Sang kien kinh nghiem su dung bat dang thuc co si trong giai s3c83hm8cbyx3i 102236

-------*****-------

SÁNG KIẾN
KINH NGHIỆM
SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CƠ-SI
TRONG GIẢI TỐN THCS

MƠN TỐN
Tên tác giả: Nguyễn Cao Cường
Giáo viên mơn Tốn

Năm học 2013 - 2014


MỤC LỤC
A – MỞ ĐẦU
Trang
I. Lý do chọn đề tài...........................................................................................3
II. Nhiệm vụ, mục đích của đề tài...................................................................3
III. Phạm vi của đề tài......................................................................................4
IV. Đối tượng nghiên cứu và phương pháp tiến hành.....................................5

B – NỘI DUNG
1. Những quy tắc chung...................................................................................5
2. Bất đẳng thức Cô-si.....................................................................................6
3. Các kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cơ-si...................................................8
3.1 Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân.........................8
3.2 Kỹ thuật tách nghịch đảo.................................................................12
3.3 Kỹ thuật chọn điểm rơi....................................................................15
3.4 Kỹ thuật đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng...........21
3.5 Kỹ thuật nhân thêm hằng số............................................................24

3.6 Kỹ thuật ghép đối xứng...................................................................30
3.7. Kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo cho 3 số, n số..................................33
3.8. Kỹ thuật đổi biến số.........................................................................35
4. Một số ứng dụng khác của bất đẳng thức Cô-si..........................................38
4.1 Áp dụng BĐT để giải phương trình và hệ phương trình........................................ 38
4.2 Sử dụng bất đẳng thức Cơ - si để chứng minh bđt và tìm cực trị hình học. 42

Kết quả của đề tài............................................................................................55
Kết luận...........................................................................................................56
Tài liệu tham khảo...........................................................................................57


MỞ ĐẦU

I. Lý do chọn đề tài
Tốn học nói chung và tốn học phổ thơng nói riêng đã giúp người học,
người nghiên cứu nó có được kiến thức, tư duy logic và khả năng suy luận. Đối với
những học sinh trung học cơ sở, tốn học đã hình thành cho các em những kiến
thức cơ sở ban đầu, những kiến thức cơ bản nhất của toán học hiện đại. Qua những
bài học, những vấn đề toán cùng với những cách thức suy luận đã giúp các em hình
thành tư duy tốn học.
Tốn học sơ cấp có lẽ là mảng tốn học địi hỏi trí thơng minh, óc tư duy linh hoạt
của người học, trong đó bất đẳng thức là vấn đề hay và khó. Từ các lớp trung học
cơ sở, học sinh được giới thiệu một cách cơ bản nhất về bất đẳng thức, phương
pháp chứng minh bất đẳng thức. Và hầu hết những người đã học bất đẳng thức, ai
cũng biết về một bất đẳng thức kinh điển, nổi tiếng: bất đẳng thức Cô-si. Nhưng
một thực tế chung đối với học sinh phổ thông là việc vận dụng bất đẳng thức Cơ si vào giải tốn gặp rất nhiều khó khăn. Khó khăn đầu tiên là khơng biết cách sử
dụng bất đẳng thức Cơ - si. Khó khăn thứ hai là không biết bất đẳng thức Cô - si có
thể ứng dụng vào việc giải những dạng tốn nào? Chính vì vậy, để giúp các em học
sinh có thể khắc phục phần nào những khó khăn trên, tơi viết đề tài " Sử dụng bất

đẳng thức Cô - si trong giải toán trung học cơ sở"

II. Nhiệm vụ, mục đích của đề tài
Đề tài " Sử dụng bất đẳng thức Cơ - si trong giải tốn THCS" sẽ giới
thiệu đến với học sinh về bất đẳng thức Cô - si; những kỹ thuật sử dụng bất đẳng
thức Cô-si và việc sử dụng bất đẳng thức Cơ-si trong giải tốn THCS.
Đề tài được viết theo cách thức lý thuyết đi kèm với ví dụ minh họa. Bên
cạnh việc cung cấp, tổng kết những cách sử dụng bất đẳng thức Cô - si, đề tài còn


giới thiệu những bài toán minh họa, đặc biệt là những bài toán học sinh thường gặp
về bất đẳng thức, cực trị đại số, cực trị hình học.

III. Phạm vi của đề tài
Với học sinh trung học cơ sở, lớp 8 các em mới được giới thiệu và tiếp cận
với bất đẳng thức nói chung và bất đẳng thức Cơ -si nói riêng. Vì vậy, đề tài " Sử
dụng bất đẳng thức Cơ - si trong giải tốn THCS" hướng tới việc giúp cho học
sinh lớp 8; lớp 9 có được những kiến thức về bất đẳng thức Cô-si; cách sử dụng bất
đẳng thức Cơ - si trong giải tốn trung học cơ sở, từ đó giúp cho các em phát triển
tư duy về bất đẳng thức, đặt nền móng cho các cấp độ lớn hơn sau này.

IV. Đối tượng nghiên cứu và phương pháp tiến hành
Đề tài tập trung nghiên cứu về bất đẳng thức Cô-si. Trên cơ sở những kiến
thức cơ bản về dạng bất đẳng thức, tổng kết một kỹ thuật thường dùng; giới thiệu
một số ứng dụng của bất đẳng thức Cô - si trong giải toán trung học cơ sở.
Phương pháp chủ yếu của đề tài là phương pháp nghiên cứu và tổng kết kinh
nghiệm trong thực tế giảng dạy.


1. NHỮNG QUY TẮC CHUNG TRONG CHỨNG MINH

BẤT ĐẲNG THỨC SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI
Quy tắc song hành: hầu hết các BĐT đều có tính đối xứng do đó việc sử
dụng các chứng minh một cách song hành, tuần tự sẽ giúp ta hình dung ra được kết
quả nhanh chóng và định hướng cách giả nhanh hơn.
Quy tắc dấu bằng: dấu bằng “ = ” trong BĐT là rất quan trọng. Nó giúp ta
kiểm tra tính đúng đắn của chứng minh. Nó định hướng cho ta phương pháp giải,
dựa vào điểm rơi của BĐT. Chính vì vậy mà khi dạy cho học sinh ta rèn luyện cho
học sinh có thói quen tìm điều kiện xảy ra dấu bằng mặc dù trong các kì thi học
sinh có thể khơng trình bày phần này. Ta thấy được ưu điểm của dấu bằng đặc biệt
trong phương pháp điểm rơi và phương pháp tách nghịch đảo trong kỹ thuật sử
dụng BĐT Cô Si.
Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng: khơng chỉ học sinh mà ngay cả
một số giáo viên khi mới nghiên cứu và chứng minh BĐT cũng thương rất hay mắc
sai lầm này. Áp dụng liên tiếp hoặc song hành các BĐT nhưng không chú ý đến
điểm rơi của dấu bằng. Một nguyên tắc khi áp dụng song hành các BĐT là điểm
rơi phải được đồng thời xảy ra, nghĩa là các dấu “ = ” phải được cùng được thỏa
mãn với cùng một điều kiện của biến.
Quy tắc biên: Cơ sở của quy tắc biên này là các bài tốn quy hoạch tuyến
tính, các bài tốn tối ưu, các bài tốn cực trị có điều kiện ràng buộc, giá trị lớn nhất
nhỏ nhất của hàm nhiều biến trên một miền đóng. Ta biết rằng các giá trị lớn nhất,
nhỏ nhất thường xảy ra ở các vị trí biên và các đỉnh nằm trên biên.
Quy tắc đối xứng: các BĐT thường có tính đối xứng vậy thì vai trị của các
biến trong BĐT là như nhau do đó dấu “ = ” thường xảy ra tại vị trí các biến đó
bằng nhau. Nếu bài tốn có gắn hệ điều kiện đối xứng thì ta có thể chỉ ra dấu “ = ”
xảy ra khi các biến bằng nhau và mang một giá trị cụ thể.


Chiều của BĐT : “ ≥ ”, “ ≤ ” cũng sẽ giúp ta định hướng được cách chứng minh:
đánh giá từ TBC sang TBN và ngược lại
Trên là 5 quy tắc sẽ giúp ta có định hướng để chứng minh BĐT, học sinh sẽ thực

sự hiểu được các quy tắc trên qua các ví dụ và bình luận ở phần sau.


2. BẤT ĐẲNG THỨC CÔ - SI
(CAUCHY)
1. Dạng tổng quát (n số): x1, x2, x3 ……..xn ≥ 0 ta có:

x1  x2 ......xn


 Dạng 1:

n

1 2

n
 Dạng 2:

x x...........x
n

x1  x2  ......xn  n x1 x2..........xn
n

 x  x .....xn 
1
2



n



 Dạng 3:

n

 x1 x2...............xn

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi: x1  x2 ...........

xn

Hệ quả 1:

S

n

thì: Max P  x1x2................xn    n 

Nếu: x1  x2 ....... xn  S 
const

khi x  x ........... xn 
1
2
n

S

Hệ quả 2:
Nếu: x1x2........................xn  P 
const

thì: MinS   x.........

x

1

2

2

nP

khi
2. Dạng cụ thể ( 2 số, 3 số ):

x

  nn P

x1  x2 .......... xn


n = 2:  x, y ≥ 0 khi đó:
xy

 xy

xyz 3
 xyz
3

x  y  2 xy

x  y  z  3 3 xyz

2.1
2.2
2.3
2.4

n = 3:  x, y, z ≥ 0 khi đó:

2

xy



2

2




2

3


xy

 x  y  4xy

xyz

  xyz


3
3

 x  y  z  27xyz


2.5

1
x



1

4


y xy

111 9
x y z xy
z


2.6

Sử dụng bất đẳng thức Cô - si trong giải toán THCS
1 4
1 4
xy  x  y 2
xyz  x  y  z 3

Bình luận:
 Để học sinh dễ nhớ, ta nói: Trung bình cộng (TBC) ≥ Trung bình nhân (TBN).
 Dạng 2 và dạng 3 khi đặt cạnh nhau có vẻ tầm thường nhưng lại giúp ta nhận
dạng khi sử dụng BĐT Cô Si: (3) đánh giá từ TBN sang TBC khi khơng
có cả căn thức.

Nguyễn Cao Cường - THCS Thái Thịnh – Quận Đống Đa – TP. Hà Nội

9


Sử dụng bất đẳng thức Cô - si trong giải tốn THCS

3. CÁC KỸ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CƠ - SI

3.1 Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân.
Đánh giá từ TBC sang TBN là đánh giá BĐT theo chiều “ ≥ ”. Đánh giá từ tổng
sang tích.
Bài 1: Chứng minh rằng:  a2  b2 b2  c2 c2  a2  
8a2b2c2

a,b, c

Giải
Sai lầm thường gặp:
Sử dụng:  x, y thì x2 - 2xy + y2 = ( x- y)2 ≥ 0  x2 + y2 ≥ 2xy. Do đó:
a2  b2  2ab
 2
2
 a 2  b2
b  c 



2bc
c2  a2 

2ca

2 2 2

8a b c

b

2

 c2 c2  a2  

a,b,c (Sai)

2 

Ví dụ: 2
 24 = 2.3.4 ≥ (-2)(-5).3 = 30 ( Sai )

3 
5
4  3
Lời giải đúng:
Sử dụng BĐT Cô Si: x2 + y2 ≥ 2 x2 y 2
a2  b2  2 ab  0

 2
b  c2  2 bc  0 

a

2

= 2|xy| ta có:

b2 b2  c2 c2  a2   8| a2b2c2|  8a2b2c2 a,b,c

(Đúng

 2
2
c  a  2 ca  0


)
Bình luận:
Chỉ nhân các vế của BĐT cùng chiều ( kết quả được BĐT cùng chiều) khi và
chỉ khi các vế cùng không âm.



10
Nguyễn Cao Cường - THCS Thái Thịnh – Quận Đống Đa – TP. Hà Nội
Cần chú ý rằng: x2 + y2 ≥ 2 x2 y 2 = 2|xy| vì x, y khơng biết âm hay dương.

Nói chung ta ít gặp bài tốn sử dụng ngay BĐT Cơ Si như bài tốn nói trên mà phải qu


Sử dụng bất đẳng thức Cô - si trong giải toán THCS
Trong bài toán trên dấu “ ≥ ”  đánh giá từ TBC sang TBN. 8 = 2.2.2 gợi ý đến việc sử

Bài 2 : Chứng minh rằng:



a  b
b)2

8



 a,b ≥ 0

 64ab(a 
Giải

8

a

 b



2



  a


 64ab(a  b)

 b



4
4 CôSi

 a  b  2 ab   2 2  a  b ab



2







4





Bài 3: Chứng minh rằng: (1 + a + b)(a + b + ab) ≥ 9ab  a, b ≥ 0.
Giải
Ta có: (1 + a + b)(a + b + ab) ≥ 33 1.a.b. 3.3 a.b.ab  9ab
Bình luận:


9 = 3.3 gợi ý sử dụng Cô-si cho ba số, 2 cặp. Mỗi biến a, b được xuất hiện
ba lần, vậy khi sử dụng Cô Si cho ba số sẽ khử được căn thức cho các biến đó.

Bài 4: Chứng minh rằng: 3a3 + 7b3 ≥ 9ab2  a, b ≥ 0
Giải
Ta có: 3a3 + 7b3 ≥ 3a3 + 6b3 = 3a3 + 3b3 + 3b3
Bình luận:


C



ơ

33 33a3b3 = 9ab2

si

9ab2 = 9.a.b.b  gợi ý đến việc tách hạng tử 7b 3 thành hai hạng tử chứa b 3 để
khi áp dụng BĐT Cơ-si ta có b2. Khi đã có định hướng như trên thì việc tách
các hệ số khơng có gì khó khăn.

Bài 5:

a,b,c, d  0
Cho: 
1
1

3

1 a



CMR abcd
:
suy ra:

 1  1 
Từ
giả

thiế
t



1
81

Nguyễn Cao Cường - THCS Thái Thịnh – Quận Đống Đa – TP. Hà Nội



2

 24.22.ab. a  b


11

1 b

Sử dụng bất đẳng thức Cô - si trong giải toán THCS
1
1
c
d
Giải

Nguyễn Cao Cường - THCS Thái Thịnh – Quận Đống Đa – TP. Hà Nội

12


Sử dụng bất đẳng thức Cô - si trong giải toán THCS
1  1 - 1   1 1   1 1  = b  c  d
1 c 
1 d 1 b1 c1 d
1 a  1 b 

Côsi

 3
3

Vậy:
 1
bcd
3

0

1 3 1 b 1 c 1 d

cda
a 1 
0
1
3
1 b 3 1 c 1 d 1 a

 1 a 1 b 1 c 1 d 
1
81

dca

3

0

1 c 3 1 d 1 c1 a

 1 
abc
3
0
1 d 3 1 a 1 b 1 c











bcd
1 b1 c1 d













abcd

1 a1 b1 c1 d 





1

 abcd 



81

Bài toán tổng quát 1:
Cho:
x1, x2 , x3 ,............, xn  0


1

1
1

x

1

1


1



1
x

2

1

.........
1 x3

CMR
:

n

x x x............xn 
1 2 3

1

n

 n 1

1 xn

Bình luận:


Đối với những bài tốn có điều kiện là các biểu thức đối xứng của biền thì

việc biến đổi điều kiện mang tính đối xứng sẽ giúp ta xử lí các bài toán chứng
minh BĐT dễ dàng hơn

Bài 6:
Cho

a,b,c  0

abc
1


1
1  1
CMR :  a  1
  1  1  (1)
b
c 8








Giải

VT (1) 

ab

1 a 1 b 1 c  b  c c  a
.
.
.
.

C ô

2 bc 2 ca 2 ab

.
.
si
8

(đpcm)

a
b
c
Bài toán tổng quát 2:
13
Nguyễn Cao Cường - THCS Thái Thịnh – Quận Đống Đa – TP. Hà Nội




a

b
b

c
c

Sử dụng bất đẳng thức Cô - si trong giải toán THCS

a

Nguyễn Cao Cường - THCS Thái Thịnh – Quận Đống Đa – TP. Hà Nội

14


Sử dụng bất đẳng thức Cô - si trong giải toán THCS
Cho:
 x1 , x2 , x3 , ........., xn 
0

x  x  x  ........  x 
1


1

2

n

3

Bài 7: CMR:



3  1





1

 
 



2

 
 





2

 b    1 a  1 b  1 c  3 1
abc  8
c
3 

1 a



1

 1
n
1
 1

CMR
:

1
1 1.......... 1   n 1
x
 x
x
x 


3

3



n



 

3 




a,b,c  0

abc

Giải
 1 a

a  b  c3
Ta có: 1




3



C ơ


si





3

1 a1 b1
c

(1)

1 a1 b1 c  1 ab  bc  ca    a  b  c   abc

Ta có:



C

Ta có:

3








  1  b    1  c



ôsi



1 3 a b c  3 abc  abc  1
3





3
C

1  3 abc 

2 2 2

3

2

abc

8



3

 1.3 abc  



ôsi

3



(2)

3

(3)

abc

Dấu “ = ” (1) xảy ra  1+a = 1+b = 1+c  a = b = c
Dấu “ = ” (2) xảy ra  ab = bc = ca và a = b = c  a = b= c

Dấu “ = ” (3) xảy ra  3 abc =1  abc = 1
Bài toán tổng quát 3:
Cho x1, x2, x3,……., xn ≥ 0. CMR:
 x1
1
1
x2 .... xn n 
11
x x

 

x .

   



n





Bình luận:


 





1

2

.1 1

n



2









n  2x x xn
  

3

n x1x2xn

 

n

1 2

Bài toán tổng quát trên thường được sử dụng cho 3 số, áp dụng cho các bài
toán về BĐT lượng giác trong tam giác sau này.



Trong các bài tốn có điều kiện ràng buộc việc xử lí các điều kiện mang tình
đồng bộ và đối xứng là rất quan trọng, giúp ta định hướng được hướng chứng
Nguyễn
minh BĐT
Caođúng
Cường
hay- sai.
THCS Thái Thịnh – Quận Đống Đa – TP. Hà Nội

15


Sử dụng bất đẳng thức Cô - si trong giải tốn THCS
Trong việc đánh giá từ TBC sang TBN có một kỹ thuật nhỏ hay được sử dụng. Đó
là kĩ thuật tách nghịch đảo.

Nguyễn Cao Cường - THCS Thái Thịnh – Quận Đống Đa – TP. Hà Nội

16

Sử dụng bất đẳng thức Cô - si trong giải toán THCS

Nguyễn Cao Cường - THCS Thái Thịnh – Quận Đống Đa – TP. Hà Nội

17


Sử dụng bất đẳng thức Cô - si trong giải toán THCS

3.2

Kỹ thuật tách nghịch đảo.
a

Bài 1: CMR:

b
 

a.b  0

2
b a

Ta có:

Giải

a 2

a  C ơs 2 a b b 
bba 

Bài 2: CMR:

i

a2 
2

a
R


a2 1 2

a2  2
Ta có:

a

Giải
2

1 1



a2 1

a2 1

a2 1

1




Dấu “ = ” xảy ra  a2 1 
Bài 3: CMR: a 

1

3
b  a  b

a 1
2

1

1

Côsi

 2

a2 1

a 1
2

2

 a2 11 a  0

a2 1
 a  b  0

Giải
Ta có nhận xét: b + a – b = a không phụ thuộc vào biến b đo đó hạng tử đầu a sẽ
được phân tích như sau:

a

1

 b a  b

b  a  b

1

C

b  a  b

Dấu “ = ” xảy ra  b  a  b 

1

a

4 b

3

 3 a  b  0
b.a  b  . 1
b  a  b

 a = 2 và b = 1.

ba 

Bài 4: CMR:

ôsi

3



3

Nguyễn Cao Cường - THCS Thái Thịnh – Quận Đống Đa – TP. Hà Nội

 a b b
18

1

2

Sử dụng bất đẳng thức Cô - si trong giải tốn THCS

ab0

(1)
Giải

Vì hạng tử đầu chỉ có a cần phải thêm bớt để tách thành các hạng tử sau khi
sử dụng BĐT sẽ rút gọn cho các thừa số dưới mẫu. Tuy nhiên biểu thức dưới mẫu
có dạng

2

 a b b 1

(thừa số thứ nhất là một đa thức bậc nhất b, thừa số 2 là

một

Nguyễn Cao Cường - THCS Thái Thịnh – Quận Đống Đa – TP. Hà Nội

19

Sử dụng bất đẳng thức Cô - si trong giải tốn THCS
thức bậc hai của b) do đó ta phải phân tích về thành tích của các đa thức bậc nhất
đối với b, khi đó ta có thể tách hạng tử a thành tổng các hạng tử là các thừa số của
mẫu.
Vậy ta có:  a b  b

= (a - b)( b + 1)( b + 1)  ta phân tích a theo 2 cách sau:

2

1

2a +2 = 2(a - b) + ( b + 1) + ( b + 1) hoặc a +1 = a b 



Từ đó ta có (1) tương đương :
VT + 1 = a 1

4

 a  b  b





 ab 

2

C



ôsi

b 1 b 1

2
2

b 1 b 1
4


2
2 a  b   b 1b 1

1
4 a  b. b 1. b 1 . 4
 4  ĐPCM
22
a  bb 1b 1

4.



Bài 5: CMR :

2a3 1 
4b(a  b) 3

a

1

  2
1
a
 b
Giải

Nhận xét: Dưới mẫu số b(a-b) ta nhận thấy b + ( a – b ) = a. Chuyển đổi tất cả
biểu thức sang biến a là 1 điều mong muốn vì việc sử lí với 1 biến sẽ đơn giản hơn.
Biến tích thành tổng thì đây là một mặt mạnh của BĐT Cơ-si. Do đó:2
b ab 

Ta có đánh giá về mẫu số như sau: 4.b a  b  4.


2



Vậy:







ôsi

C
3
3
3

C
2a3
2a
1
a

a

1

aa

ôsi
1
1
2
4b(a  b)
a
a

2
a

Dấu “ = ” xảy ra  b  a  b

1 
a



2

a
4.  a2
4


33 a.a.

1

3

a

a 1


1

Bình luận:


Nguyễn Cao Cường - THCS Thái Thịnh – Quận Đống Đa – TP. Hà Nội

20