Luận văn Rèn luyện kỹ năng giải toán phương pháp tọa độ trong mặt phẳng cho học sinh THPT tỉnh Sơn La

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

LÊ THÙY DƢƠNG

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN
PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
CHO HỌC SINH THPT TỈNH SƠN LA

Chuyên ngành: Lý luận và phƣơng pháp dạy học bộ mơn Tốn
Mã số:

60.14.0111

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học:

SƠN LA, NĂM 2015


LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành bản luận văn này, chúng tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu
sắc đối với GS.TS.Bùi Văn Nghị và TS.Hoàng Ngọc Anh – những người thầy
đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ chúng tơi trong q trình thực hiện đề tài.
Chúng tơi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường THPT Tô Hiệu
Sơn La, các thầy cơ giáo trong tổ Tốn trường THPT Tơ Hiệu Sơn La đã tạo
điều kiện và nhiệt tình giúp đỡ chúng tơi trong q trình học tập và hồn
thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp và gia đình đã động viên,
giúp đỡ chúng tơi trong q trình học tập và hồn thành luận văn.

Chúng tơi xin chân thành cảm ơn!
Người thực hiện đề tài

Lê Thùy Dương

i


LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu riêng của tôi. Các số
liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chƣa từng đƣợc ai cơng bố
trong bất cứ cơng trình nào khác.
Sơn La, tháng 10 năm 2015
Tác giả luận văn

Lê Thùy Dương

ii


DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

[?]

Câu hỏi

[!]

Dự kiến trả lời

ĐC

Đối chứng

HS

Học sinh

NXB

Nhà xuất bản

PPTĐ

Phƣơng pháp tọa độ

SBTHH10

Sách bài tập hình học 10

SGD&ĐT

Sở giáo dục và đào tạo

SGKHH10

Sách giáo khoa hình học 10

TH

Trƣờng hợp

THPT

Trung học phổ thơng

TN

Thực nghiệm

iii


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ..................................................................................................... i
LỜI CAM ĐOAN ..............................................................................................ii
DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN ................................... iii
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
1. Lí do chọn đề tài ............................................................................................. 1
2. Mục đích nghiên cứu ...................................................................................... 2
3. Đối tƣợng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu .................................................. 2
4. Nhiệm vụ nghiên cứu ..................................................................................... 2
5. Phƣơng pháp nghiên cứu ................................................................................ 3
6. Giả thuyết khoa học ....................................................................................... 3
7. Bố cục của luận văn ....................................................................................... 3
Chƣơng 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ............................................ 4
1.1. Các khái niệm .............................................................................................. 4
1.1.1. Kỹ năng là gì? ...................................................................................... 4
1.1.2. Đặc điểm của kỹ năng ......................................................................... 5
1.1.3. Sự hình thành kỹ năng.......................................................................... 5

1.2. Kỹ năng giải toán ........................................................................................ 6
1.2.1. Khái niệm ............................................................................................. 6
1.2.2. Các yêu cầu rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh THPT ............. 7
1.2.3. Một số kỹ năng cần thiết khi giải toán ................................................. 8
1.3. Nhiệm vụ dạy học mơn tốn ....................................................................... 9
1.4. Dạy giải bài tập tốn học ............................................................................. 9
1.4.1. Vị trí và chức năng của bài tập tốn học .............................................. 9
1.4.1.1. Vị trí ............................................................................................ 10
1.4.1.2. Chức năng ................................................................................... 10

4


1.4.2. Các yêu cầu đối với lời giải bài toán.................................................. 11
1.5. Dạy học tìm lời giải bài tốn .................................................................... 12
1.5.1. Khái quát ............................................................................................ 12
1.5.2. Dạy học phƣơng pháp tìm lời giải bài toán ........................................ 12
1.6. Các bƣớc giải bài toán phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng .................. 13
1.7. Thực tiễn dạy học phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng ......................... 14
1.7.1. Nội dung phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng ở trƣờng THPT ...... 14
1.7.1.1. Phân phối chƣơng trình ............................................................... 14
1.7.1.2. Nội dung kiến thức cơ bản về phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng15
1.7.2. Mục đích yêu cầu của chƣơng phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng17
1.8. Một số nhận xét về thực trạng rèn luyện kĩ năng giải toán phƣơng pháp
tọa độ trong mặt phẳng cho học sinh THPT tỉnh Sơn La ................................ 17
Tiểu kết chương 1............................................................................................ 22
Chƣơng 2. RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN PHƢƠNG PHÁP TỌA
ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG THÔNG QUA HỆ THỐNG BÀI TẬP TỐN23
2.1. Hệ thống bài tốn rèn luyện kĩ năng cơ bản về lập phƣơng trình đƣờng
thẳng, đƣờng trịn theo chuẩn kiến thức kĩ năng .............................................. 23

2.2. Hệ thống bài toán rèn luyện kĩ năng vận dụng phối hợp một số kĩ năng cơ
bản. ................................................................................................................... 28
2.3. Hệ thống bài toán rèn luyện kĩ năng vận dụng nâng cao (phối hợp nhiều
kĩ năng cơ bản) ................................................................................................. 49
2.4. Hệ thống bài toán rèn luyện kỹ năng tọa độ hóa (giải các bài tốn khơng
cho sẵn tọa độ, phƣơng trình bằng cách đƣa vào tọa độ ) ............................... 65
Tiểu kết chương 2............................................................................................ 70
Chƣơng 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ..................................................... 71
3.1. Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm.......................................................... 71
3.1.1. Mục đích thực nghiệm ....................................................................... 71

5


3.1.2. Tổ chức thực nghiệm sƣ phạm ........................................................... 71
3.1.2.1. Đối tƣợng thực nghiệm .............................................................. 71
3.1.2.2. Thời gian thực nghiệm ............................................................... 72
3.1.2.3. Phƣơng pháp thực nghiệm .......................................................... 72
3.2. Kết quả thực nghiệm ................................................................................. 73
3.2.1. Phân tích định tính ............................................................................. 73
3.2.2. Phân tích định lƣợng .......................................................................... 73
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm sƣ phạm .................................................... 75
3.3.1. Đánh giá về nội dung ......................................................................... 75
3.3.2. Đánh giá về phƣơng pháp dạy học khi thực nghiệm .......................... 76
3.3.3. Đánh giá về khả năng tiếp thu kiến thức của học sinh....................... 76
Tiểu kết chương 3............................................................................................ 77
KẾT LUẬN CHUNG .................................................................................... 78
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................. 79
PHỤ LỤC ........................................................................................................ 81

6


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Luật giáo dục(2009) [7], Điều 24.2 quy định “ Phương pháp giáo dục phổ
thông phải phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo, tự giác của học sinh; phù
hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học,
rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm,
đem lại niềm vui, hứng thú học tập chohọc sinh”. Từ đó, mục tiêu dạy học mơn
Tốn là: Trang bị cho học sinh (HS) những tri thức, kĩ năng, phƣơng pháp tốn
học phổ thơng, cơ bản, thiết thực; Góp phần phát triển năng lực trí tuệ, bồi
dƣỡng phẩm chất trí tuệ cho HS; Góp phần hình thành và phát triển các phẩm
chất, phong cách lao động khoa học, biết hợp tác lao động, có ý chí và thói
quen tự học thƣờng xun; Tạo cơ sở để HS tiếp tục học cao đẳng, đại học,
trung học chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động.
Ở trƣờng Trung học phổ thông (THPT), một trong những nội dung cơ
bản của chƣơng trình Tốn học đó là vấn đề phƣơng pháp tọa độ (PPTĐ).
Phƣơng pháp này đƣợc dạy chủ yếu ở chƣơng trình tốn lớp 10 và lớp 12.
Phƣơng pháp tọa độ cho chúng ta biết hình học có thể nghiên cứu bằng
cơng cụ đại số. Với cơng cụ đó ngƣời ta thấy rằng việc nghiên cứu hình học
tiện lợi hơn. Với phƣơng pháp tọa độ, ta có thể diễn đạt các yếu tố của hình
học nhƣ: điểm, đƣờng thẳng, mặt phẳng,…bằng ngôn ngữ đại số nhƣ: phƣơng
trình, hệ phƣơng trình,…
Bằng PPTĐ, HS có thể giải một bài tập đại số bằng phƣơng pháp hình
học và một bài tập hình học có thể giải bằng phƣơng pháp đại số. Đó chính là
bằng chứng nói lên sự thống nhất của toán học.
Thực tiễn sƣ phạm ở các trƣờng THPT tỉnh Sơn La cho thấy: số lƣợng
HS ngƣời dân tộc thiểu số cao, trình độ văn hóa thấp, khả năng học tốn cịn
kém, các kỹ năng giải các bài tốn về PPTĐ trong mặt phẳng của HS cịn rất

1


hạn chế. Một phần do hệ thống bài tập của sách giáo khoa rất ít những bài tập
dạng tổng hợp đòi hỏi HS phải vận dụng tƣ duy tổng hợp và sử dụng nhiều
nội dung kiến thức để giải. Phần khác do HS chƣa hiểu bản chất của phƣơng
pháp này và chƣa thành thục về kỹ năng giải toán bằng PPTĐ nên thƣờng gặp
một số khó khăn phổ biến nhƣ: HS chƣa biết khai thác giả thiết của bài
tốn,khó khăn trong việc xác lập các điểm, các vectơ có tọa độ thích hợp; với
dạng tốn nào thì sử dụng PPTĐ và dạng tốn nào thì khơng sử dụng đƣợc;
khó khăn trong việc lựa chọn cơng thức thích hợp để giải toán…
Với những lý do trên, đề tài đƣợc chọn là “Rèn luyện kỹ năng giải toán
phương pháp tọa độ trong mặt phẳng cho học sinh THPT tỉnh Sơn La ”.
2. Mục đích nghiên cứu
Đề xuất những biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán về phƣơng pháp
tọa độ trong mặt phẳng cho HS THPT tỉnh Sơn La nhằm góp phần nâng cao
chất lƣợng dạy và học chủ đề này trong mơn Tốn.
3. Đối tƣợng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu
Đối tƣợng nghiên cứu là quá trình dạy học giải các bài tốn về phƣơng
pháp tọa độ trong mặt phẳng thơng qua các phƣơng pháp rèn luyện kỹ năng
giải toán cho học sinh.
Phạm vi nghiên cứu là hệ thống bài toán về phƣơng trình đƣờng thẳng,
phƣơng trình đƣờng trịn trong mặt phẳng phù hợp với HS THPT tỉnh Sơn La.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lí luận về phƣơng pháp dạy học về kỹ năng giải
toán và rèn luyện kỹ năng giải toán; mối quan hệ giữa phƣơng pháp dạy học
về kỹ năng giải toán và rèn luyện kỹ năng giải toánvới các phƣơng pháp dạy
học khác và sự cần thiết phải dạy học về kỹ năng giải toán và rèn luyện kỹ
năng giải toán.

- Nghiên cứu thực trạng dạy học nội dung giải toán về PPTĐ ở các
trƣờng THPT tỉnh Sơn La.

2


- Xây dựng và đề xuất hệ thống bài toán rèn luyện kỹ năng giải toán về
phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng cho HS THPT tỉnh Sơn La nâng dần về
cấp độ.
- Tổ chức thực nghiệm sƣ phạm nhằm kiểm nghiệm tính khả thi và tính
thực tiễn của phƣơng án dạy học đã đề xuất.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận
Nghiên cứu các giáo trình, tài liệu (sách báo, tạp chí, tƣ liệu, các cơng
trình nghiên cứu) về các vấn đề có liên quan đến đề tài.
- Phương pháp điều tra, quan sát
Điều tra thực trạng việc dạy và học giải các bài toán về PPTĐ trong mặt
phẳng thông qua dự giờ, trao đổi với đồng nghiệp và phiếu điều tra.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm
Tiến hành thực nghiệm sƣ phạm ở một số trƣờng THPT tỉnh Sơn La
nhằm kiểm tra các kết quả nghiên cứu.
6. Giả thuyết khoa học
Nếu rèn luyện kỹ năng giải toán cho HS THPT tỉnh Sơn La theo hệ
thống các bài toán về phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng nâng cao dần mức
độ, học sinh sẽ có kĩ năng giải dạng toán này tốt hơn, nâng cao chất lƣợng dạy
và học chủ đề phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng ở trƣờng THPT.
7. Bố cục của luận văn
Luận văn bao gồm: phần mở đầu, kết luận và 3 chƣơng:
Chƣơng 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
Chƣơng 2. RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN PHƢƠNG PHÁP TỌA

ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG THƠNG QUA HỆ THỐNG BÀI TẬP TỐN
Chƣơng 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM

3


Chƣơng 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Các khái niệm
1.1.1. Kỹ năng là gì?
Theo từ điển Hán Việt của Phan Huy Các [1], hoặc từ điển Tiếng Việt
của Hồng Phê thì kỹ năng là khả năng vận dụng tri thức khoa học vào thực
tiễn trong đó khả năng đƣợc hiểu là “sức đã có” (về mặt nào đó) để có thể làm
tốt đƣợc việc gì.[13]
Theo tâm lí học: Kỹ năng là khả năng thực hiện có hiệu quả một hành
động nào đó theo một mục đích trong những điều kiện nhất định. Nếu tạm
thời tách tri thức và kỹ năng để xem xét riêng từng cái thì tri thức thuộc phạm
vi nhận thức, thuộc khả năng “biết”, còn kỹ năng thuộc phạm vi hành động,
thuộc về khả năng “biết làm”.[21]
Nhƣ vậy, dù phát biểu dƣới góc độ nào, các tác giả đều thống nhất
rằng: kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phƣơng
pháp,...) để giải quyết nhiệm vụ đặt ra. Nói đến kỹ năng là nói đến cách thức,
thủ thuật và trình tự thực hiện các thao tác hành động để đạt tới mục đích đã
định. Kỹ năng chính là kiến thức trong hành động.
Trong thực tế dạy học học sinh thƣờng gặp khó khăn khi vận dụng kiến
thức vào giải quyết các bài tập cụ thể. Nguyên nhân là học sinh không
nắm vững kiến thức về các khái niệm, các định lí, các quy tắc do đó khơng
trở thành cơ sở của kỹ năng. Bởi vậy để hình thành kỹ năng, đặc biệt là kỹ
năng giải tốn cho học sinh thì ngƣời thầy giáo cần tổ chức cho học sinh giải
tốn thơng qua các hoạt động tự giác, tích cực, sáng tạo. Từ đó học sinh có
thể nắm vững tri thức, có kỹ năng và sẵn sàng vận dụng vào thực tiễn. Góp

phần thực hiện ngun lý của nhà trƣờng phổ thơng là: “Học đi đôi với hành,
giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, nhà trƣờng gắn liền với xã hội ”.

4


1.1.2. Đặc điểm của kỹ năng
Khái niệm kỹ năng đƣợc định nghĩa dựa trên các đặc điểm sau đây:
Bất cứ kỹ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lí thuyết đó là kiến thức,
bởi vì cấu trúc của kỹ năng bao gồm: hiểu mục đích – biết cách thức đi đến
kết quả - hiểu những điều kiện để triển khai cách thức đó.
Tri thức là cơ sở để rèn luyện kỹ năng, khi kiến thức phản ánh đầy đủ
các thuộc tính bản chất của đối tƣợng, đƣợc thử nghiệm trong thực tiễn và tồn
tại trong ý thức với tƣ cách là công cụ của hành động.
Kỹ năng không tách rời hoạt động mà kỹ năng đi liền với hoạt động
tƣơng ứng.
Kỹ năng và tri thức thống nhất trong hoạt động. Tri thức là cần thiết để
tiến hành các thao tác, độ thành thạo của các thao tác là kỹ năng, các thao tác
này đƣợc thực hiện dƣới sự kiểm tra của tri thức. Con đƣờng đi từ chỗ có tri
thức đến chỗ có kỹ năng tƣơng ứng là con đƣờng luyện tập trong hoạt động
bằng cách thực hiện các hoạt động tƣơng ứng với kỹ năng, nội dung của luyện
tập này là rất phong phú.
Nhƣ vậy, kỹ năng phải rèn luyện trong q trình giải tốn, kỹ năng giải
tốn phải gắn với phƣơng pháp toán học.
Trong thực tiễn giảng dạy chúng tơi nhận thấy có nhiều học sinh học
thuộc lý thuyết nhƣng khơng vận dụng đƣợc lý thuyết đó vào bài tập,
không biết lựa chọn định lý nào phù hợp với bài tốn mình cần giải. Ngun
nhân của hiện tƣợng đó là kỹ năng chƣa đƣợc hình thành.
1.1.3. Sự hình thành kỹ năng
Việc hình thành kỹ năng là làm cho học sinh nắm vững một hệ

thống phức tạp các thao tác nhằm biến đổi và làm sáng tỏ những thơng tin
chứa đựng trong các bài tốn.

5


Để hình thành kỹ năng cho học sinh (chủ yếu là kỹ năng học và kỹ năng
tính tốn) ngƣời thầy giáo cần giúp cho học sinh hình thành đƣờng lối chung
(khái quát) để giải quyết các đối tƣợng, các bài toán cùng loại; Xác lập
đƣợc mối liên hệ giữa những bài toán khái quát và các kiến thức tƣơng ứng.
Khi rèn luyện kỹ năng lập phƣơng trình tổng quát (phƣơng trình tham
số) của đƣờng thẳng cần chú ý cho học sinh phải tìm đƣợc một điểm
thuộc đƣờng thẳng và vectơ pháp tuyến (hoặc vectơ chỉ phƣơng) của đƣờng
thẳng đó. Chẳng hạn:
Viết phƣơng trình tổng quát, phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng
trong mỗi trƣờng hợp sau:
a, Đi qua điểm A(1 ; –5) và song song với đƣờng thẳng 2x  3y  3  0 ;
b, Đi qua hai điểm M(1 ; –1), N(– 3 ; – 2);
c, Đi qua điểm P(2 ; 1) và vng góc với đƣờng thẳng x – y + 5 = 0.
Những bài toán dạng này giúp cho học sinh củng cố kỹ năng tìm vectơ
pháp tuyến, vectơ chỉ phƣơng để từ đó có thể lập đƣợc phƣơng trình tổng
quát, phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng.
Do đặc điểm, vai trị và vị trí của mơn tốn trong nhà trƣờng phổ thơng,
theo lý luận dạy học mơn tốn cần chú ý: “ Trong khi dạy học mơn tốn
cần quan tâm rèn luyện cho học sinh những kỹ năng trên những bình diện
khác nhau, đó là:
- Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn Tốn;
- Kỹ năng vận dụng tri thức mơn tốn vào những môn học khác;
- Kỹ năng vận dụng tri thức vào đời sống ”. [8, tr19].
1.2. Kỹ năng giải toán

1.2.1. Khái niệm
Giải một bài toán là tiến hành một hệ thống hành động có mục đích, do
đó chủ thể giải tốn cịn phải nắm vững các tri thức về hành động, thực hiện

6


hành động theo các yêu cầu cụ thể của tri thức đó. Trong giải tốn kỹ năng
giải tốn của học sinh đƣợc quan niệm nhƣ sau: “Kỹ năng giải toán là khả
năng vận dụng các tri thức toán học để giải các bài tập toán (bằng suy luận,
bằng chứng minh)” [3, tr12].
1.2.2. Các yêu cầu rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh THPT
Tùy theo nội dung kiến thức tốn học mà có những u cầu rèn luyện kỹ
năng khác nhau. Để thực hiện tốt nhiệm vụ dạy toán ở trƣờng phổ thông, một
trong những yêu cầu đƣợc đặt ra là: “Về tri thức kỹ năng cần chú ý những tri
thức phƣơng pháp, đặc biệt là những phƣơng pháp có tính chất thuật tốn và
những kỹ năng tƣơng ứng nhƣ tri thức và kỹ năng giải toán bằng cách lập
phƣơng trình, tri thức và kỹ năng chứng minh tốn học, kỹ năng hoạt động và
tƣ duy hàm.....”. [9, tr 41]
Nhƣ vậy, rèn luyện kỹ năng là nhiệm vụ quan trọng bởi rèn luyện kỹ
năng là cơ sở để thực hiện các nhiệm vụ về các phƣơng diện khác. Do đó, rèn
luyện kỹ năng tốn học và kỹ năng vận dụng toán học vào thực tế mà trƣớc
hết là kỹ năng giải toán cần đạt đƣợc một số yêu cầu sau đây:
(1) Giúp học sinh hình thành, nắm vững những mạch kiến thức cơ bản
xun suốt chƣơng trình phổ thơng. Trong mơn tốn có thể kể đến các kiến
thức cơ bản sau:
- Các hệ thống số;
- Hàm số và ánh xạ;
- Phƣơng trình và bất phƣơng trình;
- Định nghĩa và chứng minh toán học;

- Ứng dụng toán học.
(2) Giúp học sinh phát triển năng lực trí tuệ. Cụ thể là:
- Tƣ duy logic và ngơn ngữ chính xác, trong đó có tƣ duy thuật tốn;
- Khả năng suy đốn, tƣ duy trừu tƣợng và trí tƣởng tƣợng khơng gian;

7


- Những thao tác tƣ duy nhƣ phân tích, tổng hợp, khái qt hóa;
- Các phẩm chất trí tuệ nhƣ tƣ duy độc lập, tƣ duy linh hoạt và sáng tạo.
(3) Coi trọng việc rèn luyện kỹ năng tính tốn trong tất cả các giờ học
toán, gắn với việc rèn luyện các kỹ năng thực hành nhƣ tính tốn, biến đổi,
vẽ hình, vẽ đồ thị.
(4) Giúp học sinh rèn luyện phẩm chất của ngƣời lao động mới nhƣ: tính
cẩn thận, chính xác, kiên trì, thói quen tự kiểm tra những sai lầm có thể gặp.
1.2.3. Một số kỹ năng cần thiết khi giải toán
Mỗi hoạt động dạy học toán đều liên hệ với những hoạt động nhất định.
Đó là những hoạt động đƣợc tiến hành trong quá trình tiến hành trong q
trình hình thành hoặc vận dụng nội dung đó. Phát hiện đƣợc những hoạt động
tiềm tàng trong một nội dung là vạch đƣợc một con đƣờng để truyền thụ nội
dung đó và thực hiện những nhiệm vụ dạy học khác, cũng đồng thời là cụ thể
hoá đƣợc nhiệm vụ dạy học nội dung đó.
Khi học giải tốn, HS thực hành các cơng việc của ngƣời làm tốn. Vì
vậy một yêu cầu quan trọng cần đạt đƣợc trong dạy học tốn là HS phải nắm
vững kiến thức, có kỹ năng, kĩ xảo vận dụng trong thực hành giải toán. Tùy
theo từng nội dung kiến thức truyền thụ cho HS mà ta có những yêu cầu rèn
luyện kỹ năng tƣơng ứng. Trong chƣơng trình Tốn phổ thơng, ta có thể chỉ ra
một số kỹ năng cần thiết khi giải toán:
+ Kỹ năng tính tốn;
+ Kỹ năng vận dụng thành thạo các quy tắc;

+ Kỹ năng nhận dạng và thể hiện tri thức vào giải toán;
+ Kỹ năng chứng minh toán học;
+ Kỹ năng chuyển từ tƣ duy thuận sang tƣ duy nghịch, kỹ năng biến đổi
xuôi chiều và ngƣợc chiều;
+ Kỹ năng đọc và vẽ hình, đo đạc;

8


+ Kỹ năng tốn học hố các tình huống thực tiễn;
+ Kỹ năng hoạt động tƣ duy hàm;
+ Kỹ năng tự kiểm tra, tự đánh giá trình bày lời giải và tránh sai lầm khi
giải tốn;...
Cần chú ý là khó có thể liệt kê đƣợc tất cả các kỹ năng cần thiết khi giải
toán, và viêc gọi tên chỉ là tƣơng đối.
1.3. Nhiệm vụ dạy học mơn tốn
Dạy học mơn tốn ở trƣờng phổ thơng có các nhiệm vụ sau đây:
Truyền thụ cho học sinh những tri thức toán học, phƣơng pháp toán học
cơ bản, thiết thực;
Cung cấp và rèn luyện cho học sinh những kĩ năng toán học và kĩ năng
vận dụng toán học vào thực tiễn;
Phát triển năng lực trí tuệ chung: Tƣ duy trừu tƣợng, tƣ duy lơ gíc, rèn
luyện các thao tác tƣ duy nhƣ phân tích, tổng hợp, so sánh, khái qt hố….;
Giáo dục tƣ tƣởng chính trị, phẩm chất đạo đức và thẩm mĩ;
Bảo đảm chất lƣợng phổ cập, đồng thời chú trọng phát hiện và bồi dƣỡng
năng khiếu về toán.
Trong các nhiệm vụ trên nhiệm vụ rèn luyện cho học sinh các kỹ năng
toán học và kỹ năng vận dụng toán học vào thực tiễn có vị trí rất quan trọng.
1.4. Dạy giải bài tập toán học
Nội dung chƣơng này đƣợc viết dựa theo tƣ liệu [8, tr.412 – 415]

1.4.1. Vị trí và chức năng của bài tập tốn học
Bài tập có vai trị quan trọng trong mơn Tốn. Thơng qua giải bài
tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận
dạng và thể hiện định nghĩa, định lí, quy tắc hay phƣơng pháp, những hoạt
động Tốn học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong tốn
học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ.

9


Hoạt động của học sinh liên hệ mật thiết với mục tiêu, nội dung và
phƣơng pháp dạy học, vị trí và chức năng của bài tập toán học đƣợc thể hiện
nhƣ sau:
1.4.1.1. Vị trí
Giải tốn là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học nhằm giúp học sinh:
- Nắm vững kiến thức;
- Phát triển tƣ duy;
- Hình thành kĩ năng, kĩ xảo;
- Ứng dụng toán học vào thực tiễn.
1.4.1.2. Chức năng
Bài tập toán học thể hiện rõ chức năng:
Với chức năng dạy học: Bài tập tốn học nhằm hình thành, củng cố các
kiến thức, khắc sâu, mở rộng kiến thức.
Với chức năng giáo dục: Bài tập toán học là phƣơng tiện chủ yếu bồi
dƣỡng các phẩm chất đạo đức và thẩm mỹ.
Với chức năng phát triển: Bài tập toán học nhằm phát triển năng lực tƣ
duy, rèn luyện những thao tác, phát triển trí tuệ cho học sinh
Với chức năng kiểm tra: Bài tập toán học là phƣơng tiện chủ yếu nhằm
đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, đánh giá khả năng độc lập học tốn và
trình độ phát triển của học sinh.

Trong quá trình dạy học tốn, các chức năng trên khơng bộc lộ một cách
riêng lẻ và tách rời nhau. Việc nhấn mạnh chức năng này hay chức năng khác
phụ thuộc vào việc khai thác bài toán, vào năng lực sƣ phạm và nghệ thuật
dạy học của giáo viên nhằm đạt đƣợc hiệu quả cho yêu cầu của tiết dạy cho
từng đối tƣợng học sinh cụ thể. Chẳng hạn, đối với đối tƣợng học sinh đại trà
cần nhấn mạnh chức năng kiểm tra, nhƣng đối với đối tƣợng học sinh khá
giỏi, cần khai thác bài toán ở chức năng phát triển

10


Như vậy ý nghĩa của việc giải bài tập toán học là:
Giải bài tập tốn học là hình thức tốt nhất để củng cố, đào sâu, hệ thống
hoá kiến thức và rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo. Đó cịn là phƣơng tiện có hiệu
quả để dạy học sinh biết suy nghĩ sáng tạo và thúc đẩy học sinh thu nhận kiến
thức mới.
Giải bài tập tốn học là hình thức vận dụng những kiến thức đã học vào
thực tiễn.
Giải bài tập tốn học là hình thức tốt nhất để giáo viên kiểm tra học sinh và
học sinh tự kiểm tra mình về mức độ tiếp thu và vận dụng kiến thức đã học.
1.4.2. Các yêu cầu đối với lời giải bài toán
Để phát huy tác dụng của bài tập toán học, trƣớc hết cần nắm vững các
yêu cầu của lời giải. Nói một cách vắn tắt, lời giải phải đúng và tốt. Nhƣ vậy
là bao hàm đủ các ý cần thiết, nhƣng quá cô đọng. Để thuận tiện cho việc
thực hiện các yêu cầu của lời giải trong quá trình dạy học và đánh giá học
sinh, có thể cụ thể hóa các yêu cầu, đƣơng nhiên phải chấp nhận những yếu
tố trùng lặp nhất định trong các yêu cầu chi tiết:
i) Kết quả đúng, kể cả ở các bƣớc trung gian;
ii) Lập luận chặt chẽ;
iii) Lời giải đầy đủ;

iv) Ngôn ngữ chính xác;
v) Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật;
vi) Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lý nhất;
vii) Nghiên cứu giải những bài toán tƣơng tự, mở rộng hay lật ngƣợc vấn đề.
Bốn yêu cầu (i), (ii), (iii), (iv) là các yêu cầu cơ bản; (v) là u cầu
về mặt trình bày, cịn (vi) và (vii) là những yêu cầu đề cao.

11


1.5. Dạy học tìm lời giải bài tốn
1.5.1. Khái qt
Theo Nguyễn Bá Kim (1992) [9]: “Để giải các bài toán, ngồi việc nắm
vững các kiến thức cịn cần phải có phƣơng pháp suy nghĩ khoa học cùng với
những kinh nghiệm cá nhân tích luỹ đƣợc qua q trình học tập, rèn luyện.
Trong mơn Tốn ở trƣờng THPTcó rất nhiều bài tốn chƣa có hoặc khơng có
thuật tốn để giải. Đối với những bài toán ấy, phải cố gắng hƣớng dẫn học
sinh cách suy nghĩ, cách tìm tịi lời giải. Nhiệm vụ khó khăn này địi hỏi phải
có thời gian và kinh nghiệm sƣ phạm, phải có lịng tận tâm và phƣơng pháp
đúng đắn. Đây là những cơ hội rất tốt để giáo viên trang bị dần dần cho học
sinh một số tri thức phƣơng pháp – phƣơng pháp giải toán, phƣơng pháp toán
học hoá – nhằm rèn luyện và phát triển ở họ năng lực tƣ duy khoa học. Biết
đề ra cho học sinh đúng lúc, đúng chỗ những câu hỏi gợi ý sâu sắc, phù hợp
với trình độ đối tƣợng và trong chừng mực nào đó sử dụng khéo léo và linh
hoạt bảng gợi ý của G.Pôlya (G. Pôlya – Giải bài toán nhƣ thế nào) là thể hiện
kinh nghiệm và năng lực sƣ phạm của ngƣời giáo viên trong q trình dạy học
giải bài tập tốn. Đó là lời khun của ngƣời có kinh nghiệm giải tốn chứ
khơng phải là bản chỉ dẫn có tính chất thuật tốn”. [18]
1.5.2. Dạy học phương pháp tìm lời giải bài tốn
Dạy học tìm lời giải bài tốn nhằm mục đích hình thành cho học sinh

thói quen suy nghĩ tìm tịi lời giải của một bài toán trên cơ sở các kiến thức đã
học. Đồng thời phát huy đƣợc các hoạt động trí tuệ, tinh thần vƣợt khó, tính
cẩn thận, chu đáo làm việc có kế hoạch, có hiệu quả, có thói quen tự kiểm tra
cơng việc của mình.
Dạy học tốn là dạy hoạt động tốn học, do đó học sinh cần biết quá
trình sáng tạo các khái niệm, các định lý, biết vận dụng kiến thức, có niềm tin
vào khả năng tốn học của mình.

12


Đối với học sinh THPT tƣ duy của các em chủ yếu là tƣ duy cụ thể, hoạt
động chủ yếu là hoạt động bắt chƣớc, làm theo nên ngƣời giáo viên cần quan
tâm nhiều hơn đến việc rèn luyện kỹ năng. Trong các kỹ năng cần thiết thì kỹ
năng vận dụng quy trình tìm lời giải bài tốn của Pơlia có vị trí quan trọng đặc
biệt. Bởi vì đối với những bài tốn chƣa có hoặc khơng có thuật tốn để giải,
giáo viên cần hƣớng dẫn học sinh cách suy nghĩ, cách tìm tịi lời giải. Qua đó
trang bị cho học sinh một số tri thức về phƣơng pháp giải tốn thơng qua dạy
học một số bài tốn cụ thể mà dần dần truyền cho học sinh cách thức kinh
nghiệm tiến tới nghệ thuật trong việc suy nghĩ tìm tịi lời giải bài tốn, hình
thành phƣơng pháp giải một lớp các bài tốn có dạng quen thuộc. Dựa theo
bản gợi ý của Pơlya về Phương pháp tìm lời giải, Nguyễn Bá Kim đƣa ra bốn
bƣớc sau [9 ]:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài;
Bước 2: Tìm lời giải bài tốn;
Bước 3: Trình bày lời giải;
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải.
1.6. Các bƣớc giải bài toán phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng
Để giải một bài toán bằng PPTĐ, có thể tiến hành theo các bƣớc sau:
Bước 1: Chọn hệ toạ độ thích hợp;

Bước 2: Dịch bài tốn sang ngôn ngữ tọa độ;
Bước 3: Dùng các kiến thức toạ độ để giải bài toán;
Bước 4: Dịch kết quả từ ngơn ngữ toạ độ sang ngơn ngữ hình học.
Tuy nhiên qua thực tế, việc học và nắm vững các bƣớc trên để vận dụng
vào giải tốn thật khơng hề đơn giản đối với học sinh, vì đây là một quá trình
trừu tƣợng hố và khái qt hóa trong việc rèn luyện tƣ duy tốn học. Do
vậy, thơng qua một số bài toán cụ thể để hƣớng dẫn các em làm quen dần với
việc giải toán bằng phƣơng pháp tọa độ.

13


Ví dụ: Cho hai điểm A, B cố định cách nhau 3 đơn vị dài, Tìm tập
hợp các điểm M sao cho MA = 2MB.
Hướng dẫn:
Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ Oxy vng góc có trục hồnh qua A, B,
OB = 1, OA = 4  A(4 ; 0), B(1 ; 0).
Bước 2: Dịch bài tốn sang ngơn ngữ tọa độ: Giả sử M(x ; y) theo giả
thiết MA  2MB  MA2  4MB2 . Tính MA2 và MB2
MA2= (x  4)2  y2 ; 4MB2 = 4 (x  1)2  y2 
Bước 3: Dùng các kiến thức toạ độ để giải bài toán:
MA  2MB  MA2  4MB2
 (x  4) 2  y 2  4 (x  1) 2  y 2 
 3x 2  3y 2  12  0
 x 2  y2  4

Bước 4: Dịch kết quả từ ngơn ngữ toạ độ sang ngơn ngữ hình học.
Kết quả: Vậy tập hợp các điểm M cần tìm là đƣờng trịn tâm O  0;0  ,
bán kính R = 2.
1.7. Thực tiễn dạy học phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng

1.7.1. Nội dung phương pháp tọa độ trong mặt phẳng ở trường THPT
1.7.1.1. Phân phối chương trình
Để từng bƣớc phù hợp với trình độ HS ở mỗi lớp trong từng bậc học,
SGK mới đã tiến hành trình bày theo thứ tự:
- Số học lớp 6: Tia số.
- Đại số lớp 7: Trục số thực, mặt phẳng tọa dộ. HS biết sử dụng tƣơng ứng
1-1 giữa tập R các số thực với tập hợp các điểm trên trục số, hệ trục toạ độ Đề
các trong mặt phẳng và biết biểu diễn đƣờng thẳng trong mặt phẳng toạ độ.

14


- Hình học lớp 10: PPTĐ trong mặt phẳng với các vấn đề: Hệ trục tọa độ,
phƣơng trình đƣờng thẳng, phƣơng trình đƣờng trịn, phƣơng trình elip (với
ban cơ bản), thêm phƣơng trình parabol, hypebol với ban tự nhiên.
- Hình học lớp 12: Hệ toạ độ Đềcác trong không gian và PPTĐ trong
khơng gian.
Nội dung chƣơng trình sách giáo khoa trong những năm gần đây liên tục
có sự sắp xếp lại để đảm bảo rõ nét hơn tính hệ thống, sự gọn gàng và “dứt
điểm” song vẫn thể hiện rõ quan điểm của chƣơng trình tốn học phổ thơng,
đó là: Trong chƣơng trình hình học ở trƣờng THPT hiện nay, phƣơng pháp
vectơ và PPTĐ đƣợc xem là phƣơng pháp cơ bản kết hợp với phƣơng pháp
tổng hợp để nghiên cứu những đối tuợng và quan hệ trên hình học và trong
không gian.
1.7.1.2. Nội dung kiến thức cơ bản về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
Trong phần này, chúng tôi xin nhắc lại một số kiến thức cơ bản về đƣờng
thẳng, đƣờng tròn thƣờng đƣợc sử dụng trong trong giải bài tập về PPTĐ
trong mặt phẳng. Các kiến thức này đã đƣợc nêu trong sách giáo khoa, không
chứng minh.
Trƣớc hết, HS cần phải có các kiến thức về tọa độ của một vectơ, tọa độ

của một điểm đối với một hệ trục tọa độ, các biểu thức tọa độ đối với các
phép tốn vectơ, cơng thức khoảng cách giữa hai điểm.
Trong hệ tọa độ Đề các vng góc Oxy, cho 2 vectơ
a  (a1;a 2 ), b  (b1;b2 ) . Khi đó ta có các phép tốn sau:

 a  b  (a1  b1;a 2  b2 )
 ka  (ka1;ka 2 ), k 
 a.b  a1b1  a 2b2
 a.b  a . b cos(a,b)

15


 cos(a,b) 

a1b1  a 2 b2
a12  a 22 b12  b 22

2



a  a  a12  a 22

 Với A(x A ; yA ),B(x B ; yB ) ta có các tính chất:
AB  (x B  x A ; yB  yA ) , AB  AB  (x B  x A )2  (yB  yA ) 2

3) Đường thẳng
+

Phƣơng

trình

tổng

quát

của

đƣờng

()

thẳng

: Ax  By  C  0,(A2  B2  0) trong đó n(A;B) là vectơ pháp tuyến của
đƣờng thẳng () .
+ Phƣơng trình chính tắc đƣờng thẳng () đi qua điểm M(x o , yo ) và có
x  x 0 y  y0
vectơ chỉ phƣơng u(a;b) là: () :

a
b
* Quy ƣớc: a = 0 thì viết: x  x o  0
b = 0 thì viết: y  yo  0
+ Phƣơng trình đoạn chắn đƣờng thẳng () đi qua điểm A(a;0) và
x y
B(0;b) là
  1.

a b
+ Phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua một điểm M(x 0 ; y0 ) và có hệ số góc
k có phƣơng trình: y  y0  k(x  x 0 ) .
+ Phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua một điểm M(x 0 ; y0 ) và có vectơ
pháp tuyến n(a;b) là: a(x  x 0 )  b(y  y0 )  0 .
+ Góc  giữa hai đƣờng thẳng (1 ) : A1x  B1y  C1  0 và
A1A 2  B1B2

(2 ) : A2 x  B2 y  C2  0 cho bởi công thức cos 

+ Khoảng cách từ một điểm

() : Ax  By  C  0 cho bởi công thức d(M, ) 

16

.

A B A B
M(x 0 ; y0 ) đến đƣờng thẳng
2
1

2
1

Ax 0  By0  C
A B
2

2

.

2
2

2
2


2) Đường trịn
+ Đƣờng trịn tâm I(a;b) , bán kính R có phƣơng trình:
(x  a)2  (y  b)2  R 2

+ Phƣơng trình dạng: x 2  y2  2ax  2by  c  0 ( a 2  b2  c  0 ) .
đều là phƣơng trình của đƣờng trịn tâm

I(a;b)

bán kính

R  a 2  b2  c .

+ Phƣơng trình tiếp tuyến tại điểm M(x 0 ; y0 ) của đƣờng tròn tâm
I(a ; b) có phƣơng trình: (x 0  a)(x  a)  (y0  b)(y  b)  0 .

1.7.2. Mục đích yêu cầu của chương phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
Theo sách giáo viên hình học 10 Cơ bản, nâng cao [5], [15].
“Học chƣơng này học sinh phải đạt đƣợc các yêu cầu sau:

- Biết lập đƣợc phƣơng trình tham số và phƣơng trình tổng quát của đƣờng
thẳng, biết dùng phƣơng pháp tọa độ để tính khoảng cách từ một điểm đến một
đƣờng thẳng và biết tính góc giữa hai đƣờng thẳng.
- Biết lập phƣơng trình đƣờng trịn khi biết các điều kiện để xác
định nó và ngƣợc lại khi biết phƣơng trình đƣờng trịn đó.
- Nhớ và vận dụng đƣợc các biểu thức tọa độ để biểu thị một cách
chính xác các sự kiện hình học, chẳng hạn: điều kiện để điểm thuộc
đƣờng, vị trí tƣơng đối giữa các đƣờng, tính chất của đƣờng cơnic,… Từ
tính chất và quan hệ giữa các hình, củng cố đƣợc một số kiến thức đại số
nhƣ bài toán biện luận hệ phƣơng trình bậc nhất, bậc hai,…”
1.8. Một số nhận xét về thực trạng rèn luyện kĩ năng giải toán phƣơng
pháp tọa độ trong mặt phẳng cho học sinh THPT tỉnh Sơn La
Sơn La là một tỉnh miền núi Tây Bắc Việt Nam, tồn tỉnh Sơn La có 31
trƣờng THPT gồm 01 trƣờng THPT chuyên, 01 trƣờng THPT dân tộc nội trú
tỉnh và 29 trƣờng THPT. Về phía HS hệ THPT, đa số HS trong tỉnh là ngƣời

17


dân tộc thiểu số, nhiều trƣờng còn thiếu thốn về cơ sở vật chất, điều kiện đi
lại, học tập còn rất khó khăn, tỉ lệ HS bỏ học cịn cao do hồn cảnh kinh tế
khó khăn và chƣa nhận thức đúng đắn về giáo dục. Khắc phục những khó
khăn đó, hầu hết GV Toán trong địa bàn tỉnh đều yêu nghề, nhiệt tình trong
cơng tác cố gắng đổi mới phƣơng pháp giảng dạy phù hợp với các đối tƣợng
HS. Liên tiếp trong nhiều năm qua, Sở GD&ĐT Sơn La đã tổ chức các đợt
tập huấn nhằm bồi dƣỡng phƣơng pháp giảng dạy cho GV toàn tỉnh nên tất cả
GV đều đƣợc tiếp cận với các phƣơng pháp dạy học tích cực, cùng với các
thiết bị và đồ dùng hỗ trợ dạy học. Mỗi giáo viên đều có kế hoạch đổi mới
phƣơng pháp giảng dạy theo tinh thần đổi mới của Đảng và nhà nƣớc cũng
nhƣ của Ngành. Có kế hoạch tự bồi dƣỡng thƣờng xuyên để nâng cao nghiệp

vụ sƣ phạm. Các nhà trƣờng đã thƣờng xuyên tổ chức dự giờ thăm lớp (tại
trƣờng, cụm trƣờng) và nghiêm túc rút kinh nghiệm sau mỗi giờ dự. Bên cạnh
đó, việc sinh hoạt tổ chuyên môn cũng đƣợc đổi mới theo hƣớng nghiên cứu
bài học để thực hiện các tiết dạy thao giảng tổ, thao giảng trƣờng theo hình
thức nghiên cứu bài học.Vì vậy khả năng dạy học của giáo viên ngày càng
đƣợc nâng lên về chất. Bên cạnh đó vẫn cịn một số giáo viên chƣa thực sự
hiểu rõ bản chất của đổi mới phƣơng pháp dạy học cũng nhƣ chƣa chú trọng
rèn luyện kĩ năng tƣơng ứng cho HS trong q trình dạy học.
Với nội dung này, chúng tơi đã điều tra, phỏng vấn thực tế 45 giáo viên
toán tại một số trƣờng trên địa bàn tỉnh Sơn La qua phiếu thăm dị với nội
dung (Xem Phụ lục 1).
Về phía học sinh chúng tơi đã tiến hành tìm hiểu thực trạng kĩ năng giải
tốn thơng qua bài kiểm tra khảo sát cho 120 học sinh trƣờng THPT Tô Hiệu
tỉnh Sơn La với đề bài nhƣ sau:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 3 điểm M  2; 0 ,N  4;3 ,P  1;1 lập
phƣơng trình ba cạnh của tam giác ABC trong các trƣờng hợp sau:

18