ĐÁNH GIÁ HIỆU NĂNG BÀI TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE SỬ DỤNG MPI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI
KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN
------🙙🙙🙙-------

BÁO CÁO THỰC NGHIỆM THUỘC HỌC PHẦN:
TÍNH TỐN HIỆU NĂNG CAO
ĐÁNH GIÁ HIỆU NĂNG BÀI TỐN GIẢI PHƯƠNG
TRÌNH LAPLACE SỬ DỤNG MPI
Giảng viên hướng dẫn

: Hà Mạnh Đào

Lớp

: 20231IT6069001

Khóa:

: K16

Nhóm thực hiện

: Nhóm 13

Thành Viên:
1. Lê Đăng Dương – 2021607148
2. Nguyễn Đắc Trường – 2021605543
3. Nguyễn Duy Trí – 2021604819

Hà Nội - 2023

LỜI MỞ ĐẦU
Tốn học đóng vai trị quyết định để hiểu hành vi và hoạt động của các hệ thống
điện và điện tử. Polynomials(đa thức), Algebra(đại số), Probability(xác suất),
v.v… tạo thành một phần quan trọng của các công cụ được xử dụng để giải
quyết các hệ thống. Với sự phức tạp ngày càng tăng của các hệ thống, cần có
các phương pháp rất tinh vi. Phương trình vi phân được xử dụng nhiều để xác
định các hệ thống điều khiển. Các phương trình này rất đơn giản để giải quyết.
Nhưng sự phức tạp phát sinh trong khi giải quyết các phương trình vi phân bậc
cao hơn. Để giải quyết các phương trình vi phân bậc cao phức tạp như vậy,
phương tốn học đã được chứng minh là có hiệu quả là biến đổi Laplace..
Trong nhiều năm qua, các nhà khoa học đã nghĩ ra biện pháp giản quyết
hiệu quả đó là chia nhỏ bài toán ra thành nhiều bài toán. Việc giải quyết các bài
toán nhỏ được tiến hành đồng thời với nhiều máy tính. Kết quả của bài tốn lớn
sẽ được giải quyết khi tất cả các bài toán nhỏ đã được làm.
Các máy tính tiến hành xử lí song song được kết nối với nhau thành các
cụm tính tốn tốc độ cao.
Sau một thời gian tìm hiểu và được giảng dạy về Tính tốn hiệu năng cao
trực tuyến và trực tiếp qua hệ thống Đại học Công nghiệp Hà Nội. Nhóm sinh
viên chúng em quyết định nhận nghiên cứu đề tài: “Đánh giá hiệu năng cao của
bài toán giải phương trình Laplace sử dụng MPI” làm đề tài của Báo cáo thực
nghiệm kết thúc học phần.
Trong quá trình hồn thành báo cáo thực nghiệm, nhóm sinh viên chúng
em sẽ khơng tránh khỏi những sai sót, rất mong sự thơng cảm và đóng góp ý
kiến bổ sung của các thầy cô giáo và của tất cả các bạn sinh viên. Chúng em
trân trọng tiếp thu và cảm ơn.


MỤC LỤC
CHƯƠNG I : GIỚI THIỆU THUẬT TỐN LAPLACE..........................................................4

1. Trình bày ngắn gọn kiến thức về tính tốn hiệu năng cao: Mơ hình, phương pháp, cách
thiết kế thuật tốn song song................................................................................................4
2. Thuật toán Laplace.......................................................................................................... 4
2.1 Giới thiệu về thuật toán Laplace..................................................................................4
2.2 Lịch sử thuật toán Laplace..........................................................................................4
2.3 Định Nghĩa Thuật Toán LapLace................................................................................5
2.4 Tính chất của Laplace.................................................................................................6
CHƯƠNG II: BÀI TỐN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE................................................8
SỬ DỤNG MPI....................................................................................................................... 8
1. Bài tốn........................................................................................................................... 8
2. Cài đặt mơi trường MPI...................................................................................................9
3. Code chương trình- màn hình kết quả của từng thuật toán..............................................10
3.1 Thuật toán song song:...............................................................................................10
3.2 Thuật toán tuần tự:...................................................................................................19
CHƯƠNG III: ĐÁNH GIÁ HIỆU NĂNG BÀI TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE SỬ
DỤNG MPI........................................................................................................................... 21
1. Lập bảng thời gian so sánh giữa tuần tự và song song......................................................21
2. Nhận xét........................................................................................................................ 21
KẾT LUẬN VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM..........................................................................23
1. Kiến thức tích lũy được..................................................................................................23
2.Những thuận lợi và khó khăn khi làm hồn thiện bài tập lớn............................................23
TÀI LIỆU THAM KHẢO.....................................................................................................24

CHƯƠNG I : GIỚI THIỆU THUẬT TỐN LAPLACE
1. Trình bày ngắn gọn kiến thức về tính tốn hiệu năng cao: Mơ hình,
phương pháp, cách thiết kế thuật tốn song song
Tính tốn hiệu năng cao (High Performance Computing - HPC ) là một quá


trình kết hợp sức mạnh tính tốn nhầm mang lại hiệu suất cao hơn rất nhiều so

với một máy tính thông thường để giải quyết các vấn đề nghiên cứu khoa học,
xử lý những tính tốn vơ cùng phức tạp
HPC được viết tắt High Performance Computing (tính tốn hiệu năng cao),
hoặc được biết rộng rãi với cụm từ Supercomputer (siêu máy tính).
Nhiệm vụ chính củ HPC lúc này có thể mô tả bằng việc tập hợp một lượng lớn
sức mạnh tính tốn để cho ra kết quả trong thời gian ngắn, rất ngắn hoặc ngay
tức thì.
Hiệu năng HPC được tính bằng FLOPS
2. Thuật toán Laplace
2.1 Giới thiệu về thuật toán Laplace
- Biến đổi Laplace là một biến đổi tích phân của hàm số từ miền thời gian
sang miền tần số phức, được tạo ra bởi nhà toán học người Pháp PierreSimon Laplace. Cùng với biến đổi Fourier, phép biến đổi này là một
trong hai biến đổi hữu ích trong việc giải các bài tốn vật lý, bằng cách
đơn giản hóa các phép tốn giải tích phức tạp như đạo hàm, tích phân
thành các phép tính đại số (giống như cách mà hàm logarit chuyển một
phép toán nhân các số thành phép cộng các logarit của chúng). Vì vậy nó
đặc biệt hữu ích trong giải các phương trình vi phân, phương trình đạo
hàm riêng, phương trình tích phân, và những phương trình thường xuất
hiện trong các bài tốn vật lý, trong phân tích mạch điện, xử lý số liệu,
dao động điều hịa, các hệ cơ học,... Bởi vì qua biến đổi Laplace các
phương trình này có thể trở thành các phương trình đại số đơn giản hơn.
Đối với các nghiệm của hàm ảnh trong không gian p, chúng ta dùng biến
đổi Laplace ngược để có lại hàm gốc trong khơng gian thực t.
2.2 Lịch sử thuật toán Laplace
- Từ năm 1744, nhà toán học người Thụy Sĩ Leonhard Euler đã đưa ra
các tích phân dưới đây để giải các phương trình vi phân:

- Năm 1773, nhà toán học người Pháp gốc Ý Joseph-Louis Lagrange, một
người rất ngưỡng mộ Euler, đã nghiên cứu cách tính tích phân của hàm
mật độ xác suất và đưa ra biểu thức tích phân:

- Năm 1782, Laplace đã chú ý đến các dạng tích phân này khi ông tiếp tục


cơng trình của Euler là sử dụng phép tính tích phân để giải phương trình.
Đến năm 1785, vượt ra khỏi giới hạn giải quyết các phương trình bằng
phương pháp tích phân, ông đã đưa ra các biến đổi mà sẽ trở nên phổ biến
về sau, với phép tích phân:

- Nó tương tự với biến đổi Mellin, bằng cách biến đổi phương trình sai
phân để giải phương trình biến đổi. Với cách thức tương tự, Laplace đã
suy ra các tính chất của biến đổi Laplace. Ông cũng nhận ra rằng phương
pháp của Joseph Fourier trong chuỗi Fourier để giải phương trình khuếch
tán chỉ có thể áp dụng trong một vùng khơng gian giới hạn.
2.3 Định Nghĩa Thuật Toán LapLace
Phép biến đổi Laplace là cách tiếp cận miền tần số cho các tín hiệu thời
gian liên tục bất kể tính ổn định của hệ thống. Phép biến đổi Laplace của
hàm số f(t) (với mọi số thực t ≥ 0) là hàm số F(s), được định nghĩa như
sau:

Trong đó: là biến số phức cho bởi
(với là miền tần số, có
đơn vị là phần giây (second)
Giới hạn
chỉ rõ thời điểm bắt đầu ngay trước
khi được dùng để
lấy gốc hàm số
tại thời điểm
.
2.3.1 Biến đổi Laplace hai phía.

Một khi nói "biến đổi Laplace" mà khơng chú ý thêm gì, thường là ta nói
đến biến đổi một phía. Biến đổi Laplace có thể được định nghĩa là biến
đổi Laplace hai phía bằng cách mở rộng giới hạn của tích phân đến vơ
cực.

Như vậy, biến đổi Laplace một phía đơn giản sẽ trở thành trường hợp đặc
biệt của biến đổi Laplace hai phía, được xác định bằng cách lấy hàm đã
chuyển đổi nhân với hàm bước nhảy Heaviside.
2.3.2 Biến đổi Laplace ngược.
Biến đổi Laplace ngược giúp chúng ta tìm lại hàm gốc f(t) từ hàm ảnh
F(s). Biến đổi Laplace ngược được định nghĩa bởi tích phân sau.


Nhưng thơng thường chúng ta ít dùng đến tích phân này để tính hàm gốc
mà dùng bảng "các hàm gốc – hàm ảnh tương ứng" đã có sẵn để tìm lại
hàm gốc f(t).
2.4 Tính chất của Laplace
2.4.1 tính chất hàm gốc
Tập hợp các hàm f của biến số thực t sao cho tích phân
hội tụ
ít nhất với một số phức p gọi là lớp hàm gốc. Trong khi đó tập hợp các giá trị
của p sao cho tích phân
(hay miền qui tụ).

tồn tại thì được gọi là miền hội tụ

Ta có thể chứng minh được lớp các hàm gốc phải thỏa mãn các tính chất sau.
● f(t) = 0, với mọi t < 0.
● Khi t ≥ 0, hàm f(t) liên tục cùng với các đạo hàm cấp đủ lớn trên toàn
trục t, trừ một số hữu hạn điểm gián đoạn loại một.

● Khi
hàm f(t) có cấp tăng bị chặn, tức là tồn tại hằng số s>0
và M>0 sao cho
Khi đó so = inf {s}
được gọi là chỉ số tăng của hàm f. (Tức là hàm f(t) không được tăng
nhanh hơn hàm est để đảm bảo tích phân Laplace hội tụ).
2.4.2 Tính chất của biến đổi Laplace.
● Cho các hàm f(t) và g(t), và các hàm ảnh tương ứng F(s) và G(s):

Sau đây là bảng các tính chất của biến đổi Laplace:


● Định lý giá trị ban đầu: (Định lý giới hạn)
● Định lý giá trị cuối: (Định lý giới hạn)
, trong nửa mặt phẳng (Re.s > so)

CHƯƠNG II: BÀI TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE
SỬ DỤNG MPI
1. Bài tốn
Phương trình Laplace là phương trình vi phân đạo hàm riêng dạng
trong đó
là hàm cần tìm ,
tốn tử Laplace. phương trình


Laplace được viết
1) trong khơng gian 2 chiều :

tốn tử Laplacian :
2) trong khơng gian 3 chiều :

tương tự tốn tử Laplacian :
3) trong tọa độ cực
4) trong tọa độ cầu

:
-

5) trong tọa độ trụ :

:
-

Phương trình Laplace dạng đặc trưng cơ bản phương trình Elliptic.
Thường gặp trong các bài tốn truyền nhiệt khơng phụ thuộc vào thời
gian, chuyển động của chất lỏng không nén dưới tác dụng của trường thế
(trọng trường, trường điện từ,…).chú thích : phương trình Laplace trong
không gian 1 chiều dạng
. Rõ ràng lời giải của phương trình này
có dạng
. Chúng ta khơng xem xét phương trình này. Mà
thường xem xét phương trình Laplace trong khơng gian 2 chiều trở lên.
Đề tài này nhằm mục đích đánh giá hiệu năng giữa thực hiện thuật
toán tuần tự và thuật toán song song(sử dụng phương pháp Jacobi vàvà
thư viện MPI)
2. Cài đặt môi trường MPI
Bước 1: Cài đặt thư viện MPI cho VS 2019 (trên máy đã cài sẵn VS 2019)
- Bộ cài đặt gồm 2 file: msmpisetup.exe, msmpisdk.msi
- Tiến hành cài đặt 2 tệp
Bước 2: Cấu hình MPI trong VS 2019. Trong dự án mới, mở cửa sổ properties

của dự án chọn mục VC++ Directories. Thêm các đường dẫn như sau:


- Thêm vào Additional Include Directories:
$(MSMPI_INC);$(MSMPI_INC)\x64
- Thêm vào Additional Dependencies của Linker/Input thư viện msmpi.lib ,
lưu ý thêm dấu ‘;’ vào sau msmpi.lib để phân tách với chuỗi khác.
- Thêm vào mục Additional Library Directories của Linker/General chuỗi : $
(MSMPI_LIB64)
Bước 3: Chạy chương trình test

3. Code chương trình- màn hình kết quả của từng thuật toán

3.1 Thuật toán song song:









Kết quả chương trình:


3.2 Thuật toán tuần tự:


Kết quả chương trình

CHƯƠNG III: ĐÁNH GIÁ HIỆU NĂNG BÀI TỐN GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE SỬ DỤNG MPI
1. Lập bảng thời gian so sánh giữa tuần tự và song song.
Kích thước

Tseq

Tp

Tseq / Tp

Tseq/Tp (%)

10x10

0.002

0.00021

9.52

952

20x20

0.0061

0.00062

9.83

983

30x30

0.013

0.0014

9.23

923

40x40

0.028

0.00281

9.96

996

50x50

0.046

0.004601

9.99

999

2. Nhận xét
Như bảng trên cho thấy, giải pháp song song có hiệu năng cao hơn giải pháp
tuần tự rất nhiều. Cụ thể, với cùng kích thước lưới, giải pháp song song có thời
gian thực thi chỉ bằng 1/10 so với giải pháp tuần tự. Điều này là do giải pháp
song song có thể tận dụng được sức mạnh tính tốn của nhiều máy tính cùng
một lúc.
Để minh họa rõ hơn, ta có thể xem xét một số trường hợp cụ thể. Ví dụ, với kích
thước lưới 10x10, giải pháp tuần tự có thời gian thực thi là 0.002 giây, trong khi
giải pháp song song chỉ có thời gian thực thi là 0.00021 giây. Điều này có nghĩa
là giải pháp song song có thể giải quyết bài tốn nhanh hơn giải pháp tuần tự
gần 10 lần.
Với kích thước lưới lớn hơn, hiệu năng của giải pháp song song càng được cải
thiện rõ rệt. Ví dụ, với kích thước lưới 50x50, giải pháp tuần tự có thời gian
thực thi là 0.046 giây, trong khi giải pháp song song chỉ có thời gian thực thi là
0.004601 giây. Điều này có nghĩa là giải pháp song song có thể giải quyết bài
tốn nhanh hơn giải pháp tuần tự gần 10 lần.
Tóm lại, giải pháp song song là một giải pháp hiệu quả để giải bài tốn Laplace.
Giải pháp này có thể tận dụng được sức mạnh tính tốn của nhiều máy tính cùng
một lúc, giúp giảm đáng kể thời gian thực thi của bài toán.