Bài giảng giải tích 2 chương 2.1 tích phân kép – định nghĩa và cách tính

§1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính
Ví dụ : Tính tích phân I = ∫∫ cos( x + y )dxdy trong đó
D

D là miền giới hạn bởi : π/4≤max{|x|,|y|} ≤ π/2
Miền D được chia thành 4 phần
 − π ≤ x ≤ − π , − π ≤ y ≤ π (D1)
4
2
2
 2
 − π ≤ x ≤ π , − π ≤ y ≤ − π (D 2)
4
2
4
 4
 − π ≤ x ≤ π ,π ≤ y ≤ π (D3)
4 4
2
 4
π
π
π
π
 4 ≤ x ≤ 2 , − 2 ≤ y ≤ 2 (D 4)

−π

4

π

2

−π

4

D3
D4

D1
D2

π

2
I1 = ∫ dx ∫ cos( x + y )dy = ∫ sin( x + y ) π dx
−
−π

2

−π

2

−π

2

2


§1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính
−π

4

−π

2

I1 = ∫ (cos x − ( − cos x ))dx = 0

Tương tự, ta tính cho 3 tích phân trên 3 miền cịn
lại.
Ta cịn có thể tính tích phân này bằng cách tính tích
phân trên hình vng lớn trừ tích phân trên hình
vng nhỏ
π

2

π

2

π

4

π

4

I = ∫ dx ∫ cos( x + y )dy − ∫ dx ∫ cos( x + y )dy
−π

2

−π

2

−π

4

−π

4


§1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính
Ví dụ: Tính tích phân kép I = ∫∫ y − x 2 dxdy
D

D là miền giới hạn bởi -1≤x≤1, 0≤y≤1

I = ∫∫ ( xy ) dxdy = ∫∫ y − x 2 dxdy + ∫∫ y − x 2 dxdy

D1

D

(

)

(

)

= ∫∫ y − x 2 dxdy + ∫∫ x 2 − y dxdy

D1

D1
1

D2

D2

D2

1

−1

x2

(

D2

)

1

x2

−1

0

(

)

= ∫ dx ∫ y − x 2 dy + ∫ dx ∫ x 2 − y dy
11
I =
15


§1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính
x

Ví dụ: Tính tích phân I = ∫∫ e y dxdy
D

Với D là miền giới hạn bởi x = y 2, x = 0, y = 1
Nếu chỉ nhìn vào miền lấy tích
phân này thì ta chiếu D xuống
trục nào cũng như nhau.
Tuy nhiên, hàm dưới dấu tích
phân sẽ buộc ta phải chiếu D
xuống trục Oy
1

y2

0

0

x

1

x

1

2

1

1

y
= ∫ ( ye y )0 dy = ∫ ( ye y − y )dy
I = ∫ dy ∫ e dx
y

0

0


§1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính
2

y

0

y 2 −2

Ví dụ : Đổi thứ tự lấy tích phân sau I = ∫ dy ∫ f ( x, y )dx
Ta vẽ miền lấy tích phân

ì 0 ≤ y ≤2
ï
ï
D: í


ï y 2 - 2 ££
x

ï
ỵ

2

y

D2
D1

Chiếu miền D vừa vẽ xuống
trục Ox
-2

2

Ta thấy phải chia D
thành 2 phần D1 và D2
0

x +2

2

x +2

−2

0

0

x

I = ∫ dx ∫ f ( x, y )dy + ∫ dx ∫ f ( x, y )dy


§1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực
Nhắc lại về tọa độ cực
Điểm M có tọa độ là (x,y) trong tọa
độ Descartes.
→

Đặt :

→

ϕ = g (Ox,OM )
r = OM

Khi đó, mối liên hệ giữa x, y và r, φ là

ì r = x2 + y 2
ï
x = r cos ϕ
ï


Û ï
í

y = r sin ϕ

ï j = arctan y
ï
ï
x
ỵ

M(x,y)

r
φ


§1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực
Ví dụ: Đổi các phương trình sau sang tọa độ cực
1. (x-a)2 + y2 = a2 ↔ x2 + y2 = 2ax ↔ r = 2acosφ
x2 y 2
2. 2 + 2 = 1
a b

Đổi sang tọa độ cực mở rộng bằng
cách đặt :

x=a.r.cosφ, y = b.r.sinφ
3. x = 3

↔ rcosφ = 3

Thì ta được pt r = 1

3
↔ r=
cos j


§1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực
Công thức đổi biến sang tọa độ cực

∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ J f (r cos ϕ , r sin ϕ )drdϕ
D( r ,ϕ )

D( x,y )

D( x, y )
J=
=
D(r,ϕ )

Trong đó

′
xr

′
xϕ

y r′

′
yϕ

=r

Thơng thường, ta sẽ đổi tích phân kép sang tọa độ cực
nếu miền lấy tích phân kép là 1 phần hình trịn hoặc
ellipse


§1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực
∫∫
Ví dụ : Tính tích phân I = D ( x − 2y )dxdy

Trong đó D giới hạn bởi :

x 2 + y 2 = 2 x, y = 0( y ≥ 0)

Để xác định cận của tích
phân theo φ, ta quét từ dưới
lên theo ngược chiều kim
đồng hồ bởi các tia màu đỏ.
Ta được φ đi từ 0 đến π/2
Cịn để xác định cận của tích
phân theo r, ta sẽ đi theo 1 tia
màu vàng từ trong gốc tọa độ ra, gặp đường nào trước
thì pt đường đó (trong tọa độ cực) là cận dưới, đường
nào trước thì pt đường đó là cận trên.


§1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực
Nếu chỉ gặp 1 đường như trong ví dụ này thì cận

dưới ta sẽ lấy là 0, cận trên là pt đường tròn sau khi
đổ sang tọa độ cực: r = 2cosφ
Vậy :

π

2

2cos ϕ

0
π
2

0

I = ∫ dϕ ∫ r (r cos ϕ − 2r sin ϕ )dr
r 3 2cos ϕ
= ∫ ((cos ϕ − 2sin ϕ ) )0
dϕ
3
0
π

1 2
= ∫ (cos ϕ − 2sin ϕ )8cos3 ϕ dϕ
30


§1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực

I = ∫∫ x 2 + y 2 dxdy
Ví dụ : Tính tích phân
D

x 2 + y 2 = a2 , x = 0, y = 3x( x, y ≥ 0)
Trong đó D giới hạn bởi

y=√3x ↔ y/x = √3 ↔ φ = π/3
Suy ra: p £ j £ p
3
2
Đi từ trong gốc tọa độ ra chỉ
gặp 1 đường nên 0 ≤ r ≤ a
π

π π r3 a π 3
I = ∫ dϕ ∫ r .r .dr = ( − )( )0 = a
2 3 3
18
π
0
2

3

a


§1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực

Ví dụ : Tính tích phân I = ∫∫ xydxdy
D

Trong đó D giới hạn bởi x 2 + y 2 ≤ 2y , x + y ≤ 0
y > 0, x+y=0 ↔ φ = 3π/4
Suy ra : 3π/4 ≤φ ≤ π
x2+y2 = 2y ↔ r = 2sinφ
Suy ra : 0 ≤ r ≤ 2sinφ
π

2sin ϕ

3π

0

I = ∫ dϕ ∫ r .r cos ϕ .r sin ϕ dr
4


§1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực
Ví dụ : Tính tích phân I = ∫∫ (2y − 1)dxdy
D

Trong đó D giới hạn bởi : 2 x ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 x, − 3x ≤ y ≤ 0
2x ≤ x2+y2 ≤4x ↔
2cosφ ≤ r ≤ 4cosφ
0 « - p ££ 0
j
3

Đây là trường hợp ta có thể
khơng cần vẽ hình cũng lấy
được cận tích phân

-

3x ££
y

4 cos ϕ

0

I = ∫ dϕ ∫
−π

3

2cos ϕ

r (2r sin ϕ − 1)dr


§1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực
Ví dụ : Tính tích phân

I = ∫∫ xdxdy
D

Trong đó D giới hạn bởi ( x − 2)2 + y 2 ≤ 1,0 ≤ y

Ta đi tích phân này bằng
cách dời hình trịn để tâm
hình trịn là (0,0), sau đó
mới đổi sang tọa độ cực.
Thực hiện 2 việc trên bằng 1
phép đổi biến sang tọa độ
cực mở rộng như sau: đặt
 x = 2 + r cos ϕ

 y = r sin ϕ

1
1
-1

2


§1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực

Khi đó, miền D giới hạn bởi

Vậy :

π

1

0

0

0 ≤ ϕ ≤ π

0 ≤ r ≤ 1

I = ∫ dϕ ∫ r (2 + r cos ϕ )dr


§1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực
x2 y 2
I = ∫∫ 1 − 2 − 2 dxdy
a
b
D

Ví dụ : Tính tích phân

x2 y 2
+ 2 ≤ 1, x ≤ 0
2
a
b

Trong đó D giới hạn bởi
Ta đổi biến sang tọa độ cực
mở rộng bằng cách đặt

b

 x = ar cos ϕ
⇒ J = abr

 y = br sin ϕ

a

Thì D giới hạn bởi
π ≤ ϕ ≤ 3π
 2
2

0 ≤ r ≤ 1


3π

2

1

⇒ I = ∫ dϕ ∫ abr 1 − r 2 dr
π

2

0