skkn mới nhất sử dụng tam thức bậc 2 giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất trong phần cơ học lớp 10

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT THIỆU HÓA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI :
SỬ DỤNG TAM THỨC BẬC 2 GIẢI CÁC BÀI TỐN TÌM GIÁ
TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG PHẦN CƠ HỌC LỚP 10

Người thực hiện : Lê Hữu Vương
Chức vụ : Giáo viên
SKKN thuộc môn : Vật lí

THANH HĨA NĂM 2017

download by :


MỤC LỤC
I.MỞ ĐẦU
1.Lí do chọn đề tài ……………………………………………………………......1
2.Mục đích nghiên cứu ...........................................................................................1
3. Đối tượng nghiên cứu ………………………………………………………….1
4. Phương pháp nghiên cứu ……………………………………………………...2
II.NỘI DUNG
1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm……………………………………..3
2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm……………...3
3. Phương pháp tiến hành………………………………………………………..3
3.1. Lý thuyết tam thức bậc hai………………………………………………….3
3.2 Một số bài toán vận dụng.................................................................................4

3.2.1 Bài tốn tìm giá trị nhỏ nhất........................................................................4
3.2.1 Bài tốn tìm giá trị lớn nhất........................................................................10
4. Hiệu quả sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục………………14
III. KẾT LUÂN, KIẾN NGHỊ
1.Kết luận...............................................................................................................15
2. Kiến Nghị............................................................................................................15
TÀI LIỆU THAM KHẢO

download by :


skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10

I.MỞ ĐẦU
1.Lí do chọn đề tài:
Trong chương trình vật lý 10, phần cơ học là phần rất quan trọng, các bài tập
cơ học rất đa dạng và khó đối với học sinh. Một trong những dạng tốn phức tạp và
khó là bài tốn tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất.
Bằng thực tế giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi qua một số năm Tơi nhận
thấy “bài tốn tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất trong cơ học” là một trong những bài
toán mà các em học sinh rất hay bắt gặp trong các đề thi. Khi gặp bài toán này thực
tế cho thấy các em học sinh cịn gặp khó khăn vì nó là một trong những dạng tốn
khó. Để giải được các bài tốn này địi hỏi các em khơng những phải nắm tốt kiến
thức Vật lí mà bên cạnh đó các em phải có một kiến thức tốn tương đối tốt.
Mặc dù đây là một dạng tốn khó nhưng rất ít sách tham khảo viết và hướng
dẫn cách giải dạng tốn này.
Với những lí do trên, tơi xin trình bày đề tài: “Sử dụng tam tức bậc 2 giải
các bài tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong phần cơ học lớp 10’’.
2.Mục đích nghiên cứu:
Thơng qua đề tài, tơi muốn giúp học sinh có phương pháp mới để giải bài

tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong phần cơ học một cách thuận lợi và nhanh
gọn.
Cũng qua đề tài, tôi muốn giúp học sinh biết liên hệ tốt giữa kiến thức vật lý
và phương trình toán học để hiểu sâu kiến thức, đồng thời phát triển tư duy một
cách hoàn thiện hơn.
Là tài liệu để các đồng nghiệp có thể tham khảo trong q trình giảng dạy và
ơn luyện.
3. Đối tượng nghiên cứu
Kiến thức Tốn: Kiến thức về tam thức bâc 2
1

download by :
skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10


skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10

Kiến thức Vật lí: các kiến thức về động học, động lực học chất điểm trong
phần cơ học lớp 10.
Học sinh: lớp 10G, 10M.
4. Phương pháp nghiên cứu:
Để hoàn thành được sáng kiến kinh nghiệm này, tôi đã kết hợp rất nhiều
phương pháp nghiên cứu khác nhau.
Đầu tiên tôi đọc và làm nhiều bài tập liên quan đến bài toán tìm gi trị lớn
nhất và nhỏ nhất.
Tiếp theo, tơi phân loại các bài toán tương ứng với các kỹ thuật khác nhau.
Cuối cùng, tơi hệ thống hóa mỗi kỹ thuật theo một sơ đồ lôgic nhất định. Cụ
thể trong sáng kiến kinh nghiệm này, tơi đã trình bày một cách sơ lược hai dạng bài
tập tương ứng với kỹ thuật vận dụng thuật toán cơ bản trong toán học, dùng tam
thức bậc hai để tìm giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của một đại lượng vật lý.

2

download by :
skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10


skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10

II.NỘI DUNG
1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Nhiệm vụ nhận thức của học sinh với một khối lượng kiến thức mới và nhiều
đòi hỏi các em phải tập trung tư duy cao trong bài học. Với vốn kinh nghiệm giải
bài tập cịn ít, khả năng nhận thức của học sinh khơng đều, một số học sinh cịn
máy móc dập khn những lời giải có sẵn chưa phát huy tối đa năng lực giải bài
tập của mình.
Bên cạnh việc phải đổi mới phương pháp dạy học phù hợp với chương trình
và kiến thức sách giáo khoa mới hiện nay thì chúng ta cũng nên chú ý đến kĩ năng
giải các bài tập của học sinh. Cần cho học sinh thấy dược cái hay trong các bài tốn
Vật lí.
2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Các bài tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong phần cơ học lớp 10 thường
xuất hiện trong các tài liệu tham khảo, trong đề thi học sinh giỏi ... Tuy nhiên ở các
sách tham khảo thì các tác giả chưa hướng dẫn học sinh một cách cụ thể đề giải các
bài toán này, cũng như chưa phân dạng để các em dễ nắm bắt.Vì thế tơi đã đưa
phương pháp sử dụng tam thức bậc hai để giải các bài tốn tìm giá trị lớn nhất nhỏ
nhất trong phần cơ học lớp 10 vào trong quá trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh
giỏi…Tôi nhận thấy các em tiếp thu tốt, đồng thời giải được các bài toán tương tự
một cách nhanh chóng, dễ dàng.
3. Phương pháp tiến hành

3.1. Lý thuyết tam thức bậc 2.
Định nghĩa.
Tam thức bậc 2 (một ẩn) là đa thức có dạng f(x) = ax2 + bx  + c trong đó x là
biến a, b, c là các số đã cho, với a ≠ 0.
Tính chất.
+ a > 0 thì ymin tại đỉnh Parabol.
3

download by :
skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10


skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10

+ a < 0 thì ymax tại đỉnh Parabol.
( = b2 - 4ac).

+ Tọa độ đỉnh : x = -

+ Nếu  = 0 thì phương trình f(x) = ax2 + bx  + c = 0 có nghiệm kép.
+ Nếu  > 0 thì phương trình f(x) = ax2 + bx  + c = 0 có 2 nghiệm phân biệt.
3.2 Một số bài toán vận dụng.
3.2.1 Bài tốn tìm giá trị nhỏ nhất.
Bài 1:Hai xe mơtơ chạy theo hai con đường vng góc với nhau, cùng tiến
về phía ngã tư (giao điểm của hai con đường), xe A chạy từ hướng Đông sang
hướng Tây với vận tốc 50 km/h; xe B chạy từ hướng Bắc về hướng Nam với vận
tốc 30 km/h. Lúc 8 giờ sáng, A và B cùng cách ngã tư lần lượt 4,4 km và 4 km.
Tìm thời điểm mà khoảng cách hai xe nhỏ nhất. Tính khoảng cách này.
*

Phân tích đề tốn:

+ Chuyển động của hai xe là chuyển động thẳng đều nên phương trình
chuyển động có dạng hàm bậc nhất theo thời gian t.
+ Hai xe chạy theo hai hướng vuông góc với nhau tại ngã tư, nên khoảng
cách giữa hai xe sẽ được xác định theo định lí pitago của tọa độ hai xe.
+ Nghĩa là, khoảng cách L giữa hai xe sẽ được biểu diễn thông qua hàm bậc
hai của thời gian t.
Những nhận xét này cho phép ta có thể áp dụng dạng biến đổi của tam
thức bậc hai để tìm điều kiện khi Lmin.
*

Giải chi tiết:
Chọn hệ trục tọa độ xOy, với
+ trục Ox theo hướng từ Đông sang Tây;

4

download by :
skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10


skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10

+ trục Oy theo hướng từ Bắc về Nam;
+ gốc tọa độ O tại ng tư.

y

Chọn mốc thời gian là lúc 8 giờ sáng.

Phương trình chuyển động của mỗi xe lần


vA
O

vB

x0

lượt là
+ xe A: x = x0 + vAt = - 4,4 + 50t (km);

x

y0

+ xe B: y = y0 + vBt = - 4 + 30t (km).
Khoảng cch giữa hai xe: L = x 2  y 2 = 3400t 2  680t  35,36 (km).
áp dụng dạng biến đổi của tam thức bậc hai, ta được:
L=

3400  t  0,1  1,36 .
2

*Nhận xét: L  1,36  1,166 km = 1166 m.
 Lmin = 1166 m  t = 0,1 h = 6 pht.
Vậy: Lúc 8h 6phút sáng, khoảng cách hai xe đạt nhỏ nhất là 1166 m.
Bài 2:Một cầu thủ ghi bàn thắng bằng một quả phạt đền 11 m; bóng bay vơ
giữa và chạm vào mép dưới của xà ngang rồi bay vô gôn. Biết xà ngang cao 2,5 m;

khối lượng của quả bóng là 0,5 kg. Hỏi góc bay của bóng so với mặt sân cỏ phải
bằng bao nhiêu để năng lượng mà cầu thủ truyền cho bóng là nhỏ nhất. Bỏ qua sức
cản của khơng khí. Lấy g = 10 m/s2.
*

Phân tích đề tốn :

+ Năng lượng cầu thủ truyền cho bóng đã chuyển thành động năng ban đầu
của bóng.
+ Vì bỏ qua sức cản của khơng khí nên chuyển động của bóng là chuyển
động ném xiên. Khi đó, phương trình quĩ đạo, y = f(x), của bóng sẽ được biểu diễn
5

download by :
skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10


skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10

theo hàm bậc hai của tan, với  là góc tạo bởi vận tốc ban đầu của bóng so với
mặt sân cỏ.
+ Khi bóng chạm xà ngang ta có được: y = h = 2,5 m và x = L = 11 m;
+ Từ việc lập luận để tồn tại giá trị của  (theo tan), ta tìm được biểu thức
dạng tam thức bậc hai của v 02 .
+ Với lưu ý, v 02 > 0 ta sẽ tìm được giá trị nhỏ nhất của Wđ0min và góc .
*

Giải chi tiết:

y

Năng lượng mà cầu thủ truyền cho bóng đã v 0 y
chuyển thnh động năng ban đầu của bóng,
O

Wđ0 =

.


v0

X



v 0x

G

x

Vì bỏ qua sức cản của khơng khí nên chuyển động của bóng là chuyển động
của một vật được ném xiên.
Chọn hệ trục tọa độ xOy, với:
+ trục Ox nằm ngang hướng về phía gơn;
+ trục Oy thẳng đứng hướng lên;
+ gốc tọa độ tại vị trí phạt 11 m.
Chọn mốc thời gian là lúc quả bóng bắt đầu bay.
Phương trình chuyển động của bóng theo hai trục tọa độ lần lượt là:

+ theo phương Ox:

.

+ theo phương Oy:

.

Phương trình quĩ đạo của bóng có dạng:

6

download by :
skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10


skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10

gx 2
y = f(x) = (tan)x –
2v02 cos 2 α
Hay: y = (tan)x -

g
(1 + tan2)x2.
2v 02

Khi bóng chạm xà ngang rồi bay vô gôn, x = L = 11 m; y = h = 2,5 m.
gL2 (1  tan 2 α) gL2
gL2 (1  tan 2 α)

2
Ta có: h = L.tan  v0 =
=
a > 0.
2  L tan α  h 
2v02
2
 1  tan 2 α

 a  phải
Nhận thấy: để tồn tại giá trị của  thì phương trình 
 L tan α  h

h
5
= .
L 22

cónghiệm tan 

Khi đó, tan2 - L.a.tan + 1 + h.a = 0
Hay, tan2 - 11a.tan + 1 + 2,5a = 0
Để thỏa mãn điều kiện ở trên thì:  = 121a2 – 4(1 + 2,5a)  0
2



5  509

121a – 10a – 4  0  121  a 

 0.
 121  121

2

2



2
5   509 

 a
a 
 
 121   121 



amin =

509  5
hoặc a  121

509  5
< 0 (loại).
121

11a min
509  5

  = 0  tan =
  = 51024’.
2
121

Ta lại nhận thấy: Wđ0min  v0min  amin =

509  5
121

Vậy, nếu  = 51024’ thì Wđ0min =

=

7

download by :
skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10

 34,5 J.


skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10

Bài 3: Từ hai bến A và B trên cùng một bờ sơng có hai ca nơ cùng khởi
hành. Khi nước chảy do sức đẩy của động cơ, chiếc ca nô từ A chạy song song với
bờ theo chiều từ A đến B với vận tốc 24km/h, còn chiếc ca nơ từ B chạy vng góc
với bờ có vận tốc là 18 km/h. Quãng đường AB dài 1km. Hỏi khoảng cách nhỏ
nhất giữa hai ca nơ trong q trình chuyển động là bao nhiêu nếu nước chảy từ A
đến B với vận tốc 6 km/h. Biết rằng sức đẩy của các động cơ khơng thay đổi.

A
*

B

Phân tích đề tốn :
+ Khoảng cách giữa hai xe trong quá trình chuyển động thay đổi theo thời

gian nên ta có thể chọn thời gian làm ẩn.
+ Lựa chọn giải bài toán trong hệ quy chiếu nào (chọn hệ quy chiếu).
+ Gọi khoảng cách gữa hai xe trong quá trình chuyển động là CD. Biểu diễn
độ dài đoạn CD theo t (Tìm mối quan hệ giữa CD với t).
*

Giải chi tiết:

Giải bài toán trong hệ quy chiếu gắn với bờ sông.
Vận tốc của mỗi canô đối với bờ sông.
vB



B v

A v vAvAO

o

o

Độ dài quãng đường hai ca nơ đi
được trong thời gian t.
Ta có:

D
vBO
A vAO C



B

8

download by :
skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10

vBO

H


skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông CHD ta có:
CD2 = CH2 + HD2
CD2 =
CD2 = 900t2 – 48t + 1
y = 900t2 – 48t + 1 (1)

(Trong đó CD2 = y)
Đến đây ta gặp bài tốn: Tìm t dương để y đạt giá trị nhỏ nhất.
Ta có thể trình bày theo hai hướng.

Hướng thứ nhất: Dựa vào điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai
Ta có:
(2)
Phương trình (2) có nghiệm

Hướng thứ hai: Biến đổi VP(1) về dạng A2 + B
Ta có:

Giải bài tốn trong hệ quy chiếu gắn với mặt nước.
Độ dài quãng đường mà hai canô đi được sau thời gian t lần lượt là:
AA’ = v1t = 24t
BB’ = v2t = 18t
Áp dụng định lý Pitago

B
’
’
v

9

A vA A’

download by :
skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10

B

B


skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10

Trong tam giác vng A’BB’ ta có:
A’B’2 = A’B2 + BB’2
A’B’2 = ( AB – AA’ )2 + BB’2
A’B’2 = ( 1- 24t )2 + (18t )2
y = 900t2 – 48t + 1
(1)
Ngoài hai cách chọn hệ quy chiếu trên ta có thể giải bài tốn mà hệ quy chiếu
gắn với một trong hai canô.
Chọn ca nô đi từ A làm mốc khi đó
Dịng nước chuyển động ngược lại so với ca nô đi từ A với vận tốc v1.
Vận tốc của ca nô B so với ca nô A là:
v21 =
B
’

’
v21

Ta có: HB’ = BB’.sin
A


v

H

1

v2
B

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vng AHB’ ta có:
AB’2 = AH2 + HB’2
AB’2 = ( 1-24t )2 + ( 18t )2
y = 900t2 – 48t + 1
(1)
3.2.1 Bài tốn tìm giá trị lớn nhất.
Bài 1 : Một con bọ đậu ở đầu A của một thanh cứng mảnh AB có chiều dài L
đang dựng đứng cạnh một bức tường thảng đứng (như hình vẽ). Vào thời điểm mà
đầu B của thanh bắt đầu trượt sang phải trên mặt sàn nằm ngang với vận tốc khơng
đổi

thì con bọ bắt đầu bị dọc theo thanh với vận tốc

đối với thanh. Trong q

trình bị lên thanh, con bọ đạt dược độ cao cực đại là bao nhiêu đối với sàn. Biết
A

đấu A của thanh ln tì lên tường thẳng đứng.

Con bọ

*

B

Phân tích đề tốn :
10

download by :
skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10


skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10

+ Chuyển động của điểm B và của con bọ là chuyển động thẳng đều.
+ Biểu diễn độ cao của con bọ ( H ) theo thời gian t.
+ Sử dụng tính chất tam thức bậc hai tìm Hmax .
*

Giải chi tiết:
Gọi t là thời gian con bọ chuyển động
+ Quãng đường con bọ chuyển động :
+ Quãng đường điểm B chuyển động:

.

u

.



h 

+ Độ cao mà con bọ đạt dược:


v

khi
Với

(trong đó

)

Ta thấy y là tam thức bậc 2 có hệ số
Nên ta có

;

tại

Vậy độ cao cực đại con bọ đạt được là
Bài 2 :Một người đứng ở độ cao h so với mặt đất ném một hòn đá với vận
tốc ban đầu

, theo phương hợp với phương ngang một góc

. Tìm

để tầm xa

trên mặt đất là lớn nhất.
*
Phân tích đề toán :
Đây là bài toán chuyển động của vật bị ném xiên nên chúng ta sẽ tiến hành
theo các bước :
+ Chọn hệ trục xOy.
+ Phân tích chuyển động theo 2 phương Ox, Oy.

11

download by :
skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10


skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10

+ Biến đổi ra biểu thức tầm bay ( L) xa rồi sử dụng tính chất của tam thức
bậc 2 tìm
*

Giải chi tiết:

y

+ Chon hệ trục tọa độ xOy như hình vẽ. Gốc O ở mặt đất.
+ Chuyển động của vật chia thành hai thành phần :
Theo Ox :

(1)

Theo Oy :

(2)

+ Khi chạm đất thì

h




V0
x

0

lúc này

Thay t vào (2) ta được

mà
(3) ; phương trình phải có nghiệm với

.
  = L2 . Lúc này phương trình (3) có
nghiệm kép
Vậy với

thì tầm bay xa cực đại.

Bài 3 : Một người đứng tại điểm A trên bờ hồ. Người này muốn đến điểm B
trên mặt hồ nhanh nhất. Cho khoảng cách từ điểm B đến bờ là d, khoảng cách từ
điểm A đến H là S như hình. Biết rằng người này chạy trên bờ thì vận tốc là v 1, khi
bơi thì có vận tốc là v2 (v2 < v1 ). Hãy xác định phương án chuyển động của người
đó.
*

B

Phân tích đề tốn :

d

+ Ta thấy có hai phương án chuyển động của người này.
12

A

download by :
skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10

S

H


skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10

Phương án 1: Bơi thẳng từ A đến B
Phương án 2 : Chạy trên bờ 1 đoạn AD
sau đó bơi từ D đến B
+ Chúng ta sẽ giả sử phương án thứ 2, tiến hành giải rồi biện luận cho từng
phương án.
*

Giải chi tiết:
Giả sử người đó chọn phương án chạy trên bờ một đoạn AD ( AD = S - x ),

sau đó bơi từ D đến B.

B

d

Thời gian người đó bơi từ A đến B : t =
A



t=

S

D

Đặt P = v1

;

H



x

Tmin khi Pmin.

 Từ (1)  P + v2x = v1
Để có nghiệm (với 0  x < S) thì '  0


Vậy Pmin = d

khi đó

+ Nếu x  S thì bài tốn vơ nghiêm tức là không tồn tại điểm D

chọn

phương án bơi thẳng từ A đến B.
+ Nếu x < S thì người đó phải chạy một đoạn AD = S bơi từ D đến B.
4. Hiệu quả sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục

13

download by :
skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10

trên bờ rồi


skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10

Trong năm học vừa qua tôi đã áp dụng đề tài này vào chương trình học của
lớp10 . Tơi nhận thấy các em học sinh đã rất hứng thú khi áp dụng đề tài này tự
mình giải nhanh được những bài tốn khó. Đề tài này đã góp phần nâng cao khả
năng trực quan hoá tư duy của học sinh và lôi cuốn được nhiều học sinh tham gia
vào quá trình giải bài tập cũng như giúp một số học sinh khơng u thích hoặc
khơng giỏi mơn vật lý cảm thấy đơn giản hơn trong việc giải các bài tập tìm giá trị
lớn nhất, nhỏ nhất. Qua đó nâng cao chất lượng giảng dạy bộ môn vật lý ở trường
THPT Thiệu Hóa, tạo động lực thúc đẩy sự tiến bộ, hiệu quả trong sự nghiệp giáo
dục….
Cụ thể thông qua khảo sát chất lượng học sinh sau khi được hướng dẫn
phương pháp “Sử dụng tam tức bậc 2 giải các bài tốn tìm giá trị lớn nhất nhỏ
nhất trong phần cơ học lớp 10’’ tôi thu được kết quả như sau:
 Kết quả so sánh đối chứng.
* Kết quả khảo sát trước khi thực hiện đề tài.
Sĩ

Giỏi

số

SL

%

10G

45

5

11,1 30

66,7 8

17,8 2

4,4

10M

40

1

2,5

25

37,5 5

12.5

Lớp

Khá

SL
10

TB
%

SL
15

Yếu - Kém
%

SL

* Kết quả khảo sát sau khi thực hiện đề tài.

14

download by :
skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10

%


skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10

Sĩ

Giỏi

số

SL

%

10G

45

7

15,6 33

10M

40

3

7,5

Lớp

Khá
SL
13

TB
%

SL

Yếu
%

SL

%

73,3 4

8,9

1

2,2

32,5 10

25

4

10

Qua so sánh đối chứng kết quả tôi thấy tỉ lệ điểm: Khá, Giỏi tăng, điểm yếu
giảm cụ thể là:

III. KẾT LUÂN, KIẾN NGHỊ

1. Kết luận
Đề tài: “Sử dụng tam tức bậc 2 giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất nhỏ
nhất trong phần cơ học lớp 10’’ nhằm mục đích giúp các em học sinh giải nhanh
được những bài tốn tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất. Sau thời gian áp dụng, đề tài đã
mang lại được kết quả như mong muốn. Chính vì vậy q thầy cơ giáo và các em
học sinh có thể tham khảo và áp dụng vào trong thực tiễn, góp phần đổi mới
phương pháp giảng dạy, đổi mới cách kiểm tra đánh giá kết quả học tập của học
sinh nhằm nâng cao chất lượng giáo dục.
2. Kiến Nghị
Theo quyết định của bộ GD & ĐT từ năm học 2018 – 2019 trong đề thi THPT
quốc gia mơn Vật lí sẽ thi kiến thức của cả 3 lớp 10, lớp 11, lớp 12 với hình thức
trắc nghiệm khách quan ( khơng giống như những năm trước chủ yếu thi kiến thức
trong chương trình lớp 12). Điều này dẫn đến cần có sự đổi mới mạnh mẽ trong
việc dạy và học của giáo viên cũng như học sinh . Vì vậy tơi có một số đề nghị như
sau:

15

download by :
skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10


skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10

Đối với giáo viên: Giáo viên giảng dạy bộ môn Vật lí, nhất là giao viên dạy
lớp 10, lớp 11 cần tiếp thu định hướng đổi mới trong kiểm tra và đánh giá của bộ
giáo dục và đào tạo thông qua các đợt tập huấn, sau đó tự hồn thiện kiến thức kỹ
năng, tự rút ra cho mình những phương pháp mới vận dụng vào thực tiễn qua hình
thức thi trắc nghiệm nhằm đạt kết quả cao trong giảng dạy trên tinh thần nhiệt
huyết với nghề.

Đối với tổ bộ môn: Cần quán xuyến tốt hơn các giáo viên trong tổ, vận động
các giáo viên trong tổ mạnh dạn đề ra các phương pháp đổi mới. Thông qua các
buổi họp tổ chuyên môn cần tập trung và thảo luận, triển khai các vấn đề về chuyên
môn nhiều hơn…
- Đối với lãnh đạo các cấp trong ngành giáo dục cần quan tâm và trang bị kĩ
hơn cho giáo viên các tài liệu về đổi mới phương pháp thông qua các đợt tập huấn
các báo cáo chuyên đề… Đôn đốc, quán xuyến và kiểm tra các hoạt động của tổ bộ
môn. Cần tổ chức và hình thành ngân hàng đề kiểm tra đúng quy trình đựa theo
định hướng đổi mới giáo dục.

Xác nhận của cơ quan

Thiệu hóa, ngày 30 tháng 5 năm 2017
Tơi xin cam đoan nội dung của SKKN
không sao chép của người khác.
Người viết

Lê Hữu Vương

16

download by :
skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10


skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10

skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10skkn.moi.nhat.su.dung.tam.thuc.bac.2.giai.cac.bai.toan.tim.gia.tri.lon.nhat.nho.nhat.trong.phan.co.hoc.lop.10