Tích phân kép

Giải tích hàm nhiều biến

Chương 3: Tích phân kép


Nội dung
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

0.1 – Định nghĩa, cách tính tích phân kép
0.2 – Tọa độ cực
0.3 – Ứng dụng hình học
0.4 – Ứng dụng cơ học


I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cho vật thể (hình trụ cong) được giới hạn trên bởi mặt bậc hai f  f ( x, y )
giới hạn xung quanh bởi những đường thẳng song song oz, tựa trên biên D
giới hạn dưới bởi miền D (đóng, bị chặn).
Tìm thể tích vật thể.


I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cho vật thể được giới hạn trên bởi mặt bậc hai f ( x, y )
giới hạn dưới bởi miền D (đóng, bị chặn).
giới hạn xung quanh bởi những đường thẳng song song oz, tựa trên biên D
Tìm thể tích vật thể.
1) Chia D một cách tùy ý ra thành n miền không dẫm nhau: D1, D2, ..., Dn.
Có diện tích tương ứng là S D1 , S D2 ,..., S Dn .
2) Trên mỗi miền lấy tùy ý một điểm M i ( xi , yi )  S Di
n

3) Thể tích của vật thể: V   f ( M i ) S Di Vn
i 1

4)

V  lim Vn
n 


I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Định nghĩa tích phân kép
Cho f = f(x,y) xác định trên miền đóng và bị chặn D.
Tích phân kép của f trên miền D là giới hạn (nếu có)
 n

I f ( x, y )dxdy  lim   f ( M i ) S Di 
n   i 1

D

Nếu I tồn tại, ta nói f khả tích trên D.


I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Tính chất của tích phân kép

1) Hàm liên tục trên một miền đóng, bị chặn, có biên trơn tùng khúc thì
khả tích trên miền này.
2) S D 1dxdy
D

3)  f ( x, y )dxdy  f ( x, y) dxdy
D

D

4)  f ( x, y )  g ( x, y )  dxdy f ( x, y )dxdy  g ( x, y )dxdy
D

D

D

5) Nếu D được chia làm hai miền D1 và D2 không dẫm lên nhau:
 f ( x, y )dxdy  f ( x, y )dxdy   f ( x, y )dxdy
D

D1

D2

6) ( x, y )  D, f ( x, y ) g ( x, y )  fdxdy gdxdy
D

D


I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ
2
2
Cho vật thể được giới hạn trên bởi mặt bậc hai f ( x, y ) 16  x  2 y

giới hạn dưới bởi hình vng: R [0,2] [0,2]

giới hạn xung quanh bởi những đường thẳng song song oz, tựa trên biên
R.
Ước lượng thể tích của vật thể trong các trường hợp sau:
a) Chia R thành 4 phần bằng nhau;
b) Chia R thành 16 phần bằng nhau;
c) Chia R thành 64 phần bằng nhau;
d) Chia R thành 256 phần bằng nhau;
e) Tính thể tích của vật thể.


4

V Vn   f ( M i ) S Di
i 1

S Di 1,i 1,...,4.
V  f (1,1)  f (1, 2)  f (2,1)  f (2, 2)
V 13  7  10  4 34.


I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cách tính (Định lý Fubini)

Cho f liên tục trên miền đóng và bị chặn D.
y=y2(x)

y=y1(x)

a

b

1) Giả sử D xác định bởi:

a x b

 y1 ( x)  y  y2 ( x)

b

y2 ( x )

a

y1 ( x )

I f ( x, y )dxdy dx
D

 f ( x, y )dy


I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cách tính tích phân kép (Định lý Fubini)

x=x1(y)

d

x=x2(y)

c

2) Giả sử D xác định bởi:
c  y d

 x1 ( y ) x x2 ( y )

d

x2 ( y )

c

x1 ( y )

I  f ( x, y ) dxdy  dy
D

 f ( x, y )dx


I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Giải câu e)

0 x 2

0  y 2

2

2



2

Tính thể tích của vật thể. V  16  x  2 y
R

32

2

2

0

0

 dxdy dx  16  x

2
y

2 16 
2
 (16  x ) y  2  dx  32  2 x 
dx 48
3
3 0
0
0
2

2

2

 2 y 2 dy



Ví dụ
Tính tích phân kép I xydxdy , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi
D

y 2  x 2 , y x.

 2 x 1

2
x

y

2

x

1

2 x 2

2

x

I  xy  dxdy   dx   xy  dy
D

1

2
2

x
2

 y
  x 
2 x
2

dx

 (2  x 2 ) 2
x2 
  x
 x dx
2
2 
 2
1


Ví dụ
Tính tích phân kép I ( x  y )dxdy
D

, trong đó D là tam giác OAB, với

O(0,0), A(1,1), B(2,0).
0 x 2

0  y ?
Cần chia D ra thành hai miền: D1 và D2

A
D1

I  

D2
B

D

D1

D2

1

x

2

2 x

0

0

1

0

I dx ( x  y )dy  dx  ( x  y )dy
Nếu lấy cận y trước, x sau thì khơng cần chia D