skkn dạy học sinh lớp 9 vận dụng định lí vi ét giải bài toán tìm giá trị của tham số để sự tương giao giữa PARABOL y = ax2 (a khác o) và đường thẳng y = mx + n thảo mãn điều kiện cho trước

UBND TỈNH HẢI DƯƠNG
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BẢN MÔ TẢ SÁNG KIẾN
DẠY HỌC SINH LỚP 9 VẬN DỤNG ĐỊNH LÍ VI – ÉT GIẢI
BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ
ĐỂ SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA PARABOL y = ax2(a ≠ 0) VÀ ĐƯỜNG
THẲNG y = mx + n THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
MÔN TOÁN 9

Năm học 2014 - 2015
-1-


THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
1. Tên sáng kiến: Dạy học sinh lớp 9 vận dụng định lí Vi – ét giải bài toán tìm
giá trị của tham số để sự tương giao giữa parabol y = ax2(a ≠ 0) và đường

thẳng y = mx + n thỏa mãn điều kiện cho trước.
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giảng dạy bộ môn toán 9
3. Tác giả:
Họ và tên: ĐINH THỊ LUYÊN

Nam (nữ)

Nữ

Ngày tháng năm sinh: 05/07/1979
Trình độ chuyên môn: Đại học Toán
Chức vụ, đơn vị công tác: Giáo viên - Tổ trưởng tổ Khoa học tự nhiên
Điện thoại: 0946 278 818

4. Đơn vị áp dụng sáng kiến lần đầu:
Trường THCS Lê Lợi – Xã Lê Lợi – Thị xã Chí Linh – Tỉnh Hải Dương
Điện thoại 03203 593 126
5. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:
+ Giáo viên: nghiên cứu giải một số bài tập vận dụng định lí Vi-ét tìm
giá trị của tham số để sự tương giao giữa parabol y = ax2(a ≠ 0) và đường

thẳng y = mx + n thỏa mãn điều kiện cho trước.
+ Học sinh lớp 9: giải được phương trình bậc hai và bất phương trình bậc
hai; nắm vững điều kiện về nghiệm của một phương trình bậc hai; vận dụng
được hệ thức Vi-ét và các ứng dụng của hệ thức trong các dạng bài tập trong
SGK, SBT; …
+ Thời gian tổ chức giảng dạy: khoảng 2 giờ học
6. Thời gian dạy thực nghiệm lần đầu: Năm học 2013 - 2014
HỌ TÊN TÁC GIẢ

XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ ÁP DỤNG
SÁNG KIẾN

ĐINH THỊ LUYÊN

-2-


TÓM TẮT SÁNG KIẾN
Trong công tác giảng dạy bộ môn toán lớp 9 và ôn tập cho các em thi
tuyển sinh lớp 10 THPT, tôi cũng như các thầy cô giáo đều thực hiện củng cố,
đào sâu, hệ thống hóa kiến thức và rèn luyện các kĩ năng qua việc giải nhiều
dạng bài tập khác nhau. Bản thân tôi thấy hệ thức Vi-ét được vận dụng làm
nhiều dạng bài tập khác nhau trong đó có thể vận dụng giải dạng bài toán tìm

giá trị của tham số để sự tương giao giữa parabol y = ax2(a ≠ 0) và đường

thẳng y = mx + n thỏa mãn điều kiện cho trước.
Thực tế với đa số các em học sinh lớp 9, sau khi các em được giải các bài
toán vận dụng hệ thức Vi-ét và tìm hiểu về dạng đồ thị hàm số y = ax 2(a ≠ 0);
y = m x + n thì dạng bài tập này vẫn là một khó khăn thách thức lớn bởi đa số
các em chưa biết vận dụng kiến thức nào để giải bài toán, chưa định hướng
cách giải bài toán dạng này, chưa biết viết gì để giải bài toán, chưa thấy mối
liên hệ giữa số nghiệm của phương trình bậc hai- phương trình hoành độ giao
điểm -chính là số giao điểm (nếu có) của đường thẳng y = mx + n với parabol y
= ax2(a ≠ 0),...
Trên cơ sở khảo sát thực trạng giải bài tập vận dụng định lí Vi – ét giải
bài toán tìm giá trị của tham số để sự tương giao giữa parabol y = ax2(a ≠ 0)

và đường thẳng y = mx + n thỏa mãn điều kiện cho trước của học sinh lớp 9,
tôi tiến hành chuyên đề với mục đích tháo gỡ khó khăn trên giúp các em hình
thành phương pháp chung và cách trình bày giải các bài toán vận dụng định lí
Vi – ét giải bài toán tìm giá trị của tham số để sự tương giao giữa parabol y =

ax2(a

≠ 0)

và đường thẳng y = mx + n thỏa mãn điều kiện cho trước phù hợp

với đặc điểm của từng điều kiện và góp phần thực hiện các chức năng củng cố
kiến thức, rèn luyện kĩ năng, phát triển tư duy và tạo hứng thú học tập bộ môn,
rèn luyện cho HS hình thành kĩ năng vận dụng các kiến thức vào giải bài tập
toán một cách chủ động, để các em có thể làm được dạng bài toán này trong
các bài thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT (nếu có). Mặt khác, tiếp tục củng cố

-3-


phương pháp, kĩ năng giải các phương trình, các bất phương trình, tìm điều
kiện để phương trình bậc bai có nghiệm, ...
Chuyên đề đi sâu hướng dẫn học sinh giải một số bài bài toán vận dụng
định lí Vi – ét giải bài toán tìm giá trị của tham số để sự tương giao giữa
parabol y = ax2(a ≠ 0) và đường thẳng y = mx + n thỏa mãn điều kiện cho
trước phù hợp với từng điều kiện của hoành độ, tung độ và tọa độ giao điểm ,
từ đó hình thành các bước giải dạng bài tập này và biết cách phát triển thành
bài toán khác cho các em học sinh lớp 9. Sau thực hiện, tôi đã tiến hành kiểm
tra đánh giá, thống kê kết quả học tập của học sinh và rút ra kinh nghiệm cho
bản thân trong dạy học sinh giải bài tập toán.

-4-


MÔ TẢ SÁNG KIẾN
1. Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến
Trong công tác giảng dạy bộ môn toán lớp 9 và ôn tập cho các em thi
tuyển sinh lớp 10 THPT, tôi thấy trong đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT của các
tỉnh những năm trước và trong một số năm gần đây một số tỉnh ra đề có dạng
bài toán tìm giá trị của tham số để sự tương giao giữa parabol y = ax2(a ≠ 0)

và đường thẳng y = mx + n thỏa mãn điều kiện cho trước mà giải bài toán đó
cần vận dụng hệ thức Vi-ét.
Mặt khác trong sách giáo khoa, sách bài tập và rất nhiều sách tham khảo
không thấy có dạng bài toán yêu cầu tìm giá trị của tham số để sự tương giao
giữa parabol y = ax2(a ≠ 0) và đường thẳng y = mx + n thỏa mãn điều kiện

cho trước nên các em dù có chăm chỉ tìm tòi đọc sách cũng khó tìm được kiến
thức cho mình để làm bài tập dạng này.
2. Cơ sở lý luận và thực trạng của vấn đề
Dạy giải bài tập toán là một trong những nhiệm vụ quan trọng nhất của
dạy học môn toán. Giải bài tập toán giúp học sinh củng cố kiến thức lý thuyết
đã học, rèn luyện kĩ năng vận dụng lý thuyết, rèn luyện tính chính xác trong
tính toán, trong lập luận (lời giải phải đầy đủ, các phép tính phải đúng, lập luận
phải có căn cứ); phát triển tư duy và rèn luyện các thao tác trí tuệ; tạo hứng thú
học tập, hứng thú lao động trí tuệ, lao động sáng tạo. Đồng thời giải bài tập
toán là phương tiện giúp giáo viên kiểm tra học sinh cũng như học sinh tự kiểm
tra mình về năng lực, về mức độ tiếp thu và vận dụng kiến thức đã học.
Trong nhiều năm giảng dạy bộ môn Toán 9 tôi thấy phần hệ thức Vi-ét
và các ứng dụng của nó được dùng để giải các dạng bài toán trong sách giáo
khoa như: tính tổng và tích hai nghiệm của một phương trình bậc hai; tìm hai
số biết tổng và tích của chúng; nhẩm nghiệm của một phương trình bậc hai;
phân tích đa thức ax2 + bx + c thành nhân tử. Sau đó đến các bài toán vạn
dụng định lý Vi-ét trong sách bài tập như biết một nghiệm tìm nghiệm kia; lập
phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm của nó; xác định tham số để phương
trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước; tìm hệ thức giữa các
-5-


nghiệm x1, x2 của phương trình bậc hai không phụ thuộc vào tham số; tiếp đến
tham khảo các dạng bài tập tính giá trị của biểu thức chứa các nghiệm của
phương trình, xét dấu nghiệm số của phương trình bậc hai và giải các hệ
phương trình bậc cao. Tuy các em học sinh nắm bắt được phương pháp và
được rèn kĩ năng giải các dạng bài tập nói trên nhưng khi tôi cho làm bài toán
liên quan đến sự tương giao giữa parabol và đường thẳng cụ thể là bài toán:
Tìm giá trị của tham số m để parabol y = x2 đường thẳng y = (2 – m)x + m 2

+ 1 cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B sao cho xA2 + xB2 = 10 và với bài
tập này tôi yêu cầu các em làm trong 20 phút. Ngay sau khi đọc đề thì một số
em học sinh phản ứng cho rằng đề yêu cầu lạ và tôi quan sát thấy nhiều em
lung túng không biết vận dụng kiến thức nào, phương hướng giải bài toán thế
nào, viết trình bày lời giải bài toán ra sao? Thậm chí khi thu bài, chấm bài có
em không biết viết gì về lời giải bài toán, có em viết bài giải mà không thấy
định hướng mục đích lời giải bài toán, có em trình bày một phần bài giải chưa
được biết kết quả sẽ theo hướng nào, có em thiết lập được hệ phương trình để
tìm tọa độ giao điểm mà không biết lập luận tìm tham số m thế nào, … và tôi
thu được kết quả trước khi dạy chuyên đề như sau:
Sĩ số
32

Giỏi
SL
2

Khá
%
6,25

SL
5

%
15,63

Trung bình
SL
%

10
31,25

Yếu, kém
SL
%
15
46,87

Kết quả đó đều do các em không biết được số giao điểm của parabol và
đường thẳng là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm, chưa được tìm
hiểu phương pháp giải phù hợp và định hướng trình bày nội dung bài giải cần
vận dụng định lí Vi-ét trong bài toán tìm giá trị của tham số để sự tương giao
giữa parabol y = ax2(a ≠ 0) và đường thẳng y = mx + n thỏa mãn điều
kiện cho trước như thế nào?
Từ những nguyên nhân trên và thực tế thu được tôi thấy cần thiết phải
giảng dạy dạng bài tập này cho các em học sinh vì vậy tôi mạnh dạn lựa chọn
một số bài tập dạng này, thiết lập thêm bài tập và hướng dẫn các em hình thành
được phương pháp cũng như cách trình bày bài giải dạng bài tập toán yêu cầu
-6-


vận dụng hệ thức Vi-ét tìm giá trị của tham số để sự tương giao giữa parabol y

= ax2(a

≠ 0)

và đường thẳng y = mx + n thỏa mãn điều kiện cho trước giúp

các em nắm vững phương pháp giải và cách trình bày bài giải để các em tự tin
làm tốt bài toán dạng này trong kiểm tra và thi tuyển sinh lớp 10 THPT
3. Các giải pháp, biện pháp thực hiện
Trước khi cho các em học sinh làm bài tập toán tìm giá trị của tham số
để sự tương giao giữa parabol y = ax2(a ≠ 0) và đường thẳng y = mx + n
thỏa mãn điều kiện cho trước tôi tiến hành:
3.1 Hướng dẫn lý thuyết về tìm tọa độ giao điểm của parabol y = ax2(a ≠
0) và y = mx + n và định hướng mối liên hệ số giao điểm với số nghiệm

của phương trình hoành độ giao điểm.
GV: Thông thường để tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị y = ax2(a ≠ 0) và y

= mx + n ta biết giao điểm thuộc cả hai đồ thị nên tọa độ (x; y) của nó thỏa
 y = ax 2
mãn cả hai phương trình, do đó nó là nghiệm của hệ phương trình 
 y = mx + n

nhưng trong chương trình THCS chưa có cách giải hệ phương trình bậc hai nên
các em khó tìm nghiệm của hệ phương trình.
Giả sử (x0; y0) là tọa độ giao điểm của parabol y = ax2(a ≠ 0) và y = mx + n
GV: Thế thì ta có các đẳng thức nào?
HS: y0 = a x02 và y0 = mx0 + n
GV: Từ các đẳng thức ta suy ra điều gì?
HS: a x02 = mx0 + n
GV: Trong đẳng thức a x02 = mx0 + n thì x0 được hiểu thế nào?
HS: x0 là một nghiệm của phương trình ax2 = mx + n
GV: Vậy hãy rút ra quy tắc để tìm tọa độ giao điểm của parabol y = ax2(a ≠ 0)

và y = mx + n?
HS: Nêu quy tắc: Muốn tìm tọa độ giao điểm parabol y = ax2(a ≠ 0) và đường

thẳng y = mx + n ta làm như sau:
-7-


Bước 1. Giải phương trình ax2 = mx + n
Bước 2. Với mỗi nghiệm vừa tìm được, thay vào phương trình y = ax 2 hoặc y =
mx + n ta tìm được tung độ tương ứng
GV: Điều kiện để parabol y = ax2(a ≠ 0) và đường thẳng y = mx + n cắt
nhau là gì?
HS: Phương trình ax2 = mx + n có nghiệm
GV: Từ khẳng định trên em có nhận xét gì về số nghiệm phương trình ax2 = mx
+ n với số giao điểm của parabol y = ax2(a ≠ 0) và đường thẳng y = mx + n?
HS: Nếu phương trình ax2 = mx + n có hai nghiệm phân biệt thì đường thẳng
cắt parabol tại hai điểm
Nếu phương trình ax2 = mx + n có nghiệm kép thì đường thẳng tiếp xúc với
parabol
Nếu phương trình ax2 = mx + n vô nghiệm thì đường thẳng không cắt parabol
GV: (Chốt) Phương trình ax2 = mx + n có nghiệm là hoành độ giao điểm của
parabol y = ax2(a ≠ 0) và đường thẳng y = mx + n nên người ta gọi phương
trình đó là Phương trình hoành độ giao điểm và khi giải bài toán liên quan
đến giao điểm của parabol và đường thẳng ta phải xét đến số nghiệm của
phương trình hoành độ giao điểm này.
Căn cứ vào quy tắc và nhận xét trên nói trên tôi hướng dẫn học sinh giải
một số bài tập vận dụng hệ thức Vi-ét tìm giá trị của tham số để giao điểm của
parabol y = ax2(a ≠ 0) và đường thẳng y = mx + n thỏa mãn điều kiện cho
trước. Cụ thể như sau:
3. 2 Hướng dẫn giải một số bài tập

3. 2. 1 Ví dụ 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = -x2 và

đường thẳng (d): y = mx – m – 2
a) Chứng minh với mọi giá trị của m thì (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm
phân biệt.
b) Gọi x1; x2 là hoành độ của hai giao điểm trên. Xác định m để x1 − x2 = 20
* Tìm hiểu nội dung bài toán:
-8-


GV: Bài toán cho gì? Yêu cầu của bài toán là gì?
HS: Cho parabol (P): y = -x2 và đường thẳng (d): y = mx – m – 2.
Yêu cầu:
a) Chứng minh với mọi giá trị của m thì (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm
phân biệt
b) Xác định m để hoành độ giao điểm x1, x2 thỏa mãn x1 − x2 = 20
* Xác định hướng giải và thiết lập chương trình giải
GV: Muốn chứng minh với mọi giá trị của m thì (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai
điểm phân biệt ta làm thế nào?
HS: Chứng minh phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) luôn có hai
nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
GV: Để chứng minh phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) có hai
nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m ta cần làm gì?
HS: Chứng minh biệt thức ∆ > 0 ( ∆ ’ > 0) với mọi giá trị của m
GV: Làm thế nào để xác định được giá trị m sao cho x1 − x2 = 20 ?
HS: Có thể biến đổi x1 − x2 = 20 sao cho xuất hiện tổng và tích các nghiệm
nên ta tính tổng và tích hai nghiệm theo hệ thức Vi-ét của phương trình hoành
độ giao điểm rồi thay vào hệ thức đó tìm m.
GV: Biến đổi x1 − x2 = 20 sao cho xuất hiện tổng và tích như thế nào?
HS: Vì x1 − x2 = 20 có hai vế không âm nên ta có:
x1 − x2 = 20
⇔ ( x1 − x2 ) = 20

2

⇔ ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 = 20
2

GV: Lập chương trình cần thực hiện để giải bài toán?
HS:
- Viết phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d)
- Tính biệt thức ∆ và chứng tỏ ∆ > 0 với mọi giá trị của m
- Viết hệ thức Vi-ét
- Biến đổi x1 − x2 = 20 xuất hiện tổng và tích hai nghiệm
-9-


- Thay tổng và tích vào đẳng thức trên và giải phương trình tìm m
* Trình bày lời giải:
a) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:
-x2 = mx – m – 2
⇔ x2 + mx – m – 2 = 0 (*)
∆ = m2 – 4(– m – 2)

= m2 + 4m + 8
= (m + 2)2 + 4 > 0 với mọi m
Do ∆ > 0 với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi
giá trị của m.
Vậy (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m.
b) Gọi x1; x2 là hoành độ của hai giao điểm của (P) và (d) ⇒ x1; x2 là hai
nghiệm của phương trình (*)

 x1 + x2 = − m

Theo hệ thức Vi-ét ta có 
(1)
 x1 x2 = − m − 2
Vì x1 − x2 = 20 có hai vế không âm nên ta có:
x1 − x2 = 20
⇔ ( x1 − x2 ) = 20
2

⇔ ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 = 20
2

Thay (1) vào (2) ta được:

(2)

(–m)2 – 4(– m – 2) = 20
⇔ m2 + 4m – 12 = 0
⇔ m1 = 2; m2 = -6

Vậy với m1 = 2; m2 = -6 thì x1 − x2 = 20
* Kiểm tra lời giải, nghiên cứu thêm về bài toán và cách giải
- Kiểm tra lập luận: lập luận có căn cứ, hợp logic; kết quả chính xác
- Tìm thêm bài toán mới: Để giải bài toán trên, ta phải tìm m để hoành độ các
giao điểm thỏa mãn một đẳng thức cho trước. Vì vậy với parabol và đường
thẳng chứa tham số m đã cho ta thay hệ thức cho trước bởi các hệ thức khác
chứa các hoành độ ta có thêm bài toán mới.
- 10 -


- Phương pháp làm bài toán này có thể làm các bài toán tương tự sau:

* Một số bài tập tương tự:
Bài 1.Đề thi tuyển sinh lớp 10THPT năm học 2002-2003. T.Hải Dương)
Cho parabol (P): y =

1 2
x và đường thẳng y = -x + m – 3 cắt nhau tại hai
2

điểm phân biệt. Gọi x1; x2 là hoành độ của hai giao điểm ấy. Tìm m để
x12 + x22 + 4 = x12 x22

Bài 2. Cho parabol (P): y =

1 2
x
2

a) Chứng minh rằng đường thẳng y = mx – m + 3 luôn cắt parabol (P) tại hai
điểm phân biệt A, B với mọi giá trị của m.
b) Tìm giá trị của m để xA2 + xB2 − x A xB = −3

Bài 3. Cho parabol (P): y = 2x2 và (d): y = 4(m +2)x – 2m2 – 1
a) Xác định giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B
b) Tìm giá trị của m để xA2 + xB2 =

15
2

Bài 4. Cho parabol (P): y = -x2 và (d) là đường thẳng đi qua điểm A(0; -1) và

có hệ số góc m
a) Viết phương trình đường thẳng (d). Chứng minh rằng (d) cắt (P) tại hai điểm
phân biệt A và B
b) Tìm giá trị của m để x A − xB = 2 2

Bài 5. Cho parabol (P): y =

1 2
x và đường thẳng (d): y = x + m. Tìm giá trị
2

của m để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x 1; x2 thỏa
mãn x12 + x22 = 5m 2

3. 2. 2 Ví dụ 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x2 và
đường thẳng (d): y = 2mx – 2m + 3.
a) Chứng minh (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m.
b) Gọi y1 ; y2 là tung độ các giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d). Tìm
giá trị của m để y1 + y2 < 9
- 11 -


* Tìm hiểu nội dung bài toán:
GV: Bài toán cho biết gì? Yêu cầu của bài toán là gì?
HS: Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = 2mx – 2m + 3 và yêu
cầu: Chứng minh (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của
m và tìm giá trị của m để y1 + y2 < 9
* Tìm cách giải
GV: Yêu cầu chứng minh (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi giá
trị của m ta làm thế nào?

HS: Chứng minh phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) có hai
nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
GV: Để chứng minh phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) có hai
nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m ta cần làm gì?
HS: Chứng minh ∆ > 0 hoặc ∆ ’ > 0 với mọi giá trị của m
GV: Nêu cách tìm giá trị của m để y1 + y2 < 9?
HS: (lúng túng)...
GV: Gọi y1 ; y2 là tung độ các giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d) thì
y1 ; y2 được hiểu thế nào?
HS: y1 ; y2 là tung độ các giao điểm thì các hoành độ x 1, x2 tương ứng là hai
nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.
GV: y1 ; y2 tính như thế nào theo các hoành độ x1, x2 ?
2
2
HS: y1 = x1 ; y2 = x2 hoặc y1 = 2mx1 – 2m + 3; y2 = 2mx2 – 2m + 3

GV: Nêu cách tìm giá trị của m để y1 + y2 < 9?
HS: tính các tung độ y1, y2 theo các hoành độ tương ứng rồi thay vào bất
phương trình y1 + y2 < 9, biến đổi là xuất hiện tổng và tích hai nghiệm là các
hoành độ x1, x2; Viết hệ thức Vi-ét thay vào bất phương trình đó tìm m
GV: Lập chương trình thực hiện cần thực hiện để giải bài toán?
HS: Nêu trình tự:
- Viết phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d)
- Tính biệt thức ∆ ’ và chứng tỏ ∆ ’ > 0 với mọi giá trị của m
- Viết hệ thức Vi-ét
- 12 -


- Tính các tung độ tương ứng y 1 , y2 theo hoành độ giao điểm x 1, x2 thay vào y1
+ y2 < 9 và biến đổi làm xuất hiện tổng và tích hai nghiệm

- Thay tổng và tích vào bất đẳng thức trên và giải bất phương trình tìm m
* Trình bày lời giải:
a) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:
x2 = 2mx – 2m + 3
⇔ x2 – 2mx + 2m – 3 = 0

(*)

∆ ’ =(– m)2 – (2m – 3)

= m2 - 2m + 3
= (m + 1)2 + 2 > 0 với mọi m
Do ∆ > 0 với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi
giá trị của m.
Vậy (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m
b) Gọi x1; x2 là hoành độ của hai giao điểm của (P) và (d) ⇒ x1; x2 là hai
nghiệm của phương trình (*)

 x1 + x2 = 2m
Theo hệ thức Vi-ét ta có 
(1)
x
x
=
2
m
−
3
 1 2
2

2
2
2
Theo đề bài y1 + y2 < 9 , mà y1 = x1 ; y2 = x2 ⇒ x1 + x2 < 9

⇔ ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 < 9
2

(2)

(2m)2 – 2(2m –3 ) < 9

Thay (1) vào (2) ta được:

⇔ 4m2 – 4m + 6 < 9
⇔ 4m2 – 4m – 3 < 0
⇔ (2m – 1)2 – 22 < 0
⇔ (2m – 3)(2m + 1) < 0
 2m + 1 > 0 vì 2m – 3 < 2m + 1
⇔
 2m − 3 < 0
⇔−
1
2

1
3
2
2

3
2

Vậy − < m < thì y1 + y2 < 9
- 13 -


* Kiểm tra lời giải, nghiên cứu thêm về bài toán và cách giải
- Kiểm tra lập luận: Lập luận có căn cứ, hợp logic; kết quả chính xác
- Tìm thêm bài toán mới: Để giải dạng bài toán trên, ta phải tìm m để tung độ
các giao điểm thỏa mãn một bất đẳng thức cho trước. Vì vậy ta thay bất đẳng
thức y1 + y2 < 9 cho trước bởi các bất đẳng thức khác chứa các tung độ y 1 , y2
có thêm bài toán mới.

* Một số bài tập tương tự:
Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x2 và đường
thẳng (d): y = (m – 1)x + 2.
a) Chứng minh (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m.
b) Gọi y1 ; y2 là tung độ các giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P). Tìm
giá trị của m để y1 + y2 = y1y2

Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x2 và đường
thẳng (d): y = 3x + m2
a) Chứng minh đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt với mọi
giá trị của m.
b) Gọi y1 ; y2 là tung độ các giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P). Tìm
giá trị của m để y1 + y2 – 11y1y2 = 0

3. 2. 3 Ví dụ 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y =

1 2
x và
2

đường thẳng (d): y = 2x – m + 1
Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ (x 1; y1) và
(x2; y2) sao cho x1x2(y1 + y2) + 48 = 0
* Tìm hiểu nội dung bài toán:
GV: Bài toán cho biết gì? Yêu cầu của bài toán là gì?
HS: cho parabol (P): y =

1 2
x và đường thẳng (d): y = 2x – m + 1
2

Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ (x 1; y1) và
(x2; y2) sao cho x1x2(y1 + y2) + 48 = 0
* Tìm cách giải
GV: Từ yêu cẩu đề bài ta phải tìm m thỏa mãn những điều kiện nào?
- 14 -


HS: Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt và đẳng thức
x1x2(y1 + y2) + 48 = 0
GV: để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì m thỏa mãn điều kiện
nào?
HS: đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi thì m thỏa
mãn điều kiện ∆ > 0 hoặc ∆ ’ > 0
GV: Nêu cách tìm giá trị của m để x1x2(y1 + y2) + 48 = 0

HS: Viết hệ thức Vi-ét và tính các tung độ y 1, y2 theo các hoành độ tương ứng
x1; x2 rồi thay vào phương trình x 1x2(y1 + y2) + 48 = 0 rồi biến đổi là xuất hiện
tổng và tích hai nghiệm, từ đó tìm m
GV: Lập chương trình thực hiện cần thực hiện để giải bài toán?
HS:
- Viết phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d)
- Tính biệt thức ∆ hoặc ∆ ’ rồi tìm m để ∆ > 0 hoặc ∆ ’ > 0
- Viết hệ thức Vi-ét
- Tính các tung độ tương ứng y1 , y2 thay vào x1x2(y1 + y2) + 48 = 0 và biến đổi
làm xuất hiện tổng và tích hai nghiệm
- Thay tổng và tích vào đẳng thức trên và giải phương trình tìm m
- Kết hợp với giá trị m tìm được ở trên và trả lời bài toán
* Trình bày lời giải:
a) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:
1 2
x = 2x – m + 1
2
⇔ x2 – 4x + 2m – 2 = 0 (*)
∆ ’ =(–2)2 – (2m – 2)

= 6 - 2m
Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi ∆ ’ > 0
⇔ 6 – 2m > 0 ⇔ m < 3

Vậy (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m

- 15 -


b) (x1; y1) và (x2; y2) là tọa độ của hai giao điểm của (P) và (d) ⇒ x1; x2 là hai

nghiệm của phương trình (*)
 x1 + x2 = 4
(1)
 x1 x2 = 2m − 2

Theo hệ thức Vi-ét ta có 

Theo đề bài x1x2(y1 + y2) + 48 = 0 mà y1 = 2x1 – m + 1; – m + 1; y2 = 2x2 – m+
1 ⇒ y1 + y2 = 2(x1+ x2) – 2m + 2

(2)

Thay (1) (2) vào x1x2(y1 + y2) + 48 = 0 ta được:
(2m – 2)(2.4 – 2m + 2) + 48 = 0
⇔ (2m – 2)(10 – 2m) + 48 = 0
⇔ 20m – 4m2 - 20 + 4m + 48 = 0
⇔ m2 – 6m – 7 = 0
⇔ m1= -1; m2 = 7

Kết hợp điều kiện trên ta có m = 1 thì đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân
biệt có tọa độ (x1; y1) và (x2; y2) thỏa mãn x1x2(y1 + y2) + 48 = 0
* Kiểm tra lời giải, nghiên cứu thêm về bài toán và cách giải
- Kiểm tra lập luận: lập luận có căn cứ, hợp logic
- Tìm thêm bài toán mới: Để giải dạng bài toán trên, ta phải tìm m để tọa độ các
giao điểm thỏa mãn một đẳng thức cho trước. Vì vậy thay đẳng thức đã cho
trước bởi các đẳng chứa các tọa độ khác nhau ta có thêm bài toán mới.

* Một số bài tập tương tự:
Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y =

x2 và đường

thẳng (d): y = 2(m – 1)x + m + 1
a) Chứng minh (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m.
b) Gọi hai giao điểm này là (x1; y1) và (x2; y2). Tìm m để y1 x2 + x1y2 = 1

Bài 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y =

x2 và đường thẳng

(d): y = –mx+ 1
a) Chứng minh với mọi giá trị của m thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P)
tại hai điểm phân biệt
b) Gọi (x1; y1) và (x2; y2) là các giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P).
Tìm m để y1 + y2 = 2(x1 + x2) + 1
- 16 -


Bài 3,
a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(x A; yA) và B(xB; yB). Chứng minh độ
dài AB là AB = ( xB − x A ) + ( yB − y A )
2

2

1
2

b) Cho parabol (P) y = - x2 và đường thẳng (d): y =

2
x – 2. Tìm m để (d) cắt
m

(P) tại hai điểm phân biệt sao cho AB = 4 10
Sau khi giải ba bài tập trên, tôi yêu cầu học sinh khái quát phương pháp
chung để giải bài toán để tìm giá trị của tham số để sự tương giao giữa parabol

y = ax2(a

≠ 0)

và đường thẳng y = mx + n thỏa mãn điều kiện cho trước, sau

đó thống nhất thực hiện các bước sau:
Bước 1: Viết phương trình hoành độ giao điểm rồi chứng minh hoặc tìm m
để phương trình có hai nghiệm phân biệt;
Bước 2. Viết hệ thức Vi-ét;
Bước 3. Biến đổi điều kiện đã cho có chứa tổng, tích hai nghiệm và kết hợp
hệ thức Vi-ét tìm tham số m;
Bước 4. Kiểm tra lại m có thỏa mãn điều kiện không rồi kết luận
4. Kết quả đạt được và bài học kinh nghiệm
4.1 Kết quả đạt được
Trong giảng dạy học sinh lớp 9, tôi cho học sinh làm bài kiểm tra về
dạng bài tập này trước (sau khi các em học hết cách giải các dạng bài tập vận
dụng hệ thức Vi-ét trong SGK, SBT) để khêu gợi trí tò mò cũng như ham muốn
giải toán của các em song kết quả các em làm được bài rất thấp, thậm chí bỏ
không làm bài. Sau bài kiểm tra đó tôi tiến hành dạy chuyên đề này trong một
buổi học ôn tập tại trường và tôi dành thời gian cho các em xem lại phương
pháp giải và tự làm các bài tập tương tự ở nhà và buổi học sau tiến hành cho

các em làm một đề kiểm tra (ba bài toán tương ứng với ba ví dụ được học)
trong thời gian 45 phút.
Kết quả bài kiểm tra của lớp trước và sau khi học chuyên đề như sau:

Sĩ
số

Giỏi
SL
%
- 17 -

Khá
SL
%

Trung bình
SL
%

Yếu
SL
%


Trước khi thực hiện
Sau khi thực hiện

32
32

2
8

6,25
25

5
12

15,63
37,5

10
10

31,25
31,25

15
2

46,87
6,25

So sánh kết quả trên cho thấy việc nắm bắt phương pháp giải tổng quát
với dạng bài toán vận dụng định lý Vi-ét tìm giá trị của tham số để sự tương
giao giữa parabol y = ax2(a ≠ 0) và đường thẳng y = mx + n thỏa mãn điều
kiện cho trước các em có kỹ năng nhận đúng dạng, sử dụng đúng phương pháp
và thực hiện tốt các bước giải một cách chính xác linh hoạt hơn cho kết quả làm

bài tốt hơn. Đặc biệt các em không còn lúng túng ngần ngại sau khi đọc đề bài
và tuyệt đối không có học sinh nào bỏ không làm bài như bài kiểm tra trước khi
dạy chuyên đề.
Các em học sinh đều tự tin tích cực, chủ động, tự giác hơn trong giải bài
tập toán và một số em học sinh đã thực hiện rất tốt và nhanh hoàn thành bài tập
kiểm tra trước thời gian quy định.
4. 2 Bài học kinh nghiệm và điều kiện thực hiện
Từ những kết quả trên bản thân tôi tự rút kinh nghiệm dạy học sinh giải
toán này cần lưu ý đối với người giáo viên dạy toán là:
- Hướng dẫn các em hình thành thói quen trước khi làm bài cần phân tích đề
bài và xác định rõ yêu cầu bài toán và định hướng phương pháp giải, phán đoán
các bước giải để các em đi đến lời giải chính xác, ngắn gọn
- Rèn kỹ năng giải bài toán vận dụng định lí Vi-ét tìm giá trị của tham số để sự

tương giao giữa parabol y = ax2(a ≠ 0) và đường thẳng y = mx + n thỏa mãn
điều kiện cho trước thường xuyên chú ý phân biệt hai yêu cầu chứng minh
đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt với tìm giá trị của tham số sao
cho đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt trước khi viết hệ thức Vi-ét
để trình bày lập luận trong bài giải chính xác. Luôn kiểm tra, nhìn lại lời giải
xem lời giải đày đủ và lập luận có căn cứ chặt chẽ logic không.
- Thực tế giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS cho thấy để học sinh
có thể giải được những bài tập khác ít có trong SGK, SBT người giáo viên cần
phải thường xuyên học hỏi, tích cực tích lũy, hệ thống các bài tập theo từng
dạng định hướng phương pháp và có phần giải mẫu cũng như mở rộng kiến
- 18 -


thức cho học sinh nhằm củng cố lý thuyết, rèn luyện kĩ năng và phát triển tư
duy là một việc làm rất cần thiết sau mỗi chủ đề kiến thức mà các em học sinh
được học đồng thời giao thêm một số bài tập có nội dung tương tự hoặc mở

rộng hơn để các em được tự mình rèn luyện kĩ năng giải bài tập
- Trong thực tế là học sinh ít khi khai thác kiến thức đã học hay tự tìm tòi kiến
thức, giải các bài tập mà không có sự yêu cầu và định hướng của giáo viên, vì
vậy môi giáo viên dạy toán cần thường xuyên bồi dưỡng cho học sinh khả năng
tự học, tự khai thác kiến thức cơ bản, phát triển bài toán thành bài toán mới
nhằm thúc đẩy khả năng phát triển tư duy sáng tạo.
- Các giáo viên dạy toán lớp 9 chỉ tiến hành giảng dạy chuyên đề này sau khi
học sinh lớp 9 học xong cách giải các bài toán ứng dụng hệ thức Vi-ét hoặc
trong thời gian ôn thi vào lớp 10 THPT.

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
1. Kết luận
Trên đây là nội dung tôi đã đưa vào giảng dạy dạng bài toán vận dụng
định lí Vi-et tìm giá trị của tham số để sự tương giao giữa parabol y = ax2(a ≠
- 19 -


0) và đường thẳng y = mx + n thỏa mãn điều kiện cho trước. Bản thân tôi
thấy đây là nội dung thiết thực đối với các em học sinh lớp 9 trong học tập cũng
như ôn tập chuẩn bị thi vào lớp 10THPT đặc biệt là học sinh khá, giỏi góp phần
cố kiến thức, rèn luyện kĩ năng tính toán, lập luận và phát triển tư duy sáng tạo,
hứng thú học tập bộ môn,…
Khi giảng dạy bài toán vận dụng định lí Vi-et tìm giá trị của tham số tìm
giá trị của tham số để sự tương giao giữa parabol y = ax2(a ≠ 0) và đường

thẳng y = mx + n thỏa mãn điều kiện cho trước tôi đã hướng dẫn học sinh xây
dựng chương trình giải một cách hệ thống hình thành phương pháp giải tổng
quát cho phù hợp và cũng đã sắp xếp các yêu cầu từ điều kiện hoành độ tới
tung độ của giao điểm rồi tới tọa độ giao điểm của chúng (từ đơn giản đến phức
tạp) giúp học sinh có thể vận dụng một cách linh hoạt phương pháp chung cho

các bài và yêu cầu của mỗi bài và định hướng trình bày lời giải khoa học. Qua
đó học sinh có thể định hướng kiến thức, tìm tòi cách giải khác nhau để tìm
được giá trị của tham số, là căn cứ giúp học sinh có thể rèn luyện kỹ năng trình
bày lời giải, góp phần không nhỏ cho sự phát triển trí tuệ, tính chính xác, khoa
học, năng lực nhận xét, phân tích, phán đoán tổng hợp kiến thức, ...
Những năm học gần đây, các nhà trường đều đã tiến hành phân loại đối
tượng học sinh cho phù hợp với năng lực học tập nên có thể dạy chuyên đề này
cho em học sinh lớp 9 trong quá trình ôn thi vào lớp 10 và đặc biệt là dạy cho
đối tượng học sinh khá giỏi nhằm nâng cao vốn kiến thức cho các em vì đây là
cơ sở vững chắc cho các em khi giải bài toán tìm giá trị của tham số để sự
tương giao giữa parabol y = ax2(a ≠ 0) và đường thẳng y = mx + n thỏa mãn
điều kiện cho trước để các em có những phương pháp giải phù hợp, cách trình
bày lời giải cụ thể, dễ nhớ, có hiệu quả và góp phần nâng cao chất lượng dạy
học của giáo viên trong giảng dạy.
2. Khuyến nghị
Mặc dù đã cố gắng nghiên cứu và trình bày sáng kiến song chắc chắn
không tránh khỏi những mặt hạn chế thiếu sót. Tôi rất rất mong được sự đóng
góp ý kiến, bổ sung của các thầy, cô giáo cùng chuyên môn để chuyên đề giảng dạy
- 20 -


này được hoàn thiện hơn, góp phần nâng cao chất lượng dạy học toán 9 đồng
thời giúp các em có kiến thức kỹ năng trong giải dạng bài toán vận dụng định lí
Vi-ét tìm giá trị của tham số để sự tương giao giữa parabol y = ax2(a ≠ 0) và

đường thẳng y = mx + n thỏa mãn điều kiện cho trước khi dự thi vào lớp 10
THPT.
Tôi xin chân thành cảm ơn !

MỤC LỤC

Trang
1
2
4

Thông tin chung về sáng kiến
Tóm tắt sáng kiến
Mô tả sáng kiến
- 21 -


1. Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến
2. Cơ sở lí luận và thực trạng của vấn đề
3. Các giải pháp, biện pháp thực hiện
3.1 Hướng dẫn lý thuyết về tìm tọa độ giao điểm của parabol y

= ax2(a

≠ 0)

và y = mx + n và định hướng mối liên hệ số

giao điểm với số nghiệm của phương trình hoành độ giao

4
4
6

6

điểm.
3.2. Hướng dẫn giải một số bài tập
4. Kết quả đạt được và bài học kinh nghiệm
Kết luận và khuyến nghị

- 22 -

7
16
19