Một số vấn đề liên quan đến hàm ẩn

Sáng kiến: “Một số vấn đề về hàm số có liên quan đến hàm ẩn”

MỞ ĐẦU
Lý do chọn đề tài
Với sự phát triển mạnh mẽ của công nghệ thông tin và sự ra đời của mạng
Internet, đem lại cho con người nhiều ứng dụng tiện ích. Trong đó, học trực
tuyến đã trở thành một giải pháp của giáo dục nhằm nâng cao chất lượng đào tạo
nguồn lực cho xã hội. Đối học sinh, đây cịn là một hình thức giáo dục theo
hướng phát triển năng lực và phẩm chất của người học nhằm đáp ứng với sự
phát triển của đất nước trong giai đoạn cách mạng công nghệ 4.0 hiện nay. Nâng
cao ý thức tự học và tự nghiên cứu của học sinh là nhiệm vụ then chốt, cấp bách;
tự học và tự nghiên cứu sẽ giúp các em chủ động khai thác lĩnh hội những kiến
thức vô cùng quý báu của toàn nhân loại một cách chủ động và hiệu quả.
Chúng ta đã biết mỗi mơn học sẽ có đặc thù riêng. Tốn học là một trong
những mơn học rất quan trọng trong hệ thống giáo dục của nước ta nói riêng
cũng như các nước trên thế giới nói chung. Học toán giúp người học rèn luyện
khả năng tư duy logic, độc lập trong suy nghĩ, có khả năng tự học và tự giải
quyết vấn đề. Để học tốt mơn Tốn, mỗi chúng ta cần có một tư duy tốt. Tuy
nhiên tư duy Tốn học khơng phải tự nhiên mà có, đó là rèn luyện của bộ não
qua cả một quá trình lâu dài .
Trong những năm gần đây, bài toán trắc nghiệm liên quan đến hàm ẩn là bài
toán được bắt gặp khá nhiều trong các đề thi THPT Quốc gia mơn Tốn. Đây là
lớp bài tốn vận dụng và vận dụng cao, dùng để phân loại học sinh khá giỏi, tuy
nhiên lại ít được đề cập đến trong chương trình sách giáo khoa Giải tích 12,
điều đó gây khơng ít khó khăn cho học sinh trong q trình tiếp cận và tìm
hướng giải quyết bài tốn.
Hiện nay, thực trạng tự học và tự nghiên cứu của học sinh trung học phổ
thơng cịn yếu. Trong nhà trường học sinh chưa coi trọng việc tự học, tự nghiên
cứu. Do nhiều nguyên nhân, học sinh hiện nay thường ỷ lại thầy cơ giảng. Thực
ra, tự học thì kiến thức sẽ sâu hơn, bền hơn và thực chất hơn. Tự học giúp ta chủ
1

Sáng kiến: “Một số vấn đề về hàm số có liên quan đến hàm ẩn”
động tìm hiểu, thu thập kiến thức, tự làm giàu kho kiến thức của mình. Tự học
lúc cịn học phổ thơng sẽ là tiền đề tốt cho việc tự học ở bậc Đại học, sau Đại
học sau này. Tự học hiểu theo đúng bản chất là tự mình động não, suy nghĩ, sử
dụng các năng lực trí tuệ (quan sát, so sánh, phân tích, tổng hợp…) và có khi cả
sử dụng các phương tiện, lịng say mê để chiếm lĩnh kiến thức khoa học, biến
kiến thức đó thành sở hữu của mình. Tự học là một xu thế tất yếu, tự học giúp
nâng cao kết quả học tập của học sinh và chất lượng giáo dục của nhà trường, là
một trong những biểu hiện cụ thể của việc đổi mới phương pháp dạy học ở các
trường phổ thơng. Khi tự học, mỗi học sinh hồn tồn có điều kiện để tự nghiền
ngẫm những vấn đề nảy sinh trong các bài toán theo một cách riêng với những
yêu cầu và điều kiện thích hợp. Tự học, tự suy luận không chỉ giúp bản thân học
sinh nắm được vấn đề một cách chắc chắn và bền vững; chủ động bồi dưỡng
phương pháp học tập và kĩ năng vận dụng tri thức mà còn là dịp tốt để rèn luyện
ý chí và năng lực hoạt động độc lập sáng tạo. Đó là những phẩm chất mà chỉ có
chính bản thân học sinh tự rèn luyện kiên trì mới có được, khơng một ai có thể
cung cấp hay làm thay. Thực tế cũng đã chứng minh, mỗi thành công của học
sinh trên con đường học tập không bao giờ là kết quả của lối học tập thụ động.
Từ đó địi hỏi mỗi học sinh cần nghiên cứu, khảo nghiệm, xây dựng, từng bước
hồn thiện các mơ hình và giải pháp nhằm nâng cao khả năng tự học cho bản
thân.
Hiểu được những khó khăn đó, sáng kiến này muốn giới thiệu đến các em
học sinh lớp 12 một số bài tập các dạng toán về hàm số liên quan đến hàm ẩn.
Tất cả các bài toán trong tài liệu đều được phân tích và giải chi tiết, qua đó giúp
học sinh bước đầu tự rút ra được một số hướng tiếp cận và giải quyết bài toán về
hàm số liên quan đến hàm ẩn.
Với những lý do trên mà chúng tôi viết sáng kiến kinh nghiệm với đề tài:
“Một số vấn đề về hàm số có liên quan đến hàm ẩn”.

Đề tài này gồm hai chương:
Chương I. Một số kiến thức chung về hàm ẩn.
2


Sáng kiến: “Một số vấn đề về hàm số có liên quan đến hàm ẩn”
Chương II. Một số vấn đề về hàm số có liên quan đến hàm ẩn .
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
+ Rèn luyện kỹ năng giải các bài tốn về hàm số có liên quan đến hàm ẩn.
+ Tìm hiểu một số bài tốn về hàm số có liên quan đến hàm ẩn trong các đề thi
THPT Quốc gia và đề thi học sinh giỏi.
+ Xây dựng các hệ thống các bài tập điển hình nhằm rèn kỹ năng tổng hợp kiến
thức đối với học sinh giỏi.
+ Phân tích một số vấn đề về hàm số có liên quan tới hàm ẩn mà học sinh
thường gặp phải trong q trình giải tốn.
+ Gợi ý cách vận dụng hệ thống bài tập điển hình trong việc rèn luyện kỹ năng
giải tốn nói chung, góp phần phát triển trí tuệ cho học sinh.
+ Gợi ý một vài hướng mở rộng của bài tập về hàm số có liên quan đến hàm ẩn.
+ Đưa ra một số bài tập vận dụng để học sinh tự rèn luyện, tìm tịi và vận dụng
kiến thức đã học vào giải tốn, qua đó giúp học sinh nâng cao ý thức tự học.
3. Phương pháp nghiên cứu
a) Phương pháp nghiên cứu lý luận:
Nghiên cứu sách giáo khoa mơn tốn ở phổ thông, sách bồi dưỡng giáo
viên, một số sách phương pháp dạy học tích cực, các sách tham khảo, các đề thi
THPT Quốc gia, các đề thi thử của các trường trong toàn quốc trong những năm
gần đây.
b) Phương pháp tổng kết kinh nghiệm:
Tổng kết kinh nghiệm qua nhiều năm trực tiếp giảng dạy, tham gia các
khóa học bỗi dưỡng chuyên môn nghiệp vụ, tham gia dạy học sinh giỏi, qua
trao đổi với một số giáo viên có kinh nghiệm. Từ đó xây dựng được hệ thống

các bài tập điển hình và những gợi ý dạy học nhằm rèn luyện kỹ năng giải các
bài tập hàm số có liên quan đến hàm ẩn cho học sinh.
c) Phương pháp quan sát điều tra:
3


Sáng kiến: “Một số vấn đề về hàm số có liên quan đến hàm ẩn”
Quan sát và điều tra thực trạng dạy và học một số bài toán về hàm số có
liên quan đến hàm ẩn đối với các lớp ôn thi THPT Quốc gia, nắm bắt được
những vấn đề mà học sinh cịn vướng mắc, từ đó khuyến khích và thúc đẩy
mong muốn rèn kỹ năng giải một số bài tốn về hàm số có liên quan đến hàm
ẩn cho học sinh, thơng qua đó giúp học sinh phát triển tư duy, khả năng nhận
biết và định hướng giải các bài tốn hàm ẩn trong phép tốn tích phân sau này.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đề tài được nghiên cứu đối với học sinh lớp 12A2, 12A3 năm học 20182019 và đội tuyển học sinh giỏi môn Tốn năm học 2019-2020 tại trường trung
học phổ thơng Nguyễn Trung Ngạn.
5. Thời gian nghiên cứu.
Đề tài được nghiên cứu trong các năm học 2018 - 2019 và năm học 20192020.

4


Sáng kiến: “Một số vấn đề về hàm số có liên quan đến hàm ẩn”
NỘI DUNG
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN, THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ
1/ Cơ sở lý luận của đề tài
Ngày 04 tháng 11 năm 2003, Tổng bí thư Nguyễn Phú Trọng đã ký ban
hành Nghị quyết Hội nghị lần thứ 8, Ban Chấp hành Trung ương khóa XI (Nghị
quyết số 29 - NQTW) về đổi mới căn bản giáo dục và đào tạo đáp ứng yêu cầu
CNH- HĐH trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa và

hội nhập quốc tế. Đảng ta đã nhận định: “Giáo dục và đào tạo là quốc sách hàng
đầu, là sự nghiệp của Đảng, Nhà nước và của toàn dân. Đầu tư cho giáo dục là
đầu tư phát triển, được ưu tiên đi trước trong các chương trình, kế hoạch phát
triển kinh tế - xã hội”. Nghị quyết cũng đã đề ra mục tiêu cụ thể: “Đối với giáo
dục phổ thơng, tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất, năng
lực cơng dân, phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu, định hướng nghề nghiệp cho
học sinh. Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, chú trọng giáo dục lý tưởng,
truyền thống, đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, năng lực và kỹ năng thực
hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Phát triển khả năng sáng tạo, tự học,
khuyến khích học tập suốt đời…”
Cơng văn số 1434/SGDĐT-GDTrH-GDTX ngày 09 tháng 9 năm 2019 của
Sở Giáo dục và Đào tạo Hưng Yên về việc hướng dẫn thực hiện nhiệm vụ giáo
dục trung học năm học 2019 - 2020 đã chỉ đạo công tác đổi mới phương pháp,
hình thức tổ chức dạy học: “ Xây dựng kế hoạch bài học theo hướng tăng cường,
phát huy tính chủ động, tích cực, tự học của học sinh thơng qua việc thiết kế tiến
trình dạy học thành các hoạt động học để thực hiện cả ở trên lớp và ngoài lớp
học. Tiếp tục quán triệt tinh thần giáo dục tích hợp khoa học - cơng nghệ - kĩ
thuật - toán (Science - Technology - Engineering – Mathematic: STEM) trong
việc thực hiện chương trình giáo dục phổ thơng ở những môn học liên quan.
Tiếp tục khai thác tài liệu, vận dụng triệt để, hiệu quả các phương pháp dạy học
và các kỹ thuật dạy học tích cực để thực hiện dạy học theo định hướng phát triển
năng lực và phẩm chất học sinh”.

5


Sáng kiến: “Một số vấn đề về hàm số có liên quan đến hàm ẩn”
Đổi mới chương trình nhằm phát triển năng lực và phẩm chất người học,
hài hòa đức, trí, thể, mỹ; dạy người, dạy chữ và dạy nghề. Đổi mới nội dung
giáo dục theo hướng tinh giản, hiện đại, thiết thực, phù hợp với lứa tuổi, trình độ

và ngành nghề; tăng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Chú trọng
giáo dục nhân cách, đạo đức, lối sống, tri thức pháp luật và ý thức công dân. Tập
trung vào những giá trị cơ bản của văn hóa, truyền thống và đạo lý dân tộc, tinh
hoa văn hóa nhân loại, giá trị cốt lõi và nhân văn của chủ nghĩa Mác-Lênin và tư
tưởng Hồ Chí Minh.
Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại;
phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của
người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc. Tập
trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự
cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực. Chuyển từ học chủ
yếu trên lớp sang tổ chức hình thức học tập đa dạng, chú ý các hoạt động xã hội,
ngoại khóa, nghiên cứu khoa học. Đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin và
truyền thông trong dạy và học.
Bài tốn về hàm số có liên quan đến hàm ẩn là một lớp bài tốn khó trong
nội dung dạy học của mơn tốn. Trong những năm trước khi đề thi tốt nghiệp và
đề thi tuyển sinh Đại học và Cao đẳng bộ mơn Tốn cịn được cho dưới hình
thức tự luận thì các bài tốn hàm số có liên quan đến hàm ẩn thường ít được đề
cập đến trong các đề thi. Nội dung này thường nằm trong các chun đề ơn thi
học sinh giỏi, chính vì thế mà lượng học sinh được tiếp cận với các bài tốn liên
quan đến hàm ẩn rất ít. Tuy nhiên, trong những năm gần đây khi đề thi mơn tốn
trong kỳ thi trung học phổ thông Quốc gia được cho dưới hình thức trắc nghiệm
thì địi hỏi học sinh cần có lượng kiến thức phong phú và kỹ năng làm bài linh
hoạt. Nội dung về hàm ẩn xuất hiện nhiều hơn trong các đề thi nhưng các bài
toán này đối với học sinh cịn trừu tượng khó hiểu và khó vận dụng. Kỹ năng
làm các bài toán liên quan của học sinh cịn yếu vì nguồn tài liệu tham khảo cịn
ít, không xuất hiện nhiều trong các sách tham khảo, nguồn tham khảo trên mạng
Internet chưa tập trung thành chủ đề riêng biệt. Để giải quyết một số bài toán
6

Sáng kiến: “Một số vấn đề về hàm số có liên quan đến hàm ẩn”
liên quan đến hàm ẩn thì học sinh thường phải vận dụng nhiều đơn vị kiến thức
khác nhau đề giải tốn. Mỗi bài tập thường khơng có phương pháp giải một cách
cụ thể nên để làm được các bài tập dạng này học sinh phải có sự tư duy linh
hoạt, chủ động và có thể phát triển tư duy của học sinh rất tốt. Đề tài này sẽ giúp
học sinh hiểu rõ bản chất của lý thuyết hàm ẩn và sáng tạo trong cách vận dụng
từ đó giúp học sinh say mê nghiên cứu, tìm tịi, khám phá, tạo cơ sở cho sự phát
triển phẩm chất và năng lực cho học sinh. Ngồi ra có thể dựa vào những bài
tốn đã biết học sinh có thể tự sáng tạo ra các bài toán khác nhau và đây là một
việc làm mang lại nhiều hứng thú trong việc tìm tịi, nghiên cứu tốn học. Hơn
nữa, việc tư duy sáng tạo để lựa chọn các công cụ phù hợp học sinh tiết kiệm
được thời gian, công sức và nâng cao kỹ năng giải toán.
2. Thực trạng của đề tài.
Trong bối cảnh tình hình kinh tế và chính trị hiện nay, việc tăng cường khả
năng tự học của học sinh là vô cùng cần thiết. Để khai thác tốt các hình thức dạy
và học trong tình hình mới địi hỏi mỗi chúng ta cần tiếp tục nghiên cứu tài liệu,
vận dụng triệt để, hiệu quả các phương pháp dạy học và các kỹ thuật dạy học
tích cực để thực hiện dạy học theo định hướng phát triển năng lực và phẩm chất
học sinh. Chúng ta cần chú trọng rèn luyện cho học sinh phương pháp tự học, tự
nghiên cứu để tiếp nhận và vận dụng kiến thức mới thông qua giải quyết nhiệm
vụ học tập đặt ra trong bài học.
Khái niệm hàm ẩn đối với đa số học sinh là khái niệm tương đối mới mẻ
và trìu tượng. Hàm ẩn trong chương trình tốn trung học phổ thơng thường là
hàm ẩn theo một biến mà chúng ta hay bắt gặp dưới tên gọi “hàm hợp”. Thực tế
giảng dạy cho nhiều học sinh chúng tôi nhận thấy rằng học sinh thường thích
học các dạng tốn có cách làm rõ ràng theo từng bước hay những vấn đề có
cơng thức sẵn có, học sinh chỉ cần áp dụng cơng thức làm cho việc giải toán trở
nên cứng nhắc và thiếu linh hoạt. Tuy nhiên với một số bài toán liên quan đến
hàm ẩn tôi nhận thấy các em thường lúng túng đôi khi không hiểu đề bài không
biết dùng cách nào để tính tốn, chứng minh, nói cách khác các em chưa gắn

được lý thuyết vào thực hành.
7


Sáng kiến: “Một số vấn đề về hàm số có liên quan đến hàm ẩn”
Các bài toán liên quan đến hàm ẩn ln địi hỏi sự tư duy logic và sáng
tạo của học sinh. Các em học sinh thường có tâm lí sợ khi gặp phải những bài
tốn khơng có phương pháp làm cụ thể, vì thế trong quá trình giảng dạy chúng
tôi không chỉ dạy lý thuyết mà phải có bài tập áp dụng đi cùng. Đề tài này đã
phần nào giúp được các em học sinh tháo gỡ những khó khăn mà các em thường
mắc phải trong quá trình giải một số bài tốn hàm số liên quan đến hàm ẩn, đồng
thời góp phần phát triển một số năng lực chun biệt của bộ mơn tốn nói riêng
và các năng lực của người học nói chung.
2.1.

Khảo sát chất lượng đầu năm đối với học sinh với chủ đề: Một số vấn

đề về hàm số có liên quan đến hàm ẩn.
Thông qua bài khảo sát chất lựơng cuối năm học 2017-2018 thu được kết
quả như sau:

Lớp

Số HS

Điểm trên 8

12A2

44

2

16

26

12A3

43

0

13

30

2.2.

Điểm từ 5 đến 8 Điểm dưới 5

Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến kết quả trên:
Chúng tôi nhận thấy đa số học sinh có kết quả thấp mặc dù các dạng bài

được chọn đều ở mức độ thông hiểu và vận dụng thấp. Điều đó cho thấy việc
tiếp thu và vận dụng kiến thức của học sinh còn hạn chế và được thể hiện khá rõ
như sau:
- Nhiều học sinh chưa quen với bài tốn hàm số có liên quan đến hàm ẩn;
- Các em còn lúng túng trong việc dùng lý thuyết hàm ẩn vào giải một số
bài tốn có liên quan;

- Kiến thức cơ bản của học sinh về hàm ẩn nắm chưa chắc;
- Khả năng liên hệ các kiến thức có liên quan trong một bài tốn cịn yếu;
- Khả năng vận dụng kiến thức liên quan đến hàm ẩn cịn hạn chế;
Các dạng tốn về hàm ẩn là những dạng tốn địi hỏi sự tư duy, lập luận
logic và sáng tạo của các em trong từng dạng bài tập khác nhau. Giáo viên cần
8


Sáng kiến: “Một số vấn đề về hàm số có liên quan đến hàm ẩn”
nắm rõ đặc điểm, tình hình từng đối tượng học sinh để có biện pháp giúp đỡ các
em, song song với việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi cần động viên những học
sinh có lực học trung bình tìm hiểu, bởi khơng phải bất kỳ bài toán nào về hàm
ẩn cũng đều cho ở mức độ vận dụng cao. Vì vậy khi giáo viên dạy học nội dung
này cần phân loại bài tập theo từng chủ đề và từng cấp độ tư duy khác nhau. Với
mỗi bài tập giáo viên cần chỉ rõ cụ thể và hướng dẫn cho học sinh một số
phương pháp để giải các bài toán về hàm số liên quan đến hàm ẩn để học sinh có
thể dễ dàng tiếp cận hơn.

CHƯƠNG II – GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
9


Sáng kiến: “Một số vấn đề về hàm số có liên quan đến hàm ẩn”
1.1. Hàm ẩn
a. Định nghĩa: Xét phương trình F (x; y) 0 (1), nói chung khơng giải ra đối
với y , trong đó F (x; y) là một hàm số xác định. Nếu x  E phương trình (1) có
nghiệm duy nhất y  f (x) thì y được gọi là hàm ẩn theo biến số x trên E .
Nhận xét:
+ Từ định nghĩa ta có: F  x; f (x)  0, x  E .

+ Trường hợp với mọi x thuộc E , phương trình (1) có nhiều hơn một nghiệm
y  f (x) thì ta nói phương trình (1) xác định một hàm ẩn đa trị.

b. Công thức xác định đạo hàm của hàm ẩn 1 biến:
Nếu từ phương trình F  x; y  0 (1) xác định một hàm ẩn y  f  x  thì ta có:
F  x; f (x)  0 , nghĩa là vế trái là hàm số hợp của biến số x thông qua biến
trung gian y . Do đó, ta sẽ lấy đạo hàm của  1 theo biến x bằng quy tắc đạo
hàm hàm hợp.
1.2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm
Cho hàm số y  f  x  có đồ thị là đường cong  C  , điểm M  x0 ; y0    C 
Phương trình tiếp tuyến của  C  tại M ( x0 ; y0 ) là: y  y0  f  x0   x  x0  .
1.3.Tính đơn điệu và cực trị của hàm số
a) Tính đơn điệu của hàm số
Định lý: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên khoảng K .
+ Nếu f  x   0 , x  K thì hàm số y  f  x  đồng biến trên K .
+ Nếu f  x   0 , x  K thì hàm số y  f  x  nghịch biến trên K .

Lưu ý:

10


Sáng kiến: “Một số vấn đề về hàm số có liên quan đến hàm ẩn”
Định lí vẫn cịn đúng nếu f  x  0 hoặc f  x  0 , x  K và dấu bằng chỉ xảy
ra tại một số hữu hạn điểm trên khoảng K .
b) Cực trị của hàm số
Định lý 1: Nếu hàm số y  f  x  liên tục  a; b  có đạo hàm tại x0   a; b  và đạt
cực trị tại điểm đó thì f  x0  0 .
Định lý 2:Giả sử hàm số y  f  x  liên tục trên  a; b  chứa điểm x0 và có đạo
hàm trên các khoảng  a; x0  và  x0 ; b  khi đó

a) Nếu f  x   0 , với x   a; x0  và f  x   0 , với x   x0 ; b  thì hàm
số đạt cực đại tại điểm x0 .
b) Nếu f  x   0 , với x   a; x0  và f  x   0 , với x   x0 ; b  thì hàm
số đạt cực tiểu tại điểm x0 .
Định lý 3. Giả sử hàm số y  f  x  có đạo hàm cấp một trên  a; b  chứa điểm x0
, f  x0  0 và f  x  có đạo hàm cấp hai khác 0 tại x0 .
a) Nếu f  x   0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0 .
b) Nếu f  x   0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0 .
1.4. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
a) Định nghĩa : Cho hàm số y  f  x  xác định trên D .
Số M gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số y  f  x  trên D nếu:
x  D, f  x  M

x0  D, f  x0  M

f  x )
(kýhiệu M max
D

Số m gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số y  f  x  trên D nếu:

11


Sáng kiến: “Một số vấn đề về hàm số có liên quan đến hàm ẩn”
x  D, f  x  m

x0  D, f  x0  m

f  x )

(ký hiệu m min
D

b) Cách tính GTLN-GTNN trên  a; b  .
+ Lập bảng biến thiên của hàm số trên  a; b  ;
+ Dựa vào bảng biến thiên suy ra GTNN -GTLN.
c) Cách tính GTLN-GTNN trên  a; b  .
+ Tìm các điểm tới hạn x1 , x2 ,..., xn của f  x  trên  a; b  ;
+ Tính f  a  , f  x1  , f  x2  ,... f  xn  , f  b  ;
+ Tính số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên.
M max f  x  , m min f  x  .
 a ;b
 a ;b
1.5. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số
a) Tiệm cận đứng: Đường thẳng x x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
y  f  x  nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
lim y ; lim y  ; lim y ; lim y   .

x  x0

x  x0

x  x0

x  x0

b) Tiệm cận ngang: Đường thẳng y  y0 là tiệm cân ngang của đồ thị hàm số
y  y0 hoặc lim y  y0
y  f  x  nếu: xlim
 

x  
1.6. Nghiệm của phương trình
 C1  : y  f  x 
Bài toán tổng quát: Hãy xét sự tương giao của hai hàm số 
 C2  : y g  x 
Phương pháp:
+ Lập phương trình hồnh độ giao điểm của hai hàm số đã cho:
f  x  g  x   1 .

12


Sáng kiến: “Một số vấn đề về hàm số có liên quan đến hàm ẩn”
+ Khảo sát số nghiệm của phương trình  1 . Số nghiệm của phương trình  1
chính là số giao điểm của hai đồ thị  C1  và  C2  .
Bài toán biên luận số nghiệm của phương trình:
Dựa vào đồ thị hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình
f  x  m  * .
Phương pháp:
Bước 1: Xem  * là phương trình hồnh độ giao của hai đồ thị.
Bước 2: Vẽ  C  và    lên cùng một hệ trục tọa độ.
Bước 3: Biện luận theo m số nghiệm của    và  C  .Từ đó suy ra số
nghiệm của phương trình  * .
Minh họa:

(C ) : y  f ( x )

y

m2

O
m1


(0; m)

x

y m

Lưu ý: Với bài toán biện luận số nghiệm của phương trình f  x  m ngồi cách
vẽ đồ thị có thể dùng bảng biến thiên cho giản tiện nếu đề bài không yêu cầu
dựa vào đồ thị.

13


Sáng kiến: “Một số vấn đề về hàm số có liên quan đến hàm ẩn”
2. MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ LIÊN QUAN ĐẾN HÀM ẨN
Trong các đề thi trung học phổ thông Quốc gia những năm gần đây các
bài toán liên quan đến hàm ẩn xuất hiện khá nhiều và cũng đa dạng với nhiều
phương pháp giải trong đó có các bài tốn liên quan đến tính giá trị biểu thức và
tiếp tuyến của đồ thị hàm số; tính đơn điệu và cực trị của hàm số; giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của hàm số; biện luận nghiệm của phương trình.
Trong những bài tốn về hàm số có liên quan đến hàm ẩn, ta thường gặp
một số dạng bài toán mà giả thiết cho biết một trong các yếu tố được cho bởi sơ
đồ sau:
Biết biểu thức đạo
hàm

Biết bảng biến thiên
hoặc đồ thị của đạo
hàm

Biết biểu thức của
hàm số

Biết bảng biến thiên
hoặc đồ thị của hàm
số

Với giả thiết trên thì u cầu của bài tốn về hàm ẩn thường gặp ở các nội
dung:

Phương
trình
tiếp
tuyến.

HÀM ẨN

Tính
đơn điệu

Cực trị

GTLN,
GTNN

Tiệm

cận

Tương
giao và
nghiệm
của PT,
BPT

14


Sáng kiến: “Một số vấn đề về hàm số có liên quan đến hàm ẩn”
2.1. Bài tốn tính giá trị của biểu thức và phương trình tiếp tuyến của đồ thị
hàm số.
Câu 1: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên  . Biết rằng hàm số
g  x   f  x   f  2 x  và h  x   f  x   f  4 x  có g  1 18 và g  2  1000 .
Tính h 1 ?
A.  2018 .

B. 2018 .

C. 2020 .

D.  2020 .

Nhận xét :
 Học sinh cần nắm được công thức đạo hàm  f  ax    a. f  ax 
 Học sinh cần tìm được mối liên hệ giữa f  1 và f  4 
Lời giải
Chọn B

Ta có : g  x   f  x   f  2 x   g  x   f  x   2 f  2 x   * .
Thay x 1 và x 2 vào  * , ta có :
 g  1  f  1  2 f  2 
 f  1  2 f  2  18

 f  1  4 f  4  2018 .







g
2

f
2

2
f
4
f
2

2
f
4

1000













Mặt khác
h  x   f  x   f  4 x   h x   f  x   4 f  4 x   h 1  f  1  4 f  4 
 h 1 2018 .
Câu 2: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm và liên tục trên  . Biết rằng đồ thị
hàm số y  f  x  như dưới đây.

15


Sáng kiến: “Một số vấn đề về hàm số có liên quan đến hàm ẩn”
6

y

5
4

3

2

-1

x
O

1

2

-1
2

2
Lập hàm số g  x   f  x   x  x . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. g   1  g  1 .

B. g   1 g  1 .

C. g  1 g  2  .

D. g  1  g  2  .
Lời giải

Chọn D
Ta có g  x   f  x   2 x  1 .
Vẽ đồ thị hàm số y 2 x  1 (đường thẳng  ) và đồ thị hàm số y  f  x  trên
cùng hệ trục tọa độ ta được các giao điểm của chúng là: A   1;  1 , B  1;3 ,

C  2;5  .

Từ đó ta có bảng biến thiên
x

g  x   f  x   2 x  1



1
0



1
0



2
0




g  x

16

Sáng kiến: “Một số vấn đề về hàm số có liên quan đến hàm ẩn”
Vậy đáp án đúng là đáp án D.
Câu 3: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  , thỏa mãn
2 f  2 x   f  1  2 x  12 x 2 . Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y  f  x  tại điểm có hồnh độ x 1.
A. y 2 x  2.

B. y 4 x  6.

C. y 2 x  6.

D. y 4 x  2.

Nhận xét : Đứng trước yêu cầu của bài toán này học sinh thường gặp khó khăn
trong việc xác định hướng làm. Giáo viên cần phân tích cho học sinh bám sát
vào phương trình tiếp tuyến của hàm số tại một điểm có hồnh độ x 1 là :
y  f (1)  f  1  x  1 . Cần xác định f  1 và f  1 từ giả thiết của bài toán.
Lời giải
Chọn D
2
Từ 2 f  2 x   f  1  2 x  12 x , cho x 0 và x 

1
ta được
2

2 f  0   f  1 0
 f  1 2 .

f

0

2
f
1

3





Lấy đạo hàm hai vế của 2 f  2 x   2 f  1  2 x  24 x ta được
4 f  2 x   2 f  1  2 x  24 x .
Cho x 0 và x 

1
ta được
2

4 f  0   2 f  1 0
 f  1 4 .



4
f
1

2

f
0

12






Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  tại điểm x 1 là :
y  f  1  x  1  f  1  y 4  x  1  2  y 4 x  2 .
Câu 4: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm tại x 1 . Gọi d1 , d 2 lần lượt là tiếp
tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  và y g  x  xf  2 x  1 tại điểm có hồnh
độ x 1 . Biết rằng hai đường thẳng d1 , d 2 vng góc nhau. Khẳng định nào sau
đây đúng?
17


Sáng kiến: “Một số vấn đề về hàm số có liên quan đến hàm ẩn”
A.

2  f  1  2 .

B. f  1  2 .

C. f  1 2 2 .

D. 2  f  1  2 2 .

Nhận xét : Giáo viên hướng dẫn học sinh phân tích giả thiết bài tốn cho d1 , d 2
lần lượt là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  và y g  x  xf  2 x  1 tại
điểm có hồnh độ x 1 và hai đường thẳng d1 , d 2 vng góc nhau. Từ đó, ta có
tích hai hệ số góc của hai đường thẳng là k1. k2  1 .
Lời giải
Chọn C
Ta có g  x   xf  2 x  1    f  2 x  1  2 xf  2 x  1 .
Hệ số góc của tiếp tuyến d1 : k1  f  1 .
Hệ số góc của tiếp tuyến d 2 : k2 g  1  f  1  2 f  1 .
d1 , d 2 vng góc nhau nên k1.k2  1  f  1  f  1  2 f  1   1
2

 2  f  1   f  1 . f  1  1 0  *
Phương trình  * có nghiệm khi và chỉ khi  0 .
2

Hay là  f  1   8 0  f  1 2 2
2.2. Tính đơn điệu của hàm số
Câu 1: Cho hàm số y  f  x  xác định trên  và có đạo hàm y  f  x  thỏa
mãn f  x   1  x   x  2  g  x   2018 trong đó g  x   0, x   . Hàm số
y  f  1  x   2018 x  2019 nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A.  1;   .

B.  0;3 .

C.   ;3 .

D.  4;   .

Nhận xét : Đây là dạng toán biết biểu thức đạo hàm của hàm số y  f  x  , xét

tính đơn điệu của hàm số y  f  u ( x)   h(x) trong bài tốn khơng chứa tham

18


Sáng kiến: “Một số vấn đề về hàm số có liên quan đến hàm ẩn”
số. Để giải bài toán dạng này học sinh cần biết công thức đạo hàm của hàm hợp
y  f  u ( x)   h  x  thì yx  f  u  x   .u x   h x  .
Lời giải
Chọn D
Ta có
y '  f  1  x   2018 x  2019 '  1  x  '. f '  1  x   2018  f '  1  x   2018
x  x  3 g  1  x 
x0
Lại có: g  1  x   0; x   . Nên y  0  x  x  3  0  
.
x 3
Khi đó, hàm số y  f  1  x   2018 x  2019 nghịch biến trên các khoảng

  ;0 

và  4;   . Do đó, đáp án đúng là đáp án D.

Câu 2. Cho hàm số y  f ( x ) liên tục và có đạo hàm
f ( x)  x  2   x 2  9  x 4  16  trên  . Hàm số y g ( x)  f (2 x  x 2 ) 

2019

đồng

biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?



A. 1 



3;1  3 .

B.  3;  .

C.  1;  .

D.   1;3 .

Nhận xét : Đây là dạng bài toán cho biết biểu thức đạo hàm của hàm số
y  f  x  , xét tính đơn điệu của hàm số y  f   u ( x)  trong bài tốn khơng
chứa tham số. Để giải bài toán dạng này học sinh biết công thức đạo hàm của

hàm hợp y  f  u ( x)  là:

y  . f   1  u  . f  u     . f   1  u  f  u  .u x 
Lời giải
Chọn B
2
4
Ta có f ( x )  x  2   x  9   x  16   x  3  x  2   x  3  x  2 

2

x

2

 4 .

19


Sáng kiến: “Một số vấn đề về hàm số có liên quan đến hàm ẩn”
g ( x) 2019.  f (2 x  x 2 ) 

2019  f (2 x  x 2 ) 

2018

2018

 f (2 x  x 2 )   2019.  f (2 x  x 2 ) 

2018

 2  2 x  f  2 x 

 2  2 x   2 x  x 2  3 2 x  x 2  2  2 x  x 2  3 2 x  x 2  2 

2

x2 

  2x  x2  2  4



 1  x   2 x  x 2  3 . A
Trong đó:
A 2.2019  f  2 x  x 2  

2018

 2x  x

2

2
2
 2   x 2  2 x  3 x 2  2 x  2    x 2  2 x   4  0, x  



2
Khi đó: g ( x ) 0   1  x   2 x  x  3 0  x    1;1   3;  

Do đó, hàm số y g ( x)  f (2 x  x 2 ) 

2019

đồng biến trên mỗi khoảng   1;1

và  3;  . Vậy đáp án đúng là đáp án B.
Câu 3: Cho hàm số f  x  có đạo hàm f  x   x  1

2

x

2

 2 x  với mọi x  .

2
Có bao nhiêu số nguyên m  100 để hàm số g  x   f  x  8 x  m  đồng biến

trên khoảng  4;  ?
A. 18.

B. 82.

C. 83.

D. 84.

Nhận xét : Đây là dạng bài toán cho biết biểu thức đạo hàm của hàm số
y  f  x  , xét tính đơn điệu của hàm số g  f  u ( x)  trong bài toán có chứa
tham số. Sau khi áp dụng điều kiện để hàm số g  f  u ( x)  đơn điệu trên một
khoảng K cho trước.
Lời giải
Chọn B
Ta có bảng biến thiên:

x

f  x 

0




0

1



0

2



0




20