Lý thuyết Toán Kinh Tế Cơ Sở 1

Cơ sở Toán 1

Chương 2: Ma trận - Định thức

Bộ mơn Tốn, Khoa CNTT, Học viện Nơng nghiệp Việt Nam

Cơ sở Toán 1 - Chương 2

VNUA

1 / 22


Mục lục

1

Ma trận

2

Định thức

3

Ma trận nghịch đảo

Cơ sở Toán 1 - Chương 2

VNUA

2 / 22


Ma trận

Mục lục

1

Ma trận

2

Định thức

3

Ma trận nghịch đảo

Cơ sở Toán 1 - Chương 2

VNUA

3 / 22


Ma trận

1. Ma trận
Định nghĩa

Cho m, n ∈ N. Một bảng gồm m.n số thực được xếp thành m hàng, n cột
đượcgọi là một ma trận thực (ma
 trận) cấp(cỡ) m × n. Ký hiệu:

a11 . . . a1j . . . a1n
a11 . . . a1j . . . a1n
... ... ... ... ...
... ... ... ... ...







A=
 ai1 . . . aij . . . ain  hoặc A =  ai1 . . . aij . . . ain 
... ... ... ... ...
... ... ... ... ...
am1 . . . amj . . . amn
am1 . . . amj . . . amn
Ký hiệu tắt A = [aij ]m×n hoặc A = (aij )m×n
Ký hiệu ma trận bởi các chữ in A, B, C , . . .
aij : ký hiệu của phần tử nằm ở hàng i, cột j của ma trận A.

Cơ sở Toán 1 - Chương 2

VNUA

4 / 22

Ma trận



ai1 . . . aij . . . ain : ma trận hàng thứ i (hàng thứ i, vectơ hàng thứ i),
 
a1j
 .. 
 . 
 
 aij : ma trận cột thứ j (cột thứ j, vectơ cột thứ j).
 
 .. 
 . 
amj

Ma trận chuyển vị
Ma trận A = [aij ]m×n . Ma trận chuyển vị của A là



a11
a11 . . . a1j . . . a1n
 ..
... ... ... ... ...
 .




t


A =  ai1 . . . aij . . . ain  −→ A = 
 a1j
 ..
... ... ... ... ...
 .
am1 . . . amj . . . amn
a

1n

Cơ sở Tốn 1 - Chương 2

At = [aji ]n×m ,

. . . ai1 . . . am1
..
..
..
.. 
.
.
.
. 

. . . aij . . . amj 


..
..
..
.. 
.
.
.
. 
. . . ain . . . amn
VNUA

5 / 22


Ma trận

2. Một số ma trận đặc biệt
Ma trận không
Ma trận cấp m × n có tất cả các phần tử bằng 0 được gọi là ma trận
không cấp m × n, ký hiệu Om×n hoặc O.

Ma trận vuông
Ma trận gồm n hàng, n cột được gọi là ma trận vng cấp n, ký hiệu An
thay cho An×n .
Với A = [aij ]n×n ,
a11 , a22 , . . . , ann : các phần tử chéo của ma trận A (nằm trên đường
chéo chính);
tr (A) = a11 + a22 + · · · + ann gọi là vết của ma trận A;
nếu aij = aji , ∀i, j thì A là ma trận đối xứng .
Cơ sở Toán 1 - Chương 2

VNUA

6 / 22


Ma trận

Ma trận chéo
Ma trận A = [aij ]n×n vng cấp n có aij = 0, ∀i 6= j được gọi là ma trận
chéo cấp n.

Ma trận đơn vị
Ma trận vng cấp n có các phần tử chéo bằng 1, tất cả các phần tử còn
lại bằng 0 được gọi là ma trận đơn vị cấp n, ký hiệu In hoặc đơn giản là I .

Ma trận tam giác
Ma trận tam giác trên: A = [aij ]n×n vng cấp n có aij = 0, ∀i > j.
Ma trận tam giác dưới: A = [aij ]n×n vng cấp n có aij = 0, ∀i < j.

Cơ sở Toán 1 - Chương 2

VNUA

7 / 22


Ma trận

Cho ma trận A = [aij ]m×n .

Nếu mọi phần tử ở hàng thứ k của A đều bằng 0 thì gọi hàng này là
hàng khơng hoặc hàng tầm thường.
Nếu hàng k của A không phải hàng tầm thường và phần tử khác
không đầu tiên của hàng k thuộc cột j của ma trận A thì nói hàng k
có bậc j.

Ma trận dạng bậc thang
Ma trận A = [aij ]m×n được gọi là ma trận dạng bậc thang nếu thỏa mãn:
Các hàng tầm thường (nếu có) nằm dưới các hàng khơng tầm thường;
Các hàng khơng tầm thường có bậc tăng thực sự kể từ trên xuống.

Cơ sở Toán 1 - Chương 2

VNUA

8 / 22


Ma trận

3. Các phép toán với ma trận
Phép cộng các ma trận cùng cấp
Cho A = [aij ]m×n và B = [bij ]m×n . Tổng của hai ma trận A và B là ma
trận C = A + B = [cij ]m×n với cij = aij + bij

Phép nhân một số thực với một ma trận
Cho α ∈ R và A = [aij ]m×n . Tích của số thực α với ma trận A là ma trận
cùng cấp với A, ký hiệu αA, có phần tử ở hàng i cột j là αaij .

Phép nhân ma trận hàng với ma trận cột

Cho A = [a1j ]1×n và B = [bj1 ]n×1 . Tích của ma trận hàng A và ma trận
cột B (theo thứ tự đó) là ma trận ký hiệu A.B (hoặc AB) có duy nhất
một phần tử là
n
P
c = a11 b11 + a12 b21 + · · · + a1n bn1 =
a1j bj1
j=1
Cơ sở Toán 1 - Chương 2

VNUA

9 / 22


Ma trận

Phép nhân hai ma trận
Cho A = [aij ]m×n và B = [bjk ]n×p (m, n, p ∈ N). Tích của ma trận A và
ma trận B (theo thứ tự đó) là ma trận ký hiệu A.B (hoặc AB) cấp m × p,
với phần tử ở hàng i cột k là
n
P
aij bjk
cik = ai1 b1k + ai2 b2k + · · · + ain bnk =
j=1

Chú ý
Chỉ có tích hai ma trận AB khi
số cột của ma trận A=số hàng của ma trận B

Khi A là ma trận cấp m × n, B là ma trận cấp n × p thì tích AB là
ma trận cấp m × p.
Tích của hai ma trận khơng có tính chất giao hốn.

Cơ sở Toán 1 - Chương 2

VNUA

10 / 22


Ma trận

Một số tính chất
1

A + (B + C ) = (A + B) + C , ∀ A, B, C là các ma trận cùng cấp.

2

A + B = B + A, ∀ A, B là hai ma trận cùng cấp

3

A + O = O + A = A, ∀A

4

α(A + B) = αA + αB, ∀ A, B cùng cấp và α ∈ R

5

(α + β)A = αA + βA, ∀ A, ∀ α, β ∈ R

6

0.A = O; 1.A = A, ∀ A

7

A(BC ) = (AB)C , ∀ A, B, C thỏa mãn điều kiện tồn tại tích ma trận.

8

A(B + C ) = AB + AC , ∀ A, B, C thỏa mãn điều kiện tồn tại tổng,
tích ma trận.

9

Om×n .An×p = Om×p ; Am×n .On×p = Om×p

10

Im .Am×n = Am×n = Am×n .In

Cơ sở Tốn 1 - Chương 2

VNUA

11 / 22

Định thức

Mục lục

1

Ma trận

2

Định thức

3

Ma trận nghịch đảo

Cơ sở Toán 1 - Chương 2

VNUA

12 / 22


Định thức

1. Định nghĩa
(Chú ý: Chỉ có định nghĩa định thức của ma trận vuông)

Định thức của ma trận vuông cấp một
Cho ma trận A vuông cấp một, A = [a].
Định thức của ma trận A ký hiệu là det A hoặc |A| là số a.

Định thức của ma trận vuông cấp hai


a
a
Cho ma trận A vuông cấp hai, A = 11 12
a21 a22








a11 a12


là số
Định thức của ma trận A ký hiệu det A hoặc |A| hoặc


a21 a22

a11 a22 − a12 a21 .

Cơ sở Toán 1 - Chương 2

VNUA

13 / 22


Định thức

Ma trận con của ma trận
Mt A vuông cấp n,A = [aij ]n×n . Xóa đi hàng
 i và cột j của A,
a11 . . . a1j . . . a1n
 .. . .
. ..
.. 
 .
. ..
.
. 



A=
 ai1 . . . aij . . . ain  −→
 .. . .
.. . .
.. 
 .
. .

.
. 
an1 . . . anj . . . ann


a11 . . . a1,j−1
a1,j+1 . . . a1n
 ..
..
..
.. 
..
..
 .
.
.
.
.
. 


ai−1,1 . . . ai−1,j−1 ai−1,j+1 . . . ai−1,n 


Mij = 

ai+1,1 . . . ai+1,j−1 ai+1,j+1 . . . ai+1,n 
 ..
.
.

.
..
..
..
..
.. 
 .

.
.
an1 . . . an,j−1
an,j+1 . . . ann
Mij (vuông cấp (n − 1)) được gọi là ma trận con của ma trận A ứng với
phần tử aij .
Cơ sở Toán 1 - Chương 2

VNUA

14 / 22


Định thức

Định nghĩa định thức cấp n
Cho ma trận A vng cấp n, A = [aij ]n×n .