Giáo án bỗi dưỡng học sinh giỏi toán 6

www.VIETMATHS.com
Chuyªn ®Ò 1:
Số phần tử của một tập hợp.Tập hợp con
1.Một tập hợp có thể có một ,có nhiều phần tử, có vô số phần tử,cũng có thể
không có phần tử nào.
2.Tập hợp không có phần tử nào gọi là tập rỗng.tập rỗng kí hiệu là : Ø.
3.Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B thì tập hợp A gọi là tập
hợp con của tập hợp B, kí hiệu là A
⊂
B hay B
⊃
A.
Nếu A
⊂
B và B
⊃
A thì ta nói hai tập hợp bằng nhau,kí hiệu A=B.
Ví dụ 4. Cho hai tập hợp
A = { 3,4,5}; B = { 5,6,7,8,9,10};
a) Mỗi tập hợp có bao nhiêu phần tử?
b) Viết các tập hợp khác tập hợp rỗng vừa là tập hợp con của tập hợp A vừa là tập hợp con của
tập hợp B.
c) Dùng kí hiệu
⊂
để thực hiên mối quan hệ giữa tập hợp A,B và tập hợp nói trong
câu b). Dung hình vẽ minh họa các tập hợp đó.
Giải. a) Tập hợp A có 3 phần tử , tập hợp B có 6 phần tử.
b) Vì số 5 là phần tử duy nhất vừa thuộc tập hợp A vừa thuộc tập hợp B.vì vậy chỉ có một tập
hợp C vừa là tập hợp con của tập hợp A ,vừa là tập hợp con của tập hợp B: C = {5}.
c) C
⊂

A và C
⊂
B. biểu diễn bởi hình vẽ:
Bài tập:
1. Cho hai tập hợp
M = {0,2,4,… ,96,98,100};
Q = { x
∈
N* | x là số chẵn ,x<100};
a) Mỗi tập hợp có bao nhiêu phần tử?
b)Dùng kí hiệu
⊂
để thực hiên mối quan hệ giữa M và Q.
2.Cho hai tập hợp
R={m
∈
N | 69 ≤ m ≤ 85};
S={n
∈
N | 69 ≤ n ≤ 91};
a) Viết các tập hợp trên;
b) Mỗi tập hợp có bao nhiêu phần tử;
c) Dùng kí hiệu
⊂
để thực hiên mối quan hệ giữa hai tập hợp đó.
3.Viết các tập hợp sau và cho biết mỗi tập hợp có bao nhiêu phần tử:
a) Tập hợp A các số tự nhiên x mà 17 – x = 3 ;
b) Tập hợp B các số tự nhiên x mà 15 – y = 16;
c) Tập hợp C các số tự nhiên x mà 13 : z = 1;
d) Tập hợp D các số tự nhiên t , t

∈
N* mà 0:t = 0;
4. Tính số điểm về môn toán trong học kì I . lớp 6A có 40 học sinh đạt ít nhất một điểm 10 ;
có 27 học sinh đạt ít nhất hai điểm 10 ; có 29 học sinh đạt ít nhất ba điểm 10 ; có 14 học sinh
đạt ít nhất bốn điểm 10 và không có học sinh nào đạt được năm điểm 10.
www.VIETMATHS.com
dung kí hiệu
⊂
để thực hiên mối quan hệ giữa các tập hợp học sinh đạt số các điểm 10 của
lớp 6A , rồi tính tổng số điểm 10 của lớp đó.
5. Bạn Nam đánh số trang của một cuốn sách bằng các con số tự nhiên từ 1 đến 265 .hỏi bạn
nam phải viết tất cả bao nhiêu chữ số?
6. Để tính số trang của một cuốn sách bạn Viết phải viết 282 chữ số. hỏi cuốn sách đó có bao
nhiêu trang.
Chuyªn®Ò2
C¸c phÐp to¸n trong N
1. Tính chất giao hoán của phép cộng và phép nhân.
D a + b = b + a ; a.b = b.a
Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng không đổi
Khi đổi chõ các thừa số trong một tích thì tích không đổi.
2. Tính chất kết hợp của phép cộng và phép nhân:
(a + b ) + c = a + ( b + c); (a.b).c = a(b.c);
Muốn cộng một tổng hai số với một số thứ ba , ta có thể cộng số thứ nhất
với tổng của hai số thứ hai và thứ ba.
Muốn nhân một tích hai số với số thứ ba ,ta có thể nhân số thứ nhất với
tích của số thứ hai và số thứ ba.
3. Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng.:
a(b+ c) = ab + ac
Muốn nhân một số với một tổng , ta có thể nhân số đó với từng số hạng của
tổng rồi cộng các kết quả lại.

1. Điều kiện để thực hiện phép trừ là số bị trừ lớn hơn hoặc bằng số trừ.
2. Điều kiện để a chia hết cho b ( a,b
∈
N ; b ≠ 0) là có số tự nhiên p sao cho
a= b.p.
3. Trong phép chia có dưa;
số bị chia = số chia x thương + số dư ( a = b.p + r)
số dư bao giờ cũng khác 0 và nhỏ hơn số chia.
Ví dụ . a) Tính tổng của các sống tự nhiên từ 1 đến 999;
b) Viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 999 thành một hang ngang ,ta được số
123….999. tính tổng các chữ số của số đó.
Giải . a) Ta có 1 + 2 + 3 + ……+ 997 + 998 + 999 = (1+ 999) + ( 2 + 998 ) +(3 + 997 ) … +
(409 + 501 ) = 1000.250 = 250000.
b) số 999 có tổng các chữ số bằng 27, vì thế nếu tách riêng số 999 , rồi kết hợp 1 với
998; 2 với 997 ; 3 với 996;… thành từng cặp để có tổng bằng 999, thì mỗi tổng như vậy đều có
www.VIETMATHS.com
tổng các chữ số là 27.vì vậy có 499 tổng như vậy ,cộng thêm với số 999 cũng có tổng các chữ số
bằng 27.do đó tổng các chữ số nêu trên là 27.50= 13500.
Ví dụ . Tìm số có hai chữ số,biế rằng nếu viêt chữ số 0 xen giữa hai chữ của số đó thì được
số có ba chữ số gấp 9 lần số có hai chữ số ban đầu.
Giải : gọi số có hai chữ số phải tìm là
ab
trong đó a ,b là các số tự nhiên từ 1 đến 9.theo đề
bài ,ta có:

ba0
= 9
ab
hay 100a + b = 9( 10a + b ) hay 100a + b = 90a + 9b
Do đó 5a = 4b. bằng phép thử trực tiếp ta thấy trong các số tự nhiên từ 1 đến 9 chỉ có a= 4 ,b

= 5 thỏa mãn 4a = 5b.
Số có hai chữ số phải tìm là 54.
Bài tập :
1. Tính
a) 1 + 7 + 8 +15 + 23 + ….+ 160;
b) 1 + 4 + 5 + 9 + 14 +….+ 60 + 97;
c) 78.31 + 78.24 + 78.17 +22.72.
2.a)Hãy viết liên tiếp 20 chữ số 5 thành một hàng ngang,rồi đặt dấu + xen giữa các chữ số
đó để được tổng bằng 1000.
b) Hãy viết liên tiếp tám chữ số 8 thành một hàng ngang,rồi đặt dấu + xen giữa các chữ số
đó để được tổng bằng 1000.
3.Chia các số tự nhiên từ 1 đến 100 thành hai lớp : lớp số chẵn và lớp số lẻ.hỏi lớp nào có
tổng các chữ số lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu?
4. Điền các chữ số thích hợp vào các chữ để được phép tính đúng :
a)
ab1
+ 36 =
1ab
;
b)
abc
+
acc
+
dbc
=
bcc
5. Cho ba chữ số a,b,c với 0 < a < b < c ;
a) Viết tập hợp A các số có ba chữ số ,mỗi số gồm cả ba chữ số a, b ,c:
b) Biết rằng tổng hai số nhỏ nhất trong tập hợp A bằng 488.tìm tổng các chữ

a + b + c.
5. Cho 1 bảng vuông gồm 9 ô vuông như hình vẽ.
hãy điền vào các ô của bảng các số tự nhiên từ 1 đến 10

(mỗi số chỉ được viết một lần) sao cho tổng các số ở
mỗi hang ,mỗi cột ,mỗi đường chéo bằng nhau.
6. Kí hiệu n! là tích của các số tự nhiên từ 1 đến n : n! = 1.2.3…n.
Tính : S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + 5.5!
4
1
0
2
8
www.VIETMATHS.com
7. Trong một tờ giấy kẻ ô vuông kích thước 50.50 ô vuông .trong mỗi ô người ta viết một số
tự nhiên . biết rằng bốn ô tạo thành một hình như hình vẽ thì tổng các số trong bốn ô đó đều
bằng 4 .hãy chứng tỏ rằng mỗi số đó đều bằng 1.
8.Một số có bảy chữ số ,cộng với số được viets bảy chữ số đó nhưng theo thứ tự ngược lại thì
được tổng là số có bảy chữ số.hãy chứng tổ rằng tổng tìm được có ít nhất một chữ số chẵn.
9.Cho bảng gồm 16 ô vuông như hình vẽ .hãy điền vào các
ô bảng của bảng các số tự nhiên lẻ từ 1 đến 31 (mỗi số chỉ
viết một lần.) sao cho tổng các số trong cùng một hàng,
cùng một cột , cùng một đường chéo đều bằng nhau
10.Cho dãy số 1,2,3,5,8,13,21,34,….( dãy số phi bô na xi) trong đó mỗi số (bắt đầu từ số thứ
ba) bằng tổng hai số đứng liền trước nó.chọn trong dãy số đó 8 số liên tiếp tùy ý.chứng minh
rằng tổng của 8 số này không phải là một số của dãy đã cho.
11. Một số chắn có bốn chữ số, trong đó chứ số hàng trăm và chứ số hang chục lập thành một
số gấp ba lần chữ số hàng nghìn và gấp hai lần chữ số hang đơn vị.tìm số đó.
12.Tìm các số a,b,c,d trong phếp tính sau:
abcd + abc + ab + a = 4321 .

13.Hai người chơi một trò chơi lần lượt bốc những viên bi từ hai hộp ra ngoài.mỗi người đến
lượt mình bốc một số viên bi tùy ý .người bốc viên bi cuối cùng đối với cacr hai hộp là người
thắng cuộc.biết rằng ở hộp thứ nhất có 190 viên bi ,hộp thứ hai có 201 viên bi.hãy tìm thuật
chơi để đảm bảo người bốc bi đầu tiên là người thắng cuộc.
Bài tập cñng cè
1. Tính giá trị của biểu thức một cách hợp lí:
A = 100 + 98 + 96 + ….+ 2 - 97 – 95 - …- 1 ;
B = 1 + 2 – 3 – 4 + 5 + 6 – 7 – 8 + 9 + 10 – 11 – 12 + …- 299 – 330 + 301 + 302;
2. Tính nhanh
a) 53.39 +47.39 – 53.21 – 47.21.
b)2.53.12 + 4.6.87 – 3.8.40;
c) 5.7.77 – 7.60 + 49.25 – 15.42.
3.Tìm x biết:
a) x : [( 1800+600) : 30] = 560 : (315 - 35);
b) [ (250 – 25) : 15] : x = (450 - 60): 130.
4. Tổng của hai số bằng 78293.số lớn trong hai số đó co chữ số hàng dơn vị là 5 ,chữ hàng
chục 1,chữ số trăm là 2.nếu ta gạch bỏ các chữ số đó đi thì ta được một số bằng số nhỏ nhất .tìm
hai số đó.
5.Một phếp chia có thương là 6 dư 3 .tổng của số bị chia ,số chia và số dư là 195.tìm số bị
chia và số chia.
15 29
23 5
3 17
27 9
www.VIETMATHS.com
6.Tổng của hai số có a chữ số là 836.chữ số hàng trăm của số thứ nhất là 5 ,của số thứ hai là
3 .nếu gạch bỏ các chữ số 5 và 3 thì sẽ được hai số có hai chữ số mà số này gấp 2 lần số kia.tìm
hai số đó.
7.Một học sinh khi giải bài toán đáng lẽ phải chia 1 số cho 2 và cộng thương tìm được với 3
.nhưng do nhâm lẫn em đó đã nhân số đó với 2 và sau đó lấy tích tìm được trừ đi 3 .mặc dù vậy

kết quả vẫn đúng .hỏi số cần phải chia cho 2 là số nào?
8. Tìm số có ba chữ số .biết rằng chữ số hàng trăm bằng hiệu của chữ số hàng chục với chữ số
hàng đơn vị.chia chữ số hàng chục cho chữ số hàng đơn vị thì được thương là 2 và dư 2.tích của
số phải tìm với 7 là 1 số có chữ số tận cùng là 1.
9. Tìm số tự nhiên a ≤ 200 .biết rằng khi chia a cho số tự nhiên b thì được thương là 4 và dư 35
.
10. Viết số A bất kì có 3 chữ số ,viết tiếp 3 chữ số đó 1 lần nữa ta được số B có 6 chữ số.chia số
B cho 13 ta được số C. chia C cho 11 ta được số D.lại chia số D cho 7.tìm thưởng của phép chia
này.
11. Khi chia số M gồm 6 chữ số giống nhau cho số N gồm 4 chữ số giống nhau thì được
thương là 233 và số dư là 1 số r nào đó .sau khi bỏ 1 chữ số của số M và 1 chữ số của số N thì
thương không đổi và số dư giảm đi 1000.tìm 2 số M và N?
chuyªn ®Ò 3
Lũy thừa vµ c¸c phÐp to¸n
1. Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau,mỗi thừa số bằng a:
a
n
= a.a…a ; (n thừa số a, n ≠0).
2.Khi nhân hai lũy thừa của cùng cơ số , ta giữ nguyên cơ số và cộng các số
mũ
a
m
a
n
= a
(m+n)
Ví dụ .
Hãy chứng tỏ rằng: a) (2
2
)

3
= 2
2 . 3
; (3
3
)
2
= 3
3 . 2
; (5
4
)
3
= 5
4. 3
;
b) (a
m
)
n
= a
m . n
; (m,n
∈
N).
Giải:
a) (2
2
)
3

= 2
2
.2
2
.2
2
= 2
2+ 2+2
= 2
6
= 2
2.3
tương tự làm như vậy tao có: (3
3
)
2
= 3
3 . 2
; (5
4
)
3
= 5
4. 3
;
b) Một cách tổng quát ta có (a
m
)
n
= a

m . n
; (m,n
∈
N).
Ví dụ 9. a) Hãy so sánh : 2
3
.5
3
với (2.5)
3
; 3
2
.5
2
với (2.5)
2
;
b) Hãy chứng minh rằng : (a.b)
n
= a
n
.b
n
; (n ≠ 0);
Giải . a) 2
3
.5
3
= 8.125 = 1000;
(2.5)

3
= 10
3
= 1000;
Vậy 2
3
.5
3
= (2.5)
3
Tương tự ta dễ dàng chưng minh được : (a.b)
n
= a
n
.b
n
; (n ≠ 0);
3
2
.5
2
= (2.5)
2
;
Bài tập:
1. Viết các số sau dưới dạng lũy thừa:
www.VIETMATHS.com
a) 10 ; 100 ; 1000; 10000; 100 0; (n số 0 );
b) 5 ; 25; 625; 3125;
2.So sánh các số sau:

a) 3
200
với 2
3000
; b) 125
5
với 25
7
; c)9
20
với 27
13
d)3
54
với 2
81
;
3.Viết các tích sau đướ dạng lũy thừa:
a) 5.125.625 ; b) 10.100.1000 ; c) 8
4
.16
5
.32; d) 27
4
.81
10
;
4.So sánh:
a) 10
30

với 2
100
; b) 5
40
với 620
10
;
5.Một hình lập phương có cạnh là 5 m.
a) tính thể tích của hình lập phương;
b) nếu cạnh của hình lập phương tăng lên 2 lần , 3 lần thì thể tích của hình lập phương tăng
lên bao nhiêu lần.
6. Trong cách viết ở hệ thập phân số 2
100
có bao nhiêu chữ số?
C®4.Tính chất chia hết của một tổng,mét hiÖu, mét tÝch
1. Tính chất 1.nếu tất cả các số hạng của một tổng đều chia hết cho
cùng một số thì tổng chia hết cho số đó :
a

m ; b

m ; c

m
⇒
a + b + c

m .
2. Tính chất 2 ,nếu chỉ có một số hạng của tổng không chia hết cho một
số ,các số hạng còn lại đều chia hết cho số đó thì tổng không chia hết

cho số đó:
a
.
.
m ; b

m ; c

m
⇒
a + b + c
.
.
.
m .
Ví dụ: Cho ba số tự nhiên a, b, c, trong đó a và b là các số chia hết cho 5 dư 3 còn c là số khi
chia cho 5 dư 2.
a) Chứng tổ rằng mỗi tổng (hiệu)sau: a + c ; b + c ; a - b ; đều chia hết cho 5 .
b) Mỗi tổng(hiệu) sau: a+ b + c ; a + b – c ; a+ c – b ;có chai hết cho 5 không?
Giải : đặt a = 5n + 3 ; b = 5m + 3 ; c = 5p + 2 ;(n,m,p
∈
N)
a) từ đó ta có :
a + c = (5n + 5p + 5)

5 vì các số hạng đều chia hết cho 5.
Tương tự: b + c = 5m + 5p + 5

5 ; a – b = 5n – 5m


5
b) a + b + c = 5n+ 5m + 5p + 8 không chia hết cho 5 vì 8
.
.
.
5;
tương tự: a + b – c
.
.
.
5 ; a + c – b
.
.
.
5.
Bài tập:
1.Tìm số tự nhiên x để:
a) 113 + x

7
b) 113

+ x

13
2. Chứng tỏ rằng:
ab
+
ba


11 ;
abc
-
cba


99;
3.Chứng tỏ rằng:
a) Trong ba số tự nhiên liên tiếp , có một và chỉ một số chia hết cho 3;
b) Trong hai số tự nhiên liên tiếp , cố một và chỉ một số chia hết cho 4;
www.VIETMATHS.com
4. Chứng tỏ rằng :
8
10
– 8
9
- 8
8


55 ; 7
6
+ 7
5
- 7
4


11; 81

7
– 27
9
- 9
13


45; 10
9
– 10
8
- 10
7


555;
5.Chứng tỏ rằng : nếu số
abcd


99 thì
ab
+
cd


99 và ngược lại.
6.Chứng tỏ rằng : nếu số
abcd


101 thì
ab
-
cd


101 và ngược lại
7.Chứng tỏ rằng:
a) Mọi số tự nhiên có ba chữ số giống nhau đều chia hết cho 37;
b) Hiệu giữa số có dạng
11ab
và số được viết bởi chính các số đó nhưng theo thứ tự ngược lại thì
chia hết cho 90.
8. Một số có ba chữ số chia hết cho 12 và chữ số hang trăm bằng chữ số hang chục . Chứng tỏ
rằng tổng ba chữ số của số đó chia hết cho 12.
C®6. Dấu hiệu chia hết
1. Dấu hiệu chia hết cho 9: các số có tổng các chữ số chia hết cho
9 thì chia hết cho 9 và chỉ những số đó mới chia hết cho 9.
1. Dấu hiệu chia hết cho 3: các số có tổng các chữ số chia hết cho
3 thì chia hết cho 9 và chỉ những số đó mới chia hết cho 3.Dấu
hiệu chia hết cho 2 : các số có chữ số tận cùng là chữ số chẵn
thì chia hết cho 2 và chỉ những số đó mới chia hết cho 2.
2. Dấu hiệu chia hết cho 5: các số có chữ số tận cùng là chữ số 0
hoặc 5 thì chia hết cho 5 và chỉ những số đó mới chia hết cho
5.
2.
Ví dụ1. Dùng ba chữ số 9, 0 ,5 để ghép thành các số co ba chữ số thỏa mãn một trong các điều
kiên sau:
a) Số đó chia hết cho 5;

b) Số đó chia hết cho 2 và cho 5.
Giải. a) Một số chia hết cho 5 thì số đó tận cùng bằng 0 hoặc 5 . vậy có ba số có chữ số chia hết
cho 5 là: 950 ; 590 ; 905.
b)Một số chia hết cho 2 và cho 5 thì số đó tận cùng bằng 0 . vậy có hai số có chữ số chia hết cho
2 và cho 5 là: 950 ; 590 ;
Ví dụ2. Cho số
yx43123
. hãy thay x,y bởi các chữ số để số đã cho chia hết cho 3 và 5.
Giải. Số
yx43123


5 nên y = 0 hoặc y = 5.
• Với y = 0 , ta có số
430123x
. số này phải chia hết cho 3 , nên 1 + 2 + 3 + x + 4+ +3

3
hay 12 + (x+ 1)

3 , nhưng 1≤ x + 1 ≤ 10 ,nên x + 1 = 3 ; 6 ; 9.
- Nếu x + 1 = 3 thì x = 2 ,ta được 1232430
- Nếu x + 1 = 6 thì x = 5 ,ta được 1235430
- Nếu x + 1 = 3 thì x = ,ta được 1238430
www.VIETMATHS.com
Với y = 5 , ta có số
435123x
. số này phải chia hết cho 3 , nên 1 + 2 + 3 + x + 4+ +3 + 5

3

hay 18 + x

3 ,nên x = 0 ; 3 ; 6 ; 9. ta có các số sau : 1230435; 1233435; 1236435 và
1239435
Bài tập :
1. Điền chữ số vào dấu * để được số :
b) Chia hết cho 2 :
46*3
;
*199
;
1*20
;
c) Chia hết cho 5 :
5*16
;
*174
;
6*53
;
2. Dùng cả ba số 5,6,9 để ghép thành các số tự nhiên có ba chữ số:
a) Lớn nhất và chia hết cho 5;
b) Nhỏ nhất và chia hết cho 2;
3. Tìm tập hợp các số tự nhiên n vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 5 và
1995 ≤ n ≤2001 .
4. Chứng tỏ rằng trong năm số tự nhiên liên tiếp luốn có một số chia hết cho 5.
5. Chứng tỏ rằng:
a) Trong ba số tự nhiên bất kì bao giờ cũng chọn được hai số có hiệu chia hết cho 2;
b) Trong sáu số tự nhiên bất kì bao giờ cũng chọn được hai số có hiệu chia hết cho 5;
6. Chứng tỏ rằng:

a) (5n + 7 )(4n + 6)

2 với mọi số tự nhiên n;
b) (8n + 1 )(6n + 5)
.
.
.
2 với mọi số tự nhiên n;
7. Người ta viết các số tự nhiên tùy ý sao cho số các số lẻ gấp đôi số các số chẵn. tổng các số đã
viết có chia hết cho 2 hay không? Vì sao?
8. Có 5 tờ giấy .người ta xé tờ giấy đó thành 6 mảnh . lại lấy một trong số mảnh giấy nào đó, xé
mỗi mảnh thành 6 mảnh.cứ như vậy sau một số lần , người ta đếm được 2001 mảnh giấy.hỏi
người ta đếm đúng hay sai?
9. Cho sáu chữ số : 2 , 3 ,5 ,6 ,7 ,9.
a) cố bao nhiêu số có ba chữ số ,các chữ số trong mỗi số đều khhacs nhau, được lập thành từ các
chữ số trên?
b) Trong các số được lập thành có bao nhiêu số nhỏ hơn 400? Bao nhiêu số là số lẻ ? bao nhiêu
số chia hết cho 5?
Bài tậpcñng cè:
1.Điền chữ số vào dấu * để:
a) 2001 +
3*2
chia hết cho 3;
b)
4*793*5
chia hết cho 9;
2. Điền chữ số vào dấu * để được số chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9 :

*51
và

*745
3.Dùng ba trong 4 chữ số 3,6,9,0 hãy ghép thành số tự nhiên có ba chữ số sao cho số đó:
a) Chia hết cho 9;
b) Chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9.
4. Phải thay các chữ số x, y bởi chữ số nào để số
yx44123


3
5. Tổng (hiệu) sau có chia hết cho 3 , cho 9 không?
10
2001
+ 2 ; 10
2001
– 1 .
www.VIETMATHS.com
6. Tìm các chữ số x,y biết rằng số
yx356
chia hết cho 2 và 9.
7. Tìm các chữ số x,y biết rằng số
yx171
chia hết cho 445.
8. Tìm tất cả các số có dạng
ba146
, biết rằng số đó chai hết cho 3 , cho 4 và cho 5.
9. Tìm hai số tự nhiên liên tiếp , trong đó có một chữ số chia hết cho 9 , biết rằng tổng của
hai số đó thỏa mãn các điều kiện sau:
a) Là só có ba chữ số;
b) Là số chia hết cho 5;
c) Tổng của chữ số hàng trăm và chữ số hàng đơn vị là số chia hết cho 9;

d) Tổng của chữ số hàng trăm và chữ số hàng chục là số chia hết cho 4;
C§7 Phân tích một số ra thừa số nguyên tố.
Phân tích một số tự nhiên ra thừa số nguyên tố là viết số đó dưới dạng
một tích các thừa số nguyên tố . mọi số tự nhiên lớn 1 đều phân tích
được ra thừa số nguyên tố.
Dù phân tích một số ra thừa số nguyên tố bằng cách nào thì cuối cùng
cũng được cùng một kết quả.
Ví dụ . Cho sô tự nhiên A = a
x
b
y
c
z
trong đó a, b, c, là các số nguyên tố đôi một khác nhau,
còn x, y ,z là các số tự nhiên khác 0 .chứng tỏ rằng số ước số của A được tính bởi công thức :
(x + 1)(y + 1)(z + 1).
Giải. Số ước số của A chỉ chứa thừa số nguyên tố a là x, chỉ chứa thừa số nguyên tố b là y,
chỉ chứa thừa số nguyên tố c là z, chỉ chứa thừa số nguyên tố ab là xy, chỉ chứa thừa số
nguyên tố ac là xz, chỉ chứa thừa số nguyên tố bc là yz, chỉ chứa thừa số nguyên tố abc là
xyz.vì A là ước của chính nó . do đó số ước của A bằng:
x + y + z + xy + yz + xz + xyz + 1 = x(z + 1) + y(z + 1) + xy(z + 1) + (z + 1) = (z + 1)(x + y
+ xy + 1) = (z + 1)[(x + 1) + y(x + 1)] = (x + 1)(y + 1)(z + 1).
Ví dụ : số B = 2
3
3
5
5
4
thì số ước số của B là (3 + 1)(5 + 1)(4 + 1) = 4.6.5 = 120.
Bài tập.

1. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất:
a) Có 9 ước; b) Có 15 ước.
2. Cho số tự nhiên B = a
x
b
y
trong đó a,b là các số nguyên tố khác nhau , x, y là các số tự
nhiên khác 0 . biết B
2
có 15 ước . hỏi B
3
có bao nhiêu ước?
3. Tìm số tự nhiên a , biết 105

a và 16 ≤ a ≤ 50 .
4. Một trường có 805 học sinh. Cần phải xếp mỗi hang bao nhiêu học sinh để học sinh ở mỗi
hàng là như nhau , biết rằng không xếp quá 35 hàng và cũng không ít hơn 15 hàng.
5. Số tự nhiên n có tổng các ước bằng n (không kể n) được gọi là số hoàn chỉnh (số hoàn
thiện , số hoàn toàn).
a) Chứng tỏ rằng các số 28,496 là số hoàn chỉnh.
b) Tìm số hoàn chỉnh n , biết n = p.q trong đó p,q là các số nguyên tố.
www.VIETMATHS.com
6. Tìm số tự nhiên n, biết rằng số n có 30 ước và khi phân tích thành thừa số nguyên tố thì có
dạng n = 2
x
3
y
trong đó x + y = 8.
C®8. Ước chung và Ước chung lớn nhất
1Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.

Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó.
.ƯCLN của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung
của các số đó.
2. Muốn tìm ƯCLN của hai hay nhiều số , ta thực hiện ba bước sau:
Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
Bước 2 : Chọn các thừa số nguyên tố chung.
Bước 3 : Lập tích các thừa số đó , mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của
nó.tích đó là ƯCLN phải tìm.
Chú ý: Hai hay nhiều số có ƯCLN là 1 gọi là các số nguyên tố cùng nhau.
Trong các số đã cho , nếu số nhỏ nhất là ước của các số còn lại thì ƯCLN
của các số đã cho là số nhỏ nhất đó.
3.Muốn tìm ước chung của các số đã cho ,ta tìm các ước ƯCLN của các số
đó
Ví dụ1. Tìm số tự nhiên a biết rằng khi chia 39 cho a thì dư 4, còn khi chia 48 cho a thì dư 6.
Giải. Chia 39 cho a thì dư 4 , nên a là ước của 39 – 4 = 35 và a > 4 .chia 48 cho a thì dư 6 nên
a là ước của 48 – 6 = 42 và a > 6 . do đó a là ước chung của 35 và 42 dông thồng a > 6.
Ư(35) = { 1, 5, 7, 35} ; Ư(42) = {1,2,3,6,7,14,21,42}.
ƯC(35,42) = { 1,7}. Vậy a = 7 .
Ví dụ.2 Tìm hai số tự nhiên cố tổng 432 và ƯCLN cua chúng bằng 36.
Giải. Gọi hai số tự nhiên phải tìm là a và b . vì ƯCLN(a,b) = 36 , nên a = 36c và b = 36d , (c,d) =
1. theo đề bài tổng của hai số bằng 432 nên: a + b = 432 hay 36(c + d) = 432,do đó c + d = 12.
như vậy ta phải tìm các cặp số c,d có tổng bằng 12 và (c,d) = 1 . các cặp số đó là 1 và 11 ; 5 và
7.các số tự nhiên cần tìm là a = 36 , b = 396 và a = 180 , b = 252 hoặc ngược lại.
Bài tập:
1. Viết các tập hợp :
a) ƯC(8,12,24); ƯC(5,15,35);
b) BC(8,12,24); BC(5,15,35);
2. Tìm giao của hai tập hợp :
A = { n
∈

N : n là ước của 18}
B = { m
∈
N : m là ước của 36}.
3. Tìm số tự nhiên a, biết rằng khi chia 264 cho a thì dư 24 , còn khi chia363 cho a thì dư 43.
www.VIETMATHS.com
4. Có 100 quyển vở và 90 bút bi. Cô giáo chủ nhiểm muốn chia số vở và bút thành một số
phần thưởng như nhau gôm cả vở và bút để phát phần thuopwngr cho học sinh. Như vậy thì còn
lại 4 quyển và 18 bút bi không thể chia đều cho các học sinh.tính sô học sinh được thưởng?.
5. Gọi G là tập hợp các số là bội của 3 ; H là tập hợp các số là bội của 18. tìm G
∩
H.
6. Có một số sách giáo khoa. Nếu xếp thành từng chồng 10 cuốn thì vừa hết ,thàng từng
chồng 12 cuốn thì thừa 2 cuốn, thành từng chồng 18 cuốn thì thừa 8 cuốn .biết rằng số sách trong
khoảng từ 715 đến 1000 cuốn.tìm số sách đó.
Bài tập cñng cè.
1. Tìm ƯCLN của ác số có 9 chữ số được viết bởi các chữ số 1 , 2, 3 ,4, 5 ,6 ,7 ,8 ,9 và trong
mỗi số các chữ số đều khác nhau.
2. Tìm hai số tự nhiên biết rằng tổng của chúng bằng 66 , ƯCLN của chúng bằng 12.
3. Tìm 2 số tự nhiên ,biết tích của chúng bằng 864 và ƯCLN của chúng bằng 6.
4. Một lớp học có 28 nam và 24 nữ.có bao nhiêu cách chia số học sinh của lớp thành các tổ
sao cho số nam và nữ được chia đều cho các tổ.
5. Người ta muốn chia 240 bút bi , 210 bút chì và 180 tập giấy thành 1 số phần thưởng như
nhau. Hỏi có thể chia được nhiều nhất là bao nhiêu phần thưởng,mỗi phần thưởng Có bao
nhiêu bút bi , bút chì, tập giấy?.
6. Biết rằng 3n + 1 và 5n + 4 ( n
∈
N) là 2 số không nguyên tố cùng nhau .tìm ƯCLN của 2
số trên.
Tiết 18. Bội chung nhỏ nhất

1.BCNN của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác o trong tập hợp các bội chung của các
số đó.
2. Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số , ta thực hiện 3 bước sau:
Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
Bước 2: Chọn các thừa số nguyên tố chung và riêng.
Bước 3: Lập tích các thừa số đó , mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó.tích đó là
BCNN phải tìm.
Chú ý: Nếu các số đã cho từng đôi một nguyên tố cùng nhau thì BCNN của chúng là
tích của các số đó.
Trong các số đã cho nếu số lơn nhất là bội của các số còn lại thì BCNN của các số đã cho
là số lơn nhất đó.
3.Muốn tìm bôi chung của hai hay nhiều số , ta tìm các bội của BCNN của các số đó.
Ví dụ: Một số tự nhiên chia cho 2, cho 3 , cho 4 , cho 5 , cho 6 đều dư 1 , nhưng khi chia cho 7 thì không còn dư.
a) Tìm số nhỏ nhất có tính chất trên.
b) Tìm dạng chung của các số có tính chất trên.
Giải.
a) Gọi x là số phải tìm thì x – 1

( 2 ,3 ,4, 5 , 6) nên x – 1 là bội chung của 2, 3, 4, 5, 6.
BCNN ( 2,3,4,5,6) = 60
Vậy x – 1 nhận các giá trị: 60 ,120,180,240,300,… do đó x nhân các giá trị: 61 ,121 ,181,241,301,…
Trong các số trên, số nhỏ nhất chia hết cho 7 là số 301.
b) Vì x – 1 là bội của 60 nên x- 1 = 60n hay x = 60n + 1 (n
∈
N
*
) và x

7 .ta có : x = 60n + 1 = 7.8n – 7 + 4
(n + 2). Vì 7.8n


7 ,do đó để x

7 thì phải có 4(n + 2)

7 hay n + 2

7 . dặt n + 2 = 7k thì n = 7k – 2 (k
∈
N
*
).
x = 60n + 1 = 60 (7k - 2) + 1 = 420k – 119 . để tìm x ta chỉ việc cho k các giá trị : k = 1, 2, 3, …
www.VIETMATHS.com
Bài tập.
1. Tìm BCNN của ba số sau : số nhỏ nhất có hai chữ số ,số lớn nhất có ba chữ số và số nhỏ nhất có bốn chữ
số.
2. Có thể chỉ dung một chữ số 2 để lập các số có dạng : 2, 22, 22,222, sao cho số đó:
a) là bội của 5 được không?
b) Là bội của 9 được không?
2. Tìm BCNN(30 , 45) và ƯCLN(30 ,45) . thử lại rằng tích của BCNN (30 , 45) và ƯCLN(30 , 45) bằng tích
của hai số 30 và 45.
3. Ba em An , Bảo , Ngọc cùng học một trường nhưng ở 3 lớp khác nhau .An cứ 5 ngày trực nhật một lần ,
Bảo 10 ngày trực nhật một lần, còn Ngọc 8 này trực nhật một lần.lần đầu ba em cùng trực nhật một
ngày .hỏi mấy ngày sau ba em lại cùng trực nhật vào cùng một ngày? Đến ngày đó mỗi em đã trực nhật
mấy lần?
4. Bạn Nam nghĩ một số có ba chữ số. nếu bớt số đó đi 8 thì được số chia hết cho 7 .nếu bớt đi 9 thì được số
chia hết cho 8 ,nếu bớt đi 10 thì được số chia hết cho 9. hỏi bạn Nam nghĩ số nào?
. Cộng hai số nguyên cùng dấu.
Muốn cộng hai số nguyên cùng dấu ta cộng hai giá trị tuyêt đối của chúng rồi đặt trước

kết quả dấu của chúng
Ví dụ. tính tổng các số nguyên x biết:
a) - 10 ≤ x ≤ - 1 ; b) 5 < x < 15 .
Giải . a) - 10 ≤ x ≤ - 1 nên x = { - 10 , - 9 , - 8 , - 7 , - 6 , - 5 , - 4 , - 3 , - 2 , - 1}. Vậy tổng phải tìm là : A = (- 10)
+ (- 9) + (- 8) + (- 7) + (- 6) + (- 5) + (- 4) + (- 3) + (- 2) + ( - 1)
= - ( 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1) = - 55
b) 5 < x < 15 nên x = { 6 ,7,8,9,10,11,12,13,14} . tổng phải tìm là
B = 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 = 90.
Bài tập:
1. So sánh :
a) │3 + 5│ và │3│ + │5│;
b) │(- 3) +(- 5)│ và │- 3│ + │- 5│;
Từ đó rút ra nhận xét gì về │a + b│ và │a│ + │b│ với a , b
∈
Z.
2. Điền dấu < , > vào ô trống một cách thích hợp:
a) 7 + │- 23│ 15 + │- 33│

b)│- 11│ + 5 │- 8│ + │- 2│
c) │- 21│+│- 6│ - 7
3. Tìm x
∈
Z biết :
a) (+ 22) + (+ 23) + x = 21 + │- 24│
b) │- 3│ + │- 7│ = x + 3
c) 8 +│x│ = │- 8│+ 11;
d) │x│ + 15 = - 9
4. Tìm các cặp số nguyên x, y biết │x│ + │y│= 5.
5. Cho 1 số nguyên trong đó tổng của 5 số bất kì là số nguyên dương. Chứng tỏ rằng tổng của 31 số đó là số
nguyên dương?

www.VIETMATHS.com
Cộng hai số nguyên khác dấu.
1. Hai số nguyên đối nhau có tổng bằng 0 .
2. Muốn cộng hai số nguyên khác dấu không đối nhau ta tìm hiệu hai giá trị tuyệt đối của chúng (số
lớn trừ số nhỏ) và đặt trước kết quả tìm được dấu của số có giá trị tuyệt đối lớn hơn.
Với mọi số nguyên a ta có a + 0 = 0 + a = a.
Ví dụ. Cho phép cộng (* 15) + ( * 7) trong đó dấu * chỉ dấu “ + “ hoặc dấu “ –“ . hãy xác định dấu của các số
hạng để tổng bằng:
a) 22 ; b) – 22 ; c) 8 ; d) - 8 .
Giải . Trong câu a và b , giá trị của tổng bằng tổng các giá trị tuyệt đối của hai số hạng nên đó là phép cộng hai số
nguyên cùng dấu . dấu của tổng là dấu chung của hai số hạng đó, ta có :
a) (+ 15) + (+7) = 22;
b) (- 15) + (- 7) = - 22
Trong câu c và d , giá trị tuyệt đối của tổng bằng hiệu hai giá trị tuyệt đối của hai số hạng nên đó là phép cộng hai
số nguyên khác dấu. dấu của tổng là dấu của số có giá trị tuyệt đối lớn hơn, ta có:
c) (+ 15) + (- 7) = 8;
d) (- 15) + (+ 7) = - 8.
Bài tập.
1. Tính tổng │a│ + b , biết:
a) a = - 117 , b = 23;
b) a = -375 , b = - 725;
c) a = - 425 , b = - 425 .
2. Tìm x
∈
Z , biết :
a) x + 15 = 105 + ( - 5);
b) x – 73 = (- 35) + │- 55│;
c) │x│ + 45 = │- 17│ + │- 28│.
3. thay dấu * bằng chữ số thích hợp :
a) ( - *15) + ( - 35) = - 150;

b) 375 + ( - 5*3) = - 288;
c) 155 + ( - 1**) = 0.
4. Tính tổng của hai số nguyên:
a) Liền tiếp và liền sau số + 15;
b) Liền trước và liền sau số - 37;
c) Liền trước và liền sau số 0;
d) Liền trước và liền sau số a.
5.a) Viết số - 7 thành tổng của hai số nguyên có giá trị tuyêt đối không lớn hơn 10.
b) Viết số - 15 thành tổng của hai số nguyên có giá trị tuyêt đối không lớn hơn 20.
Tính chất của phép cộng các số nguyên.
1. Tính chất giao hoán : với mọi a , b
∈
Z : a + b = b + a.
2. Tính chất kết hợp: với mọi a , b
∈
Z : a + ( b + c) = (a + b) + c.
3. Cộng với số 0 : với mọi a
∈
Z : a + 0 = 0 + a = a.
4. Cộng với số đối : tổng của hai số nguyên đối nhau luôn luôn bằng 0: : với mọi a
∈
Z
www.VIETMATHS.com
: a + ( - a) = 0 .
Nếu tổng của hai số nguyên bằng o thì chúng là hai số đối nhau : : với mọi a , b
∈

Z : a + b = 0 thì a = - b bà b = - a.
ví dụ: Tính tổng của số nguyên x , biết:
a) - 10 < x < 10 ;

b) - 10 < x ≤ 10 .
Giải. a) Các số nguyên x thỏa mãn - 10 < x < 10 là x = - 9 , - 8 , -7 ,… , 7 , 8 ,9.
Tổng của các số nguyên đó là:
S = (- 9) + (- 8) + (- 7) + …+ 7 + 8 + 9 = [ (- 9) + 9] + [ (- 8) + 8] + [(- 7) + 7] …= 0.
b) Tương tự a) , tổng bằng 10.
Bài tập.
1. Tính :
a) A = 1 + (-3) + 5 + ( - 7) +….+ 17 + ( -19);
b) B = (- 2) + 4 + (-6) + 8 + …+ ( - 18) + 20;
c) C = 1 + (-2) + 3 + (-4) + ….+ 1999 + ( - 2000) + 2001;
2. Tính tổng các số nguyên x , biết:
a) – 50 < x ≤ 50;
b) - 100 ≤ x < 100.
3. Hãy điền các số : 0 , - 2 , 2, - 4 , 4 ,- 6 , 6, 8 , 10 vào các ô của bảng 3.3 = 9 ô vuông ( mỗi số một ô) sao cho
tổng ba số trên mỗi hàng ngang , mỗi hàng dọc , mỗi đường chéo đều bằng nhau.
4. Cho các số : - 2 , -4 , - 5 , - 6 , 7, 9 , 11. hãy sắp xếp các số trên sao cho có một số đặt ở tâm vòng tròn , các
số còn lại nằm ở trên đường tròn đó và cứ ba số bất kí trong các số trên đều nằm trên một đường thẳng mà tổng
của chúng bằng nhau và bằng 0.
5. Viết tất cả các số nguyên có giá trị tuyệt đối không vượt quá 50 theo thứ tự tùy ý. Sau dod cứ mỗi số cộng
với số chỉ thứ tự của nó để được một tổng. hãy tính tổng của tất cả các tổng tìm được.
Quy tắc dấu ngoặc.
1. Quy tắc dấu ngoặc : khi bỏ dấu ngoặc có dấu “ – “ đằng trước , ta phải đổi dấu tất
các số hạng trong dấu ngoặc : dấu “ + “ thành dấu “ – “ và dấu “ - “ thành dấu “ + “ .
Khi bỏ dấu ngoặc có dấu “ + “ đằng trước thì dấu các số hạng trong ngoặc vẫn giữ
nguyên.
2. Tổng đại số: trong một tổng đại số ta có thể :
- Thay đổi tùy ý các số hạng kèm theo dấu của chúng;
- Đặt dấu ngoặc để nhóm các số hạng một cách tùy ý với chú ý rằng nếu đằng trước
dấu ngoặc là dấu “ – “ thì phải đổi dấu tất cả các số hạng trong ngoặc
Ví dụ. Tính nhanh: A = - 3752 – ( 29 – 3632) – 51.

Giải. áp dụng quy tắc dấu ngoặc và tính chất của tổng đại số ta có:
A = - 3752 – ( 29 – 3632) – 51 = - 3752 – 29 + 3632 – 51 = - (3752 – 3632) – ( 29 + 51)
A = - 120 – 80 = - 200.
Bài tập.
1. Tính nhanh:
a) 4524 – ( 864 – 999) – ( 36 + 3999);
b) 1000 – ( 137 + 572) + ( 263 – 291 );
c) - 329 + ( 15 – 101) – ( 25 – 440).
2. Tìm số nguyến x , biết :
a) 3 – ( 17 – x) = 289 – ( 36 + 289)
b) 25 – ( x + 5) = - 415 – ( 15 – 415);
c) 34 + (21 – x) = ( 3747 – 30) – 3746.
www.VIETMATHS.com
3. Tính giá trị của biểu thức a – b – c , biết:
a) a = 45 , b = 175 , c = - 130;
b) a = - 350, b = - 285, c = 85;
c) a = - 720 , b = - 370 , c = - 250.
4. Cho n số nguyên bất kì : a
1,
a
2
,…,a
n
. chứng tỏ rằng S = │a
1
– a
2
│ + │a
2
– a

3
│+….+│a
n-1
+ a
n
│+│a
n
– a
1
│
là một số chẵn.
5. Cho 15 số tự nhiên khác nhau và khác 0 , trong đó mỗi số không lớn hơn 28. Chứng tỏ rằng trong 15 số dã
cho bao giờ cũng tìm được ít nhất một nhóm gồm 3 số mà số này bằng tổng của hai số còn lại hoặc một
nhóm gồm 2 số mà số này gấp đôi số còn lại.
Quy tắc chuyển vế.
1. Tính chất của đẳng thức : khi biến đổi các đẳng thức ta thường áp dụng các tính
chất sau:
Nếu a = b thì a + c = b + c;
Nếu a + c = b + c thì a = b;
Nếu a = b thì b = a .
2. Quy tắc chuyển vế : khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng
thức ta phải đổi dấu số hạng đó: dấu “ + “ thành dấu “ – “ và dấu “ – “ thành
dấu “ + “.
Ví dụ: Tìm x
∈
Z , biết :
a) 3 – x = (- 21) – ( - 9) , hay 3 – x = -21 + 9 hay 3 – x = - 12 , do đó x = 3 + 12 = 15.
b) x – 15 = 17 – 48 hay x = - 16.
Bài tập:
1. Tìm y

∈
Z , biết :
a) y + 25 = - 63 – ( - 17);
b) y + 20 = 95 _ 75;
c) 2y – 15 = -11 – ( - 16);
d) - 7 _ 2y = - 37 – ( - 26).
2. Cho ba số - 25; 15; x (x
∈
Z). tìm x , biết :
a) Tổng của ba số trên bằng 50;
b) Tổng của ba số trên bằng - 35;
c) Tổng của ba số trên bằng – 10.
2. Cho x , y
∈
Z . Hãy chứng minh rằng:
a) nếu x – y > 0 thì x > y ;
b) nếu x > y thì x – y > 0.
3. Cho a
∈
Z. tìm số nguyên x biết:
a) a + x = 11 ;
b) a – x = 27.
Trong mỗi trường hợp hãy cho biết với giá trị nào của a thì x là số nguyên dương, số nguyên am , số 0?
4. Cho a
∈
Z. tìm x
∈
Z biết
a) │x│= a ;
b) │x + a│ = a.

bội và ước của một số nguyên.
1. Bội và ước của một số nguyên : cho a , b
∈
Z và b≠ 0 . nếu có số nguyên q sao cho
www.VIETMATHS.com
a = bq thì ta nói a chia hết cho b. ta còn nói a là bội của b va b là ước của a.
Chú ý :
• Nếu a = bq thì ta còn nói a chia cho b được q và viết a : b = q.
• Số 0 là bội của mọi số nguyên khác 0.
• Số 0 không phải là ước của bất kì số nguyên nào.
• Các số 1 và – 1 là ước của mọi số nguyên.
2. Tính chất:
• Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a cũng chia hết cho c :
a

b và b

c
⇒
a

c.
• Nếu a chia hết cho b thì bội của a cũng chia hết cho b :

∀
m
∈
Z ta có a

b

⇒
a = am

b.
• Nếu hai số a ,b chai hết cho c thì tổng và hiệu của chúng cũng chia hết cho
c
a

c và b

c
⇒
( a + b )

c và ( a – b )

c.
Ví dụ . Tìm số nguyên n , sao cho: (n - 6)

( n – 1 ).
Giải . (n - 6)

( n – 1 ) hay [ ( n – 1 ) – 5]

( n – 1 ) suy ra ( - 5)

( n – 1 ) hay (n – 1) là ước của ( - 5). Do đó:
• Nếu n – 1 = -1 thì n = 0;
• Nếu n – 1 = 1 thì n = 2;
• Nếu n – 1 = - 5 thì n = -4;

• Nếu n -1 = 5 thì n = 6.
Thử lại:
• Với n = 0 thì n – 6 = - 6 , n- 1 = -1 và (– 6)

( - 1);
• Với n = 2 thì n – 6 = - 4 , n- 1 = 1 và (– 4)

1;
• Với n = -4 thì n – 6 = - 10 , n- 1 = -5 và (– 10)

( - 5);
• Với n = 6 thì n – 6 = 0 , n- 1 = 5 và 0

5;
vậy n = - 4 , 0 , 2 ,6.
Bài tập
1. Chứng tỏ rằng :
a) Tổng của ba số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 3;
b) Tổng của năm số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 5.
www.VIETMATHS.com
2. Có hay không một hình vuông mà số đo độ dài các cạnh là số nguyên và số đo diện tihcs bằng 111…11 ; (
2001 chữ số 1)?
3. Tìm số nguyên n sao cho:
a) (3n + 2)

( n – 1 ).
b) (3n + 24)

( n – 4 ).
c) (n

2


+ 5)

( n + 1 ).
4. Cho x, y là các số nguyên . chứng tỏ rằng nếu 6x + 11y chia hết cho 31 thì x + 7y cũng chia hết cho 31.
điều ngược lại có đứng không?
5. Chứng tỏ rằng với mọi số nguyên n thì :
a) ( n - 1)( n + 2) + 12 không chia hết cho 9;
b) ( n + 2)( n + 9) + 21 không chia hết cho 49;
Phân số bằng nhau.
Hai phân số
b
a
và
d
c
gọi là bằng nhau nếu : a. b = c. d.
Ví dụ . Lập các cặp phân số bằng nhau từ bốn trong năm số sau: 3; 6; 12; 24; 48.
Giải. Từ năm số đã cho , có ba đẳng thức sau: 3. 24 = 6.12 ; 3.48 = 6.24; 6.48 = 12.24.
Với đẳng thức 3.24 = 6.12 , trước hết ta lập một cặp phân số
6
3
=
24
12
(1). Để lập các cặp phân số bằng nhau khác
ta làm như sau:
• Tráo đổi vị trí số 3 và 24 của (1), ta được cặp phân số

6
24
=
3
12
.
• Tráo đổi vị trí số 6 và 12 của (1), ta được cặp phân số
12
3
=
24
6
.
• Tráo đổi vị trí số 3 và 24 , 6 và 12 của (1), ta được cặp phân số
12
24
=
3
6
.
Tóm lại từ đẳng thức 3.24 = 6.12, ta lập được 4 cặp phân số bằng nhau.
Cách làm tương tự với hai đẳng thức còn lại , ta được 8 cặp phân số bằng nhau nữa.
Vậy có tất cả 12 cặp phân số bằng nhau:
www.VIETMATHS.com
6
3
=
24
12
;

6
24
=
3
12
;
12
3
=
24
6
;
12
24
=
3
6
;
6
3
=
24
48
;
6
48
=
3
24
;

24
3
=
48
6
;
24
48
=
3
6
;
12
6
=
48
24
;
12
48
=
6
24
;
24
6
=
48
12
;

24
48
=
6
12
;
Ví dụ. Tìm các cặp số nguyên x, y biết :
x
2
=
3
−
y
.
Giải. Từ
x
2
=
3
−
y
, suy ra xy = - 6.
Để tìm các cặp số nguyên x , y ta phải xét tất cả các cách phân tích số -6 dước dangjtichs của hai số nguyên:
( - 6) = ( - 1).6 = 6 .( -1) = ( -2) .3 = ( - 3) .2.
Vì vai trò của x , y như nhau nên có 8 cặp số nguyên thỏa mãn đề bài :
x -1 6 1 -6 2 -3 -2 3
y 6 -1 -6 1 -3 2 3 -2
Bài tập.
1.Viết các phân số sau dưới dạng phân số co mẫu dương:

37
22
−
−
;
19
3
−
;
39
11
−
−
;
57
51
−
−
;
2.Tìm các số nguyên x,y biết:
a)
3
x
=
y
7
; b)
y
x
=

11
3
−
; c)
1
−
y
x
=
19
5
−
.
3. Tìm các số nguyên x , y ,z ,t biết :
6
12
−
=
5
x
=
3
y−
=
17
−
z
=
9
−

−
t
.
4.Tìm các số nguyên x, y , z biết :
6
24
−
−
=
3
x
=
2
4
y
=
2
3
−
z
.
5. Lập các cặp phân số bằng nhau từ bốn trong sáu số sau :
- 5 ; - 3 ; - 2 ; 6 ; 10 ; 15.
www.VIETMATHS.com
6. Tìm các số tự nhiên a , b , biết rằng a ,b là các số nguyên tố cùng nhau
và
ba
ba
5
7

+
+
=
28
29
.
Rút gọn phân số.
1. Muốn rút gọn một phân số ta chia cả tử và mẫu của phân số cho một số
ước chung ( khác 1 hoặc – 1) của chúng để được phân số đơn gian hơn.
2. Phân số tối giản là phân số không thể rút gọn được nữa. phân số
b
a
tối
giản nếu │a│và│b│ là hai số nguyên tố cùng nhau.
Ví dụ. Chứng tỏ rằng phân số
23
35
+
+
n
n
là phân số tối giản với
∀
n
∈
N.
Vì n
∈
N , nên 5n + 3
∈

N
*
và 3n + 2
∈
N
*
. do vậy để chứng minh phân số
23
35
+
+
n
n
là phân số tối giản với
∀
n
∈
N. at phải chứng minh 5n + 3 và 3n + 2 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Gọi ƯCLN của 5n + 3 và 3n + 2 là d ( d
∈
N và d≥ 1) , ta có 5n + 3

d và 3n + 2

d , do đó 3(5n + 3)

d và 5(3n
+ 2)

d . suy ra 5(3n + 2) - 3(5n + 3)


hay 15n + 10 – 15n – 9

d , hay 1

d , do đó d = 1 .vậy phân số
23
35
+
+
n
n

là phân số tối giản với
∀
n
∈
N.
Vì dụ . tìm phân số bằng phân số
211109
188887
−
, biết tổng giữa tử và mẫu của phân số là 6.
Giải . ta có:
211109
188887
−
=
19
17

−
. Các phân số pahir tìm có dạng
k
k
19
17
−
(k
∈
Z , k ≠ 0).
Vì tổng giữa tử và mẫu của phân số là 6 nên – 17k + 19k = 6 suy ra k = 3.
Vậy phân số phải tìm là :
3.19
3.17−
=
57
51−
Bài tập
1. Rút gọn các phân số sau: a)
5.3.2
3.2
22
3
b)
14.5.2.3
8.7.5.3.)2(
34
533
−

2. Rút gọn các phân số sau:
a)
32412
2622112
960.8110.6.2
15.12.616.6.5
−
+
; b)
125 2525
125 2525
22830
42428
++++
++++
www.VIETMATHS.com
3. Chứng tỏ rằng với mọi số nguyên n , các phân số sau là phân số tối giản:
a)
130
115
+
+
n
n
b)
13
2
24
3
++

+
nn
nn
.
4. Tìm tất cả các số nguyên để phân số
721
318
+
+
n
n
là phân số tối giản.
5. a) Cho phân số
9
13
. Phải them vào tử và mẫu của phân số , số tự nhiên nào để được phân số bằng phân số
7
5
?
b) Cho phân số
44
19
. Phải thêm vào tử và mẫu của phân số , số tự nhiên nào để được phân số bằng phân số
47
22
?
6. Dung một trong chín chữ số từ 1 đến 9 để ghép thành một phân số mà mỗi phân số lần lượt bằng : 2 ,3, 4,
5,6 ,7 , 8, 9.
7. Tìm phân số tối giản
b

a
, biết:
a) Cộng tử với 4 . mẫu với 10 thì được một phân số bằng phân số đã cho;
b) cộng mẫu vào tử , cộng mẫu vào mẫu thì được một phân sô gấp 2 lần phân số đã cho.
8. Tìm phân số , biết :
a) Phân số đó bằng phân số
20
9
và BCNN của tử và mẫu là 360;
b) Phân số đó bằng phân số
39
20
và ƯCLN của tử và mẫu là 36.
9. Tìm phân số
ab
a
, biết rằng phân số đó bằng phân số
a6
1
.
10. Chứng tỏ rằng nếu phân số
6
15
2
+n
là số tự nhiên với n
∈
N thì cá phân số
2
n

và
3
n
là các phân số tối
giản.
www.VIETMATHS.com
Quy đồng mẫu nhiều phân số.
Muốn quy đồng mẫu nhiều phân số với mẫu dương ta làm như sau:
Bước 1 : Tìm một bội chung của các mẫu ( thường là BCNN) để làm mẫu chung.
Bươc 2: Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu ( bằng cách chia mẫu chung cho từng mẫu).
Bước 3: Nhân tử và mẫu của phân số với thừa số phụ tương ứng.
Ví dụ. Rút gọn rồi quy đồng mẫu số các phân số sau:
3.47.8
11.45.4
−
+
;
3.206.5
7.108.15
+
+−
và
11.7.5.2
7.5.2
23
24
.
Giải. rút gọn các phân số:
3.47.8
11.45.4

+
+
=
)37.2(4
)115(4
−
+
=
11.4
16.4
=
11
16
;
3.206.5
7.108.15
+
+−
=
)3.46(5
)7.28.3(5
+
−−
=
18.5
10.5
−
=
18
10−

=
9
5
−
;
11.7.5.2
7.5.2
23
24
=
11.7.7.5.2
7.5.5.2.2
3
3
=
11.7
5.2
=
77
10
.
Quy đồng mẫu ba phân số :
11
16
;
9
5
−
;
77

10
.
Mẫu chung : 7.9.11 = 693.
Các thừa số phụ tương ứng : 9.7 = 63 ; 7.11 = 77 và 9.
Vậy :
11
16
=
63.11
63.16
=
693
1008
;
9
5
−
=
77.9
77.5
−
=
693
385
−
;
77
10
=
9.77

9.10
=
693
90
.
Bài tập:
1. Tìm mẫu chung của các phân số sau :
a)
22
5.3.2
13
và
7.5.3.2
11
24
; b)
11.7.3
19
2
−
và
13.7.3
23
2
−
2. Tìm tất cả cá phân số mà tử và mẫu đều là các số tự nhiên khác 0 có một chữ số , tủ kém mẫu 3 đơn vị và có
a) BC của các tử là 210;
www.VIETMATHS.com
b) BC của các mẫu là 210;
c) BC của các tử và mẫu là 210;

3. Tìm các chữ số a , b ,c để:
a) Phân số
ab
36
= a + b;
b) Phân số
cba ++
1000
=
abc
.
4. Cho ba phân số:

223
22
3.55
3.55
+
−−
;
11124
956
63.8
120.69.4
−
+
;
4041919.2
1012929
+

−
Rút gọn rồi quy đồng mẫu các phân số đó.
6. Tìm phân số có mẫu bằng 11 , biết rằng khi cộng tử với – 18, nhân mẫu với
7 thì được một phân số bằng phân số ban đầu.
7. a) Tìm phân số bằng phân số
18
8
, có tích giữa tử và mẫu bằng 324;
b)Tìm phân số biết tích của tử và mẫu là 550 và mẫu của phân số chỉ chứa các số nguyên tố 2 và 5.
So sánh phân số.
1. Với hai phân số cùng mẫu dương , ta có :
a) Nếu a < c và b > 0 thì
b
a
<
b
c
.
b) Nếu a > c và b > 0 thì
b
a
>
b
c
.
2. Muốn so sánh hai phân số không cùng mẫu , ta viết chúng dưới dạng hai phân
số có cùng một mẫu dương rồi so sánh các tử với nhau. Phân số nào có tử lớn
hơn thì phân số đó lơn hơn.
Ví dụ: Hãy tìm các phân số , thỏa mãn mỗi điều kiện sau:
a) Có mẫu là 30 , lớn hơn

17
5
và nhỏ hơn
17
6
.
www.VIETMATHS.com
b) Có mẫu là 5 , lớn hơn
3
2
−
và nhỏ hơn
6
1
−
.
Trong mỗi trường hợp trên hãy sắp xếp các phân số theo thứ tự từ nhỏ đến lơn.
Giải. a) Gọi phân số cần tìm là
30
a
, trong đó a
∈
Z., ta có:
17
5
<
30
a
<
17

6
, quy đồng mẫu chung của ba phân số ta được :
510
150
<
510
17a
<
510
180
; suy ra 150 < 17a < 180 ,
do đó 8 < a < 11 , mà a
∈
Z. nên a = 8 ,10. vậy có hai phân số thỏa mãn đề bài :
30
9
=
10
3
;
30
10
=
3
1
.
Sắp xếp các phân số theo thứ tự từ nhỏ đến lớn :
17
5
<

10
3
<
3
1
<
17
6
.
b) Cách làm tươn tự : ta tim được ba phân số thỏa mãn đề bài :
5
3
−
;
5
2
−
;
5
1
−
.
Sắp xếp các phân số theo thứ tự từ nhỏ đến lớn :
3
2
−
<
5
3
−

<
5
2
−
<
5
1
−
<
6
1
−
.
Bài tập :
1. Điền số thích hợp vào chỗ co dấu …
a)
23
10−
<
23

<
23

<
23

<
23

<
23
5
−
;
b)
5
1
−
<
30

<
15

<
10
1
−
.
2. Hãy tìm các phân số , sao cho :
a) Có mẫu là 20 , lớn hơn
13
4
và nhỏ hơn
13
5
;
b) Lớn hơn
7

5
và nhỏ hơn
6
5
.
3. a) Cho phân số
5
4
. cùng cộng thêm 3 vào tử và mẫu của phân số thì phân số tìm được lớn hơn hay nhỏ
hơn
5
4
?
www.VIETMATHS.com
b) Cho phân số
4
5
. cùng cộng thêm 3 vào tử và mẫu của phân số thì phân số tìm được lớn hơn hay nhỏ hơn
4
5
?
4. Cho hai phân số
6
1
và
3
2
. hãy tìm :
a) Năm phân số có tử và mẫu cùng là số dương , sao cho các phân sô đó lớn hơn
6

1
và nhỏ hơn
3
2
;
b) hai mươi phân số có tử và mẫu cùng là số dương , sao cho các phân sô đó lớn hơn
6
1
và nhỏ hơn
3
2
;
c) Có nhận xét gì về số các phân số có cùng tử và mẫu cùng là số dương , sao cho các phân số đó lớn hơn
6
1
và
nhỏ hơn
3
2
;
5. Hãy viết ba phân số có mẫu khác nhau , xen giữa hai phân số :
2
1
−
và
3
1
−
Tính chất cơ bản của phép cộng phân số.
1. Tính chất giao hoán : khi đổi chỗ các phân số trông một tổng thì tổng

không đổi .
Với mọi phân số
b
a
và
d
c
ta có :
b
a
+
d
c
=
d
c
+
b
a
.
2. Tính chất kết hợp : muốn cộng một tổng hai phân số với phân số thứ
ba , ta cố thể cộng phân số thứ nhất với tổng hai phân số còn lại.
Với mọi phân số
b
a
,
d
c
,
q

p
ta có : (
b
a
+
d
c
) +
q
p
=
b
a
+ (
d
c
+
q
p
).
3. Tổng của một phân số với 0 bằng chính phân số đó : Với mọi phân số
b
a
, ta có
b
a
+ 0 =
b
a
+ 0 =

b
a
.
www.VIETMATHS.com
Ví dụ : Tính nhanh các tổng sau:
a) A =
7
2
+
8
3
−
+
7
4
+
7
1
+
8
5
−
+
3
1
.
b) B =
2
1
+

3
2
−
+
4
3
+
5
4
−
+
6
5
+
7
6
−
+
8
7
+
7
6
+
6
5
−
+
5
4

+
4
3
−
+
3
2
+
2
1
−
Giải.a) Áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng phân số , gộp các phân số có cùng mẫu vào từng
nhóm, ta có :
A = (
7
2
+
7
4
+
7
1
) + (
8
3
−
+
8
5
−

) +
3
1
=
3
1
.
b)Áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng phân số , gộp các phân số có tổng bằng 0 vào từng
nhóm, ta có :
B = (
2
1
+
2
1
−
)+(
3
2
−
+
3
2
)+(
4
3
+
4
3
−

)+(
5
4
−
+
5
4
)+(
6
5
+
6
5
−
)+(
7
6
−
+
7
6
) +
8
7
B =
8
7
.
Bài tập:
1.Thực hiện phép tính một cách hợp lí , tính các tổng sau:

A =
9
2
−
+
4
3
−
+
5
3
+
15
1
+
57
1
+
3
1
+
36
1
−
B =
2
1
+
5
1

−
+
7
5
−
+
6
1
+
35
3
−
+
3
1
+
41
1
C = =
2
1
−
+
5
3
+
9
1
−
+

127
1
+
18
7
−
+
35
4
+
7
2
2. Tìm các số nguyên x biết :
a)
3
1
+
5
2
−
+
6
1
+
5
1
−
≤ x <
4
3

−
+
7
2
+
5
3
+
7
5
+
4
1
−
.
b)
17
5
+
9
4
−
+
31
20
−
+
17
12
+

31
11
−
< x ≤
7
3
−
+
15
7
+
7
4
−
+
15
8
+
3
2
3. Cho S =
51
1
+
52
1
+
53
1
+….+

99
1
+
100
1
. Hãy so sánh S với
2
1
4. Ba vòi nước cùng chảy vào một chiếc bể không chứa nước. Nếu mở riêng từng vòi thì vòi thứ nhất chảy đầy bể
trong 3 giờ , vòi thứ hai chảy trong 4 giờ và vòi thứ ba trong 5 giờ.Hỏi: