Đề toán cao cấp tổng hợp

1

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
HỘI ĐỒNG RA ĐỀ THI MÔN HỌC, HỌC PHẦN

Độc lập - Tự do – Hạnh phúc


NGÂN HÀNG ĐỀ THI
Môn: ĐẠI SỐ

Ban hành kèm theo Quyết định số: ………/QĐ-TTĐT1của Giám
đốc Học viện Công nghệ Bưu chính viễn thông ký ngày /04/2006

DÙNG CHO ĐÀO TẠO HỆ ĐẠI HỌC TỪ XA NGÀNH VIỄN THÔNG, CÔNG NGHỆ THÔNG TIN
THỜI GIAN : 120 phút
MỖI ĐỀ 4 CÂU
( một câu loại 1, một câu loại 2, một câu loại 3 và một câu loại 4)



A. LOẠI CÂU HỎI 1 ĐIỂM
Câu 1:
D
C
B
A
,
,
,

là tập con của
E
. Chứng minh rằng:
Nếu
D
C
B
A


,
thì
D
B
C
A
D
B
C
A






,
.
Câu 2:
D

C
B
A
,
,
,
là tập con của
E
. Chứng minh rằng:
Nếu
B
A
C
A
B
A
C
A






,
thì
B
C

.

Câu 3: Hệ véc tơ sau của không gian
3

độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính
1 2 3
(1,2, 3); (1, 3,2); (2, 1,5)
v v v
     
.
Câu 4: Tìm hạng của hệ véc tơ sau của không gian
3

:
1 2 3
(2,3,4); (5, 3,1); (0,7, 2)
v v v
    
.
Câu 5: Tìm hạng của hệ véc tơ sau của không gian
3

:

1
(1, 1, 1)
v
  
;
2
(4, 3, 1)

v
  
;
3
(3, 1,3)
v
 
.
Câu 6: Tính định thức
1 3 9
1 5 25
1 7 49
D 
.
Câu 7: Tính định thức
8 6 7
5 8 5
6 5 4
D 
.
Câu 8
: Cho















32
23
10
A
,















14
21
32
B

. Tính
t
AB
.

2

Câu 9: Tính tích ma trận
2 5 6 3 1 4 2
1 2 5 0 2 1 5
1 3 2 4 6 3 1

   
   

   
   

   
.
Câu 10: Cho ma trận
1 3 4
5 3 3
2 1 4
A
 
 
  
 
 


 
, hãy tính
2
4 4
A A I
 
.
Câu 11: Cho hai ánh xạ tuyến tính
23
:,  gf
có công thức xác định ảnh
( , , ) ( 2 3 ,2 )
f x y z x y z x y z
    
,
( , , ) (2 , 2 )
g x y z x y z x y
    
.
Viết ma trận của
3 4
f g

trong hai cơ sở chính tắc.
Câu 12: Cho ánh xạ tuyến tính
2 3
:f 
 
và

3 2
:g 
 
có công thức xác định ảnh
( , ) ( 2 , , 3 4 )
f x y x y x x y
   
,
( , , ) ( 2 5 ,3 4 )
g x y z x y z x y
   
.
Viết ma trận của
g f

trong cơ sở chính tắc.
Câu 13: Tìm hạng của ma trận:
8 4 6 2
3 1 4 2
6 2 8 3
A
 
 

 
 
 
.
Câu 14: Tìm hạng của ma trận:
5 2 3 1

4 1 2 3
1 1 1 2
A
 
 

 
 

 
.
Câu 15: Tìm
, ,
x y z
và
w
nếu
6 4
3
1 2 3

     
 
     
 
     
x y x x y
z w w z w
.

B. LOẠI CÂU HỎI 2 ĐIỂM
Câu 1: Rút gọn công thức sau của đại số Boole:















' ' ' '
A x y z y z y z x x z x z y
            
   
   
.
Câu 2
: Rút gọn công thức sau của đại số Boole:
















' ' ' '
A x z x z y x y z y z y z x
            
   
   
.
Câu 3: Tìm tất cả các giá trị của
m
để véc tơ
(1,3,5)
u

biểu diễn được thành tổ hợp tuyến
tính của các véc tơ:
1
(3,2,5)
v

,

2
(2,4,7)
v

,
3
(5,6, )
v m

.
Câu 4: Tìm tất cả các giá trị của
m
để
(7, 2, )
u m
 
biểu diễn được thành tổ hợp tuyến tính
của:
1
(2,3,5)
v

,
2
(3,7,8)
v

,
3
(1, 6,1)

v
 
.

3

Câu 5: Tìm điều kiện của
a
,
b
,
c
để hệ phương trình sau có nghiệm
2 3
2 6 11
2 7
x y z a
x y z b
x y z c
  


  


  


Câu 6: Viết
3 1

1 2
E

 

 
 
thành tổ hợp tuyến tính của:
1 1
0 1
A
 

 

 
,
1 1
1 0
B
 

 

 
và
1 1
0 0
C


 

 
 
.
Câu 7: Viết
2 1
1 2
E
 

 
 
 
thành tổ hợp tuyến tính của:
1 1
0 1
A
 

 

 
,
1 1
1 0
B
 

 


 
và
1 1
0 0
C

 

 
 
.
Câu 8: Biểu diễn véc tơ
(3,6, 6,0)
u
 
thành tổ hợp tuyến tính của 3 véc tơ sau:
1
(3,2, 4,1)
v  
,
2
(1,5,0,3)
v 
,
3
(4,3, 2,5)
v  
.
Câu 9: Chứng tỏ rằng hệ véc tơ

1 2 3
(1, 1,1); (2,1, 3); (3,2, 5)
v v v
     
là một cơ sở
của không gian
3

. Tìm toạ độ của véc tơ
(5,3, 4)
u
 
trong cơ sở này.
Câu 10
: Chứng tỏ rằng hệ véc tơ
1 2 3
(5,3, 8); (3,2, 5); (4,1, 4)
v v v
     

là một cơ sở của không gian
3

. Tìm toạ độ của véc tơ
)
7
,
2
,
6

(


u
trong cơ sở này.
Câu 11
: Chứng tỏ rằng hai hệ véc tơ:


)1,7,3(;)3,3,2(;)1,2,1(
321



vvv



)6,1,1(,)1,2,5(,)4,1,3(
321




uuu

là hai cơ sở của không gian
3

. Tìm ma trận chuyển từ cơ sở thứ nhất sang cơ sở thứ hai.

Câu 12: Giải và biện luận theo tham số
m
hệ phương trình tuyến tính:
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
8 12 8 3
4 6 3 2 3
2 3 9 7 3
2 3 1
x x mx x
x x x x
x x x x
x x x x
   


   


   


   


Câu 13: Giải và biện luận theo tham số
m
hệ phương trình tuyến tính:

1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
5 3 2 4 3
7 3 7 17
4 2 3 7 1
8 6 5 9
x x x x
x x x x m
x x x x
x x x x
   


   


   


   



4

Câu 14: Cho hai ma trận
2 3
1 3

A

 

 
 
và
6 2
12 8
B

 

 
 
. Tìm ma trận
X
thỏa mãn
AX B


Câu 15: Cho hai ma trận
5 3
4 2
A
 

 
 
và

2 3
1 4
B
 

 
 
. Tìm ma trận
X
thỏa mãn
XA B




C. LOẠI CÂU HỎI 3 ĐIỂM
Câu 1: Đặt


4
1
( , , , ) 0; 2
V x y z t x y z t
    
,


4
2
( , , , ) 0

V x y z t y z t
    

.
Hãy tìm chiều và một cơ sở của các không gian con
1
V
,
2
V
,
1
V

2
V
. Suy ra chiều của
1 2
V V

.
Câu 2: Đặt
1
V
,
2
V
lần lượt là hai không gian véc tơ con của
4


gồm các véc tơ
),,,(
4321
xxxxv

thoả mãn hệ phương trình (I) và hệ phương trình (II):
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
4 5 2 3 0
( ) 3 5 6 4 0
2 4 3 0
x x x x
I x x x x
x x x x
   


   


   

,
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 3 2 0
( ) 4 7 5 6 0
2 2 0

x x x x
II x x x x
x x x x
   


   


   


Hãy tìm số chiều của các không gian con
1
V
,
2
V
,
1
V
+
2
V
,
1
V

2
V

.
Câu 3: Trong không gian
4

xét các véc tơ:
)3,1,4,2(
1


v
;
)2,1,2,1(
2


v
;
)3,2,2,1(
3


v
;
)7,3,8,2(
1


u
;
)1,1,0,1(

2


u
;
)8,4,8,3(
3


u
.
Đặt
1
V
,
2
V
là hai không gian véc tơ con của
4

lần lượt sinh bởi hệ véc tơ


321
,, vvv

và


321

,, uuu
. Hãy tìm số chiều của các không gian con
1
V
,
2
V
,
1
V
+
2
V
,
1
V

2
V
.
Câu 4: Trong không gian
4

xét các véc tơ:
1
(2,1,2,1)
v 
;
)3,2,4,3(
2


v
;
3
v (2,3,1,2)

;
)3,1,1,1(
1



u
;
)1,0,1,1(
2


u
;
3
(1,1,1,1)
u

.
Đặt
1
V
,
2

V
là hai không gian véc tơ con của
4

lần lượt sinh bởi hệ véc tơ


321
,, vvv

và


321
,, uuu
. Hãy tìm số chiều của các không gian con
1
V
,
2
V
,
1
V
+
2
V
,
1
V


2
V
.
Câu 5: Cho ánh xạ tuyến tính
33
:  f
có công thức xác định ảnh
( , , ) ( 3 4 ,3 6 , 5 )
       
f x y z x y z x y z x y z
.
a) Chứng minh rằng định thức ma trận chính tắc của
f
khác không.
b) Tìm công thức xác định ảnh của ánh xạ ngược
),,(
1
zyxf

.

5

Câu 6: Cho ánh xạ tuyến tính
33
:  f
có công thức xác định ảnh
( , , ) ( 2 2 ,3 , )
     

f x y z x y z x y x y z
.
a) Chứng minh rằng định thức ma trận chính tắc của
f
khác không.
b) Tìm công thức xác định ảnh của ánh xạ ngược
),,(
1
zyxf

.
Câu 7: Tự đồng cấu tuyến tính
f
có ma trận ứng với cơ sở


4321
,,, eeee
là















3121
1352
2103
1021
A
. Hãy tìm ma trận của
f
trong các cơ sở sau:
a)


4231
,,, eeee
b)


4321321211
,,, eeeeeeeeee






.
Câu 8
: Cho ánh xạ tuyến tính

4 4
:f 
 
xác định bởi:
( , , , ) (2 3 5 8 ,3 2 , , 4 5 9 )
f x y z t x y z t x y z t x y t x y z t
            

a) Viết ma trận của
f
trong cơ sở chính tắc của
4

.
b) Tìm một cơ sở của
Ker
f
và
Im
f
.
Câu 9: Cho ánh xạ tuyến tính
33
:  f
có ma trận trong cơ sở chính tắc là

2 1 1
2 6 5
6 4 7
A


 
 

 
 
 

a) Viết công thức xác định ảnh
( , , )
f x y z
.
b) Tìm một cơ sở của
Ker
f
và
Im
f
.
Câu 10: a) Chứng tỏ
)3,2,1(
1

v
,
)3,5,2(
2

v
,

)10,0,1(
3

v
là một cơ sở của
3

.
b) Cho ánh xạ tuyến tính
23
:  f
xác định bởi
)0,1()(
1

vf
,
)0,1()(
2

vf
,
)1,0()(
3

vf
. Tìm công thức xác định ảnh
),,( zyxf
.
Câu 11: Cho

f
là ánh xạ từ không gian véc tơ các ma trận vuông cấp 2 vào chính nó xác
định bởi công thức:
( )
f A AM MA
 
, trong đó
1 2
0 3
M
 

 
 
.
a) Chứng minh
f
là một ánh xạ tuyến tính.
b) Tìm một cơ sở của
Ker
f
.
c) Tìm hạng của
f
.

6

Câu 12: Cho
f

là ánh xạ từ không gian véc tơ các ma trận vuông cấp 2 vào chính nó xác
định bởi công thức:
( )

f A MA
, trong đó
1 1
2 2

 

 

 
M
.
a) Chứng minh
f
là một ánh xạ tuyến tính.
b) Tìm một cơ sở của
Ker
f
.
c) Tìm một cơ sở của
Im( )
f
.
Câu 13: Trong không gian
3


xét các không gian véc tơ con:


( , , ) : 0
   
U x y z x y z
,


( , , ):
 
V x y z x z
,


(0,0, ):
 
W z z

.
Chứng minh rằng: (i)
3
 
U V

, (ii)
3
 
U W


, (iii)
3
 
V W

.
Trường hợp nào ở trên là tổng trực tiếp.
Câu 14: Cho hai véc tơ
1
(1, 3,2)
u  
và
2
(2, 1,1)
u  
của không gian véc tơ
3

.
a) Biểu diễn véc tơ
(1,7, 4)
v
 
thành tổ hợp tuyến tính của hai véc tơ
1
u
,
2
u
.

b) Tìm tất cả các giá trị
k
để véc tơ
(1, ,5)
w k

biểu diễn được thành tổ hợp tuyến
tính của hai véc tơ
1
u
,
2
u
.
Câu 15: Cho hai véc tơ
1
(2,1, 1)
u
 
,
2
(1,2, 3)
u
 
của
3

.
a) Viết
(2, 5,9)


thành tổ hợp tuyến tính của hai véc tơ
1
u
,
2
u
.
b) Tìm điều kiện
, ,
x y z
để
( , , )
x y z
viết được thành tổ hợp tuyến tính của hai véc tơ
1
u
,
2
u
.

D. LOẠI CÂU HỎI 4 ĐIỂM
Câu 1
: Cho ánh xạ tuyến tính
3 3
:f 
 
xác định bởi:

( , , ) (3 ,2 4 2 , 3 )
f x y z x y z x y z x y z
      

a) Hãy viết ma trận
A
của ánh xạ
f
trong cơ sở chính tắc.
b) Tính
det( )
A
.
c) Tìm ma trận
P
sao cho
1
P AP
có dạng chéo.
Câu 2: Cho ánh xạ tuyến tính
3 3
:f 
 
xác định bởi:

( , , ) ( 5 3 3 , 3 3 , 6 6 4 )
         
f x y z x y z x y z x y z

a) Hãy viết ma trận

A
của ánh xạ
f
trong cơ sở chính tắc.
b) Tính
det( )
A
.
c) Tìm ma trận
P
sao cho
1
P AP
có dạng chéo.
Câu 3
: Cho ánh xạ tuyến tính
3 3
:f 
 
xác định bởi:

7


( , , ) ( 3 , 3 5 , 3 3 )
f x y z x y z x y z x y z
         

a) Viết ma trận
A

của
f
trong cơ sở chính tắc.
b) Tính
det( )
A
.
c) Tìm một cơ sở của
3

để ma trận của
f
trong cơ sở này có dạng chéo.
Câu 4: Cho ánh xạ tuyến tính
4 4
:f 
 
xác định bởi:

( , , , ) ( , , , )
f x y z t x y z at x y az t x ay z t ax y z t
            

1) Viết ma trận của
f
trong cơ sở chính tắc.
2) Tìm các giá trị
a
để:
a)

f
là một đẳng cấu;
b)
1
dimKer
f

.
Câu 5: Cho ánh xạ tuyến tính
3 3
:f 
 
xác định bởi:

( , , ) (3 2 4 , 2 2 , 4 2 3 )
f x y z x y z x z x y z
     

a) Viết ma trận của
f
trong cơ sở chính tắc.
b) Tìm một cơ sở của
3

để ma trận của
f
trong cơ sở này có dạng chéo. Viết ma
trận của
f
trong cơ sở này.

Câu 6: Cho ma trận














313
311
513
m
m
m
A
;


m
.
a) Với giá trị nào của
m
thì tồn tại ma trận nghịch đảo

1
A
.
b) Cho
1


m
tìm
1
A
.
Câu 7: Cho ma trận











41
14
23
m
m
m

A
;


m
.
a) Với giá trị nào của
m
thì tồn tại ma trận nghịch đảo
1
A
.
b) Cho
2

m
tìm
1
A
.
Câu 8
: Cho dạng song tuyến tính

của không gian véc tơ
2

xác định bởi:


1 1 2 2 1 2 1 2 1 2

( , );( , ) 3
x y x y x x x y y y
   

a) Viết ma trận
A
của

trong cơ sở


1 2
(1,0), (1,1)
u u 
.
b) Viết ma trận
B
của

trong cơ sở


1 2
(2,1), (1, 1)
v v
  
.

8

c) Tìm ma trận chuyển từ cơ sở


1 2
,
u u
sang cơ sở


1 2
,
v v
, và nghiệm lại rằng
t
B P AP

.
Câu 9: Cho dạng toàn phương
3
:Q

 
xác định bởi:

2 2 2
( , , ) 5 2 2 4
Q x y z x y z xy xz yz
      

a) Viết ma trận của

Q
trong cơ sở chính tắc.
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số

để
Q
là dạng toàn phương xác định dương.
Câu 10
: Cho dạng toàn phương
3
:Q

 
xác định bởi:

2 2 2
( , , ) 14 17 14 4 8 4
Q x y z x y z xy xz yz
     
.
a) Viết ma trận của
Q
trong cơ sở chính tắc.
b) Tìm một cơ sở trực chuẩn của
3

để biểu thức toạ độ của
Q
trong cơ sở này có
dạng chính tắc.

Câu 11
: Cho ma trận
5 3 3
3 1 3
6 6 4
A

 
 
 
 
 

 
.
a) Tìm ma trận
P
sao cho
AP
P
1

có dạng chéo.
b) Tính


5 3
det 4 6
A A I
 

.
Câu 12
: Cho ánh xạ tuyến tính
3 3
:f 
 
xác định bởi:

( , , ) (2 , 4 ,3 )
f x y z y z x y x
  

a) Hãy viết ma trận
A
của ánh xạ
f
trong cơ sở chính tắc.
b) Hãy viết ma trận
'
A
của ánh xạ
f
trong cơ sở


1 2 3
' ' , ' , '
e e e
B
,

1 2 3
' (1, 1,2), ' ( 1,1, 1), ' (1, 2,1)
e e e      
.
c) Tính
det( )
A
,
det( ')
A
.
Câu 13: a) Trong không gian véc tơ
3

xét tích vô hướng thông thường. Trực chuẩn hoá
Gram-Shmidt của hệ véc tơ






1,0,0,1,1,0,1,1,1
3
2
1




uuu
.
b) Trong không gian véc tơ
4

xét tích vô hướng thông thường. Tìm một cơ sở của không
gian
W
gồm các véc tơ trực giao với hai véc tơ




1 2
1, 2,3, 4 , 3, 5,7,8
v v   
.
Câu 14
: Cho ma trận
11 2 8
2 2 10
8 10 5
A

 
 

 
 


 
, tìm ma trận trực giao
P
sao cho
t
P AP
là ma trận
chéo.

9

Câu 15: Cho ma trận
17 8 4
8 17 4
4 4 11
A

 
 
  
 
 

 
, tìm ma trận trực giao
P
sao cho
t
P AP
là ma trận

chéo.