skkn mới nhất skkn rèn luyện kỹ năng giải bài toán cực trị môđun số phức bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng nhằm nâng cao năng lực

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT NHƯ THANH

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ
MÔĐUN SỐ PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
TRONG MẶT PHẲNG NHẰM NÂNG CAO NĂNG LỰC
GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH.

Giáo viên: Nguyễn Khắc Sâm
Tổ:
Toán - Tin
Trường: THPT Như Thanh
SKKN thuộc mơn Tốn.

THANH HĨA, NĂM 2018

download by :


MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU..........................................................................................................1
1.1. Lý do chọn đề tài..........................................................................................1
1.2. Mục đích nghiên cứu....................................................................................1
1.3. Đối tượng nghiên cứu...................................................................................1
1.4. Phương pháp nghiên cứu.............................................................................1
2. NỘI DUNG.......................................................................................................2
2.1. Cơ sở lý luận.................................................................................................2
2.2. Thực trạng.....................................................................................................2

2.3. Giải quyết vấn đề..........................................................................................2
2.3.1. Cơ sở lý thuyết...........................................................................................4
2.3.2. Một số dạng bài toán cực trị số phức.......................................................7
2.4. Một số bài tập trắc nghiệm vận dụng.......................................................15
2.5. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm........................................................16
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ............................................................................17
3.1. Kết luận.......................................................................................................17
3.2. Kiến nghị.....................................................................................................17
TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................................18

download by :


skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.luc

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài.
Trong công cuộc đổi mới căn bản và toàn diện nền giáo dục nước nhà, đổi
mới phương pháp dạy học là một trong những nhiệm vụ quan trọng hàng đầu.
Đổi mới phương pháp dạy học với mục đích phát huy tốt nhất tính tích cực, sáng
tạo của người học. Nhưng khơng phải thay đổi ngay lập tức bằng những phương
pháp hoàn toàn mới lạ mà phải là một quá trình áp dụng phương pháp dạy học
hiện đại trên cơ sở phát huy các yếu tố tích cực của phương pháp dạy học truyền
thống nhằm thay đổi cách thức, phương pháp học tập của học sinh chuyển từ thụ
động sang chủ động.
Trong chương trình đổi mới nội dung Sách giáo khoa, số phức được đưa
vào chương trình tốn học phổ thơng và được giảng dạy ở cuối lớp 12. Số phức
là vấn đề hoàn tồn mới và khó đối với học sinh, địi hỏi người dạy phải có tầm
nhìn sâu, rộng về nó. Do những tính chất đặc biệt của số phức nên khi giảng dạy
nội dung này giáo viên có nhiều hướng khai thác, phát triển bài tốn để tạo nên

sự lơi cuốn, hấp dẫn người học. Bằng việc kết hợp các tính chất của số phức với
một số kiến thức đơn giản khác về lượng giác, giải tích, đại số và hình học giáo
viên có thể xây dựng được khá nhiều dạng tốn với nội dung hấp dẫn và hồn
tồn mới mẻ. Tuy nhiên trong thực tế giảng dạy, việc chuyển bài tốn Đại số nói
chung và số phức nói riêng sang bài tốn hình học ở nhiều học sinh nói chung
cịn khá nhiều lúng túng, vì vậy việc giải bài tốn về số phức gây ra khá nhiều
khó khăn cho học sinh.
Bài tốn cực trị số phức thơng thường có khá nhiều cách lựa chọn để giải
như Bất đẳng thức, khảo sát hàm số….. Trong sáng kiến kinh nghiệm này, tôi
muốn rèn luyện cho học sinh một lối tư duy vận dụng linh hoạt phương pháp
chuyển đổi từ bài toán đại số sang bài tốn hình học cho học sinh. Với mục tiêu
đó, trong sáng kiến kinh nghiệm này tơi chỉ tập trung giải quyết theo hướng hình
học. Xuất phát từ những lý do trên, tôi chọn đề tài “Rèn luyện kỹ năng giải bài
tốn cực trị mơđun số phức bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng nhằm
nâng cao năng lực giải toán cho học sinh” để nghiên cứu.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Đề tài này nghiên cứu nhằm giúp học sinh giải quyết tốt các bài toán vận
dụng cao về cực trị môđun số phức,.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Sáng kiến kinh nghiệm có đối tượng nghiên cứu là các bài toán cực trị
môđun số phức, được nghiên cứu ở nhiều dạng toán khác nhau.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Để trình bày sáng kiến kinh nghiệm này, tôi đã sử dụng phối kết hợp
nhiều phương pháp như:
-Nghiên cứu tài liệu, quan sát, điều tra cơ bản, thực nghiệm so sánh, phân
tích kết quả thực nghiệm, … phù hợp với môn học thuộc lĩnh vực Toán học.
- Trao đổi với các đồng nghiệp để đề xuất biện pháp thực hiện.
skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.luc

download by :

1


skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.luc

2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lý luận.
Nghị quyết hội nghị Trung ương VIII khóa XI chỉ đạo: “Giáo dục và đạo
tạo là Quốc sách hàng đầu, là sự nghiệp của Đảng và Nhà nước và của toàn dân.
Đầu tư cho giáo dục là đầu tư phát triển, được ưu tiên đi trước cho các chương
trình, kế hoạch phát triển KT-XH; phát triển giáo dục và đạo tạo là nâng cao dân
trí, đạo tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài. Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ
chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất
người học. Học đi đôi với hành, lý luận gắn với thực tiễn, giáo dục nhà trường
kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội”.
Nghị quyết hội nghị Trung ương VIII khóa XI đề ra mục tiêu: “Đối với
giáo dục phổ thông tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất,
năng lực công dân, phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu, định hướng nghề nghiệp
cho học sinh. Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, chú trọng giáo dục lý
tưởng truyền thống đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, năng lực và kỹ năng
thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn, phát triển khả năng sáng tạo và tự
học, khuyến khích học tập suốt đời, hoàn thành đào tạo giáo dục phổ thơng giai
đoạn sau 2015”.
2.2. Thực trạng.
Trong q trình dạy học ở trường THPT Như Thanh nhiều năm nay tôi
nhận thấy việc học bộ mơn tốn của học sinh là rất khó khăn, đặc biệt là phần
cực trị mơđun số phức. Các em không biết bắt đầu từ đâu, vận dụng kiến thức
liên quan nào…. Chính những khó khăn đó đã ảnh hưởng khơng nhỏ đến chất
lượng học tập mơn Tốn, dẫn đến các em khơng có hứng thú trong việc học mơn

Tốn.
Khi chưa áp dụng những nghiên cứu trong đề tài để dạy học giải bài tập
cực trị môđun của số phức, các em thường thụ động trong việc tiếp cận bài toán
và phụ thuộc nhiều vào các cách giải mà giáo viên cung cấp chứ chưa chú ý đến
việc khai thác các bài tốn cực trị trong hình học phẳng để giải các dạng bài toán
này.
Kết quả khảo sát ở một số lớp chọn khối A của trường chỉ có 10% học
sinh hứng thú với bài tốn cực trị môđun số phức.
2.3. Giải quyết vấn đề.
Năm học 2017-2018 sau khi nội dung thi THPT QG có cả nội dung lớp 11
thì Bộ GD&ĐT có cơng bố đề minh họa 2018 và có bài tốn sau:
Xét các số phức
thỏa mãn
. Tính
khi
đạt giá trị lớn nhất.
A.
B.
C.
D.
.
(Trích câu 46 đề minh họa THPT Quốc gia 2018).
Đây là bài tốn tương đối khó với các em học sinh phổ thông, kể cả
những học sinh có học lực giỏi. Cái khó khăn của bái tốn trên chính là mối liên
hệ giữa hai điều kiện
và
. Sau đây là một số cách
giải bài toán này.
skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.luc

download by :

2


skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.luc

Cách 1:
Đặt

.

Từ

hệ

thức

ta

suy

ra:

.
Đặt
Khi đó:
lớn nhất.

là trung điểm của AB thì

.
. Ta biết rằng

M
M

A

I

A
O

O

Đường thẳng

lớn nhất khi

B

I

B

đi qua I và vng góc với AB có phương trình là:

. Xét hệ phương trình:
. Từ hình vẽ ta chọn được
Vậy chọn

Vậy, chọn đáp án A.
Cách 2:
Ta có:

giải ra ta được:
.

.

.

Lại có:
Suy ra:
.
Khi đó:

.

Ta có:

.

skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.luc

download by :

3


skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.luc

. Suy ra:

. Vậy,
. Vậy, chọn đáp án A.

Cách 3: Ta có:

.

Đặt
Khi đó :
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
.
Vậy
Vậy, chọn đáp án A.
Nhận xét: Bài tốn trên có thể vẫn còn nhiều cách giải khác, qua ba cách
giải trên, ta thấy tiếp cận bài toán theo cách 1 (phương pháp hình học) là đơn
giản và nhanh gọn. Hơn nữa, phương pháp sử dụng bất đẳng thức để giải quyết
bài tốn là điều khơng dễ dàng với phần lớn học sinh.
2.3.1. Cơ sở lý thuyết.
2.3.1.1. Các định nghĩa và kí hiệu.
a) Số i: Ta thừa nhận có một số mà bình phương của nó bằng -1.
b) Số phức: Cho
, biểu thức
gọi là một (dạng đại số) số phức.
Trong đó x: phần thực, y: phần ảo.
c) Với mỗi số phức
, giá trị biểu thức
gọi là mơđun của z. Kí

hiệu:

. Như vậy,

.

d) Cho số phức
. Số phức
gọi là số phức liên hợp với số
phức .
e) Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm
trên mặt phẳng toạ độ
Oxy. Ngược lại, mỗi điểm
biểu diễn một số phức là
.
Trong sáng kiến kinh nghiệm này, tơi kí hiệu
, hay đơn giản
để chỉ M là điểm biểu diễn cho số phức
.
2.3.1.2. Các phép toán trên tập hợp số phức.
Cho hai số phức
,
.
+) Phép cộng:
.
+) Phép trừ:
.
+) Phép nhân:
.
skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.luc

download by :

4


skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.luc

+) Phép chia:

.

2.3.1.3. Một số kí hiệu chuyển từ số phức sang tọa độ Oxy quen thuộc.
+) Với
thì
.
+) Với
thì
.
+) Với
, trong đó
là hai số phức khác nhau cho trước
thì tập hợp các điểm
thỏa mãn hệ thức
là đường trung
trực của đoạn thẳng AB.
+) Với
, tập hợp các điểm
thỏa mãn hệ thức:
là đường trịn tâm

bán kính .
+) Với
, tập hợp các điểm
thỏa mãn hệ thức:
là đường Elíp có hai tiêu điểm A, B.
2.3.1.4. Một số bài tốn cực trị hình học trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
Bài toán 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng
và
điểm
. Tìm trên
điểm
sao cho
nhỏ nhất.
Giải: Gọi H là hình chiếu vng góc của
trên
với
thì ta có:
, do đó
nhỏ nhất thì
. Từ đó ta viết phương trình đường
thẳng
đi qua M vng góc với
. Giải hệ gồm hai phương trình đường
thẳng
và
ta suy ra nghiệm
. Từ đó ta tìm được điểm M.
M0

( )

M

H

Bài toán 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng
và
hai điểm
,
. Tìm trên () điểm
sao cho:
nhỏ
nhất.
Giải: Đây là bài tốn khá cơ bản trong hình học phẳng mà học sinh đã được học
từ chương trình THCS. Ta thấy rằng:
+) Nếu hai điểm A, B nằm về hai phía so với () thì với mọi
. Vậy
nhỏ nhất là
khi và chỉ khi ba
điểm
thẳng hàng, hay
.
A

B

A

()

M0

M

()

Mo
M

+) Nếu hai điểm A, B nằm về cùng một phía soA’với () thì ta gọi
B
xứng với qua
. Khi đó với mọi

là điểm đối
. Vậy

skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.luc

download by :

5


skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.luc

nhỏ nhất là
khi và chỉ khi ba điểm
hay
.
Bài toán 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng
hai điểm

,
. Tìm trên
điểm
sao cho:
nhất.
Giải. Gọi
là trung điểm
. Khi đó, với mọi
Suy ra,
AB khơng đổi, do đó
là hình chiếu của

thẳng hàng,
và
nhỏ
ta có:

. Do A, B cố định nên

nhỏ nhất
trên đường thẳng

nhỏ nhất
, trong đó
. Và giá trị nhỏ nhất của

.
Bài tốn 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng
hai điểm
,

. Tìm trên () điểm
sao cho:
nhất.
Giải: Với hai điểm A, B cố định.
+) Nếu A, B cùng phía so với () thì với mọi
ta ln có:
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ba điểm
thẳng hàng, hay

và
lớn

,
.
B

B

A
A’

( )
M0

M

M0

A

M

( )

A, B khác phía với

A, B cùng phía với

+) Nếu hai điểm A, B nằm khác phía so với () thì ta gọi
là điểm đối xứng
với qua
. Khi đó với mọi
ta ln có
.Dấu
bằng xảy ra khi và chỉ khi ba điểm
thẳng hàng, hay
.
Bài toán 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường trịn (C) tâm I bán kính R
và hai điểm
,
. Tìm trên
điểm
sao cho:
nhỏ nhất (lớn nhất).
Giải: Gọi

là trung điểm
. Do

Vậy:

+)
nhất của

ta có:
cố định nên

nhỏ nhất khi và chỉ khi:

suy ra:
khơng đổi.

nhỏ nhất

và giá trị nhỏ

skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.luc

download by :

6


skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.luc

là
+)
của

.
lớn nhất khi và chỉ khi:

là

lớn nhất

và giá trị lớn nhất

.
H

A

B

M1
M

I

M2

Bài toán 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường Elíp (E) có hai tiêu điểm
,
. Tìm trên
điểm
sao cho:
nhỏ nhất (lớn nhất).
Giải:
y
M
A

A

O
O

B
B

x

Với bài tốn này thì ta chỉ cần xác định các yếu tố của Elíp: Tiêu điểm, Tọa độ
các đỉnh của (E).
nhỏ nhất (lớn nhất) khi M trùng đỉnh của (E). Trong
trường hợp xác định được phương trình Elíp thì ta cần xác định độ dài trục lớn,
độ dài trục bé để xác định giá trị lớn nhất (nhỏ nhất).
2.3.2. Một số dạng bài toán cực trị số phức.
Dạng 1: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức là đường thẳng.
Với dạng này thì ta thường gặp một số bài toán cơ bản sau đây:
Bài toán: Cho số phức thỏa mãn:
(với
là các số phức
cho trước).
skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.luc

download by :

7


skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.luc

1)
2)
3)

Tìm số phức
Tìm số phức
Tìm số phức

để
để
để

4)

Tìm số phức

để

đạt giá trị nhỏ nhất.
đạt giá trị nhỏ nhất.
đạt giá trị nhỏ nhất.
đạt giá trị lớn nhất.

Nhận xét: Ta gọi
Thì:
. Từ đẳng thức
, suy ra M thuộc đường thẳng
là
trung trực của đoạn thẳng AB. Khi đó bài tốn trở thành:

1)
Tìm trên
điểm
sao cho:
nhỏ nhất.
2)
Tìm trên
điểm
sao cho:
nhỏ nhất.
3)
Tìm trên
điểm
sao cho:
nhỏ nhất.
4)
Tìm trên
điểm
sao cho:
lớn nhất.
Ví dụ 1. Trong tất cả các số phức thỏa mãn hệ thức
. Tìm
giá trị nhỏ nhất của:
.
Lời giải: Đặt
và
. Ta có:
y
6
M

1
O

-2

2

1

M0

Hay

x

. Do đó

bài tốn 1 ta có



với

. Áp dụng kết quả
.

y

A’

Ví dụ 2. Cho số phức thỏa mãn hệ thức
nhất của
.
M
Lời giải: Đặt
và
. Từ hệ thức
1
ra:
A
3
, đặt
.

. Tìm giá trị nhỏ
ta suy

o

-2

O
-2

B

x



skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.luc

download by :

8


skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.luc

Dễ dàng kiểm tra được A, B nằm cùng phía so với
. Khi đó:
. Áp dụng kết quả bài tốn 3 ta có:
với
là điểm đối xứng với qua .
Gọi
là đường thẳng qua A và vng góc với
thì
. Gọi
, thì tọa độ
là cặp
thỏa mãn hệ phương trình:
.
nên

là điểm đối xứng với

. Suy ra

qua

thì là trung điểm

.

Qua ví dụ trên ta thấy việc khai thác các bài tốn cực trị trong hình học vào giải
các bài toán cực trị của số phức sẽ đơn giản hơn rất nhiều so với phương pháp
đại số và các phương pháp khác. Giúp học sinh giải các bài toán dạng này một
cách nhanh nhất, phù hợp với xu thế làm bài trắc nghiệm trong một khoảng thời
gian ngắn.
Ví dụ 3. Cho số phức thỏa mãn hệ thức
. Tìm giá trị nhỏ
nhất của:
.
Lời giải: Đặt
và
.
Từ hệ thức
ta suy ra:
, đặt
và gọi là trung điểm của AB thì
gọi d là khoảng cách từ
kết quả bài toán 3 ta có:

đến

.Ta có:

. Đến đây áp dụng
.

skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.luc

download by :

9


skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.luc

y
y

O
M

-3

x

B

I
O

x

2

A

Ví dụ 4. Cho số phức
thỏa mãn hệ thức
. Biết rằng số phức
thỏa mãn:
đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị
của biểu thức
.
Lời giải: Đặt
. Từ hệ thức
ta suy ra:
, kiểm tra được hai điểm
khác phía so với .
y
B

6
A’



6
y
A

1
1
MO

O

2
1

3

x

2

Theo bài toán 4 ở trên, gọi A’ đối xứng với A qua đường thẳng
ta tính
được
. Phương trình đường thẳng
tọa độ giao điểm của
và

là cặp

thỏa mãn hệ:

. Vậy, số phức

thỏa mãn

lớn nhất là:
.
Dạng 2: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức là đường tròn.
Với các dạng bài này ta thường gặp bài toán cơ bản sau đây:
skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.luc

download by :

10


skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.luc

Bài toán: Cho số phức thỏa mãn:
, với
là số phức cho
trước.
1.
Tìm số phức để
đạt giá trị lớn nhất (nhỏ nhất).
2.
Tìm số phức để
đạt giá trị lớn nhất (nhỏ nhất).
Nhận xét: Đặt
. Từ đẳng thức
, suy ra M thuộc đường tròn (C) tâm I bán kính R. Khi đó bài tốn trở thành.
1.
Tìm
sao cho
đạt giá trị lớn nhất (nhỏ nhất).
2.
Tìm
sao cho
đạt giá trị lớn nhất (nhỏ nhất).
Ví dụ áp dụng.
Ví dụ 1. Trong tất cả các số phức

thỏa mãn
. Biết
rằng:

đạt giá trị nhỏ nhất. Tính

Lời giải: Đặt

.

. Từ hệ thức

ta suy ra:

y
1

AA

O

-3
-3

1
O

1

1

x

M
- -2
2

I

I

, đường thẳng
có phương trình:
.
Tọa độ giao điểm của (C) và IM là cặp
thỏa mãn hệ phương trình:
.
Với

thì

Với

thì

Vậy:

.
.
.

Ví dụ 2. Cho các số phức

thỏa mãn

giá trị lớn nhất của biểu thức:
Lời giải: Đặt
. Từ đẳng thức

và

. Tìm

.

skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.luc

download by :

11


skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.luc

tâm

.
y

A
O

B

A

2

B
I

O

1

5

3

x

I

-2

M

Ta có
Gọi

Trong đó

là đường thẳng trung trực AB thì

. Nhận thấy
. Khi đó

Xét hệ phương trình:
Từ hình vẽ ta thấy

thỏa mãn, vậy

Ví dụ 3. Cho số phức

.

thỏa mãn

. Tính giá trị lớn nhất của

biểu thức:
.
Trong bài toán này, nếu sử dụng phương pháp đại số thì chắc chắn chúng ta sẽ
nghĩ tới việc biến đổi biểu thức P về biểu thức một biến. Tuy nhiên từ giả thiết
của bài toán thì ý tưởng này có thể nói là khơng thể. Từ đó ta có thể nghĩ tới
phương pháp hình học.
Lời giải: Đặt
. Từ đẳng thức
7

6

5

.

4

3

A

2

Vậy, M thuộc một trong 4 đường trịn
I3
I1
.

có tâm lần lượt là

1

6

4

O

2

I2

1

2

4

6

8

I4

skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.luc

2

download by :
3

12


skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.luc

Khi đó

với

Từ hình vẽ ta thấy

.
Dạng 3: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức là đường thẳng và đường trịn.
Với các dạng bài này ta thường gặp bài tốn cơ bản sau đây:
Bài toán: Cho hai số phức
thỏa mãn các hệ thức:
.
Trong đó
là các số phức cho trước. Tính giá trị nhỏ nhất của
.
Nhận xét:
Đặt
. Từ đẳng thức
suy ra M thuộc đường tròn
(C). Từ đẳng thức
suy ra M’ thuộc đường thẳng
và
. Khi đó bài tốn trở thành.
Tìm
sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất.
+) Trường hợp
thì giá trị nhỏ nhất của
.
+) Trường hợp
thì giá trị nhỏ nhất của
là
.

 

MM’
M’
I

M2

M2

M

I

1

 

M

B

A

B

A

d ( I , )  R

Lời giải:

- Từ hệ thức

d ( I , )  R

ta tìm được tọa độ tâm I và bán kính R của (C).
skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.luc

download by :

13


skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.luc

- Từ hệ thức
ta tìm được phương trình
.
- Tính khoảng cách d từ I đến
.
+) Nếu
thì
và
.
+) Nếu
thì
và M là hình chiếu của I lên
và
, trong đó
là đường thẳng đi qua I và vng góc với
.

Bài tập áp dụng.
Cho hai số phức
thỏa mãn:
. Tính giá trị nhỏ
nhất của
.
Lời giải:
Đặt
. Từ hệ thức
, suy ra M thuộc đường trịn:
tâm

bán kính R=2.
suy ra M’ thuộc đường thẳng

Từ hệ thức
Khoảng cách từ I đến

là

.

. Vậy

.

16

14

12

10

8

6

4

2

15

10

5

5

10

15

2

4

6

8

Dạng 4: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức là đường Elíp.
Với các dạng bài này ta thường gặp bài toán cơ bản sau đây:
Bài toán: Cho số phức thỏa mãn:
. Tính giá trị lớn nhất,
nhỏ nhất của
với
là số phức cho trước.
Nhận xét:
Đặt
. Từ đẳng thức:
suy ra M thuộc đường Elíp (E) có hai tiêu
điểm
. Khi đó u cầu bài tốn được phiên dịch sang ngơn ngữ hình học như
sau:
Tìm
sao cho
đạt giá trị lớn nhất (nhỏ nhất).
Ví dụ áp dụng. Cho số phức thỏa mãn
. Gọi M, m lần lượt là
giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của . Tính
:
Lời giải:
Cách 1. Đặt
. Từ đẳng thức:
skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.luc

download by :

14


skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.luc

với

. Suy ra

có hai tiêu điểm A, B và

.
. Vậy,
Cách 2. Đặt

.

. Từ đẳng thức:

.

, khi đó:
.
.
.
Cách 3.

. Đặt

. Ta có:

.

Do
.
Vậy,
.
Qua 3 cách giải, một lần nữa khẳng định được tính ưu việt của phương pháp
hình học trong giải các bài toán cực trị số phức.
2.4. Một số bài tập trắc nghiệm vận dụng.
Bài 1: Cho số phức thỏa mãn
. Gọi M và m lần lượt là giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của . Khi đó M-m bằng:
A.
B.
C.
D.
Bài 2: Trong tất cả các số phức
thỏa mãn hệ thức
. Biết rằng:
nhỏ nhất. Khi đó ab bằng:
A.

B.

Bài 3: Cho số phức thỏa mãn
đạt giá trị nhỏ nhất.
A.

B.

C.

D.

. Tìm phần thực của số phức
C.

biết

D.

Bài 4: Cho số phức
thỏa mãn
. Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức
.
B.
B.
C.
D.
(Trích câu 45 trường chuyên Thái Bình lần 6).
Bài 5: Cho số phức thỏa mãn điều kiện
. Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất
của biểu thức
lần lượt là:
A.
B.
C.
D.
Bài 6: Trong các số phức thỏa mãn điều kiện

, tìm số phức z sao
cho

nhỏ nhất.
skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.luc

download by :

15


skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.luc

A.

B.

C.

D.

Bài 7: Cho số phức
thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
và biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của
biểu thức
bằng.
A.
B.
C.

D.
(Trích câu 46 THPT Thanh Chương 1 lần 2).
Bài 8: Cho số phức
thỏa mãn
. Gọi M
và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
. Tính tỉ số
.
A.

B.

C.

D.

(Trích câu 46 chuyên Quốc học Huế lần 2).
Bài 9: Cho số phức thỏa mãn điều kiện
. Gọi M và m lần lượt là
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
. Tính M+m
B.
B.
C.
D.
(Trích câu 47 Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc lần 2).
Bài 10: Cho số phức
thỏa mãn điều kiện
nhỏ nhất của biểu thức
B.

. Giá trị

là:
B.

C.

D.

(Trích câu 37 chuyên Lê Quý Đôn Quảng trị lần 2).
2.5. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
- SKKN này đã được tôi thực hiện giảng dạy trong năm học 2016-2017 và
năm học 2017-2018. Trong quá trình học chuyên đề này, học sinh rất hứng thú
và tự tin, biết vận dụng khi gặp các bài tốn về cực trị mơđun số phức, tạo cho
học sinh niềm đam mê, u thích mơn tốn, mở ra cho học sinh cách nhìn nhận,
vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học. Kết quả đạt được có thể nói
là rất khả quan, sau khi học xong chuyên đề thì tất cả các em đề giả`i quyết được
câu hỏi về dạng này.
- Đối với đồng nghiệp: được chia sẻ kinh nghiệm học hỏi lẫn nhau, thúc
đẩy phong trào tự học, tự nghiên cứu trong nhà trường.
- Đối với học sinh: Trang bị thêm cho học sinh một phương pháp giải
nhanh các bài toán cực trị số phức trong kì thi THPT Quốc gia.

skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.luc

download by :

16

skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.luc

3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ.
3.1. Kết luận.
Quá trình nghiên cứu đề tài đã thu được một số kết quả sau:
- Trong đề tài đã hướng dẫn cho học sinh chuyển đổi được bài tốn đại số
sang bài tốn hình học thuần túy một cách có hiệu quả, qua đó giúp HS có ý
thức trong việc tự học- tự nghiên cứu.
- Đưa ra cơ sở lý luận về phương pháp dạy học học sinh chuyển đổi ngơn
ngữ bài tốn đai số sang bài tốn hình học.
- Đưa ra các dạng bài tập mà học sinh sẽ gặp khi giải các bài tốn cực trị
mơđun số phức.
- Thơng qua dạy học chun đề đã gây được sự hứng thú trong học tập
cho học sinh, nâng cao khả năng tư duy lô gic và khả năng sáng tạo của học
sinh. Sáng kiến này có tác dụng tốt trong việc ơn luyện thi THPT QG. Mặc dù
cố gắng tìm tịi, nghiên cứu song chắc chắn cịn có nhiều thiếu sót và hạn chế.
Rất mong được sự quan tâm của tất cả các đồng nghiệp bổ sung và góp ý cho
tơi. Tơi xin chân thành cảm ơn.
3.2. Kiến nghị.
- Đối với tổ chuyên môn, cần phân dạng bài tập cho học sinh khi giảng
dạy. Trong q trình ơn tập cho học sinh nên ra nhiều dạng đề đúng với cấu trúc
đề minh họa của Bộ GD&ĐT.
- Trong dạy học giải bài tập toán, giáo viên cần quan tâm đến việc khai
thác mối liên hệ giữa đại số và hình học. Phát triển và nhân rộng những đề tài có
ứng dụng thực tiễn cao, đồng thời có thể viết thành những tài liệu tham khảo cho
học sinh và giáo viên.
- Sở GD& ĐT nên gửi các SKKN đạt giải về các trường THPT để giáo
viên có thể tham khảo trong quá trình giảng dạy .
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Như Thanh, ngày 03 tháng 05 năm 2018
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.

Nguyễn Khắc Sâm

skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.luc

download by :

17


skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.luc

TÀI LIỆU THAM KHẢO.
[1]. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)- Giải tích 12 cơ bản- NXBGD năm 2008.
[2]. Đồn Quỳnh (Tổng chủ biên)- Giải tích 12 nâng cao- NXBGD năm 2008.
[3]. Cao Minh Quang- Ứng dụng của số phức. NXB Hà Nội, năm 2012.
[4]. Vũ Thế Hựu – Bộ Tài liệu ôn thi Đại Học.NXB Đại học Sư phạm2012.
[5]. Lê Hồnh Phị- Phân dạng và phương pháp giải tốn số phức - NXBGD năm 2010.
[6]. Nguyễn Bá Kim – Phương pháp dạy học mơn Tốn - NXBGD.
[7].Đề thi thử các trường trên tồn quốc.
[8]. Tạp chí tốn học và tuổi trẻ- NXB Giáo dục.

skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.luc

download by :

18


skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.luc

skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.lucskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.cuc.tri.modun.so.phuc.bang.phuong.phap.toa.do.trong.mat.phang.nham.nang.cao.nang.luc