một số kinh nghiệm khi dạy đạo hàm và tích phân

Sáng kiến kinh nghiệm: ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN
A.PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài :
Trong Chương trình giáo dục THPT hiện nay, Đạo hàm và tích phân cùng với các khái
niệm khác góp phần quan trọng trong môn Giải tích toán học, là một trong những cơ sở để
nghiên cứu Giải tích hiện đại. Muốn học sinh học tốt được Đạo hàm và tích phân thì mỗi
người Giáo viên không phải chỉ truyền đạt, giảng giải theo các tài liệu đã có sẵn trong Sách
giáo khoa, trong các sách hướng dẫn và thiết kế bài giảng một cách gập khuôn, máy móc,
làm cho học sinh học tập một cách thụ động. Nếu chỉ dạy học như vậy thì việc học tập của học
sinh sẽ diễn ra thật đơn điệu, tẻ nhạt và kết quả học tập sẽ không cao. Nó là một trong những
nguyên nhân gây ra cản trở việc đào tạo các em thành những con người năng động, tự tin,
sáng tạo sẵn sàng thích ứng với những đổi mới diễn ra hàng ngày.
Yêu cầu của giáo dục hiện nay đòi hỏi phải đổi mới phương pháp dạy học môn toán
theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh. Vì vậy người giáo viên
phải gây được hứng thú học tập cho các em bằng cách tinh giản kiến thức, thiết kế bài giảng
lại khoa học, hợp lý, phải gắn liền với ứng dụng, liên hệ thực tế. Các kiến thức không được
mang nặng tính hàn lâm, và phải phù hợp với việc nhận thức của các em. Thông qua kiến thức
mà người giáo viên đã tinh lọc, qua ứng dụng, thục hành các em sẽ lĩnh hội những tri thức
toán học một cách dễ dàng, củng cố, khắc sâu kiến thức một cách vững chắc, tạo cho các em
niềm say mê, hứng thú trong học tập, trong việc làm. Khi chúng ta đã tinh lọc kiến thức một
cách gọn gàng, ứng dụng thực tế một cách thường xuyên, khoa học thì chắc chắn chất lượng
dạy học môn toán sẽ ngày một nâng cao. Riêng phần đạo hàm và tích phân cũng không nằm
ngoài quy luật đó.
Chính vì những lý do nêu trên mà tôi đã chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm “Một số
kinh nghiệm khi dạy Đạo hàm và tích phân”.
2. Mục đích nghiên cứu của đề tài.
- Góp phần đổi mới phương pháp dạy học môn toán nói chung và môn Giải tích 12 nói
riêng theo phương hướng tinh giản kiến thức, phát huy tính tích cực, chủ động và sáng tạo của
học sinh, tăng cường ứng dụng thực tế, giúp học sinh có phương pháp học tốt thích ứng với xu
hướng hiện nay.
- Góp phần gây hứng thú học tập môn Toán cho học sinh, một môn học được coi là khô

khan, hóc búa, không những chỉ giúp, giáo viên lên lớp tự tin, nhẹ nhàng, học sinh lĩnh hội
được tri thức một cách đầy đủ, khoa học mà còn giúp các em củng cố và khắc sâu các tri thức .
3. Nhiệm vụ và phạm vi nghiên cứu :
3.1. Nhiệm vụ :
- Tìm hiểu các khái niệm Đạo hàm và tích phân trong môn giải tích 12
- Tìm hiểu về thực trạng học sinh lớp 12.
3.2. Phạm vi nghiên cứu :
- Đối tượng : Chương Đạo hàm và tích phân trong Giải tích lớp 12
- Tài liệu : Sách giáo khoa Giải tích lớp 12, sách hướng dẫn giáo viên.
4. Phương pháp nghiên cứu :
Để thực hiện đề tài này, tôi đã sử dụng các phương pháp sau :
1. Nghiên cứu tài liệu :
- Đọc các tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục có liên quan đến nội dung đề tài.
1
Sáng kiến kinh nghiệm: ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN
- Đọc SGK, sách giáo viên, các loại sách tham khảo.
2. Nghiên cứu thực tế :
- Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp về nội dung Đạo hàm và tích phân .
- Tổng kết rút kinh nghiệm trong quá trình dạy học.
- Tổ chức và tiến hành thực nghiệm sư phạm (Soạn giáo án đã thông qua các tiết dạy)
để kiểm tra tính khả thi của đề tài.
B. NỘI DUNG
I. Cơ sở lý luận
1. Vị trí của môn Toán trong nhà trường :
Môn toán cũng như những môn học khác cung cấp những tri thức khoa học, những
nhận thức về thế giới xung quanh nhằm phát triển năng lực nhận thức, hoạt động tư duy và bồi
dưỡng tình cảm đạo đức tốt đẹp của con người.
Môn toán ở trường THPT là một môn độc lập, chiếm phần lớn thời gian trong chương
trình học của học sinh
Môn toán có tầm quan trọng to lớn. Nó là bộ môn khoa học nghiên cứu có hệ thống,

phù hợp với hoạt động nhận thức tự nhiên của con người.
Môn toán có khả năng giáo dục rất lớn trong việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ,
phương pháp suy luận lôgíc, thao tác tư duy cần thiết để con người phát triển toàn diện, hình
thành nhân cách tốt đẹp cho con người lao động trong thời đại mới.
2. Đặc điểm tâm sinh lý của học sinh THPT.
- Ở lứa tuổi THPT cơ thể của các em đang trong thời kỳ phát triển hay nói cụ thể là các
hệ cơ quan gần như hoàn thiện, vì thế sức dẻo dai của cơ thể rất cao nên các em rất hiếu động,
thích hoạt động để chứng tỏ mình.
- Học sinh THPT nghe giảng rất dễ hiểu nhưng cũng sẽ quên ngay khi chúng không tập
trung cao độ. Vì vậy người giáo viên phải tạo ra hứng thú trong học tập và phải thường xuyên
được luyện tập.
- Học sinh THPT rất dễ xúc động và thích tiếp xúc với một sự vật, hiện tượng xung
quanh nhất là những việc mà các em có thể trực tiếp thực hiện
- Hiếu động, ham hiểu biết cái mới, thích tự mình tìm tòi, sáng tạo nên trong dạy học
giáo viên phải chắc lọc từng đơn vị kiến thức để củng cố khắc sâu cho học sinh.
3. Nhu cầu về đổi mới phương pháp dạy học :
Học sinh THPT có trí thông minh khá nhạy bén sắc sảo, có óc tưởng tượng phong phú.
Đó là tiền đề tốt cho việc phát triển tư duy toán học nhưng rất dễ bị phân tán, rối trí nếu bị áp
đặt, căng thẳng, quá tài. Chính vì thế nội dung chương trình, phương pháp giảng dạy, hình
thức chuyển tải, nghệ thuật truyền đạt của người giáo viên phải phù hợp với tâm sinh lý lứa
tuổi là điều không thể xem nhẹ. Đặc biệt đối với học sinh lớp 12, lớp mà các em vừa mới vượt
qua những mới mẻ ban đầu để trở thành người lớn, chuyển từ hoạt động vui chơi là chủ đạo
sang hoạt động học tập là chủ đạo. Lên đến lớp 10, 11 thì yêu cầu đó đặt ra là thường xuyên
đối với các em ở tất cả các môn học. Như vậy nói về cách học, về yêu cầu học thì học sinh
THPT gặp phải một sự thay đổi đột ngột mà đến cuối năm lớp 10 và sang lớp 11, 12 các em mới
quen dần với cách học đó. Do vậy giờ học sẽ trở nên nặng nề, không duy trì được khả năng chú ý
của các em nếu người giáo viên chỉ cho các em nghe và làm theo những gì đã có trong sách giáo
khoa.
2
Sáng kiến kinh nghiệm: ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN

Muốn giờ học có hiệu quả thì đòi hỏi người giáo viên phải đổi mới phương pháp dạy
học tức là kiểu dạy học “Lấy học sinh làm trung tâm” hướng tập trung vào học sinh, trên cơ sở
hoạt động của các em. Kiểu dạy này người giáo viên phải thật sự là một người “đạo diễn” đầy
nghệ thuật, đó là người định hướng, tổ chức ra những tình huống học tập nó kích thích óc tò
mò và tư duy độc lập, phải biết thiết kế bài giảng sao cho hợp lý, gọn nhẹ. Muốn các em học
được thì trước hết giáo viên phải nắm chắc nội dung của mỗi bài và lựa chọn, vận dụng các
phương pháp sao cho phù hợp.
Hiển nhiên, một người giáo viên muốn dạy giỏi phải trãi qua quá trình tự rèn luyện, phấn
đấu không ngừng mới có được. Tuy nhiên, việc đúc kết kinh nghiệm của bản thân mỗi người
qua từng tiết dạy, những ngày tháng miệt mài cũng không kém quan trọng, nó vừa giúp cho
mình càng có kinh nghiệm vững vàng hơn, vừa giúp cho những thế hệ giáo viên sau này có cơ
sở để học tập, học tập nâng cao tay nghề, góp phần vào sự nghiệp giáo dục của nước nhà.
II. Cơ sở thực tiển:
Bên cạnh những học sinh hiếu động, ham hiểu biết cái mới, thích tự mình tìm tòi, khám
phá, sáng tạo thì lại có một bộ phận không nhỏ học sinh lại học yếu, lười suy nghĩ nên đòi hỏi
người giáo viên phải tâm huyết, có năng lực thật sự, đa dạng trong phương pháp, biết tổ chức,
thiết kế và trân trọng qua từng tiết dạy.
Theo chúng tôi, khi dạy đối tượng học sinh đại trà như hiện nay, người giáo viên phải
thật cô đọng lý thuyết, sắp xếp lại bố cục bài dạy, định hướng phương pháp, tăng cường các ví
dụ và bài tập từ đơn giản đến nâng cao thep dạng chuyên đề và phù hợp với từng đối tượng
học sinh.
3
Sáng kiến kinh nghiệm: ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN
PHẦN 1. ĐẠO HÀM
Bài 1: ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN
1. Định nghĩa đạo hàm:
x
y
y
x

∆
∆
=
→∆
lim
0
'
hay
x
xfxxf
xf
x
∆
−∆+
=
→∆
)()(
)('
00
0
0
lim
Trong đó:
0
xxx −=∆
: số gia đối

)()(
00
xfxxfy −∆+=∆

: số gia hàm
2. Phương pháp tính đạo hàm bằng định nghĩa:
1. Cho x
0
số gia ∆x và tính ∆y = f(x
0
+∆x) – f(x
0
)
2. Lập tỉ số
x
y
∆
∆
rồi tính
x
y
x
∆
∆
→∆
lim
0

3. Kết luận:
x
y
xf
x
∆

∆
=
→∆
lim
0
0
)('
Ví dụ: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y = f(x) = x
2
tại x
0
= 1

3. Đạo hàm trên một khoảng (a;b):
f(x) có đạo hàm trong khoảng (a;b) ⇔∀x
0
€ (a;b): f ’(x
0
) được xác định
4. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số:
f(x) có đạo hàm tại x
0
⇒ f(x) liên tục tại x
0
5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm:
+ f ’(x
0
) là hsg của tiếp tuyến M
0
T của (C), với (C): y = f(x) và M(x

0
;f(x
0
)) € (C)
+ Phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) tại điểm M(x
0
;y
0
) là:
y – y
0
= f ’(x
0
)(x-x
0
)
Ví dụ: Viết PTTT của hàm số y = f(x) = x
2
tại x
0
= 1

Bài 2: CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
1. Đạo hàm các hàm số đơn giản và các HSSC cơ bản:
Từ ĐN ta tính được đạo hàm các hàm số và hệ thống trong bảng tóm tắc sau:
1.
(C)’ = 0 , (C: hằng số)
2.
(x)’ = 1
3.

(x
α
)’ = α.x
α
-1
4.
x
x
2
1
)'( =

5.
2
1
)'
1
(
x
x
−=
6.
(sinx)’ = cosx
7.
(cosx)’ = - sinx
4
Sáng kiến kinh nghiệm: ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN
8.
x
tgx

2
cos
1
)'( =
9.
x
gx
2
sin
1
)'(cot −=
10.
(e
x
)’ = e
x
11.
(a
x
)’ = a
x
.lna
12.
x
x
1
)'(ln =
13.
ax
x

a
ln
1
)'(log =
2. Các quy tắc tính đạo hàm:
i/ (u + v)’ = u’ + v’
ii/ (u - v)’ = u’ - v’
Mở rộng:
' '')' (
2121 nn
uuuuuu ±±±=±±±
Ví dụ: Tính đạo hàm các hàm số sau:
a. y = x
3
– x
2
+ x – 10
b. y = e
x
+ lnx + 1
iii/ (u.v)’ = u’.v + v’.u
Mở rộng: (u.v. w)’ = u’.v.w + u.v’.w + u.v.w’
HQ: (k.u)’ = k.u’ (k là hằng số)
Ví dụ: Tính đạo hàm các hàm số sau:
a. y = (x
2
+ 1)( x – 3)
b. y = (x
2
+ x +1).e

x

iv/
2
'.'.
)'(
v
uvvu
v
u −
=
HQ:
2
'
)'
1
(
v
v
v
−
=
Ví dụ: Tính đạo hàm các hàm số sau:
a.
1
23
−
+
=
x

x
y
b.
1
52
2
+
+−
=
x
xx
y
* Lưu ý công thức (xem như bài tập hướng dẫn hs về chứng minh):
i/
2
)(
)'(
dcx
bcad
dcx
bax
+
−
=
+
+
ii/
22
2
2

2
)(
)(2)(
)'(
qpxmx
cpbqxcmaqxbmap
qpxmx
cbxax
++
−+−+−
=
++
++
iii/
2
22
)(
2
)'(
qpx
cpbqaqxapx
qpx
cbxax
+
−++
=
+
++
5
Sáng kiến kinh nghiệm: ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN

Bài 3: HÀM HỢP VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP
1. Khái niệm hàm hợp: (Ta có thể hình dung gọn khái niện hàm hợp như sau)
Cho hai hàm số y = f(u) và u = g(x). Ta nói hàm số y = f(g(x)) là hàm số hợp của x qua
hàm số trung gian u = g(x).
Ví dụ:
1/ Cho hai hàm số y = f(u) = u
5
và u = g(x) = x
2
+ 3x – 7, như vậy ta nói hàm số
y = f(g(x)) = (x
2
+ 3x – 7)
5
là hàm là hàm số hợp của x qua hàm trung gian
u = g(x) = x
2
+ 3x - 7
2/ Cho hai hàm số y = f(u) = e
u
và u = g(x) = 2x + 1, như vậy ta nói hàm số
y = f(g(x)) = e
2x + 1
là hàm là hàm số hợp của x qua hàm trung gian u = g(x) = 2x + 1
(GV cho học sinh tự lấy nhiều ví dụ khác hay nhận dạng hàm hợp khác)
2. Đạo hàm của hàm số hợp:
a/ Định lý:
Nếu hàm số y = f(u) có đạo hàm theo biến u là y
u
’

hàm số u = g(x) có đạo hàm theo biến x là u
x
’
hàm số y = f(g(x)) có đạo hàm theo biến x là y
x
’
thì y
x
’ = y
u
’.u
x
’
b/ Ví dụ: Tính đạo hàm các hàm số sau:
1.
y = (x
2
+ 3x – 7)
5

2.
y = e
2x + 1
Giải:
1. Đặt u = x
2
+ 3x – 7 thì y = u
5
, y
u

’ = 5u
4
; u
x
’ = 2x + 3
Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp , ta có:
y
x
’ = y
u
’.u
x
’ = 5u
4
.(2x + 3) = 5(x
2
+ 3x - 7)
4
.(2x + 3)
Lưu ý: (u
α
)’ = α.u
α
-1
.u’

2. Đặt u = 2x + 1 thì y = e
u
, y
u

’ = e
u
; u
x
’ = 2
Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp , ta có:
y
x
’ = y
u
’.u
x
’ = e
u

.2 = 2e
2x + 1

* Lưu ý: (e
u
)’ = e
u
.u’

6
Sáng kiến kinh nghiệm: ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN
3. Bảng tóm tắc đạo hàm của các hssc cơ bản và hàm hợp:
(GV cho học sinh tự suy luận các CT đạo hàm của hàm hợp)
*BẢNG TÓM TẮT CÔNG THỨC ĐẠO HÀM:
Đạo hàm của các HSSC cơ bản Đạo hàm của hàm số hợp

0)'.(1
=
C
( C: hằng số)
1
.)'.(3
−
=
αα
α
xx
' )'.(3
1
uuu
−
=
αα
α
2
1
)'
1
.(4
x
x
−=
'.
1
)'
1

.(4
2
u
u
u
−=
x
x
2
1
)'.(5 =
'.
2
1
)'.(5 u
u
u =
xx cos)'.(sin6
=
'.cos)'.(sin6 uuu
=
xx sin)'.(cos7
−=
'.sin)'.(cos7 uuu
−=
xtg
x
tgx
2
2

1
cos
1
)'.(8
+==
').1('.
cos
1
)'.(8
2
2
uxtgu
u
tgu
+==
)cot1(
sin
1
)'.(cot9
2
2
xg
x
gx
+−=−=
').cot1('.
sin
1
)'.(cot9
2

2
uxgu
u
gu
+−=−=
xx
ee =)'.(10
'.)'.(10 uee
uu
=
aaa
xx
ln.)'.(11 =
'.ln.)'.(11 uaaa
uu
=
x
x
1
)'.(ln12
=
'.
1
)'.(ln12 u
u
u
=
ax
x
a

ln.
1
)'.(log13
=
'.
ln.
1
)'.(log13 u
au
u
a
=
7
1)'.(2
=
x
Sáng kiến kinh nghiệm: ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN
Ví dụ: Tính đạo hàm các hàm số:
a) y = sin(2x-1)
(Nhận dạng hàm số: sinu, với u = 2x-1 và nhớ (sinu)’ = cosu.u’ )
b)
43
2
++= xxy
(Nhận dạng hàm số:
u
, với u = x
2
+ 3x + 4 và nhớ
u

u
u
2
'
)'( =
)
*BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VỀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP:
Chọn đáp án đúng trong các câu sau:
Câu 1: Hàm số
)13sin(
+=
xy
có :
a.
)13cos('
+=
xy
b.
)13sin(.3'
+=
xy
c.
)13cos(.3'
+=
xy
d.
)13cos(.5'
+−=
xy
Câu 2: Hàm số

1)(
2
+= xxf
có
)(' xf
bằng:
a.
1
2
+
x
x
b.
12
2
2
+
x
x
c.
1
2
2
+
x
x
d.
12
1
2

+
x
Câu 3: Hàm số
)42ln(
2
++= xxy
có y’(0) bằng:
a.
0
b.
2
1
c.
1
d.
2
Câu 4: Hàm số
x
exf
sin
)( =
có
)('
π
f
bằng:
a.
0
b.
e

c.
1
−
d.
1
Câu 5: Hàm số
)2(cos)(
3
xxf =
có
)
2
('
π
f
bằng:
a.
0
b.
6
−
c.
1
d. kết quả khác
Câu 6: Hàm số
)(sinln
4
xy =
có:
a.

)(sinln4'
5
xy =
b.
)(sinln.cos4'
3
xxy =
c.
)(sinln.4'
3
xtgxy =
d.
)(sinln.cot4'
3
xgxy =
Câu 7: Hàm số
2
13
+
+
=
x
x
ey
có:
a.
2
13
+
+

=
x
x
ey
b.
2
13
.5
+
+
=
x
x
ey

c. Tất cả đều sai d.
2
)2(
5
+
=
x
y

8
Sáng kiến kinh nghiệm: ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN
Câu 8: Cho hàm số
14
2
)(

+−
=
xx
exf
. Phương trình
0)('
=
xf
có nghiệm:
a.
1
=
x
b.
2
=
x

c.
ex
=
d.
2
ex
=
Câu 9
*
: Hàm số
x
xy

sin2
)1( +=
có:
a.
1sin2
)1.(sin'
−
+=
x
xxy
b.
1sin2
)1.(sin.2'
−
+=
x
xxxy
c.
]sin.
1
2
)1ln(.[cos)1('
2
2sin2
x
x
x
xxxy
x
+

+++=
d. Tất cả đều sai
Bài 4: ĐẠO HÀM CẤP CAO
1. Định nghĩa:
[ ]
'
)1()(
)()( xfxf
nn −
=
, ( n ≥ 2 )
2. Ví dụ:
a/ VD1: Tính đạo hàm cấp 2 các hàm số
i. y = x
5
+ 3x
2
– 1
ii. y = (2x +1).e
x

b/ VD2: Cho hàm số f(x) = (x+2)
7
. Tính f ’’(1)
c/ VD3: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số
i. y = e
3x

ii. y = sinx
PHẦN 2. TÍCH PHÂN

Bài 1: NGUYÊN HÀM
1. Định nghĩa nguyên hàm:
F(x) là nguyên hàm của f(x) ⇔ F’(x) = f(x)
* Định lí:
+ F(x) là nguyên hàm của f(x) ⇒ F(x) + C củng là nguyên hàm với C là hằng số. Kí hiệu:
∫
dxxf )(
(đọc là tích phân bất định của f(x)). Như vậy:
∫
dxxf )(
= F(x) + C
+ F(x) và G(x) là nguyên hàm của f(x) ⇔ F(x) – G(x) = C (C: hằng số)
* Ví dụ 1: Cho F(x) = x
3
và f(x) = 3x
2
Ta thấy F’(x) = 3x
2
= f(x)
Suy ra F(x) là nguyên hàm của f(x) và F(x) + C củng là nguyên hàm của f(x)
* Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm các hàm số:
a) y = 1/x b) y = e
x
c) y = x
α
2. Các tính chất của nguyên hàm:
1.
)()')(( xfdxxf =
∫
2.

∫∫
= dxxfadxxfa )()(.

3.
[ ]
∫∫∫
±=± dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
4.
CuFduufCtFdttf +=⇒+=
∫∫
)()()()(
9
Sáng kiến kinh nghiệm: ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN
3. Bảng tóm tắc công thức nguyên hàm:
(Ta tạm hiểu hssc cơ bản mở rộng là từ hssc cơ bản ta thay biến x bởi ax + b)
Nguyên hàm của hssc
thường gặp
Nguyên hàm của hssc mở rộng
thường gặp
Nguyên hàm của hàm số
hợp (với u = u(x) )
Cxdx +=
∫
C
x
dxx +
+
=
+
∫

1
1
α
α
α
Cxdx
x
+=
∫
ln
1
Cedxe
xx
+=
∫
C
a
a
dxa
x
x
+=
∫
ln
Cxxdx +=
∫
sincos
Cxxdx +−=
∫
cossin

Ctgxdx
x
+=
∫
2
cos
1
Cgxdx
x
+−=
∫
cot
sin
1
2
C
bax
a
dxbax +
+
+
=+
+
∫
1
)(1
)(
1
α
α

α
Cbax
a
dx
bax
++=
+
∫
ln
1
)(
1
Ce
a
dxx
baxbax
+=
++
∫
.
1
C
a
a
p
dxa
qpx
qpx
+=
+

+
∫
ln
1
Cbax
a
dxbax ++=+
∫
)sin(
1
)cos(
Cbax
a
dxbax ++−=+
∫
)cos(
1
)sin(
Cbaxtg
a
dx
bax
++=
+
∫
)(
1
)(cos
1
2

Cbaxg
a
dx
bax
++−=
+
∫
)(cot
1
)(sin
1
2
Cudu +=
∫
C
u
duu +
+
=
+
∫
1
1
α
α
α
Cudu
u
+=
∫

ln
1
Cedue
uu
+=
∫
C
a
a
dua
u
u
+=
∫
ln
Cuudu +=
∫
sincos
Cuudu +−=
∫
cossin
Ctgudu
u
+=
∫
2
cos
1
Cgudu
u

+−=
∫
cot
sin
1
2
4. Ví dụ: Tìm các tích phân sau:
a.
∫
−+ dxxx )23(
2
b.
∫
+ dx
x
x )
sin
3
cos2(
2
c.
∫
dxxx.
d.
∫
+ dxx
6
)23(
e.
∫

xdxx cos.sin
3
f.
∫
+
dx
x
xln25
g.
∫
xdxe
x
cos.
sin
10
Sáng kiến kinh nghiệm: ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN
Bài 2. TÍCH PHÂN
I. Định nghĩa:
∫
=
b
a
dxxf )(
F(x)
b
a
|
= F(b) – F(a)
Ví dụ: Tính các tích phân :
1.

∫
1
0
3
dxx
2.
∫
1
0
dxe
x
3.
∫
2
0
cos
π
xdx
II. Các tính chất: (SGK trang 124, Giải tích 12)
( Chốt kỹ từng tính chất và lưu ý ví dụ phù hợp đối với từng tính chất)
Bài 3. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1.Phương pháp tính tích phân các hàm dạng cơ bản mở rộng:
Ví dụ: Tính các tích phân sau:
1.
∫
+
1
0
12
dxe

x
2.
∫
−
2
0
5
)13( dxx
3.
∫
+
2
0
)52cos(
π
dxx
4.
∫
+
2
1
103
1
dx
x
2. Phương pháp đổi biến:
a. Đổi biến dạng 1: x = ϕ(t), a = ϕ(α), b = ϕ(β),
∫
=
b

a
dxxf )(

[ ]
∫
β
α
ϕϕ
dtttf )(')(
* Lưu ý: Đặt x là một hàm theo biến t, đổi dấu nhớ đổi cận
Ví dụ: Tính các tích phân sau:
1.
∫
−
1
0
2
1 dxx
2.
∫
+
1
0
2
1
1
dx
x
b. Đổi biến dạng 2:
*Dấu hiệu sử dụng tích phân đổi biến dạng 2:

Hàm số dưới dấu tích phân thường có dạng tích của 2 hàm, trong đó một hàm
hoặc một biểu thức của hàm có đạo hàm bằng hoặc gần bằng hàm số còn lại ( sai khác nhau
một hằng số). Ta sử dụng phương pháp tích phân đổi biến dạng 2.
* Ví dụ: Tính các tích phân sau:
1.
∫
2
0
cos.
sin
π
xdx
x
e
2.
∫
+
e
dx
x
x
1
ln21
3.
∫
++
+
e
dx
xx

x
1
2
2
12
3. Phương pháp tích phân từng phần:
[ ]
∫ ∫
−=
b
a
b
a
b
a
vduuvudv
* Lưu ý: Thường ưu tiên đặt u theo thứ tự: Lô, đại, mũ, lượng
11
Sáng kiến kinh nghiệm: ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN
* Ví dụ: Tính các tích phân sau:
1.
∫
1
0
dx
x
xe
2.
∫
2

1
sin
π
xdxx
3.
∫
2
1
cos
π
xdxe
x
4.
∫
4
1
2
cos
.
π
dx
x
x
C. KẾT LUẬN
Thời gian và tầm nhìn có hạn. Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ trong phương pháp
giảng dạy “đạo hàm và tích phân”. Rất mong đựoc quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp có
nhiều ý kiến đóng góp, trao đổi để lần sau được hoàn thiện hơn.
12