ouv t hu đươ ïc từ hệ Oxy b ằng cá ch
quay 1 góc 4 5
o
ng ược chiều kim đồn g hồ.
2
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 20 09- 201 0
Môn học : Đại số tuyến tính.
Th ời gian làm b à i: 9 0 phú t. Đề thi go àm 7 câu.
Sinh viên k hông đư ợc sử dụn g tài liệu.

HÌNH THỨC THI : TỰ LUẬN
CA 2
Câu 1 : a/ C ho ma trận A =

7 −3
1 0 −4

.
a/ Ché o hoá ma trận A.
b/ Áp d ụng, tìm m a trận B s ao cho B
20
= A.
Câu 2 : C ho ánh x ạ tuyến tính f : IR
3
−→ IR
3
, b ie át ma trận của f tron g cơ sở
E = {( 1 , 2 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) } là A =



1 2 0
2 1 −1
3 0 2



.
Tìm m a tr ận của f trong cơ sơ û ch ính tắc .
Câu 3 : C ho m a tra än A =




3 2 2
−3 −2 −3
2 2 3



. Tìm tr ò r iêng, cơ sơ û của các k hôn g g ian con r ie âng của
ma trận A
6
.
Câu 4 : T ìm m để vectơ X = ( 2 , 1 , m)
T
là véctơ r iêng của m a tr ận A =



−5 3 3
−3 1 3
−3 3 1



.
Câu 5 : T ìm m để ma trận A =




1 3 −2
3 m −4
−2 −4 6



có đúng hai trò r iêng d ương v à một trò riên g âm.
Câu 6 : C ho ánh xạ tuyến tính f là p hép q uay trong hệ trục toạ độ Oxy quan h gốc tọa độ C ÙNG chie àu
kim đồn g hồ một g óc 6 0
o
. T ìm a ùnh xạ tuy ến tính f. Giải thích ro õ.
Câu 7 : C ho A là ma tra än vuôn g cấp n. Ch ứng tỏ r ằng A kh ả ngh òch kh i và chỉ k hi λ = 0 KHÔNG là
trò riê ng của A.
Khi A kh ả nghòch ch ứng tỏ rằn g nếu λ là trò rie âng của A, thì
1
λ
là trò riên g của A
−1
.
Đáp án đề thi Đại số tuyến tính, năm 2009-2010, ca 2
Thang điểm: Câu 1, 2, 3, 4, 5, 6: 1.5 điểm; câu 7: 1.0 điểm.
Câu 1(1. 5đ) . Che ùo hóa ma trận ( 0. 5đ) A = P DP
−1
; P =

3 1
5 2

. D =


2 0
0 1

.
Ta co ù A = P · D · P
−1
. Giả sư û B = Q · D
1
· Q
−1
, ta có B
20
= Q · D
20
1
· Q
−1
= A. Chọn Q = P và
D
1
=

20
√
2 0
0
20
√
1


. Vậy m a trận B = P · D
1
·P
−1
Câu 2 ( 1.5 đ). Co ù nhiề u cách làm. Gọi ma tr ận chuy ển cơ s ở từ E s an g chín h tắc làP . Khi đó ma
trận chuyển cơ sở từ ch ín h tắc san g E là : P
−1
=



1 1 1
2 1 1
1 2 1



Ma tr ậ n của ánh xạ tuyến t ín h tron g
1
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
cơ sở ch ín h tắc là B = P
−1
AP =



−6 5 2
−9 6 4
−1 2 8 4




Câu 3 (1. 5đ). Giả sử λ
0
là trò riên g của A ⇔ ∃x
0
: A · x
0
= λ
0
·x
0
. Kh i đó
A
6
· x
0
= A
5
· A · x
0
= A
5
· λ
0
· x
0
= λ
0
·A

5
· x
0
= ·· · = λ
6
0
· x
0
.
Lập p trình đặc trưn g, tìm đươ ïc TR của A: λ
1
= 1 , λ
2
= 2 ,
Cơ s ở của E
λ
1
: {( −1 , 1 , 0 )
T
, ( −1 , 0 , 1 )
T
}, của E
λ
2
: {( 2 , −3 , 2 )
T
}.
TR c ủa A
6
: δ

1
= 1
6
, δ
2
= 2
6
, Cơ sở của: E
δ
1
: {( −1 , 1 , 0 )
T
, ( −1 , 0 , 1 )
T
}, của E
δ
2
: {( 2 , −3 , 2 )
T
}.
Câu 4 ( 1.5 đ). x là VT R cu ûa A ⇔ A · x = λ · x ⇔



−5 3 3
−3 1 3
−3 3 1







2
1
m



= λ ·



2
1
m



⇔ m = 1
Câu 5 ( 1.5đ) . Ma tr ận đố i xứ ng th ực. Dạn g toàn p hương tươ ng ứn g f ( x, x) = x
2
1
+ mx
2
2
+ 6 x
2
3
+

6 x
1
x
2
− 4 x
1
x
3
− 8 x
2
x
3
. Đưa ve à chính tắc b ằng biến đổ i Lag rang e f ( x, x) = ( x
1
+ 3 x
2
− 2 x
3
)
2
+
2 ( x
3
+ x
2
)
2
+ ( m −1 1 ) x
2
3

. M a trận A có một T R dươn g, 1 T R âm ⇔ m < 1 1 .
Câu 6 ( 1.5 đ). f : IR
2
−→ IR
2
. f được xác đòn h h oàn toàn nếu biết ảnh của một cơ s ở của IR
2
.
Ch ọn cơ sở ch ín h tắc E = {( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) }.
Khi đó f ( 1 , 0 ) = (
1
2
,
−
√
3
2
) ,f( 0 , 1 ) = (
√
3
2
,
1
2
) . f( x, y) = (
x
2
+
y
√

3
2
,
−x
√
3
2
+
y
2
)
Câu 7 (1. 0đ). A kh ả ngh òch ⇔ det( A) = 0 ⇔ λ = 0 kh ông là T R của A. Giả sử λ
0
là TR của A
⇔ ∃x
0
: A · x
0
= λ
0
·x
0
⇔ A
−1
· A · x
0
= A
−1
· λ
0

· x
0
⇔ A
−1
· x
0
=
1
λ
0
· x
0
(vì λ
0
= 0 ) → đp cm.
2
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 20 09- 201 0
Môn học : Đại số tuyến tính.
Th ời gian làm b à i: 9 0 phú t. Đề thi go àm 7 câu.
Sinh viên k hông đư ợc sử dụn g tài liệu.
HÌNH THỨC THI : TỰ LUẬN
CA 3
Câu 1 : T rong k hông g ian IR
4
vớ i tích v ô hướng chín h tắc, cho k hông gi an c on
F = {( x
1
, x
2

, x
3
, x
4
) |x
1
+x
2
−x
3
−2 x
4
= 0 & 2 x
1
+x
2
−3 x
3
−5 x
4
= 0 & 3 x
1
+x
2
−5 x
3
−8 x
4
= 0 }
Tìm ch iều và một cơ s ở TRỰC CHUẨN của F .

Câu 2 : C ho ánh x ạ tuyến tính f : IR
3
−→ IR
3
, b ie át ma trận của f tron g cơ sở
E = {( 1 , 2 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) } là A =



−1 4 −2
−3 4 0
−3 1 3



.
Ch éo hoá ánh x ạ tuyến tính f.
Câu 3 : C ho ánh x ạ tuyến tính f : IR
3
−→ IR
3
, b ie át ma trận của f tron g cơ sở
E = {( 1 , 0 , 1 ) , ( 1 , 1 , 0 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) } là A =



1 1 2
2 3 0
3 5 −4




.
Tìm cơ s ở và số chiều của Imf .
Câu 4 : C ho A và B là hai m a trận đồn g d ạng. C hứn g to û rằn g A chéo hoá được k hi v à chỉ khi B ch éo
hoá đươ ïc.
Câu 5 : T ìm m để ma trận A =



1 4 −1
4 m 2
−1 2 4



có ít nhất m ột trò riêng a âm.
Câu 6 : C ho án h x ạ tuyến tính f : IR
3
−→ IR
3
, biết f( x) = f( x
1
, x
2
, x
3
) = ( −x
2
+ 2 x

3
, −2 x
1
+ x
2
+
2 x
3
, x
1
− x
2
+ x
3
) . Tìm m để véctơ x = ( 2 , 2 , m) là v éctơ riêng của f.
Câu 7 : C ho ánh x ạ tuyến tính f là phé p đối xứn g tron g hệ trục toạ độ Oxy qua đường tha úng 2 x−3 y = 0 .
Tìm tất cả các trò riên g và cơ sơ û của các kh ông g ian con ri êng của f. Giải thích r õ.
Đáp án đề thi Đại số tuyến tính, năm 2009-2010, ca 3
Thang điểm: Câu 1, 2, 3, 5, 6, 7: 1.5 điểm; câu 4: 1.0 điểm.
Câu 1(1. 5đ) . Tìm m ột cơ sở tùy ý của F : E = {( 2 , −1 , 1 , 0 ) , ( 3 , −1 , 0 , 1 ) }
Dùn g quá trình Gram -Schm id t đưa về cơ sở tr ực giao: E
1
= {( 2 , −1 , 1 , 0 ) , ( 4 , 1 , −7 , 6 ) }
Ch uẩn hóa, có cơ sở tr ực chuẩn: E
2
= {
1
√
6
( 2 , −1 , 1 , 0 ) ,

1
√
67
( 4 , 1 , −7 , 1 ) }
Câu 2(1. 5đ) . Ch éo hóa ma tra än (1. 0 đ) A = P · D · P
−1
, P =



2 1 1
3 1 3
3 1 4



. D =



2 0 0
0 1 0
0 0 3



.
Cơ s ở cần tìm là B = {( 8 , 1 0 , 1 1 ) , ( 3 , 4 , 4 ) , ( 8 , 9 , 1 1 ) }. Ma tr ận của f tr ong B là D. Các cột cu ûa P
là các VTR của A, p hải đổi sang cơ sở chính tắc!!
Câu 3(1. 5đ) . Dim( Imf ) = r( A) = 3 ; Im( f) =< f( E) >=< f( 1 , 0 , 1 ) , f( 1 , 1 , 0 ) , f( 1 , 1 , 1 ) >=

1
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
=< ( 6 , 5 , 4 ) , ( 9 , 8 , 6 ) , ( −2 , −4 , −2 ) >. Cơ s ở của Im ( f) là {( 6 , 5 , 4 ) , ( 9 , 8 , 6 ) ( −2 , −4 , −2 ) }. Cách
khác: Vì Dim( Imf) = r( A) = 3 , nên I m( f) là IR
3
và cơ s ở của Im( f) là cơ sở chín h tắc của IR
3
.
Câu 4(1 .0đ) . A đồ ng d ạng B ⇔ ∃Q : B = Q
−1
· A · Q. Giả sử A chéo hóa được ⇔ A = P · D · P
−1
.
Khi đó B = Q
−1
· P · D · P
−1
· Q ⇔ B = ( P
−1
Q)
−1
· D · ( P
−1
Q) ⇔ B = G
−1
· D · G →đpcm.
Câu 5 ( 1.5đ) . Ma tr ận đố i xứ ng th ực. Dạn g toàn p hương tươ ng ứn g f ( x, x) = x
2
1
+ mx

2
2
+ 4 x
2
3
+
8 x
1
x
2
− 2 x
1
x
3
+ 4 x
2
x
3
. Đưa v ề chính tắc bằn g biến đổi L agr ang e
f( x, x) = ( x
1
+ 4 x
2
− x
3
)
2
+ 3 ( x
3
+ 2 x

2
)
2
+ ( m − 2 8 ) x
2
2
. A có m ột TR âm ⇔ m < 2 8 .
Câu 6 (1 .5đ) . x là VTR của f ⇔ f( x) = λ · x ⇔ ( f ( 2 , 2 , m) = λ · ( 2 , 2 , m)
⇔ ( −2 + 2 m, −2 + 2 m, m) = ( 2 λ, 2 λ, λm) ⇔ m = 0 ∨ m = 2
Câu 7 ( 1.5 đ).f : IR
2
−→ IR
2
. VTR là v éctơ q ua ph ép b iến đ ổi có ản h cu øng p hươn g vơ ùi véctơ b an
đầu. Các vé ctơ cùn g p hương với véctơ ch ỉ ph ương a = ( 3 , 2 ) của đươ øng thẳng la ø tất c ả các VTR
tương ứng với TR λ
1
= 1 ; các véctơ cùng ph ương với véctơ p háp tu yến n = ( 2 , −3 ) của đường
thẳn g là tất cả các VTR tươn g ứn g v ới λ
2
= −1 . Vì f là ax tt củ a k hông g ian 2 ch ie àu n ên k hông
còn VT R kh ác. Kluận: Cơ sơ û của E
λ
1
: ( 3 , 2 ) của E
λ
2
: ( 2 , −3 ) .
2
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -