Các loại hệ phương trình (2009-2010)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (409.91 KB, 11 trang )
Hệ phương trình hai ẩn
I. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
1. Bài toán: Giải và biện luận hệ phương trình:
1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
+ =
+ =
Cách giải:
b1. Tính các đònh thức:
1 1
2 2
a b
D
a b
=
;
1 1
x
2 2
c b
D
c b
=
;
1 1
y
2 2
a c
D
a c
=
b2. Ta có:
i/.
D 0
≠
: Hệ có nghiệm duy nhất (x; y) với
x
D
x
D
=
,
y
D
y
D
=
ii/.
( )
x y
D 0
D 0 hoặc D 0
=
≠ ≠
: Hệ phương trình vô nghiệm
iii/.
x y
D D D 0
= = =
: Hệ phương trình có thể vô nghiệm, có thể vô số nghiệm
( nên thay giá trò cụ thể vào hệ phương trình rồi kết luận )
2. Các ví dụ:
VD1: Cho hệ phương trình:
x my 3m
mx y 2m 1
+ =
+ = +
(I)
1. Giải và biện luận hệ (I)
2. Trong trường hợp hệ có nghiệm duy nhất (x
0
; y
0
), tìm các giá trò nguyên của m sao cho x
0
và y
0
là những
số nguyên.
VD2: Cho hệ phương trình:
2
mx 4y m 4
x (m 3)y 2m 3
+ = +
+ + = +
1. Với các giá trò nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn điều kiện
x y
≥
?
2. Với các giá trò của m đã tìm được, hãy tìm giá trò nhỏ nhất của tổng x + y.
( ĐH An Ninh 98 )
VD3: Giải và biện luận hệ phương trình
(1 sina)x cosa.y cosa
cosa.x (1 sina)y sina
− + =
+ − =
VD4: Tìm các giá trò của b sao cho với mọi
a R
∈
thì hệ phương trình có nghiệm
Tài liệu luyện thi Đại học 2008 - Trần Chí Thanh - Page 1
2
x 2ay b
ax (1 a)y b
+ =
+ − =
( ĐH Công Đoàn 98 )
3. Bài tập làm thêm:
B1. Giải và biện luận hệ phương trình
2 3
2 3
(a 1)x (a 1)y a 1
(a 1)x (a 1)y a 1
− + − = −
+ + + = +
B2. Cho hệ phương trình
mx 2y m 1
2x my 2m 5
+ = +
+ = +
a). Giải và biện luận hệ phương trình
b). Khi hệ có nghiệm (x; y), hãy tìm hệ thức liên hệ giữa x và y độc lập đối với m.
B3. Cho hệ phương trình
2
ax y b
x ay c c
+ =
+ = +
a). Giải và biện luận hệ phương trình
b). Tìm b sao cho với mọi a, luôn tìm được c để hệ phương trình có nghiệm
II. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 1
1. Dạng:
f(x;y) 0
g(x;y) 0
=
=
(1), trong đó: f(x;y) và g(x;y) là các biểu thức đối xứng theo x; y
2. Nhận dạng: Khi thay x bởi y và thay y bởi x thì hệ không đổi. Tức là:
f(x;y) 0
g(x;y) 0
=
=
thay x bởi y
và thay y bởi x
¬ →
f(y;x) 0
g(y;x) 0
=
=
Chẳng hạn: hệ phương trình
2 2
x y xy 11
x y 3(x y) 28
+ + =
+ + + =
3. Cách giải:
b1. Dùng ẩn số phụ: Đặt S = x + y , P = xy. Ta được:
F(S;P) 0
G(S;P) 0
=
=
(2)
b2. Giải hệ phương trình (2)
+ Nếu S
0
, P
0
là một nghiệm của hệ (2) thì nghiệm x, y của hệ (1) là nghiệm của hệ
0
0
x y S
xy P
+ =
=
Tài liệu luyện thi Đại học 2008 - Trần Chí Thanh - Page 2
+ Khi đó x, y là nghiệm của phương trình: t
2
– S
0
.t + P
0
= 0 (3)
b3. Kết luận
4. Chú ý:
a). Hệ (1) có nghiệm (x; y)
⇔
Hệ (2) có nghiệm (S
0
; P
0
)
⇔
2
S 4P 0
− ≥
b). Nếu
2
0 0
S 4P 0
− >
thì phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt
2
0 0 0
1
S S 4P
t
2
− −
=
và
2
0 0 0
2
S S 4P
t
2
− +
=
Khi đó hệ (1) có hai nghiệm tương ứng
1
2
x t
y t
=
=
và
2
1
x t
y t
=
=
c). Nếu
2
0 0
S 4P 0
− =
thì phương trình (3) có nghiệm kép
0
1 2
S
t t
2
= =
Khi đó hệ (1) có 1 nghiệm tương ứng
0
S
x y
2
= =
d). Do tính đối xứng,
“ nếu (x
0
; y
0
) là một nghiệm của hệ (1) thì (y
0
; x
0
) cũng là một nghiệm của hệ (1)” .
Do đó: Nếu hệ có nghiệm duy nhất thì nghiệm này có dạng (x
0
; x
0
)
e). Các biểu thức đối xứng thông dụng:
( )
2
2 2 2
x y x y 2xy S 2P
+ = + − = −
( ) ( )
3
3 3 3
x y x y 3xy x y S 3SP
+ = + − + = −
( )
( )
4
4 4 2 2 2 2
x y x y 4xy x y 6x y
+ = + − + −
4 2 2
S 4P(S 2P) 6P= − − −
4 2 2
S 4S P 2P
= − +
f). Đôi khi cần đặt điều kiện để hệ phương trình có nghóa ( ẩn ở mẫu )
5. Các ví dụ:
VD1: Giải hệ phương trình
2 2
3 3
x y xy 30
x y 35
+ =
+ =
( ĐH Mỏ – Đòa chất 98 )
VD2: Ch hệ phương trình
2 2
x xy y 2m 1
x y xy m(m 1)
+ + = +
+ = +
(I) ( ĐHQG Hà Nội 99 )
1. Chứng minh rằng với mọi m, hệ phương trình (I) luôn luôn có nghiệm
2. Tìm m để hệ (I) có nghiệm duy nhất.
VD3: Tìm các giá trò của a để hệ phương trình sau có đúng hai nghiệm
2 2
2
x y 2(1 a)
(x y) 4
+ = +
+ =
( ĐH Y Dược TpHCM 98 )
6. Bài tập làm thêm
Tài liệu luyện thi Đại học 2008 - Trần Chí Thanh - Page 3
B1. Giải hệ phương trình
2 2
2 2
1 1
x y 5
x y
1 1
x y 9
x y
+ + + =
+ + + =
( ĐH Ngoại thương 97, khối D )
B2. Cho hệ phương trình
2 2 2
x y m
x y 6 m
+ =
+ = −
( Báo chí, Tuyên truyền 98, khối D )
1. Giải hệ phương trình khi m = 1
2. Tìm m để hệ phương trình đã cho có nghiệm
B3. Cho hệ phương trình
2 2 2
x y m 1
x y xy 2m m 3
+ = +
+ = − −
( ĐH Su phạm Quy Nhơn 99 )
1. Giải hệ phương trình với m = 3
2. Chứng minh rằng với mọi m, hệ phương trình trên luôn có nghiệm
B4. Giải hệ phương trình
2 2
4 2 2 4
x y 5
x x y y 13
+ =
− + =
( ĐH Ngoại thương 98 )
B5. Giải hệ phương trình
2 2
2 2
1
(x y)(1 ) 5
xy
1
(x y )(1 ) 49
x y
+ + =
+ + =
( ĐH Ngoại thương 99, khối A )
B6. Cho hệ phương trình
2 2
x y x y 8
xy(x 1)(y 1) m
+ + + =
+ + =
( ĐH Ngoại thương 97, khối A )
1. Giải hệ phương trình khi m = 12
2. Xác đònh m để hệ phương trình đã cho có nghiệm
B7. Giải hệ phương trình
2 2
x y xy 11
x y 3(x y) 28
+ + =
+ + + =
( ĐHQGHCM 2000, khối D )
B8. Giải hệ phương trình
2 2
4 4 2 2
x y xy 7
x y x y 21
+ + =
+ + =
( ĐH Sưphạm HàNội 2000, khối B )
B9. Giải hệ phương trình
2 2
2 2
2x 2y 3x 3y 6 0
x y xy 19 0
+ + + − =
+ − =
B10. Giải hệ phương trình
4 4
x y 5
x y 97
+ =
+ =
Tài liệu luyện thi Đại học 2008 - Trần Chí Thanh - Page 4
III. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 2
1. Dạng:
( )
( )
f(x;y) 0 1
f(y;x) 0 2
=
=
2. Nhận dạng:
Khi thay x bởi y và thay y bởi x thì phương trình (1) trở thành phương trình (2) và ngược lại.
Ta có:
( ) ( )
thay x bởi y
và thay y bởi x
f(x;y) 0 1 f(y;x) 0 2= ¬ → =
Chẳng hạn: hệ phương trình
2
2
x 2x 3y 0
y 2y 3x 0
− − =
− − =
3. Cách giải:
b1. Biến đổi
( )
( )
f(x;y) 0 1
f(y;x) 0 2
=
=
⇔
f(x;y) 0
f(x;y) f(y;x) 0
=
− =
⇔
f(x;y) 0
(x y).g(x;y) 0
=
− =
⇔
( )
( )
x y
A
f(x;y) 0
g(x;y) 0
B
f(x;y) 0
=
=
=
=
b2. Giải hệ phương trình (A) và (B)
Chú ý: Có thể biến đổi hệ (B) về hệ phương trình đối xứng loại 1 để giải như sau:
( )
g(x;y) 0
B
f(x;y) 0
=
=
⇔
( )
g(x;y) 0
C
f(x;y) f(y;x) 0
=
+ =
( Hệ (C) là hệ đối xứng loại 1 )
b3. Kết luận
4. Các ví dụ:
VD1: Giải hệ phương trình
1 3
2x
y x
1 3
2y
x y
+ =
+ =
( ĐHQG Hà Nội 99, khối B )
Tài liệu luyện thi Đại học 2008 - Trần Chí Thanh - Page 5
