Chuyên đề Nguyên Hàm Tích Phân Thầy Đặng Việt Hùng (Full) Ôn thi Đại Học
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (4.54 MB, 97 trang )
Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
Tài liệu tham khảo:
01. MỞ ĐẦU VỀ NGUYÊN HÀM
Thầy Đặng Việt Hùng
I. NHẮC LẠI KHÁI NIỆM VỀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ
Vi phân của hàm số y = f(x) được kí hiệu là dy và cho bởi cơng thức dy = df ( x ) = y ' dx = f '( x )dx
Ví dụ:
d(x2 – 2x + 2) = (x2 – 2x + 2)′dx = (2x – 2)dx
d(sinx + 2cosx) = (sinx + 2cosx)′dx = (cosx – 2sinx)dx
Chú ý: Từ công thức vi phân trên ta dễ dàng thu được một số kết quả sau
1
d ( 2 x ) = 2dx ⇒ dx = d ( 2 x )
2
1
d ( 3x ) = 3dx ⇒ dx = d ( 3x )
3
2
x
1
1
1
xdx = d = d x 2 = d x 2 ± a = − d a − x 2
2 2
2
2
( )
(
)
(
)
x3 1
1
1
x 2 dx = d = d x3 = d x3 ± a = − d a − x3
3 3
3
3
dx
1 d ( ax + b ) 1
dx
=
= d ( ln ax + b )
→ = d ( ln x )
ax + b a ax + b
a
x
1
1
1
sin ( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) d ( ax + b ) = − d ( cos ( ax + b ) ) sin 2 xdx = − d ( cos2 x ) ...
→
a
a
2
1
1
1
cos ( ax + b ) dx = cos ( ax + b ) d ( ax + b ) = d ( sin ( ax + b ) ) cos 2 xdx = d ( sin 2 x ) ...
→
a
a
2
1 ax +b
1
1
eax +b dx = e
d ( ax + b ) = d e ax +b e2 x dx = d e 2 x ...
→
a
a
2
dx
1 d ( ax + b )
1
dx
1
→
= d ( tan 2 x ) ...
=
= d tan ( ax + b )
2
2
2
cos ( ax + b ) a cos ( ax + b ) a
cos 2 x 2
( )
(
)
(
dx
sin
2
( ax + b )
=
(
)
)
( )
1 d ( ax + b )
1
dx
1
→ 2
= − d ( cot 2 x ) ...
= − d cot ( ax + b )
2
a sin ( ax + b )
a
2
sin 2 x
II. KHÁI NIỆM VỀ NGUYÊN HÀM
Cho hàm số f(x) liên tục trên một khoảng (a; b). Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) nếu F’(x) = f(x) và
được viết là ∫ f ( x)dx . Từ đó ta có : ∫ f ( x)dx = F ( x)
Nhận xét:
Với C là một hằng số nào đó thì ta ln có (F(x) + C)’ = F’(x) nên tổng quát hóa ta viết
∫ f ( x)dx = F ( x) + C , khi đó
F(x) + C được gọi là một họ nguyên hàm của hàm số f(x). Với một giá trị cụ thể của C thì ta được một nguyên hàm
của hàm số đã cho.
Ví dụ:
Hàm số f(x) = 2x có nguyên hàm là F(x) = x2 + C, vì (x2 + C)’ = 2x
Hàm số f(x) = sinx có nguyên hàm là F(x) = –cosx + C, vì (–cosx + C)’ = sinx
III. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM
Cho các hàm số f(x) và g(x) liên tục và tồn tại các nguyên hàm tương ứng F(x) và G(x), khi đó ta có các tính chất sau:
a) Tính chất 1:
( ∫ f ( x)dx )′ = f ( x)
Chứng minh:
Học trực tuyến tại: www.moon.vn
1
Mobile: 0985.074.831
Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng
( ∫ f ( x)dx ) = ( F ( x) ) = f ( x) ⇒ đpcm.
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
′
′
Do F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) nên hiển nhiên ta có
( ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx ) = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx
b) Tính chất 2:
Chứng minh:
Theo tính chất 1 ta có,
( ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx )′ = ( ∫ f ( x)dx )′ + ( ∫ g ( x)dx )′ = f ( x) + g ( x)
Theo định nghĩa nguyên hàm thì vế phải chính là nguyên hàm của f(x) + g(x).
( ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx ) = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx
c) Tính chất 3: ( ∫ k . f ( x)dx ) = k ∫ f ( x)dx, ∀k ≠ 0
Từ đó ta có
Chứng minh:
(
)
′
Tương tự như tính chất 2, ta xét k ∫ f ( x)dx = k . f ( x) ∫ k . f ( x)dx = k ∫ f ( x)dx ⇒ đpcm.
→
∫ f ( x)dx = ∫ f (t )dt = ∫ f (u )du..
d) Tính chất 4:
Tính chất trên được gọi là tính bất biến của nguyên hàm, tức là nguyên hàm của một hàm số chỉ phụ thuộc vào hàm,
mà không phụ thuộc vào biến.
IV. CÁC CƠNG THỨC NGUN HÀM
Cơng thức 1: ∫ dx = x + C
Chứng minh:
Thật vậy, do ( x + C )′ = 1 ⇒ ∫ dx = x + C
Chú ý:
Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ du = u + C
Công thức 2: ∫ x n dx =
x n +1
+C
n +1
Chứng minh:
x n +1
′
x n +1
Thật vậy, do
+ C = x n ⇒ ∫ x n dx =
+C
n +1
n +1
Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ u n du =
u n +1
+C
n +1
1
dx
dx
du
+ Với n = − ⇒ ∫
= 2∫
= 2 x + C ← ∫
→
=2 u +C
2
x
2 x
u
dx
1
du
1
+ Với n = −2 ⇒ ∫ 2 = − + C ← ∫ 2 = − + C
→
x
x
u
u
Ví dụ:
x3
a) ∫ x 2 dx = + C
3
x5
b) ∫ ( x 4 + 2 x ) dx = ∫ x 4 dx + ∫ 2 xdx = + x 2 + C
5
1
c)
∫
3
1
2
−
x − x2
x3
x2 x 3 x2
x2
dx = ∫ dx − ∫ xdx = ∫ x 3 dx − =
− + C = 33 x − + C
1
x
x
2
2
2
3
( 2 x + 1) + C
1
4
u n du
→
d) I = ∫ ( 2 x + 1) dx = ∫ ( 2 x + 1) d ( 2 x + 1) I =
2
5
5
4
Học trực tuyến tại: www.moon.vn
2
Mobile: 0985.074.831
Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng
Simpo PDF Merge 1
and Split Unregistereddu
Version(1 − 3x )2011
-
2010
2010
u
e) I = ∫ (1 − 3x )
f) I = ∫
dx = −
dx
( 2 x + 1)
2
d (1 − 3 x ) I = −
→
+C
2011
du
1 d ( 2 x + 1) u 2
1 1
1
= ∫
I = − .
→
+C =−
+C
2
2 ( 2 x + 1)
2 2x + 1
2 ( 2 x + 1)
g) I = ∫ 4 x + 5dx =
Công thức 3: ∫
(1 − 3x )
3∫
n
3
3
1
1 2
3
4 x + 5d ( 4 x + 5 ) ⇒ I = . ( 4 x + 5 ) 2 + C = ( 4 x + 5 ) 2 + C
4∫
4 3
8
dx
= ln x + C
x
Chứng minh:
1
dx
Thật vậy, do ( ln x + C )′ = ⇒ ∫ = ln x + C
x
x
Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được
du
∫u
= ln u + C
1
dx
= ln 2 x + k + C
1 d ( ax + b ) 1
dx
∫ 2x + k 2
+ ∫
=
= ln ax + b + C
→
ax + b a ∫ ax + b
a
dx = − 1 ln k − 2 x + C
∫ k − 2 x
2
Ví dụ:
1 1
1
dx x 4
a) ∫ x3 +
+ dx = ∫ x3 dx + ∫
dx + ∫ =
+ 2 x + ln x + C
x
4
x x
x
du
dx
1 d ( 3x + 2 ) u
1
= ∫
I = ln 3x + 2 + C
→
3x + 2 3
3x + 2
3
2x2 + x + 3
3
dx
3 d ( 2 x + 1)
3
c) ∫
dx = ∫ 2 x +
= x2 + ∫
= x 2 + ln 2 x + 1 + C
dx = ∫ 2 xdx + 3∫
2x + 1
2x + 1
2x + 1
2
2x + 1
2
b) I = ∫
Công thức 4: ∫ sinxdx = − cos x + C
Chứng minh:
Thật vậy, do ( − cos x + C )′ = sin x ⇒ ∫ sinxdx = − cos x + C
Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ sinudu = − cos u + C
+ ∫ sin ( ax + b ) dx =
1
1
1
→
∫ sin ( ax + b ) d ( ax + b ) = − a cos ( ax + b ) + C ∫ sin 2 xdx = − 2 cos2 x + C
a
Ví dụ:
3
1
dx
1 d ( 2 x − 1)
a) ∫ x x + s inx +
= ∫ x 2 dx − cos x + ∫
=
dx = ∫ x xdx + ∫ sinxdx + ∫
2x −1
2x −1
2 2x −1
5
2x 2
1
=
− cos x + ln 2 x − 1 + C
5
2
3
dx
1
3 d ( 4 x − 3)
1
3
= ∫ sin 2 xd ( 2 x ) + ∫
= − cos2 x + ln 4 x − 3 + C
b) ∫ sin 2 x +
dx = ∫ sin 2 xdx +3∫
4x − 3
4x − 3 2
4
4x − 3
2
4
x
c) ∫ sin + sinx + sin 3 x dx
2
1
1
x 1
x
Ta có d = dx ⇒ dx = 2d ; d ( 2 x ) = 2dx ⇒ dx = d ( 2 x ) ; d ( 3x ) = 3dx ⇒ dx = d ( 3x )
2
3
2 2
2
T ừ đó :
1
x
x
x x 1
∫ sin 2 + sinx + sin 3x dx = ∫ sin 2 dx + ∫ sin 2 xdx + ∫ sin 3xdx = 2∫ sin 2 d 2 + 2 ∫ sin 2 xd ( 2 x ) + 3 ∫ sin 3xd ( 3x )
Học trực tuyến tại: www.moon.vn
3
Mobile: 0985.074.831
Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng
x 1
1
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
= −2cos − cos2 x − cos3x + C
2 2
3
Công thức 5: ∫ cos xdx = sin x + C
Chứng minh:
Thật vậy, do ( sinx + C )′ = cos x ⇒ ∫ cosxdx = sinx + C
Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ cosudu = sin u + C
+ ∫ cos ( ax + b ) dx =
1
1
1
→
∫ cos ( ax + b ) d ( ax + b ) = a sin ( ax + b ) + C ∫ cos2 xdx = 2 sin 2 x + C
a
Ví dụ:
4x − 1
5
a) ∫ cos x − sin x +
dx = ∫ cos xdx − ∫ sin xdx + ∫ 4 −
dx = sinx + cos x + 4 x − 5ln x + 1 + C
x +1
x +1
1
x2
b) ∫ ( cos 2 x + sin x − x ) dx = ∫ cos2 xdx + ∫ sinxdx − ∫ xdx = sin 2 x − cos x − + C
2
2
1 − cos2 x
1
1
1
1
1 1
c) ∫ sin 2 xdx = ∫
dx = ∫ − cos2 x dx = x − ∫ cos2 xd ( 2 x ) = x − sin 2 x + C
2
2
4
2
4
2 2
Công thức 6: ∫
dx
= tan x + C
cos 2 x
Chứng minh:
Thật vậy, do ( tan x + C )′ =
1
dx
⇒∫
= tan x + C
2
cos x
cos 2 x
Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được
+
dx
1
d ( ax + b )
du
∫ cos u = tan u + C
2
1
dx
1
= tan 2 x + C
2
2x 2
→
∫ cos ( ax + b ) = a ∫ cos ( ax + b ) = a tan ( ax + b ) + C ∫ cos
2
2
Ví dụ:
dx
1
1
a) ∫
+ cos x − sin 2 x dx = ∫
+ ∫ cos xdx − ∫ sin 2 xdx = tan x + sin x + cos 2 x + C
2
2
cos x
2
cos x
1
2
dx
dx
1 d ( 2 x − 1)
2 d (5 − 4x)
b) I = ∫
+
+ 2∫
= ∫
− ∫
dx = ∫
2
2
2
cos ( 2 x − 1)
5 − 4 x 2 cos ( 2 x − 1) 4
5 − 4x
cos ( 2 x − 1) 5 − 4 x
du
1
1
tan ( 2 x − 1) − ln 5 − 4 x + C
2
2
du
dx
1 d (3 − 2x )
1
cos 2 u
c) I = ∫
=− ∫
I = − tan ( 3 − 2 x ) + C
→
2
2
cos ( 3 − 2 x )
2 cos ( 3 − 2 x )
2
=
→
cos2 u
Công thức 7: ∫
dx
= − cot x + C
sin 2 x
Chứng minh:
Thật vậy, do ( − cot x + C )′ =
1
dx
⇒ ∫ 2 = − cot x + C
sin 2 x
sin x
Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được
+
dx
1
d ( ax + b )
du
∫ sin u = − cot u + C
2
1
dx
1
= − cot 2 x + C
2
2x
2
→
∫ sin ( ax + b ) = a ∫ sin ( ax + b ) = − a cot ( ax + b ) + C ∫ sin
2
2
Ví dụ:
Học trực tuyến tại: www.moon.vn
4
Mobile: 0985.074.831
Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng
Simpo PDF1Merge and Split Unregistered Version 1
dx
x6
a) ∫ cos 2 x − 2 + 2 x5 dx = ∫ cos 2 xdx − ∫ 2 + ∫ 2 x 5 dx = sin 2 x + cot x + + C
sin x
sin x
2
3
du
dx
1 d (1 − 3 x )
1
1
sin 2 u
b) I = ∫ 2
=− ∫ 2
I = − − cot (1 − 3 x ) + C = cot (1 − 3x ) + C
→
sin (1 − 3x )
3 sin (1 − 3 x )
3
3
x
d
du
dx
2
x
sin 2 u
c) I = ∫
= 2 ∫ I = −2 cot + C
→
x
x
2
sin 2
sin 2
2
2
Công thức 8: ∫ e x dx = e x + C
Chứng minh:
Thật vậy, do ( e x + C )′ = e x ⇒ ∫ e x dx = e x + C
Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ eu du = eu + C
1 2 x+k
2 x+ k
+C
∫ e dx = 2 e
1 ax + b
1 ax + b
ax + b
+ C
→
+ ∫ e dx = ∫ e d ( ax + b ) = e
a
a
e k − 2 x dx = − 1 e k − 2 x + C
∫
2
Ví dụ:
1
4
dx
4
1
1 d ( 3x )
−2 x +1
a) ∫ e −2 x +1 − 2 +
dx − ∫ 2 + ∫
dx = − ∫ e −2 x +1d ( −2 x + 1) − ∫ 2 + 4.2 x
dx = ∫ e
sin 3x
sin 3 x
2
3 sin 3 x
x
x
1
1
= − e −2 x +1 + cot 3x + 8 x + C
2
3
b)
∫ ( 4e
3 x+2
+ cos (1 − 3x ) ) dx = 4 ∫ e3 x + 2 dx + ∫ cos (1 − 3 x ) dx =
4 3x+2
1
∫ e d ( 3x + 2) − 3 ∫ cos (1 − 3x ) d (1 − 3x )
3
4
1
= e3 x + 2 − sin (1 − 3 x ) + C
3
3
Công thức 9: ∫ a x dx =
ax
+C
ln a
Chứng minh:
ax
′ a x ln a
ax
Thật vậy, do
+C =
= a x ⇒ ∫ a x dx =
+C
ln a
ln a
ln a
Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ a u du = a u + C
+ ∫ a kx + m dx =
1 kx + m
1 kx + m
∫ a d ( kx + m ) = k a + C
k
Ví dụ:
1 3x
1
23 x
32 x
a u du
2 d ( 3x ) + ∫ 32 x d ( 2 x ) I =
→
+
+C
3∫
2
3ln 2 2ln 3
1
3
21− 2 x 3 4 x + 3
− e 4 x + 3 ) dx = ∫ 21− 2 x dx − ∫ 3e 4 x + 3 dx = − ∫ 21− 2 x d (1 − 2 x ) − ∫ e 4 x + 3 d ( 4 x + 3) = −
+ e
+C
2
4
2ln 2 4
a) I = ∫ ( 23 x + 32 x ) dx = ∫ 23 x dx + ∫ 32 x dx =
b)
∫ (2
1− 2 x
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
1) I1 =
∫(x
5
)
+ 2 x dx
1
2) I 2 = 7 − 3 3 x 5 dx
x
Học trực tuyến tại: www.moon.vn
∫
3) I 3 =
5
∫(
5
)
x 2 − 4 x3 + 2 x3 dx
Mobile: 0985.074.831
Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng
Simpo PDF Merge 2 x Split Unregistered Version - 3
and
1
1
2 x4 +
4) I 4 =
− 4 x 3 + 2 dx
5) I 5 = ∫ x +
dx
6) I 6 = ∫
dx
5
x2
x
x
x
∫
7) I 7 = ∫
(
)
x −1
2
dx
x
3 x 4 + 2 x3 − x 2 + 1
10) I10 = ∫
dx
x2
3
1
13) I13 = ∫ x −
dx
x
16) I16 = ∫
(
x − 24 x
)( x − x ) dx
8) I 8 = ∫ ( 2 x − 1) dx
3
11) I11 = ∫
2
9) I 9 = ∫
x2 − x x − x
dx
x
∫
∫
∫
∫
2
+ 4)
2
dx
x2
1
1
12) I12 = ∫
− 3 dx
x
x
2
1
14) I14 = ∫ x + 3 dx
x
1
17) I17 =
dx
(2 x − 3)5
x
x π
19) I19 = sin + dx
20) I 20 = sin 2 x + sin dx
3
2 7
π
x +1
2 x
22) I 22 = sin 3x + − sin
dx 23) I 23 = ∫ cos dx
4
2
2
dx
dx
26) I 26 = ∫
27) I 27 = ∫
2
2
cos 4 x
cos ( 2 x − 1)
29) I 29 = ∫ tan 4 x dx
(x
(
2 x − 3 3x
15) I15 =
∫
18) I18 =
∫ ( x − 3)
x
x +1
4
)
2
dx
dx
x
21) I 21 = ∫ sin + x dx
2
x
24) I 24 = ∫ sin 2 dx
2
28) I 28 = ∫ ( tan 2 x + 2 x ) dx
dx
sin ( 2 x + 3)
30) I 30 = ∫ cot 2 x dx
31) I 31 = ∫
1
35) I 35 = ∫ sin 2 x −
dx
2 − 5x
x
38) I 38 = ∫
dx
6 − 5x
3x 3 + 2 x 2 + x + 1
41) I 41 = ∫
dx
x+2
44) I 44 = e−2x +3dx
1
33) I 33 = ∫ x 2 + 2 + cot 2 x dx
x
x+2
36) I 36 = ∫
dx
x−3
x 2 + x + 11
39) I 39 = ∫
dx
x+3
4 x3 + 4 x 2 − 1
42) I 42 = ∫
dx
2x + 1
45) I 45 = ∫ cos(1 − x) + e3 x −1 dx
1
34) I 34 = ∫ x 2 +
dx
3x + 2
2x −1
37) I 37 = ∫
dx
4x + 3
2x2 − x + 5
40) I 40 = ∫
dx
x −1
4 x2 + 6x + 1
43) I 43 = ∫
dx
2x + 1
2
46) I 46 = ∫ x.e − x +1dx
2
47) I 47 = ∫ e− x + 2
dx
sin (3 x + 1)
e− x
48) I 48 = ∫ e x 2 +
dx
cos 2 x
49) I 49 = ∫ ( 21− 2 x − e 4 x + 3 ) dx
32) I 32 = ∫
dx
1 − cos 6 x
∫
50) I 50 =
∫
1
dx
2x
Học trực tuyến tại: www.moon.vn
51) I 51 =
∫
2x
dx
7x
2
∫
52) I 52 = 32 x +1 dx
6
Mobile: 0985.074.831
Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
Tài liệu bài giảng:
01. MỞ ĐẦU VỀ NGUYÊN HÀM
Thầy Đặng Việt Hùng
1. Khái niệm nguyên hàm
• Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu F '( x) = f ( x) , ∀x ∈ K
• Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) là
∫ f ( x)dx = F ( x) + C , C ∈ R.
• Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có ngun hàm trên K.
2. Tính chất
•
∫ f '( x)dx =
f ( x) + C
•
∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx
• ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx (k ≠ 0)
3. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
• ∫ 0dx = C
• ∫ a x dx =
• ∫ dx = x + C
• ∫ xα dx =
•
x
α +1
α +1
ax
+ C (0 < a ≠ 1)
ln a
• ∫ cos xdx = sin x + C
+ C,
(α ≠ −1)
• ∫ sin xdx = − cos x + C
1
∫ x dx = ln x + C
•
•
• ∫ e x dx = e x + C
∫
∫
1
cos2 x
1
sin2 x
dx = tan x + C
dx = − cot x + C
1
• ∫ cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C (a ≠ 0)
a
• ∫ eax + b dx =
1
• ∫ sin(ax + b)dx = − cos(ax + b) + C (a ≠ 0)
a
•
1
1 ax + b
e
+ C , (a ≠ 0)
a
1
∫ ax + bdx = a ln ax + b + C
Ví dụ 1. Chứng minh F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) biết rằng
F ( x) = (4 x − 5)e x
a)
x
f ( x) = (4 x − 1)e
F ( x) = tan 4 x + 3 x − 5
b)
5
3
f ( x) = 4 tan x + 4 tan x + 3
x2 + 4
F ( x) = ln 2
x +3
c)
−2 x
f ( x) =
( x 2 + 4)( x 2 + 3)
F ( x) = ln
d)
f ( x) = 2
Học trực tuyến tại: www.moon.vn
1
x2 − x 2 + 1
x2 + x 2 + 1
2( x 2 − 1)
x4 + 1
Mobile: 0985.074.831
Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng
Ví Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
dụ 2. Tìm các nguyên hàm sau
1
1) ∫ x 2 – 3 x + dx = ..........................................................................
x
2 x4 + 3
2) ∫
dx = ..................................................................................
x2
3)
∫
x −1
dx = ...................................................................................
x2
4) ∫
( x 2 − 1)2
dx = ..............................................................................
x2
5) ∫
(
)
x + 3 x + 4 x dx = ......................................................................................
2
1
6) ∫
− 3 dx = ...............................................................................
x
x
7) ∫ 2sin 2
x
dx = .............................................................
2
8) ∫ tan 2 xdx = ............................................................................
9) ∫ cos 2 xdx = ................................................................
10) ∫
1
dx = .........................................................................................
sin x.cos 2 x
11) ∫
cos 2 x
dx = ....................................................................................................................................
sin 2 x.cos 2 x
2
12) ∫ 2sin 3 x cos 2 xdx = ............................................................................................
13) ∫ e x ( e x – 1) dx = .............................................................................
e− x
14) ∫ e x 2 +
dx =.......................................................................................
cos 2 x
2x
15) ∫ e3 x +1 +
dx = ......................................................................................................................
x −1
Ví dụ 3. Tìm ngun hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:
a) f ( x ) = x 3 − 4 x + 5;
c) f ( x ) =
e) f ( x ) =
3 − 5x 2
;
x
x3 − 1
x
2
;
g) f ( x ) = sin 2 x.cos x;
F (1) = 3
b) f ( x ) = 3 − 5 cos x;
F ( e) = 1
d) f ( x ) =
F (−2) = 0
f) f ( x ) = x x +
π
F ' = 0
3
h) f ( x ) =
Học trực tuyến tại: www.moon.vn
2
x2 + 1
;
x
F (π) = 2
F (1) =
1
;
x
3x 4 − 2 x 3 + 5
x2
3
2
F (1) = −2
; F (1) = 2
Mobile: 0985.074.831
Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng
Simpo x 3 + 3 x 3 + 3 x − 7 Split Unregistered Version -
PDF Merge and
x
π π
i) f ( x ) =
;
F (0) = 8
k) f ( x) = sin 2 ; F =
2
2 4
2
( x + 1)
Ví dụ 4. Cho hàm số g(x). Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:
a) g( x ) = x cos x + x 2 ; f ( x ) = x sin x;
π
F =3
2
b) g( x ) = x sin x + x 2 ; f ( x ) = x cos x;
F (π) = 0
c) g( x ) = x ln x + x 2 ; f ( x ) = ln x;
F (2) = −2
Ví dụ 5. Tìm điều kiện của tham số để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):
F ( x ) = mx 3 + (3m + 2) x 2 − 4 x + 3
a)
. Tìm m.
2
f ( x ) = 3 x + 10 x − 4
F ( x ) = ln x 2 − mx + 5
b)
. Tìm m.
2x + 3
f (x) = 2
x + 3x + 5
F ( x ) = (ax 2 + bx + c) x 2 − 4 x
c)
. Tìm a, b, c.
f ( x ) = ( x − 2) x 2 − 4 x
F ( x ) = (ax 2 + bx + c)e x
d)
. Tìm a, b, c.
x
f ( x ) = ( x − 3)e
F ( x ) = (ax 2 + bx + c)e−2 x
e)
. Tìm a, b, c.
2
−2 x
f ( x ) = −(2 x − 8x + 7)e
F ( x ) = (ax 2 + bx + c)e − x
f)
. Tìm a, b, c.
2
−x
f ( x ) = ( x − 3 x + 2)e
b
c
g) F ( x ) = (a + 1)sin x + 2 sin 2 x + 3 sin 3 x . Tìm a, b, c.
f ( x ) = cos x
F ( x ) = (ax 2 + bx + c) 2 x − 3
h)
. Tìm a, b, c.
20 x 2 − 30 x + 7
f (x) =
2x − 3
Học trực tuyến tại: www.moon.vn
3
Mobile: 0985.074.831
Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
Tài liệu tham khảo:
02. PP VI PHÂN TÌM NGUYÊN HÀM
Thầy Đặng Việt Hùng
CÁC BIỂU THỨC VI PHÂN QUAN TRỌNG
1
1
1
1. xdx = d ( x 2 ) = d ( x 2 ± a ) = − d ( a − x 2 )
2
2
2
6.
dx
= −d ( cot x ) = −d ( cot x ± a ) = d ( a − cot x )
sin 2 x
1
1
1
2. x 2 dx = d ( x 3 ) = d ( x 3 ± a ) = − d ( a − x3 )
3
3
3
7.
dx
=d
2 x
3. sin x dx = −d (cos x) = −d (cos x ± a ) = d (a − cos x)
8. e x dx = d ( e x ) = d ( e x ± a ) = −d ( a − e x )
4. cos x dx = d (sin x) = d (sin x ± a ) = −d (a − sin x)
9.
5.
dx
= d ( tan x ) = d ( tan x ± a ) = −d ( a − tan x )
cos 2 x
( x) = d(
10. dx =
( )
(
)
1
1
d ( ax + b ) = − d ( b − ax )
a
a
∫
( )
(
dx
= d ( ln x ) = d ( ln x ± a ) = −d ( a − ln x )
x
Ví dụ 1. Tìm ngun hàm của các hàm số sau:
x
a) I1 =
dx
b) I 2 = x(1 + x 2 )10 dx
1 + x2
Hướng dẫn giải:
2
x 1
1
2
2
xdx = d = d x = d x ± a
2
2 2
a) Sử dụng các công thức vi phân
du
u = d ( ln u )
∫
)
x ± a = −d a − x
(
c) I 3 = ∫
x 2 dx
x3 + 1
)
)
2
2
du
x
1 d x
1 d x +1
1
∫ u = ∫ d (ln u ) =ln u +C
dx =
=
←→ I1 = ln x 2 + 1 + C.
Ta có I1 =
2
2
2
2 1+ x
2
2
1+ x
1+ x
2
x 1
1
2
2
xdx = d = d x = d x ± a
2
2 2
b) Sử dụng các công thức vi phân
n +1
u
n
u du = d
n +1
∫
∫
∫
(
( )
∫ (
Ta có I 2 = x 1 + x 2
)
10
1
dx =
2
∫ (1 + x ) d ( x
2
10
2
)
+1
(
(1 + x )
=
2
)
11
22
2
x3 1
3
x dx = d = d x ± a
3 3
c) Sử dụng các công thức vi phân
du
2 u = d u
(
)
+ C.
)
( )
3
3
1 d ( x + 1) 2 d ( x + 1) 2 x3 + 1
Ta có I 3 = ∫
= ∫
= ∫
=
+ C.
3 2 x3 + 1
3
x3 + 1 3
x3 + 1
Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
dx
a) I 4 = ∫ x 1 − x 2 dx
b) I 5 = ∫
2x −1
x 2 dx
Học trực tuyến tại: www.moon.vn
1
c) I 6 = ∫ 5 − 2 x dx
Mobile: 0985.074.831
Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng
Hướng dẫn -
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Versiongiải:
x2 1
1
2
2
xdx = d = d x = − d a − x
2
2 2
a) Sử dụng các công thức vi phân
u n +1
n
u du = d
n +1
( )
(
)
(1 − x )
2 3
1
1
1
1
Ta có I 4 = ∫ x 1 − x dx = ∫ (1 − x 2 ) 2 d ( x 2 ) = − ∫ (1 − x 2 ) 2 d (1 − x 2 ) = −
2
2
1
1
dx = a d ( ax + b ) = − a d ( b − ax )
b) Sử dụng các công thức vi phân
du = d u
2 u
2
+ C.
3
( )
du
d ( 2 x − 1) 2 u = d ( u )
dx
1 d ( 2 x − 1)
= ∫
=∫
← I 5 = 2 x − 1 + C .
→
2x −1 2
2x − 1
2 2x −1
1
1
dx = a d ( ax + b ) = − a d ( b − ax )
c) Sử dụng các công thức vi phân
n +1
u n du = d u
n +1
Ta có I 5 = ∫
3
1
(5 − 2x)
1
1
1 2 (5 − 2x )2
⇒ I 6 = ∫ 5 − 2 x dx = ∫ 5 − 2 x d ( 2 x ) = − ∫ ( 5 − 2 x ) 2 d ( 5 − 2 x ) = − .
+C = −
+ C.
2
2
2
3
3
Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
2 x3
ln 3 x
dx
a) I 7 =
dx
b) I 8 = ∫
c) I 9 = ∫
dx
5 4
(3 − 2 x)5
x
x −5
3
∫
Hướng dẫn giải:
4
3
x 1
1
4
4
x dx = d = d x ± a = − d a − x
4
4 4
a) Sử dụng các công thức vi phân
u − n +1
du
=d
un
−n + 1
x4
4
d
1
3
5 5 x4 − 5
5 x4 − 5 5
2x
4 = 1 x4 − 5 − 5 d x4 − 5 = 1 .
⇒ I7 =
dx = 2
+C =
5 4
5 4
2
4
8
x −5
x −5 2
(
∫
∫(
∫
)
(
)
(
(
)
)
(
)
)
4
+ C.
( 3 − 2 x ) + C.
dx
1
5
= − ∫ (3 − 2x ) d (3 − 2x) = −
5
(3 − 2 x)
2
12
6
b) Ta có I 8 = ∫
dx
ln 3 x
ln 4 x
= d ( ln x ) ta được I 9 = ∫
dx = ∫ ln 3 x d ( ln x ) =
+ C.
x
x
4
Ví dụ 4. Tìm ngun hàm của các hàm số sau:
3 dx
cos x
a) I10 = ∫
b) I11 =
dx
c) I12 = cos x sin x dx
2010
x
( 4 − 2x)
c) Sử dụng công thức vi phân
∫
∫
Hướng dẫn giải:
a) Ta có I10 = ∫
( 4 − 2x )
3
3 (4 − 2x)
−2010
= − ∫ ( 4 − 2x )
d (4 − 2x) = −
2
2 −2009
−2009
3 dx
2010
cos u du = d ( sin u )
b) Sử dụng các công thức vi phân dx
=d x
2 x
+C =
3
4018 ( 4 − 2 x )
2009
+ C.
( )
Học trực tuyến tại: www.moon.vn
2
Mobile: 0985.074.831
Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng
( x ) = 2sin
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
cos x
cos x
Ta có I11 =
∫
x
dx = 2
∫
2 x
∫
dx = 2 cos x d
x + C.
cos u du = d ( sin u )
c) Sử dụng các công thức vi phân
sin x dx = −d ( cos x )
3
Ta có I12 =
∫
1
2
cos x sin x dx = − ( cos x ) d ( cos x ) = −
∫
2 ( cos x ) 2
3
=−
2 cos3 x
+ C.
3
Ví dụ 5. Tìm ngun hàm của các hàm số sau:
sin x
dx
cos5 x
Hướng dẫn giải:
sin u du = −d ( cos u )
a) Sử dụng các công thức vi phân
cos x dx = d ( sin x )
a) I13 =
∫
3
Ta có I 3 =
b) I14 = ∫
sin x cos x dx
∫
3
sin x cos x dx =
∫
1
4
3
u 3 du = d u 3
4
1
3
c) I15 = ∫ sin 4 x cos x dx
4
→
( sinx ) d ( sin x ) ← I13 =
3 ( sinx ) 3
4
+C =
3 3 sin 4 x
+C
4
( cos x ) + C = 1 + C.
sin x
d (cos x)
dx = − ∫
=−
5
5
cos x
cos x
−4
4 cos 4 x
cos x dx = d ( sin x )
c) Sử dụng các công thức vi phân n
u n +1
u du = d
n +1
−4
b) Ta có I14 = ∫
u5
u 4 du = d
5
Khi đó ta được I15 = ∫ sin x cos x dx = ∫ sin x d ( sin x ) ← I15 =
→
4
4
sin 5 x
+ C.
5
Ví dụ 6. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) I16 = ∫ tanx dx
b) I17 =
∫
sin 4 x cos 4 x dx
c) I18 = ∫
sin x dx
1 + 3cos x
Hướng dẫn giải:
sin x dx = −d (cos x)
a) Sử dụng các công thức du
∫ u = ln u + C
d ( cos x )
sin xdx
Ta có I16 = ∫ tan x dx = ∫
= −∫
= − ln cos x + C.
cos x
cos x
1
1
b) Ta có I17 = sin 4 x cos 4 x dx =
sin 4 x cos 4 x d ( 4 x ) =
sin 4 x d ( sin 4 x )
4
4
∫
∫
∫
3
2
1 2 ( sin 4 x )
sin 3 4 x
= .
+C =
+ C.
4
3
6
d ( cos x )
sin x dx
1 d ( 3cos x + 1)
1
c) Ta có I18 = ∫
= −∫
=− ∫
= − ln 1 + 3cos x + C.
1 + 3cos x
1 + 3cos x
3
1 + 3cos x
3
Ví dụ 7. Tìm ngun hàm của các hàm số sau:
2cos x dx
cos x dx
a) I19 = ∫
b) I 20 = ∫
c) I 21 = ∫ tan x.ln ( cos x ) dx
2
4sin x − 3
( 2 − 5sin x )
Hướng dẫn giải:
cos xdx = d (sin x)
a) Sử dụng công thức vi phân du
1
u2 = d − u
2 d ( sin x )
2cos x dx
2 d ( 2 − 5sin x )
2
⇒ I19 = ∫
=∫
=− ∫
=
+ C.
2
2
2
5 ( 2 − 5sin x )
5 ( 2 − 5sin x )
( 2 − 5sin x )
( 2 − 5sin x )
Học trực tuyến tại: www.moon.vn
3
Mobile: 0985.074.831
Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng
Simpo PDF Merge and cos xdx = d (sin x)
Split Unregistered Version -
b) Sử dụng công thức vi phân du
2 u = d u
d ( sin x )
cos x dx
1 d ( 4sin x ) 1 d ( 4sin x − 3) 1
Ta được I 20 = ∫
=∫
= ∫
= ∫
=
4sin x − 3 + C.
4sin x − 3
4sin x − 3 4
4sin x − 3 2 2 4sin x − 3 2
( )
d ( cos x )
sin xdx
=−
= − ln cos x + C
tan xdx =
cos x
cos x
c) Sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản
2
u du = u + C
2
d ( cos x )
sin x
Ta có I 21 = ∫ tan x.ln ( cos x ) dx = ∫ ln ( cos x )
dx = − ∫ ln ( cos x )
= − ∫ ln ( cos x ) d ( ln cos x ) =
cos x
cos x
ln 2 (cos x)
ln 2 (cos x)
=−
+ C I 21 = −
→
+ C.
2
2
Ví dụ 8. Tìm ngun hàm của các hàm số sau:
tan x
tan 3 x
tan 2 x + 1
a) I 22 =
dx
b) I 23 =
dx
c) I 24 =
dx
2
4
cos 2 2 x
cos x
cos x
Hướng dẫn giải:
dx
cos 2 x = d ( tan x )
a) Sử dụng các công thức
2
u du = u + C
∫
2
tan x
dx
tan 2 x
tan 2 x
Ta có I 22 =
dx = tan x.
= tan x d ( tan x ) =
+ C I 22 =
→
+ C.
2
2
cos 2 x
cos 2 x
dx
cos 2 x = d ( tan x )
b) Sử dụng các công thức
1 = 1 + tan 2 x
cos 2 x
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
(
)
∫(
)
tan 3 x
1
dx
dx = tan 3 x. 2 .
= tan 3 x. 1 + tan 2 x d (tan x) = tan 5 x + tan 3 x d (tan x)
4
2
cos x
cos x cos x
6
4
tan x tan x
tan 6 x tan 4 x
=
+
+ C I 23 =
→
+
+ C.
6
4
6
4
1 d (ax) 1
dx
cos 2 ax = a cos 2 ax = a d ( tan(ax) )
c) Sử dụng các công thức
2
u du = u + C
∫
2
tan 2 x + 1
tan 2 x dx
dx
1 tan 2 x d (2 x) 1 d (2 x)
Ta có I 24 =
dx =
+
=
+
2
2
2
2 cos 2 2 x
cos 2 x
cos 2 x
cos 2 x 2
cos 2 2 x
1
1
tan 2 2 x tan 2 x
tan 2 2 x tan 2 x
=
tan 2 x d (tan 2 x) +
d (tan 2 x) =
+
+ C I 24 =
→
+
+ C.
2
2
4
2
4
2
Ví dụ 9. Tìm ngun hàm của các hàm số sau:
cot x
tan x
cot x
a) I 25 = ∫ 2 dx
b) I 26 = ∫
dx
c) I 27 = ∫
dx
3
π
sin x
cos x
cos x +
2
Hướng dẫn giải:
dx
sin 2 x = − d ( cot x )
a) Sử dụng các công thức
2
u du = u + C
∫
2
Ta có I 23 =
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
Học trực tuyến tại: www.moon.vn
4
Mobile: 0985.074.831
Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
cot x
dx
cot 2 x
cot 2 x
= − cot x d ( cot x ) = −
sin 2 x
sin x dx = −d ( cos x )
b) Sử dụng các công thức du u − n +1
+C
∫ n =
−n + 1
u
Ta có I 25 =
∫ sin
2
x
∫
∫
dx = cot x.
2
+ C I 25 = −
→
2
+ C.
d ( cos x )
( cos x ) + C = 1 + C I = 1 + C.
tan x
sin xdx
dx = ∫
= −∫
=−
→ 26
3
4
4
cos x
cos x
cos x
−3
3cos3 x
3cos3 x
cos x dx = d ( sin x )
π
c) Sử dụng các công thức cos x + = − sin x
2
du
1
∫ 2 = − + C
u
u
cot x
cos x
cos x dx
d (sin x)
1
1
Ta có I 27 = ∫
dx = ∫
dx = − ∫
= −∫
=
+ C I 27 =
→
+ C.
2
2
π
sin x. ( − sin x )
sin x
sin x
sin x
sin x
cos x +
2
Ví dụ 10. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
−3
Ta có I 26 = ∫
a) I 28 =
∫
e tan x + 2 dx
cos 2 x
e 2 ln x + 3
e) I 32 = ∫
dx
x
Hướng dẫn giải:
x
3e
x
c) I 30 = ∫ x.e1− x dx
b) I 29 = ∫
dx
d) I 31 = ∫ ecos x sin x dx
2
( )
dx
=d x
a) Sử dụng các công thức 2 x
eu du = eu + C
∫
Ta có I 28 =
∫
3e
x
x
∫
dx = 3.2 e
x
dx
= 6 e xd
2 x
∫
( x ) = 6e
x
+ C I 28 = 6e
→
x
+ C.
dx
cos 2 x = d ( tan x ) = d ( tan x ± k )
b) Sử dụng các công thức
eu du = eu + C
∫
tan x + 2
e
dx
dx
Ta có I 29 = ∫
= ∫ e tan x + 2
= e tan x + 2 d ( tan x + 2 ) = e tan x + 2 + C I 29 = e tan x + 2 + C.
→
2
cos x
cos 2 x ∫
1
1
2
2
x dx = 2 d ( x ) = − 2 d (1 − x )
c) Sử dụng các cơng thức
eu du = eu + C
∫
2
2
2
2
2
1
1
1
Ta có I 30 = ∫ x.e1− x dx = ∫ e1− x x dx = − ∫ e1− x d (1 − x 2 ) = − e1− x + C I 30 = − e1− x + C .
→
2
2
2
sin x dx = −d ( cos x )
d) Sử dụng các công thức u
u
∫ e du = e + C
Ta có I 31 = ∫ ecos x sin x dx = − ∫ ecos x d ( cos x ) = −ecos x + C I 31 = −ecos x + C .
→
dx
= d ( ln x ) = d ( ln x ± k )
e) Sử dụng các công thức x
eu du = eu + C
∫
2 ln x + 3
e
dx
1
1
dx = ∫ e 2 ln x + 3
= ∫ e 2 ln x + 3 d ( ln x ) = ∫ e 2 ln x + 3 d ( 2ln x + 3) = e 2 ln x + 3 + C.
Ta có I 32 = ∫
x
x
2
2
Học trực tuyến tại: www.moon.vn
5
Mobile: 0985.074.831
Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng
Simpo PDF 3Merge and3 Split Unregistered Version -
e2 ln x +
1 2 ln x +
Vậy I 32 = ∫
dx = e
2
x
+ C.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
x
1) I1 =
dx
1 + x2
∫
4) I 4 =
∫
cos x sin xdx
x
dx
x +5
ln 3 x
I10 = ∫
dx
x
sin x
I13 = ∫
dx
cos5 x
e tan x
I16 = ∫
dx
cos 2 x
dx
I19 = ∫
(3 − 2 x)5
7) I 7 = ∫
10)
13)
16)
2
∫
∫
2) I 2 = x(1 + x 2 )10 dx
3) I 3 =
sin x
dx
3
x
dx
4) I 8 = ∫
2x −1
6) I 6 =
5) I 5 =
∫ cos
cos x
dx
x
∫
3
sin x cos xdx
3) I 9 = ∫ 5 − 2 xdx
11) I11 = ∫ x.e x +1dx
12) I12 = ∫ sin 4 x cos xdx
14) I14 = ∫ cot x dx
15) I15 = ∫
2
17) I17 = ∫
e
x
18) I18 = ∫ x x 2 + 1 dx
dx
x
tan x
dx
cos 2 x
x 2 dx
20) I 20 = ∫ x 2 x3 + 5 dx
21) I 21 = ∫
22) I 22 = ∫ x 1 − x 2 dx
23) I 23 = ∫ cos x 1 + 4sin x dx
24) I 24 = ∫ x x 2 + 1 dx
25) I 25 = ∫ ecos x sin x dx
26) I 26 = ∫ x.e x
19)
∫
28) I 28 = x.e1− x dx
2
Học trực tuyến tại: www.moon.vn
29) I 29 =
∫ (e
2
+2
sinx
sin x dx
1 + 3cos x
e2 ln x +1
30) I 30 = ∫
dx
x
27) I 27 = ∫
dx
)
+ cos x cos x dx
6
x3 + 1
Mobile: 0985.074.831
Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
Tài liệu bài giảng:
02. PP VI PHÂN TÌM NGUYÊN HÀM
Thầy Đặng Việt Hùng
1. Vi phân nhóm hàm đa thức, hàm căn
• I1 = ∫ x3 (4 − 5 x 4 )dx = ....................................................................................................................................
• I 2 = ∫ 2 x 2 3 1 + 3 x3 )dx = .................................................................................................................................
xdx
• I3 = ∫
• I4 = ∫
4
3 − 2 x2
= ...........................................................................................................................................
x5
dx = ..........................................................................................................................................
1 − 5 x6
3x3
• I5 = ∫
• I6 = ∫
2 + 3x 4
dx = ......................................................................................................................................
xdx
( 2 − 3x )
2 2
= .........................................................................................................................................
• I 7 = ∫ x cos(3 − 4 x 2 )dx = ................................................................................................................................
• I 8 = ∫ x 3 sin(1 + 5 x 4 )dx = ...............................................................................................................................
• I 9 = ∫ xe −4 x
2
+5
dx = ..........................................................................................................................................
4
x
• I10 = ∫
e dx
= ................................................................................................................................................
x2
• I11 = ∫
e3 x dx
= ..............................................................................................................................................
2 x
• I12 = ∫
dx
= ...........................................................................................................................................
x+3 x
2. Vi phân nhóm hàm lượng giác
• I1 = ∫ sin x.cos3 xdx = ...................................................................................................................................
• I 2 = ∫ cos x.sin 5 xdx = ...................................................................................................................................
• I 3 = ∫ sin x. 3cos x + 2dx = .........................................................................................................................
• I 4 = ∫ cos x. 4 5 − 2 sin xdx = ..........................................................................................................................
• I5 = ∫
sin xdx
= ......................................................................................................................................
2 + 5cos x
Học trực tuyến tại: www.moon.vn
1
Mobile: 0985.074.831
Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng
Simpo sin xdx
PDF Merge and Split Unregistered Version -
• I6 = ∫
= ......................................................................................................................................
1 − 3cos x
cos xdx
• I7 = ∫
(1 − 2 sin x )
= .....................................................................................................................................
2
• I8 = ∫
sin 2 xdx
= ......................................................................................................................................
7 − 2 cos 2 x
• I9 = ∫
sin 3 xdx
= .....................................................................................................................................
1 + 2 cos 3 x
• I10 = ∫
tan xdx
= ...........................................................................................................................................
3cos 2 x
• I11 = ∫
tan xdx
= ............................................................................................................................................
cos 4 x
• I12 = ∫ sin x.e3cos x − 2 dx = .................................................................................................................................
• I13 = ∫ cos 2 x.e 2 −5sin 2 x dx = .............................................................................................................................
• I14 = ∫
e2cot x −1
dx = ........................................................................................................................................
sin 2 x
• I15 = ∫
dx
= ...........................................................................................................................
sin x 4 cot x − 3
2
3. Vi phân nhóm hàm mũ, loga
• I1 = ∫
• I2 = ∫
• I3 = ∫
ex
dx = .........................................................................................................................................
2e x − 1
e3 x
1 − 5e3 x
dx = .....................................................................................................................................
e −2 x
(1 − 3e−2 x )
2
dx = ..................................................................................................................................
ln 3 x
• I4 = ∫
dx = ...........................................................................................................................................
x
• I5 = ∫
• I6 = ∫
• I7 = ∫
dx
= .....................................................................................................................................
x 1 − 5 ln x
dx
x ( 2 + 3ln x )
2
ln xdx
x 1 − 4 ln 2 x
= ..................................................................................................................................
= ...................................................................................................................................
Học trực tuyến tại: www.moon.vn
2
Mobile: 0985.074.831
Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
Tài liệu bài giảng:
03. PP ĐỔI BIẾN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM – P1
Thầy Đặng Việt Hùng
Dạng 1. Đổi biến số cho các hàm vô tỉ
Phương pháp giải:
Nếu hàm f(x) có chứa
n
g ( x) thì đặt t = n g ( x) ⇔ t n = g ( x) n.t n −1 = g '( x)dx
→
Khi đó, I = ∫ f ( x)dx = ∫ h(t )dt , việc tính nguyên hàm ∫ h(t )dt đơn giản hơn so với việc tính ∫ f ( x)dx.
MỘT SỐ VÍ DỤ MẪU:
Ví dụ 1. Tìm ngun hàm của các hàm số sau:
xdx
a) I1 =
b) I 2 = x3 x 2 + 2 dx
4x + 1
Hướng dẫn giải:
∫
∫
2tdt = 4dx
2
a) Đặt t = 4 x + 1 ⇔ t = 4 x + 1
→
→
t 2 − 1 I1 =
x =
4
3
3
1t
1 (4 x + 1)
= −t+C =
− 4 x + 1 + C.
8 3
8
3
∫
∫
c) I 3 =
x 2 dx
1− x
t 2 − 1 tdt
.
xdx
4
2 = 1 (t 2 − 1)dt
=
t
8
4x + 1
∫
∫
b) Đặt t = x 2 + 2 ⇔ t 2 = x 2 + 2 x 2 = t 2 − 2 ⇔ 2 xdx = 2tdt x3 dx = x 2 .xdx = (t 2 − 2).tdt
→
→
(
)
(
5
)
3
x2 + 2
2 x2 + 2
t5
t3
Khi đó I 2 =
x + 2 .x dx = t. t − 2 tdt = t − 2t dt = − 2. + C =
−
+C
5
3
5
3
2
dx = −2tdt
1 − t 2 .tdt
x 2 dx
2
2
c) Đặt t = 1 − x ⇔ t = 1 − x ⇔ x = 1 − t 2
→
→
= −2
2 I 3 =
2
t
1− x
x = 1 − t
(1 − x)5 2 (1 − x)3
2
t 5 2t 3
= −2 1 − t 2 dt = −2 t 4 − 2t 2 + 1 dt = −2 −
+ t + C = −2
−
+ 1− x + C
3
5
3
5
∫
2
3
∫ (
2
)
∫(
4
2
)
(
∫(
)
Khi đó I 2 =
∫
∫(
3
)
∫
(
)
)
∫ (
)
x + 2 .x dx = t. t − 2 tdt =
2
∫
2
∫ (t
4
− 2t
2
)
(x
t5
t3
dt = − 2. + C =
5
3
2
)
5
−
5
Ví dụ 2. Tìm ngun hàm của các hàm số sau:
ln x dx
ln 2 x dx
a) I 4 =
b) I 5 =
x 1 + ln x
x 3 2 − ln x
∫
∫
+2
c) I 6 =
∫
2
(x
2
+2
3
)
3
+ C.
ln x 3 + 2ln x dx
x
Hướng dẫn giải:
(
)
ln x = t − 1
t 2 − 1 .2tdt
ln x dx
→
I 4 =
→
=
a) Đặt t = 1 + ln x ⇔ t = 1 + ln x dx
t
1 + ln x x
= 2tdt
x
(1 + ln x)3
t3
2 (1 + ln x)3
= 2 ∫ ( t 2 − 1) dt = 2 − t + C = 2
− 1 + ln x + C I 4 =
→
− 2 1 + ln x + C .
3
3
3
2
∫
2
ln x = 2 − t 3
→
I 5 =
→
b) Đặt t = 2 − ln x ⇔ t = 2 − ln x dx
2
= 3t dt
x
3
3
Học trực tuyến tại: www.moon.vn
1
∫
∫
(2 − t 3 ) 2 .3t 2 dt
dx
=
3
t
2 − ln x x
ln 2 x
.
∫
Mobile: 0985.074.831
Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng
3
Simpo PDF Merge t 8 4Split Unregistered Version -4
3 (2 − ln x)8
and t 5
(2 − ln x)5
= 3∫ ( t 7 − 4t 4 + 4t ) dt = 3 −
+ 2t 2 + C = 3
−
+ 2 3 (2 − ln x)2 + C
5
8
5
8
t2 − 3
ln x =
2
→
c) Đặt t = 3 + 2ln x ⇔ t 2 = 3 + 2ln x
2dx
= 2tdt
x
Từ đó ta có I 6 =
∫
t2 − 3
ln x 3 + 2ln x dx
dx
1
= ln x 3 + 2ln x .
=
.t.tdt =
x
x
2
2
∫
1 t5
t5 t3
= − t3 + C = − + C =
2 5
10 2
∫
( 3 + 2 ln x )5
10
( 3 + 2ln x )3
−
2
Ví dụ 3. Tìm ngun hàm của các hàm số sau:
dx
e 2 x dx
a) I 7 =
b) I8 =
ex −1
ex + 1
∫
∫
(
)
∫x
4
)
− 3t 2 dt
( 3 + 2ln x )5
+ C I 6 =
→
c) I 9 =
3
∫ (t
10
( 3 + 2ln x )3
−
2
dx
d) I10 =
x +4
2
+ C.
∫x
dx
x4 + 1
Hướng dẫn giải:
e x = t 2 − 1
e x = t 2 − 1
x
2
x
→
←
→
a) Đặt t = e − 1 ⇔ t = e − 1 x
2tdt
e dx = 2tdt
dx = 2
t −1
dx
2tdt
2dt
2dt
(t + 1) − (t − 1)
dt
dt
Khi đó I 7 =
=
= 2
=
=
dt =
−
2
x
(t − 1)(t + 1)
(t − 1)(t + 1)
t −1
t +1
t.(t − 1)
t −1
e −1
∫
∫
∫
= ln t − 1 − ln t + 1 + C = ln
∫
t −1
+ C = ln
t +1
ex −1 −1
ex − 1 + 1
∫
=
∫
(t
2
)
− 1 .2tdt
t3
=2
∫
ex −1 − 1
+ C I 7 = ln
→
e x = t 2 − 1
b) Đặt t = e + 1 ⇔ t = e + 1 x
→
I8 =
→
e dx = 2tdt
2
x
∫
x
∫
ex −1 + 1
e 2 x dx
(e
x
)
+1
3
=
∫
∫
+ C.
e x .e x dx
(e
x
)
+1
3
=
∫
(t
2
)
− 1 .2tdt
t
3
t2 −1
dt
1
1
dt = 2 dt − 2 = 2 t + + C = 2 e x + 1 +
+ C.
t2
t
t
ex + 1
∫
∫
x2 = t 2 − 4
x2 = t 2 − 4
→
← dx xdx
→
c) Đặt t = x 2 + 4 ⇔ t 2 = x 2 + 4
tdt
2 xdx = 2tdt
= 2 = 2
x
t −4
x
dx
1
dx
1 tdt
dt
1 (t + 2) − (t − 2)
1 dt
dt
Khi đó, I 9 =
=
= . 2
= 2
=
dt =
−
t t −4
4 t −2
t +2
t − 4 4 (t + 2)(t − 2)
x x2 + 4
x2 + 4 x
∫
=
∫
∫
1
−
( ln t − 2 − ln t + 2 ) + C = 1 ln tt + 2 + C = 1 ln
4
4
2
4
∫
∫
x2 + 4 − 2
x2 + 4 + 2
∫
+ C I 9 =
→
1
ln
4
x2 + 4 − 2
x2 + 4 + 2
∫
+ C.
x4 = t 2 − 1
x4 = t 2 − 1
d) Đặt t = x 4 + 1 ⇔ t 2 = x 4 + 1 3
→
← dx x3 dx
→
tdt
4 x dx = 2tdt
= 4 =
x
2(t 2 − 1)
x
dx
1
dx
1 tdt
1 dt
1 (t + 1) − (t − 1)
Khi đó, I10 =
=
. = . 2
=
=
dt
2
t 2(t − 1) 2 t − 1 4 (t + 1)(t − 1)
x x4 + 1
x4 + 1 x
∫
∫
∫
∫
1 dt
dt 1
1 t −1
1
=
−
+ C = ln
= ( ln t − 1 − ln t + 1 ) + C = ln
4 t −1
t +1 4
4 t +1
4
∫
∫
∫
x4 + 1 − 1
x4 + 1 + 1
+ C.
Ví dụ 4. Tìm ngun hàm của các hàm số sau:
Học trực tuyến tại: www.moon.vn
2
Mobile: 0985.074.831
Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
dx
x dx
a) I11 =
∫1+
c) I13 = ∫
b) I12 =
2 − 5x
x 3 dx
d) I14 =
4 + x2
3
∫1−
2 + x2
1 + 4ln 2 x ln x
dx
x
∫
Hướng dẫn giải:
2tdt
5
dx
2 t dt
2 1+ t −1
2
1
2
Khi đó, I11 =
=−
=−
dt = − 1 −
dt = − ( t − ln t + 1 ) + C
5 1+ t
5 1+ t
5 1+ t
5
1 + 2 − 5x
2
I11 = −
→
2 − 5 x − ln 2 − 5 x + 1 + C .
5
a) Đặt t = 2 − 5 x ⇔ t 2 = 2 − 5 x ⇔ 2tdt = −5dx dx = −
→
∫
∫
∫
(
∫
)
b) Đặt t = 2 + x 2 ⇔ t 2 = 2 + x 2 ⇔ 2tdt = 2 xdx xdx = tdt
→
x dx
t dt
1 − (1 − t )
d (1 − t )
1
Khi đó, I12 =
=
=
dt =
− 1 dt = −
− dt = − ln 1 − t − t + C
2
1− t
1− t
1− t
1− t
1− 2 + x
∫
∫
∫
∫
∫
∫
I12 = − ln 1 − 2 + x 2 − 2 + x 2 + C .
→
x2 = t3 − 4
x2 = t 3 − 4
3 3
2
c) Đặt t = 3 4 + x 2 ⇔ t 3 = 4 + x 2 2
→
←
→
→ 3
3t 2 dt x dx = 2 t − 4 t dt
3t dt = 2 xdx
xdx =
2
(
3
2
33 ( 4 + x
3 ( t − 4 ) t dt 3 4
3 t5
2
I13 = ∫
→
= ∫
= ∫ ( t − 4t ) dt = − 2t + C =
3
t
2
2 5
10
4 + x2 2
dx
ln x dx tdt
d) Đặt t = 1 + 4 ln 2 x ⇔ t 2 = 1 + 4ln 2 x ← 2tdt = 4.2ln x.
→
→
=
x
x
4
x 3 dx
I14 =
→
∫
ln x dx
tdt 1 2
t3
1 + 4ln 2 x
= t.
=
t dt = + C =
x
4 4
12
∫
∫
(1 + 4 ln x )
)
)
2 5
−
33 ( 4 + x2 )
4
2
+ C.
3
2
12
+ C.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
4 − 3x
dx
x +1
1) I1 = ∫
x +1
dx
x
xdx
5) I 7 = ∫
1 + 2x −1
3) I 3 = ∫
7) I 7 = ∫ x 3 x + 4 dx
9) I 9 = ∫
x 3 dx
3
11) I11 = ∫
13) I13 = ∫
1+ x
dx
2
x3 x 2 + 4
e 2 x dx
1+ e −1
x
Học trực tuyến tại: www.moon.vn
xdx
2x + 1
2) I 2 = ∫
4) I 4 =
∫1+
dx
1 + 3x
6) I 6 = ∫ x 3 1 − x 2 dx
8) I 8 = ∫ x 2 3 − 2 x dx
10) I10 = ∫
dx
x x3 + 1
1 + 3ln x ln x
12) I12 =
dx
x
∫
14) I14 = ∫
3
(
dx
x 1+ x
)
2
Mobile: 0985.074.831
Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
Tài liệu bài giảng:
03. PP ĐỔI BIẾN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM – P2
Thầy Đặng Việt Hùng
Dạng 2. PP lượng giác hóa
Nếu hàm f(x) có chứa
dx = d (a sin t ) = a cos t dt
a 2 − x 2 thì đặt x = a sin t 2
→
2
2
2
2
a − x = a − a sin t = a cos t
Nếu hàm f(x) có chứa
adt
dx = d (a tan t ) = cos 2 t
a 2 + x 2 thì đặt x = a tan t
→
a 2 + x 2 = a 2 + a 2 tan 2 t = a
cos t
MỘT SỐ VÍ DỤ MẪU:
Ví dụ 1. Tìm ngun hàm của các hàm số sau:
dx
a) I1 =
; ( a = 2)
4 − x2
∫
c) I 3 =
∫
x 2 dx
1− x
2
; ( a = 1)
b) I 2 =
∫
1 − x 2 dx ; ( a = 1)
d) I 4 = x 2 9 − x 2 dx ; ( a = 3)
∫
Hướng dẫn giải:
dx = d (2sin t ) = 2cos t dt
dx
2cos t dt
a) Đặt x = 2sin t
→
I1 = ∫
→
=∫
= ∫ dt = t + C
2
2
2
2cos t
4− x
4 − x = 4 − 4sin t = 2cos t
x
x
→
Từ phép đặt x = 2sin t ⇔ t = arcsin I1 = arcsin + C
2
2
dx = d (sin t ) = cos t dt
b) Đặt x = sin t
→
2
2
1 − x = 1 − sin t = cos t
Khi đó I 2 =
∫
∫
1 − x 2 dx = cos t.cos t dt =
∫
1 + cos 2t
1
1
t 1
cos 2t dt = + sin 2t + C
dt =
dt +
2
2
2
2 4
∫
∫
cos t = 1 − sin 2 t = 1 − x 2
Từ x = sin t ⇒
sin 2t = 2sin t.cos t = 2 x 1 − x 2
→
t = arcsin x
arcsin x 1
I 2 =
→
+ x 1 − x2 + C
2
2
dx = d (sin t ) = cos t dt
c) Đặt x = sin t
→
2
2
1 − x = 1 − sin t = cos t
x 2 dx
sin 2 t.cos t dt
1 − cos2t
1 1
Khi đó, I 3 = ∫
=∫
= ∫ sin 2 t dt = ∫
dt = t − sin 2t + C
cos t
2
2 4
1 − x2
cos t = 1 − sin 2 t = 1 − x 2
Từ x = sin t ⇒
sin 2t = 2sin t.cos t = 2 x 1 − x 2
→
t = arcsin x
arcsin x 1
I 3 =
→
− x 1 − x2 + C
2
2
dx = d (3sin t ) = 3cos t dt
d) Đặt x = 3sin t
→
2
2
9 − x = 9 − 9sin t = 3cos t
81
81 1 − cos4t
sin 2 2t dt =
dt
Khi đó, I 4 = x 2 9 − x 2 dx = 9sin 2 t.3cos t.3cos t dt = 81 sin 2 t.cos 2 t dt =
4
4
2
∫
∫
Học trực tuyến tại: www.moon.vn
∫
∫
1
∫
Mobile: 0985.074.831
Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng
Simpo 1
81 1 PDF Merge and Split 1
81 t Unregistered Version -
2 dt − 2 cos4t dt = 4 2 − 8 sin 4t + C
4
x2
2
cos t = 1 − sin t = 1 −
x2
2x
9
Từ x = 3sin t ⇒
sin 2t =
→
1−
3
9
t = arcsin x
3
=
∫
∫
2
2x2
2x
x2 2x2
x
Mặt khác, cos2t = 1 − 2sin 2 t = 1 − 2 = 1 −
sin 4t = 2sin 2t.cos2t = 2.
→
1 − .1 −
9
3
9
9
3
x
2
2
arcsin 3 x
81
x 2x
−
1 − .1 −
Từ đó ta được I 4 =
+ C.
4
2
6
9
9
Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
dx
a) I1 = 2
; ( a = 1)
b) I 2 =
x 2 + 2 x + 5 dx
x +1
∫
∫
c) I 3 =
∫
x 2 dx
x2 + 4
; ( a = 2)
Hướng dẫn giải:
dt
= (1 + tan 2 t )dt
(1 + tan 2 t )dt
dx = d (tan t ) =
→
I1 = ∫
→
= ∫ dt = t + C
cos 2 t
a) Đặt x = tan t
1 + tan 2 t
1 + x 2 = 1 + tan 2 t
Từ giả thiết đặt x = tan t ⇔ t = arctan x I1 = arctan x + C.
→
b) Ta có I 2 =
∫
x 2 + 2 x + 5 dx =
∫
t = x +1
( x + 1) 2 + 4 d ( x + 1) I =
→
∫
t 2 + 4 dt
2du
dt = d (2 tan u ) = cos 2 u
2du
du
cos u du
→
I 2 = ∫
→
=∫
=
Đặt t = 2 tan u
2
2
cos u ∫ cos 2 u
4 + t 2 = 4 + 4 tan 2 u =
.cos 2 u
cos u
cos u
=∫
d (sin u ) 1 (1 + sin u ) + (1 − sin u )
1 d (sin u ) 1 d (sin u ) 1 1 + sin u
= ∫
d (sin u ) = ∫
+
= ln
+ C.
2
1 − sin u 2 (1 + sin u )(1 − sin u )
2 1 − sin u 2 ∫ 1 + sin u 2 1 − sin u
t
1
t2
4
t2
→
= 1 + sin 2 u = 1 − cos 2u = 1 −
→
=
2
cos 2 u
4
4 + t2 4 + t2
t
x +1
1+
1+
2
2
1 1 + sin u
1
4 + t + C = 1 ln
x + 2 x + 5 + C.
Từ đó ta được I 2 = ln
+ C = ln
t
x +1
2 1 − sin u
2 1−
2 1−
2
2
4+t
x + 2x + 5
2dt
2
dx = d (2 tan t ) = cos 2 t = 2(1 + tan t ) dt
→
c) Đặt x = 2 tan t
x 2 + 4 = 4 tan 2 t + 4
2
4 tan t.2(1 + tan 2 t ) dt
sin 2 t
sin 2 t.cos t dt
sin 2 t. d (sin t )
I 3 = ∫
→
= 4 ∫ tan 2 t 1 + tan 2 t dt = 4 ∫
dt = 4 ∫
= 4∫
2
cos3 t
cos 4 t
2 1 + tan 2 t
(1 − sin 2 t )
Từ phép đặt t = 2 tan u ⇔ tan u =
2
1 (1 + u ) − (1 − u )
u
Đặt u = sin t I 3 = 4∫
→
du = 4 ∫
du = 4 ∫
du
2
2
1− u
2 (1 + u )(1 − u )
(1 − u 2 )
u2
2
1
du
du
2du
d (1 − u )
d (1 + u )
(1 − u ) + (1 + u )du
1
= ∫
−
+∫
−∫
= −∫
+∫
−∫
du = ∫
2
2
2
2
(1 − u )
(1 + u )
(1 − u )(1 + u )
(1 − u )
(1 + u )
(1 − u )(1 + u )
1− u 1+ u
1
1
1
1
1
du
du
1
1
1
−
−
−
+
−
−
−
=−
−
− ln 1 + u + ln u − 1 + C
du = −
1− u 1+ u ∫1+ u 1− u
1− u 1+ u ∫1+ u ∫1− u
1− u 1+ u
2
Học trực tuyến tại: www.moon.vn
2
Mobile: 0985.074.831
Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng
=
Simpo 1
PDF Merge and Split Unregistered Version - 1
1
u −1
1
1
u −1
1
1
sin t −
−
+ ln
+ C I 3 =
→
−
+ ln
+C =
−
+ ln
+ C.
u −1 1+ u
u +1
u −1 u +1
u +1
sin t − 1 sin t + 1
sin t + 1
x
1
x2
4
x2
Từ giả thiết x = 2 tan t ⇔ tan t =
→
= 1 + tan 2 t = 1 +
⇔ cos 2t =
sin 2 t =
→
2
cos 2t
4
4 + x2
4 + x2
x
−1
x
1
1
4 + x2
⇔ sin t =
I 3 =
→
−
+ ln
+ C.
x
x
x
4 + x2
−1
+1
+1
4 + x2
4 + x2
4 + x2
Ví dụ 3. Tìm ngun hàm của các hàm số sau:
dx
dx
dx
a) I1 =
b) I 2 =
c) I 3 =
x2 − 1
x2 x2 − 4
x2 − 2x − 2
Hướng dẫn giải:
1 − cos t dt
− cos t dt
dx = d sin t = sin 2t
1
− cos t dt
dx
dx = sin 2 t
→
←
→
I1 = ∫
→
=∫ 2
a) Đặt x =
2
sin t
sin t.cot t
1
x −1
x2 − 1 =
x 2 − 1 = cot t
−1
2
sin t
∫
= −∫
∫
∫
d (cos t )
d (cos t )
sin t dt
1 (1 − cos t ) + (1 + cos t )
1 1 + cos t
=∫
=∫
= ∫
d (cos t ) = ln
+ C.
2
2
sin t
1 − cos t
(1 − cos t )(1 + cos t ) 2 (1 − cos t )(1 + cos t )
2 1 − cos t
Từ phép đặt x =
1
1
cos 2 t = 1 − sin 2 t = 1 − 2 ⇔ cos t =
→
sin t
x
x2 − 1
x −1
1
x
I1 = ln
→
+ C.
2
x
2
x −1
1−
x
1+
2
2 −2cos t dt
−2 cos t dt
dx = d sin t = sin 2 t
dx = sin 2 t
2
→
←
→
b) Đặt x =
sin t
4
x2 − 4 =
x 2 − 4 = 2cot t ⇒ x 2 x 2 − 4 = 8cot t
−4
2
sin 2 t
sin t
dx
−2cos t dt
1
1
Khi đó, I 2 =
=
= − sin t dt = cos t + C.
2
2
8cot t
4
4
x x −4
sin 2 t. 2
sin t
∫
∫
∫
2
4
cos 2t = 1 − sin 2 t = 1 − 2 ⇔ cos t =
→
sin t
x
dx
d ( x − 1)
t = x −1
c) I 3 =
=
I 3 =
→
2
2
x − 2x − 2
( x − 1) − 3
Từ x =
∫
∫
∫
x2 − 4
x2 − 4
I 2 =
→
+ C.
x
4x
dt
dt
=
2
2
t −3
t2 − 3
∫
( )
3 − 3 cos u du
dt = d
− 3 cos u du
sin u =
sin 2u
3
dt =
→
←
→
sin 2 u
Đặt t =
sin u
2
2
3
−3
t − 3 = 3 cot u
t −3 =
2
sin u
I 3 = ∫
→
=
1
2∫
dt
=∫
− 3 cos u du
= −∫
sin u du
d (cos u )
d (cos u )
=∫
=∫
2
2
sin u
1 − cos u
(1 − cos u )(1 + cos u )
sin u. 3 cot u
t −3
(1 − cos u ) + (1 + cos u )
1 1 + cos u
d (cos u ) = ln
+ C.
(1 − cos u )(1 + cos u )
2 1 − cos u
2
2
t2 − 3
x2 − 2x − 2
1+
t −3
3
3
1
1
t
x −1
⇒ cos 2u = 1 − 2 ⇔ cos t =
I 3 = ln
→
+ C = ln
+ C.
Từ t =
2
2
sin u
t
t
2
2
t −3
x − 2x − 2
1−
1−
t
x −1
Chú ý: Tổng hợp các kết quả ta thu một số kết quả quan trọng sau:
1+
2
Học trực tuyến tại: www.moon.vn
3
Mobile: 0985.074.831
Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
dx
1
x
∫x
= arc tan + C.
+ a2 a
a
dx
1
x+a
∫ x 2 − a 2 = 2a ln x − a + C.
dx
1
x−a
∫ a 2 − x 2 = 2a ln x + a + C.
dx
2
∫ x 2 ± a = ln x + x ± a + C.
2
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
1) I1 = ∫
4) I 4 =
∫
x 2 dx
x2 + 4
1
3x − 2 x
2
2) I 2 = ∫
dx
Học trực tuyến tại: www.moon.vn
5) I 5 =
∫
1 − x2
dx
x2
3) I 3 = ∫
2 x 2 + 1 dx
6) I 6 =
4
∫
x 2 dx
4 − x2
dx
2 x2 − 5
Mobile: 0985.074.831
Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
Tài liệu bài giảng:
04. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỶ - P1
Thầy Đặng Việt Hùng
Xét nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ I = ∫
P ( x)
dx
Q( x)
Nguyên tắc giải:
Khi bậc của tử số P(x) lớn hơn Q(x) thì ta phải chia đa thức để quy về nguyên hàm có bậc của tử số nhỏ hơn mẫu số.
I. MẪU SỐ LÀ BẬC NHẤT
Khi đó Q(x) = ax + b.
Nếu bậc của P(x) lớn hơn thì ta chia đa thức.
Khi P(x) là hằng số (bậc bằng 0) thì ta có I = ∫
P ( x)
k
k d (ax + b) k
dx = ∫
dx = ∫
= ln ax + b + C.
Q( x)
ax + b
a
ax + b
a
Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
4
x +1
a) I1 =
dx
b) I 2 =
dx
2x − 1
x −1
∫
∫
c) I 3 =
∫
2x + 1
dx
3 − 4x
d) I 4 = ∫
x2 + x + 4
x+3
Hướng dẫn giải:
4 d (2 x − 1)
= 2ln 2 x − 1 + C.
2x − 1
x +1
x −1+ 2
2
dx
b) I 2 =
dx =
dx = 1 +
= x + 2ln x − 1 + C.
dx = dx + 2
x −1
x −1
x −1
x −1
1
5
− (3 − 4x ) +
2x + 1
5
1
5
dx
1
5 d (3 − 4x )
2
2 dx = − 1 +
c) I 3 =
dx =
dx = − x +
=− x−
2 2 (3 − 4x )
3 − 4x
3 − 4x
2
2 3 − 4x
2
8
3 − 4x
a) Ta có I1 =
∫
∫
4
∫ 2 x − 1 dx = 2 ∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
1
5
1
5
= − x − ln 3 − 4 x + C I 3 = − x − ln 3 − 4 x + C.
→
2
8
2
8
d ( x + 3) x 2
x2 + x + 4
10
d) I 4 = ∫
= ∫ x − 2 +
dx = ∫ ( x − 2 ) dx + 10 ∫
=
− 2 x + 10ln x + 3 + C.
x+3
x +3
x+3
2
Ví dụ 2. Tìm ngun hàm của các hàm số sau:
x3 − x + 7
3 x3 + 3 x 2 + x + 2
4 x 4 + 3x 2 + x + 2
a) I 5 = ∫
b) I 6 = ∫
c) I 7 = ∫
dx
dx
dx
2x + 5
x −1
2x + 1
Hướng dẫn giải:
49
x3 − x + 7 1 2 5
21
= x − x+ − 8
a) Chia tử số cho mẫu số ta được
2x + 5
2
4
8 2x + 5
49
1
x3 − x + 7
5
21
5
21
49
dx
1
Khi đó I 5 = ∫
dx = ∫ x 2 − x + − 8 dx = ∫ x 2 − x + dx − ∫
2x + 5
4
8 2x + 5
4
8
8 2x + 5
2
2
3
2
3
2
1 x 5 x
21
49 d ( 2 x + 5 ) x 5 x
21x 49
= . − . + x− ∫
= −
+
− ln 2 x + 5 + C.
2 3 4 2
8
16
2x + 5
6
8
8
16
3 x3 + 3 x 2 + x + 2
9
2
3
2
b) Ta có I 6 = ∫
dx = ∫ 3 x + 6 x + 7 +
dx = x + 3x + 7 x + 9ln x − 1 + C.
x −1
x −1
5
4 x 4 + 3x 2 + x + 2
1
3
2
c) Chia tử số cho mẫu số ta được
= 2x − x + 2x − + 2
2x +1
2 2x + 1
Học trực tuyến tại: www.moon.vn
1
Mobile: 0985.074.831
