(Luận văn thạc sĩ) không gian phủ, ứng dụng tính nhóm cơ bản và liên quan đến lý thuyết galois

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Hình Hiếu Trung

KHƠNG GIAN PHỦ, ỨNG DỤNG TÍNH NHĨM
CƠ BẢN VÀ LIÊN QUAN ĐẾN LÝ THUYẾT
GALOIS

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2019

Luan van


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Hình Hiếu Trung

KHƠNG GIAN PHỦ, ỨNG DỤNG TÍNH NHĨM
CƠ BẢN VÀ LIÊN QUAN ĐẾN LÝ THUYẾT
GALOIS

Chun ngành : Hình học và tơpơ
Mã số

: 8460105
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. NGUYỄN THÁI SƠN

Thành phố Hồ Chí Minh – 2019

Luan van


LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi.
Các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp
với các đề tài khác.

Luan van


LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình, nghiêm khắc
của Thầy Nguyễn Thái Sơn. Nhờ đó, tơi có ý thức và trách nhiệm trong việc
thực hiện. Tơi xin phép được bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc của mình đến Thầy
kính mến.
Tơi xin chân thành được tỏ lịng biết ơn đến Q Thầy Cơ trong khoa TốnTin và Phịng Sau Đại học của trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí
Minh vì sự giảng dạy tận tình và sự quan tâm, động viên, khích lệ trong suốt
q trình học tập và thực hiện luận văn.
Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình và bạn bè đã ln cổ vũ,
động viên để tôi an tâm học tập và nghiên cứu.
Mặc dù tơi đã nỗ lực hết mình nhưng do khả năng và thời gian có hạn nên
luận văn này khơng thể tránh khỏi những sai sót. Mong Q Thầy Cơ góp ý để
luận văn được hồn thiện hơn.

Luan van

(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois

MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Mục lục
MỞ ĐẦU ............................................................................................................ 1
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .............................................................. 3
1.1. Định nghĩa nhóm cơ bản và các ví dụ ...................................................... 3
1.2. Không gian phủ ........................................................................................ 5
1.3. Cái nâng.................................................................................................... 6
1.4. Phân loại khơng gian phủ ......................................................................... 7
1.5. Nhóm con của  1 .................................................................................... 11
1.6. Phép biến đổi phủ ................................................................................... 12
Chương 2. PHÉP CHIẾU PHỦ VÀ NHĨM CƠ BẢN ................................ 17
2.1. Tích tự do ............................................................................................... 17
2.2. Cấu trúc của không gian phủ.................................................................. 19
Chương 3. MỐI QUAN HỆ GIỮA NHĨM CƠ BẢN VỚI HÌNH
HỌC VÀ LÝ THUYẾT NHÓM VÀ LIÊN QUAN ĐẾN
LÝ THUYẾT GALOIS ................................................................ 29
3.1. Đa tạp Riemann có độ cong thiết diện hằng .......................................... 29
3.2. Phát triển nhóm cơ bản........................................................................... 32
3.3. Đa tạp Riemann phẳng ........................................................................... 34
3.4. Tinh thể 2-D và 3-D ............................................................................... 46
3.5. Liên quan giữa lý thuyết Galois và không gian phủ .............................. 54
KẾT LUẬN ...................................................................................................... 57
TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................. 58

(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois

Luan van


(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois

1

MỞ ĐẦU
Tôpô đại số là một môn học đặc thù của ngành tơpơ - hình học. Sử dụng
các kiến thức của tơpơ để giải các bài tốn đại số và ngược lại, trong đó một
trong các cơng cụ chủ lực là nhóm cơ bản. Nhóm cơ bản được xem như là một
hàm tử từ phạm trù các không gian tôpô vào phạm trù các nhóm. Từ đó ta
chuyển được một bài tốn tơpơ về một bài tốn lý thuyết nhóm. Ngược lại nhờ
tôpô đại số mà ta giải được nhiều bài tốn thú vị về lý thuyết nhóm. Ví dụ sử
dụng lý thuyết đồ thị ta chứng minh được nhóm con của một nhóm tự do là
một nhóm tự do.
Để tính được nhóm cơ bản một khơng gian tơpơ có thể có nhiều cách,
trong đó cách thơng dụng nhất là dùng ánh xạ phủ. Liên hệ với ánh xạ phủ ta
nghiên cứu về tác động nhóm bới nhóm cảm sinh của nhóm cơ bản.
Bên cạnh đó ta cũng tập trung nghiên cứu lí thuyết phủ của các khơng gian
tơpơ và ứng dụng của chúng trong hình học đại số và lí thuyết số. Điểm quan
trọng của lý thuyết Galois là sự tương quan giữa các nhóm đối xứng của các
mở rộng trường và bản thân các mở rộng trường, cung cấp cho ta một mối liên
kết giữa lý thuyết trường và lý thuyết nhóm. Các phủ của khơng gian tơpơ
cũng được trang bị cách định nghĩa tương tự. Ở đây, một phủ của không gian
tôpô X thực chất là một không gian tôpô cùng với một ánh xạ Y → X sao cho Y
và X “đồng dạng” địa phương. Lí thuyết Galois về các phủ sẽ đóng vai trị kết

nối giữa sự đối xứng của các phủ và các nhóm cơ bản, đóng vai trị như nhóm
Galois.
Hơn nữa vai trị của lí thuyết Galois về các phủ là một phép so sánh đơn
thuần và đặc biệt khi xem xét các đường cong, ta có thể thành lập một mối liên
kết trực tiếp giữa các phủ và các mở rộng trường trong

( z ) về Riemann. Nếu

xét trường hợp của phủ của mặt cầu với ba điểm cực biên thì ta sẽ tìm được

(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois

Luan van


(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois

2

mối tương quan giữa các đường cong đại số định nghĩa trên trường số và phủ
tôpô.
Những khám phá này cung cấp cho ta một phương pháp mã hóa các thơng
tin của nhóm Galois các số hữu tỉ theo dữ liệu tổ hợp. Tóm lại, những ghi chú
này nhằm khơi gợi những mối liên kết đầy mới mẻ giữa tôpô cổ điển và giải
tích phức với những sự phát triển mới mẻ trong hình học đại số và số học và từ
đó cho ta một góc nhìn khác với nhóm Galois của

.

Nội dung của luận văn gồm 3 chương:

Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ.
Chương 2: PHÉP CHIẾU PHỦ VÀ NHÓM CƠ BẢN.
Chương 3: MỐI QUAN HỆ GIỮA NHÓM CƠ BẢN VỚI HÌNH HỌC VÀ LÝ
THUYẾT NHĨM VÀ LIÊN QUAN ĐẾN LÝ THUYẾT GALOIS.

(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois

Luan van


(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois

3

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này chúng tôi trình bày các kiến thức cơ bản của Tơpơ đại số
liên quan đến nhóm cơ bản, khơng gian phủ, phân loại khơng gian phủ, nhóm
con của  1 và phép biến đổi phủ.
1.1. Định nghĩa nhóm cơ bản và các ví dụ
1.1.1. Nhóm cơ bản
Cho khơng gian tơpơ X , một con đường trong X là một ánh xạ liên tục
 : I  [0;1]  X .

Mọi không gian tôpô đều liên thông đường địa phương, Hausdorf và mọi
ánh xạ giữa các không gian tôpô đều liên tục.
Cho hai con đường  và  với điểm cuối  (1) của  bằng với điểm đầu
 (0) của  . Khi đó tích  là con đường  nối với  .

Một con đường mà điểm đầu và điểm cuối trùng nhau được gọi là con
đường đóng.

Ta chọn một điểm x  X và gọi nó là điểm cơ sở. Tập hợp tất cả các con
đường đóng với điểm gốc x được kí hiệu là ( X , x) .
Cho một con đường đóng   ( X , x) ta định nghĩa  1 bởi  1 (t )   (1  t )
Trên ( X , x) ta định nghĩa quan hệ tương đương

, ký hiệu   , nếu 

và  là hai tương đương đồng luân tương đối I , nghĩa là có một ánh xạ liên
tục G : I  I  X sao cho:
G (t , 0)   (t )

G (t ,1)   (t )
G (0, s)   (0)   (0)   (1)   (1)  G(1, s) .

Thương ( X , x)/

có một nhóm cấu trúc với phép nhân được định nghĩa

bởi tích của hai con đường đã định nghĩa ở trên. Nghịch đảo của lớp tương

(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois

Luan van


(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois

4

đương [ ] của con đường đóng  kí hiệu là [ 1 ] .

Con đường đóng  1 là đồng luân tương đối I , đến con đường đóng cố
định x : t  x mà chúng đồng nhất của nhóm.
Đồng luân được xác định bởi:

 ( st )
G (t , s )  
 ( s(1  t ))


khi 0  t 
khi

1
2

1
 t 1
2

Tập hợp các lớp tương đương của các con đường đóng tại x kí hiệu là

 1 ( X , x) .
Mỗi phần tử của 1 ( X , x) kí hiệu là [ ] , [ ] , …
Trên 1 ( X , x) ta trang bị một phép nhân [ ][ ]  [ ] .

1 ( X , x) cùng với phép nhân như trên lập thành một nhóm được gọi là
nhóm cơ bản của X (với điểm gốc x ).
Một khơng gian tơpơ được gọi là đơn liên nếu nó là khơng gian tơpơ liên
thơng đường và nhóm cơ bản của nó tại mỗi điểm là tầm thường.
Hai nhóm 1 ( X , x) và 1 ( X , y) với x  y là đẳng cấu nhưng khơng chính

tắc. Thật vậy, vì X là liên thơng đường nên có  : I  X với  (0)  x và
1
 (1)  y. Khi đó ánh xạ     cảm sinh một đẳng cấu 1 ( X , y) 1 ( X , x) mà

chỉ phụ thuộc vào  và vì thế nó khơng chính tắc.
Một ánh xạ f : ( X , x)  (Y , y ) cảm sinh đồng cấu f # : 1 ( X , x)  1 (Y , y) bởi
f # ([ ])  [ f  ] với   1 ( X , x) .

Nếu không gian co rút được thì nhóm cơ bản của nó là tầm thường.
Nếu f : ( X , x)  (Y , y ) là một tương đương đồng luân thì f # là một đẳng
cấu.
Quả cầu S n là đơn liên với n  1 vì mỗi con đường đóng là đồng luân

(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois

Luan van


(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois

5

tương đối I đến con đường đóng cố định. Trong phần này ta chỉ ra rằng
 1 ( S 1 , x)

.

Ta gán cho mỗi con đường đóng trong S 1 số lần mà nó quấn quanh vịng
trịn với dấu dương hoặc âm theo chiều ngược chiều quay kim đồng hồ hoặc
chiều quay kim đồng hồ.

1.2. Không gian phủ
1.2.1. Định nghĩa
Một không gian phủ của một không gian X là một không gian X cùng
với một một ánh xạ p : X  X thỏa điều kiện sau đây:
Với x  X tồn tại một lân cận U x của X để p 1 (U x ) là hợp rời của các tập
mở trong X sao cho p là đồng phôi từ p 1 (U x ) vào U x . Ánh xạ p được gọi là
phủ, không gian X được gọi là không gian đáy của cái phủ và khơng gian X
gọi là khơng gian tồn thể của cái phủ.
Với mỗi x  X thì p 1 ( x) được gọi là thớ đi qua x .
1.2.2. Ví dụ
Ánh xạ exp :  S 1 xác định bởi exp(t )  e2 it .
Lấy điểm x tùy ý trên đường trịn. Ta có x  e2 it với t  .
Xét lân cận U  e2 (t k ) , k    ;   .
Lấy x ' 

sao cho t  2 x ' .


Khi đó exp 1 (U )  {S j  | j  } , trong đó S j   x  | x   x '




1 2 j
1  2 j 
; x '
 .
2
2 

Ta thấy rằng S j là các tập mở rời nhau từng đôi một và exp |S là đồng phôi từ
j

S j vào U .

Vậy

là khơng gian phủ của S 1 .
1.2.3. Ví dụ
Trong ví dụ này ta chỉ ra rằng chùm phân thớ là những phân thớ nghĩa là

(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois

Luan van


(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois

6

thỏa mãn tính chất nâng đồng luân. Lấy  : E  M là một chùm phân thớ với
phân thớ mẩu F và đa tạp cơ sở M . Lấy X là một đơn hình phức hữu hạn và
F : X  I  M là một ánh xạ liên tục sao cho F0  F (.,0)  f : X  M

có một cái

nâng đến Fo' : X  E . Ta muốn chứng minh sự tồn tại của F ' : X  I  E sao
cho  . F '( x, t )  F ( x, t ) và F '( x, 0)  F0' ( x) .
Với

một

sự

phân

chia

X

đủ

nhỏ

và

một

phân

hoạch

0  t0  t1  ...  tr  tr 1  1. Giả sử với mỗi đơn hình c của X và mỗi j ,
F (c  [t j , t j 1 ]) nằm trong một lân cận U ( c , j )  M mà  : E  M là bó tầm thường.
  1 (U ) thỏa điều kiện tầm
Với kí hiệu cố định, ta lấy ánh xạ  U : U  F 

thường hóa địa phương và  2 : U  F  F chỉ phép chiếu trên tọa độ thứ 2. Cho
X s kí hiệu s-cơ sở của X . Bằng quy nạp, ta sẽ mở rộng F . Phép quy nạp

được giả định rằng việc mở rộng được xây dựng từ ( X n 1  [0;1]) ( X n  [0; t j ]) và
xây dựng nó đến ( X n 1  [0;1]) ( X n  [0; t j 1 ]) . Cho c là một n-đơn hình của X để
có một sự mở rộng F , theo giả thuyết quy nạp có cách dựng cho
(c  [0, t j ]) (c  [0, t j 1 ] .

Vì thế j : (c  [t j ]) (c  [t j , t j 1 ])  c  [t j , t j 1 ] là một tạo vết. Có một ánh xạ
 : c  [t j , t j 1 ]  (c  [t j ]) (c  [t j , t j 1 ]) sao cho  . j  id .

Với x  c. và t  [t j , t j 1 ] ta định nghĩa sự mở rộng
F '( x, t )   U( c , j ) ( F ( x, t ),  2 . U1( c , j ) .F '(  ( x, t ))) .

vì  ( x, t )  (c  [t j ] (c  [t j , t j 1 ]) nên F '(  ( x, t ))) được định nghĩa.
Sự mở rộng đáp ứng được yêu cầu.
1.3. Cái nâng
1.3.1. Định nghĩa Cho một phủ p : X  X . Cái nâng của ánh xạ
f : Y  X là ánh xạ f : Y  X sao cho f  p f .

(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois

Luan van


(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois

7

Lý thuyết của không gian phủ phụ thuộc vào hai tính chất quan trọng sau:
1.3.2. Mệnh đề (Tính chất nâng đồng luân)
Cho một không gian phủ p : X  X , một đồng luân ft : Y  X và một cái nâng
f 0 : Y  X của f 0 . Khi đó có duy nhất đồng luân f t : Y  X là cái nâng của ft .

1.3.3. Mệnh đề Ánh xạ cảm sinh p* : 1  X , x0   1  X , x0  là đơn ánh.





Khi đó p* 1  X , x 0  là nhóm con của  1  X , x0  . Nhóm con này gồm có các
lớp đồng luân của các con đường đóng trong X có cơ sở tại x0 mà nó được
nâng từ những con đường đóng trong X có cơ sở tại x 0 .
1.3.4. Định nghĩa Một không gian tôpô X được gọi là liên thơng đường
địa phương nếu nó liên thông đường với mỗi điểm x  X và một tập mở U
chứa x thì có một tập mở V  U chứa x sao cho V là liên thông đường.
1.3.5. Mệnh đề (Tiêu chuẩn cái nâng).
Cho p :  X , x0   ( X , x0 ) là một không gian phủ và f : (Y , y0 )  ( X , x0 ) là
một ánh xạ, với Y là liên thông đường và liên thơng đường địa phương. Khi
đó tồn tại cái nâng

 

f : (Y , y0 )  ( X , x 0 )

của

f

nếu và chỉ nếu



f* ( 1 (Y , y0 ))  p* 1 X , x 0 .

1.3.6. Mệnh đề (Tính chất cái nâng duy nhất).
Cho một khơng gian phủ p : X  X và một ánh xạ f : Y  X với hai cái
nâng f1 , f 2 : Y  X bằng nhau tại một điểm trong Y . Khi đó nếu Y liên thơng
thì hai cái nâng bằng nhau trên Y .
1.4. Phân loại không gian phủ
1.4.1. Định nghĩa Một không gian X được gọi là nửa đơn liên nếu với
mỗi điểm x  X có một lân cận U sao cho i *  1 U , x  là tầm thường.

(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois

Luan van


(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois

8

1.4.2. Định lý Nếu một không gian Y là liên thơng đường và liên thơng
đường địa phương thì Y có một không gian phủ đơn liên nếu và chỉ nếu Y là
đơn liên nửa địa phương.
Chứng minh. Trong phần này ta sẽ chứng minh nếu X là liên thông
đường, liên thơng đường địa phương và nửa đơn liên thì X có một khơng gian
phủ đơn liên và khơng gian phủ này được gọi là không gian phủ phổ dụng.
Chú ý rằng nếu X là khơng gian phủ đơn liên thì cho một điểm x0  X ,
chúng có thể là những điểm không xác định x  X với lớp các con đường đồng
luân [ ] sao cho  (0)  x 0 và  (1)  x . Bằng cái nâng đồng luân thì mỗi con
đường trong X bắt đầu tại x0  p ( x 0 ) nâng đến một con đường trong X bắt đầu
tại x 0 cũng là những đồng luân. Vì vậy các lớp của con đường đồng luân trong

X tương ứng với điểm trong X (bằng cái nâng con đường duy nhất và liên

thông đường thì có một con đường trong X tương ứng với mỗi điểm trong X ).
Ta sẽ định nghĩa không gian phủ phổ dụng chính xác như sau:
X  {[ ]:  là con đường trong X với  (0)  x0 } .

Ánh xạ phủ là p([ ])   (1)
Ánh xạ trên được định nghĩa tốt vì những đồng luân có điểm cuối cố định.
Ta cần trang bị cho X một tôpô p vào một ánh xạ phủ (vì thế ta cần chứng
minh rằng mỗi điểm trong X ln có một lân cận phủ đều và p là liên tục).
Cuối cùng ta cần phải chứng minh X là đơn liên.
Ta sẽ trang bị cho X một tôpô bằng cách xác định một lân cận cơ bản.
Ta sẽ định nghĩa lân cận của mỗi điểm như sau:
Cho U là một tập hợp các tập mở của liên thông đường mà phủ X (điều
này tồn tại vì X là liên thông đường địa phương).
Ta định nghĩa
U[ ]  {[ . ]:  là một con đường trong U với  (0)   (1)}

(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois

Luan van


(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois

9

Chú ý rằng U [ ] chỉ phụ thuộc vào lớp đồng luân của  trong X (cũng
chú ý rằng lớp đồng luân này là lớp đồng luân trong X ) và p : U[ ]  U là toàn
ánh vì U là liên thơng đường.

Ta có nhận xét rằng nếu i* p* : 1 (U[ ] )  1 (U )  1 ( X ) là tầm thường thì p
là đơn ánh vì ( là đồng luân trên X được chọn tùy ý). Nếu X là nửa đơn liên
địa phương thì ta có thể chọn tập hợp A sao cho mỗi U  A có tính chất ánh xạ
thứ 2 trong phép hợp thành là tầm thường và vì thế phép hợp thành là tầm
thường.
Do đó p : U[ ]  U là song ánh.
Khẳng định 1. U[ ]  U[ '] nếu [ '] U[ ] .
Chứng minh. Nếu [ '] U[ ] thì  '  .  trong X . Vì tất cả các phần tử
của U [ '] có dạng [ .  .  ] với một số con đường  trong U . Nhưng  .  là
một con đường thích hợp trong U và do đó U[ ']  U[ ] . Chứng minh U[ ]  U[ ']
tương tự.
Cụ thể ta có nếu [ ] U[ ] U[ '] thì U[ ]  U[ ]  U[ '] . Giả sử [ ] U[ ] U[ '] .
Khi đó U[ ]  U[ ] và V[ ']  V[ ] . Nếu W  U V , W  U và  (1)  W thì
W[ ]  U[ ] V[ '] . Vì mỗi [ ]  X được chứa trong U [ ] nên {U[ ]}[ ] là dạng cơ bản

của một tơpơ. Vì thế ta cần chọn A để mỗi tập hợp là liên thông đường, dẫn
đến tầm thường trong nhóm cơ bản và là một tơpơ cơ bản của X .
Điều này có thể làm như sau: bằng cách lấy A là tập của các tập mở U
của tất cả liên thông đường sao cho 1 (U )  1 ( X ) là tầm thường. Nếu
U

V   thì có một tập mở của liên thơng đường chứa trong phần giao

(quanh điểm bất kỳ) vì X là liên thông địa phương, và sử dụng bao hàm, nó
phải thỏa mãn nhóm cơ bản của các ánh xạ tầm thường vào nhóm cơ bản của
X.

(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois

Luan van

(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois

10

Ta thấy rằng p : U[ ]  U là một đồng cấu. Ánh xạ p là liên lục với mọi
điểm p([ ])   (1)  V  U , với V là tập mở, ta có p(V[ ] )  V . Đó là tập mở vì
mọi điểm [ ]  U[ ] có một lân cận mở V[ '] sao cho ảnh là V  A .
Chứng minh. p : X  X là liên tục.
Cho bất kỳ x  X , x được chứa trong một số tập U  A . Xét các tập U [ ]
với tất cả lớp đồng luân [ ] của những con đường từ x0 đến x . Mỗi tập U [ ] là
đồng cấu đến U thông qua p . Cho bất kỳ hai lớp [ ],[ '] nếu U[ ] U[ ']   thì
hai lớp đó bằng nhau. Vì thế p1 (U ) là một tập hợp của những tập rời nhau
đồng cấu đến U thông qua p.
Khẳng định 2. X là đơn liên.
Chứng minh. Cho x0  X , có một cơ sở tự nhiên X được cho bởi lớp đồng
luân của nút không đổi [ x0 ] . Ta chứng minh rằng X là liên thông đường:
Cho bất kỳ điểm [ ]  X , có một con đường t   |[0;t ]   [s   (st )] trong
X mà liên thông từ [ x0 ] đến [ ] .

Lấy điểm cơ bản của X để thành một nút không đổi [ x0 ] . Cho  ( s ) là một
nút trong X có cơ sở tại [ x0 ] . Khi đó  (s)  p  (s) là một nút trong X có cơ
sở tại x0 .
Khẳng định 3. Con đường  (t )  [ s   ( st )] là cái nâng của  sao cho





 (0)  [ x0 ] bởi vì p  (t )   (t ) , vì thế đó là một cái nâng.

Điều đó diễn đạt bởi những cái nâng duy nhất mà  (t )   (t ). Vì  là một
nút nên ta có  (0)   (1) hay [ x0 ]  [ ]. Vì thế  là đồng luân rỗng. Vì p* là đơn
ánh nên  là đồng luân rỗng do đó X là đơn liên.

(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois

Luan van


(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois

11

1.4.3. Mệnh đề Nếu X 1  X là không gian phủ và X  X là không gian
phủ đơn liên thì X là một khơng gian phủ của X 1 . Vì thế có một bộ sắp thứ tự
riêng của khơng gian phủ.
Chứng minh. Vì 1  X  là tầm thường nên có một cái nâng tiêu chuẩn sao cho
ánh xạ X  X được nâng đến X  X 1 .
Vì vậy một khơng gian phủ đơn liên được gọi là phủ phổ dụng.
1.4.4. Định nghĩa Một đẳng cấu giữa không gian phủ p1 : X 1  X và
p2 : X 2  X là tự đẳng cấu f : X 1  X 2 sao cho p2

f  p1.

1.4.5. Mệnh đề Nếu p1 : X 1  X và p2 : X 2  X là các không gian phủ
và X 1 , X 2 là đơn liên thì các khơng gian phủ đó là đẳng cấu.
1.5. Nhóm con của  1
1.5.1. Mệnh đề Giả sử X là liên thông đường, liên thông đường địa

phương và nửa liên thơng địa phương. Khi đó với mỗi nhóm con H   1  X , x0 





có một khơng gian phủ p : X H  X sao cho p* 1  X H , x0   H với việc chọn
điểm cơ sở x 0  X H thích hợp.
Chứng minh. Lấy X là phủ phổ dụng. Ta biết rằng những điểm trong H
tương ứng với những lớp đồng luân của các con đường trong X . Ta định nghĩa
X H là thương của X bởi quan hệ tương đương
[ '] [ ] nếu  (1)   '(1) và [ .  ']  H .

(Quan hệ trên là một quan hệ tương đương vì H là một nhóm).
Với lân cận U [ ] và U [ '] , nếu [ ] [ '] thì những lân cận của chúng được
xác định bởi [ .  ] [ ' .  ]. Suy ra X H là một không gian phủ.
Chọn x 0 tương ứng với lớp tương đương của nút không đổi tại x0 . Ta có,
nếu [ ]  H thì  nâng đến nút t   |[0,t ]  trong X H ( vì [ ] [ x0 ] ). Tương tự,

(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois

Luan van


(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois

12

nếu  là một nút trong X H cơ sở tại x 0 thì  p   (t ) là một nút trong


 (t )   p  |[0,t ]  . Vì

 

p*  1 X H , x 0

và

là một nút nên ta có [ p  ]  H . Vì thế

  H .

1.5.2. Mệnh đề Hai không gian phủ p1 : X 1  X và p2 : X 2  X là đẳng
cấu qua một phép đẳng cấu 







sao cho   x1   x 2 nếu và chỉ nếu



( p1 )*1 X 1 , x1  ( p2 )*1 X 2 , x2 .

Chứng minh. Nếu  đẳng cấu thì p1  p2 và p2 1  p1 , do đó

















( p1 )*1 X 1 , x1  ( p2 )*1 X 2 , x2 . Ngược lại, nếu ( p1 )*1 X 1 , x1  ( p2 )*1 X 2 , x2 thì

ta có thể nâng các ánh xạ phủ bởi cái nâng duy nhất (khi các điểm cơ sở là đặc
biệt), ta được một đẳng cấu.
Giả sử rằng p1 : X 1  X và p2 : X 2  X là các đẳng cấu qua ánh xạ
 : X 1  X 2 . Ta cần chứng minh rằng hai tương ứng với cùng lớp liên hợp





trong 1 ( X ) . Theo mệnh đề, ta có ( p1 )* 1  X 1 , x1   ( p2 )* 1 X 2 ,   x1  .
Tuy



nhiên,

 

với



bất

điểm

kỳ

khác

x 2  p2 1 ( x0 ) ,

ta

có



1 X 2 ,  x1   h  1 X 2 , x 2  với con đường h nào đó vì X 2 là liên thơng



đường. Vì h là con đường từ   x1  đến x 2 nên nó tương ứng với một nút trong
X

và

do



đó



có

một



phần

tử

g   1  X , x0 

sao

cho

 

g 1 ( p2 )*  1 X 2 , x 2  g  ( p2 )*  1 X 2 ,  x1 .



Bao hàm thức còn lại chứng minh tương tự.
Ngược lại, cho một nhóm H   1  X , x0  và một nhóm con liên hợp g 1Hg ,
ta có cái nâng g và nó tạo ra một tự đẳng cấu của khơng gian phủ cho H .
1.6. Phép biến đổi phủ

(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois

Luan van


(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois

13

1.6.1. Định nghĩa Một tự đẳng cấu của không gian phủ X  X được gọi
là một phép biến đổi phủ. Tập hợp các phép biến đổi phủ của X lập thành một
nhóm kí hiệu là G  X  .
 S1 , phép biến đổi phủ là phép tịnh tiến của

1.6.2. Ví dụ Cho

1.6.3. Ví dụ Cho một phủ n  tờ
thành nhóm

n

S1  S1 ,

.

các phép biến đổi phủ lập

.

1.6.4. Định nghĩa Một không gian phủ X  X là chuẩn tắc nếu mỗi
x  X và mỗi cặp nâng x, x '  p 1 ( x) ta có một phép biến đổi phủ từ x đến x ' .

1.6.5. Mệnh đề Cho p :  X , x0    X , x  là một không gian phủ liên thông
đường của không gian liên thông đường, liên thông đường địa phương và đặt





H  p*1 X , x0  1  X , x0 

Khi đó:
(1) Nhóm của phép biến đổi phủ G  X  là đẳng cấu vào N ( H ) / H với
N ( H ) là nhóm con chuẩn tắc hóa.

(2) Khơng gian phủ là chuẩn tắc nếu H là một nhóm con chuẩn tắc của
 1  X , x0  .

1.6.6. Định lý Nếu X là một phủ chuẩn tắc thì G  X   1  X , x0  / H . Do đó
nếu X là phủ phổ dụng thì G  X   1  X , x0  .

Chứng minh. Ta dễ thấy rằng việc chuyển cơ sở từ x 0 đến x1 tương
đương với liên hợp của p*1  X , x0  trong  1  X , x0  bởi một phần tử
[ ]   1  X , x0  .

Vì thế [ ]  N ( H ) nếu p*1  X , x0   1  X , x1  .
Bằng phép nâng tiêu chuẩn, đây là tương đương với sự tồn tại của phép
biến đổi phủ từ x 0 đến x1 . Khơng gian phủ là chuẩn tắc nếu có một tập đầy đủ

(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois

Luan van


(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois

14

của phép biến đổi phủ, mà nó tương đương với N ( H )   1  X , x0  .
Ta phải chứng minh rằng có một tồn ánh  : N ( H )  G  X  chuyển [ ]
thành phép biến đổi phủ  ([ ]) từ x 0 đến x1 (với  là cái nâng của  sao cho
 (0)  x 0 và  (1)  x1 ). Chú ý rằng đây là một đồng luân: vì nếu [ ],[ ]  N ( H )

thì ta thấy rằng  . ' nâng đến  .   . Vì phép biến đổi phủ được định nghĩa





bởi x 0 đến   '  x 0  và do đó [ . '] tương đương với  '.
Hạt nhân của  gồm những con đường đóng [ ]  N ( H ) mà nâng đến

những con đường đóng hay p*1  X , x0   H .
Vì phủ phổ dụng có nhóm phép biến đổi phủ bằng với nhóm cơ bản, do
đó nếu ta biết nhóm cơ bản thì ta có thể xây dựng phủ phổ dụng bằng cách bắt
đầu với một lân cận của điểm cơ sở và sau đó sử dụng nhóm cơ bản như nhóm
các phép biến đổi phủ để thấy phần cịn lại của khơng gian phủ.
Xét

2

 S 1  S 1 . Ví dụ xét phủ phổ dụng của chai Klein, mà nó được xây

dựng từ miền cơ bản bằng cách đặt hai hình trịn với nhau để tạo ra một hình
xuyến và sau đó tịnh tiến đến tất cả điểm của
đổi phủ là



2

. Ta có nhóm các phép biến



 , với  m1 , n1  m2 , n2   m1  (1)n1 m2 , n1  n2 . Vì

2

là đơn liên nên

nhóm này đẳng cấu với nhóm cơ bản, mà ta đã tính là a, b | abab1  1 .

Ta có thể chỉ ra rằng những nhóm này là đẳng cấu xác nhận ngay lập tức
điều sau:
: *  

được sinh bởi:  (a)  (1, 0) và  (b)  (0,1).
Suy ra
(am )  (m,0)
(bn )  (0, n)
(a mbn )  (m, n)

(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois

Luan van


(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois

15

(abab1 )  (0,0)

Vì thế ta biết rằng  là tồn ánh và nhóm con chuẩn tắc đó được sinh bởi
abab 1 là hạt nhân. Ta có đây là tồn bộ hạt nhân bởi xét ánh xạ cảm sinh:

 : a, b | abab1  1   .

Vì ab  ba 1 nên cho phép một cách viết bất kỳ phần tử của nhóm
a, b | abab1  1 như a m b n và ánh xạ từ a m b n đến



là toàn ánh nên  là một

đẳng cấu.
1.6.7. Định nghĩa Một tác động của nhóm G lên không gian Y là một
đơn cấu G  Homeo(Y ) trong đó Homeo(Y ) là tập hợp các phép đồng phôi từ
Y  Y.

Ta gọi là tác động không gian phủ nếu với mỗi y  Y có một lân cận U

của y sao cho tất cả ảnh của U là rời nhau (nghĩa là g1 (U ) g2 (U )   thì
g1  g2 ).

1.6.8. Định nghĩa Cho một tác động nhóm G trên một khơng gian Y .
Không gian quỹ đạo Y / G là không gian của các quỹ đạo Gy : y  Y  cho bởi
tôpô thương Y /

với y

y ' nếu Gy  Gy '. .

Ví dụ. Cho một khơng gian phủ chuẩn tắc X  X với nhóm phép chuyển
đổi phủ G  X  , ta có X / G  X   X .
1.6.9. Mệnh đề Nếu G là tác động khơng gian phủ trên một khơng gian
Y thì:

(1) Ánh xạ thương là không gian phủ chuẩn tắc.
(2) G là nhóm các phép biến đổi phủ nếu Y là liên thông đường.
(3) G là đẳng cấu với  1 Y / G  / p* 1 (Y ) nếu Y là liên thông đường và liên
thông đường địa phương.

Chứng minh. Cho một tập mở U như trong định nghĩa của không gian
phủ tác động. Tập thương coi như là những tập rời g (U ) . Với tôpô thương, p

(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois

Luan van


(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois

16

là đồng cấu hạn chế từ g (U ) lên ảnh p (U ) của nó với mỗi g  G và rõ ràng
chúng có thể áp dụng với bất cứa phần tử nào trong phân thớ đến bất kỳ phần
tử khác (áp dụng từ g ( x0 ) đến g '( x0 ), thường là sử dụng phần tử g ' g 1 ).
Dĩ nhiên G là một nhóm con của nhóm các phép biến đổi phủ. Nếu Y là
liên thơng đường thì các phép biến đổi phủ là được xác định duy nhất tại nơi
mà chúng phát đi một điểm (bởi cái nâng duy nhất) vì thế G phải là tồn bộ
nhóm các phép biến đổi phủ.
1.6.10. Hệ quả Nếu Y là đơn liên và G là không gian phủ tác động
trên Y thì  1 Y / G   G.
Theo đẳng cấu này, một con đường đóng trong Y / G tương ứng với
một phần tử g  X như phép chiếu của một con đường từ điểm cơ sở y0  Y
đến g ( y0 ).
1.6.11. Ví dụ Khơng gian

n
P n đẳng cấu với S /

2

với nhóm

2

được

tạo thành bởi ánh xạ xuyên tâm đối x   x. Chú ý rằng đây là một tác động
không gian phủ. Do S n ( n  2 ) là đơn liên nên 1  P n  

2

với n  2 . Nó được

tạo thành từ một con đường đóng giữa hai điểm xuyên tâm đối.

(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois

Luan van


(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois

17

Chương 2. PHÉP CHIẾU PHỦ VÀ NHÓM CƠ BẢN
Trong chương này, chúng ta nghiên cứu về tích tự do, cấu trúc của
khơng gian phủ và định lí Van Kapen, định lý này là cơng cụ quan trọng dùng
để tính nhóm cơ bản. Để chuẩn bị cho cơng việc đó chúng tơi giới thiệu nhóm
tự do G  H của hai nhóm G và H . Theo đại số của tích tự do của nhóm đóng

một vai trị quan trọng trong việc tính các nhóm cơ bản. Ta kí hiệu các phần tử
của các nhóm G và H lần lượt là g j và hk .
2.1. Tích tự do
2.1.1. Định nghĩa Tích tự do G  H là tập hợp các phần tử có dạng
g1h1 g2 h2 ...gl hl , h1 g1h2 ...hl gl , g1h1g2h2 ...hl 1gl , h1g1h2 ...gl 1hl ( l là số nguyên bất kì)

với phép nhân được định nghĩa như sau:
( gi1 ...hil )(h j1 g j1 ...)  gi1 ...(hil h j1 ) g j1 ....

Ta chứng minh được G  H là một nhóm.
G  H là một nhóm vơ hạn trừ phi cả G và H là các nhóm hữu hạn và

một trong hai nhóm đó là nhóm tầm thường 1 phần tử.
2.1.2. Định nghĩa Cho nhóm A và các đồng cấu 1 : A  G, 2 : A  H .
Ta định nghĩa G A H là nhóm thương của G  H bởi nhóm con chuẩn tắc sinh
bởi các phần tử có dạng 1 (a) 2 (a 1 ) (và các phần tử liên hợp của nó). Rõ ràng
G A H chỉ phụ thuộc vào các đồng cấu 1 , 2 .

2.1.3. Tính chất Cho X và Y là các khơng gian tơpơ. Khi đó:
1. 1 ( X  Y ,( x, y))  1 ( X , x)  1 (Y , y),
2. Cho X  Y là không gian có được bằng cách dán X với Y tại điểm
x  X và y  Y . Ta có: 1 ( X  Y , x  y) đẳng cấu với tích tự do của 1 ( X , x) và

1 (Y , y) .
Chứng minh.

(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois

Luan van

(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois

18

(1) được suy ra từ định nghĩa của phép chiếu X  Y  X và X  Y  Y .
(2) có thể thấy ngay vì khơng có mối quan hệ nào giữa các con đường
đóng trong X và Y .
Ta có  1 ( S 1 , x) Z , do đó nhóm cơ bản của n  hình xuyến đẳng cấu với

n

.

2.2.4. Ví dụ Xét nửa khơng gian H 3  {( x, y, z ) | z  0}. Cho C1 , C2 ,..., Cn là
nửa đường tròn hoặc H  đường cong với các điểm cuối trên mặt phẳng z  0
và nằm trên mặt phẳng trực giao với mặt phẳng này. Sự phân tích trong ví dụ
này được áp dụng cho nhiều cung trịn Ci .
Giả sử Ci rời nhau và cho C  Ci . Lấy v  (v1 , v2 , v3 )  H 3 với v3 lớn. Ta
có  1 ( H 3 \ C ; v) đẳng cấu với nhóm tự do Fn trên n phần tử sinh. Một tập A
gồm các phần tử sinh 1 ,...,  n của nhóm cơ bản là các con đường đóng đã xác
định hướng. Ta cũng gán các hướng cho các cung tròn Ci . Cho P là mặt
phẳng trực giao với z  0 sao cho phép chiếu trực giao của mỗi cung tròn Ci
lên P là tương ứng 1 1 . Khơng mất tính tổng qt để gán hướng cho Ci và  i
sao cho bất cứ cung tròn  i đứng sau Ci thì chiều của  i theo chiều của Ci là 1
hướng cơ bản dương đối với mặt phẳng P . Ta phải cố định mặt phẳng P thì
bất cứ  i phía sau hoặc phía trước Ci tại một điểm nơi mà phép chiếu trực giao
của chúng trên P giao nhau. Xét một con đường đóng được định hướng  với
điểm cơ bản. Ta muốn mô tả lớp đồng luân của [ ] trong hệ sinh 1 ,...,  n . Ta
thấy hình chiếu của  trên mặt phẳng P và xác định tại bất cứ mỗi giao điểm

của phép chiếu của  với  i của chúng nơi mà  phía sau  i hoặc trước. Ta
chỉ xét những điểm mà  ở phía sau một trong những Ci . Dọc theo  tại điểm
đầu  ở phía sau C2 . Cặp sắp thứ tự bao gồm tiếp tuyến định hướng dương
đến  và C2 từ một cơ sở định hướng dương của

2

. Ta đặt điểm này là  2 .

Tại các điểm tiếp theo có liên quan đến  ở phía sau C1 nhưng cặp sắp thứ tự

(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois

Luan van


(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois

19

của các tiếp tuyến sẽ định hướng âm. Ta nhân  2 với 11 để thu được 11  2 .
Dọc theo đường cong  , cuối cùng ta thu được 1 2 3 11 2 . Đây là biểu thức
cho [ ] nằm trong hệ sinh {i } của  1 ( H 3 \ C ; v) .
2.2. Cấu trúc của không gian phủ
Trong phần này ta liên hệ giữa nhóm cơ bản với khơng gian phủ và điều
cốt yếu là muốn phát triển một phương pháp luận cho việc xây dựng cấu trúc
của không gian phủ. Các kết quả trong phần này chúng tôi tham khảo từ tài
liệu số [9] và được trình bày lại dưới dạng sơ cấp hơn.
Cho một không gian phủ ( E , p, B) . Khi đó có ánh xạ cảm sinh của nhóm
cơ bản # : 1 ( E, e)  1 ( B, b) với  (e)  b và được xác định bởi # ([ ])  [  ] .

Ta có:
2.2.1. Mệnh đề # là ánh xạ 1 1 .
Chứng minh. Cho [ ]  1 ( E, e) và giả sử rằng # ([ ])  e  1 ( B, b) thì

# ([ ]) là đồng luân của ánh xạ hằng b : I  b . Cái nâng đồng luân E (mà nó
có thể từ  là cái nâng của  đến E ) và chú ý rằng ánh xạ hằng nhất thiết
nâng đến ánh xạ hằng bởi vì tính rời rạc của phân thớ, ta mong muốn đồng
luân giữa và ánh xạ hằng.
Tính chất nâng con đường đảm bảo rằng bất kỳ con đường đóng  : I  B ,
với  (0)  b ln có duy nhất cái nâng  ' : I  E với  '(0)  e , tuy nhiên cái
nâng  ' có thể khơng phải là con đường đóng. Nếu  ' là con đường đóng thì
cái âng khác  '' : I  E với  ''(0)  e'   1 (b) có thể khơng là con đường đóng.
Một phép chiếu phủ với tính chất hoặc tất cả cái nâng của nó đều là con
đường đóng hoặc khơng có cái nâng nào là con đường đóng được gọi là chính
quy.
2.2.2. Mệnh đề # (1 ( E, e)) gồm có các lớp đồng luân của các con đường
đóng  : ( I , I )  ( B, b) mà nó nâng đến ( E , e) là các con đường đóng. Khi đó

(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois

Luan van


(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois

20

# (1 ( E, e)) là nhóm con chuẩn tắc của 1 ( B, b) nếu và chỉ nếu ( E , p, B) là một
khơng gian phủ chính quy. Vì thế phủ chính quy 1 ( B, b) / # (1 ( E, e)) là một
nhóm.

Chứng minh. Khẳng định đầu tiên là hiển nhiên.
Cho  : I  B với [ ]  1 ( B, b) và  : I  E với [ ]  1 ( E, e) . Ta có thể
nâng 

thành  ' : I  E với  '(0)  e . Nâng  thành (  ) ' : I  E với

(  ) '(0)   '(1) . Do ( E , p, B) là một khơng gian chính quy nên (  ) ' là một con

đường đóng. Ta có

 '1 (  )' '

là một phần tử của

1 ( E, e)

và

# ([ '1 (  ) '  '])  [ ]1[ ][ ] chứng minh tính chuẩn tắc của # (1 ( E, e)) .

Ngược lại, nếu  : I  E với   0   e và  1  e' (với e'   1  b  ) thì
# (1 ( E, e' ))     # (1 ( E, e))    .
1

Do đó nếu # (1 ( E, e)) là chuẩn tắc thì tập hợp các lớp đồng luân của các
con đường đóng mà cái nâng của chúng đến ( E, e' ) là các con đường đóng thì
( E , p, B) là khơng gian phủ chính quy.

Một nhóm  tác động gián đoạn thật sự (bên trái) vào một không gian X
nếu với mỗi x  X có một lân cận U của x sao cho với mọi e     ta có

U

 (U )   .

Chú ý rằng nếu  tác động gián đoạn thật sự thì X   \ X là một phép
chiếu phủ. Ta sẽ chứng minh rằng tất cả các phép chiếu phủ chính quy đều có
dạng này. Cho một phép chiếu phủ ( E , p, B) , đặt   1 ( B, b) / # (1 ( E, e)) . Cho
'
   và  : I  B là con đường đóng với  '  0    ' 1  b tương ứng với  .

Với x E , cho  : I  E là con đường với   0   e và  1  x . Gọi  '' là cái
nâng của  ' với  ''  0   e và L( x,  ' ) : I  E là cái nâng của p với
L( x,  ' )  0    '' 1 .

(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois(Luan.van.thac.si).khong.gian.phu..ung.dung.tinh.nhom.co.ban.va.lien.quan.den.ly.thuyet.galois

Luan van