Các loại hệ phương trình và cách giải docx

ThS. ðoàn Vương Nguyên
Trang
1

CHUYÊN ðỀ

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ðỐI XỨNG LOẠI (KIỂU) I

TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

I. Hệ ñối xứng loại (kiểu) I có dạng tổng quát:
f(x, y) = 0
g(x,y) = 0







, trong ñó
f(x, y) = f(y,x)
g(x,y) = g(y, x)








Phương pháp giải chung:

i) Bước 1: ðặt ñiều kiện (nếu có).
ii) Bước 2: ðặt S = x + y, P = xy với ñiều kiện của S, P và
2
S 4P
≥
.
iii) Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P rồi dùng Vi–et ñảo tìm x, y.

Chú ý:
i) Cần nhớ: x
2
+ y
2
= S
2
– 2P, x
3
+ y
3
= S
3
– 3SP.
ii) ðôi khi ta phải ñặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv.
iii) Có những hệ phương trình trở thành ñối xứng loại I sau khi ñặt ẩn phụ.

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình
2 2

3 3
x y xy 30
x y 35

 + =



+ =


.
GIẢI
ðặt
S x y, P xy
= + =
, ñiều kiện
2
S 4P
≥
. Hệ phương trình trở thành:
2
2
30
P
SP 30
S
90
S(S 3P) 35
S S 35

S



=


=


 
⇔
 
 
 
− =


 
− =







 



S 5 x y 5 x 2 x 3
P 6 xy 6 y 3 y 2
   
= + = = =
   
   
⇔ ⇔ ⇔ ∨
   
   
= = = =
   
   
.

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình
3 3
xy(x y) 2
x y 2

− = −




− =


.
GIẢI
ðặt

t y, S x t, P xt
= − = + =
, ñiều kiện
2
S 4P.
≥
Hệ phương trình trở thành:
3 3 3
xt(x t) 2 SP 2
x t 2 S 3SP 2
 
+ = =
 
 
⇔
 
 
+ = − =
 
 
S 2 x 1 x 1
P 1 t 1 y 1
  
= = =
  
  
⇔ ⇔ ⇔
  
  
= = = −

  
  
.

Ví dụ 3. Giải hệ phương trình
2 2
2 2
1 1
x y 4
x y
1 1
x y 4
x y



+ + + =






+ + + =




.
GIẢI

ThS. ðoàn Vương Nguyên
Trang
2

ðiều kiện
x 0,y 0
≠ ≠
.
Hệ phương trình tương ñương với:
2 2
1 1
x y 4
x y
1 1
x y 8
x y
   

 
 

+ + + =
 
 

 
  

   




   

 
 
+ + + =
 

 
 

 
 
   



ðặt
2
1 1 1 1
S x y , P x y ,S 4P
x y x y
      
   
   
= + + + = + + ≥
   
   
   

   
   
      
ta có:
2
1 1
x y 4
S 4 S 4
x y
P 4 1 1S 2P 8
x y 4
x y
   

 
 

+ + + =
 
 



 
= =
 
 
 

   

  
⇔ ⇔
  
  
  
=− =
 
 
  


+ + =
 
 

 
 
 

  


1
x 2
x 1
x
1
y 1
y 2
y




+ =


=


 
⇔ ⇔
 
 
=
 

+ =




.

Ví dụ 4. Giải hệ phương trình
2 2
x y 2xy 8 2 (1)
x y 4 (2)


+ + =





+ =



.
GIẢI
ðiều kiện
x, y 0
≥
. ðặt
t xy 0
= ≥
, ta có:
2
xy t
=
và
(2) x y 16 2t
⇒ + = −
.
Thế vào (1), ta ñược:
2
t 32t 128 8 t t 4
− + = − ⇔ =

Suy ra:

xy 16 x 4
x y 8 y 4
 
= =
 
 
⇔
 
 
+ = =
 
 
.




II. ðiều kiện tham số ñể hệ ñối xứng loại (kiểu) I có nghiệm

Phương pháp giải chung:

i) Bước 1: ðặt ñiều kiện (nếu có).
ii) Bước 2: ðặt S = x + y, P = xy với ñiều kiện của S, P và
2
S 4P
≥
(*).
iii) Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P theo m rồi từ ñiều kiện (*) tìm m.

Chú ý:

Khi ta ñặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm chính xác ñiều kiện u, v.


Ví dụ 1 (trích ñề thi ðH khối D – 2004). Tìm ñiều kiện m ñể hệ phương trình sau có nghiệm thực:
x y 1
x x y y 1 3m


+ =




+ = −



.
GIẢI
ThS. ðoàn Vương Nguyên
Trang
3

ðiều kiện
x, y 0
≥
ta có:
3 3
x y 1 x y 1
x x y y 1 3m ( x) ( y) 1 3m

 
 
+ = + =
 
 
⇔
 
 
+ = − + = −
 
 
 

ðặt
S x y 0, P xy 0
= + ≥ = ≥
,
2
S 4P.
≥
Hệ phương trình trở thành:
2
S 1
S 1
P m
S 3SP 1 3m


=
=



 
⇔
 
 
=
− = −
 


.
Từ ñiều kiện
2
S 0, P 0,S 4P
≥ ≥ ≥
ta có
1
0 m
4
≤ ≤
.

Ví dụ 2. Tìm ñiều kiện m ñể hệ phương trình
2 2
x y xy m
x y xy 3m 9

+ + =





+ = −


có nghiệm thực.
GIẢI
2 2
x y xy m
(x y) xy m
xy(x y) 3m 9
x y xy 3m 9


+ + =
+ + =


 
⇔
 
 
+ = −
+ = −
 


.
ðặt S = x + y, P = xy,

2
S 4P.
≥
Hệ phương trình trở thành:
S P m
SP 3m 9

+ =




= −


.
Suy ra S và P là nghiệm của phương trình
2
t mt 3m 9 0
− + − =

S 3 S m 3
P m 3 P 3
 
= = −
 
 
⇒ ∨
 
 

= − =
 
 
.
Từ ñiều kiện ta suy ra hệ có nghiệm
2
2
3 4(m 3)
21
m m 3 2 3
(m 3) 12
4

≥ −

⇔ ⇔ ≤ ∨ ≥ +

− ≥


.

Ví dụ 3. Tìm ñiều kiện m ñể hệ phương trình
x 4 y 1 4
x y 3m


− + − =




+ =


có nghiệm.
GIẢI
ðặt
u x 4 0, v y 1 0
= − ≥ = − ≥
hệ trở thành:
2 2
u v 4
u v 4
21 3m
u v 3m 5
uv
2

+ =



+ =



⇔
 
−
 

+ = −
=
 



.
Suy ra u, v là nghiệm (không âm) của
2
21 3m
t 4t 0
2
−
− + =
(*).
Hệ có nghiệm
⇔
(*) có 2 nghiệm không âm

/
3m 13
0
0
13
2
S 0 m 7
21 3m
3
0
P 0

2


−


∆ ≥


≥




⇔ ≥ ⇔ ⇔ ≤ ≤
 
 
−
 
≥
≥
 
 


.

ThS. ðoàn Vương Nguyên
Trang
4

Ví dụ 4. Tìm ñiều kiện m ñể hệ phương trình
2 2
x y 4x 4y 10
xy(x 4)(y 4) m

 + + + =



+ + =


có nghiệm thực.
GIẢI
2 22 2
2 2
(x 4x) (y 4y) 10
x y 4x 4y 10
xy(x 4)(y 4) m
(x 4x)(y 4y) m


 + + + =
 + + + =
 
⇔
 
 
+ + =

+ + =
 


.
ðặt
2 2
u (x 2) 0, v (y 2) 0
= + ≥ = + ≥
. Hệ phương trình trở thành:
u v 10 S 10
uv 4(u v) m 16 P m 24
 
+ = =
 
 
⇔
 
 
− + = − = +
 
 
(S = u + v, P = uv).
ðiều kiện
2
S 4P
S 0 24 m 1
P 0



≥



≥ ⇔ − ≤ ≤



≥



.


BÀI TẬP


Giải các hệ phương trình sau

1.
2 2
x y xy 5
x y xy 7

+ + =





+ + =


. ðáp số:
x 1 x 2
y 2 y 1
 
= =
 
 
∨
 
 
= =
 
 
.
2.
2 2
x xy y 3
2x xy 2y 3

 + + =



+ + = −


. ðáp số:

x 1 x 3 x 3
y 1
y 3 y 3
 

 
= − = = −

 
  
∨ ∨
  
  
= −
= − =
  

 
 
.
3.
3 3
x y 2xy 2
x y 8

+ + =





+ =


. ðáp số:
x 2 x 0
y 0 y 2
 
= =
 
 
∨
 
 
= =
 
 
.
4.
3 3
x y 7
xy(x y) 2

 − =



− =


. ðáp số:

x 1 x 2
y 2 y 1
 
= − =
 
 
∨
 
 
= − =
 
 
.
5.
2 2
x y 2xy 5
x y xy 7

− + =




+ + =


. ðáp số:
1 37 1 37
x x
x 2 x 1

4 4
y 1 y 2
1 37 1 37
y y
4 4
 
 
− +
 
= =
 
 
= = −
 
 
   
∨ ∨ ∨
   
   
= = −
− − − +
   
 
= =
 
 
 
 
.
6.

2 2
2 2
1
(x y)(1 ) 5
xy
1
(x y )(1 ) 49
x y



+ + =






+ + =




. ðáp số:
x 1 x 1
7 3 5 7 3 5
x x
2 2
7 3 5 7 3 5
y y

y 1 y 1
2 2
   
= − = −
   
− +
   
= =
   
   
∨ ∨ ∨
   
− +
   
= =
   
= − = −
   
   
   
.
ThS. ðoàn Vương Nguyên
Trang
5

7.
x y y x 30
x x y y 35



+ =




+ =



. ðáp số:
x 4 x 9
y 9 y 4
 
= =
 
 
∨
 
 
= =
 
 
.
8.
x y 7
1
y x
xy
x xy y xy 78




+ = +





+ =



(chú ý ñiều kiện x, y > 0). ðáp số:
x 4 x 9
y 9 y 4
 
= =
 
 
∨
 
 
= =
 
 
.
9.
(
)
2 2

3 3
3
3
2(x y) 3 x y xy
x y 6


+ = +




+ =



. ðáp số:
x 8 x 64
y 64 y 8
 
= =
 
 
∨
 
 
= =
 
 
.

10. Cho x, y, z là nghiệm của hệ phương trình
2 2 2
x y z 8
xy yz zx 4

 + + =



+ + =


. Chứng minh
8 8
x, y,z
3 3
− ≤ ≤
.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Hệ phương trình
2 2 2 2 2
x y 8 z (x y) 2xy 8 z
xy z(x y) 4 xy z(x y) 4
 
 + = −  + − = −
 
⇔ ⇔
 
 
+ + = + + =

 
 

2 2
(x y) 2[4 z(x y)] 8 z
xy z(x y) 4

 + − − + = −

⇔


+ + =


2 2
(x y) 2z(x y) (z 16) 0
xy z(x y) 4

 + + + + − =

⇔


+ + =



2 2
x y 4 z x y 4 z

xy (z 2) xy (z 2)
 
+ = − + = − −
 
 
⇔ ∨
 
 
= − = +
 
 
.
Do x, y, z là nghiệm của hệ nên:
2 2
2
2 2
(4 z) 4(z 2)
8 8
(x y) 4xy z
( 4 z) 4(z 2)
3 3

− ≥ −

+ ≥ ⇔ ⇔ − ≤ ≤

− − ≥ +


.

ðổi vai trò x, y, z ta ñược
8 8
x, y,z
3 3
− ≤ ≤
.
11.
x y
1 1 1
16 16 2
x y 1


   

 
 

+ =
 
 

 
 
 

   


+ =




. ðáp số:
1
x
2
1
y
2



=





=



.
12.
sin (x y)
2 2
2 1
2(x y ) 1
π +


 =



+ =



HƯỚNG DẪN GIẢI
Cách 1:
sin (x y)
2 2 2 2
2 2
sin (x y) 0 x y (1)
2 1
2(x y ) 1 2(x y ) 1 (2)
2(x y ) 1
π +

 
π + = + ∈
 =
 
  
⇔ ⇔
  
  
+ = + =
+ =

  
 

Z

2
2 2
2
1 2 2
x x
1
2 2 2
(2) x y 2 x y 2
1
2
2 2
y
y
2
2 2






≤ − ≤ ≤






⇔ + = ⇒ ⇒ ⇒ − ≤ + ≤
 
 
 
≤
− ≤ ≤
 
 



.
x y 0
(1)
x y 1

+ =

⇒

+ = ±


thế vào (2) ñể giải.
ThS. ðoàn Vương Nguyên
Trang
6

Cách 2:
ðặt S = x + y, P = xy. Hệ trở thành:
sin S
2
2
S
2 1
4P 2S 1
2(S 2P) 1
π


∈
 =

 
⇔
 
 
= −
− =
 


Z
.
Từ ñiều kiện
2
S 4P
≥

ta suy ra kết quả tương tự.
Hệ có 4 nghiệm phân biệt
1 1 1 1
x x x x
2 2 2 2
1 1 1 1
y y y y
2 2 2 2
   
   
   
= = − = = −
   
   
∨ ∨ ∨
   
   
   
= = − = − =
   
   
   
.


Tìm ñiều kiện của m ñể các hệ phương trình thỏa yêu cầu

1. Tìm m ñể hệ phương trình
2 2
x xy y m 6

2x xy 2y m

 + + = +



+ + =


có nghiệm thực duy nhất.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Hệ có nghiệm duy nhất suy ra x = y, hệ trở thành:
2 2
2 2 2
3x m 6 3x 6 m m 3
m 21
x 4x m x 4x 3x 6
 

 = +  − = = −
 

⇔ ⇒
 

 
=
+ = + = −

 


 
.
+ m = – 3:
2 2 2
x xy y 3 (x y) xy 3
2(x y) xy 3 2(x y) xy 3
 
 + + =  + − =
 
⇔
 
 
+ + = − + + = −
 
 

x y 0 x y 2 x 3 x 3 x 1
xy 3 xy 1 y 1
y 3 y 3
 
  
 
+ = + = − = = − = −
  
 
    
⇔ ∨ ⇔ ∨ ∨
    
    

= − = = −
= − =
    
  
 
 
(loại).
+ m = 21:
2 2 2
x xy y 27 (x y) xy 27
2x xy 2y 21 2(x y) xy 21
 
 + + =  + − =
 
⇔
 
 
+ + = + + =
 
 

x y 8 x y 6 x 3
xy 37 xy 9 y 3
  
+ = − + = =
  
  
⇔ ∨ ⇔
  
  

= = =
  
  
(nhận).
Vậy m = 21.
2. Tìm m ñể hệ phương trình:
2 2
x xy y m 1
x y xy m

+ + = +




+ =


có nghiệm thực x > 0, y > 0.
HƯỚNG DẪN GIẢI
2 2
x xy y m 1
(x y) xy m 1
xy(x y) m
x y xy m


+ + = +
+ + = +



 
⇔
 
 
+ =
+ =
 


x y 1 x y m
xy m xy 1
 
+ = + =
 
 
⇔ ∨
 
 
= =
 
 
.
Hệ có nghiệm thực dương
2
m 0
1
0 m m 2
1 4m m 4
4


>


⇔ ⇔ < ≤ ∨ ≥


≥ ∨ ≥


.
Vậy
1
0 m m 2
4
< ≤ ∨ ≥
.
ThS. ðoàn Vương Nguyên
Trang
7

3. Tìm m ñể hệ phương trình
x y m
x y xy m


+ =





+ − =



có nghiệm thực.
HƯỚNG DẪN GIẢI
(
)
2
2
x y m
x y m
x y m
m m
x y xy m
xy
x y 3 xy m
3



+ =


+ =


+ =




  
⇔ ⇔
  
−
  
+ − =
=
+ − =
  







.
Suy ra
x, y
là nghiệm (không âm) của phương trình
2
2
m m
t mt 0
3
−
− + =
(*).

Hệ có nghiệm
⇔
(*) có 2 nghiệm không âm
/ 2
2
0 m 4m 0
m 0
S 0 m 0
1 m 4
P 0
m m 0




∆ ≥ − ≤



=


 

⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔
 

 
≤ ≤


 

≥
− ≥
 
 


.
Vậy
m 0 1 m 4
= ∨ ≤ ≤
.
4. Tìm m ñể hệ phương trình
2 2
2
x y 2(1 m)
(x y) 4

 + = +



+ =


có ñúng 2 nghiệm thực phân biệt.
HƯỚNG DẪN GIẢI
2 2 2
2 2

x y 2(1 m) (x y) 2xy 2(1 m)
(x y) 4 (x y) 4
 
 + = +  + − = +
 
⇔
 
 
+ = + =
 
 
xy 1 m xy 1 m
x y 2 x y 2
 
= − = −
 
 
⇔ ∨
 
 
+ = + = −
 
 
.
Hệ có ñúng 2 nghiệm thực phân biệt khi
(
)
2
2 4(1 m) m 0
± = − ⇔ =

.
5. Cho x, y là nghiệm của hệ phương trình
2 2 2
x y 2m 1
x y m 2m 3

+ = −




+ = + −


. Tìm m ñể P = xy nhỏ nhất.
HƯỚNG DẪN GIẢI
ðặt
S x y, P xy
= + =
, ñiều kiện
2
S 4P.
≥

2 2 2 2 2
x y 2m 1 S 2m 1
x y m 2m 3 S 2P m 2m 3
 
+ = − = −
 

 
⇔
 
 
+ = + − − = + −
 
 

2 2
2
S 2m 1
S 2m 1
3
(2m 1) 2P m 2m 3
P m 3m 2
2

= −



= −



⇔ ⇔
 
 
− − = + −
= − +

 




Từ ñiều kiện suy ra
2 2
4 2 4 2
(2m 1) 6m 12m 8 m .
2 2
− +
− ≥ − + ⇔ ≤ ≤
Xét hàm số
2
3 4 2 4 2
f(m) m 3m 2, m
2 2 2
− +
= − + ≤ ≤ .
Ta có
4 2 11 6 2 4 2 4 2
min f(m) f , m ;
2 4 2 2
   
− − − +


 

= = ∀ ∈



 



 
 
 

Vậy
11 6 2 4 2
min P m
4 2
− −
= ⇔ = .