skkn mới nhất skkn rèn luyện kỹ năng giải một số bài toán xác suất cho học sinh lớp 11

PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài:
Học sinh yếu, kém trong bộ mơn tốn là những học sinh có kết quả về mơn
tốn thường xun dưới mức trung bình. Do đó việc lĩnh hội tri thức, rèn
luyện kỹ năng cần thiết đối với những học sinh này tất yếu địi hỏi tốn nhiều
cơng sức và thời gian hơn so với những học sinh khác.
Lý thuyết xác suất nghiên cứu quy luật của các hiện tượng ngẫu nhiên. Do
đặc thù của chuyên ngành nên các bài toán về xác suất có nhiều điểm khác
biệt so với các bài tốn đại số, giải tích, hình học. Chính vì vậy, đứng trước
một bài toán xác suất học sinh thường lúng túng, khơng biết cách giải quyết
như thế nào, thậm chí có nhiều em đã làm xong cũng khơng dám chắc mình
đã làm đúng hay chưa?
Đối với trung tâm GDNN – GDTX đa số các em học sinh có học lực trung
bình yếu và là con em nông thôn, điều kiện kinh tế cịn khó khăn nên việc đầu
tư về vật chất cũng như thời gian cho con cái học tập chưa cao, ngồi giờ đến
lớp các em cịn phải giúp đỡ bố mẹ các cơng việc gia đình, khơng có thời gian
để tự học. Sự quan tâm kèm cặp con cái của phụ huynh còn hạn chế . Ý thức
học tập của một số em chưa cao, phương pháp học tập chưa phù hợp, dẫn đến
chất lượng học tập của học sinh cịn yếu vì thế hầu hết các em sợ học mơn
tốn. Là một giáo viên đã có mười năm gắn bó với nghề. Tơi rất hiểu và thơng
cảm trước những khó khăn của các em. Bởi vậy trong quá trình giảng dạy tơi
ln học hỏi đồng nghiệp và tìm tịi những phương pháp thích hợp để giúp
các em học sinh yếu, kém dần yêu thích và chú ý học mơn tốn hơn.Từ đó từng
bước nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn ở Trung tâm GDNN – GDTX Thọ
Xn cao dần lên . Qua thực tế dạy học tôi đã tìm, áp dụng một số phương
pháp và cũng đã có những thành cơng nhất định, vì vậy tơi đã ghi chép lại vừa
là để thực hiện sau này, vừa là để phần nào các đồng nghiệp vận dụng vàoVì
thế tôi chọn ạy với tên đề tài là: “Rèn luyện kỹ năng giải một số bài toán
xác suất cho học sinh lớp 11”.
1.2 Mục đích của đề tài:
Sở dĩ tơi chọn đề tài này là vì mong muốn tìm được một phương pháp

tối ưu nhất để trong quỹ thời gian cho phép hồn thành được một hệ thống
chương
trình qui định, nhằm lấp đầy các chỗ hổng kiến thức và từng bước nâng
cao thêm về mặt kỹ năng trong việc giải các bài tập Tốn cho học sinh. Từ đó
phát huy, khơi dậy khả năng sử dụng hiệu quả kiến thức vốn có của học sinh,
đồng thời thu hút, lơi cuốn các em ham thích học mơn tốn, đáp ứng những
u cầu về đổi mới phương pháp và nâng cao chất lượng dạy học hiện nay.

download by :

1


Thực trạng hiện nay cho thấy vấn đề học sinh yếu kém ở các bộ mơn rất
trầm trọng. Trong đó mơn tốn khơng phải là ngoại lệ. Với vai trị quan trọng
của bộ mơn có tính quyết định đến chất lượng học tập các bộ mơn khác. Hơn
nữa chương trình tốn là những viên gạch đặt nền móng đầu tiên cho cả quá
trình học tập sau này. Xuất phát từ lịng thương u học sinh như con em của
mình và lương tâm của một người thầy giáo. Tôi thực sự băn khoăn, trăn trở
trước những khó khăn chán nản của học sinh khi học mơn tốn. Với sự trao
đổi, góp ý của đồng nghiệp, tôi đã thử nghiệm trên đối tượng học sinh khối
lớp 11 ở trung tâm GDNN – GDTX về phương pháp giúp đỡ học sinh yếu, kém
học tốt mơn tốn và thực tế đem lại kết quả khả quan. Sự tiến bộ rõ rệt của
học sinh là động lực thúc đẩy tơi hồn thành bản sáng kiến kinh nghiệm này.
1.3 Đối tượng nghiên cứu:
Kiến thức mơn tốn như đã trình bày đóng vai trị nền tảng. Vì thế khắc
phục tình trạng yếu kém mơn tốn là vấn đề không chỉ của riêng một cá nhân
giáo viên dạy toán nào. Tuy nhiên, để đạt hiệu quả rõ ràng trong việc nghiên
cứu và thể nghiệm trong đề tài này tôi chủ yếu tập trung đi sâu vào các
phương pháp dạy học toán rèn kỹ năng giải toán cho học sinh yếu, kém thuộc

lớp 11 vào các giờ học luyện tập. Các bài toán được đề cập đến trong đề tài
thuộc phạm vi sách giáo khoa, sách bài tập đảm bảo tính vừa sức đối với các
em.
1.4 Phương pháp nghiên cứu:
- Nghiên cứu về phương pháp bồi dưỡng học sinh yếu kém trong các năm giảng
dạy .
- Đề tài này được hoàn thành trên phương pháp thống kê, tổng hợp, trao đổi
và tổng kết các năm học, quan sát, phân tích nguyên nhân và phương pháp
thực nghiệm sư phạm. Kinh nghiệm của các đồng chí giáo viên và bản than
qua nhiều năm dạy học.
PHẦN 2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận
Xuất phát từ việc giải tốn đi kèm với tư duy, tính tốn. Mặt khác Tốn
học là một mơn khoa học u cầu phải chính xác do đó học sinh dễ nhàm chán,
cảm thấy khó khăn khi tiếp thu. Việc học tập mơn Tốn có tính kế thừa, các
tiết sau vận dụng các tiết trước cũng như các kiến thức khác đã học qua ở
trước đó do đó nếu học sinh lơ là khơng chú ý ở một tiết, một nội dung nào đó
thì sẽ rất khó khăn khi học, tiếp thu kiến thức ở các tiết sau.
2.2. Thực trạng của vấn đề :

download by :

2


skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11

Môn Toán là môn học có khả năng to lớn phát triển trí tuệ học sinh thông
qua việc rèn luyện các thao tác tư duy phân tích, tổng hợp, khái quát hoá,
trừu tượng hoá và cụ thể hoá.

Hiện nay tỉ lệ học sinh trong trung tâm nói chung và học sinh khối 11 nói
riêng học kém mơn Tốn rất nhiều, các em chưa chú ý hay hứng thú với bài
học do tiếp thu khó khăn. Nhiều em cịn lúng túng khi làm bài.
Khối 11 ở trung tâm mà tôi đang giảng dạy. Với 102 học sinh, kết quả khảo
sát đầu năm cho thấy đa số học sinh có học lực yếu kém cụ thể như sau.
Loại giỏi Loại khá Loại TB Loại yếu Loại kém
Tổng
Lớp
Tỉ lệ
Tỉ lệ
Tỉ
Tỉ lệ
Tỉ lệ
số HS SL
SL
SL
SL
SL
%
%
lệ%
%
%
11 A1

52

0

0

0

0

14

26,9

22

42,3

16

30,8

11 A2

50

0

0

0

0

12

24

20

40

18

36

Tổng : 102

0

0

0

0

26

25,

42

41,2 34

33,3

5
2.3. Một số phương pháp , kỹ năng giải một số bài toán xác suất cho
học sinh lớp 11:
*Dạng 1: Các bài toán sử sụng quy tắc cộng, quy tắc nhân
Bài toán 1.
Gieo đồng thời hai con súc sắc. Tính xác suất sao cho:
a) Hai con súc sắc đều xuất hiện mặt chẵn.
b) Tích số chấm trên 2 con súc sắc là số chẵn.
Phân tích:
a) Đối với bài toán này phần lớn học sinh đều giải bằng cách đếm số phần tử
của biến cố. học sinh trung bình thường liệt kê phần tử và đếm trực tiếp. Tất
nhiên là cách giải này rất dài và có thể làm sót phần tử dẫn tới giải sai. Học
sinh khá hơn thì sử dụng tính tốn để đếm số phần tử như sau:
Ta có n ( Ω ) =36
Chọn A là biến cố “Hai con súc sắc đều xuất hiện mặt chẵn”
Do đó A={( i , j)∨i , j∈ { 2,4,6 } }
Có 3 cách chọn i∈ { 2,4,6 }, với mỗi cách chọn i ta có 3 cách chọn j .
Do đó có 9 cách chọn ( i , j ) ∈ A ⇒ n ( A ) =9

download by :
skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11

3


skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11

P ( A )=

n(A) 9 1
= = =0,25
n ( Ω ) 36 4

Tôi thấy rằng đây là một lời giải hợp lý, tuy nhiên bài tốn này có thể
được giải quyết một cách đơn giản hơn khi ta sử dụng quy tắc xác suất. Cho
nên giáo viên có thể gợi mở, dẫn dắt học sinh để đi tới giải bài toán theo định
hướng này như sau:
Gọi A là biến cố “Con súc sắc thứ nhất xuất hiện mặt chẵn”
B là biến cố “Con súc sắc thứ hai xuất hiện mặt chẵn”
X là biến cố “Hai con súc sắc đều xuất hiện mặt chẵn”
3 1
Thấy rằng A và B là hai biến cố độc lập và P ( A )=P ( B )=¿ 6 = 2
(Trong 6 mặt thì có 3 mặt chẵn)

Do vậy ta có:

1 1 1
P ( X )=P ( AB )=P ( A ) . P ( B )= . =
2 2 4

a) Gọi Y là biến cố “Tích số chấm trên 2 con súc sắc là số chẵn”
Có 3 khả năng xảy ra để tích số chấm trên con súc sắc là số chẵn:
- Con súc sắc thứ nhất xuất hiện mặt chẵn, con súc sắc thứ hai xuất hiện
mặt lẻ.
- Con súc sắc thứ nhất xuất hiện mặt lẻ, con súc sắc thứ hai xuất hiện mặt
chẵn.
- Cả hai con súc sắc cùng xuất hiện mặt chẵn.
Và ta có Y : “Tích số chấm trên 2 con súc sắc là số lẻ” chỉ có 1 khả năng là
cả hai con súc sắc đều xuất hiện mặt lẻ.

Như vậy một lần nữa ta lại thấy ưu thế của biến cố đối.
Ta có Y = A B và A , B độc lập nên ta có:

( 12 )(1− 12 )= 14

P ( Y )=P ( A ) . P ( B )= [1−P ( A ) ][ 1−P ( B ) ] = 1−

Và do đó :

1 3
P ( Y )=1−P ( Y ) =1− =
4 4

Bài toán trên ta đã sử dụng quy tắc nhân xác suất. Muốn sử dụng được quy
tắc nhân phải khẳng định được hai biến cố là độc lập. Vậy hai biến cố thường
độc lập trong các phép thử nào? Tất nhiên ở đây tôi không thể nêu tất cả mà
chỉ đưa ra một số trường hợp quen thuộc

download by :
skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11

4


skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11

- Gieo hai đồng tiền hoặc gieo đồng tiền hai lần thì biến cố xảy ra trong lần
gieo này độc lập với biến cố xảy ra trong lần gieo kia. Tương tự đối với con
súc sắc.
- Hai xạ thủ bắn sung thì sự bắn trúng hay trượt của người này khơng ảnh

hưởng tới người kia. Do đó các biến cố liên quan đến người này độc lập với
biến cố liên quan đến người kia. Tương tự đối với một người bắn hai phát
sung
- Có hai cái hịm đựng bóng. Lấy từ mỗi hịm ra một quả bóng thì biến cố lấy
ra bóng của hịm này sẽ độc lập với biến cố lấy ra bóng ở hịm kia. Tương tự
đối với bài toán lấy bi, lấy cầu...
Chú ý rằng: Nếu A và B độc lập thì A và B ; A và B; A và B cũng độc lập
Cũng giống như quy tắc cộng và quy tắc nhân trong toán tổ hợp, đối với biến
cố xảy ra khả năng này hoặc khả năng kia thì ta sử dụng quy tắc cộng xác
suất. Còn với biến cố thực hiện lien tiếp hai hành động thì ta dùng quy tắc
nhân
Bài tốn 2.
Trong hịm có 10 chi tiết, trong đó có 2 chi tiết hỏng. Tìm xác suất để khi
lấy ngẫu nhiên 6 chi tiết thì có khơng q 1 chi tiết hỏng.
Phân tích: Trong 6 chi tiết thì có khơng q 1 chi tiết hỏng nghĩa là khơng có
chi tiết nào hỏng hoặc có một chi tiết hỏng. Bài tốn này khơng thể giải theo
dạng 1 mà phải sử dụng phép tính xác suất. Đây là bài toán dùng quy tắc cộng
xác suất
Lời giải
Gọi A1 là biến cố “Trong 6 chi tiết lấy ra khơng có chi tiết nào hỏng”
A2 là biến cố “Trong 6 chi tiết lấy ra có 1 chi tiết hỏng”
A là biến cố “Trong 6 chi tiết lấy ra có khơng q 1 chi tiết hỏng”
Khi đó A=A 1 ∪ A2. Do A1 và A2 xung khắc nhau nên
P ( A )=P ( A1 ) + P ( A2 )
Số cách lấy ra 6 chi tiết từ 10 chi tiết là C 610 ⇒ n ( Ω )=C 610=210
Có 8 chi tiết không bị hỏng nên : n ( A1 ) =C68 =28
Số cách lấy 5 chi tiết từ 8 chi tiết bị hỏng là C 58

download by :
skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11

5


skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11

Số cách lấy 1 chi tiết từ 2 chi tiết hỏng là C 12
5
1
Theo quy tắc nhân ta có : n ( A2 ) =C 8 . C2 =112
n ( A1 ) 28
2
P ( A 1 )=
=
=
Do vậy ta có:
( ) 210 15

nΩ

P ( A 2 )=

n ( A2 )
n (Ω)

=

112 8
=
210 15

⇒ P ( A ) =P ( A 1 ) + P ( A 2 )=

2 8 2
+ =
15 15 3

Bài tốn 3
Có hai hộp cùng chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất có 7 quả cầu đỏ, 5 quả cầu
xanh. Hộp thứ hai có 6 quả cầu đỏ, 4 quả cầu xanh. Từ mỗi hộp lấy ra ngẫu
nhiên 1 quả cầu.
a) Tính xác suất để 2 quả cầu lấy ra cùng màu đỏ.
b) Tính xác suất để 2 quả cầu lấy ra cùng màu.
Phân tích: Bài tốn này vẫn có thể giải theo dạng 1, tuy nhiên việc giải rất
dài dòng và phức tạp. Nếu sử dụng phối hợp quy tắc cộng và quy tắc nhân thì
việc giải quyết bài toán trở nên đơn giản hơn rất nhiều.
Lời giải
a) Gọi: A là biến cố “Quả cầu lấy ra từ hộp thứ nhất màu đỏ”
B là biến cố “Quả cầu lấy ra từ hộp thứ hai màu đỏ”
X là biến cố “Hai quả cầu lấy ra cùng màu đỏ”
7

6

3

Ta có X =AB , P ( A )=¿ 12 , P ( B )=¿ 10 = 5
Mặt khác A và B độc lập nên
P ( X )=P ( A ) ( B )=

7 3 7
. =
12 5 20

b) Gọi: Y là biến cố “Hai quả cầu lấy ra cùng màu xanh”
Z là biến cố “Hai quả cầu lấy ra cùng màu”
Ta có Y = A B
Mặt khác A và B độc lập nên

(

P(Y )=P ( A ) . P ( B )= [ 1−P ( A ) ][ 1−P ( B ) ] = 1−

7
3 1
1− =
12
5 6

)( )

Thấy rằng Z=X ∪Y , X ⋂ Y =∅ nên

download by :
skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11

6


skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11

P ( Z )=P ( X )+ P ( Y ) =

7 1 31
+ =
20 6 60

Những bài toán sử dụng quy tắc cộng xác suất và quy tắc nhân xác suất là các
bài tốn ln tính được xác suất của biến cố cơ sở (các biến cố cần tính xác
suất biểu diễn qua các biến cố này). Chúng ta để ý các xác suất sau:
- Khi gieo một đồng tiền xu cân đối, đồng chất thì:
1

+ Xác suất xuất hiện mặt sấp là 2
1

+ Xác suất xuất hiện mặt ngửa là 2
- Khi gieo một con súc sắc cân đối đồng chất thì:
1

+ Xác suất xuất hiện từng mặt là 6
1

+ Xác suất xuất hiện mặt có số chấm là chẵn: 2
1

+ Xác suất xuất hiện mặt số chấm là lẻ: 2
1

+ Xác suất xuất hiện mặt số chấm là số chia hết cho 3: 2

Đối với các phép thử khác thì tuỳ theo từng bài tốn ta sẽ tính được xác
suất này. Và cũng có nhiều bài tốn cho trực tiếp xác st. Bài tốn sau là
một ví dụ
Bài tốn 4
Có 2 lơ hàng. Người ta lấy ngẫu nhiên từ mỗi lô hàng một sản phẩm. Xác suất
để được sản phẩm chất lượng tốt ở từng lô hàng lần lượt là 0,7 ; 0 , 8. Hãy tính
xác suất để:
a) Trong 2 sản phẩm lấy ra có ít nhất một sản phẩm có chất lượng tốt.
b) Trong 2 sản phẩm lấy ra có đúng 1 sản phẩm có chất lượng tốt.
Phân tích: Đây là bài tốn cho trước xác suất nên chắc chắn ta phải sử dụng
phép toán tính xác suất để giải quyết. Biến cố cơ sở sẽ là “Lấy được sản phẩm
tốt từ lô hàng thứ nhất” và “Lấy được sản phẩm tốt từ lô hàng thứ hai”
Lời giải:
Gọi A : “Lấy được sản phẩm tốt từ lô hàng thứ nhất”
B: “Lấy được sản phẩm tốt từ lô hàng thứ hai”

download by :
skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11

7


skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11

Khi đó ta có:

P ( A )=0,7 ⇒ P ( A )=1−0,7=0,3
P ( B )=0,8 ⇒ P ( B )=1−0,7=0,2

a) Gọi X là biến cố “Trong 2 sản phẩm lấy ra có ít nhất một sản phẩm có

chất lượng tốt”. Suy ra X =A B
Do ba biến cố A , B là độc lập nên ta có: P ( X )=P ( A ) P ( B )=0,06
⇒ P ( X )=1−P ( X ) =0,94

b) Gọi Y là biến cố “Trong 2 sản phẩm lấy ra có đúng một sản phẩm có
chất lượng tốt”. Suy ra Y = A B ∪ A B
Do A B , A B xung khắc và biến cố A và B; A và B độc lập nên ta có
P ( Y )=P ( A B ∪ A B )=P ( A B ) + P ( A B )
¿ P ( A ) P ( B ) + P ( A ) P ( B )=0,7.0,2+ 0,8.0,3=0,38

*Dạng 2: Biến cố độc lập
Bài toán 5.
Xếp ngẫu nhiên ba bạn nam và ba bạn nữ ngồi vào sáu ghế kê theo hàng
ngang. Tìm xác suất sao cho.
a) Nam nữ ngồi xen kẽ nhau.
b) Ba bạn nam ngồi cạnh nhau.
Phân tích:
Đây tuy là một bài tốn xác suất nhưng thực chất nó lại là một bài tốn
đếm trong tổ hợp. Đó là tập hợp của các bài tốn tổ hợp nhỏ quen thuộc như
sau:
(1)Có bao nhiêu cách xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ vào 6 ghế kê theo hàng
ngang ( Đáp số: 6 !=720 cách).
(2)Có bao nhiêu cách xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ và 6 ghế kê theo hàng
ngang, biết rằng nam nữ ngồi cạnh nhau,
( Đáp số: 3 ! .3 !+3 ! .3 !=72 cách).
(3)Có bao nhiêu cách xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ và 6 ghế kê theo hàng
ngang, biết rằng ba bạn nam ngồi cạnh nhau.
( Đáp số: 4.3 !.3 !=144 cách)
Như vậy bài toán trên được giải như sau
Lời giải:

download by :
skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11

8


skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11

Gọi A là biến cố “Xếp 3 học sinh nam và 3 học sinh nữ vào 6 ghế kê theo
hàng ngang mà nam và nữ xen kẽ nhau”
Và B là biến cố “Xếp 3 học sinh nam và 3 học sinh nữ vào 6 ghế kê theo
hàng ngang mà 3 bạn nam ngồi cạnh nhau”
Ta có: n ( Ω ) =720 ,n ( A )=72 ,n ( B )=144
Suy ra :

P ( A )=

n ( A ) 72
1
=
=
720
10
n (Ω)

; P ( B )=

n ( B ) 144 1
=

=
n ( Ω ) 720 5

Như vậy phần lớn các bài toán dạng 1 là các bài tốn sử dụng cơng thức
và kĩ thuật của toán tổ hợp. Đối với các bài toán như vậy thì học sinh chỉ cần
phải nắm vững cơng thức về tổ hợp và định nghĩa xác suất.
Bên cạnh đó, có những bài tốn chỉ cần dùng phương pháp liệt kê.
Bài toán 6.
Gieo một con súc xắc, cân đối và đồng nhất. Giả sử con súc xắc suất hiện
mặt b chấm. Xét phương trình x 2+ bx+ 2=0
Tính xác suất sao cho phương trình có nghiệm.
Lời giải:
Ký hiệu “con súc xắc suất hiện mặt b chấm” là b:
Không gian mẫu:Ω={ 1,2,3,4,5,6 } ⇒ n ( Ω )=6
Gọi A l à biến cố: “Phương trình có nghiệm”
Ta đã biết phương trình x 2+ bx+ 2=0có nghiệm khi ∆=b 2−8 ≥ 0
Do đó A={ b ∈Ω∨b 2−8 ≥ 0 }= {3,4,5,6 } ⇒ n ( A )=4
P ( A )=

n(A) 4 2
= =
n (Ω) 6 3

Tuy nhiên, phương pháp liệt kê chỉ có hiệu quả khi số phần tử của biến cố là
nhỏ. Nếu số phần tử lớn thì việc liệt kê trở nên khó khăn và dễ xét thiếu phần
tử
Bài tốn 7..
Trên một cái vịng hình trịn dùng để quay sổ số có gắn 36 con số từ 01
đến 36. Xác suất để bánh xe sau khi quay dừng ở mỗi số đều như nhau. Tính
xác suất để khi quay hai lần liên tiếp bánh xe dừng lại ở giữa số 1 và số 6 ( kể

cả 1 và 6) trong lần quay đầu và dừng lại ở giữa số 13 và 36 ( kể cả 13 và 36)
trong lần quay thứ 2.

download by :
skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11

9


skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11

Phân tích: Rõ ràng là trong bài tốn này ta khơng thể sử dụng phương pháp
liệt kê vì số phần tử của biến cố là tương đối lớn. Ở đây ta sẽ biểu diễn tập
hợp dưới dạng tính chất đặc trưng để tính tốn.
Gọi A là biến cố cần tính xác suất
Ω={( i, j)∨i , j∈ { 1 ,2 , … , 36 } }⇒ n ( Ω )=36.36=1296
A={( i , j)∨i∈ { 1 , 2, … , 6 } , j ∈ {13 , 14 , … , 36 } }

Có 6 cách chọn i, ứng với mỗi cách chọn i có 25 cách chọn j ( từ13 đến36 có 25
số) do đó theo quy tắc nhânn ( A ) =6.24=144
P ( A )=

n ( A ) 144 1
=
=
n ( Ω ) 1296 9

Ta cùng xét một bài toán khá thú vị sau:
Bài toán 8.
Gieo một đồng tiền cân đối đồng chất liên tiếp cho đến khi lần đầu tiên xuất

hiện mặt ngửa hoặc cả 6 lần xuất hiện mặt sấp thì dừng lại.
a) Mơ tả khơng gian mẫu.
b) Tính xác suất:
A: “Số lần gieo khơng vượt q ba”
B: “Số lần gieo là năm”
C: “Số lần gieo là sáu”
Phân tích: Đối với bài tốn này rất nhiều học sinh lúng túng khơng biết
cách xác định khơng gian mẫu vì học sinh vốn quen với các bài toán cho trước
số lần gieo. Bài toán này trước hết phải xác định được số lần gieo. Giáo viên
có thể gợi ý cho học sinh bằng các câu hỏi như:
- Nếu khơng có giả thiết “cả 6 lần xuất hiện mặt sấp thì dừng lại” thì ta
phải gieo đồng tiền bao nhiêu lần?
- Nếu kết hợp với giả thiết “cả 6 lần xuất hiện mặt sấp thì dừng lại” thì ta
phải gieo đồng tiền tối đa bao nhiêu lần?
Tất nhiên với câu hỏi đầu tiên học sinh không thể đưa ra một con số cụ thể vì
nếu gieo 100 lần vẫn có thể là cả 100 lần đều xuất hiện mặt sấp do đó vẫn
chưa thể dừng lại nhưng học sinh đã hình dung ra dạng các phần tử đầu tiên.

download by :
skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11

10


skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11

Với câu hỏi thứ hai học sinh có thể trả lời được số lần gieo tối đa là 6. Từ đó
học sinh có thể xác định được khơng gian mẫu
Lời giải
a) Không gian mẫu Ω={ N , SN , SSN , SSSN , SSSSN , SSSSN , SSSSS }

b) Ta có:

A={ N , SN , SSN } , n ( A )=3 ⇒ P ( A )=

3
7

B= { SSSSN } , n ( B ) =1 ⇒ P ( B ) =

1
7

C={ SSSSSN , SSSSSS } , n ( C ) =2 ⇒ P ( C )=

2
7

Sau đây tôi xin trình bày phương pháp giải một số bài tốn bằng cách sử
dụng các quy tắc tính xác suất đã học.
* Dạng 3: Biến cố đối
Trong tốn học, có những bài tốn khi tính tốn trực tiếp rất dài dịng và
phức tạp. Khi đó phương pháp gián tiếp lại rất hiệu quả và cho ta cách làm
ngắn gọn. Phương pháp sử dụng biến cố đối là một phương pháp như vậy
Bài toán 9
Gieo đồng tiền xu cân đối đồng chất 3 lần. Tính xác suất của các biến cố:
a) Biến cố A: “Trong 3 lần gieo có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa”.
b) Biến cố B: “Trong 3 lần gieo có cả hai mặt sấp, ngửa”.
Phân tích:
Học sinh có thể giải quyết bài tốn theo định hướng là: ít nhất 1 lần
xuất hiện mặt ngửa thì có 3 khả năng có thể xảy ra là: 1 lần xuất hiện mặt

ngửa, hai lần xuất hiện mặt ngửa, ba lần xuất hiện mặt ngửa.
Do vậy học sinh sẽ giải bài toán như sau:
Ω={NNN , NNS , NSS , SSS , SNN , SNS , SSN , SNS }
A={ NSS , SNS , SSN , SNN , NNS , NSN , NNN }

Suy ra:
P ( A )=

n(A) 7
=
n ( Ω) 8

Tuy nhiên làm như vậy dài và rất dễ bỏ quên trường hợp. Tuy nhiên
nếu để ý rằng biến cố đối của biến cố A là biến cố A : “Khơng có lần nào xuất
hiện mặt ngửa”. Do đó bài tốn này sẽ được giải như sau:

download by :
skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11

11


skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11

Lời giải:
Không gian mẫu n ( Ω ) =2.2.2=8
a) Ta có biến cố đối của biến cố A là biến cố:
A : “Không cố lần nào xuất hiện mặt ngửa”
1
1 7

Và ta có A={ SSS } ⇒ n ( A )=1 ⇒ P ( A ) = 8 ⇒ P ( A ) =1− 8 = 8

b) Tương tự ta có:
1
3
B= { SSS , NNN } ⇒ n ( B )=2 ⇒ P ( B ) = ⇒ P ( B ) =
4
4

Bài toán 10
Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác suất của
các biến cố sau:
a) Biến cố A: “Trong hai lần gieo ít nhất một lần xuất hiện mặt một
chấm”
b) Biến cố B: “Trong hai lần gieo tổng số chấm trong hai lần gieo là một
số nhỏ hơn 11”
Phân tích: Đối với bài toán này dùng phương pháp sử dụng biến cố đối là
phương pháp tối ưu bởi lẽ nếu tính trực tiếp ta phải xét rất nhiều trường hợp
+ Đối với biến cố A
- Mặt một chấm xuất hiện lần thứ nhất
- Mặt một chấm xuất hiện lần thứ hai
- Hai lần gieo đều xuất hiện mặt một chấm
+ Đối với biến cố B. Tổng số trong hai lần gieo là một số nhỏ hơn 11 tức là có
10 khả năng xảy ra: 1,2,…,10
Lời giải:
Không gian mẫu Ω={(i , j )∨i , j∈ { 1 ,2 , … , 6 } }⇒ n ( Ω )=6.6=36
a) Ta có biến cố đối A={{ ( i , j )|i, j∈ { 2, … , 6 } } ⇒ n ( A )=25
P ( A )=

n ( A ) 25

11
= ⇒ p ( A )=1−P ( A ) =
36
n ( Ω ) 36

b) Ta có:
B= { (i , j )|i , j∈ { 1 ,2 , … , 6 } , i+ j≥ 11 } ⇒ B={ ( 5,6 ) ; ( 6,5 ) , ( 6,6 ) } ⇒ n ( B )=3 ⇒ P ( B ) =
⇒ P ( B )=1−

n (B ) 3
1
= =
n ( Ω) 36 12

1 11
=
12 12

download by :
skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11

12


skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11

Phương pháp sử dụng biến cố đối là một phương pháp hay, tuy nhiên
để vận dụng được phương pháp này học sinh cần nắm được hai yếu tố:
- Nhận dạng loại tốn: Các bài tốn có cụm từ “có ít nhất”, “tối thiểu”, “tất
cả”…hoặc tính chẵn, lẻ, vơ nghiệm, có nghiệm,…nếu tính kiểu bù gọn hơn thì

ta dùng biến cố đối
- Xác định tốt mệnh đề phủ định và phép toán lấy phần bù của một tập hợp
để tránh xác định sai biến cố đối.
2.4) Hiệu quả đạt được sau khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Trong năm học 2017 – 2018 bản thân tôi được giao nhiệm vụ giảng dạy
mơn Tốn 11 cùng với những thuận lợi và những khó khăn gặp phải trong
q trình giảng dạy như tơi đã trình bầy, tơi đã trăn trở suy nghĩ tìm các biện
pháp với mục đích khơng phải cái gì khác mà chỉ muốn làm cho chất lượng
dạy học của môn mình được phân cơng được phát triển tốt, các em có ý thức
học tập mơn Tốn và đạt kết quả tốt hơn do đó tơi đã thực hiện một số biện
pháp như trên.
Kết quả thi chất lượng học kỳ I cho thấy chất lượng giảng dạy đã có thay
đổi, tỉ lệ học sinh trung bình tăng, tỉ lệ học sinh yếu , kém đã được giảm bớt.
Cụ thể như sau:
Kiểm tra chất lượng học kỳ I mơn tốn 11:
Lớp

Tổng

Loại giỏi

số HS SL

Tỉ lệ
%

Loại khá
SL

Tỉ lệ

%

Loại TB
SL

Tỉ
lệ%

Loại yếu
SL

Tỉ lệ
%

Loại kém
SL

Tỉ lệ
%

11 A1

52

0

0

2

3,8

30

57,7

15

28,9

5

9,6

11 A2

50

0

0

1

2

28

56

12

24

9

18

Tổng : 102

0

0

3

2,9

58

56,

27

26,5 14

13,7

9
PHẦN 3. KẾT LUẬN- KIẾN NGHỊ

3.1. Kết luận:

download by :
skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11

13


skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11

Như vậy việc giúp đỡ học sinh yếu , kém học tốt mơn tốn là việc làm rất khó
khăn lâu dài địi hỏi giáo viên phải có tình thương, một chút hy sinh và tinh
thần trách nhiệm.
Việc sắp xếp thời gian thích hợp ngồi giờ lên lớp để bổ trợ kiến thức bị
hổng cho học sinh yếu, kém đó là một khó khăn khơng phải ai cũng làm được.
Mà phải có sự tận tâm hy sinh cao cả của người thầy tất cả vì tương lai các
em. Do vậy rất cần đến sự chia sẻ từ phía lãnh đạo và các cấp ngành giáo dục.
Mỗi người thầy có một cách làm riêng, song với cách làm nêu trên với
thành công ban đầu thiết nghĩ đó là kết quả đáng phấn khởi đối với người
thầy dạy tốn. Việc làm này khơng dễ thành công trong ngày một ngày hai mà
phải là sự cố gắng bền bỉ và tận tuỵ thì mới mong mang lại kết quả tốt.
Với vốn kiến thức của mình cịn hạn hẹp, bề dày kinh nghiệm cịn khiêm
tốn, nên không tránh khỏi những hạn chế khiếm khuyết. Vậy rất mong hội
đồng xét duyệt góp ý, bổ sung để kinh nghiệm giảng dạy của tôi ngày càng
phong phú và hữu hiệu hơn.
3.2.Kiến nghị đề xuất:
- Để đề tài được thực hiện và đạt được hiệu quả như mong muốn tơi nghĩ
khơng phải chỉ mỗi một mình giáo viên bộ mơn là thực hiện tốt mà cần phải
có sự vào cuộc của mọi lực lượng, sự hỗ trợ đóng góp ý kiến của giáo viên bộ
môn khác, của Ban giám hiệu, sự quan tâm giúp đỡ và tạo điều kiện để học

sinh học tập của phụ huynh học sinh, của các ban ngành đoàn thể trong xã.
3.2.1. Với giáo viên:
- Trong từng tiết dạy cần kế thừa và phát triển những phương pháp tích cực,
nên áp dụng rộng rãi dạy học các phương pháp tìm tịi, đặt – giải quyết vấn
đề, chú ý phương pháp tự học của học sinh.
3.2.2 Với ban giám hiệu:
- Là những người chịu trách nhiệm việc đổi mới phương pháp dạy học
trong trung tâm, nên cần có những biện pháp tổ chức quản lí phù hợp để
khuyến khích, tạo điệu kiện cho giáo viên áp dụng các phương pháp tích cực
ngày càng rộng rãi, thường xuyên và có hiệu quả hơn.
3.2.3 Với lãnh đạo:
- Chương trình SGK đổi mới đã mang lại sự chyển biến mạnh mẽ trong q
trình dạy và học, trong đó người học đóng vai trị chủ thể của nhận thức. Nên
tơi mạnh dạn dạn đề xuất cần bổ xung thêm nhiều tại liệu thiết thực và hiệu
quả vào thư viện nhà trường giúp học sinh tự tìm tịi nghiên cứu trong quá
trình học tập.
Trên đây là một sáng kiến nho nhỏ để áp dụng vào thực tế dạy học của tôi
trong q trình giảng dạy mơn tốn khối 11, rất mong được sự đóng góp ý
kiến của các bạn bè đồng nghiệp và của cấp trên để cho sáng kiến của tôi

download by :
skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11

14


skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11

skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.xac.suat.cho.hoc.sinh.lop.11