skkn mới nhất skkn hướng dẫn học sinh lớp 12 giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ

MỤC LỤC
A.MỞ ĐẦU..................................................................................................... 2
1. Lí do chọn đề tài .................................................................................... 2
2. Mục đích nghiên cứu ............................................................................. 2
3. Đối tượng nghiên cứu ........................................................................... 3
4. Phương pháp nghiên cứu ...................................................................... 3
B. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM .............................................. 3
I. Cơ sở lí luận ........................................................................................... 3
II. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng SKKN ................................. 4
III. Nội dung, biện pháp thực hiện ........................................................... 4
1. Kiến thức cần nắm .............................................................................. 5
2. Xây dựng hệ thống bài tập sử dụng phương pháp tọa độ trong giải các
bài tốn hình khơng gian. ........................................................................... 10
IV. Hiệu quả bước đầu của SKKN........................................................... 19
C. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ..................................................................... 21

1

download by :


I. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài:
Hình học khơng gian là một mơn học tương đối khó có tính hệ thống
tương đối chặt chẽ, logic và trừu tượng. Việc hướng dẫn học sinh giải tốn
khơng phải chỉ dừng lại ở việc cung cấp cho học sinh những bài giải mẫu mà
còn phải hướng dẫn cho học sinh suy nghĩ, nắm bắt được các mối quan hệ ràng
buộc giữa giả thiết và kết luận của bài toán, từng bước giúp học sinh độc lập suy
nghĩ để giải bài toán cho phù hợp với trình độ học sinh ở trường THPT.
Trong các đề thi THPT quốc gia gần đây các bài tốn hình học khơng gian
như tính khoảng cách, tính thể tích, chứng minh hai mặt phẳng vng góc, bài

tốn về xác định góc giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng,
giữa hai mặt phẳng trong không gian được ra dưới dạng mà học sinh có thể giải
được bằng cả phương pháp hình học thuần túy và cả phương pháp tọa độ. Việc
giải các bài tốn Hình học bằng phương pháp thơng thường sẽ khá phức tạp và
khó khăn cho các em học sinh lớp 12, vì phần lớn các em ít nhiều đã quên kiến
thức, kỹ năng chứng minh, dựng hình…trong khơng gian .
Với những bài tốn đó thì phương pháp tọa độ cho ta lời giải nhanh
chóng, dễ dàng hơn, tuy nhiên học sinh cũng gặp khơng ít khó khăn. Bởi vì,
phương pháp này khơng được đề cập nhiều trong sách giáo khoa, học sinh phổ
thông ít được tiếp cận.
Để giúp các em học sinh lớp 12 có thêm phương pháp giải tốn Hình học
khơng gian chuẩn bị cho kỳ thi THPT quốc gia. Tôi đưa ra một sáng kiến nhỏ:
“Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số bài tốn hình học khơng gian bằng
phương pháp tọa độ’’ giúp học sinh với kiến thức của mình có thể hiểu rõ được
phương pháp, giải quyết được một số bài toán đơn giản về dạng này.
2. Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm:
Giúp học sinh giải quyết được một số bài toán đơn giản về dạng bài tập
“Sử dụng tọa độ để giải một số bài tập về hình khơng gian”.
`

Giúp học sinh vận dụng được lí thuyết vào giải tốn, thực hiện tốt ngun

lí giáo dục “học đi đôi với hành”.

2

download by :


skkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.do

Đây là kiến thức không mới nhưng nếu người giáo viên khơng có sự đầu
tư đúng mức thì hiệu quả thu được sẽ không cao.
3. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp sưu tầm, tham khảo tài liệu có thể phục vụ cho việc tiến hành
nghiên cứu giải pháp.
- Phương pháp trao đổi, lấy ý kiến đối với đồng nghiệp về nội dung giải pháp
rồi rút ra kinh nghiệm cho bản thân.
- Phương pháp tổng hợp, phân tích và tổng quát hóa để xây dựng giải pháp.
4. Đối tượng và phạm vi áp dụng.
- Giáo viên trực tiếp giảng dạy môn Toán.
- Học sinh lớp 12, trường THPT Tống Duy Tân – Vĩnh Lộc – Thanh Hóa.
B. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
I. Cơ sở lí luận:
Vào năm 1637, nhà toán học RénéDescartes đã cho xuất bản cuốn “La
Géométrie” với nội dung xây dựng hình học bằng phương pháp tọa độ đánh dấu
một bước tiến mạnh mẽ của toán học. Descartes là nhà toán học thiên tài đã khai
sinh ra phương pháp tọa độ. Phương pháp tọa độ ra đời đã giúp con người dùng
ngôn ngữ đại số thay cho ngơn ngữ hình học, giúp con người đạt đến đỉnh cao
của sự khái qt hóa và trừu tượng hóa tốn học trong nhiều lĩnh vực.
Quy trình dạy học được hiểu là tổ hợp các thao tác của giáo viên và học
sinh được tiến hành theo một trình tự nhất định trên một đối tượng nhận thức
nào đó. Chẳng hạn, quy trình bốn bước của Polya để giải quyết một bài tốn
gồm:
 Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài tốn
 Bước 2: Xây dựng thuật giải
 Bước 3: Thực hiện thuật giải
 Bước 4: Kiểm tra, nghiên cứu lời giải
Một trong những nhiệm vụ dạy học mơn tốn chương trình phổ thơng,
đặc biệt là dạy hình học là giáo viên hướng dẫn cho học sinh biết sử dụng

phương pháp tọa độ vào giải toán, nghĩa là biết vận dung linh hoạt và sáng tạo
các kiến thức về tọa độ điểm, tọa độ vectơ và các cơng thức có liên quan vào

skkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.do

3

download by :


skkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.do

giải toán. Để giải một bài toán bằng phương pháp tọa độ ta thực hiện theo các
bước sau:


Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ

hợp, chú ý đến việc chọn vị trí của gốc

thích

, chuyển bài tốn đã cho về bài tốn

hình học giải tích.


Bước 2: Giải bài tốn hình học giải tích nói



Bước 3: Chuyển các kết luận của bài tốn

trên.
hình học giải tích sang các tính chất hình học tương ứng.
Tuy nhiên trong thực tế, việc học và nắm vững các bước trên để vận dụng
vào giải toán thật khơng đơn giản với học sinh, vì đây là một q trình nghiên
cứu trừu tượng hóa và khái qt hóa trong việc rèn luyện tư duy tốn học. Do
vậy thơng qua một số bài toán cụ thể để hướng dẫn các em làm qn với việc
giải bài tốn hình học không gian bằng phương pháp tọa độ. Cách giải bài tốn
như vậy gọi là phương pháp tọa độ hóa.
II. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Vì chất lượng đầu vào thấp nên năng lực của các em cịn hạn chế. Với tâm
lý sợ mơn tốn nhất là mơn hình học nên nhiều em bỏ khơng học hoặc cố học
mà khơng vào (hổng kiến thức hình học các lớp dưới) hoặc chậm tiếp thu kiến
thức mới. Khi dạy hình học khơng gian chỉ một bộ phận ít học sinh có thể tiếp
thu nội dung: vẽ hình, chứng minh các bài toán đơn giản. Đối với học sinh khối
12 việc làm các bài tập hình học khơng gian lớp 11 lại càng khó khăn, mà các
bài tốn liên quan đến hình học khơng gian như: tính khoảng cách, xác định góc,
tính thể tích khối đa diện…lại gặp nhất nhiều trong các đề thi THPT quốc gia.
Để giúp học sinh giải quyết được các bài tập dạng này giáo viên đã thay đổi
phương pháp giảng dạy đó là hướng dẫn các em chuyển các bài tốn hình học
khơng gian thuần túy sang cách giải bằng phương pháp tọa độ. Sau khi thay đổi
phương pháp giảng dạy nhận thấy đầu tiên là các em hứng thú hơn trong việc
giải các bài tốn liên quan đến hình khơng gian trong các đề. Hi vọng với sự học
skkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.do

4

download by :

skkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.do

hỏi, đổi mới phương pháp giảng dạy giúp cả cô và trò trong việc học và dạy
được tốt hơn trong các năm học tới.
III. Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài:
1. Kiến thức cần nắm:
1.1. Phương pháp:


Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ
trong không gian: Vì
vng góc với nhau từng đơi một nên nếu hình vẽ bài tốn cho có
chứa các cạnh vng góc thì ta ưu tiên chọn các cạnh đó làm trục tọa độ.


Bước 2: Suy ra tọa độ các đỉnh, điểm trên hệ trục vừa ghép.



Bước 3: Sử dụng các kiến thức về tọa độ để giải quyết bài toán.

1.2.Các bài toán về ghép trục tọa độ thường gặp:

z

Hình lập phương
hoặc hình hộp chữ
nhật

C

B

x

D

B

Chọn hệ trục như hình
vẽ.
* Với hình lập phương:
;

y
D

A  O
C

;

;
;

;
;

* Với hình hộp chữ
nhật:
;
;

;

;

A

Hình hộp
có
đáy là hình thoi.

z

O

C

B A
C

D

O

C

y
D

+ Gốc tọa độ trùng với
giao điểm của hai
đường chéo của hình
thoi
+ Trục
đi qua hai
tâm của hai đáy.

x

skkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.do

5

download by :


skkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.do

Hình chóp

S

+) Đáy là hình chữ
nhật, hình vng.
+)

B
x

Chọn hệ trục tọa độ
như hình vẽ

z

A

C

y
D

z

Hình chóp

Chọn hệ trục tọa độ
như hình vẽ

S

+) Đáy là hình chữ
nhật, hình vng.
+) Các cạnh bên
bằng nhau(
vng góc với đáy)

y
D

A
O

B

C

x

Hình chóp

z

+) Đáy là hình thoi.
+)
vng góc
với đáy

Chọn hệ trục tọa độ
như hình vẽ

S

y

A
D

B
C

x

skkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.do

6

download by :


skkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.do

Hình chóp

Chọn hệ tọa độ sao cho

z

+) Đáy là hình bình
hành.

S

+)
vng góc
với đáy

C

D

x

Hình chóp

B
y

H

A

z

S

+) Đáy là hình bình
hành.
+)
vng góc
với đáy

A

B
y

H
O

C

x D

Hình chóp
có:

Chọn hệ trục tọa độ sao
cho:

z

+)Đáy là tam giác
vng hoặc tam
giác đều
+)
vng góc
với đáy

S

A

B

H

y

x C
Hình chóp
có:

z

Chọn hệ trục tọa độ sao
cho:

S

+)Đáy là tam giác
đều cạnh a
+) Các cạnh bên
bằng nhau

H
O

A

x

B
y

C

skkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.do

7

download by :


skkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.do

Hình chóp
có:

S

+)Đáy là tam giác
vng tại

y

A

+)
vng góc
với đáy.

Chọn hệ trục tọa sao
cho

z

B

C

x

Trên đây là một số dạng cơ bản của một số loại hình khối mà chúng ta có
thể ghép tọa độ vào để giải. Các em lưu ý rằng chúng ta có thể tọa độ hóa một
khối đa diện bất kỳ. Chỉ cần chúng ta xác định được đường cao của khối đa
diện đó và thơng thường ta đều đặt gốc tọa độ là chân đường cao của khối đa
diện; trục cao
là đường cao, sau đó dựng hai tia cịn lại. Trong thực hành
giải tốn chúng ta căn cứ tùy bài toán để đặt hệ trục sao cho việc tìm tọa độ các
đỉnh của khối đa diện và các điểm liên quan một cách dễ dàng.
1.3. Các dạng toán thường gặp
1.3.1. Độ dài đoạn thẳng:
Khoảng cách giữa hai điểm

và

là:

1.3.2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
Khoảng cách từ điểm

đến mặt phẳng

là:
1.3.3. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho đường thẳng đi qua

, có một vectơ chỉ phương
. Khi đó khoảng cách từ
đến đường thẳng là:

và một điểm

1.3.4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
Cho đường thẳng

đi qua

, có một vectơ chỉ phương

skkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.do

8

download by :


skkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.do

Đường thẳng

đi qua

, có một vectơ chỉ phương

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

và

là:

1.3.5. Góc giữa hai đường thẳng:
Cho đường thẳng
Đường thẳng
Gọi

1.3.6.

có một vectơ chỉ phương

có một vectơ chỉ phương

là góc giữa

và

. Khi đó :

Góc giữa hai mặt phẳng:
Gọi

là góc giữa hai mặt phẳng
và

.Ta có:

1.3.7. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Cho đường thẳng

có một vectơ chỉ phương

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là
Gọi

là góc giữa

và mặt phẳng (P). Khi đó:

1.3.8. Diện tính thiết diện :
Diện tích tam giác

skkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.do

9

download by :


skkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.do

Diện tích hình bình hành
1.3.9. Thể tích khối đa diện:
Thể tích khối hộp
Thể tích tứ diện:
1.3.10. Chứng minh các quan hệ song song, vng góc.
2. Xây dựng hệ thống bài tập sử dụng phương pháp tọa độ để giải các
bài tốn hình khơng gian:

2.1. Các bài tốn về hình lăng trụ:
Bài toán 1: (Câu 30 Đề 001- Đề minh họa của Bộ giáo dục năm 2019)
và

Cho hình lập phương
bằng:
A.

. Góc giữa hai mặt phẳng
B.

C.

D.

Lời giải:
Gọi cạnh của lập phương là a
Chọn hệ trục tọa độ sao cho
Khi đó :

;
;

như hình vẽ.
;

;

;
;

A

B

.

C

B

Ta có:

A

x

D
y

C

D

có vectơ pháp tuyến
Tương tự, ta có:

và

có vectơ pháp tuyến

Vì

nên
skkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.do

10

download by :


skkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.do

Suy ra, góc giữa hai mặt phẳng

và

bằng

Đáp án: D
Bài tốn 2: ( Câu 46 Đề 101- Đề thi THPT quốc gia 2018)
Cho hình lập phương
vng
và điểm là điểm thuộc

có tâm
sao cho

Khi đó cơsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng
A.

B.

. Gọi

và

C.

là tâm hình
(hình vẽ).
bằng:

D.

Lời giải:

Chọn hệ trục tọa độ sao cho
hình vẽ. Khi đó :
;

như

;

;

;

;

B
A

Vì là tâm hình vng

O
.

I

x

là tâm hình lập phương nên

Vì

A

;

.
Vì

C

B

Gọi cạnh của lập phương là a

D

y

C

D

nên

nên

Ta có

và

có vectơ pháp tuyến
Tương tự :

skkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.do

11

download by :


skkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.do

có vectơ pháp tuyến
Gọi

là góc giữa hai mặt phẳng

và

, ta có:

Đáp án D
Bài tốn 3:(Trích đề thi Đại học sư phạm I – Khối B năm 2001)
Cho hình hộp chữ nhật
.Trên cạnh

lấy điểm

có

,

, gọi

là trung điểm

.Tính thể tích khối tứ diện
là tâm hình hộp. Tìm vị trí của điểm

theo

và

. Đặt

, trong đó

để thể tích đó đạt giá trị lớn nhất.

Lời giải:

z

Chọn hệ trục tọa độ
và

. Khi đó

D1

A1

sao cho

B1

A

I

B
y

C1

x

D
C

Ta có:

Suy ra:

Vậy
Khi đó,

(đvtt)
, đạt được khi
skkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.do

12

download by :


skkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.do

2.2. Các bài tốn về hình chóp tam giác:
Bài tốn 1: ( Đề 132 thi thử lần 5 THPT Chuyên Thái Bình năm 2019)
Cho hình chóp
giác

có

là tam giác đều cạnh

khoảng cách

từ

vng góc với mặt phẳng
và tam giác

đến mặt phẳng

A.

B.

, tam

là tam giác cân. Tính

?
C.

D.

Bài giải:
Chọn hệ trục tọa độ
,

Vì

sao cho

z

như hình vẽ. Khi đó:

cân đỉnh

Ta có:

S

C

A H

nên

và

có vectơ pháp tuyến

x

y

B

nên có phương trình là:

Vậy

Đáp án: D
Bài tốn 2: ( Câu 30 - Đề 001 Sở giáo dục và Đào tạo Qng Bình năm 2019)
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác đều cạnh , cạnh
vng góc với mặt phẳng đáy và
, gọi
là trung điểm của
. Tính
của góc

là góc giữa đương thẳng

và

?

skkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.do

13

download by :


skkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.do

A.

B.

C.

D.

Bài giải:
Chọn hệ trục tọa độ
,

sao cho

như hình vẽ. Khi đó:
;
z

S

Ta có:
có vectơ pháp tuyến

C

A H

Từ đó ta có:

y

B

x

Đáp án: C
Bài tốn 3: (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2011)
Cho hình chóp tam giác
,

là tam giác vng cân tại

và

cùng vng góc với đáy.

. Hai mặt phẳng

Gọi

là trung điểm của
tại

; mặt phẳng qua

và song song với

. Biết góc giữa hai mặt phẳng

tích khối chóp
theo

có đáy

và

và khoảng cách giữa hai đường thẳng

.

S

Lời giải:
Đặt

bằng

. Chọn hệ trục tọa độ

như hình vẽ. Khi đó:

cắt

. Tính thể
và

z

sao cho

x

N

A
skkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.do

M

y
C

14

download by :

B


skkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.do

Vectơ pháp tuyến của
Mặt phẳng

là:

có vectơ pháp tuyến

Vì góc giữa hai

và

Suy ra

bằng

nên ta tìm được

và

2.3. Các bài tốn về hình chóp tứ giác:
Bài tốn 1: ( Câu 43 Đề 101 thi THPT Quốc gia năm 2017)
Cho hình chóp
có đáy là hình vng cạnh ,
vng góc với
mặt phẳng đáy và

tạo mặt phẳng

một góc bằng

. Tính thể tích V

của khối chóp đã cho:
A.

B.

C.

D.

Lời giải:
Chọn hệ trục tọa độ

sao cho

(như hình vẽ)
z

Khi đó:
Giả sử:

với

S

. Ta có:

Mặt phẳng đáy là mặt phẳng

nên có phương

A

trình:
mp
Gọi

có vectơ pháp tuyến :
là góc giữa

và mặt phẳng

y

xB

Theo đề ta có

skkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.do

15

download by :


skkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.do

và
Vậy
Đáp án: B
Bài toán 2: ( Câu 29 Đề 101 thi THPT Quốc gia năm 2018)
Cho hình chóp

có đáy là hình chữ nhật

vng góc với mặt phẳng đáy và
và
bằng:
A.

,

. Khoảng cách giữa đường thẳng

B.

C.

D.

Lời giải:
Chọn hệ trục tọa độ

sao cho

(như hình vẽ)

Khi đó:
z

Ta có:

S

Và

A

;

y

xB
Vậy, khoảng cách giữa đường thẳng

và

bằng:

(đvđd)
Đáp án: B
Bài toán 3: ( Câu 34- Đề 001 đề thi minh họa của Bộ giáo dục năm 2019)

skkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.do

16

download by :


skkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.do

Cho hình chóp

có đáy là hình thoi cạnh

vng góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ

,

,

và

đến mặt phẳng

bằng:
A.

B.

C.

D.

Lời giải:
Gọi

là giao điểm của

Chọn hệ trục tọa độ

và
z

S

như hình vẽ.

Ta có:

A

Và:

B

y
O

Khi đó:

;

Suy ra:

Mặt phẳng

x

và

có vectơ pháp tuyến

nên có phương trình:

Vậy,
Đáp án: A

skkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.do

17

download by :


skkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.do

Nhận xét: Đối với bài tốn về xác định góc giữa hai đường thẳng, góc giữa
hai mặt phẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng hay bài tốn về tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau…khi giải bằng phương pháp cổ
điển thì rõ ràng khâu khó khăn nhất là dựng hình( trực tiếp hoặc gián tiếp) vốn
địi hỏi học sinh phải nắm vững về phương pháp cũng như phải có sự suy nghĩ
khá sâu sắc; trong khi đó, nếu ta có thể tọa độ hóa để giải thì phương pháp tiếp
cận rất rõ ràng vì tất cả các yêu cầu trên đều đã có cơng thức, do đó cịn lại là
yêu cầu học sinh thực hiện cẩn thận một số bước tính tốn cơ bản để áp dụng
được cơng thức đã cho.
2.4. Bài tập rèn luyện:
Bài 1: ( Câu 17 đề thi thử Chuyên Vinh lần 2 – Năm 2019)
Cho hình lăng trụ đứng
,

có đáy

. Tính góc giữa

A.

B.

là tam giác vuông tại

và

?

C.

D.

Bài 2:( Câu 43 Đề 001 đề thi thử THPT Lý Thường Kiệt Hà Nội năm 2019)
Cho hình lăng trụ đứng

có đáy

. Tính khoảng cách từ
A.

B.

là tam giác vuông tại
đến

C.

D.

Bài 3: (Câu 11 Đề 061 thi thử THPT Hàm Rồng Thanh Hóa lần 3 năm 2019)
Cho hình chóp đều
, cạnh bên .

có đáy là hình vng

. khoảng cách giữa

A.

B.

và

tâm

cạnh

là:

C.

D.

Bài 4: : ( Câu 34 đề thi thử Chuyên Vinh lần 2 – Năm 2019)
Cho hình chóp đều
với

có đáy
,

vng góc với đáy và

khoảng cách giữa hai đường thẳng
A.

B.

là hình thang vng tại
và

và

. Tính theo

?
C.

D.

skkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.do

18

download by :


skkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.do

IV. Hiệu quả bước đầu của sáng kiến kinh nghiệm:
3. 1. Thời gian áp dụng:
Với đề tài nghiên cứu này, tôi đã áp dụng đối với học sinh lớp 12 năm học
2017-2018 và hiện tại tôi đang tiếp tục áp dụng đối với các lớp 12B , 12E năm
học 2018-2019. Sau khi học nội dung này và sau các bài kiểm tra, tác giả nhận
thấy hầu hết học sinh đều đạt mục tiêu bài học đề ra.

3.2. Hiệu quả đạt được.
a. Học sinh bước đầu đã có được phương pháp tiếp cận lời giải các bài
toán một cách khoa học, biết quy lạ về quen, đặc biệt một số em có tư chất tốt đã
biết phát hiện và đề xuất những ý tưởng mới.
b. Tạo sự hứng thú đối với học sinh khi tiếp cận với các bài tốn hình
học khơng gian có trong các đề thi thử THPT trên tồn quốc.
c. SKKN cũng được các thầy cơ bộ mơn toán trường THPT Tống Duy
Tân sử dụng trong dạy học các lớp khối 12, tác giả đã nhận được phản hồi tốt từ
các thầy cô. SKKN được các thầy cô sử dụng làm tài liệu giảng dạy hữu ích.
C. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ
1. Kết luận.
Sử dụng phương pháp tọa độ để giải tốn hình học khơng gian là một phương
pháp có nhiều tính ưu việt, phù hợp với đối tượng học sinh chuẩn bị thi THPT
Quốc gia, đặc biệt là các kỳ thi gần đây khi Bộ giáo dục có chủ trương thực hiện
kỳ thi “ Ba chung”. Nên bản thân tôi cũng rất tâm huyết khi thực hiện đề tài này.
2. Đề xuất, khuyến nghị.
Với thời gian ngắn, trình độ bản thân có hạn, chắc chắn đề tài của tơi cịn có
nhiều hạn chế. Với tâm huyết và tấm lịng của mình, tơi muốn đóng góp cho
công việc dạy học một số giải pháp để nâng cao hiệu quả giảng dạy.
Vì tác dụng tích cực trong việc ôn thi cho các em học sinh lớp 12 nên kính
mong hội đồng khoa học và q thầy (cơ) góp ý bổ sung để giải pháp tơi

skkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.do

19

download by :


skkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.do

đưa ra ngày một hồn thiện hơn, có ứng dụng rộng hơn trong quá trình dạy
học ở trường THPT.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 15 tháng 5 năm 2019
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, khơng sao chép nội dung của
người khác.

LÊ THỊ TÍNH

skkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.do

20

download by :


skkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.do

skkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.doskkn.moi.nhat.skkn.huong.dan.hoc.sinh.lop.12.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.toa.do