skkn rèn kỹ năng cho học sinh lớp 9 biết phân dạng và tìm lời giải bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất thcs cẩm thủy

I - PHẦN MỞ ĐẦU
1) Lý do chọn đề tài:
Trong trường phổ thông môn Toán có một vị trí rất quan trọng.
Các kiến thức và phương pháp Toán học là công cụ thiết yếu giúp học
sinh học tốt các môn học khác, hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh
vực. Đồng thời môn Toán còn giúp học sinh phát triển những năng lực
và phẩm chất trí tuệ; rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy tích cực,
độc lập, sáng tạo; giáo dục cho học sinh tư tưởng đạo đức và thẩm mỹ
của người công dân.
Ở trường trung học cơ sở, trong dạy học Toán: cùng với việc
hình thành cho học sinh một hệ thống vững chắc các khái niệm, các
định lí; thì việc dạy học giải các bài toán có tầm quan trọng đặc biệt và
là một trong những vấn đề trung tâm của phương pháp dạy học Toán ở
trường phổ thông. Đối với học sinh trung học cơ sở, có thể coi việc
giải bài toán là một hình thức chủ yếu của việc học toán. Do đó việc
hướng dẫn học sinh kĩ năng tìm tòi sáng tạo trong quá trình giải toán
là rất cần thiết và không thể thiếu được.
1
Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy môn toán ở trường trung
học cơ sở tôi đi sâu nghiên cứu nội dung chương trình và qua thực tế
dạy học tôi thấy: trong chương trình Toán trung học cơ sở "Các bài
toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất" rất đa dạng, phong phú và
thú vị, có một ý nghĩa rất quan trọng đối với các em học sinh ở bậc
học này nhất là các em trong đội tuyển. Ở trung học cơ sở học sinh
chưa có các công cụ giải toán cao cấp để giải các bài toán này. Chính
vì vậy, các bài toán cực trị đại số ở trung học cơ sở không theo quy tắc
hoặc khuôn mẫu nào cả, nó đòi hỏi người học phải có một cách suy
nghĩ logic sáng tạo, biết kết hợp kiến thức cũ với kiến thức mới một
cách logic có hệ thống.
2) Mục đích của đề tài:
Trên thực tế giảng dạy đội tuyển Toán 9 những năm qua tôi nhận

thấy: phần “ Các bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất" là
một trong những phần trọng tâm của việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi
ở trường trung học cơ sở. Thế nhưng thực trạng học sinh trường chúng
tôi và những trường tôi đã từng dạy là: học sinh không có hứng thú
với loại toán này, bởi lẽ các bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của biểu thức đại số ở trường trung học cơ sở không theo một
2
phương pháp nhất định nên các em rất lúng túng khi làm toán này, các
em không biết bắt đầu từ đâu và đi theo hướng nào. Hầu hết học sinh
rất ngại khi gặp các bài toán cực trị và không biết vận dụng để giải
quyết các bài tập khác.
Thực trạng đó khiến tôi luôn băn khoăn suy nghĩ: "Làm thế nào
để học sinh không thấy ngại và có hứng thú với loại toán này". Với
trách nhiệm của người giáo viên tôi thấy mình cần giúp các em học tốt
hơn phần này.
3) Phạm vi đề tài:
Đề tài này đề cập đến đối tượng học sinh khá giỏi khối 9.
4) Phương pháp nghiên cứu:
Tôi đã dành thời gian đọc tài liệu, nghiên cứu thực tế giảng dạy
của bản thân và của một số đồng nghiệp; qua sự tìm tòi thử nghiệm,
được sự giúp đỡ của các bạn đồng nghiệp. Đặc biệt là những bài học
sau những năm ở trường sư phạm.
3
4
II - PHẦN NỘI DUNG
1) Cơ sở lý luận.
Với đề tài này tôi hi vọng sẽ giúp học sinh không bỡ ngỡ khi gặp
các bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất, giúp các em học
tốt hơn. Đồng thời hình thành ở học sinh tư duy tích cực, độc lập, sáng
tạo, nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện khả

năng vận dụng kiến thức vào hoạt động thực tiễn, rèn luyện nếp nghĩ
khoa học luôn mong muốn làm được những việc đạt kết quả cao nhất,
tốt nhất.
5
1.1) Lý thuyết cơ bản về dạng toán giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất :
Cho biểu thức nhiều biến số P(x, y, , z) với x, y, , z thuộc
miền S nào đó xác định. Nếu với bộ giá trị của các biến (x
0
, y
0
, z
0
)
∈
S mà ta có: P(x
0
, y
0
, z
0
) ≥ P(x, y, , z) hoặc P(x
0
, y
0
, z
0
) ≤ P(x,
y, , z) thì ta nói P(x, y, , z) lớn nhất hoặc nhỏ nhất tại (x
0

, y
0
, z
0
)
trên miền S.
P(x, y, , z) đạt giá trị lớn nhất tại (x
0
, y
0
, z
0
)
∈
S còn gọi là P
đạt cực đại tại (x
0
, y
0
, z
0
) hoặc Pmax tại (x
0
, y
0
, z
0
) .Tương tự ta
có: P đạt giá trị nhỏ nhất tại (x
0

, y
0
, z
0
)
∈
S còn gọi là P đạt cực tiểu
tại (x
0
, y
0
, z
0
) hoặc Pmin tại (x
0
, y
0
, z
0
) .
Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P trên miền xác định S gọi là các
cực trị của
P trên miền S.
1.2. Nguyên tắc chung tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của một biểu thức
Tìm cực trị của một biểu thức trên một miền xác định nào đó là
vấn đề rộng và phức tạp, nguyên tắc chung là:
6
*) Để tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức P(x, y, , z) trên
miền xác định S, ta cần chứng minh hai bước:

- Chứng tỏ rằng P ≥ k (với k là hằng số) với mọi giá trị của các
biến trên miền xác định S
- Chỉ ra trường hợp xảy ra dấu đẳng thức.
*) Để tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức P(x, y, , z) trên miền
xác định S, ta cần chứng minh hai bước:
- Chứng tỏ rằng P ≤ k (với k là hằng số) với mọi giá trị của các
biến trên miền xác định S
- Chỉ ra trường hợp xảy ra dấu đẳng thức.
Chú ý rằng không được thiếu một bước nào trong hai bước trên.
Ví dụ : Cho biểu thức A = x + (x – 2)
Một học sinh tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A như sau:
Ta có x ≥ 0 ; (x – 2) ≥ 0 nên A ≥ 0.
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 0.
Lời giải trên có đúng không?
Giải:
7
Lời giải trên không đúng. Sai lầm của lời giải trên là mới chứng
tỏ rằng A
≥
0 nhưng chưa chỉ ra được trường hợp xảy ra dấu đẳng
thức. Dấu đẳng thức không xảy ra, vì không thể có đồng thời:
x = 0 và (x – 2) = 0 .
Lời giải đúng là:
A = x + (x – 2) = x + x – 4x + 4 = 2x – 4x + 4
= 2(x – 2x + 1) + 2 = 2(x – 1) + 2
Ta có: (x – 1) ≥ 0 , ∀x

⇒
2(x – 1) + 2 ≥ 2 ∀ x

⇒
A ≥ 2 ∀x
Do đó A = 2 ⇔ x = 1.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng 2 với x = 1.
1.3 Kiến thức cần nhớ:
Để tìm cực trị của một biểu thức đại số, ta cần nắm vững:
a) Các tính chất của bất đẳng thức, các cách chứng minh bất
đẳng thức.
b) Sử dụng thành thạo một số bất đẳng thức quen thuộc:
8
* a ≥ 0, tổng quát: a ≥ 0 (k nguyên dương)
Xảy ra dấu đẳng thức ⇔ a = 0
* – a ≤ 0, tổng quát: – a ≤ 0 (k nguyên dương)
Xảy ra dấu đẳng thức ⇔ a = 0
* ≥ 0 (Xảy ra dấu đẳng thức ⇔ a = 0)
* – ≤ a ≤ . (Xảy ra dấu đẳng thức ⇔ a = 0)
* + ≥ (Xảy ra dấu đẳng thức ⇔ ab ≥ 0)
* – ≤ (Xảy ra dấu đẳng thức ⇔ a≥ b≥ 0 hoặc a ≤ b≤ 0)
* a + ≥ 2 ,∀a >0 và a + ≤ – 2 , ∀ a <0
* ≥ ≥ ab ; ∀a,b (Xảy ra dấu đẳng thức ⇔ a = b)
* a ≥ b, ab >0
⇒
≤ (Xảy ra dấu đẳng thức ⇔ a = b)
2)Thực trạng của vấn đề nghiên cứu.
Thực trạng khi nhận chuyên môn phân công dạy đội tuyển toán 9
ở những tiết đầu tiên tôi cảm thấy cách học của đa số học sinh trong
đội tuyển nắm kiến thức rất thụ động mang nhiều tính sách vở.
9
Để Thống kê năng lực tiếp thu bài của học sinh tôi dùng nhiều
hình thức phát vấn trắc nghiệm rút ra một hiện tượng nổi bật học sinh

trả lời rõ ràng mạch lạc nhưng mang tính chất học vẹt chấp hành đúng
nguyên bản, quá trình dạy để kiểm tra việc thực hành ứng dụng của
học sinh tôi đưa ra một số ví dụ thì học sinh lúng túng không biết
thực hiện như thế nào.
Qua việc khảo sát việc nắm bắt dạng toán “Tìm giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của biểu thức” trên đối tượng 15 học sinh khá giỏi lớp
9 đầu HK I năm học 2011 - 2012
Số HS
điểm 9 - 10 điểm 7 - 8 điểm 5 - 6 điểm dưới 5
SL % SL % Sl % SL %
15 01 6,7% 2 13,3% 5 33,3% 7 46,7%
Sau khi kiểm tra tôi thấy số học sinh chưa năm được kiến thức
dạng này dẫn tới kết quả thấp 7em chiếm tỉ lệ 46,7% ;số học sinh nắm
phương pháp còn mơ hồ kết quả chưa cao 5 em chiếm tỉ lệ 33,3%, một
số học sinh nắm phương pháp và biết phân dạng nhưng kỹ năng còn
chậm 2em chiếm tỉ lệ 13,3% ;1em thực sự có hứng thú với dạng toán
này (có năng lực suy luận, tư duy sáng tạo), chiếm tỉ lệ 6,7% .
10
Xuất phát từ những khó khăn của học sinh và qua thực tế giảng
dạy tôi tìm tòi nghiên cứu và đã mạnh dạn đưa ra các giải pháp sau:
3) Các giải pháp:
Thông qua các bài toán trong sách giáo khoa (sách tham khảo) tôi
tiến hành phân loại thành một số dạng cơ bản nhất về các bài toán cực
trị trong đại số ở trung học cơ sở rồi hướng dẫn học sinh tìm kiến thức
có liên quan cần thiết để giải từng dạng toán đó. Sau đây là một số
dạng toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất thường gặp :
DẠNG 1: BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ
LỚN NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC LÀ TAM THỨC BẬC
HAI.
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

A(x) = x– 4x+1
Trong đó x là biến số lấy các giá trị thực bất kỳ.
Hướng dẫn giải:
Gợi ý: Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A(x) ta cần phải
biến đổi về dạng A(x)
≥
k (k là hằng số) với mọi giá trị của biến và chỉ
ra trường hợp xảy ra đẳng thức
11
Lời giải: A(x) = x – 4x + 1
= x – 2.2x + 1
= (x – 2.2x + 4) – 3
= (x – 2) – 3
Với ∀x: (x – 2) ≥ 0 nên ta có:
A(x) = (x – 2) – 3 ≥ –3
Vậy A(x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng –3 khi x =2
Đáp số: A(x) nhỏ nhất = – 3 với x =2
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
B(x) = – 5x– 4x + 1
Trong đó x là biến số lấy giá trị thực bất kỳ
Hướng dẫn giải:
Gợi ý: Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B(x) ta cần phải biến
đổi đưa B(x) về dạng B(x)
≤
k (k là hằng số) với mọi giá trị của biến
khi đó giá trị lớn nhất của B(x)= k và chỉ ra khi nào xảy ra đẳng thức
Lời giải: B(x) = – 5x – 4x + 1
= –5(x + x) +1
12
= –5 [ x + 2. x + ()

2
– () ] + 1
= –5[(x + ) – ] + 1
= –5(x + ) + + 1
= –5(x + ) +
Với mọi giá trị của x: (x + ) ≥ 0 nên –5(x + ) ≤ 0
suy ra: B(x)= –5(x + ) + ≤
Vậy B(x)đạt giá trị lớn nhất khi B(x)= , khi x =
Đáp số: B(x) lớn nhất = với x = –
Ví dụ 3: (Tổng quát)
Cho tam thức bậc hai P = ax + bx + c
Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu a > 0
Tìm giá trị lớn nhất của P nếu a < 0
Hướng dẫn giải:
Gợi ý: Để tìm giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) của P ta cần phải biến
đổi sao cho P = a.A(x) + k . Sau đó xét với từng trường hợp a > 0
hoặc a <0 để tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất.
Lời giải:
13
P = a(x+ x) + c
= a( x + 2.x. + ) + c –
= a(x + ) + k với k = c –
Do (x + ) ≥ 0 nên:
+ Nếu a > 0 thì a(x + ) ≥ 0 do đó P ≥ k
+ Nếu a < 0 thì a(x + ) < 0 do đó P ≤ k
Vậy khi x = thì P có giá trị nhỏ nhất bằng k (nếu a > 0)
hoặc giá trị lớn nhất bằng k (nếu a < 0)
DẠNG 2: BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT,GIÁ TRI
LỚN NHẤT CỦA ĐA THỨC BẬC CAO:
Ví dụ 4:

Tìm giá trị nhỏ nhất của A = (x+ x + 1)
Hướng dẫn giải:
(?) Ta nhận thấy A = (x + x + 1) ≥ 0, nhưng giá trị nhỏ nhất của
A có phải bằng 0 hay không? Vì sao?
Trả lời : Mặc dù A ≥ 0 nhưng giá trị nhỏ nhất của A không phải
bằng 0 vì: x+ x +1 ≠ 0
14
Do đó Amin  (x+ x +1) min
(?) Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của x + x +1? và tìm giá trị nhỏ nhất
của A?
Trả lời: Ta có x+ x +1 = x + 2x. + – + 1
= (x+ ) + ≥
Vậy giá trị nhỏ nhất của x + x + 1 bằng với x = –
Trả lời: Giá trị nhỏ nhất của A bằng () = với x = –
Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của :
x – 6x + 10x – 6x + 9
Hướng dẫn giải:
Gợi ý: - Hãy viết biểu thức dưới dạng A(x) + B(x) ≥ 0
- Xét xem xảy ra dấu đẳng thức khi nào? Giá trị nhỏ nhất
của biểu thức bằng bao nhiêu?
Lời giải: x – 6x + 10x – 6x + 9 = x – 2.x.3x + (3x) + x – 2x.3
+3
= (x – 3x) + (x –3) ≥ 0
Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi:
15
x – 3x = 0 x = 0 x = 0
 x – 3 = 0  x = 3  x =
3
x – 3 = 0 x – 3 = 0 x = 3
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 0 với x = 3

Đáp số: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 0 với x = 3
DẠNG 3: BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ
LỚN NHẤT CỦA ĐA THỨC CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT
ĐỐI
Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = +
Hướng dẫn giải:
Gợi ý: Bài toán đề cập tới dấu giá trị tuyệt đối do đó chúng ta
phải nghỉ tới các khoảng nghiệm và định nghĩa giá trị tuyệt đối của
một biểu thức.
A Nếu A ≥ 0
=
– A Nếu A ≤ 0
16
Cách 1: Để tìm giá trị nhỏ nhất của A, ta tính giá trị của A trong
các khoảng nghiệm. So sánh các giá trị của A trong các khoảng
nghiệm đó để tìm ra giá trị nhỏ nhất của A.
Lời giải
+ Trong khoảng x < 2 thì = – (x – 2) = 2 – x
= – (x – 5) = 5 – x

⇒
A = 2 – x + 5 – x = 7 – 2x
Do x < 2 nên –2x > – 4 do đó A = 7 – 2x > 3
+ Trong khoảng 2 ≤ x ≤ 5 thì = x – 2
= – (x – 5) = 5 – x
⇒
A = x – 2 + 5 – x = 3
+ Trong khoảng x > 5 thì = x – 2
= x – 5
⇒

A = x – 2 + x –5 = 2x – 7
Do x > 5 nên 2x > 10 do đó A = 2x – 7 > 3
So sánh các giá trị của A trong các khoảng trên, ta thấy giá trị
nhỏ nhất của A bằng 3 khi và chỉ khi 2 ≤ x ≤ 5
17
Đáp số: A = 3 khi và chỉ khi 2 ≤ x ≤ 5
Cách 2: Ta có thể sử dụng tính chất: giá trị tuyệt đối của một
tổng nhỏ hơn hoặc bằng tổng các giá trị tuyệt đối. Từ đó tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức A.
Lời giải: A = += +
Ta có: + ≥ ≥ 3
≥ 0
A = 3   (x – 2)(5 – x) ≥ 0
≥ 0
 2 ≤ x ≤ 5
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 3 khi và chỉ khi 2 ≤ x ≤ 5
DẠNG 4: BÀI TOÁN TÌM GTNN, GTLN CỦA PHÂN
THỨC CÓ TỬ LÀ HẰNG SỐ, MẪU LÀ TAM THỨC BẬC HAI
Ví dụ 7: Tìm giá trị lớn nhất của M =
Hướng dẫn giải:
Gợi ý: Sử dụng tính chất a ≥ b, ab >0
⇒
≤ hoặc theo quy tắc so
sánh hai phân số cùng tử, tử và mẫu đều dương.
18
Lời giải:
Xét M = = =
Ta thấy (2x – 1) ≥ 0 nên (2x – 1) + 4 ≥ 4
Do đó: ≤
Trả lời: Vậy M lớn nhất bằng khi 2x – 1 = 0 => x =

Đáp số: M lớn nhất = với x =
Ví dụ 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của B =
Hướng dẫn giải:
Ta có: B = = – = –
Vì (x – 1) ≥ 0 => (x + 1) + 3 ≥ 3
=> ≤ => – ≥ –
Vậy B nhỏ nhất bằng – khi x – 1 = 0 => x =1
Đáp số: M nhỏ nhất = – với x = 1
Chú ý: Khi gặp dạng bài tập này các em thường mắc sai lầm lập
luận rằng M (hoặc B) có tử là hằng số nên M (hoặc B) lớn nhất (nhỏ
nhất) khi mẫu nhỏ nhất (lớn nhất)
19
Lập luận trên có thể dẫn đến sai lầm, chẳng hạn với phân thức
Mẫu thức x – 3 có giá trị nhỏ nhất là – 3 khi x = 0
Nhưng với x = 0 thì = – không phải là giá trị lớn nhất của phân
thức
Chẳng hạn với x = 2 thì = 1 > –
Như vậy từ –3 < 1 không thể suy ra – >
Vậy từ a < b chỉ suy ra được > khi a và b cùng dấu .
DẠNG 5: BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN
NHẤT CỦA PHÂN THỨC CÓ MẪU LÀ BÌNH PHƯƠNG CỦA
NHỊ THỨC
Ví dụ 9 : Tìm giá trị nhỏ nhất của A =
Cách 1:
Gợi ý: Hãy viết tử thức dưới dạng lũy thừa của x + 1, rồi đổi
biến bằng cách viết A dưới dạng tổng các biểu thức là lũy thừa của
. Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Lời giải: Ta có: x + x + 1 = (x + 2x + 1) – (x +1) + 1
= (x +1) – (x +1) + 1
20

Do đó A = – + = 1 – +
Đặt y = khi đó biểu thức A trở thành: A = 1 – y + y
Ta có: A = 1 – y + y = y – 2.y. + ( ) +
= (y– ) + ≥
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng khi và chỉ khi:
y – = 0 ⇒ y= hay =

⇔
x + 1 = 2

⇔
x = 1
Đáp số: A nhỏ nhất = khi x = 1
Cách 2:
Gợi ý: Ta có thể viết A dưới dạng tổng của một số với một biểu
thức không âm. Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Lời giải:
A = = =
A =
A = +
21
A = + [] ≥
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng khi x – 1=0 ⇒ x =1
Đáp số: A nhỏ nhất = khi x =1
DẠNG 6: BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN
NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ BẰNG CÁCH
ĐƯA VỀ DẠNG ≥ 0 (HOẶC ≤ 0)
Ví dụ 10: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M(x) = (Với
x ∈ R)
Hướng dẫn giải:

Gợi ý: Từ M(x) = ta có:
M(x) = =
(?) Ta có thể chia cả tử thức và mẫu thức của biểu thức cho x +
2x + 3 được không? Vì sao?
Trả lời: Vì x + 2x + 3 = x + 2x + 1 + 2 = (x+1) > 0 với mọi giá
trị của x. nên sau khi chia cả tử và mẫu cho x + 2x + 3 ta được
M(x) = 3 +
(?) Bài toán xuất hiện điều gì mới?
22
Trả lời: Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
(?) Hãy tìm giá trị lớn nhất của từ đó suy ra giá trị lớn nhất
của M(x)
Trả lời: Vì (x+1) ≥ 0 Với ∀ x
Nên (x+1) + 2 ≥ 2 với ∀ x
Do đó ≤
Từ đó ta có: M(x) = 3 + ≤ 3 + = 3
Dấu “=” xảy ra khi x+1= 0 hay x = 1
Vậy giá trị lớn nhất của M(x) = 3 khi và chỉ khi x= –1
Đáp số: M(x) Lớn nhất = 3 với x = –1
4) Kết quả nghiên cứu:
Qua một năm thực hiện tôi thấy các em đã hiểu rõ và rèn luyện
được một số kỹ năng quan trọng trong việc giải các bài toán tìm giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Học sinh dần dần chú trọng khi giải toán
chứ không lúng túng như trước.Quá trình rèn luyện khả năng tư duy
đã giúp các em không những phân dạng được mà còn nắm bắt được
phương pháp phù hợp để giải từng dạng. Chính vì thế mà trong học
23
tập của học sinh do bản thân tôi phụ trách hầu hết các em nắm chắc
kiến thức tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Kết quả khảo sát cuối
năm việc nắm đề tài này trên đối tượng 15 học sinh khá giỏi ban đầu

tôi nhận thấy đã 10 hs chiếm tỉ lệ 66,7% đã năm chắc chuyên đề tìm
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (biết phân dạng và tìm ra phương
pháp phù hợp), 5 em chiếm tỉ lệ 33,4 % biết thực hiện nhưng còn
chậm (Bước đầu đã biết định hướng được dạng và phương pháp
nhưng còn thụ động và chậm, đang cần sự gợi ý) .
KẾT QUẢ CỤ THỂ
Số HS
điểm 9 - 10 điểm 7 - 8 điểm 5 - 6 điểm dưới 5
SL % SL % Sl % SL %
15 03 20 % 7 46,7% 5 33,4% 0 0 %
24
25