Sáng kiến kinh nghiệm ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

- 1 -
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
Đơn vị Trường THPT Ngô Quyền
Mã số:
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ỨNG DỤNG
BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG
TRÌNH
Người thực hiện: ĐỖ TẤT THẮNG.
Lĩnh vực nghiên cứu:
Quản lý giáo dục 
Phương pháp dạy học bộ môn: TOÁN 
Lĩnh vực khác: 
Có đính kèm:
 Mô hình  Đĩa CD(DVD)  Phim ảnh  Hiện vật khác
(các phim, ảnh, sản phẩm phần mềm)
Năm học: 2014-2015
SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1. Họ và tên: ĐỖ TẤT THẮNG
2. Ngày tháng năm sinh: 06/09/1981
3. Nam, nữ: Nam
4. Địa chỉ: 149/7 Hưng Đạo Vương, Khu phố 2 phường Trung Dũng, BH-Đồng Nai.
5. Điện thoại: 0918.306.113
6. E-mail:
7. Chức vụ : Không
8. Nhiệm vụ được giao:
+Giáo viên Toán lớp 10A2,10A6 và 11A6.
+Giáo viên chủ nhiệm lớp 10A2.
+Tham gia bồi dưỡng đội tuyển Toán lớp 10.

+Ủy viên ban thanh tra nhân dân
9. Đơn vị công tác: Trường THPT Ngô Quyền
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Thạc sĩ Toán
- Năm nhận bằng: 2010
- Chuyên ngành đào tạo: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán.
III.KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Dạy học Toán
- Số năm có kinh nghiệm: 5 năm
- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: 5
Năm học 2010-2011: Ứng dụng tích vô hướng 2 véctơ để giải một số bài toán hình
học không gian qua các kì thi đại học.
Năm học 2011-2012: Áp dụng bất đẳng thức phụ để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất và chứng minh bất đẳng thức.
Năm học 2012-2013: Dự đoán dấu bằng trong bất đẳng thức Cô-si để tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất và chứng minh bất đẳng thức.
Năm học 2013-2014: Đổi biến để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và chứng
minh bất đẳng thức.
Năm học 2014-2015: Ứng dụng bất đẳng thức để giải phương trình và hệ phương
trình .
- 2 -
ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC
ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
- Bất đẳng thức (BĐT) là kiến thức không thể thiếu trong các kì thi đại học, cao đẳng,
thi học sinh giỏi. BĐT áp dụng rất nhiều trong trong cuộc sống nói chung và toán học
nói riêng chẳng hạn: giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất
phương trình, các bài toán cực trị . . .
- Ứng dụng BĐT để giải phương trình và hệ phương trình có lời giải hay, ngắn gọn và
mạnh có thể giải quyết bài toán ở mức độ tổng quát hơn, trong nhiều bài toán thì ứng

dụng BĐT không cần huy động tới kiến thức đạo hàm của lớp 12, đôi khi là phương
pháp duy nhất. Hơn hết là rất phù hợp với HS lớp 10.
- Ứng dụng BĐT để giải phương trình và hệ phương trình là hệ thống phương pháp rất
sâu và rộng. Nhưng với vai trò giáo viên dạy Toán khối 10 và trong phạm vi sáng kiến
kinh nghiệm này chúng tôi chỉ tập trung vào các dạng phổ biến HS hay gặp phải trong
các đề thi CĐ, Đại học, tuyển sinh 10 chuyên, các đề thi học sinh giỏi tỉnh …Cụ thể hơn
sẽ được thể hiện trong sáng kiến kinh nghiệm (SKKN).
II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
Qua thực tế dạy học chúng tôi nhận thấy trong chương trình lớp 10 phần ứng dụng
BĐT để giải phương trình và hệ phương trình là không có. Nhưng trong các đề thi học
sinh giỏi, tuyển sinh 10, đại học. . . lại có. Do đó, tôi làm SKKN này với mong muốn là
một tài liệu giúp HS đỡ khó khăn hơn khi gặp các bài có dạng trên.
III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP
Chúng tôi cố gắng biên soạn kĩ thuật giải , hệ thống bài tập dựa trên cơ sở lý thuyết
bám sát chương trình, mục đích cho HS dễ hiểu nhất có thể. Cơ sở lý thuyết là các phần
kiến thức sau đã được đề cập trong chương trình hiện hành:
ST
T
Kiến thức Trang Sách Ghi chú
1 Các tính chất của giá trị tuyệt đối 78
Đại số 10 ban cơ
bản
2
Tính chất bình phương, tổng bình
phương
Đã học ở cấp 2
3
Bất đẳng thức Cô-si (Cauchy) 2 số 76
Đại số 10 ban cơ
bản (nâng cao)

Bất đẳng thức Cô-si (Cauchy) 3 số 108
Đại số 10 ban
nâng cao
4
Bất đẳng thức Bunnhiacốpski (Cauchy-
Schwarz)
111
Đại số 10 ban
nâng cao
Trong phần
đọc thêm
5
Bất đẳng thức được chứng minh từ tích
vô hướng 2 vecto, tổng độ dài 2 vecto
Hình học 10 Ban
cơ bản
- 3 -
Trong phần tiếp theo, chúng tôi sẽ phân tích cụ thể từng phần theo thứ tự lý thuyết
trước bài tập ứng dụng sau.
Ứng dụng bất đẳng thức để giải phương trình
Cho
1 2
( , , , )
n
f x x x
là hàm
n
biến thực trên
n
D f D⊂ →¡ ¡: :

. Tương tự với
n
g x x x
1 2
( , , , )
,
n
h x x x
1 2
( , , , )
.
Gỉai phương trình
n n
f x x x g x x x=
1 2 1 2
( , , , ) ( , , , )
(1)
Bước 1:Nhìn vào dấu hiệu và lưu ý(sẽ được chia cụ thể từng dạng khác nhau)của
phương trình (1) từ đó sẽ suy ra hướng giải.
Bước 2 : Đánh giá 2 vế phương trình bằng cách áp dụng BĐT cô-si, bunhiacốpski, các
tính chất. . . ta được:
n n
n
n n
f x x x h x x x
x x x D
g x x x h x x x

≤


∀ ∈

≥


1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
( , , , ) ( , , , )
( , , , )
( , , , ) ( , , , )
(2)
Bước 3 : Kết hợp (1) và (2) thu được :
n n
n
n n
f x x x h x x x
x x x D
g x x x h x x x

=

∀ ∈

=


1 2 1 2
1 2
1 2 1 2

( , , , ) ( , , , )
( , , , )
( , , , ) ( , , , )
(3)
Bước 4 : Áp dụng dấu “=” xảy ra khi dùng BĐT. Từ đó ta tìm được nghiệm của phương
trình (1).
Khi giải lưu ý: Dấu”=” của các BĐT cùng xảy ra tại cùng giá trị của biến và đồng thời
là nghiệm của phương trình. Nghiệm của phương trình cũng là giá trị của biến để dấu
“=” xảy ra tại mỗi lần áp dụng BĐT nên:
+Nếu nhẩm được nghiệm của phương trình thì ta có thể suy luận được là nên
ứng dụng BĐT nào(Cô-si, Bunnhiacốpski, …)? Ứng dụng thế nào để BĐT có dấu”=”
xảy ra tại các BĐT được sử dụng.
+Nếu định hướng dùng BĐT cụ thể ta có dấu”=” của BĐT xảy ra từ đó suy ra
nghiệm của phương trình.
+Người làm toán nên kết hợp Dấu”=” của BĐT và nghiệm của phương trình từ
đó cho lời giải nhanh và chính xác nhất. Nếu chúng không đồng thời xảy ra thì phương
trình vô nghiệm hoặc phải đổi BĐT hoặc hướng khác.
Các giải pháp cụ thể được trình bày theo từng phần theo thứ tự lý thuyết trước,
bài tập sau:
1. Ứng dụng tính chất của giá trị tuyệt đối
Khi giải phương trình, hệ phương trình mà thấy các “dấu hiệu” sau:

Số ẩn của phương trình, hệ phương trình nhiều hơn số phương trình.

Số ẩn của phương trình, hệ phương trình bằng số phương trình.

Phương trình có chứa tổng các giá trị tuyệt đối.

Phương trình có chứa tổng nhiều căn bậc hai và các biểu thức trong căn bậc hai là
bình phương hoặc tổng bình phương các biểu thức khác.

thì thử ứng dụng các tính chất của giá trị tuyệt đối để giải.
- 4 -
Tính chất của giá trị tuyệt đối:
+
≥ ∀ ∈
0,x x R
. Dấu = xảy ra
⇔
=
0x
.
+
≥ ∀ ∈
,x x x R
. Dấu = xảy ra
⇔
≥
0x
.
+
≥ − ∀ ∈
,x x x R
. Dấu = xảy ra
⇔
≤
0x
.
Ví dụ 1. Gỉai phương trình
2 2 2
4 4 8 16 12 36 4x x x x x x

+ + + + + + + + =
Lời giải 1 (không dùng BĐT):
Phương trình đã cho tương đương với
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 4 6 4x x x
+ + + + + =
2 4 6 4x x x
⇔ + + + + + =
(*)
x
−∞
-6 -4 -2
+∞

2x +

2x− −

2x− −

2x− −
0
2x +
4x +

4x
− −

4x

− −
0
4x
+

4x
+
6x +

6x− −
0
6x +

6x +

6x +
VT(*)

3x−

x−

8x +

3 12x +
Trường hợp 1:
6x
≤ −
(*)
⇔

4
3 4
3
x x− = ⇔ = −
(loại)
 Trường hợp 2:
2 4x
− < ≤ −
(*)
⇔
4 4x x
− = ⇔ = −
(nhận)
 Trường hợp 3:
4 2x
− < ≤ −
(*)
⇔
8 4 4x x
+ = ⇔ = −
(loại)
 Trường hợp 4:
2x
> −
(*)
⇔
8
3 12 4
3
x x+ = ⇔ = −

(loại)
Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất
4x
= −
Lời giải 2 (Dùng BĐT):
Phương trình đã cho tương đương với
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 4 6 4x x x
+ + + + + =
2 4 6 4x x x
⇔ + + + + + =
Ta có
2 4 6 2 0 6 4x x x x x
+ + + + + ≥ − − + + + =
- 5 -
Dấu “=” xảy ra
⇔
2 0
4 0 4
6 0
x
x x
x
+ ≤


+ = ⇔ = −



+ ≥

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x=-4
Kĩ thuật Lời giải 2 cho phép ta mở rộng và giải quyết bài toán mạnh hơn sau:
Mở rộng Ví dụ 1: Giải phương trình
( ) ( )
*
1 2 3 2 1 1 ,x x x x n n n n N
+ + + + + + + + + = + ∈
Khi n càng lớn thì Lời giải 1 càng gặp khó khăn , ngược lại Lời giải 2 vẫn thuận lợi.
Bảng so sánh các ưu, nhược điểm của Lời giải 1 và Lời giải 2 đối với HS lớp 10:
Ưu điểm Nhược điểm
Lời giải 1
(Không dùng
BĐT)
-Lời giải dài dòng, khó hiểu. HS hay
sai phần hợp và giao khi kết luận.
-Khó khăn khi phương trình có chứa
tổng nhiều tuyệt đối.
Lời giải 2
(Dùng BĐT)
-Lời giải ngắn gọn, dễ hiểu.
-Giải quyết được bài toán tổng quát
khi phương trình có chứa tổng nhiều
tuyệt đối.
-Tính chất BĐT chứa giá trị tuyệt
đối phù hợp lớp 10.
Ví dụ 2. Giải phương trình
2 4 2x x
+ + + =

Lời giải:
Ta có
2 2
2 4 2
4 4
x x
x x
x x
 + ≥ − −

⇒ + + + ≥

+ ≥ +


Dấu “=” xảy ra
2 0 2
4 0 4
x x
x x
+ ≤ ≤ −
 
⇔ ⇔
 
+ ≥ ≥ −
 
Vậy phương trình có tập nghiệm là
[ ]
4; 2S
= − −

Ví dụ 3. Giải phương trình
2 2
2 10 13 26 24 8 4 1x x x x x− + + − + = +

Phân tích:
Lời giải:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 10 13 26 24 8 4 1
4 4 6 9 4 4 25 20 4 4 1
2 3 2 5 2 4 1
x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x
− + + − + = +
⇔ − + + − + + − + + − + = +
⇔ − + − + − + − = +
- 6 -
Ta có:
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 3 3 3
2 5 2 5 2 5 2
5 2 3 4 1
x x x x

x x x x
VT x x x
− + − ≥ − ≥ −
− + − ≥ − ≥ −
⇒ ≥ − + − = +
Dấu “=” xảy ra
3 0
5 0 2
2 0
x
x x
x
− ≥


⇔ − ≥ ⇔ =


− =

Vậy phương trình có tập nghiệm S =
{ }
2

Bài tập tương tự (Áp dụng tính chất giá trị tuyệt đối):
Bài 1. Giải phương trình
1 2 3 2x x x+ + + + + =
ĐS: x=-2
Bài 2. Giải phương trình
1 2 3 4 5 6x x x x x+ + + + + + + + + =

ĐS: x=-3
Bài 3. Giải phương trình
2 2 2
2 1 4 4 6 9 2x x x x x x+ + + + + + + + =
ĐS: x=-2
Bài 4. Giải phương trình
2 2 2 2 2
2 1 4 4 6 9 8 16 8 16 6x x x x x x x x x x+ + + + + + + + + + + + + + =
ĐS: x=-3
Bài 5. Giải phương trình
2 2
1 2 3x x x x− + + − − =
. ĐS:
[ ]
1;2S = −
2. Ứng dụng tính chất bình phương, tổng các bình phương:
Khi giải phương trình, hệ phương trình mà thấy các “dấu hiệu” sau:

Số ẩn của phương trình, hệ phương trình nhiều hơn số phương trình.

Số ẩn của phương trình, hệ phương trình bằng số phương trình.

Phương trình có chứa tổng nhiều căn bậc hai và các biểu thức trong căn bậc hai là
tổng bình phương biểu thức khác.
thì thử ứng dụng các tính chất bình phương, tổng các bình phương để giải.

Tính chất bình phương, tổng các bình phương:
+
2
0,x x R≥ ∀ ∈

. Dấu = xảy ra
⇔
x
= 0.
+
2 2
0, ,x y x y R+ ≥ ∀ ∈
. Dấu = xảy ra
⇔
x=y= 0.
Từ 2 tính chất trên ta suy ra:

2
,x m m x R+ ≥ ∀ ∈
. Dấu “=” xảy ra
⇔
x=0

2
,x M M x R− + ≤ ∀ ∈
. Dấu “=” xảy ra
⇔
x=0
Ví dụ 4. Giải phương trình:
( )
1
2 3 5 7
2
x y z x y z− + − + − = + + −
(*)


Phân tích:
− Chỉ có 1 phương trình mà có tới 3 ẩn đây là “dấu hiệu” dùng BĐT.
− Vế trái có căn bậc hai, vế phải là bậc nhất thấy ngay là đưa về hàng đẳng thức đáng
nhớ
( )
2
a b
±
.
- 7 -
Lời giải:
Điều kiện:
2 0 2
3 0 3
5 0 5
x x
y y
z z
− ≥ ≥
 
 
− ≥ ⇔ ≥
 
 
− ≥ ≥
 
(*)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )

2 2 2
2 2 2
2 2 2 3 2 5 7
2 2 2 1 3 2 3 1 5 2 2 1 0
2 1 3 1 5 1 0
2 1 0
3
3 1 0 4
6
5 1 0
x y z x y z
x x y y z x
x y z
x
x
y y
z
z
− + − + − = + + −
     
⇔ − − − + + − − − + + − − − + =
     
     
⇔ − − + − − + − − =

− − =
=


 

⇔ − − = ⇔ =
 
 
=

− − =


Vậy hệ phương trình có nghiệm là (x;y;z)=(3;4;6).

Nhận xét: Bài toán trên có thể vận dụng BĐT Cô-si 2 số để giải, tuy nhiên chúng ta
đang nói đến BĐT cơ bản. Sẽ dùng BĐT Cô si vào phần sau.
Ví dụ 5. Giải phương trình
2 4 2
4 5 8 17 2x x x x− + + − + =

Phân tích:
− Nhìn vào các biểu thức trong căn ta thấy
2
4x x
−
và
4 2
8x x
−
điều này liên tưởng đến
hàng đẳng thức đáng nhớ nên
( )
2
2

4 5 2 1x x x− + = − +
,
( )
2
4 2 2
8 17 4 1x x x− + = − +
.
− Do đó
2VT
≥
mặt khác VP=2 nên ta thu được lời giải sau.
Lời giải:
Ta có
( )
( )
2
2
2 4 2
2
4 2 2
4 5 2 1 1
4 5 8 17 2
8 17 4 1 1
x x x
x x x x
x x x

− + = − + ≥

⇒ − + + − + ≥


− + = − + ≥


Kết hợp với phương trình ta được
2
2
2 0
2
2
4 0
2
x
x
x
x
x
x
=

− =


⇔ ⇔ =
=

 
− =




= −


Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=2
Ví dụ 6. Giải phương trình:
2 2 2
3 6 12 5 10 9 3 4 2x x x x x x+ + + + + = − −
Lời giải:
Ta có
( )
( )
2
2
2
2
2
2
3 6 12 3 1 9 9
3 6 12 3
5
5 10 9 5 1 4 4
5 10 9 2
x x x
x x
VT
x x x
x x



+ + = + + ≥
+ + ≥
 
⇒ ⇒ ≥
 
+ + = + + ≥
+ + ≥
 


Lại có
( )
2
5 2 1 5VP x= − + ≤
Do đó
2 2 2
1 0
3 6 12 5 10 9 3 4 2 1 0 1
1 0
x
x x x x x x x x
x
+ =


+ + + + + = − − ⇔ + = ⇔ = −


+ =


- 8 -
Vậy phương trình có nghiệm là x=-1
Ví dụ 7. Giải hệ phương trình:
1 1 4(1)
3 (2)
x y
x y xy

+ + + =


+ − =


Lời giải:
ĐK:
0
1 0, 1 0
xy
x y
≥


+ ≥ + ≥

mà
0
3 0
0
x

x y xy
y
>

+ = + > ⇒

>

Lấy 2(2)-4(1) ta được:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2 2 2
2 4 1 1 10
1 4 1 4 1 4 1 4 2 0
1 2 1 2 0
1 2 0
3
1 2 0
3
0
x y xy x y
x x y y x xy y
x y x y
x
x
y
y

x y
+ − − + + + = −
   
 
⇔ + − + + + + − + + + − + =
   
 
   
⇔ + − + + − + − =

+ − =

=


⇔ + − = ⇔
 
=


− =



Nhận xét:
- Hệ phương trình trên là hệ phương trình đối xứng loại 1 nên có thể dùng cách đặt ẩn
phụ. Nhưng cách đăt ẩn phụ dài dòng.
-Dùng BĐT cho lời giải ngắn gọn và đẹp hơn.

Bài tập tương tự (Áp dụng đưa về bình phương, tổng các bình phương):

Bài 1. Giải phương trình
2
4 5 2 2 3x x x+ + = +
. ĐS: x=-1
Bài 2. Giải phương trình:
3
1 2 1
2
xy
x y y x− + − =
. ĐS: x=y=2
Bài 3. Giải phương trình:
2 2
4 2 2 8 5 2 3x x x x− + − + − + − = +
. ĐS : x=2
Bài 4. Giải hệ phương trình:
2
1 1 1
2
2 1
4
x y z
xy z

+ + =




− =



ĐS: x=y=1/2,z=-1/2
3. Ứng dụng Bất đẳng thức Cô-si (Cauchy)
Khi giải phương trình, hệ phương trình mà thấy các “dấu hiệu” sau:

Số ẩn của phương trình, hệ phương trình nhiều hơn số phương trình.

Số ẩn của phương trình, hệ phương trình bằng số phương trình.

Các ẩn trong phương trình đều dương hoặc không âm.

Phương trình có chứa căn bậc hai, căn bậc ba.(biểu thức trong căn không âm do giả
thiết cho hoặc từ điều kiện)
Khi áp dụng BĐT Cô-si 2 số a,b không âm (để dễ lập luận chúng tôi dùng 2 số)
- 9 -

Biểu thức
2
a b+
là hằng số hoặc biểu thức bé hơn hoặc bằng vế còn lại của phương
trình.

Biểu thức
ab
là hằng số hoặc biểu thức lớn hoặc bằng vế còn lại của phương
trình.
thì thử ứng dụng BĐT Cô-si để giải.
Khi giải lưu ý: Dấu”=” của các BĐT cùng xảy ra tại cùng giá trị của biến và đồng thời
là nghiệm của phương trình, hệ phương trình. Nghiệm của phương trình, hệ phương

trình cũng là giá trị của biến để dấu “=” xảy ra tại mỗi lần áp dụng BĐT Cô-si hoặc
các BĐT khác nên:
+Nếu nhẩm được nghiệm của phương trình, hệ phương trình thì ta có thể suy
luận được là nên ứng dụng BĐT Cô-si hay không? Ứng dụng thế nào để BĐT Cô-si có
dấu”=” xảy ra tại các BĐT được sử dụng.
+Nếu định hướng dùng BĐT Cô-si thì ta có dấu”=” của BĐT xảy ra từ đó suy ra
nghiệm của phương trình, hệ phương trình.
+Người làm toán nên kết hợp Dấu”=” của BĐT và nghiệm của phương trình, hệ
phương trình từ đó cho lời giải nhanh nhất. Nếu chúng không đồng thời xảy ra thì
phương trình vô nghiệm hoặc phải đổi BĐT hoặc hướng khác
 Bất đẳng thức Cô-si 2 số không âm
Cho a, b
≥
0, ta có:
a b
ab
2
+
≥
. Dấu "=" xảy ra
⇔
a = b.
 Bất đẳng thức Cô-si 3 số không âm
Cho a, b, c
≥
0, ta có:
a b c
abc
3
3

+ +
≥
. Dấu "=" xảy ra
⇔
a = b = c.

Nhận xét:
− Dấu hiệu để dùng BĐT Cô-si các biến trong BĐT luôn không âm hoặc dương. Điều
này giúp ta nhận định nhanh bài toán có nên dùng BĐT Cô-si hay không.
− Dấu “=” trong bất đẳng thức có vai trò rất quan trọng. Nó giúp kiểm tra tính đúng
đắn của chứng minh, định hướng cách giải. Đặc biệt, khi áp dụng nhiều lần bất đẳng
thức thì các dấu “=” phải đồng thời xảy ra với cùng một điều kiện của biến.
Ví dụ 8. Giải phương trình:
2
7 5 12 38x x x x− + − = − +


Phân tích:
− Đầu tiên thử bình phương 2 vế không âm ta được
4 2 3 2
4 3 2
7 5 2 7 5 144 1444 24 76 912
24 220 912 1442 2 7 5
x x x x x x x x x
x x x x x x
− + − + − − = + + − + −
⇔ − + − + = − −
Tới đây thấy ngay là nếu tiếp tục bình phương hai vế sẽ xuất hiện phương trình bậc 8
nên cách này không khả quan. Do đó không thể sử dụng cách biến đổi thông thường.
- 10 -

− Phương trình có chứa đầy đủ các “dấu hiệu” và “lưu ý” của BĐT Cô-si.
Lời giải (Sử dụng BĐT Cô-si):
*Điều kiện 5
≤
x
≤
7
Áp dụng BĐT BĐT Côsi cho hai số ta được
( ) ( )
( ) ( )
1 7 1 5
1 7 1 5 2
2 2
x x
VT x x
+ − + −
= − + − ≤ + =
(1)
Mặt khác
( )
2
2
12 38 6 2 2VP x x x
= − + = − + ≥
(2)
Kết hợp với phương trình. Dấu “=” xảy ra
7 1
5 1 6
6 0
x

x x
x
− =


⇔ − = ⇔ =


− =

Vậy S =
{ }
6

Nhận xét:
− Có thể giải bằng BĐT Bunnhiacốpski (sẽ trình bày ở phần sau) hoặc phương pháp
hàm số của HS lớp 12 để đánh giá 2 vế của phương trình).
− Đối với dạng bài tập tương tự Ví dụ 8 trong phạm vi kiến thức lớp 10 không thể
dùng phương pháp biến đổi tương đương, bình phương 2 vế để giải quyết. Chỉ có thể
áp dụng BĐT Cô-si hoặc Bunnhiacốpski. Do đó, đối với một số phương trình thì ứng
dụng BĐT là phương pháp duy nhất có thể tiếp cận và phù hợp với HS lớp 10.
− Bằng kĩ thuật tương tự có thể giải mở rộng Ví dụ 8 như sau:
Mở rộng 8a : Giải phương trình:
2 2x a a x
− + + − =
với a là hằng số cho trước.
Mở rộng 8b : Giải phương trình:
2 ( )x a a x f x
− + + − =
với a là hằng số cho trước ,

và
[ ; 2]
( ) 2
a a
Min f x
+
=
Ví dụ 9. Giải phương trình:
( )
1
2 3 5 7
2
x y z x y z
− + − + − = + + −

Phân tích:
− Chỉ có 1 phương trình mà có tới 3 ẩn, mà từ điều kiện các biểu thức trong căn phải
không âm đây là “dấu hiệu” dùng BĐT Cô si.
− Nếu áp dụng BĐT Cô-si thì
( ) ( ) ( ) ( )
1
1 2 1 3 1 5 7
2
VT x y z x y z VP= − + − + − ≤ + + − =
.
− Áp dụng BĐT Cô-si thì dấu “=” xảy ra khi (x;y;z)=(3;4;6) thử lại cũng là nghiệm
của phương trình.
Lời giải:
Điều kiện:
2 0 2

3 0 3
5 0 5
x x
y y
z z
− ≥ ≥
 
 
− ≥ ⇔ ≥
 
 
− ≥ ≥
 
Áp dụng BĐT Cô si 2 số không âm ta có
- 11 -
( )
1 2 1
1 2
2 2
x x
x
+ − −
− ≤ =
(1)
( )
1 3 2
1 3
2 2
y y
y

+ − −
− ≤ =
(2)
( )
1 5 4
1 5
2 2
z z
z
+ − −
− ≤ =
(3)
(1)+(2)+(3) ta được
( )
1
2 3 5 7
2
x y z x y z− + − + − ≤ + + −
Dấu “=” xảy ra
⇔

2 1
3 1
5 1
x
y
z
− =



− =


− =

⇔
3
4
6
x
y
z
=


=


=

Vậy phương trình có nghiệm là (x;y;z)=(3;4;6)
Bằng kĩ thuật giải tương tự ta có thể giải được các bài toán mở rộng của Ví dụ 9 sau:
Mở rộng 9a : Giải phương trình:
*
1 1 1
1
,
2
n n n
i i i i

i i i
x x n n N
α α
= = =
 
− = − + ∈
 
 
∑ ∑ ∑
với
i
α

là các hằng số cho trước .
Mở rộng 9b : Giải phương trình:
2 *
1 1 1 1
1
,
2
n n n n
i i i i i i
i i i i
x x n N
β α β α
= = = =
 
− = + − ∈
 
 

∑ ∑ ∑ ∑

với
i
α
,
i
β
là các hằng số cho trước và
0
i
β
>
.
Ví dụ 10.Giải phương trình
2 2 2
1 1 2x x x x x x+ − + − + + = − +

Phân tích:
− Nếu bình phương 2 vế sẽ xuất hiện phương trình bậc 4, bậc 8 gây khó khăn.
− Phương trình có chứa đầy đủ các “dấu hiệu” và “lưu ý” của BĐT Cô-si.
− Áp dụng BĐT Cô-si thì
( ) ( )
2 2
1 1 1 1
1
2 2
x x x x
VT x
+ + − + − + +

≤ + = +
còn
1VP x
≥ +
.
− Theo BĐT Cô-si dấu “=” xảy ra khi x=1, đồng thời x=1 cũng là nghiệm của
phương trình.
Lời giải:
Ta có ĐK:
2
2
1 0
1 0
x x
x x

+ − ≥


− + + ≥


Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số không âm
ta có:
( ) ( )
2 2
2 2
1 1 1 1
1 1 1 1 1
2 2

x x x x
VT x x x x x
+ + − − + +
= + − + − + + ≤ + = +

2 2
1 1 1x x x x x
⇒ + − + − + + ≤ +

Mặt khác:

( )
2
2
2 1 1 1x x x x x− + = − + + ≥ +
- 12 -
Vậy

( )
2 2 2
2
2
2
1 1 2 1
1 1
1 1 1
1 1
x x x x x x x
x x
x x x

x
+ − + − + + = − + = +

+ − =


⇔ − + + = ⇔ =


− =



Vậy x=1 là nghiệm

Nhận xét: Cũng với cách giải trên ta có bài toán tổng quát hơn
Mở rộng 10a : Giải phương trình:
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
1
2
2
a x b x c a x b x c a a x b b x c c
 
+ + + + + = + + + + + +
 

Mở rộng 10b : Giải phương trình:
2 2

1 1 1 2 2 2
( )a x b x c a x b x c f x+ + + + + =
và
( ) ( ) ( )
2
1 2 1 2 1 2
1
( ) 2 ,
2
f x a a x b b x c c x D
 
≥ + + + + + + ∀ ∈
 
Với điều kiện là các biểu thức trong căn bậc hai là không âm.
Ví dụ 11.Giải hệ phương trình:
2 3 3
1 2 3
12
x y z
x y z
+ + =



+ + =


với x, y, z > 0

Phân tích:

− Chỉ có 2 phương trình mà có tới 3 ẩn dương đây là “dấu hiệu” dùng BĐT Cô-si.
− Nhận thấy x=y=z=1/2 là nghiệm của hệ nên khi áp dụng BĐT Cô-si dấu”=” phải
xảy ra do đó phải kết hợp 2 pt thoả 2 yếu tố trên để phân tích
( )
1 1 2 3 1 1 3
2 3 6 2 3 6
4 4 2 4
x y z x y z
x y z x y z
   
   
+ + + + + = ⇔ + + + + + =
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
   
Lời giải:
Từ hpt ta có

( )
1 1 2 3
2 3 6
4
1 1 3
2 3 6
4 2 4
x y z
x y z
x y z
x y z

 
+ + + + + =
 ÷
 
 
   
⇔ + + + + + =
 ÷
 ÷  ÷
   
 
Vì x, y, z > 0 ta áp dụng BĐT Côsi cho 2 số
1
1
4
x
x
+ ≥
(1)
2 1
2 2 2
4 4
y y
x y
 
+ = + ≥
 ÷
 
(2)
3 1

3 3 3
4 4
z z
z z
 
+ = + ≥
 ÷
 
(3)
- 13 -
Từ (1), (2) và (3) ta có:
1 2 3
2 3 1 2 3 6
4 4 4
x y z
x y z
+ + + + + ≥ + + =
Dấu “=” xảy ra khi
1
2
x y z= = =

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: S =
1 1 1
, ,
2 2 2
 
 
 
 ÷

 
 
Tương tự giải được các bài toán tổng quát sau, tuỳ theo mức độ khó dễ mà người ra đề
dựa vào dấu "=” xảy ra khi nào.
Mở rộng 11a: Giải hệ phương trình:
( )
( )
1 2 3 1 2 3
1 2 3
3
1 2
(1)
(2)
x y z
x y z
α α α α α α α
α α α
αα α
α
+ + = + +

+ +

+ + =


với x, y, z > 0 và
1 2 3
, , , 0
α α α α

>
là các hằng số cho trước.

Mở rộng 11b: Giải hệ phương trình:
( )
( )
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3
1 2
(1)
2
2 (2)
x y z
x y z
α α α α
α α α
α α α
α
α α
α
+ +

+ + =



+ +


+ + =


với x, y, z > 0 và
1 2 3
, , , 0
α α α α
>
là các hằng số cho trước.
Ví dụ 12.Giải hệ phương trình:
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
x
y
x
y
z
y
z
x

z

=

+


=

+


=

+



Phân tích:
− x khác 0 thì x,y,z đều dương, đây là “dấu hiệu” của BĐT Cô-si.
Lời giải:
Trước tiên nhận thấy (x;y;z)=(0;0;0) là một nghiệm của hệ phương trình
Xét
0x ≠
thì
0y >
và
0z >
Áp dụng BĐT Cô si cho 2 số dương 1>0,
2

0x >
ta có
2
2 2
2
2
1 2 1. 2
1
x
x x x x y x
x
+ ≥ = ⇒ ≤ ⇒ ≤
+
(1)
Tương tự:

2
2
2
1
y
y z y
y
≤ ⇒ ≤
+
(2)

2
2
2

1
z
z x z
z
≤ ⇒ ≤
+
(3)
- 14 -
Kết hợp (1),(2),(3) ta được
y x z y x y z≤ ≤ ≤ ⇔ = =

thế vào hệ thu được
1x y z
= = =
.
Vậy hệ phương trình trên có 2 cặp nghiệm (x;y;z)={(0;0;0),(1;1;1)}

Nhận xét: Hpt trên là hệ hoán vị vòng quanh, có thể dùng phương pháp hàm số để
giải, tuy nhiên điều này gây khó khăn cho HS lớp 10.
Bằng kĩ thuật tương tự giải được các bài toán tổng quát sau :
Mở rộng 12a : Giải hệ phương trình:
2 2
4 2
2 2
*
4 2
2 2
4 2
2
1

2
,
1
2
1
k
k
k
k
k
k
x
y
x
y
z k N
y
z
x
z
+
+
+
+
+
+

=

+



= ∈

+


=

+


Mở rộng 12a sẽ gặp khó khăn khi giải bằng phương pháp hàm số. Tuy nhiên, ứng dụng
BĐT Cô-si thì lời giải rất đẹp và ngắn gọn hơn.

Bài tập tương tự (Áp dụng BĐT Cô-si):
Bài 1. Giải phương trình
2 4 2x x
− + − =
HD:Áp dụng BĐT Cô-si

x = 3
Bài 2. Giải phương trình:
2
2 3 5 2 3 12 14x x x x− + − = − +
HD:Áp dụng BĐT Cô-si ,

x = 2
Bài 3. Giải phương trình :
2

2 10 12 40x x x x
− + − = − +
HD:Áp dụng BĐT Cô-si ,

x = 6
Bài 4. Giải phương trình:
( )
1
1 3 5 7 12
2
x y z t x y z t− + − + − + − = + + + −

HD:Áp dụng BĐT Cô-si ,

x = 2, y=4, z=6, t=8
Bài 5. Giải phương trình:
( )
1
1 3 3 5 5 7 7 68
2
x y z t x y z t− + − + − + − = + + + +

HD:Áp dụng BĐT Cô-si ,

x = 2, y=12, z=30, t=56
Bài 6. Giải phương trình:
( )
1
2 1 3 5 11
2

x y z x y z+ − + − = + + +

(Đề thi HSG tỉnh Quảng Nam)
HD:Áp dụng BĐT Cô-si hoặc đưa vế trái về tổng các bình phương

x = 1, y=5, z=11
Bài 7. Giải phương trình:
2
3
1
1
3
=
+
+
+
x
x
HD:Áp dụng BĐT Cô-si ,

x = 2 hoặc x=-4
Bài 8. Giải phương trình:
+ + + − + + − = + +
3 2 3 2 2
3 2 2 3 2 1 2 2 2x x x x x x x
- 15 -
(Đề thi chọn đội tuyển trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội)
HD:Áp dụng BĐT Cô-si cho VT, ĐS: x=-1
Bài 9. Giải phương trình:
− + + =

2 4 2 4
13 9 16x x x x

HD:Áp dụng BĐT Cô-si cho VT, ĐS: x=
2 5
5
Bài 10. Giải phương trình
2
3 2
1 2 1
2 2
x x
x x x+ + = − + +

HD:Áp dụng BĐT Cô-si , ĐS: x=0 hoặc x=3
Bài 11. Giải phương trình:
+ = +
3
4 3
16 5 6 4x x x
HD:Áp dụng BĐT Cô-si , ĐS: x=1/2
Bài 12. Giải hệ phương trình:
3 5 9
1 3 5
9
x y z
x y z
+ + =




+ + =


với x, y, z > 0
HD:Áp dụng BĐT Cô-si

x = y=z=1
Bài 13. Giải hệ phương trình:
6
10
6
10
6
10
2
1
2
1
2
1
x
y
x
y
z
y
z
x
z


=

+


=

+


=

+

. ĐS: x=y=z=1
Bài 14. Giải hệ phương trình
( ) ( ) ( )
( )

+ + =


+ + + = +


3
3
3
1 1 1 1

x y z
x y z xyz

HD:Áp dụng BĐT Cô-si 3 số, ĐS: x=y=z=1
Bài 15. Giải hệ phương trình:
( )

+ + + =

 

+ + =
 ÷

 ÷
+ +
 

3 2 7 10
1 1
2
3 3
x y x y
x y
x y x y
(Đề thi đề nghị của trường THPT chuyên Lương Thế Vinh tỉnh Đồng Nai thi
Olympic 30/4 năm 2012)
HD:Áp dụng BĐT Cô-si , hpt có nghiệm là x =y=4
Bài 16. Giải hệ phương trình


+ =




+ =


2
4
2
4
1
2 3
1
2 3
x
y
y
x
HD:Áp dụng BĐT Cô-si 3 số, ĐS: (x;y)={(1;1),(1;-1),(-1;1),(-1;-1)}
- 16 -
Bài 17. Giải hệ phương trình

+ = +


− +



+ = +

− +

2
3
2
2
2
3
2
2 9
2
2 9
xy
x x y
x x
xy
y y x
y y
ĐS: (x;y)={(1;1),(0;0)}
4. Ứng dụng Bất đẳng thức Bunnhiacốpski
Khi giải phương trình, hệ phương trình mà thấy các “dấu hiệu” sau:

Số ẩn của phương trình, hệ phương trình nhiều hơn số phương trình.

Số ẩn của phương trình, hệ phương trình bằng số phương trình.

Phương trình,hệ phương trình có chứa các căn bậc hai.
Khi áp dụng BĐT Bunnhiacốpski với 2 cặp số

( )
1 2
,a a
và
( )
1 2
,b b
(hoặc 3 cặp số) để
dễ phân tích chúng tôi dùng 2 cặp.

Biểu thức
+ +
2 2 2 2
1 2 1 2
( )( )a a b b
là hằng số hoặc là biểu thức bé hơn hoặc bằng vế còn
lại của phương trình.

Biểu thức
( )
+
2
1 1 2 2
a b a b
là hằng số hoặc là biểu thức lớn hơn hoặc bằng vế còn lại
của phương trình.
“thì thử” ứng dụng BĐT Bunnhiacốpski để giải.
Khi giải “lưu ý”: Nghiệm của phương trình, hệ phương trình cũng là giá trị của biến
để dấu “=” xảy ra tại mỗi lần áp dụng BĐT Bunnhiacốpski hoặc các BĐT khác nên:
+Nếu nhẩm được nghiệm của phương trình, hệ phương trình thì ta có thể suy

luận được là nên ứng dụng BĐT Bunnhiacốpski hay không? Ứng dụng thế nào để BĐT
Bunnhiacốpski có dấu”=” xảy ra tại các BĐT được sử dụng.
+Ngược lại nếu định hướng dùng BĐT Bunnhiacốpski thì ta có dấu”=” của BĐT
xảy ra để suy ra nghiệm.
+Người làm toán nên kết hợp Dấu”=” của BĐT và nghiệm của phương trình, hệ
phương trình từ đó cho lời giải nhanh nhất. Nếu chúng không đồng thời xảy ra thì
phương trình vô nghiệm hoặc phải đổi BĐT hoặc hướng khác
Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki (Cauchy- Schwarz)với 2 cặp số thực
Cho hai cặp số thực
( )
1 2
,a a
và
( )
1 2
,b b
ta có:
+ ≤ + +
2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
( ) ( )( )a b a b a a b b
.
Dấu "=" xảy ra ⇔
=
1 2 2 1
a b a b
Chứng minh
Ta có
+ ≤ + +
2 2 2 2 2

1 1 2 2 1 2 1 2
( ) ( )( )a b a b a a b b
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
⇔ + + ≤ + + +
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2
2a b a b a b a b a b a b a b a b
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
⇔ ≤ + ⇔ − ≥
2 2 2
1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1
2 0a b a b a b a b a b a b
(đpcm)
Dấu “=” xảy ra ⇔
− =
1 2 2 1
0a b a b
⇔
=
1 2
1 2
a a
b b
(
≠
1 2
0b b
)
- 17 -
Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki (Cauchy- Schwarz) với 2 bộ ba số thực

Cho hai bộ ba số thực
( ) ( )
1 2 3 1 2 3
, , , , ,a a a b b b
ta có:
+ + ≤ + + + +
2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3
( ) ( )( )a b a b a b a a a b b b
.
Nếu
≠
1 2 3
0b b b
thì đẳng thức xảy ra ⇔
= =
3
1 2
1 2 3
a
a a
b b b
Chứng minh:
Thật vậy
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )

( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
+ + ≤ + + + +
⇔ + + + + +
≤ + + + + + + + +
⇔ + + ≤ + + +
2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3
2
2 2
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 2 2 3 1 1 3 3
3
2 2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3
2 2
2 2
1 1 2 2 2 2 3 3 1 1 3 3 1 2 1 3 2 1 2 3
( ) ( )( )
2 2 2
2 2 2
a b a b a b a a a b b b
a b a b a b a b a b a b a b a b a b
a b a b a b a b a b a b a b a b a b

a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
+ +
   
 
⇔ + − + + − + + − ≥
   
 
   
2 2
3 1 3 2
2 2 2 2
2 2
1 2 2 1 1 2 2 1 1 3 3 1 1 3 3 1 2 3 3 2 2 3 3 2
2 2 2 0
a b a b
a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b
( )
( ) ( )
⇔ − + − + − ≥
2 2
2
1 2 2 1 1 3 3 1 2 3 3 2
0a b a b a b a b a b a b
(đpcm)
Dấu "=" xảy ra ⇔
− =



− =


− =

1 2 2 1
1 3 3 1
2 3 3 2
0
0
0
a b a b
a b a b
a b a b
⇔
= =
3
1 2
1 2 3
a
a a
b b b
(
≠
1 2 3
0b b b
)
Trong nhiều trường hợp áp dụng BĐT Bunnhiacốpski để giải phương trình đem lại
hiệu quả cao, lời giải ngắn gọn, xúc tích, phù hợp với học sinh lớp 10 và THCS. Sau đây

là minh hoạ.
Ví dụ 13.Giải phương trình:
( ) ( )
8 8
1 3 2x x− + − =

Phân tích:
− Phương trình có bậc 8 nên HS rất khó vận dụng được 7 hàng đẳng thức đáng nhớ.
Phương pháp giải đối với HS lớp 10 nếu không dùng BĐT thì “bó tay”.
− Phương pháp dùng BĐT Bunnhiacốpski rất mới lạ và hay.
− Có thể dùng phương pháp hàm số nhưng đây là kiến thức của HS12, HS lớp 10 chưa
học tới.
Lời giải 1 (không dùng BĐT):
Xét hàm số
( ) ( )
8 8
( ) 1 3f x x x= − + −
( ) ( )
7 7
'
( ) 8 1 4 3f x x x⇒ = − + −
( ) ( )
( ) ( )
'
7 7
7 7
( ) 0
8 1 8 3 0
1 3
1 3

2
f x
x x
x x
x x
x
=
⇔ − + − =
⇔ − = −
⇔ − = −
⇔ =
- 18 -
x
−∞
2
+∞

f’(x)
- 0 +
f(x)
+∞

+∞

2
Ta có Min f(x)=2 khi
2x =
. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là
2x =
Lời giải 2 (Dùng BĐT):

Áp dụng BĐT Bunnhiacốpski cho 2 bộ số
( )
4
1x
−
;
( )
4
3 x
−
và 1 ; 1 ta được
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
4 4 4 4 8 8 4 4
2 2
1
1 3 1 1 1 .1 3 .1 1 3 1 3 (1)
2
x x x x x x x x
 
   
 
− + − + ≥ − + − ⇔ − + − ≥ − + −
 
 

   
 

Áp dụng BĐT Bunnhiacốpski cho 2 bộ số
( )
2
1x
−
;
( )
2
3 x
−
và 1 ; 1 ta được
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2 2 2 2 4 4 2 2
2 2
1
1 3 1 1 1 .1 3 .1 1 3 1 3 (2)
2
x x x x x x x x
 
   
 

− + − + ≥ − + − ⇔ − + − ≥ − + −
 
 
   
 
Tiếp tục, áp dụng BĐT Bunnhiacốpski cho 2 bộ số
( )
1x
−
;
( )
3 x
−
và 1 ; 1 ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2
2 2
1 3 1 1 1 .1 3 .1 1 3 2 (3)x x x x x x
 
 
− + − + ≥ − + − ⇔ − + − ≥ 
 
 
 
Từ (1) và (2) ta được
( ) ( )
8 8
1 3 2x x− + − ≥
.

Kết hợp với phương trình. Dấu “=” xảy ra
( ) ( )
2 2
1 3
1 1
2
1 3
1 1
x x
x
x x

− −
=


⇔ ⇔ =

− −

=


Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất x=2.

Nhận xét: Bằng cách áp dụng BĐT Bunnhiacốpski có thể xử lí bài toán mạnh hơn :
Mở rộng Ví dụ 13 : Giải phương trình:
( ) ( )
2 2
*

,
2
k k
a b
x a x b k N
+
− + − = ∈
với a, b là
các hằng số cho trước.
Bảng so sánh các ưu, nhược điểm của Lời giải 1 và Lời giải 2 đối với HS lớp 10:
Ưu điểm Nhược điểm
Lời giải 1
(Không
dùng BĐT)
- HS lớp 10 không hiểu do chưa học
phương pháp hàm số.
Lời giải 2
(Dùng
BĐT)
-Lời giải ngắn gọn, dễ hiểu.
-Giải quyết được bài toán tổng quát
khi phương trình có bậc lớn.
-Ứng dụng BĐT Bunnhiacốpski phù
hợp với HS lớp 10.
Qua bảng so sánh trên ta thấy rằng đối với bài toán trên:
- 19 -
+ Áp dụng LG1 phải dùng tới các kiến thức lớp 12 (Ứng dụng đạo hàm). Do đó HS lớp
10 không hiểu.
+ Áp dụng LG2 chỉ dùng Bunnhiacốpski trong chương trình, lời giải ngắn gọn. Do
đó, rất dễ hiểu đối với HS lớp 10.

Ví dụ 14.Giải phương trình:
2
2 3 5 2 3 12 14x x x x− + − = − +

Phân tích:
− Bình phương 2 vế phương trình trở thành bậc 4, bậc 8 gây khó khăn.
− Phương trình có các “dấu hiệu” và “lưu ý” của BĐT Bunnhiacốpski.
− Tacó
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2
1. 2 3 1. 5 2 1 1 2 3 5 2 4 2x x x x VT
 
 
− + − ≤ + − + − = ⇒ ≤
 
 
 
mà
2VP
≥
−
Áp dụng dấu”=” trong BĐT

xảy ra ta được x=2, thử lại x=2 là nghiệm của
phương trình.
Lời giải:
ĐK:
2 3 0
1,5 2,5

5 2 0
x
x
x
− ≥

⇔ ≤ ≤

− ≥

( )
2
2
2 3 5 2 3 12 14
2 3 5 2 3 2 2
x x x x
x x x
− + − = − +
⇔ − + − = − +
Áp dụng Bunnhiacốpxki cho 2 bộ số 1; 1 và
2 3x −
;
5 2x−
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2
1. 2 3 1. 5 2 1 1 2 3 5 2 4x x x x
 
 
− + − ≤ + − + − =

 
 
 

2 3 5 2 2 2 3 5 2 0x x Do x x− + − ≤ − + − >
Dấu “=” xảy ra
2 3 5 2 2x x x⇔ − = − ⇔ =
Lại có
( )
2
3 2 2 2x − + ≥
dấu”=” xẩy ra
⇔
x = 2
Vậy pt có nghiệm duy nhất x = 2

Nhận xét:
− Có thể áp dụng BĐT Cô-si để giải.
− Bằng kĩ thuật giải trên có thể mở rộng bài toán hơn (đã đề cập ở phần BĐT Cô-si)
Ví dụ 15.Giải phương trình :
( )
2
1 3 2 3 2 2x x x x− + − = − + −
(1)

Phân tích:
− Bình phương 2 vế phương trình trở thành bậc cao.
− Phương trình có các “dấu hiệu” và “lưu ý” của BĐT Bunnhiacốpxki.
Lời giải:
*ĐK:

1x
≥
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bô số
1x −
; (x -3) và 1 ; 1 ta có:
- 20 -
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2
2 2 2
2 2
2
1. 1 1. 3 1 1 1 3 2 3 2 2
1 3 2 3 2 2 (2)
x x x x x x
x x x x
 
− + − ≤ + − + − = − + −
 
⇔ − + − ≤ − + −

(1) và (2) xảy ra khi và chỉ khi:
2 2
3 0 3
5( )
1 3

2( )
1 6 9 7 10 0
x x
x n
x x
x l
x x x x x
− ≥ ≥
=
 

− = − ⇔ ⇔ ⇔
 

=
− = − + − + =

 
vậy
{ }
5S =
Ví dụ 16.Giải phương trình (OLYMPIC 30/4 -2007):
2 2
9
1
x x
x
+ = +
+


Phân tích:
− Bình phương 2 vế phương trình trở thành bậc cao.
− Phương trình có các “dấu hiệu” và “lưu ý” của BĐT Bunnhiacốpski.
Lời giải:
Giải: Đk
x 0
≥
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 cặp số
2 2; 1x +
và
1
;
1 1
x
x x+ +
Ta có :
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2
2 2
1 1
2 2 1 2 2 1 9
1 1 1 1
x x
x x x
x x x x
 
 
   

   
 
 
+ + ≤ + + + = +
 
 ÷  ÷
 ÷  ÷
 ÷  ÷
 
 
+ + + +
 
   
 
   
 
 
Dấu “=” xảy ra
⇔
1 1
2 2 1 2 2 1 8 1
7
1 1
x
x x x x x x
x x
 
 
= + ⇔ = + ⇔ = + ⇔ =
 ÷

 ÷
 ÷
+ +
 
 

Ví dụ 17.Giải hệ phương trình :
( )
( )
2
2 2 2
3 3 3
3 4 26
92
x y z x y z
x y z

+ + = + +


+ + =


Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunnhiacốpski cho 2 bộ số 1,3,4 và x,y,z ta được
( )
( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1. 3 4 1 3 4 26x y z x y z x y z+ + ≤ + + + + = + +

Dấu “=” xảy ra
1 3 4
x y z
⇔ = =
.
Kết hợp với hệ phương trình ta có
1
3
4
x
y
z
=


=


=


Bài tập tương tự (Áp dụng BĐT Bunnhiacốpski )
Bài 1. Giải phương trình:
( ) ( )
4 4
1 3 2x x− + − =
. ĐS:
2x =

- 21 -

Bài 2. Giải phương trình:
( ) ( )
16 16
1 3 2x x− + − =
. ĐS:
2x
=

Bài 3. Giải phương trình :
2 1 3 5 2 13x x− + − =
. ĐS:
29
13
x =

Bài 4. Giải phương trình :
2
7 5 12 38x x x x− + − = − +
. ĐS x=6.
Bài 5. Giải phương trình
2
1 3 2 10 16x x x x− + − = − +
. ĐS x=5.
Bài 6. Giải phương trình :
4 4 4
4 2 4 2 4x x x+ = + + −
ĐS:Ptvô nghiệm
Bài 7. Giải phương trình :
2 2
6 5 36 9 5

4 5 2 1
5 5
x x x x
 
−
− + + = − − +
 ÷
 ÷
 
. ĐS
3 5
2 1
5
x
 
= −
 ÷
 ÷
 
.
(Đề thi đề nghị của trường THPT chuyên Trà Vinh thi Olympic 30/4 năm
2012)
Bài 8. Giải phương trình :
4
2 4 4 3
2 1x x x x− − = −
. ĐS x=1
Bài 9. Giải phương trình :
2
6 3

3 2
1
x
x x
x x
−
= + −
− −

Bài 10. Giải hệ phương trình
2
2 2
6 3 1
1
x xy x y
x y

− + = −


+ =


Bài 11. Giải hệ phương trình
( )
2 2
1 1 1 2 1
1 1 2
1 1
1

y y x
x y
xy

+ − = + −



+ =

+ +
+


ĐS
( )
1 1
{ 1;1 , ; }
2 2
S
 
=
 ÷
 
(Đề thi đề nghị của trường THPT chuyên Lý Tự Trọng tỉnh Cần Thơ thi Olympic 30/4
năm 2012)
5. Ứng dụng hình học
5.1 Ứng dụng tích vô hướng 2 véctơ
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Cho các véc tơ:
( ) ( )

1 1 2 2
; , ;u x y v x y
r r
khi đó ta có

2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2
. . cos .u v u v u v x x y y x y x y
α
= ≤ ⇔ + ≤ + +
rur r r r r
Dấu “=” xảy ra
⇔
cos 1 u v
α
= ⇔ ↑↑
r
1 1
2 2
x y
k 0
x y
⇔ = = ≥
, chú ý tỉ số phải dương .
 BĐT trên cũng có dạng tương tự như BĐT Bunnhiacốpski với 2 cặp số thực
( ) ( )
1 1 2 2
; , ;x y x y
. Do vậy có thể dùng các dấu hiệu và lưu ý của BĐT Bunnhiacốpski.
Ví dụ 18.Giải phương trình:

2
1 3 2 1x x x x+ + − = +

Phân tích:
− Bình phương 2 vế để khử căn thì phương trình trở thành bậc cao.
− Phương trình có các “dấu hiệu” và “lưu ý” của BĐT Bunnhiacốpxki. Do đó có thể
dùng tích vô hướng 2 véctơ.
Lời giải:
Đặt
( )
( )
;1 , 1; 3u x v x x+ −
r r
- 22 -
Ta có:
2
. 1 3
. 2 1
u v x x x
u v x
= + + −
= +
r r
r r
Do
2
. . 1 3 2 1u v u v x x x x≤ ⇔ + + − ≤ +
r r r r
Kết hợp với phương trình. Dấu “=” xảy ra
⇔

,u v
r r
cùng hướng
⇔
( ) ( )
2
1
3 1
1
0
1 3
1 2
0 3
x
x x x
x
x x
x
x
=
 
− = +

= ≥ ⇔ ⇔


+ −
= +
≤ ≤




- 23 -
5.2 Ứng dụng tổng độ dài các véctơ
 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Cho các véc tơ:
( ) ( )
1 1 2 2
; , ;u x y v x y
r r
khi đó ta có

( ) ( )
2 2
2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2
u v u v x x y y x y x y
+ ≤ + ⇔ + + + ≤ + +
r r r r
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi hai véc tơ
,u v
r r
cùng hướng
1 1
2 2
x y
k 0
x y
⇔ = = ≥
, chú ý
tỉ số phải dương.

 BĐT trên cũng có dạng tương tự như BĐT Mincốpski.
Ví dụ 19.Giải phương trình
2 2
1 3 1 2x x x x− + + − + =

Phân tích:
Nhận thấy
2 2
2 2
2 2
1 3 3 1
1 3 1 2 2
2 2 2 2
x x x x x x
   
   
− + + − + = ⇔ − + + − + =
 ÷  ÷
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
   

Lời giải:
Đặt
1 3 3 1
; , ;
2 2 2 2
u x v x
   

− −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
r r
. Ta có:
3 1 3 1
; 2
2 2
u v u v
 
− +
+ = ⇒ + =
 ÷
 ÷
 
r r r r

2 2
2 2
1 3 3 1
2 2 2 2
u v x x
   
   
+ = − + + − +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   

   
r r
Lại có
2 2
2 2
1 3 3 1
2
2 2 2 2
u v u v x x
   
   
+ ≥ + ⇔ − + + − + ≥
 ÷  ÷
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
   
r r r r
Kết hợp với phương trình. Dấu “=” xảy ra
⇔
,u v
r r
cùng hướng
⇔
( )
( )
3
1
2 1 3 3 2
3 1

2
2
0 3 1
1
1
1
3
2
2
2
2
x x
x
x
x
x
x
x
 
 

 ÷

− = −
−
= −
 ÷


   

= ≥ ⇔ ⇔ ⇔ = −
 
   
≤
 ≤ 
−
 ÷

 ÷

 
 
Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất
3 1x = −

Bài tập tương tự (Áp dụng hình học )
Bài 1. Giải phương trình
2 2
1 1 2x x x x+ + + − + =
. ĐS x=0.
Bài 2. Giải phương trình
2 2
2 5 2 10 29x x x x− + + + + =
. ĐS x=1/5.
Bài 3. Giải phương trình
2 2 2
4 5 2 10 16 40 26 6x x x x x x− + + + + + − + =
. ĐS x=5/4.
Bài 4. Giải hệ phương trình
1 2 3

1 2 3
4
1 1 1 3
3
2
1 1 1 3
3
x x x
x x x

+ + + + + =




− + − + + =


. ĐS:
1 2 3
1
3
x x x= = =
.
- 24 -
Bài 5. Giải hệ phương trình
1 2
*
1 2
1

1 1 1
,
1
1 1 1
n
n
n
x x x n
n
n N
n
x x x n
n

+
+ + + + + + =


∈

−

− + − + + − =


ĐS:
1 2 1980
1
x x x
n

= = = =
.
Bài 6. Tìm m để phương trình
2 2
4 2 1 4 2 1 2x x x x m
+ + + − + =
có nghiệm.
ĐS -1/2<m<1/2.
IV. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI
Trước khi dạy chuyên đề chúng tôi tiến hành kiểm tra lần 1 đối với đội tuyển 10
(với số lượng 20 học sinh sẽ rút đội tuyển sau khi học xong các chuyên đề), mục đích để
đánh giá và đối chứng với kết quả thu được về sau.
TSHS
Đạt yêu cầu Không đạt yêu cầu
TS % TS %
20 2 10% 18 90%
Khi áp dụng chuyên đề trên cho đội tuyển học sinh giỏi lớp 10 thì tôi thấy HS rất
thích thú, đồng thời các em cũng đỡ lúng túng hơn khi gặp các dạng bài tập trên. Cụ thể
hơn, chúng tôi tiến hành kiểm tra lần 2, để chính xác chúng tôi tạo ra đề tương đương
với đề kiểm tra lần 1. Kết quả kiểm tra sau khi dạy chuyên đề:
TSHS
Đạt yêu cầu Không đạt yêu cầu
TS % TS %
20 19 95% 1 5%
V. ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG
− Ứng dụng BĐT để giải phương trình và hệ phương trình là phương pháp ngắn gọn,
dễ hiểu, hiệu quả cho lớp bài toán khá rộng của phương trình và hệ phương trình, phù
hợp với các học sinh lớp 10 và thi đại học.
− Phương pháp giải trên cho HS một cách giải khác tư duy, sáng tạo hơn. Tạo động lực
cho HS đam mê Toán.

− Nếu có thêm thời gian mở rộng thì tôi nghĩ rằng đề tài có thể trở nên có nhiều tác
dụng hỗ trợ thiết thực trong việc rèn luyện và phát triển tư duy góp phần giải được khá
nhiều dạng toán trong quá trình dạy học sinh nói chung và bồi dưỡng học sinh khá, giỏi
nói riêng.
− Tuy nhiên, các dạng và phương pháp tôi lựa chọn chưa hẳn tối ưu và đầy đủ, chắc
chắn còn phải bổ sung thêm cho việc giảng dạy tốt hơn. Rất mong có sự đóng góp của
quí đồng nghiệp.
- 25 -