BÀI tập bài KHẢO sát hàm số năm 2015

Tuyển tập 200 bài tập về khảo sát hàm số có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!


1

Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:

TUYỂN TẬP 200 BÀI TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ
CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT NĂM 2015

- Tài liệu được soạn theo nhu cầu của các bạn học sinh khối trường THPT (đặc biệt
là khối 12).
- Biên soạn theo cấu trúc câu hỏi trong đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng của Bộ
GD&ĐT.
- Tài liệu do tập thể tác giả biên soạn:
1. Cao Văn Tú – CN.Mảng Toán – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái
Nguyên (Chủ biên)
2. Cô Trần Thị Ngọc Loan – CLB Gia Sư Thái Nguyên(Đồng chủ biên).
3. Thầy Vũ Khắc Mạnh – CLB Gia sư Bắc Giang (Tư vấn).
4. Nguyễn Thị Kiều Trang – SV Khoa Toán – Trường ĐHSP Thái Nguyên.
5. Nguyễn Trường Giang – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên.
6. Lý Thị Thanh Nga – SVNC – Khoa Toán – Trường ĐH SP Thái Nguyên.
7. Ngô Thị Lý – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên.
- Tài liệu được lưu hành nội bộ - Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
- Nếu chưa được sự đồng ý của ban Biên soạn mà tự động post tài liệu thì đều được
coi là vi phạm nội quy của nhóm.
- Tài liệu đã được bổ sung và chỉnh lý lần thứ 2.
Tuy nhóm Biên soạn đã cố gắng hết sức nhưng cũng không thể tránh khỏi sự sai
xót nhất định.
Rất mong các bạn có thể phản hồi những chỗ sai xót về địa chỉ email:

!
Xin chân thành cám ơn!!!

Chúc các bạn học tập và ôn thi thật tốt!!!








Thái Nguyên, tháng 07 năm 2014

Trưởng nhóm Biên soạn



Cao Văn Tú
Tuyển tập 200 bài tập về khảo sát hàm số có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!


2

Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:


Giải
Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x

0
, có hệ số góc bằng –5

2
0
5
5
( 2)x



 x
0
= 3 hay x
0
= 1 ; y
0
(3) = 7, y
0
(1) = -3
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y – 7 = -5(x – 3) hay y + 3 = -5(x – 1)
 y = -5x + 22 hay y = -5x + 2

Bài 2: Cho hàm số y = 4x
3
+ mx
2
– 3x
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m = 0.
2. Tìm m để hàm số có hai cực trị tại x

1
và x
2
thỏa x
1
= - 4x
2


Giải
2. TXĐ: D = R
- y’ = 12x
2
+ 2mx – 3
Ta có: ’ = m
2
+ 36 > 0 với mọi m, vậy ln có cực trị
Ta có:
12
12
12
4
6
1
4
xx
m
xx
xx






  







9
2
m  

Bài 3: Cho hàm số
42
( ) 2y f x x x  

1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Trên (C) lấy hai điểm phân biệt A và B có hồnh độ lần lượt là a và b. Tìm điều kiện
đối với a và b để hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau.

Giải
Ta có
3
'( ) 4 4f x x x
. Gọi a, b lần lượt là hồnh độ của A và B.
Hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại A và B là

33
'( ) 4 4 , '( ) 4 4
AB
k f a a a k f b b b     

Tiếp tuyến tại A, B lần lượt có phương trình là:
        
' ' ( ) af' ay f a x a f a f a x f a     
;
        
' ' ( ) f' by f b x b f b f b x f b b     

Bài 1: Cho hàm số
2x 1
y
x2



.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C),biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng -5.
Tuyển tập 200 bài tập về khảo sát hàm số có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!


3

Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:
Hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song hoặc trùng nhau khi và chỉ khi:

 
 
3 3 2 2
4a 4a = 4b 4 1 0(1)
AB
k k b a b a ab b         

Vì A và B phân biệt nên
ab
, do đó (1) tương đương với phương trình:
22
1 0 (2)a ab b   

Mặt khác hai tiếp tuyến của (C) tại A và B trùng nhau

       
 
22
22
4 2 4 2
10
10
''
3 2 3 2
a ab b
a ab b
ab
f a af a f b bf b
a a b b



   
   

  

  
    




,
Giải hệ này ta được nghiệm là (a;b) = (-1;1), hoặc (a;b) = (1;-1), hai nghiệm này tương ứng
với cùng một cặp điểm trên đồ thị là
 
1; 1
và
 
1; 1
.
Vậy điều kiện cần và đủ để hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau là
22
10
1
a ab b
a
ab

   









Bài 4: Cho hàm số
 
32
( ) 3 1 1y f x mx mx m x     
, m là tham số
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên khi m = 1.
2. Xác định các giá trị của m để hàm số
()y f x
không có cực trị.

Giải
+ Khi m = 0
1yx  
, nên hàm số không có cực trị.

+ Khi
0m

 
2
' 3 6 1y mx mx m    

Hàm số không có cực trị khi và chỉ khi
'0y 
không có nghiệm hoặc có nghiệm kép

 
22
' 9 3 1 12 3 0m m m m m       
1
0
4
m  


Bài 5: Cho hàm số
4 3 2
x 2x 3 x 1 (1)y x m m    
.
1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 0.
2). Định m để hàm số (1) có hai cực tiểu.

Giải
2)
4 3 2
x 2x 2 x 1y x m m    
(1)
Đạo hàm
/ 3 2 2
y 4x 3mx 4x 3m (x 1)[4x (4 3m)x 3m]        



/
2
x1
y0
4x (4 3m)x 3m 0 (2)




   


 Hàm số có 2 cực tiểu  y có 3 cực trị  y
/
= 0 có 3 nghiệm phân biệt
Tuyển tập 200 bài tập về khảo sát hàm số có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!


4

Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:
 (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 1
2
(3m 4) 0
4
m.
3
4 4 3m 3m 0


   
   

   


Giả sử: Với
4
m
3

, thì y
/
= 0 có 3 nghiệm phân biệt
1 2 3
x , x , x

 Bảng biến thiên:
x
-

x
1


x
2


x

3


+
y
/


-
0
+
0
-
0
+

y
+


CT

CĐ


CT

+
 Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có 2 cực tiểu.
Kết luận: Vậy, hàm số có 2 cực tiểu khi

4
m.
3




Bài 6: Cho hàm số
32
2 ( 3) 4y x mx m x    
có đồ thị là (C
m
)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C
1
) của hàm số trên khi m = 1.
2) Cho (d ) có phương trình y = x + 4 và điểm K(1; 3). Tìm các giá trị của tham số m
sao cho (d) cắt (C
m
) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giác KBC có diện tích
bằng
82
.

Giải
2)Phương trình hoành độ điểm chung của (C
m
) và d là:



           

    

3 2 2
2
0
2 ( 3) 4 4 (1) ( 2 2) 0
( ) 2 2 0 (2)
x
x mx m x x x x mx m
g x x mx m

(d) cắt (C
m
) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C

phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt
khác 0.
   

    




  


/2

12
20
( )
2
(0) 2 0
mm
mm
a
m
gm
.
Mặt khác:


1 3 4
( , ) 2
2
d K d
Do đó:

      
2
1
8 2 . ( , ) 8 2 16 256
2
KBC
S BC d K d BC BC

22
( ) ( ) 256

B C B C
x x y y    
với
,
BC
xx
là hai nghiệm của phương trình (2).
             
2 2 2 2
( ) (( 4) ( 4)) 256 2( ) 256 ( ) 4 128
B C B C B C B C B C
x x x x x x x x x x

Tuyển tập 200 bài tập về khảo sát hàm số có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!


5

Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:
22
1 137
4 4( 2) 128 34 0
2
m m m m m

         
(thỏa ĐK (a)). Vậy
1 137
2

m



Bài 7: Cho hàm số
32
1
y m 1 x mx 3m 2 x
3
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi
m2

2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của
nó.

Giải
Phần này tương đối dễ các anh(chị) có thể tham khảo kết quả:
m2

Bài 8: Cho hàm số:
 
32
3 1 9 2y x m x x m     
(1) có đồ thị là (C
m
)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) với m =1.
2) Xác định m để (C
m

) có cực đại, cực tiểu và hai điểm cực đại cực tiểu đối xứng với nhau
qua đường thẳng
1
2
yx
.

Giải
b)
9)1(63'
2
 xmxy

Để hàm số có cực đậi, cực tiểu:
09.3)1(9'
2
 m

03)1(
2
 m

);31()31;( m

Ta có
 
14)22(29)1(63
3
1
3

1
22








 mxmmxmx
m
xy

Gọi tọa độ điểm cực đại và cực tiểu là (x
1
; y
1
) và (x
2
; y
2
)
14)22(2
1
2
1
 mxmmy

14)22(2
2
2
2
 mxmmy

Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu là
14)22(2
2
 mxmmy

Vì hai điểm cực đại và cực tiểu đối xứng qua đt
xy
2
1

ta có điều kiện cần là
Tuyển tập 200 bài tập về khảo sát hàm số có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!


6

Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:
 
1
2
1
.)22(2
2

 mm

122
2
 mm







3
1
032
2
m
m
mm

Theo định lí Viet ta có:





3.
)1(2
21
21

xx
mxx

Khi m = 1

ptđt đi qua hai điểm CĐ và CT là:
y = - 2x + 5. Tọa độ trung điểm CĐ và CT là:













1
2
10)(2
2
2
2
4
2
2121
21

xxyy
xx

Tọa độ trung điểm CĐ và CT là (2; 1) thuộc đường thẳng
xy
2
1

1m
thỏa mãn.
Khi m = -3

ptđt đi qua hai điểm CĐ và CT là: y = -2x – 11. Tọa độ trung điểm CĐ và
CT là:













9
2
10)(2

2
2
2
2121
21
xxyy
xx

Tọa độ trung điểm CĐ và CT là (-2; 9) không thuộc đường thẳng
xy
2
1

3m
không
thỏa mãn.
Vậy m = 1 thỏa mãn điều kiện đề bài.
Bài 9: Cho hàm số y = x
3
+ mx + 2 (1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = -3.
2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hòanh tại một điểm duy nhất.

Giải
2. Pt : x
3
+ mx + 2 = 0
x
xm
2

2

( x
)0

Xét f(x) =
2
2
2
2)('
2
x
xxf
x
x 
=
2
3
22
x
x 

Ta có x -

0 1 +


Tuyn tp 200 bi tp v kho sỏt hm s cú li gii chi tit nm 2015 Lu hnh ni b!

7

Ch biờn: Cao Vn Tỳ
Email:

f(x) + + 0 -

f(x) +

-3
-

-

-


th hm s (1) ct trc hũanh ti mt im duy nht
3 m
.
Bi 10: Cho hm s :
323
m
2
1
mx
2
3
xy

1/ Kho sỏt v v th hm s khi m=1.
2/ Xỏc nh m th hm s cú cc i, cc tiu i xng nhau qua t y = x

Gii

2/Tacó






mx
0x
0)mx(x3mx3x3'y
2

ta thấy với
0m
thì y đổi dấu khi đi qua các nghiệm do vậy hàm số có CĐ,CT
+Nếu m>0 hàm số có CĐ tại x=0 và
3
MAX
m
2
1
y
;có CT tại x=m và
0y
MIN

+Nếu m<0 hàm số có CĐ tại x=m và
0y
MAX

;có CT tại x=0 và
3
MIN
m
2
1
y

Gọi A và B là các điểm cực trị của hàm số.Để A và B đối xứng với nhau qua đ-ờng phân giác
y=x,điều kiện cắt có và đủ là
OBOA
tức là:
2m2mm
2
1
m
23


Bi 11: Cho hàm số
2
12

x
x
y
có đồ thị là (C)
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2.Chứng minh đ-ờng thẳng d: y = - x + m luôn luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân
biệt A, B. Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.

Gii
Hoành độ giao điểm của đồ thị (C ) và đ-ờng thẳng d là nghiệm của ph-ơng trình
Tuyển tập 200 bài tập về khảo sát hàm số có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!


8

Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:








)1(021)4(
2
2
12

2
mxmx
x
mx
x
x

Do (1) cã
mmmvam  0321)2).(4()2(01
22
nªn ®-êng th¼ng d lu«n
lu«n c¾t ®å thÞ (C ) t¹i hai ®iĨm ph©n biƯt A, B
Ta cã y
A
= m – x
A
; y
B
= m – x
B
nªn AB
2
= (x
A
– x
B
)
2
+ (y
A

– y
B
)
2
= 2(m
2
+ 12) suy ra
AB ng¾n nhÊt  AB
2
nhá nhÊt  m = 0. Khi ®ã
24AB


Bài 12: Cho hàm số: y = x
3
+ 3x
2
+ mx + 1 có đồ (C
m
); (m là tham số).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số khi m = 3.
2. Xác đònh m để (C
m
) cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0, 1), D, E sao
cho các tiếp tuyến của (C
m
) tại D và E vuông góc với nhau.

Giải
2. Phương trình hoành độ giao điểm của (C

m
) và đường thẳng y = 1 là:
x
3
+ 3x
2
+ mx + 1 = 1  x(x
2
+ 3x + m) = 0 



  

2
x0
x 3x m 0 (2)

* (C
m
) cắt đường thẳng y = 1 tại C(0, 1), D, E phân biệt:
 Phương trình (2) có 2 nghiệm x
D
, x
E
 0.



   






   



2
m0
9 4m 0
4
m
0 3 0 m 0
9

Lúc đó tiếp tuyến tại D, E có hệ số góc lần lượt là:
k
D
= y’(x
D
) =
    
2
D D D
3x 6x m (x 2m);

k
E

= y’(x
E
) =
    
2
E E E
3x 6x m (x 2m).

Các tiếp tuyến tại D, E vuông góc khi và chỉ khi: k
D
k
E
= –1.
 (3x
D
+ 2m)(3x
E
+ 2m) = 9x
D
x
E
+6m(x
D
+ x
E
) + 4m
2
= –1
 9m + 6m


(–3) + 4m
2
= –1; (vì x
D
+ x
E
= –3; x
D
x
E
= m theo đònh lý Vi-ét).
 4m
2
– 9m + 1 = 0  m =
 
1
9 65
8

Tuyn tp 200 bi tp v kho sỏt hm s cú li gii chi tit nm 2015 Lu hnh ni b!


9

Ch biờn: Cao Vn Tỳ
Email:
ẹS: m =


11

9 65 hay m 9 65
88

Bi 13:
1).Kho sỏt v v th (C) ca h.s :
3x 4
y
x2



. Tỡm im thuc (C) cỏch u 2 tim cn .
2).Tỡm cỏc giỏ tr ca m phng trỡnh sau cú 2 nghim trờn on
2
0;
3




.
sin
6
x + cos
6
x = m ( sin
4
x + cos
4
x )

Gii




Gọi M(x;y)

(C) và cách đều 2 tiệm cận x = 2 và y = 3
| x 2 | = | y 3 |
3x 4 x
x 2 2 x 2
x 2 x 2





x1
x
x2
x4
x2

Vậy có 2 điểm thoả mãn đề bài là : M
1
( 1; 1) và M
2
(4; 6)
Xét ph-ơng trình : sin
6
x + cos
6
x = m ( sin
4
x + cos
4
x ) (2)
22
31
1 sin 2x m 1 sin 2x
42




(1)
Đặt t = sin
2
2x . Với
2
x 0;

3





thì

t 0;1
. Khi đó (1) trở thành :
2m =
3t 4
t2


với

t 0;1

Nhận xét : với mỗi

t 0;1
ta có :
sin2x t
sin2x t
sin2x t

Để (2) có 2 nghiệm thuộc đoạn
2
0;
3




thì

33
t ;1 t ;1
24








D-a vào đồ thị (C) ta có : y(1)< 2m y(3/4)
7
1 2m
5

Vậy các giá trị cần tìm của m là :
17
;
2 10







Tuyn tp 200 bi tp v kho sỏt hm s cú li gii chi tit nm 2015 Lu hnh ni b!


10

Ch biờn: Cao Vn Tỳ
Email:
Bi 14: Cho hàm số
2
12



x
x
y
có đồ thị là (C)
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

2.Chứng minh đ-ờng thẳng:
mxy
luôn luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt
A, B. Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.

Gii
Hoành độ giao điểm của đồ thị (C ) và đ-ờng thẳng d là nghiệm của ph-ơng trình








)1(021)4(
2
2
12
2
mxmx
x
mx
x
x

Do (1) có
mmmvam 0321)2).(4()2(01
22
nên đ-ờng thẳng d luôn

luôn cắt đồ thị (C ) tại hai điểm phân biệt A, B
Ta có y
A
= m x
A
; y
B
= m x
B
nên AB
2
= (x
A
x
B
)
2
+ (y
A
y
B
)
2
= 2(m
2
+ 12) suy ra
AB ngắn nhất AB
2
nhỏ nhất m = 0. Khi đó
24AB

Bi 15:
1. Cho hm s (C) :
2
25
1
xx
y
x




a) Kho sỏt v v th hm s
b) Tỡm M (C) tng cỏc khong cỏch t M n 2 tim cn l nh nht


2. T mt im bt kỡ trờn ng thng x = 2 cú th k c bao nhiờu tip tuyn n th
(C) :
196
23
xxxy


Gii
Tỡm M (C) tng cỏc khong cỏch n 2 tim cn nh nht

44
1.

1
y x Y X
xX


Vi





yY
xX 1

TC d: X = 0, TCX d: X - Y = 0 T = d(M, d) + d(M, d) =
4
7
| | 4 4
| | | | 2
2 | | 2
2
XY
XX
X


Du "=" xy ra
4
||
| | 2

X
X

44
2 3 3
4
2 1 2
2
X X x

Gi M(2; m) d
1
: x = 2. Khi ú t d M
d: y = k(x -2) + m. t d tip xỳc vi
(C) h:






kxx
mxkxxx
9123
2196
2
23
cú nghim
Tuyển tập 200 bài tập về khảo sát hàm số có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!

11

Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:
 2x
3
-12.x
2
+ 24x - 17 + m = 0 (1) có nghiệm.
 Số tiếp tuyến kẻ từ M đến (C’) là số nghiệm của Pt (1)
 Xét hàm số y = 2x
3
-12.x
2
+ 24x - 17 + m
 y’ = 6(x-2)
2
 0 x  Hàm luôn đồng biến  Pt (1) luôn có nghiệm duy nhất  từ
một điểm trên đt x = 2 luôn kẻ được một tiếp tuyến đến đồ thị (C’).

Bài 16: 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y =
24
1
x
x



2. Tìm trên (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN biết M(- 3;0) và N(-

1; - 1)


Giải
2.
MN
= (2;-1). ==> MN: x + 2y + 3 = 0
Đường thẳng (d)  MN, (d) có dạng phương trình y = 2x + m.
Gọi A, B là hai điểm thuộc (C) đối xứng nhau qua đường thẳng MN
Hoành độ của A và B là nghiệm của phương trình:

24
2
1
x
xm
x



 2x
2
+ mx + m + 4 = 0 ( x ≠ - 1) (1)
Để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi (1) có  = m
2
– 8m – 32 > 0
Ta có A(x
1
,2x
1

+ m), B(x
2
;2x
2
+ m) với x
1
, x
2
là nghiệm của (1)
Trung điểm của AB là I
12
12
;
2
xx
x x m





 I(
( ; )
42
mm

( theo định lý Vi-et)
Ta có I

MN ==> m = - 4, (1)  2x

2
– 4x = 0
 A(0; - 4), B(2;0)
Bài 17: Cho hàm số
mxxxy  93
23
, trong đó
m
là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi
0m
.
2. Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm
phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.

Giải
2.
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng

Phương trình
32
3 9 0   x x x m
có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng
Tuyển tập 200 bài tập về khảo sát hàm số có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!


12

Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:

Phương trình
32
39x x x m  
có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng

Đường thẳng
ym
đi qua điểm uốn của đồ thị
.11 11mm    

Bài 18: Cho hàm số
2
m
y x m
x
  


1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho với m = 1.
2. Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu sao cho hai điểm cực trị của đồ thị hàm số cách
đường thẳng
d: x – y + 2 = 0 những khoảng bằng nhau.

Giải
Với x

2 ta có y

’
= 1-
2
( 2)
m
x 
;
Hàm số có cực đại và cực tiểu

phương trình (x – 2)
2
– m = 0 (1) có hai nghiệm phân
biệt khác 2
0m

Với m > 0 phương trình (1) có hai nghiệm là:
11
22
2 2 2
2 2 2
x m y m m
x m y m m
     
     

Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là A(
2 ;2 2 )m m m  
; B(
2 ;2 2 )m m m  

Khoảng cách từ A và B tới d bằng nhau nên ta có phương trình:
22m m m m    

0
2
m
m







Đối chiếu điều kiện thì m = 2 thoả mãn bài tốn
Vậy ycbt  m = 2.


Bài 19: Cho hàm số: y = x
3
+ 3x
2
+ mx + 1 có đồ (C
m
); (m là tham số).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số khi m = 3.
2. Xác đònh m để (C
m
) cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0, 1), D, E sao
cho các tiếp tuyến của (C

m
) tại D và E vuông góc với nhau.

Giải
2. Phương trình hoành độ giao điểm của (C
m
) và đường thẳng y = 1 là:
x
3
+ 3x
2
+ mx + 1 = 1  x(x
2
+ 3x + m) = 0 



  

2
x0
x 3x m 0 (2)

* (C
m
) cắt đường thẳng y = 1 tại C(0, 1), D, E phân biệt:
 Phương trình (2) có 2 nghiệm x
D
, x
E

 0.
Tuyển tập 200 bài tập về khảo sát hàm số có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!


13

Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:



   





   



2
m0
9 4m 0
4
m
0 3 0 m 0
9

Lúc đó tiếp tuyến tại D, E có hệ số góc lần lượt là:

k
D
= y’(x
D
) =
    
2
D D D
3x 6x m (x 2m);

k
E
= y’(x
E
) =
    
2
E E E
3x 6x m (x 2m).

Các tiếp tuyến tại D, E vuông góc khi và chỉ khi: k
D
k
E
= –1.
 (3x
D
+ 2m)(3x
E
+ 2m) = 9x

D
x
E
+6m(x
D
+ x
E
) + 4m
2
= –1
 9m + 6m

(–3) + 4m
2
= –1; (vì x
D
+ x
E
= –3; x
D
x
E
= m theo đònh lý Vi-ét).
 4m
2
– 9m + 1 = 0  m =
 
1
9 65
8

ĐS: m =
   

11
9 65 hay m 9 65
88


Bài 20: Cho hµm sè :
()
32
y x m 3 x 3mx 2m    
(1) víi m lµ tham sè thùc.
1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cđa hµm sè khi m=0
2. T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cđa tham sè m ®Ĩ ®å thÞ (1) c¾t ®-êng th¼ng (d): y= - 2x t¹i ba
®iĨm ph©n biƯt cã hoµnh ®é lËp thµnh mét cÊp sè céng theo mét thø tù nµo ®ã.

Giải
VËy gi¸ trÞ cÇn t×m m lµ: m={ 0; 3/2 ; 3}

Bài 21: Cho hàm số
42
21y x mx m   
(1) , với
m
là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi
1m
.

2. Xác định
m
để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị
tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng
1
.

Giải
2. (1 điểm)
 
' 3 2
2
0
4 4 4 0
x
y x mx x x m
xm


     




1. * XÐt ph-¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iĨm:
3 2 3 2
( 3) 3 2 2 ( 3) (3 2) 2 0x m x mx m x x m x m x m            
1
2
x

x
xm









 NÕu 1; 2; m lËp thµnh CSC

1+m=4

m=3
 NÕu 2;1;m lËp thµnh CSC

2+m=2

m=0
 NÕu 2;m;1 lËp thµnh CSC

2m=3

m=3/2
Tuyển tập 200 bài tập về khảo sát hàm số có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!


14

Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:
Hàm số đã cho có ba điểm cực trị

pt
'
0y 
có ba nghiệm phân biệt và
'
y
đổi dấu khi
x
đi
qua các nghiệm đó
0m

 Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là:
 
   
22
0; 1 , ; 1 , ; 1A m B m m m C m m m       


2
1
.
2
ABC B A C B
S y y x x m m   

;
4
,2AB AC m m BC m   


 
4
3
2
1
2

1 1 2 1 0
51
4
4
2
ABC
m
m m m
AB AC BC
R m m
S
mm
m




        








Bài 22: Cho hàm số: y =
1
12


x
x
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C) của hàm số (1).
2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng x - y
+ 1 = 0.

Giải
Viết phương trình tiếp tuyến:
Do tiếp tuyến cần tìm vuông góc với đường thẳng x - y + 1 = 0. Nên nó có hệ số góc k = - 1
Xét phương trình:
2
0
1
1
( 1)x




. Giải phương trình ta có
x
0
= 0 hoặc x
0
= 2.

với x
0
= 0 ta có tiếp tuyến cần tìm là: y = -x + 1
Với x
0
= 2 ta có tiếp tuyến cần tìm là: y = - x + 5


Bài 23: Cho hàm sô y = 4x – x
2

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Tìm k để đường thẳng (d): y = k cắt (C) tại bốn điểm, có hoàng độ lập thành một
cấp số cộng

Giải
2.Sử dụng Viet đối với phương trình trùng phương : t
2
– 4 t + k = 0 ( t = x
2
)
Hoành độ giao điểm lập thành một cấp số cộng pt có 2 nghiệm dương thoả t

2 =
9t
1
Tuyn tp 200 bi tp v kho sỏt hm s cú li gii chi tit nm 2015 Lu hnh ni b!


15

Ch biờn: Cao Vn Tỳ
Email:

KQ: k =
36
25

Bi 24: ): Cho hm s
3 2 2 3
3 3( 1)y x mx m x m m
(1)
1.Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) ng vi m=1
2.Tỡm m hm s (1) cú cc tr ng thi khong cỏch t im cc i ca th hm s
n
gúc ta O bng
2
ln khong cỏch t im cc tiu ca th hm s n gúc ta
O.

Gii
2. Ta cú
, 2 2

3 6 3( 1)y x mx m

hm s cú cc tr thỡ PT
,
0y
cú 2 nghim phõn bit

22
2 1 0x mx m
cú 2 nhim phõn bit

1 0, m

Cc i ca th hm s l A(m-1;2-2m) v cc tiu ca th hm s l
B(m+1;-2-2m)
Theo gi thit ta cú
2
3 2 2
2 6 1 0
3 2 2
m
OA OB m m
m

Vy cú 2 giỏ tr ca m l
3 2 2m
v
3 2 2m
.

Bi 25: 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số : y = x
3
3x
2
+ 2
2) Biện luận theo m số nghiệm của ph-ơng trình :
2
22
1
m
xx
x





Gii
Bin lun s nghim ca phng trỡnh
1
22
2

x
m
xx
theo tham s m.
Ta cú

22
2 2 2 2 1 1
1
m
x x x x x m,x .
x


Do ú s nghim ca phng trỡnh
bng s giao im ca


2
2 2 1y x x x , C'
v ng thng
1y m,x .

Tuyển tập 200 bài tập về khảo sát hàm số có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!


16

Chủ biên: Cao Văn Tú

Email:
 Vì
 
 
 
2
1
2 2 1
1
f x khi x
y x x x
f x khi x



    




nên
 
C'
bao gồm:
+ Giữ nguyên đồ thị (C) bên phải đường thẳng
1x.

+ Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng
1x 
qua Ox

 hình
 Dựa vào đồ thị ta có:
+
2m:
Phương trình vô nghiệm;
+
2m:
Phương trình có 2 nghiệm kép;
+
20m:  
Phương trình có 4 nghiệm phân biệt;
+
0m:
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Bài 26: 1. Cho y = - (m+1) - 3 (Cm)
Xác định m để (Cm) có một điểm vốn có hoành độ = 0. Khảo sát và vẽ đồ thị (Cm)
với m vừa tìm được.
2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
| - 2 -3| - m = 0


Giải
f(x)=abs(x-1)(x^2-2*x-2)
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-5
5
x
y
Tuyển tập 200 bài tập về khảo sát hàm số có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!

17

Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:
- Xét = | |
- Hướng dẫn: = | | có đồ thị gồm hai phần:

+ Phần đồ thị: 0
+ Phần đối xứng với phần đồ thị 0 qua trục hoành
- Giải:
+ Xét hàm số: y= = | - - 3|
+ Nhận thấy: y= =
Đồ thị của :

Phương trình: | - - 3| - m = 0 (1) | - - 3| = m
Đây là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y= và đường thẳng y= m
Căn cứ vào đồ thị hàm số , ta có:
• m<0 Không có giao điểm (1) vô nghiệm
• m=0 Có 2 giao điểm (1) có 2 nghiệm
• 0<m<3 Có 4 giao điểm (1) có 4 nghiệm
• m=3 Có 5 giao điểm (1) có 5 nghiệm
• 3<m<4=0 Có 6 giao điểm (1) có 6 nghiệm
• m=4 Có 4 giao điểm (1) có 4 nghiệm
• m>4 Có 2 giao điểm (1) có 2 nghiệm

Bài 26: Cho hàm số
   
)1(1161232

23
 xmmxmxy
đồ thị (C
m
)
1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 0
Tuyển tập 200 bài tập về khảo sát hàm số có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!


18

Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:
2,Với giá trị nào của m thì đồ thị (C
m
) của hàm số có 2 điểm cực trị đối
xứng với nhau qua đường thẳng y = x + 4.

Giải
Ta c ó y’ = 6x
2
-6(2m+1)x+6m(m+1)
y’=0






1mx

mx

Ta c ó m+1

m v ới

m
Vậy với

m y’=0 ln c ó 2 nghiệm phân biệt , nên hàm số ln có cực đai , cực tiểu.

x
-

m m+1 +


y’
+ 0 - 0 +

Hàm số đạt cực đại tại x = m, Hàm số đạt cực tiểu tại x = m +1.

Bài 27: ). Cho hàm số: y = f(x) = x
3
– 3mx
2
+ 3(m
2
– 1)x – m
3

(C
m
)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số khi m = –2.
2. Chứng minh rằng (C
m
) ln có điểm cực đại và điểm cực tiểu lần lượt chạy trên mỗi
đường thẳng cố đđịnh

Giải
2) Điểm cực đại M(m – 1; 2 – 3m) chay trên đường thẳng cố định:
1
23
xt
yt
  





Điểm cực tiểu N(m + 1;-2 – m) chạy trên đường thẳng cố định:
1
23
xt
yt



  



Bài 28: 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số :
32
3 4 (1)y x x

2. Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua I(1;-2) với hệ số góc k ( k < 3 ) đều cắt
đồ thị hàm số (1) tại 3 điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Giải
Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua I(1;-2) với hệ số góc k
( k < 3 ) đều cắt đồ thị hàm số (1) tại 3 điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của
đoạn thẳng AB.
Gọi (C) là đồ thị hàm số (1). Ta thấy I(1;-2) (C).
Đường thẳng (d) đi qua I(1;-2) với hệ số góc k ( k < 3 ) có phương trình: y = k(x-1) – 2
Tuyển tập 200 bài tập về khảo sát hàm số có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!


19

Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:
Hoành độ giao điểm của (C) và (d) là nghiệm của phương trình:

3 2 2
2
3 4 ( 1) 2 ( 1)( 2 2 ) 0
1
2 2 0(*)
x x k x x x x k

x
x x k

Do k <3 nên pt(*) có
' 3 0k
và x = 1 không là nghiệm của (*)
Suy ra (d) luôn cắt (C) tại ba điểm phân biệt I(x
I
;y
I
) A(x
A
;y
A
) B(x
B
;y
B
)
với x
A,
x
B
là nghiệm của phương trình (*)
Vì x
A+
x
B
=2 = 2x
I

và I,A,B cùng thuộc (d) nên I là trung điểm của AB

Bài 29: Cho hàm số y = x
3
– 3x + 2 (C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng (d) có phương trình y = - 3x + 2 sao cho
từ M kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị (C) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với
nhau.

Giải
2.Gọi M(a;b) là điểm cần tìm. M thuộc (d) nên b = -3a + 2.
Tiếp tuyến của đồ thị ( C) tại điểm (x
0
;y
0
) là: y = (3x
0
2
– 3)(x – x
0
) + x
0
3
– 3x
0

+2.
Tiếp tuyến đi qua M(a;b)


- 3a + 2 = (3x
0
2
– 3)( a – x
0
) + x
0
3
– 3x
0
+ 2

2x
0
3
– 3ax
0
2
=
0


x
0
= 0 hoặc x
0
= 3a/2
Có hai tiếp tuyến đi qua M với hệ số góc là k
1
= f ’(0) = -3 và k

2
=f ‘(3a/2) =
4
27
2
a
- 3 .
Hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau

k
1
.k
2
= - 1

a
2
= 40/81

a =
9
102

.
Vậy có hai điểm thỏa mãn đề bài là: M(
9
102

;
2

3
102

).
Bài 30: Cho hàm số
3 2 2 3
3 3( 1)y x mx m x m m     
(1)
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) ứng với m=1
2.Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số
đến góc tọa độ O bằng
2
lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến góc tọa độ
O.

Giải
2. Ta có
, 2 2
3 6 3( 1)y x mx m   

Để hàm số có cực trị thì PT
,
0y 
có 2 nghiệm phân biệt

22
2 1 0x mx m    
có 2 nhiệm phân biệt

1 0, m   

Tuyển tập 200 bài tập về khảo sát hàm số có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!


20

Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:
Cực đại của đồ thị hàm số là A(m-1;2-2m) và cực tiểu của đồ thị hàm số là
B(m+1;-2-2m)
Theo giả thiết ta có
2
3 2 2
2 6 1 0
3 2 2
m
OA OB m m
m

  
     

  



Vậy có 2 giá trị của m là
3 2 2m  
và
3 2 2m   

.

Bài 31: Cho hàm số
1
12



x
x
y
có đồ thị (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số .
2. Với điểm M bất kỳ thuộc đồ thị (C) tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại Avà B .
Gọi I là giao hai tiệm cận , Tìm vị trí của M để chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải
Với M bất kì  (C), tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A, B. Tìm M để chu vi tam giác
IAB đạt giá trị nhỏ nhất.
Gọi M











1
3
2;
0
0
x
x
(C)
* Tiếp tuyến tại M có dạng:
1
3
2)(
)1(
3
0
0
2
0





x
xx
x
y

Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B nên tọa độ A; B có dạng là: A











1
6
2;1
0
x

B(2x
0
-1; 2) ; I(1; 2)
* Ta có: S
IAB
=
2
1
. IA. IB=
63.212
1
6
2
1
0

0


 x
x
(đvdt)

* IAB vuông có diện tích không đổi => chu vi IAB đạt giá trị nhỏ nhất khi IA= IB
(HS tự chứng minh).








31
31
12
1
6
0
0
0
0
x
x
x
x

* Vậy có hai điểm M thỏa mãn điều kiện
M
1
(
32;31 
)
M
2
(
32;31 
)
Khi đó chu vi AIB =
6234 


Bài 32: Cho hµm sè
21
1
x
y
x




Tuyển tập 200 bài tập về khảo sát hàm số có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!


21

Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:
1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) cđa hµm sè ®· cho.
2. T×m trªn (C) nh÷ng ®iĨm cã tỉng kho¶ng c¸ch ®Õn hai tiƯm cËn cđa (C) nhá nhÊt.

Giải
Gäi M(x
0
;y
0
) lµ mét ®iĨm thc (C), (x
0

- 1)

th×
0
0
0
21
1
x
y
x




Gäi A, B lÇn lỵt lµ h×nh chiÕu cđa M trªn TC§ vµ TCN th×

MA = |x
0
+1| , MB = | y
0
- 2| = |
0
0
21
1
x
x


- 2| = |
0
1
1x 
|
Theo Cauchy th× MA + MB

2
0
0
1
x 1.
1x


=2


MA + MB nhá nhÊt b»ng 2 khi x
0
= 0 hc x
0
= -2.Nh vËy ta cã hai ®iĨm cÇn t×m lµ (0;1)
vµ (-2;3)

Bài 33: Cho hàm số y = x
3
+ 3x
2
+ mx + 1 có đồ thị là (C
m
); ( m là tham số)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3.
2. Xác định m để (C
m
) cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phân biệt C(0;1), D, E sao
cho các tiếp tuyến của (C
m
) tại D và E vng góc với nhau.

Giải
Phương trình hoành độ giao điểm của (C
m
) và đường thẳng y = 1 là:
x
3
+ 3x
2

+ mx + 1 = 1  x(x
2
+ 3x + m) = 0 



  

2
x0
x 3x m 0 (2)

* (C
m
) cắt đường thẳng y = 1 tại C(0;1), D, E phân biệt:
 Phương trình (2) có 2 nghiệm x
D
, x
E
 0.


   





   




2
m0
9 4m 0
4
m
0 3 0 m 0
9

Lúc đó tiếp tuyến tại D, E có hệ số góc lần lượt là:
k
D
=y’(x
D
)=
    
2
D D D
3x 6x m (3x 2m);
k
E
= y’(x
E
) =
    
2
E E E
3x 6x m (3x 2m).

Các tiếp tuyến tại D, E vuông góc khi và chỉ khi: k
D
k
E
= –1.
Tuyển tập 200 bài tập về khảo sát hàm số có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!


22

Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:
 (3x
D
+ 2m)(3x
E
+ 2m) = 9x
D
x
E
+6m(x
D
+ x
E
) + 4m
2
= –1
 9m + 6m

(–3) + 4m

2
= –1; (vì x
D
+ x
E
= –3; x
D
x
E
= m theo ñònh lý Vi-ét). 
4m
2
– 9m + 1 = 0  m =
 
1
9 65
8

ÑS: m =
   

11
9 65 hay m 9 65
88

Bài 34: Cho hàm số:
32
3 3 3 4y x mx x m    
(1)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m =1.

2) Tìm các giá trị m để hàm số (1) nghịch biến trên đoạn có độ dài đúng bằng 1.

Giải
Ta có:
2
3( 2 1)y x mx

  
.
Hàm số nghịch biến chỉ trên đoạn có độ dài 1 khi và chỉ khi phương trình
0y


có 2 nghiệm
1 2 2 1
, : 1x x x x
.
Khi đó điều kiện là:
2
2
2
21
1 2 1 2
10
1
1
( ) 4 1
m
m
xx

x x x x



  





  



(*)
Theo định lí Viet ta có:
12
12
2
.1
x x m
xx





.
Khi đó (*) trở thành:
2

2
5 / 2
1
45
5 / 2
m
m
m
m












.
Bài 35: Cho hàm số: 


 (C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số
2. Cho điểm A( 0; a) Tìm a để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao cho 2 tiếp
điểm tương ứng nằm về 2 phía của trục hoành.

Giải
 Gọi k là hệ số góc của đt đi qua A(0;a). PT đt d có dạng y= kx+a (d)
 d là tiếp tuyến với ( C )  hệ PT










có nghiệm
<=>Pt (1-a)x
2
+2(a+2)x-(a+2)=0 (1) có nghiệm x ≠ 1
Tuyển tập 200 bài tập về khảo sát hàm số có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!


23

Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:

Giải
Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến

tiếp tuyến có véctơ pháp
)1;(

1
 kn

d: có véctơ pháp
)1;1(
2
n

Ta có












3
2
2
3
0122612
12
1
26
1

.
cos
2
1
2
2
21
21
k
k
kk
k
k
nn
nn


Yêu cầu của bài toán thỏa mãn  ít nhất một trong hai phương trình:
1
/
ky 
(1) và
2
/
ky 
(2) có nghiệm x










3
2
2)21(23
2
3
2)21(23
2
2
mxmx
mxmx







0
0
2
/
1
/









034
0128
2
2
mm
mm









1;
4
3
2
1
;
4
1
mm

mm

4
1
m
hoặc
2
1
m




 Theo bài ra qua A có 2 tiếp tuyến thì pt (1) có 2 nghiệm x
1
; x
2
phân biệt
Đk là : 






(*)
 Khi đó theo Viet ta có : x
1
+x
2

=


; x
1
.x
2
=
 
 


 . Suy ra y
1
= 1+




; y
2
=





 Để 2 tiếp điểm nằm về 2 phía của trục Ox thì y
1
.y

2
<0
 (1+




)







< 0 



























 Giải đk trên ta được
 -(3a+2) <0  a>-2/3
Kết hợp với đk (*) ta có 1 ≠ a>-2/3

Bài 36: Cho hàm số
2)2()21(
23
 mxmxmxy
(1) m là tham số.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) với m=2.
2. Tìm tham số m để đồ thị của hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d:
07  yx
góc

, biết
26
1
cos 


.

có nghiệm
m
Tuyển tập 200 bài tập về khảo sát hàm số có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!


24

Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:
Bài 37: Cho hàm số
2
12



x
x
y
có đồ thị là (C)
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2.Chứng minh đường thẳng d: y = -x + m luôn luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân
biệt A, B. Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.

Giải
Hoành độ giao điểm của đồ thị (C ) và đường thẳng d là nghiệm của phương trình









)1(021)4(
2
2
12
2
mxmx
x
mx
x
x

Do (1) có
mmmvam  0321)2).(4()2(01
22
nên đường thẳng d luôn
luôn cắt đồ thị (C ) tại hai điểm phân biệt A, B
Ta có y
A
= m – x
A
; y
B
= m – x
B

nên AB
2
= (x
A
– x
B
)
2
+ (y
A
– y
B
)
2
= 2(m
2
+ 12) suy ra
AB ngắn nhất  AB
2
nhỏ nhất  m = 0. Khi đó
24AB


Bài 38: Cho hàm số
 
42
4 1 2 1y x m x m    
có đồ thị
 
m

C

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
 
C
của hàm số khi
3
2
m 
.
b) Xác định tham số m để hàm số có 3 cực trị tạo thành 3 đỉnh của một tam giác đều.

Giải
 Ta có
   
 
32
4 8 1 4 2 1y x m x x x m .

     


 
2
0
0
21
x
y
xm








nên hàm số có 3 cực trị khi m > 1
 Với đk m > 1 hàm số có 3 điểm cực trị là:
   
 
 
 
22
0 2 1 2 1 4 10 5 2 1 4 10 5A ; m ,B m ; m m ,B m ; m m .         

Ta có:
   
 
4
22
2
2 1 16 1
81
AB AC m m
BC m
    


 Điều kiện tam giác ABC đều là

2 2 2
AB BC CA AB BC CA    

     
 
4
3
3
2 1 16 1 8 1
1
10
3
8 1 3
1
2
m m m
m
m
m
m
     
















Tuyển tập 200 bài tập về khảo sát hàm số có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!


25

Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:
 So sánh với điều kiện có 3 cực trị ta suy ra
3
3
1
2
m 
:

Bài 39: 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đường cong (C) có phương trình: y =
1
1


x
x
.
2. Chứng minh rằng với các điểm M,N,P phân biệt thuộc (C’): Y = -

X
2
thì tam giác
MNP có trực tâm H cũng thuộc (C’).


Giải
Tương đối dễ anh (chị) có thể tự làm.

Bài 40: Cho hàm số y = x
3
+ 3x
2
+ mx + 1 có đồ thị là (C
m
); ( m là tham số)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3.
2. Xác định m để (C
m
) cắt đường thẳng: y = 1 tại ba điểm phân biệt C(0;1), D, E
sao cho các tiếp tuyến của (C
m
) tại D và E vng góc với nhau.

Giải
Phương trình hoành độ giao điểm của (C
m
) và đường thẳng y = 1 là:
x
3

+ 3x
2
+ mx + 1 = 1  x(x
2
+ 3x + m) = 0 



  

2
x0
x 3x m 0 (2)

* (C
m
) cắt đường thẳng y = 1 tại C(0;1), D, E phân biệt:
 Phương trình (2) có 2 nghiệm x
D
, x
E
 0.



   






   



2
m0
9 4m 0
4
m
0 3 0 m 0
9
(*)

Lúc đó tiếp tuyến tại D, E có hệ số góc lần lượt là:
k
D
=y’(x
D
)=
    
2
D D D
3x 6x m (3x 2m);

k
E
=y’(x
E
)=

    
2
E E E
3x 6x m (3x 2m).

Các tiếp tuyến tại D, E vuông góc khi và chỉ khi: k
D
k
E
= –1
 (3x
D
+ 2m)(3x
E
+ 2m) =-1
 9x
D
x
E
+6m(x
D
+ x
E
) + 4m
2
= –1