ĐỊNH LÝ STOKES

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG
----o0o----

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MƠN GIẢI TÍCH 2
ĐỀ TÀI 23: ĐỊNH LÝ STOKES
Giáo viên hướng dẫn: Đồn Thị Thanh Xn
Nhóm thực hiện: L07 – Nhóm 10

Họ và tên
Trần Quốc Bảo
Tạ Gia Bảo

MSSV
2110802
2110795

Cơng việc
Bài 2
Bài 3; Soạn báo cáo

Mức độ
100%
100%

Đỗ Sơn Bảo

2110779

Bài 1; Soạn báo cáo

100%

Nguyễn Đặng Cao Bằng

2110047

Bài 4; Bài 6, Bài 7;
Soạn báo cáo

100%

Trần Lê Gia Bảo

2110043

Bài 5

100%

Tp. HCM, 5/ 2022


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN................................................................................................................................... 3
PHẦN 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT ....................................................................................................... 4
1. Mối quan hệ với định lý Green..................................................................................................... 4
2. Định nghĩa .................................................................................................................................... 4
3. Tính chất ....................................................................................................................................... 6
PHẦN 2: BÀI TẬP........................................................................................................................... 7

Bài 1: ................................................................................................................................................ 7
Bài 2: ................................................................................................................................................ 8
Bài 3: .............................................................................................................................................. 11
Bài 4: .............................................................................................................................................. 13
Bài 5: .............................................................................................................................................. 16
PHẦN 3: BÀI TẬP LÀM THÊM .................................................................................................. 18
Bài 6: .............................................................................................................................................. 18
Bài 7: .............................................................................................................................................. 19
Tài liệu Tham Khảo ........................................................................................................................ 21


LỜI CẢM ƠN
Trong suốt quá trình thực hiện đề tài, nhóm chúng em đã nhận được nhiều sự quan
tâm, hướng dẫn và sự giúp đỡ của các thầy cô, anh chị và bè bạn.
Ngồi ra, nhóm cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến cơ Đồn Thị Thanh Xn giảng viên bộ mơn “Giải tích 2”. Nhờ sự hướng dẫn của cơ, nhóm đã hồn thành đề tài
đúng tiến độ và giải quyết được những khó khăn trong quá trình thực hiện. Sự hướng dẫn
của cơ đã là kim chỉ nam cho mọi hành động của nhóm và phát huy tối đa được mối quan
hệ hỗ trợ giữa thầy và trị trong mơi trường giáo dục.
Lời cuối, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến các cá nhân, các thầy cơ đã dành thời gian
chỉ dẫn cho nhóm. Đây chính là niềm tin, nguồn động lực to lớn để nhóm có thể hồn thành
tốt đề tài này.
Nhóm thực hiện

3


PHẦN 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. Mối quan hệ với định lý Green
Định lý stokes có thể được xem như là định lý Green trong khơng gian có số chiều cao
hơn. Nếu như định lý Green nói lên mối quan hệ giữa tích phân hai lớp trên một miền

phẳng D với tích phân đường theo đường cong thẳng là biên của D, thì định lý Stokes nói
lên mối quan hệ giữa tích phân mặt trên một mặt S với tích phân đường theo đường cong
là biên của mặt S ( đường cong trong không gian ).
2. Định nghĩa
Cho S là một mặt trơn từng mảnh được định hướng sao cho nó bị bao bởi một cường
cong C trơn từng mảnh, đơn đóng với chiều dương được định hướng. Cho F là một trường
vectơ mà các thành phần của nó có các đạo hàm riêng liên tục trên một miền mở trong R 3
chứa S. Khi đó ta có:
Cơng thức:

 F .dr   curlF .dS

C

S

Chứng minh định lý Stokes:
Giả sử phương trình của S cho bởi: z=g(x,y), (x,y)  D, trong đó g là một hàm có các
đạo hầm riêng cấp hai liên tục, còn D là một miền phẳng đơn và có biên là đường cong
phẳng C1tương ứng với biên C của S

Nếu S là mặt được định hướng lên trên thì hướng dương cuuar C sẽ trùng với hướng
dương của C1.
4










Giả sử trường vectơ xác định bởi: F  Pi  Qj  Rk trong đó các hàm P, Q và R có các
đạo hàm riêng liên tục.
Vì S là đồ thị của một hàm nên ta có:
  R

Q   z  P

R  z  Q

P 

 curlF .dS =     y  z  x   z  x  z   x  y  dA
D

S

Măṭ khác nếu đường cong C1 xác định bởi công thức:
X  x(t )


Y  y (t )
( a  t  b)

 Z  g ( x(t ), y (t ))


Do đó:

 F .dr

C

b

  (P
a

b

=P
a

b

dx
dy
dz
 Q  R )dt
dt
dt
dt

dx
dy
dx z z dy
 Q  R(


)dt
dt
dt
dt x y dt



=   P  R
a





=   P  R
C1



= 
D

z  dx 
z  dy 
   Q  R  dt
x  dt 
y  dt 
z  dx 
z  dy 

   Q  R  dt
x  dt 
y  dt 

 
z   
z 
 Q  R    P  R  dA
x 
y  y 
x 

Suy ra ta có :

 Q Q z R z R z z
 2 z   P P z R z R z z
 2 z 
 F .dr  D  x  z x  x y  z x y  R xy    y  z y  y x  z y x  R xy  dA
C

Vâỵ ta có đươc ̣ đẳng thức của điṇh lý Stokes:

5


 F .dr   F .T .ds

C

C

 curlF .dS   curlF .ndS
S

S

3. Tính chất
1. Với mọi đường cong kín, trơn từng khúc nằm trọn trong V, đẳng thức sau nghiệm đúng

 fdx  gdy  hdz  0
C

2.Tích phân

 fdx  gdy  hdz không phụ thuộc vào đường cong C nối hai điểm A,B trong
C

V;
3. Biểu thức

 fdx  gdy  hdz là vi phân toàn phần của một hàm nào trong đó V;
C

4.

f g h g f h

, 
, 
y x y z z x

6


PHẦN 2: BÀI TẬP
Bài 1: Cho nửa mặt cầu H và phần P của mặt paraboloid. Giả sử F là trường vector
trong R3mà các thành phần của nó có các đạo hàm riêng liên tục. Giải thích tại sao

 curlF .ds   curlF .ds
H

P

Trả lời

Từ tích phân mặt sử dụng cơng thức stokes biến đổi về tích phân vịng:

 P( x, y, z )dydz  Q( x, y, z )dzdx  R( x, y, z )dxdy
S

Vì 2 mặt đều có cùng biên là cùng 1 đường cong khép kín và hàm dưới dấu tích phân
đều giống nhau.


 curlF .ds   curlF .ds
H

P

7

Bài 2: Sử dụng Định lý Stokes để tính

 curlF.dS
S

y
2
2
2
1) F ( x, y , z )  2 y cos zi  e sin zj  xe k , S là nửa mặt cầu x  y  z  9 , z  0 ,
định hướng lên.
S có mặt biên C: x 2  y 2  9 là một đường cong kín
2) F ( x, y , z )  x 2 z 2 i  y 2 z 2 j  xyzk , S là phần mặt paraboloid z  x 2  y 2 nằm bên
trong mặt trụ x 2  y 2  4 , định hướng lên.
S có mặt biên C: x 2  y 2  9, z  2 là một đường cong kín
x

3) F ( x, y , z )  tan 1 ( x 2 yz 2 )i  x 2 y sin zj  x 2 z 2 k , S là mặt nón x  y 2  z 2 , 0  x  2 ,
định hướng theo hướng của trục x dương.
S có mặt biên C: y 2  z 2  4, x  2 là một đường cong kín
4) F ( x, y , z )  xyzi  xy sin zj  x 2 yzk , S chứa mặt đỉnh và bốn mặt bên (nhưng khơng
chứa mặt đáy) của hình lập phương có các đỉnh (1, 1, 1) , định hướng bên ngồi.
S có mặt biên C là một hình chữ nhật kín
xy
yz
2
5) F ( x, y , z )  e i  e sin zj  x zk , S là nửa mặt ellipsoid 4 x 2  y 2  4 z 2  4 , nằm
bên ngoài của mặt phẳng xz, định hướng theo hướng của trục y dương.

S có mặt biên C: x 2  z 2  1, y  0 là một đường cong kín, định hướng lên.
Trả lời:
1) Áp dụng định lý Stokes:

 
cur
l
F
.
dS


 Fd r
S

C

C: r (t )  3cos t .i  3sin t .j  0.k , 0  t  2

dr  3sin t.i  3cos t.j
F (r (t ))  2.3sin t.cos 0i  e x .sin 0.j  3cos t.e3sin t .k  6sin t.i  3cos t.e3sin t .k

2
 
 
2
 Fd r   F (r (t )).r '(t ).dt   (18sin t  0  0)dt  18
C

c

0

2) Áp dụng định lý Stokes:

 
cur
l
F
.
dS


 Fd r
S

C

C: r (t )  2 cos t .i  2 sin t .j  2.k , 0  t  2

dr  2sin t.i  2cos t.j  0k
F (r (t ))  (2 cos t ) 2 .22.i  (2 sin t ) 2 .22.j  2.2 cos t.2sin t.k

  2 5
2
5
2
 curlF.dS   Fd r   2 cot t sin t  2 sin t cos t  0
S

C

0

8


3) Áp dụng định lý Stokes:

 
cur
l
F
.
dS


 Fd r
S

C

C: r (t )  2i  2 cos t .j  2.sin t .k , 0  t  2

dr  0.i  2sin t.j  2cos t.k
F (r (t ))  tan 1 (22.2 cos t.4sin 2 t )i  (2 2.2 cos t.sin(sin t )) j  (4 cos 2 t.4 sin 2 t )k
 
 
cur
l

F
.
dS

Fd
r



 F (r (t )).r '(t ).dt
S

C

c

2



 (16 sin t.cos t.sin(sin t )  32 cos

3

t.sin 2 t ) dt  0

0

4) Áp dụng định lý Stokes:

 
cur
l
F
.
dS


 Fd r
S

C

C1 : r1 (t )  t.i  1.j  1.k
 dr1  1.i  0 j  0k
C2 : r2 (t )  1.i  t.j  1.k
 dr2  0i  1j  0k
C3 : r3 (t )  t.i  1.j  1.k
 dr3  1.i  0 j  0k
C4 : r4 (t )  1.i  t.j  1.k
 dr3  0i  1j  0k
1  t  1
F (r1 (t ))  t.i  t.sin(1).j  t 2k
F (r2 (t ))  t.i  t sin(1) j  t.k
F (r3 (t ))  t.i  t sin(1) j  t 2k
F (r4 (t ))  t.i  sin( 1) j  t.k
 
cur
l
F

.
dS


 Fd r
S

C

1

1

1

1

  F (r1 (t )).r (t ) dt   F (r2 (t )).r2 (t ) dt   F (r3 (t )).r3 (t ) dt   F (r4 (t )).r4 ' (t ) dt
'
1

1

'

1

'

1

1

1

1

1

1

1

1

1

  tdt   t sin( 1) dt   tdt   t sin(1)dt  0

9

1


5) Áp dụng định lý Stokes:

 
cur
l
F

.
dS


 Fd r
S

C

C: r (t )  cos t.i  0.j  sin t .k , 0  t  2

dr   sin t.i  0.j  cos t.k
F (r (t ))  e 0cos t .i  e 0sin t .j  cos 2 t.sin t.k  i  j  cos 2 t sin t.k

  2
3
 curlF.dS   Fd r    sin t  cos t sin t  0
S

C

0

10


Bài 3: Sử dụng định lý Stokes để tính  Fdr
C

1) F ( x, y, z )  ( x  y )i  ( y  z ) j  ( z  x 2 )k , C là các cạnh của hình tam giác có các

đỉnh (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1).
2) F ( x, y, z )  i  ( x  yz ) j  ( xy  z )k , C là biên của mặt phẳng 3x + 2y + z = 1 trong
góc phần tám thứ nhất.
3) F ( x, y, z )  yzi  2 xzj  e xy k , C là đường tròn x 2  y 2  16 , z  5 .
4) F ( x, y, z )  xyi  2 zj  3 yk , C là đường cong giao của mặt phẳng x  z  5 và mặt trụ
x2  y2  9 .
Trả lời:
2

2

1) Sử dụng định lý Stokes:
I   F ( x, y, z )dr   ( x  y 2 ) dx  ( y  z 2 )dy  ( z  x 2 ) dz
C

C

  (2 z ) dydz  (2 x )dy  (2 y ) dxdy
S

Vector pháp tuyến: 𝑛⃗ = (1, 1, 1); Suy ra vector pháp tuyến đơn vị: 𝑁⃗ = (
I   ( 2 z )
S



√

,

√

,

√

)

1
1
1
 ( 2 x )
 ( 2 y )
dS
3
3
3

2
 ( x  y  z )dS
3 S

Mặt S: 𝑧 = 1 − 𝑥 − 𝑦. Suy ra dS  1  ( 1) 2  ( 1) 2 dxdy  3dxdy
Hình chiếu của S trên Oxy là D: 𝑥 + 𝑦 = 1
1 x

1

I

2
 ( x  y  1  x  y ) 3dxdy  2D dxdy  20 dx 0 dy  1
3 D

2) Góc phần tám thứ nhất của mặt phẳng => 𝑥, 𝑦, 𝑧 ≥ 0.
Sử dụng định lý Stokes:
I   F ( x, y , z )dr  
 dx  ( x  yz )dy  ( xy  z )dz   ( x  y )dydz  ( y)dzdx  dxdy
C

C

S

Vector pháp tuyến: 𝑛⃗ = (3, 2, 1); Suy ra vector pháp tuyến đơn vị: 𝑁⃗ = (

11

√

,

√

,

√

)

I   ( x  y )
S

3
2
1
1
 ( y)

dS 
(3x  5 y  1)dS
14
14
14
14 
S

Mặt S: 𝑧 = 1 − 3𝑥 − 2𝑦. Suy ra dS  1  ( 3) 2  (2) 2 dxdy  3dxdy
Hình chiếu của S trên Oxy là D: 3𝑥 + 2𝑦 = 1
1
3

13 x
2

0

0

I   (3x  5 y  1) 14dxdy   dx
D



3x  5 y  1dy 

1
24

3) Sử dụng định lý Stokes:
xy
xy
xy
I   F ( x, y, z )dr  
 yzdx  2 xdy  e dz   ( xe )dydz  ( y  ye )dzdx  (2  z )dxdy
C

C

S

Vector pháp tuyến của 𝑧 = 5: 𝑛⃗ = (0, 0, 1);
Suy ra vector pháp tuyến đơn vị: 𝑁⃗ = (0, 0, 1)
I   ( xe xy )  0  ( y  ye xy )  0  (2  z ) 1 dS   (2  z ) dS   (2  5)dxdy  48
S

S

D

4) Sử dụng định lý Stokes:
I   F ( x, y , z )dr  
 xydx  2 zdy  3 ydz   (3  2)dydz  (0  0)dzdx  (0  x)dxdy
C

C

S

Vector pháp tuyến: 𝑛⃗ = (1, 0, 1); Suy ra vector pháp tuyến đơn vị: 𝑁⃗ = (

√

1
1
 ( x)
)dS
2
2

I   (
S

Mặt S: 𝑧 = 5 − 𝑥. Suy ra dS  1  ( 1) 2  02 dxdy  2dxdy
Hình chiếu của mặt giao S với mặt trụ x 2  y 2  9 trên Oxy là D: x 2  y 2  9
Đổi biến tọa độ cầu: x  r cos  , y  r sin  . D  (0  r  3;0    2 )
I  
S



1
1
(1  x)dS 
 (1  x) 2dxdy  D (1  x)dxdy
2
2 D

2

3

0

0

 d  (1  r cos  )rdr  9
12

, 0,

√

)


Bài 4:
a) Sử dụng Định lý Stokes để tính

 F .dr , trong đó

F ( x , y , z )  x 2 zi  xy 2 j  z 2 k và C là

C

đường cong giao của mặt phẳng x  y  z  1 và mặt trụ x 2  y 2  9 định hướng ngược chiều
kim đồng hồ.
b) Vẽ đồ thị cả mặt phẳng và mặt trụ với miền xác định được chọn sao cho bạn có thể
nhìn thấy đường cong C và mặt mà bạn sử dụng trong câu (a).
c) Tìm các phương trình tham số của C và sử dụng chúng để vẽ C.
Trả lời

a) Sử dụng Định lý Stokes để tính

 F .dr , trong đó

F ( x , y , z )  x 2 zi  xy 2 j  z 2 k và C là

C

đường cong giao của mặt phẳng x  y  z  1 và mặt trụ x 2  y 2  9 định hướng ngược chiều
kim đồng hồ.
Vì hướng của đường cong C định hướng ngược chiều kim đồng hồ nên hướng của
vector đơn vị với mặt phẳng S: x  y  z  1 nằm trong khối trụ x 2  y 2  9 sẽ hướng lên trên.
Khi đó C là biên của mặt phẳng S và có chiều dương.


 1 1 1 
;

;
.
 3 3 3

Vector pháp tuyến của S là n   
Áp dụng định lý Stokes, ta suy ra:

 R Q 
 Q P 
 P R 
I   

dydz  


 dzdx  

 dxdy
y z 
 z x 
 x y 
S 









 I    0  0  dydz  x 2  0 dzdx  y 2  0 dxdy
S

 I   x 2 dzdx  y 2 dxdy
S





 I   x 2 .cos   y 2 .cos  dS
S

  1 
2  1 
 I    x 2 . 
  y .
 dS
 3
 3 
S 

13


 I

1
x 2  y 2  . 1  ( z x' )2  ( z 'y )2 dxdy



3 Dxy

 I

1
x 2  y 2  . 1  ( 1)2  ( 1)2 dxdy


3 Dxy

 I

  x

2

 y 2  dxdy

Dxy

 x  r cos 
,0  r  3;0    2
 y  r sin 

Đặt: 

 I 

2

 I

2

0

0

 I  2 .



3

0

r 2 .rdrd
3

d . r 3dr
0

81 81

4
2

b) Vẽ đồ thị cả mặt phẳng và mặt trụ với miền xác định được chọn sao cho bạn có thể

nhìn thấy đường cong C và mặt mà bạn sử dụng trong câu (a).
Đồ thị cả mặt phẳng và mặt trụ được vẽ trên phần mềm GeoGebra:

14


c) Tìm các phương trình tham số của C và sử dụng chúng để vẽ C.
Phương trình tham số của C:
x  3cos(t )


y  3sin(t )
, 0  t  2
C: 
 z  1  3cos(t )  3sin(t )


Vẽ C là đường cong giao của mặt phẳng x  y  z  1 và mặt trụ x 2  y 2  9 định hướng
ngược chiều kim đồng hồ bằng phần mềm GeoGebra:

15


Bài 5:
a) Sử dụng Định lý Stokes để tính

 F .dr ,, trong đó 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥

𝑦𝑖 + 𝑥 𝑗 + 𝑥𝑦𝑘 và C

C

là đường cong giao của mặt paraboloid hyperbolic z = y2 – x2 và mặt trụ x2+ y2 = 1 định
hướng ngược chiều kim đồng hồ.
b) Vẽ mặt paraboloid hyperbolic và mặt trụ với miền xác định được chọn sao cho bạn có
thể nhìn thấy đường cong C và mặt mà bạn sử dụng trong câu (a).
c) Tìm các phương trình tham số của C và sử dụng chúng để vẽ C.
Trả lời
a) Sử dụng Định lý Stokes để tính  F .dr ,, trong đó 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 𝑦𝑖 + 𝑥 𝑗 + 𝑥𝑦𝑘 và C
C

là đường cong giao của mặt paraboloid hyperbolic z = y2 – x2 và mặt trụ x2+ y2 = 1 định
hướng ngược chiều kim đồng hồ.

16


b)

c) Phương trình tham số của C:
x  3cos t


y  3sin t

 z  9sin 2 (t )  9 cos 2 (t )


17

PHẦN 3: BÀI TẬP LÀM THÊM
Bài 6: Cho C là giao tuyến của trụ 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟏 và trụ 𝒛 = 𝒚𝟐 lấy ngược chiều kim
đồng hồ nhìn từ phía dương Oz. Tính:
I 

 ( x  y )d x  ( 2 x

2

 z )d y  x y 2d z

C

Trả lời:

Chọn S là phía trên mặt trụ 𝑧 = 𝑦 . 𝑃 = 𝑥 + 𝑦; 𝑄 = 2𝑥 − 𝑧; 𝑅 = 𝑥𝑦 .

 R



Q 

 P

R 

 Q P 

S  y  z  dydz   z  x  dzdx   x  y  dxdy

I

2
2
xy

1
dydz

0

y



 dzdx   4x  1 dxdy

S

𝑧 = 𝑦 𝑏ị 𝑐ℎắ𝑛 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 𝑡𝑟ụ 𝑥 + 𝑦 = 1

I

  2xy  1 dydz  y dzdx   4x  1 dxdy
2

S

I  I3 

S (4 x  1)dxdy

18






(4 x  1)dxdy  2

x 2  y 2 1

Bài 7: Cho C là giao tuyến của trụ x + y = 1 và mặt phẳng x + z = 1 lấy ngược
chiều kim đồng hồ nhìn từ gốc tọa độ. Tính:



I  ( y  z 2 )dx  ( z  x 2 )dy  ( x  y 2 )dz
C

Trả lời:
Chọn S là phía dưới phần mặt phẳng 𝑥 + 𝑧 = 1, 𝑏ị 𝑐ℎắ𝑛 𝑏ê𝑛 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 𝑡𝑟ụ.

I

S

 R Q 
 Q P 
 P R 
 y  z  dydz   z  x  dzdx   x  y  dxdy







I    2 y  1 dydz   2z  1 dzdx   2 x  1 dxdy
S

Chuyển sang tích phân mặt loại 1:
𝑆: 𝑥 + 𝑧 = 1, 𝑛⃑ = −

(1,0,1)
√2

19


I

S

2
2




 2 y  1, 2z  1, 2 x  1 .nds

 (y  x  1)ds
S

𝑆: 𝑧 = 1 − 𝑥, bị chắn trong trụ 𝑥 + 𝑦 = 1

hc S  D : x 2  y 2  1

Oxy

I

2
2



2
2



2
2

 (y  x  1)ds

S

D (y  x  1)

1  zx2  zy2 dxdy

 (x  y  1)

2dxdy  2

D

20


Link video báo cáo của nhóm: />Tài liệu Tham Khảo
[1] James Stewart. Calculus Early Transcendentals, 6th Edition, 2008.
[2] NXB Đại học Quốc gia TP. Hồ Chí Minh Giáo trình Giải tích 2, 2018.

21


22