skkn mới nhất skkn rèn luyện kỹ năng giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp véc tơ

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.78 MB, 27 trang )

1. Mở đầu
1.1. Lý do chọn đề tài
Giải một bài tốn là một nghệ thuật do thực hành mà có, ngay cả khi bài
tốn mà bạn đang giải có thể là bình thường nhưng nếu nó khêu gợi được trí tò mò
và buộc bạn phải sáng tạo, đặc biệt nếu bạn tự giải lấy bài tốn đó thì bạn có thể
biết được cái quyến rũ của sự sáng tạo cùng niềm vui thắng lợi.
Đối với học sinh, sau cái mong muốn giải một bài tốn cụ thể cịn có một sự
tò mò sâu sắc hơn, một sự mong muốn được biết đường lối, phương tiện, lập luận
và qua trình dẫn tới cách giải, mà điều này không sách vở nào trình bày cho học
sinh.
Bài tập tốn rất đa dạng và phong phú, việc giải bài tập là một yêu cầu quan
trọng đối với học sinh. Trong chương trình sách giáo khoa bộ mơn Tốn nói chung
và phân mơn Hình học khơng gian nói riêng, số lượng các bài tập chưa có sẳn
thuật tốn giải là khá lớn và gây cho học sinh khơng ít khó khăn, lúng túng khi giải
chúng dẫn đến tâm lí sợ và ngại, thiếu tự tin vào khả năng của mình. Đây là một
trở ngại lớn cho ý chí tiến thủ học tập của học sinh. Do vậy khi giải bài tập giáo
viên không chỉ đơn thuần cung cấp lời giải mà quan trọng hơn là “dạy cho học sinh
biết cách suy nghĩ tìm ra con đường hợp lí để giải tốn”. Bởi vì “Tìm ra cách giải
một bài tốn là một phát minh”
Bên cạnh đó, trong đề thi THPT quốc gia và đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa của
các năm qua, bài tốn hình học không gian liên quan đến véc tơ hầu như không
thể thiếu và là bài tốn khơng thuộc loại khó. Tuy nhiên đối với học sinh thì vẫn
coi là một trong những bài tốn khó vì nó cần đến sự áp dụng linh hoạt của định
nghĩa, các tính chất, các phương pháp giải của véc tơ.
Véc tơ cùng với các tính chất của nó giúp cho việc nghiên cứu hình học định
lượng hơn, một phần nào đó giúp ta giải một số bài tốn hình học khơng gian được
thuận lợi để học sinh thấy và khai thác được điểm mạnh của véc tơ giải các bài
tốn hình học khơng gian, chính vì những lý do trên tơi mạnh dạn chọn đề tài
‘‘ Rèn luyện kỹ năng giải bài tốn hình học khơng gian bằng phương pháp véc
tơ’’
1.2. Mục đích nghiên cứu

Nhằm giúp học sinh khắc phục được những yếu điểm nêu trên từ đó đạt được
kết quả cao khi giải các bài tốn hình học khơng gian nói riêng và đạt kết quả cao
1

download by :

trong q trình học tập và thi tuyển nói chung.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
- Học sinh các lớp 11A1 và 11A4 ôn thi THPT Quốc gia và ôn thi HSG tỉnh
Thanh Hóa.
- Các dạng tốn về hình học khơng gian mà sử dụng véc tơ để giải trong
chương trình hình không gian 11.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý luận;
- Điều tra thực tế;
- Thực nghiệm sư phạm.
1.5. Những điểm mới của sáng kiến
Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, tôi đã thực hiện một
số giải pháp như sau:
- Đưa ra hệ thống lí thuyết, hệ thống các phương pháp giải.
- Lựa chọn các ví dụ, các bài tập cụ thể. Phân tích tỉ mỉ hướng giải, vận dụng
hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của học sinh để từ đó
giúp học sinh đưa ra được lời giải của bài toán.
- Thực nghiệm sư phạm

2

download by :

skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to

2. Nội dung
2.1. Cơ sở lý luận
2.1.1. Nội dung chủ đề véc tơ trong chương trình tốn THPT
Ở chương trình lớp 10 véc tơ được áp dụng để chứng minh các hệ thức
lượng trong tam giác và trong đường tròn. Nó cũng là cơ sở để trình bày phương
pháp tọa độ trên mặt phẳng.
Chương I - véc tơ: Trình bày các khái niệm cơ bản nhất về véc tơ (véc tơ, véc tơ
cùng phương, cùng hướng, bằng nhau) và các phép toán cộng trừ véc tơ, nhân véc
tơ với một số. Đồng thời trình bày những kiến thức mở đầu về tọa độ, trục và hệ
trục tọa độ trong mặt phẳng. Tọa độ của véc tơ, của điểm đối với trục và hệ trục tọa
độ.
Chương II – Tích vơ hướng của véc tơ và ứng dụng, bao gồm: Định nghĩa, tính
chất, biểu thức tọa độ của tích vơ hướng, hệ thức lượng trong tam giác [1].
Ở chương trình lớp 11 – véc tơ trong không gian là mọt bài trong chương
III: Quan hệ vng góc trong khơng gian. Các phép tốn và tính chất của véc tơ
trong khơng gian được hiểu tương tự như véc tơ trong mặt phẳng, nên khơng trình
bày một cách tỉ mỉ. Chỉ có một khái niệm mới là sự đồng phẳng của ba véc tơ.
Việc đưa véc tơ vào trong chương trình giúp cho việc chứng minh một số tính chất
về quan hệ vng góc thuận lợi hơn và là một trong những yêu cầu giảm tải của
chương trình phân ban 2006 [2].
Ở chương trình lớp 12 có đưa vào khái nệm tích có hướng của hai véc tơ,
ký hiệu là

hoặc

, được xác định bởi biểu thức tọa độ để làm cơ sở viết

phương trình mặt phẳng [3].
2.1.2. Sử dụng phương pháp véc tơ để giải các bài tốn hình học [2]
Dùng véc tơ và các phép tốn véc tơ chúng ta có thể giải nhanh một số bài tập hình
học. Sau đây là một số kết quả thường được sử dụng
3

download by :
skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to

skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to

 Để chứng minh 4 điểm

đồng phẳng ta chứng minh các véc tơ

đồng phẳng, tức là chứng minh
 Để chứng minh hai đường thẳng
chứng minh hai véc tơ

và

và

.
song song hoặc trùng nhau ta

cùng phương, tức là chứng minh

.

 Để chứng minh đường thẳng
hai véc tơ
và

và

song song hoặc nằm trong

, ta lấy trong

không cùng phương và chứng minh cho ba véc tơ

đồng phẳng hoặc tìm một véc tơ

trong

sao cho

và

,

cùng

phương.
 Để chứng minh hai đường thẳng
minh

và

vng góc với nhau ta chứng

.

 Để tính độ dài của đoạn thẳng
tơ đã biết và tính
 Để tính

ta hãy biểu diễn véc tơ

. Từ đó suy ra

ta tín tích vơ hướng

theo các véc

.
, từ đó suy ra

.

2.2. Thực trang của vấn đề trước khi áp dụng SKKN
Qua thực tế trực tiếp giảng dạy ở trường THPT 4 Thọ Xuân cho thấy rằng
HS thường gặp lúng túng và không giải được các bài tập khi học chương III phần
bài tập liên quan đến “Véc tơ trong không gian - Quan hệ vng góc” ngun nhân
của tình trạng trên xuất phát từ nhiều phía :
* Về phía HS :
- Khơng nắm vững định nghĩa, tính chất, quy tắc véc tơ.
- Không nắm vững kỹ năng áp dụng các quy tắc véc tơ.
- Không nắm vững phương pháp và lựa chọn bài tập nào nên sử dụng véc tơ

4

download by :
skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to

skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to

- Nhiều HS chưa tự giác tích cực, chưa phát huy được khả năng tư duy sáng
tạo.
* Về phía GV: GV không thể cung cấp hết kiến thức, phương pháp giải bài
tập cho HS được trong thời gian ngắn trên lớp.
* Về phía phụ huynh: Sự quan tâm của một số phụ huynh đến việc học tập
của con em mình còn hạn chế.
2.3. Giải pháp và tổ chức thực hiện để giải quyết vấn đề: Sử dụng kĩ thuật véc
tơ để xử lí một số dạng tốn hình học khơng gian
DẠNG I. Chứng minh các điểm thẳng hàng, hai đường thẳng song song
Để chứng minh ba điểm
thẳng hàng ta chứng minh hai vectơ
và
cùng phương, tức là
.
Để chứng minh hai đường thẳng phân biệt
và
song song, ta chứng minh
,
.
Bài 1. Cho hình hộp
. Gọi

lần lượt là trọng tâm của các tam
giác
và
. Chứng minh rằng
thẳng hàng. [3]
Hướng dẫn
Bước 1: Phân tích bài tốn
Để chứng minh
thẳng hàng, ta chứng minh các vectơ
cùng phương.
Chọn hệ vectơ cơ sở (Gồm ba vectơ không đồng phẳng) sao cho việc biểu diễn các
vectơ
theo hệ vectơ đó là thuận lợi nhất. thông thường ta chọn ba
vectơ gắn với ba cạnh của hình hộp cùng chung một đỉnh. Chú ý giả thiết
lần
lượt là trọng tâm của các tam giác
và
.

5

download by :
skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to

skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to

C

B

D

A
G

G'
C'
B'
D'

A'
Bước 2: Thực hiện giải bài tốn
Đặt
,
,
Ta có:
Vì là trọng tâm của tam giác

Vì

là trọng tâm của tam giác

Từ

và

suy ra:

Từ

và

suy ra:

nên:

nên:

thẳng hàng.
thẳng hàng.

Vậy bốn điểm
thẳng hàng.
Bài 2. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ với M, N thuộc cạnh CA, DC’ sao cho
và
. Tìm m để MN song song với BD’. [5]
Hướng dẫn

6

download by :
skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to

skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to

C

B

M
D

A

N
C'
B'
D'

A'
Bước 1: Phân tích bài tốn
Đề
thì
cùng phương với

, tức là có số thực

sao cho

.
Chọn hệ vectơ cơ sở (Gồm ba vectơ không đồng phẳng) sao cho việc biểu diễn các
vectơ
theo hệ vectơ đó là thuận lợi nhất. thơng thường ta chọn ba vectơ
gắn với ba cạnh của hình hộp cùng chung một đỉnh.
Chú ý giả thiết
và
.
Bước 2: Thực hiện giải bài tốn
Đặt

Ta có:
Để
Vậy

,

.

thì

.

thì MN song song với BD’.

Một số bài tập tương tự [5]:
Bài 1. Cho hai tia
chéo nhau,

di chuyển trên

,

di chuyển trên

.

7

download by :
skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to

.

Dạng II. Chứng minh đồng phẳng, đường thẳng song song với mặt phẳng
Để chứng minh bốn điểm
đồng phẳng ta chứng minh các véc tơ
đồng phẳng, tức là chứng minh
.
Để chứng minh đường thẳng
phẳng

ta lấy trong

song song với mặt phẳng

hai véc tơ

không cùng phương và chứng minh ba

véc tơ
đồng phẳng hoặc tìm một véc tơ
phương.
Bài 1. Cho tứ diện
, là trung điểm của
chia trong
Chứng minh

theo tỉ số

, hoặc nằm trên mặt

, điểm

trong
,

sao cho

và

là trung điểm của

chia trong

theo tỉ số

cùng
. Điểm
.

đồng phẳng. [3]
Hướng dẫn

A
I
M

B

D
N

J
C

Bước 1: Phân tích bài toán
Để chứng minh
đồng phẳng, ta chứng minh ba véc tơ

. Hay có
8

download by :
skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to

skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to

thể biểu diễn
.
Ta chọn hệ véc tơ cơ sở và biểu diễn các véc tơ
đồng phẳng.
Bước 2: Thực hiện giải bài tốn
Đặt

theo chúng, từ đó suy ra

.

Theo bài ra ta có:
hay

.
hay

.

Do đó

Từ

và

suy ra:

.

Vậy
đồng phẳng.
Bài 2. Cho hình chóp
, gọi
cắt các đoạn thẳng
rằng:

là trọng tâm của tam giác
theo thứ tự tại

. Một mặt phẳng
. Chứng minh

[6]

Hướng dẫn
S
A'
C'

G'
B'

A

G

C
M

B
9

download by :
skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to

skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to

Bước 1: Phân tích bài tốn
Để chứng minh bài tốn ta đặt các tỷ số
Chọn hệ véc tơ cơ sở với điểm đầu là . Sau đó biểu diễn các véc tơ
;
theo các véc tơ đã chọn. từ đó sử dụng điều kiện đồng phẳng của các véc tơ
suy ra điều phải chứng minh

Bước 2: Thực hiện giải bài toán
Đặt

và

Ta có
Do

đồng phẳng nên

sao cho
.

Do

,

Vậy, ta có

.

Bài 3. Cho hình hộp
. Các điểm
lần lượt là trung điểm của
các cạnh
. Chứng minh rằng đường thẳng
song song với mặt
phẳng

. [8]

Hướng dẫn

10

download by :
skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to

skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to

B

C
M

A

D

N
C'

B'
D'

A'
Bước 1: Phân tích bài tốn
Để chứng minh đường thẳng
ba véc tơ

P

song song với mặt phẳng

, ta chứng minh

đồng phẳng. nghĩa là phải chỉ ra sự tồn tại của hai số thực

sao cho:
.
Bước 2: Thực hiện giải bài tốn
Đặt

.

Ta có:

Giả sử

11

download by :
skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to

skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to

Vậy,
Do đó ba véc tơ

đồng phẳng.

Mà
nên suy ra
.
Một số bài tập tương tự [5]:
Bài 1. Cho tứ diện SABC. Hai điểm I, J thứ tự chuyển động trên AB, AC sao cho
. Chứng minh mặt phẳng (SIJ) luôn đi qua một đường thẳng cố định.
Bài 2. Cho hình hộp
,

. Chứng minh

. Gọi

là các điểm thỏa mãn

song song với mặt phẳng

.

Dạng III. Chứng minh quan hệ vng góc, tính góc và độ dài đoạn thẳng
Để chứng minh đường thẳng
vng góc với đường thẳng
ta chứng minh
.
Để tính độ dài của đoạn thẳng
ta biểu diễn véc tơ
theo các véc tơ đã biết
sau đó ta bình phương vơ hướng véc tơ

rồi sử dụng các kiến thức từ giả thiết
để suy ra
.
Để tính góc

ta tính tích vơ hướng

để tính ra kết quả.
Bài 1. Cho hình lập phương
và
. Chứng minh rằng

và dùng công thức

. Gọi
. [3]
Hướng dẫn

lần lượt là trung điểm của

Bước 1. Phân tích bài tốn
Để chứng minh
, ta chỉ cần chỉ ra tích vơ hướng
được điều này ta chọn hệ véc tơ cơ sở phù hợp, biểu diễn các véc tơ
hệ véc tơ cơ sở đó và tính tích vơ hướng
.

. Muốn làm
qua

12

download by :
skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to

skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to

B

C
M

A

D

N
C'

B'
A'

D'

Bước 2. Thực hiện giải bài tốn
Đặt

.

Ta có
Vì

là hình lập phương nên:

và

(với

là độ dài cạnh của hình lập phương)
Khi đó ta có:

.
Vậy,
.
Bài 2. Cho tứ diện đều
cạnh
và
. Trên các đường thẳng

. Gọi

lần lượt là trung điểm các cạnh
lần lượt lấy các điểm và sao cho

song song với

. Tính độ dài đoạn
theo . [3]
Hướng dẫn

Bước 1. Phân tích bài tốn
Để tính độ dài đoạn
ta chọn hệ véc tơ cơ sở phù hợp, rồi biểu diễn véc tơ
theo các véc tơ cơ sở đó và tính

. Từ đó suy ra độ dài đoạn

.
13

download by :
skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to

skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to

A

N

E

C

F

D

M
B

Bước 2. Thực hiện giải bài tốn
Đặt

và

,

.

Ta có
Lúc đó

.

Suy ra
.

Do

và CM//EF nên

=

=

Bài 3. Cho lăng trụ tam giác đều
, biết

. Tìm góc giữa hai đường thẳng

và

. [3]
14

download by :
skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to

skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to

C'

B'

A'

C

B
A
Hướng dẫn

Bước 1. Phân tích bài tốn
Để bài tốn ta chọn hệ véc tơ cơ sở phù hợp, rồi biểu diễn hai véc tơ
và
theo các véc tơ cơ sở đó và tính tích vơ hướng
. Từ đó áp dụng cơng thức
tính tích vơ hướng

thẳng

và

Đặt

,

, suy ra góc giữa hai đường

.
Bước 2. Thực hiện giải bài tốn

Ta có

, với

,

.

,

Do đó

.

Mà

,

Do đó:

.

Một số bài tập tương tự:
Bài 1. Cho tứ diện đều
. Gọi
và là trọng tâm tam giác
Tính
. [5]

lần lượt là trung điểm của các cạnh
, là góc giữa 2 vectơ
và
.
15

download by :
skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to

skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to

Bài 2. Cho hình hộp đứng
cạnh bên

có đáy là hình thoi cạnh a,
Gọi

là điểm thỏa mãn

và

với
là trung

điểm của cạnh
Tìm k để
[5]
Bài 3. Cho lăng trụ
có đáy là hình thoi cạnh bằng a, góc
.
Hình chiếu của lên mặt phẳng
là trung điểm của đoạn thẳng
và
tam giác
là tam giác cân. Tính
với là góc giữa hai đường thẳng
và
. [6]
Dạng IV. Tính giá trị biểu thức và chứng minh các hệ thức hình học
Bài 1. Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Các điểm

,

thỏa mãn

cắt

các cạnh

,
,

. Mặt phẳng

lần lượt tại

,

(

chứa đường thẳng

khơng trùng

. Tính giá trị biểu thức:

. [8]
Hướng dẫn

S

A'

B'
C'

D'
D

A
Bước 1. Phân tích bài tốn
Để giải bài toán ta biểu diễn véc tơ
theo
quy tắc véc tơ biểu diễn véc tơ
theo
,
đồng phẳng của các điểm suy ra kết quả.
Bước 2. Thực hiện giải bài toán

C

B
và
và

theo
. Từ đó áp dụng
. Sau đó sử dụng điều kiện

16

download by :
skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to

sao cho mặt
phẳng qua , vng góc
cắt đường thẳng
tại điểm trên đoạn
. Xác
định vị trí của
để biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất. [5]
Hướng dẫn

A'

C'

B'
N
M
A

C
B

Bước 1. Phân tích bài tốn
Để bài tốn ta chọn hệ véc tơ cơ sở phù hợp, ta đặt
,
rồi biểu
diễn véc tơ
theo các véc tơ đã chọn và đặt. Sau đó sử dụng điều kiện vng
góc của hai véc tơ thiết lập được yêu cầu bài toán theo
và đưa về hàm số bậc

hai để xét tìm giá trị nhỏ nhất.
Bước 2. Thực hiện giải bài toán
Đặt
,
,
,
,
.
17

download by :
skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to

skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to

Khi đó
Do
vng góc

(do

nên

). Từ đó

Đặt
Từ đó
Tức là

vng góc

.

Khi đó
Do

.
, ta được

nên

thuộc đoạn

nên

, suy ra

, do

nên

nhỏ nhất bằng

khi

nhỏ nhất khi

đồng biến trên

.

.

là trung điểm

.

Bài 3. (HSG tỉnh Thanh Hóa 2017-2018) Cho tứ diện
có
.
Một mặt phẳng
thay đổi ln đi qua trọng tâm
của tứ diện và cắt các cạnh
lần lượt tại các điểm
. Chứng minh rằng biểu thức
có giá trị khơng đổi. [5]
Hướng dẫn

S

C'

A'
A

G
B'

E

I

C

M

B
Bước 1. Phân tích bài tốn
Để bài tốn ta sử dụng quy tắc trọng tâm rồi biểu diễn véc tơ

theo các véc tơ
18

download by :
skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to

skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to

. Sau đó lại biểu diễn
theo các véc tơ
, rồi sử dụng
điều kiện đồng phẳng của các véc tơ thiết lập được yêu cầu bài toán .
Bước 2. Thực hiện giải bài tốn
Vì G là trọng tâm tứ diện SABC nên ta có tính chất:
với M là điểm tùy ý.
Áp dụng tính chất trên cho điểm

,

ta có:

Lại có
Do đó
Vì bốn điểm

đồng phẳng nên phải có

Bài 4. Cho hình hộp chữ nhật
có tâm O và
.
Mặt phẳng
đi qua O và cắt các tia
tương ứng tại ba điểm phân biệt
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
.[7]
Hướng dẫn

B

A

C

A

D

B'

A'

P

M

O

C'
D'

B'

N

O

Q
D'

H

R

C

Bước 1. Phân tích bài toán
Để bài toán ta chọn hệ véc tơ cơ sở phù hợp, ta đặt
,
,

rồi biểu diễn véc tơ
theo các véc tơ đã chọn và đặt. Sau đó sử
19

download by :
skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to

skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to

dụng điều kiện đồng phẳng của các véc tơ thiết lập được yêu cầu bài toán theo
và sử dụng bất đẳng thức Cauchy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức cần tìm.
Bước 2. Thực hiện giải bài tốn
Đặt
. Ta có
Vì

đồng phẳng nên

Ta có :
. Suy ra

BĐT Cauchy :
Vậy

. Khi

Một số bài tập tương tự [5]:
Bài 1. Cho hình lập phương
của

. Mặt phẳng

có cạnh bằng 1. Gọi

thay đổi ln đi qua điểm

tương ứng tại

cắt các đoạn thẳng

. Chứng minh:

Bài 2. Cho tứ diện
có ba cạnh
Gọi là hình chiếu vng góc của
kỳ trong tam giác

là trung điểm

đơi một vng góc với nhau tại
lên mặt phẳng
và là điểm bất

Chứng minh rằng

Bài 3. Cho hình hộp
. Lấy
lần lượt trên đoạn
và

cho:
( khác
và khác
). Giả sử
//
chứng minh rằng:
Bài 4. Cho hình chóp
có đáy là hình bình hành. Một mặt phẳng
khơng đi qua ,cắt các cạnh
lần lượt tại các điểm

sao
,
bất kì
.

Chứng minh rằng

20

download by :
skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to

skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to

2.4. Hiệu quả trong việc triển khai đề tài SKKN
Khi triển khai đề tài này được tiến hành trên 02 lớp thuộc trường THPT 4
Thọ Xuân, đó là: Lớp dạy 11A1 (học ban cơ bản A) và lớp dạy 11A 4 (học ban cơ
bản)

* Kết quả đạt được
- Về mặt định tính :
Khi tơi áp dụng phương pháp sử dụng kĩ thuật chọn hệ véc tơ cơ sở vào giải
các dạng tốn hình học khơng gian phức tạp, tơi thấy học sinh của tơi ham học
hình hơn, u thích các bài tập về hình khơng gian hơn và khơng cịn thấy lo lắng,
lúng túng trong việc xử lí các bài tốn hình khơng gian phức tạp.
- Về mặt định lượng :
Qua nghiên cứu, ứng dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy tôi nhận thấy kết quả
đạt được khả quan hơn nhiều. Cụ thể thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại hai
lớp có trình độ tương đương nhau. Sau khi dạy thực nghiệm, tôi cho học sinh làm
bài kiểm tra như sau:
Bài 1. Cho lăng trụ

có cạnh bên bằng . Ba điểm , , thay đổi
trên các cạnh
,
,
sao cho
. Chứng minh rằng mặt
phẳng
luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 2. Cho tứ diện
, các điểm
xác định bởi
. Tìm điều kiện giữa
song với một mặt phẳng.
Bài 3. Cho hình chóp
thỏa mãn:
lần lượt tại

và

để ba đường thẳng

cùng song

có đáy
là hình bình hành. Gọi
là điểm
Một mặt phẳng đi qua
cắt các cạnh
. Chứng minh rằng:

Số liệu thống kê kết quả được thể hiện qua bảng sau đây:
Bảng: Kết quả các bài kiểm tra cụ thể như sau:
Điểm
Lớp
TN (11A4)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 Số lượng bài

0

0

0

1

3

10 13

6

7

5

45
21

download by :
skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to

skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to

ĐC (11A1)

0

0

2

7

12

8

10

3

3

0

45

Lớp TN có 97,8% điểm từ trung bình trở lên, trong đó có 68,9% khá giỏi.
Có 5 em đạt điểm tuyệt đối.
Lớp ĐC có 80,0% điểm trung bình trở lên, trong đó có 35,6% điểm khá giỏi,
khơng có HS đạt điểm tuyệt đối.
Kết quả của các bài kiểm tra cho thấy kết quả của lớp thực nghiệm cao hơn
lớp đối chứng nhất là bài đạt khá và giỏi. Một nguyên nhân không thể phủ định là
lớp thực nghiệm HS thường xuyên được thực hiện phương pháp (như đã sử dụng ở
trên) và cách thức tìm tịi lời giải của bài toán…
Như vậy, bước đầu đề tài đã khắc phục được cơ bản những khó khăn và
những sai lầm của học sinh thường mắc phải khi giải các bài tập về hình học qua
đề thi THPT Quốc gia của các năm trước và các bài toán liên quan; đề tài đã góp
phần nâng cao chất lượng học tập của học sinh và đem lại hiệu quả rõ rệt. Trong
thời gian tới, đề tài này sẽ tiếp tục được áp dụng vào thực tiễn giảng dạy trong nhà
trường và mong rằng sẽ đạt được hiệu quả tốt đẹp như đã từng đạt được trong quá
trình thực nghiệm.

22

download by :
skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to

skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to

3. Kết luận và kiến nghị
3.1. Kết quả nghiên cứu
Hình học khơng gian là loại tốn đa phần khơng có phương pháp giải cụ thể nên
khó hiểu, khó trình bày và khó trong tính tốn.
Vì vậy, nghiên cứu, phân tích một số bài tốn hình học khơng gian có ý nghĩa rất
lớn trong quá trình dạy vì khi áp dụng sáng kiến này sẽ giúp học sinh nhìn thấy

được những điểm yếu và những hiểu biết chưa thật thấu đáo của mình về vấn đề, từ
đó phát huy ở học sinh tư duy độc lập, năng lực suy nghĩ tích cực, chủ động, củng
cố trau rồi thêm kiến thức về giải tốn hình khơng gian. Từ đó làm chủ được kiến
thức, đạt được kết quả cao trong quá trình học tập và thi THPT Quốc gia cũng như
thi HSG cấp tỉnh.
3.2. Kiến nghị, đề xuất
Vì một bài tốn có thể có nhiều cách giải, nên trong q trình học tập và giải
tốn ta cố gắng suy nghĩ tìm tịi nhiều cách giải cho một bài toán, lựa chọn phương
pháp mà mình tâm đắc nhất cho bài tốn đó. Từ đó sẽ tiết kiệm thời gian làm bài
đặc biệt tránh được sai sót đáng tiếc.
Vì vậy, mỗi bài học giáo viên khi dạy nên cố gắng vận dụng linh hoạt các
phương pháp giải để học sinh được học tập và giải bài tập một cách tốt nhất nhằm
nâng cao chất lượng dạy và học.
Trên đây là quan điểm của cá nhân tơi về việc giảng dạy phần hình học có
ứng dụng véc tơ để chuẩn bị cho các kì thi sắp tới
Trong q trình biên soạn chắc chắn cịn nhiều thiếu sót, rất mong các Thầy
cơ và các em học sinh đóng góp ý kiến để đề tài của tơi hồn thiện hơn và có thể áp
dụng rộng rãi hơn.
Tơi xin chân thành cảm ơn!
23

download by :
skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to

skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG

Thanh hóa, ngày 20 tháng 05 năm 2019

ĐƠN VỊ

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, khơng sao chép nội dung của người
khác

Trịnh Duy Văn

24

download by :
skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to

skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa thí điểm 10 cơ bản, nâng cao, NXB Giáo dục.
2. Sách giáo khoa thí điểm 11 cơ bản, nâng cao, NXB Giáo dục.
3. Sách bài tập hình học 11 cơ bản và nâng cao, NXB Giáo dục
4. Sách giáo khoa thí điểm 12 cơ bản, nâng cao, NXB Giáo dục.
5. Mạng internet.
6. Doãn Minh Cường (1998), Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào Đại học năm
1997-1998, Nxb Giáo dục, Hà Nội.
7. Trần Tuấn Điệp, Ngô Long Hậu, Nguyễn Phú Trường (2004), Giới thiệu đề
thi tuyển sinh vào Đại học - Cao đẳng toàn Quốc (mơn Tốn), Nxb Hà Nội, Hà
Nội.
8. Tổng tập đề thi OLYMPIC 30 tháng 4, Toán học 11, Nxb ĐH Sư Phạm.

25

download by :
skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to

skkn mới nhất skkn rèn luyện kỹ năng giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp véc tơ

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về