bài tập tích phân kép tích phân bội ba đại học bách khoa hà nội

BT Toán II CLC

BÀI TẬP CHƯƠNG IV

1. Vẽ miền lấy tích phân
a)
 








4
0
15x
x
dxdy)y,x(f
2
b)
 









4
0
x16
0
dxdy)y,x(f
2
c)
 















2
4
y2
1
4
y
dydx)y,x(f

2

2. Đổi thứ tự lấy tích phân trong các tích phân kép
a)
 



1
1
x1
x1
2
2
dy)y,x(fdx
b)
 


1
0
y11
y2
2
dx)y,x(fdy
c)
 

2
0

x2
xx2
2
dy)y,x(fdx
d)
 

2
1
x4
x
dy)y,x(fdx

e)
 
2
0
y
0
dx)y,x(fdy
+
 

2
2
y4
0
2
dx)y,x(fdy
f)

 

3
0
x
1)1x(
2
dy)y,x(fdx
g)
 
2
1
xx4
0
2
dy)y,x(fdx
h)
 
1
0
xx4
0
2
dy)y,x(fdx

i)
 

1
0

x
xx2
2
dy)y,x(fdx
j)
 

1
2
x2
x
2
dy)y,x(fdx
k)
 
e
1
xln
0
dy)y,x(fdx
l)
 
2
1
x
x
1
dy)y,x(fdx
m)
 


1
0
y3
y
2
2
dx)y,x(fdy

n)
 


1
0
y1
y1
2
dx)y,x(fdy
o)
 


2
1
xx2
x2
2
dy)y,x(fdx
p)

 



0
6
x2
1
4
x
2
dy)y,x(fdx
q)
 



4
2
xcos
0
dy)y,x(fdx
r)
 
e
1
xln
0
dy)y,x(fdx

3. Tính các tích phân kép
a)
 










3
1
x2
x
1
2
2
dxdy
y
x
b)


D
2
dxdy)xy(x
, với D giới hạn bởi các đường

1) y = x
2
, x = y
2
2) y = x
2
, 2x + y = 4
c)

D
xydxdy
, trong đó D giới hạn bởi
1) x - y + 4 = 0 và x
2
= 2y 2) xy = 1, x + y = 5/2 3) x = 0, y = 0, x + y = 1
d)


D
dxdy)yx(
, trong đó D là miền giới hạn bởi
1) x + y = 4, y = (x - 2)
2
2) y = 0, y = (x+1)
2
, x = sinπy
3) tam giác O(0,0), A (1,1), B(2,0) 4) y
2
= 2x, x + y = 4, x + y = 12
e)



D
dxdy)yx1(
, trong đó D là miền giới hạn bởi
1) x + y = 0, x =
y
, y = 2 2) 1 ≤ x
2
+ y
2
≤ 2x
BT Toán II CLC

f)


D
dxdy)yx(
, trong đó D là miền giới hạn bởi
1) y = x, y = 2x, y = x
2
, y = 3x
2
2) Tam giác A(1,1), B(4,1), C(4,4)
3) y = x + 1, y = x - 1, y = 2, y = 3 4) y = x + 1, x = y
2
, y = ± 1
g)


D
xdxdy
, trong đó D giới hạn bởi
1) x + y = 2, x
2
+ (y-1)
2
= 1, (y ≥ 1) 2) y = 3x
2
, y = 6 - x
h)


D
dxdy)yxsin(
, D giới hạn bởi y = 0, y = x, x + y = π/2
4. Trong tích phân hai lớp I =

D
dxdy)y,x(f
, chuyển sang toạ độ cực và xác định các cận, trong đó D
là miền
a) 8x ≥ x
2
+ y
2
≥ 4x, y ≥ x, y ≤
3
x b)
2

2
a
x
+
2
2
b
y
≤ 1, y ≥ 0 c) x
2
+ y
2
≤ ax
d) 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 – x e) a
2
≤ x
2
+ y
2
≤ b
2
f) -a ≤ x ≤ a,
a
x
2
≤ y ≤ a
5. Đổi các tích phân sau sang hệ toạ độ cực với các thứ tự lấy tích phân khác nhau
a)
 
1

0
1
0
dy)y,x(fdx
b)
 


1
0
x1
x1
2
dy)y,x(fdx
c)
 
1
0
x
0
2
dy)y,x(fdx

d)
 

2
0
2x
x

22
dy)yx(fdx
e)

D
dxdy)y,x(f
, D giới hạn bởi (x
2
+ y
2
)
2
= a
2
(x
2
- y
2
)
6. Đổi thứ tự trong các tích phân sau
a)
 





2
2
cosa

0
dr),r(fd
(a > 0) b)
 



2
0
2sina
0
dr),r(fd
(a > 0) c)
 

a
0
a
r
dr),r(fd

7. Tính các tích phân sau
a)
 


R
0
xR
0

22
22
dy)yx1ln(dx
(R > 0) b)
 



R
0
xRx
xRx
22
2
2
dyyxRxdx
(R > 0)
c)

D
xydxdy
, với D giới hạn bởi
1) (x - 2)
2
+ y
2
≤ 1 2) (x - 2)
2
+ y
2

≤ 1, y ≥ 0
3) 2y ≤ x
2
+ y
2
≤ 4, x ≥ 0 4) x
2
+ y
2
+ 3 ≤ 4x
d)

D
2
dxdyxy
, với D là miền giới hạn bởi x
2
+ (y - 1)
2
= 1 và x
2
+ y
2
- 4y = 0
BT Toán II CLC

e)


D

222
)yx(
dxdy
, D = {(x,y) : 4y ≤ x
2
+ y
2
≤ 8y, x ≤ y ≤
3
x}
f)



D
22
22
dxdy
yx1
yx1
, D : x
2
+ y
2
≤ 1 g)


D
22
dxdy

yx
xy
, D:











0y,0x
y32yx
x2yx
12yx
22
22
22

g)









D
dxdy1
x
y
, D: 1 ≤ x
2
+ y
2
≤ 2x h)


D
22
yx
xydxdy
, D là tam giác O(0,0), A(3,3), B(3,0).
i)


D
22
yx4
dxdy
, D:






yx
y2yx
22
j)



D
22
2
1yx
dxdy)yx(
, D : x
2
+ y
2
≤ 1
k)


D
2222
dxdyyxsin)yx(
, D: π
2
≤ x
2
+y
2
≤ 4π

2

l)


D
22
dxdy)yx(
, D là miền giới hạn bởi
1) x + y = 0, y = 1, y = 2, y = x 2) 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1
3) 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x
2
4) x
2
+ y
2
≤ 2x 5) x
4
+ y
4
≤ 1
5) phần của nửa hình tròn {(x,y) : x
2
+ y
2
≤ y, x ≥ 0}, nằm ngoài hình tròn {(x,y) : x
2
+ y
2
≤ x}

m)


D
222
yxa
dxdy
; D là miền giới hạn bởi đường x
2
+ y
2
= a
2
(x ≥ 0, y ≥ 0)
8. Chuyển tích phân sau theo hai biến u và v
 

1
0
x
x
dy)y,x(fdx
, nếu đặt





yxv
yxu

, áp dụng tính với f(x,y) = (2 - x - y)
2

9. Tính các tích phân sau
a)

D
xydxdy
, trong đó D là miền giới hạn bởi xy = 1, xy = 3, y
2
= 2x, y
2
= 4x
b)


D
dxdy)yx(
, trong đó D là miền giới hạn bởi
1) x
2
+ y
2
= 2(x + y) 2) x
2
+ y
2
= x + y
3) 2x + y - 3 = 0, 2x + y + 2 = 0, 3x - y + 1 = 0, 3x - y - 2 = 0
c)



D
22
dxdy)yx3x4(
, D là hình tròn x
2
+ y
2
- 4x + 3 ≤ 0
d)



D
yx
yx
dxdye
, D là miền giới hạn bởi các đường x = 0, y = 0, x + y = 1
BT Toán II CLC

e)

D
ydxdy
, D giới hạn bởi y = 0 và đường






)tcos1(ay
)tsint(ax
, 0 ≤ t ≤ 2π, a > 0
f)


D
3/23/2
dxdy)yx(
, với D là miền giới hạn bởi đường x
2/3
+ y
2/3
= a
2/3
(a > 0)
10. Tính các tích phân sau
a)
dxdyyx
D


, D: {(x,y) : |x| ≤ 1, |y| ≤ 1} b)


D
2
dxdy|xy|
, D = {(x,y) : |x| ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}

c)


D
22
dxdy|y4x9|
, D:
9
y
4
x
22

≤ 1 d)


D
2
dxdy)yx3yx2(
, D:





x4yx
x4xy1

e)



D
dxdyxy
, D: x
2
+ y
2
≤ 2y f)



1|y||x|
dxdy|)y||x(|

g)


D
dxdy|)yxcos(|
, D = {(x,y)|0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ π - x}
h)


D
22
dxdy|yxx2|
, D = {(x,y)|x
2
+y
2

≤ 2y} i)



1|y||x|
dxdy)yx|y||x(|
j)

 1|y||x|
dxdy|xy|

11. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a) y = 2
x
, y = 2
-x
, y = 4 b) y
2
= x, y
2
= 2x, x
2
= y, x
2
= 2y
c) y = 0, y
2
= 4ax, x + y = 3a, y ≤ 0 (a > 0) d) y
2
= 4ax, x + y = 3a và y = 0

e) x = 4y - y
2
, x + y = 6 g) x + y = 2, y
2
= 4x + 4, y ≥ 0 h) y
2
+ 2y - 3x + 1 = 0, 3x - 3y - 7 = 0
i) y = 2x, y = 2 - x, y = 4 j) (x
2
+ y
2
)
2
= 2ax
3
(a > 0) k) (y - x)
2
+ x
2
= 1
l) xy = 1, xy = 8, y
2
= x, y
2
= 8x m) y
2
= x, y
2
= 16x, y
2

= x
3
, 16y
2
= x
3

12. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a) x
2
+ y
2
= 2x, x
2
+ y
2
= 4x, x = y, y = 0
b) phần chung hai hình tròn xác định bởi r = 1, r =
3
2
cosφ
c) (x
2
+ y
2
)
2
= 2a
2
xy d) x

3
+ y
3
= axy (a > 0) e) r = a(1 + cosφ) (a > 0)
13. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a) (x - 2y + 3)
2
+ (3x - 4y - 1)
2
= 100 b)
2
2
a
x
+
2
2
b
y
=
h
x
+
k
y

c)
4
a
x

+
4
b
y
= 1, x = 0, y = d) x
2
= ay, x
2
= by, x
3
= cy
2
, x
3
- dy
2
(0 < a < b, 0 < c < d)
14. Tính thể tích của vật giới hạn bởi
a) 3x + y ≥ 1, 3x + 2y ≤ 2, y ≥ 0, 0 ≤ z ≤ 1 - x – y
b) y =
x
, y = 2
x
, x + z = 6, z = 0 c) z = y
2
, x
2
+ y
2
= 1, z = 0

BT Toán II CLC

d) 3x + y = 1, 3x + 2y = 2, y = 0, z = 1 - x - y, z = 0.
e) z = y
2
, x
2
+ y
2
= 1, z = 0 f) x = 4 - y
2
, x = 2 + y
2
, z = -1, z = 2
g) z = x + y, y = x, y = 2x, z = 0, xy = 1, xy = 2
h) x
2
+ 4y
2
+ z = 1, z = 0
i) y = x
2
+ 1, z = 3x, y = 5, z = 0 (x,y,z ≥ 0)
j) x = 2y
2
, x + 2y + z = 4, y = 0, z = 0 k) z = xy, x + y + z = 1, z = 0
l) z = x + y, z = xy, x + y = 1, x = 0, y = 0
15. Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi
a) z = 4 - x
2

- y
2
, 2z = 2 + x
2
+ y
2
b) 0 ≤ z ≤ 1 - x
2
- y
2
, y ≥ x, y ≤
3
x
c) x
2
+ y
2
+ z
2
≤ 4a
2
, x
2
+ y
2
- 2ay ≤ 0 (a > 0)
d) x
2
+ y
2

= z, 2 - z =
22
yx 
e) z = 4 - x
2
- y
2
, 2z = 2 + x
2
+ y
2
f) x
2
+ y
2
= 4, 2z = x
2
+ y
2
, z = 0 g) 2z = x
2
+ y
2
, z = 6 - x
2
- y
2
h) z = 1 - x
2
- y

2
, y = x, y = x
3
, z = 0 i) 0 ≤ z ≤ x
2
+ y
2
, x
2
≤ y ≤ 1
j) x
2
+ y
2
= 2, z = 4 - x
2
- y
2
, z = 0 k) z = 6 - (x
2
+ y
2
), z
2
= x
2
+ y
2
(z ≥ 0)
l) phần hình cầu x

2
+ y
2
+ z
2
≤ 1 nằm trong mặt trụ x
2
+ y
2
= y
m) x = 0, y = 0, x = 4, y = 4, z = x
2
+ y
2
+ 1
16. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi
a) z = 6 - x
2
- y
2
, z =
22
yx 
b) z =
22
yx 
, z = x
2
+ y
2

c) x
2
+ y
2
= az, z = 2a -
22
yx 
(a > 0) d) x =
2
yx
22

, x
2
+ y
2
+ z
2
= 4
e) x
2
+ y
2
+ z
2
= 2az, x
2
+ y
2
≤ z

2
(a > 0) f) z
2
= xy, x
2
+ y
2
= a
2

g) z = x + y, (x
2
+ y
2
)
2
= 2xy, z = 0 h) x
2
+ y
2
+ z
2
= a
2
, x
2
+ y
2
≥ a|x|
i) z = x

2
+ y
2
, x
2
+ y
2
= x, x
2
+ y
2
= 2x, z = 0
17. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi
a) z = 0, z =
2
2
2
2
b
y
a
x

,
2
2
a
x
+
2

2
b
y
=
a
x2
(a,b > 0) b)
2
2
a
x
+
2
2
b
y
+
2
2
c
z
= 1,
2
2
a
x
+
2
2
b

y
=
2
2
c
z
(z ≥ 0)
c) x
2
+ z
2
= a
2
, |x + y| = a, |x - y| = a (a > 0) d) z = x
2
+ y
2
, xy = a
2
, xy = 2a
2
, y = x/2, y = 2x, z = 0
e)
2
2
2
c
z
b
y

a
x








= 1, x = 0, y = 0, z = 0 f)
n
n
a
x
+
n
n
b
y
+
n
n
c
z
(n > 0, x,y,z ≥ 0)
18. Tính diện tích
a) Phần mặt nón z
2
= x

2
+ y
2
, z ≥ 0 nằm trong mặt trụ x
2
+ y
2
= 2x
b) Phần mặt paraboloid z = x
2
+ y
2
nằm trong hình trụ x
2
+ y
2
= 1
BT Toán II CLC

c) Phần mặt cầu x
2
+ y
2
+ z
2
= 4 nằm trong mặt trụ x
2
+ y
2
= ay

d) Phần mặt nón z
2
= x
2
+ y
2
bị chắn bởi mặt y
2
= z
e) Phần mặt nón z =
22
yx 
, nằm trong mặt trụ (x
2
+ y
2
)
2
= a
2
(x
2
- y
2
)
f) Phần mặt z = xy bị chắn bởi x
2
+ y
2
= 4

g) Phần mặt z = 1 - x
2
- y
2
nằm trong x
2
+ y
2
= 1
h) Phần mặt trụ z = x
2
giới hạn bởi x + y =
2
, x = 0, y = 0
i) Phần mặt trụ x
2
= 2z giới hạn bởi x - 2y = 0, y = 2x, x = 2
2

j) Phần mặt trụ x
2
+ z
2
= 4 nằm trong x
2
+ y
2
= 4
k) Phần mặt y = x
2

+ z
2
nằm trong mặt trụ x
2
+ z
2
= 1
l) Phần mặt cầu x
2
+ y
2
+ z
2
= a
2
nằm trong mặt trụ x
2
+ y
2
= ay (a > 0)
l) Phần mặt cầu x
2
+ y
2
+ z
2
= 4 nằm trong mặt trụ x
2
/4 + y
2

= 1
m) Phần mặt az = xy nằm trong mặt trụ x
2
+ y
2
= a
2

n) Phần mặt z
2
= 2xy giới hạn bởi x = 1, y = 4
o) Phần mặt x
2
+ y
2
+ z
2
= a
2
nằm trong
2
2
a
x
+
2
2
b
y
= 1 (b ≤ a)

p) Phần mặt x
2
+ y
2
+ z
2
= a
2
, nằm phía ngoài các hình trụ x
2
+ y
2
= ±ax
19. Tính tích phân
a)

V
zdxdydz
, trong đó V là miền giới hạn bởi 1) 0 ≤ x ≤ ¼, x ≤ y ≤ 2x, 0 ≤ z ≤
22
yx1 

2) x + y = 1, x
2
+ y
2
+ z
2
= 1 (x,y,z ≥ 0) 3) x + y + z ≤ 1 (x,y,z ≥ 0)
b)



V
dxdydz)zyx1(
, V: x + y + z ≤ 1 (x,y,z ≥ 0)
c)

V
dxdydzzxy
, V giới hạn bởi z = 0, z = y, y = x
2
, y = 2
d)


V
dxdydz)zxcos(y
, V giới hạn bởi y =
x
, y = 0, z = 0, x + z = π/2
e)


V
22
dxdydz)yx(
, V là khối tứ diện A(a,b,0), B(a,-b,0), C(0,0,c), D(0,0,-c) (a,b,c > 0)
f)
dxdydz)zy3x2(
V



, V giới hạn bởi z = 0, z = a, x = 0, y = 0, x + y = b (a,b > 0)
g)

V
2
dxdydzx
, V giới hạn bởi z = ay
2
, z = by
2
, y > 0, z = αx, z = βx, z = h (0 < a < b, 0 < α < β, h > 0)
BT Toán II CLC

20. Tính các tích phân
a)


V
22
zdxdydz)yx(
, V giới hạn bởi
1) x
2
+ y
2
≤ 1, 1 ≤ z ≤ 2 2) x
2
+ y

2
= 2z, z = 2
b)











V
22
dxdydzz
2
yx
, V giới hạn bởi x
2
+ y
2
= 2 - z, x
2
+ y
2
= z
2

c)


V
2
dxdydz]z)yx[(
, V giới hạn bởi z = 0, (z - 1)
2
= x
2
+ y
2

d)


V
22
zdxdydzyx
, V giới hạn bởi x
2
+ y
2
= z, z = 1
e)


V
22
yx1

zdxdydz
, V: x
2
+ y
2
≤ a
2
, 0 ≤ z ≤ h
g)


V
3
dxdydz)zyx(
, V giới hạn bởi x
2
+ z
2
= 1, y = 0, y = 1
f)

V
2
dxdydzz
, V: x
2
+ y
2
≤ R
2

, 0 ≤ z ≤ h g)


V
22
dxdydzyxz
, V: x
2
- 2ax + y
2
≤ 0, 0 ≤ z ≤ b
21. Tính các tích phân
a)


V
22
dxdydz)yx(
, V: x
2
+ y
2
+ z
2
≤ 1, x
2
+ y
2
- z
2

≤ 0
b)


V
222
dxdydz)zyx(
, V:
1) 1 ≤ x
2
+ y
2
+ z
2
≤ 4, x
2
+ y
2
≤ z
2
2) x
2
+ y
2
+ z
2
≤ x + y + z
c)



V
22
dxdydzyx
, V giới hạn bởi x
2
+ y
2
= z
2
, z = 1
d)


V
222
dxdydzzyx
, V:
1) x
2
+ y
2
+ z
2
≤ z 2) x
2
+ y
2
+ z
2
≤ a

2

e)

V
2
dxdydzz
, V giới hạn bởi z =
22
yx2 
, z =
22
yx 

f)

V
xzdxdydz
, V: x
2
+ y
2
+ z
2
≤ a
2
, z ≥ 0 g)


V

2
dxdydz)zyx(
, V: 2z ≥ x
2
+ y
2
, x
2
+ y
2
+ z
2
≤ 3
h)

V
2
dxdydzx
, V: x
2
+ y
2
+ z
2
≤ a
2
i)


V

222
zyx
dxdydz
, V: 0 < b
2
≤ x
2
+ y
2
+ z
2
≤ a
2

j)

V
zdxdydz
, x
2
+ y
2
≤ z
2
, x
2
+ y
2
+ z
2

≤ a
2
, z ≥ 0
BT Toán II CLC

22. Tính các tích phân
a)


V
22
dxdydzyxz
, trong đó V là
1) Miền giới hạn bởi các mặt x
2
+ y
2
= 2x, z = 0, z = a.
2) Nửa hình cầu x
2
+ y
2
+ z
2
≤ a
2
, z ≥ 0 (a > 0)
3) Nửa khối elipsoid
2
22

a
yx 
+
2
2
b
z
≤ 1, z ≥ 0 (a, b > 0)
b)

V
ydxdydz
, V giới hạn bởi y =
22
zx 
, và y = h (h > 0)
c)










V
2
2

2
2
2
2
dxdydz
c
z
b
y
a
x
, V:
2
2
a
x
+
2
2
b
y
+
2
2
c
z
≤ 1 (a, b, c > 0)
d)



V
222
)2z(yx
dxdydz
, V: x
2
+ y
2
≤ 1, |z| ≤ 1 e)

V
zdxdydz
, V:
2
2
a
x
+
2
2
b
y
+
2
2
c
z
≤ 1, z ≥ 0
f)



V
322
dxdydz)zxy(
, V giới hạn bởi x
2
+ y
2
= 1, y = 0, y = 1
23. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi
a) 0 ≤
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x

≤ 1, -h ≤ z ≤ h b) (x
2
+ y
2
+ z
2

)
2
= a
2
(x
2
+ y
2
- z
2
)
c) x + y + z = ±3, x + 2y - z = ±1, x + 4y + z = ±2
d) (x
2
+ y
2
+ z
2
)
2
= xyz e)
2
2
2
2
2
2
2
c
z

b
y
a
x









=
h
x
f)
2
2
a
x
+
2
2
b
y
+
4
4
c

z
= 1
g)
2
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x









=
2
2
a
x

+
2
2
b
y
h)
2
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x









=
2

2
a
x
+
2
2
b
y
-
2
2
c
z

i) x
2
+ y
2
+ z
2
= a
2
, x
2
+ y
2
+ z
2
= b
2

, x
2
+ y
2
= z
2
(z ≥ 0, 0 < a < b)
j)
2
2
a
x
+
2
2
b
y
+
2
2
c
z
= 1,
2
2
a
x
+
2
2

b
y
=
c
z
k)
2
2
2
2
2
b
y
a
x









+
4
4
c
z
= 1