Phát triển năng lực mô hình hóa cho học sinh thông qua dạy học giải bài tập hình học không gian

MỤC LỤC
PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ

Trang

1. Lí do chọn đề tài
2. phạm vi và đối tượng nghiên cứu
3. Mục tiêu và phương pháp nghiên cứu
4. Dự kiến những đóng góp của đề tài
PHẦN II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
1. Cơ sở lí luận

2
2
3
3

1.1. Khái niệm mơ hình hóa tốn học

4

1.2. Quy trình mơ hình hóa trong dạy học Tốn

4

1.3. Năng lực mơ hình hóa tốn học

5

2. Thực trạng của vấn đề
2.1. Bài tốn mơ hình hóa trong chương trình mơn Tốn của Việt Nam

8

2.2. Thực trạng các bài toán thực tiễn phần hình học khơng gian trong
chương trình sách giáo khoa phổ thông và trong các đề thi

8

3. Giải pháp tổ chức và thực hiện
3.1. Hệ thống các kiến thức cần thiết về hình học khơng gian trong sách giáo
khoa hình học lớp 11, lớp 12.

11

3.2. Tìm hiểu quan hệ giữa giải tốn hình học khơng gian và phát triển năng
lực mơ hình hóa.

13

3.3. Các bước thiết lập mơ hình hóa các bài tốn hình học khơng gian.

13

3.4. Một số ví dụ minh họa việc vận dụng các bước thiết lập mơ hình hóa các
bài tốn hình học khơng gian ứng dụng trong thực tiễn để phát triển năng lực
mơ hình hóa cho học sinh

15

4. Thực nghiệm sư phạm

4.1. Mục đích và nội dung thực nghiệm sư phạm

51

4.2. Tổ chức thực nghiệm và đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm

53

PHẦN III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. Kết luận

56

2. Một số kiến nghị

57

Tài liệu tham khảo

58

1


PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lí do chọn đề tài
Tốn học có liên hệ rất mật thiết với thực tiễn, có ứng dụng rộng rãi trong nhiều
lĩnh vực khác nhau như khoa học, công nghệ, trong sản xuất và đời sống. Tốn học có vai
trị đặc biệt thiết yếu đối với mọi ngành khoa học, góp phần làm cho đời sống xã hội ngày
càng hiện đại và văn minh hơn. Vậy nên, việc rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng

kiến thức Toán học vào thực tiễn là điều hết sức cần thiết đối với sự phát triển của xã hội,
phù hợp với mục tiêu của giáo dục Toán học.
Việc thực hiện đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, địi hỏi giáo dục
phổ thơng cần chuyển từ nền giáo dục theo hướng tiếp cận nội dung sang định hướng tiếp
cận năng lực của người học. Chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn (2018) xác định
năng lực mơ hình hóa là một trong những yếu tố cốt lõi của năng lực toán học với yêu
cầu: thiết lập được mơ hình tốn học để mơ tả tình huống; đưa ra cách giải quyết vấn đề
tốn học đặt ra trong mơ hình được thiết lập.
Mơ hình là được dùng để mơ tả một tình huống thực tiễn nào đó, mơ hình hóa tốn
học được hiểu là sử dụng cơng cụ tốn học để thể hiện nó dưới dạng của ngơn ngữ tốn
học. Trong đó, mơ hình hóa là q trình tạo ra mơ hình nhằm hướng tới giải quyết một
vấn đề nào đó. Mơ hình hóa trong dạy học tốn là q trình giúp học sinh tìm hiểu, khám
phá, giải quyết các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng cơng cụ tốn học. Q trình này
địi hỏi các kỹ năng và thao tác tư duy toán học như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái
qt hóa, trừu tượng hóa…
Là một giáo viên hiện nay đang thực hiện chương trình giáo dục mới, bản thân tơi
tự đặt ra câu hỏi: “Việc hình thành và phát triển năng lực mơ hình hóa cho học sinh như
thế nào, thơng qua những hoạt động nào?” Trong quá trình dạy học, tơi nhận thấy việc
dạy học sinh giải các bài tốn hình học khơng gian có thể phát triển rất tốt năng lực mơ
hình hóa cho học sinh. Do đó, tơi chọn đề tài nghiên cứu: “Phát triển năng lực mô hình
hóa cho học sinh thơng qua dạy học giải bài tập hình học khơng gian”.
2. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu
2.1. Đối tượng nghiên cứu
* Mơ hình, mơ hình hóa tốn học:
- Khái niệm.
- Quy trình mơ hình hóa.
* Năng lực mơ hình hóa tốn học:
- Khái niệm, biểu hiện và u cầu cần đạt.
- Các bài tốn hình học không gian ứng dụng trong thực tiễn.
2.2. Phạm vi nghiên cứu

2


- Tập trung nghiên cứu việc học sinh thiết lập được mơ hình hóa ở các bài tốn hình học
khơng gian.
3. Mục tiêu và phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn.
- Xác định các dạng tốn ứng dụng của hình học khơng gian trong thực tiễn.
- Nghiên cứu các bước thiết lập mơ hình hóa bài tốn.
* Phương pháp nghiên cứu
1. Nghiên cứu phương pháp - lý thuyết.
2. Nghiên cứu các ứng dụng thực tiễn.
4. Dự kiến những đóng góp của đề tài
- Hệ thống hóa cơ sở lí luận về mơ hình hóa tốn học, quy trình mơ hình hóa tốn học;
năng lực và năng lực mơ hình hóa.
- Xác định các biểu hiện năng lực mơ hình hóa tốn học cần bồi dưỡng và phát triển cho
học sinh ở bậc trung học phổ thơng.
- Thiết lập được mơ hình trong một số bài tốn hình học khơng gian ứng dụng trong thực
tiễn, qua đó phát triển được năng lực mơ hình hóa cho học sinh.

3


PHẦN II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
1. CƠ SỞ LÍ LUẬN
1.1. Khái niệm mơ hình hóa tốn học
Mơ hình: Là vật thay thế mang đầy đủ các tính chất của một vật thực tế. Qua việc
nghiên cứu mơ hình, có thể nắm vững được các thuộc tính của đối tượng cần nghiên cứu
mà không cần tiếp xúc trực tiếp với vật thật. Theo Kai Velten (2009), mơ hình tốt nhất
chính là mơ hình đơn giản nhất nhưng vẫn đáp ứng được đầy đủ các mục tiêu cần khảo

sát.
Mơ hình tốn học: Hiện nay có rất nhiều định nghĩa mơ tả khái niệm Mơ hình hóa tốn
học được chia sẻ trong lĩnh vực giáo dục toán học, tùy thuộc vào quan điểm lý thuyết mà
mỗi tác giả lựa chọn.
Định nghĩa của Singapore: “Mơ hình hóa tốn học là q trình thành lập và cải
thiện một mơ hình tốn học để biểu diễn và giải quyết các vấn đề thế giới thực tiễn”.
Theo Nguyễn Danh Nam, “Để vận dụng kiến thức toán học vào việc giải quyết những
tình huống của thực tế, người ta phải tốn học hóa tình huống đó, tức là xây dựng một
mơ hình tốn học thích hợp cho phép tìm câu trả lời cho tình huống. Quá trình này được
gọi là mơ hình hố tốn học.” Một vài cấu trúc tốn học cơ bản có thể dùng để mơ hình
hố là: đồ thị, phương trình (cơng thức) hoặc hệ phương trình, bất phương trình, chỉ số,
bảng số hay các thuật tốn. Mơ hình hóa tốn học cho phép học sinh kết nối toán học nhà
trường với thế giới thực, chỉ ra khả năng áp dụng các ý tưởng toán học, đồng thời cung
cấp một bức tranh rộng lớn hơn, phong phú hơn về toán học, giúp việc học toán trở nên ý
nghĩa hơn.
1.2. Quy trình mơ hình hóa trong dạy học Tốn
Theo Coulange (1997), tác giả Lê Thị Hồi Châu (2014) đã cụ thể hóa 4 bước của
q trình mơ hình hóa như sau:
Bước 1: Chuyển từ vấn đề thực tế ban đầu thành mơ hình trung gian bằng cách
chuyển ngữ, loại bỏ hoặc thêm vào một số dữ kiện để vấn đề cần giải quyết trở nên rõ
ràng hơn và khả thi hơn. Có thể xuất hiện nhiều mơ hình trung gian cùng lúc, u cầu
người học phải lựa chọn, hoặc lần lượt trải qua.
Bước 2: Chuyển mô hình trung gian ở bước 1 thành mơ hình thuần t tốn học.
Trong đó, các đối tượng, mối quan hệ đều được diễn đạt bằng ngơn ngữ tốn học. Người
học có thể phải đối diện trước nhiều mơ hình tốn học.
Bước 3: Trước câu hỏi toán học được đặt ra trong bước 2, người học buộc phải
huy động các kiến thức toán học để đưa ra một câu trả lời, cũng mang bản chất toán học.
Bước 4: Câu trả lời mang màu sắc “toán học” ở bước 3 được biên dịch thành câu
trả lời cho vấn đề thực tế ban đầu. Có thể xuất hiện khả năng câu trả lời không phù hợp
với bối cảnh thực tế ban đầu do lời giải tốn học ở bước 3 có vấn đề, hoặc do mơ hình

4


toán học được xây dựng ở bước 2 chưa thoả đáng, hoặc có thể do mơ hình trung gian ở
bước 1 chưa phản ánh đủ bối cảnh thực tế.
1.3. Năng lực mơ hình hóa tốn học
1.3.1. Năng lực
Có nhiều định nghĩa về khái niệm năng lực, chẳng hạn:
Theo Xavier Roegiers (1996): “Năng lực là sự tích hợp các kĩ năng tác động một
cách tự nhiên lên các nội dung trong một loại tình huống cho trước để giải quyết những
vấn đề do tình huống này đặt ra”. Hồng Phê (2003) định nghĩa trong Từ điển tiếng Việt:
“Năng lực là phẩm chất tâm lí và sinh lí tạo cho con người khả năng hồn thành một loại
hoạt động nào đó với chất lượng cao”. Bùi Minh Hạc (1992) cho rằng: “Năng lực chính
là một tổ hợp đặc điểm tâm lí của một con người (cịn gọi là tổ hợp thuộc tính tâm lí của
một nhân cách), tổ hợp này vận hành theo một mục đích nhất định tạo ra kết quả của một
hoạt động nào đấy”…
Từ các khái niệm và cách tiếp cận trên, có thể rút ra một số điểm chung của năng
lực như sau:
- Năng lực chính là sự kết hợp của kiến thức, kĩ năng sẵn có và tiếp nhận được
thơng qua q trình học tập và rèn luyện của người học.
- Năng lực bao gồm những yếu tố về kiến thức, kĩ năng, thái độ và các thuộc tính
cá nhân như: xúc cảm, động cơ học tập, niềm tin, ý chí,...
- Năng lực hình thành và phát triển nhằm giải quyết các hoạt động thực tiễn, trong
một bối cảnh và điều kiện nhất định.
1.3.1. Năng lực toán học
Năng lực tốn học là thuộc tính cá nhân, hình thành và phát triển thơng qua q
trình học tập và rèn luyện. Chương trình giáo dục phổ thơng tổng thể mơn Tốn góp phần
hình thành và phát triển cho học sinh năng lực toán học, gồm các thành phần cơ bản: năng
lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mơ hình hố tốn học; năng lực giải quyết vấn
đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng cơng cụ, phương tiện học tốn.

Khung đánh giá năng lực Tốn học của chương trình đánh giá học sinh quốc tế ( PISA)
cũng cơ bản đề cập đến 3 mức độ năng lực tốn phổ thơng, được thể hiện cụ thể trong
bảng dưới đây:
Cấp độ của năng lực

Đặc điểm

Cấp độ 1

- Nhớ lại các khái niệm, đối tượng, định nghĩa vàtính chất tốn
học.

Ghi nhớ, tái hiện

- Thực hiện một cách làm quen thuộc.
- Áp dụng một thuật toán tiêu chuẩn.
5


- Kết nối, tích hợp thơng tin để giải quyết các vấn đề đơn giản.
Cấp độ 2

- Tạo những kết nối trong các cách biểu đạt khác nhau.

Kết nối, tích hợp

- Đọc và giải thích được các kí hiệu và ngơn ngữ hình thức
(tốn học) và hiểu chúng với ngơn ngữ tự nhiên.
- Nhận biết nội dung toán học trong tình huống có tính vấn đề
phải giải quyết.

Cấp độ 3
Khái qt hóa,
tốn học hóa

- Vận dụng kiến thức tốn học để giải quyết các vấn đề thực
tiễn.
- Biết phân tích, tổng hợp, suy luận, lập luận, khái quát hóa
trong chứng minh tốn học.

1.3.3. Năng lực mơ hình hóa
Có nhiều định nghĩa khác nhau về năng lực mơ hình hóa tốn học, nó gồm có
nhiều kĩ năng, thành phần. Theo Blom và Jensen, năng lực mơ hình hóa là khả năng thực
hiện đầy đủ các giai đoạn của q trình mơ hình hóa trong một tình huống cho trước.
Theo Maab, năng lực mơ hình hóa bao gồm các kĩ năng và khả năng thực hiện q trình
mơ hình hóa nhằm đạt được mục tiêu xác định. Các nghiên cứu đã chỉ ra các kĩ năng
thành phần của năng lực mơ hình hóa tốn học như sau: (1) Đơn giản giả thuyết  (2)
Làm rõ mục tiêu  (3) Thiết lập vấn đề  (4) Xác định biến, tham số, hằng số  (5)
Thiết lập mệnh đề toán học  (6) Lựa chọn mơ hình  (7) Biểu diễn mơ hình thích hợp
 (8) Liên hệ lại vấn đề trong thực tiễn.
Các trình độ của năng lực mơ hình hóa tốn học
Xuất phát từ các nghiên cứu về mơ hình hóa tốn học đã được nhiều nhà khoa học
công bố, kết hợp với kinh nghiệm giáo dục, chúng tơi cho rằng có thể phân bậc năng lực
mơ hình hóa tốn học của mỗi người như sau:
Thành phần

Trình độ
1. Học sinh tiểu học

1. Xác định mơ

1. Lựa chọn được:
hình tốn học:
các phép tốn, cơng
cơng thức, phương thức số học, sơ đồ,
trình, bảng biểu, đồ bảng biểu, hình vẽ để
thị,…cho tình
trình bày, diễn đạt
huống xuất hiện (nói hoặc viết) được
trong bài tốn thực các nội dung, ý tưởng
tiễn.
của tình huống xuất
hiện trong bài tốn
thực tiễn đơn giản.

2. Học sinh THCS

3. Học sinh THPT

1. Sử dụng được các mơ
hình tốn học: cơng
thức tốn học, sơ đồ,
bảng biểu, hình vẽ,
phương trình, hình biểu
diễn,…để mơ tả tình
huống xuất hiện trong
một số bài tốn thực tiễn
khơng q phức tạp.

1. Thiết lập được mơ
hình tốn học: cơng

thức, phương trình, sơ
đồ, hình vẽ, bảng biểu,
đồ thị,…để mơ tả tình
huống đặt ra trong một
số bài toán thực tiễn.

6


2. Giải quyết
2. Giải quyết được
2. Giải quyết được
2. Giải quyết được
những vấn đề toán những bài toán xuất những vấn đề toán học những vấn đề toán học
học trong mơ hình hiện từ sự lựa chọn trong mơ hình được thiết trong mơ hình được
được thiết lập.
trên.
lập.
thiết lập.
3. Thể hiện và
3. Nêu được câu trả 3. Thể hiện được lời giải 3. Lí giải được tính
đánh giá lời giải
lời cho tình huống tốn học vào ngữ cảnh đúng đắn của lời giải:
trong ngữ cảnh
xuất hiện trong bài thực tiễn, làm quen với những kết luận thu được
thực tế và cải tiến
tốn thực tiễn.
việc kiểm chứng tính là có ý nghĩa hay khơng,
được mơ hình nếu
đúng đắn của lời giải. có phù hợp với thực tiễn

cách giải quyết
hay khơng.
khơng phù hợp.

1.3.4. Phát triển năng lực mơ hình hóa tốn học cho học sinh
Triết học cho rằng “Phát triển” là một phạm trù chỉ ra tính chất của những biến đổi
đang diễn ra trong thế giới. “Phát triển” là một thuộc tính của vật chất. Mọi sự vật và hiện
tượng trong hiện thực không tồn tại ở trạng thái khác nhau từ khi xuất hiện đến lúc tiêu
vong,… nguồn gốc của phát triển là sự thống nhất và đấu tranh giữa các mặt đối lập.
“Phát triển” trong dạy học là “rèn luyện” những tri thức cập nhật trên cơ sở những
cái đã có để củng cố, mở mang, phát triển thêm. Nó làm tăng hệ thống những tri thức, kĩ
năng, làm giàu vốn hiểu biết, nâng cao hiệu quả của việc học tập.
Từ quan điểm hoạt động trong giáo dục, Nguyễn Bá Kim khẳng định: “Năng lực
có thể và chỉ có thể được hình thành, phát triển và biểu hiện trong hoạt động và bằng hoạt
động của chính người học”. Bên cạnh đó, định hướng đổi mới dạy học trong giai đoạn
hiện nay là: “Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát
triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học” (Nghị quyết số 29-NQ/TW, ngày
04/11/2013). Do đó, để phát triển một năng lực cụ thể cho người học, người giáo viên
(GV) cần tạo ra cho học sinh (HS) những tình huống học tập mà ở đó, HS phải thể hiện
mức độ thành thạo của các kĩ năng khi tiến hành các hoạt động đặc thù của năng lực đó.
Dựa trên cơ sở mối quan hệ mật thiết giữa năng lực và hoạt động, có thể xác định
bản chất của việc bồi dưỡng năng lực toán học cho HS nhằm để nâng cao hiệu quả học
tập, hồn thiện một q trình dạy học. Hay nói một cách khái qt, phát triển năng lực
tốn học cho HS là quá trình tổ chức, rèn luyện cho HS vận dụng kiến thức, kĩ năng toán
học để thực hiện các hoạt động học tập tương thích với thành tố và các biểu hiện đặc
trưng của từng năng lực.
Dựa trên cơ sở của việc rèn luyện năng lực toán học và năng lực mơ hình hóa tốn
học, chúng ta có thể khẳng định rằng: “Phát triển năng lực mơ hình hóa tốn học là q
trình tổ chức cho HS vận dụng kiến thức, kĩ năng và các phẩm chất cần thiết cho hoạt
động mơ hình hóa tốn học để thực hiện đầy đủ các giai đoạn của quy trình mơ hình hóa

nhằm giải quyết các vấn đề tốn học đặt ra.”
7


2. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ
2.1. Bài tốn mơ hình hóa trong chương trình mơn Tốn của Việt Nam
Hiện nay, các bài tốn có nội dung thực tiễn trong sách giáo khoa ở trường phổ
thơng đã được chính xác hóa và lý tưởng hóa, được thể hiện qua những điểm sau: các
tình huống ẩn chứa trong các bài tốn này chưa hẳn đã xảy ra trong cuộc sống thực;
chẳng hạn, những tình huống diễn tả chuyển động đều, chuyển động nhanh dần đều,...
Mặt khác, giả thiết của bài tốn khơng thiếu, không thừa, lời giải bao giờ cũng cho kết
quả nhằm trả lời cho câu hỏi thực tiễn, thậm chí kết quả cịn "rất đẹp". Nói như vậy
khơng có nghĩa là các bài tốn trong sách giáo khoa khơng có tác dụng gì trong dạy học;
ngược lại, nó có tác dụng rất lớn trong việc rèn luyện cho học sinh khả năng vận dụng tri
thức toán học vào đời sống thực tiễn. Những bài tốn có nội dung thực tiễn đó là cầu nối
đầu tiên nối liền tốn học với cuộc sống.
Các bài tốn có nội dung thực tiễn gần gũi với cuộc sống hơn là các bài tốn có
tính “mở”, khi thực hiện giải quyết chúng, học sinh phải tự mày mị tìm ra giả thiết hoặc
kết luận. Khi giải quyết những bài tốn mở về phía kết luận, HS cần phải mày mị biện
luận các trường hợp có thể xảy ra. Trong khi dạy học, GV nên chú ý đến loại toán này
bởi chúng phản ánh thực tiễn một cách chân thực. Nó chính là cái “giá” để giúp GV hình
thành cho HS nhiều thao tác tư duy, phẩm chất trí tuệ quan trọng.
2.2. Thực trạng các bài tốn thực tiễn phần hình học khơng gian trong chương trình sách
giáo khoa phổ thơng và trong các đề thi

2.2.1. Trong chương trình sách giáo khoa hiện hành
Chương trình sách giáo khoa (SGK) phổ thơng hình học lớp 11, 12 các bài toán
liên hệ với thực tiễn đã được đưa vào giảng dạy với số lượng rất ít ỏi. Cụ thể, xét trong
chương trình SGK và Nâng cao như sau:
- SGK Hình học 11 Nâng cao có 2 bài tốn trong chương Phép dời hình và phép đồng

dạng trong mặt phẳng; khơng có bài tốn nào trong cả 2 chương Đường thẳng, mặt phẳng
trong không gian. Quan hệ song song và Vec tơ trong khơng gian. Quan hệ vng góc.
- SGK Hình học 12 Nâng cao khơng có một bài toán liên hệ với thực tiễn nào.
Từ số liệu trên chúng ta nhận thấy số lượng bài toán thực tiễn so với lượng lý
thuyết khổng lồ mà học sinh đã học cịn q ít. Vì vậy, học sinh cảm thấy mơn Tốn chưa
thực sự gần gũi và cần thiết trong cuộc. Bên cạnh đó, giáo viên vì gặp nhiều khó khăn
trong việc đưa các bài toán thực tiễn vào giảng dạy, gặp khó khăn trong việc tìm tịi các ví
dụ từ đó dẫn đến lảng tránh, xem nhẹ các bài tốn thực tiễn mà khơng biết rằng những bài
tốn như vậy mới có thể hấp dẫn và lơi cuốn học sinh vào mơn học của mình, giúp học
sinh có thể liên hệ những kiến thức học được vào các tình huống bắt gặp trong cuộc sống.
Thay vào đó, do lượng kiến thức trong mỗi tiết dạy là quá nhiều, ít giờ dạy thực hành
thậm chí là khơng có các tiết thực hành nên giáo viên thường dành thời gian chú trọng
vào các bài toán sử dụng thuật giải, các bài tốn tính tốn phức tạp, trong khi học sinh
8


khơng biết mình đang học cái gì, mình học để làm gì và có ứng dụng gì trong cuộc sống
hay không?
2.2.2. Trong các đề thi, kiểm tra
Chúng ta đã biết, chương trình sách giáo khoa bậc phổ thơng chưa có đầu tư kĩ
lưỡng về số lượng, chất lượng các bài toán thực tiễn dẫn đến vấn đề yêu cầu vận dụng
Tốn học vào thực tiễn khơng được đặt ra thường xun trong các hình thức kiểm tra đánh
giá. Nói cách khác, nó thường khơng xuất hiện trong các đề thi hoặc bài kiểm tra. Rõ ràng,
Toán học bắt nguồn từ thực tiễn và phát triển để giải quyết các vấn đề thực tiễn, thế nhưng
việc kiểm tra đánh giá môn học này lại chẳng có một chút nào liên quan đến thực tiễn.
Trong những năm gần đây, cùng với sự thay đổi trong phương thức kiểm tra, đánh
giá, một số đề thi đã đưa các bài toán gắn với thực tiễn như liên quan đến lãi suất kép và
tính diện tích thể tích nhờ ứng dụng của tích phân nhưng vẫn cịn rất ít.
Vì vậy, chúng ta cần phải thay đổi hơn nữa, cần nhân rộng các bài toán thực tiễn,
các đề thi có các bài tốn thực tiễn để nhằm đánh giá năng lực phát hiện và giải quyết vấn

đề, năng lực mơ hình hóa tốn học và liên hệ Tốn học vào các tình huống thực tế cụ thể.
2.3. Thực trạng năng lực mơ hình hóa tốn học trong dạy học ở trư ng THPT
2.3.1. Học sinh
Khi nghiên cứu lí thuyết và thực hành dạy học, những khó khăn thường gặp của
HS là thiếu động lực để học Tốn, khơng đủ thời gian giải quyết, thiếu kĩ năng làm bài,
thiếu cơng cụ, phương tiện mơ hình hóa bài tốn. Ngồi những khó khăn thường gặp trên,
HS cịn vấp phải nhiều biểu hiện cụ thể trong quy trình mơ hình hóa Tốn học như:
- Vấn đề hiểu tình huống: HS không tự nhận ra hết những thông tin quan trọng của tình
huống cần chuyển đổi sang ngơn ngữ tốn học và thường bị chi phối bởi những hình ảnh
minh họa. Do đó, dẫn đến xây dựng mơ hình tốn học chưa phù hợp.
- Vấn đề tốn học hóa: HS khó khăn trong việc đơn giản bài tốn, xử lí điều kiện bài tốn,
chuyển bài tốn sang ngơn ngữ tốn học.
- Vấn đề giải bài toán: HS quên kiến thức cũ, thiếu linh hoạt trong tìm phương pháp giải,
có thói quen giải theo dạng, khả năng liên tưởng còn rất hạn chế.
- Kinh nghiệm thực tiễn của HS: Mơ hình hóa chuyển đổi giữa tốn học và thực tiễn rất
cần thiết, tuy nhiên HS thường thiếu kiến thức thực tiễn, khả năng liên hệ kiến thức liên
mơn cịn yếu.
- Vấn đề đối chiếu thực tế: HS chỉ quan tâm đến kết quả tốn tìm được mà khơng quan
tâm việc trả lời cho kết quả tình huống; mối quan hệ giữa kết quả và yếu tố đã cho.
2.3.2. Giáo viên
Mặc dù mơ hình hóa (MHH) rất có ích trong dạy học Tốn nhưng GV lại gặp rất
nhiều khó khăn, cụ thể như:
9


- Lựa chọn một vấn đề ngồi tốn học để ủy thác cho HS khơng phải dễ: Bài tốn liên hệ
với thực tế có độ khó cao, chương trình SGK hàn lâm. Vì vậy, cần một tình huống thực
tiễn thật sự hay biến đổi đến mức nào thì phù hợp trong việc giảng dạy.
- Năng lực xây dựng và phát triển một bài tốn nảy sinh từ tình huống thực tế cịn hạn
chế: GV rất khó để xây dựng hoặc lựa chọn mơ hình tốn học; HS thường khơng thích

thử phương pháp mới.
- Nội dung kiến thức trong sách giáo khoa nhiều, các bài tốn thực tế chỉ mang tính lí
thuyết, ít thực hành, khơng có trong nội dung thi: Thơng thường nếu khơng có trong nội
dung thi sẽ khơng được thực hiện nghiêm túc bởi GV và HS. Dạy học MHH đòi hỏi GV
cần nhiều thời gian để hướng dẫn HS so với dạy học truyền thống.
- Hiểu biết xã hội, kinh nghiệm sống và kiến thức liên môn của GV cịn hạn chế: Khơng
chỉ HS mà GV cũng hiểu khơng hết về mơ hình hóa. Ngồi ra kinh nghiệm giảng dạy các
bài tốn liên hệ cịn ít, kĩ năng sử dụng cơng nghệ thơng tin trong mơ hình hóa cịn hạn
chế, tài liệu tham khảo ít nên dạy học mơ hình hóa vẫn chưa phổ biến.

10


3. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN
3.1. Hệ thống các kiến thức cần thiết về hình học khơng gian trong sách giáo khoa
hình học lớp 11, lớp 12.
a, Một số nội dung cần nắm về quan hệ song song và vng góc của đường thẳng và
mặt phẳng trong khơng gian.
* Hai đường thẳng trong không gian song song với nhau
khi và chỉ khi chúng đồng phẳng và khơng có điểm chung.
* Hai đường thẳng vng góc trong khơng gian khi góc
giữa chúng bằng 900 .
Chúng có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
* Hai mặt phẳng song song trong không gian nếu chúng
khơng có điểm chung.
* Hai mặt phẳng vng góc với nhau trong khơng gian nếu
góc giữa chúng bằng 900 . Điều kiện cần và đủ để hai mặt
phẳng vng góc là mặt phẳng này chứa một đường thẳng
vng góc với mặt phẳng kia.
* Đường thẳng vng góc với mặt phẳng nếu nó vng góc

với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
* Đường thẳng song song với mặt phẳng khi và chỉ khi
chúng khơng có điểm chung.
b, Định nghĩa hình đa diện, khối đa diện.
* Hình đa diện được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác phẳng thỏa mãn hai tính chất:
- Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc khơng có điểm chung, hoặc có một đỉnh chung,
hoặc có một cạnh chung.
- Mỗi cạnh của một đa giác là cạnh chung của đúng hai đa giác.
* Mỗi hình đa diện chia khơng gian thành hai miền trong và ngồi. Hình đa diện và miền
trong của nó tạo thành khối đa diện.
c, Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu.
* Mặt nón: Đường thẳng d,  cắt nhau tại O tạo thành góc  với 00    900 , mặt phẳng
(P) chứa d,  quay xung quanh trục  với góc  khơng đổi, đường sinh d tạo thành một
mặt nón trịn xoay đỉnh O, trục  , góc ở đỉnh 2  .

11


+ Hình nón: Cho tam giác OAB, vng tại A. Đường gấp
khúc OBA quay xung quanh OA tạo thành hình nón trịn
xoay đỉnh O, đáy là đường trịn tâm A, bán kính AB, OB
là đường sinh.
+ Khối nón: Là phần khơng gian được giới hạn bởi một
hình nón trịn xoay kể cả hình nón đó. Đỉnh, mặt đáy,
đường sinh của hình nón cũng là đỉnh, mặt đáy, đường
sinh của khối nón.
* Mặt trụ: Cho đường thẳng l //  quay xung quanh  ,
cách  một khoản R không đổi tạo thành mặt trụ trịn
xoay, có l là đường sinh, trục  , bán kính mặt trụ là R.
+ Hình trụ: Khi cho đường gấp khúc OABO’của hình chữ

nhật OABO’ quay xung quanh OO’tạo thành hình trụ trịn
xoay trục OO’, đường sinh AB, bán kính OA.
+ Khối trụ: Là phần khơng gian được giới hạn bởi một
hình trụ trịn xoay kể cả hình trụ đó.
* Mặt cầu: Cho điểm I cố định và một số thực dương R.
Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách I
một khoảng R được gọi là mặt cầu tâm I, bán kính R. Kí
hiệu S(I; R). Ta có: S ( I ; R)  M IM  R .
+ Khối cầu hoặc hình cầu tâm I, bán kính R là tập hợp các
điểm thuộc mặt cầu S(I; R) cùng với các điểm nằm trong
mặt cầu đó.
• Diện tích mặt cầu: Sc  4 .R 2 .
4
• Thể tích mặt cầu: Vc   R 3 .
3

d, Một số nội dung cần nắm về phương pháp tọa độ trong không gian.

* Hệ tọa độ trong không gian: Hệ gồm 3 trục Ox; Oy; Oz đơi một vng góc với nhau
được gọi là hệ trục tọa độ vng góc Oxyz trong khơng gian. Với O 0;0;0 là gốc tọa độ;
Ox là trục hoành; Oy là trục tung; Oz là trục cao. Các mặt phẳng tọa độ
Oxy ; Oyz ; Oxz đơi một vng góc với nhau.
 
+ i , j, k là các vectơ đơn vị lần lượt nằm trên các trục Ox ,
Oy , Oz .



  
i

 j  k  1 và
; j  0;1;0
;
k

0;0;1
+ i  1;0;0
;





2
2
2
i  j  k 1; i  j , j  k , k  i .
   
* Tọa độ của điểm: M x; y; z  OM  xi.  y. j  z.k
12



* Tọa độ của vectơ: u  x; y; z









 u  x.i  y. j  z.k

Chú ý:
+ M  Oxy  z  0 ; M  Oyz  x  0 ; M  Oxz  y  0 .
+ M Ox  y  z  0 ; M  Oy  x  z  0 ; M  Oz  x  y  0 .


+ M  x; y; z  OM  x; y; z .
Các tính chất của phương pháp tọa độ trong không gian tương tự như phương
pháp tọa độ trong mặt phẳng, chỉ thêm thành phần cao độ.
3.2. Tìm hiểu quan hệ giữa giải tốn hình học khơng gian và phát triển năng lực mơ
hình hóa.
Như chúng ta đã biết, Mơ hình hóa tốn học (MHHTH) là một trong những năng
lực đặc trưng trong dạy học Toán cần phát triển cho HS phổ thông. Để phát triển năng lực
mô hình hóa tốn học có nhiều cách tiếp cận. Ở đây, tôi lựa chọn cách tiếp cận thông qua
việc giải quyết các bài tốn hình học khơng gian. Câu hỏi đặt ra là tại sao giải bài tốn
hình học khơng gian có thể phát triển được năng lực mơ hình hóa cho HS? Rõ ràng, từ
một bài tốn thực tiễn sẽ có nhiều cách sử dụng các ngơn ngữ và cơng cụ tốn học để tìm
ra cách giải. Tuy nhiên, các cách giải đó cần chỉ ra được các yếu tố đã biết và yếu tố cần
tìm trong bài tốn, mối quan hệ giữa các yếu tố đó làm căn cứ để xác định các bước giải
bài toán theo một trình tự logic. Các yếu tố này tạo nên mơ hình tốn học của bài tốn
thực tiễn. Do vậy, có thể hướng dẫn HS vận dụng các kiến thức, kĩ năng về hình học
khơng gian để giải các bài tốn thực tiễn có liên quan. Tùy theo mục đích và yêu cầu dạy
học, giáo viên có thể phân loại hệ thống bài tập bằng các tiêu chí khác nhau để giải bài
tốn hình học khơng gian, tạo hứng thú và niềm say mê toán học cho học sinh.
3.3. Các bước thiết lập mơ hình hóa các bài tốn hình học không gian.
Bước 1: Quan sát và thu thập số liệu của các tình huống thực tiễn liên quan trực

tiếp đến việc tìm giải pháp cho vấn đề. Hai nhiệm vụ quan trọng nhất trong bước 1 là
quan sát và thu thập số liệu. Ở bước này, cần phát hiện được các yếu tố có liên quan
trong tình huống thực tiễn, yếu tố nào đã xác định, yếu tố nào cần tìm và mối quan hệ
giữa các yếu tố.
Bước 2: Từ các yếu tố của tình huống thực tiễn, xem xét mối quan hệ để biểu
diễn tình huống thành một bài tốn có liên đến hình học khơng gian. Sắp xếp các mối
quan hệ và kết nối chúng tạo thành một sơ đồ logic và phát biểu bài tốn bằng ngơn ngữ
tốn học.
Bước 3: Dùng cơng cụ tốn học – Hình học không gian và các vấn đề liên quan
để giải bài toán đã được thiết lập.
Bước 4: Đối chiếu kết quả của lời giải với mơ hình thực tiễn và kết luận. Đánh
giá lời giải và đối chiếu với mô hình thực tiễn của bài tốn. Từ đó, đưa ra kết luận về
MHHTH cho bài toán thực tiễn ban đầu.
13


3.4. Một số ví dụ minh họa việc vận dụng các bước thiết lập mơ hình hóa các bài
tốn hình học không gian ứng dụng trong thực tiễn để phát triển năng lực mơ hình
hóa cho học sinh
Dạng 1. Một số bài tốn thực tế liên quan đến mơ hình hình chóp
a, Kiến thức cần nắm về hình chóp
- Hình chóp là một khối đa diện có mặt đáy là đa giác lồi, các mặt bên là các tam giác có
chung một đỉnh là đỉnh của hình chóp.
- Có nhiều loại hình chóp khác nhau, tên gọi quy định theo đa giác mặt đáy. Chẳng hạn,
hình chóp tam giác sẽ có đáy là hình tam giác, hình chóp tứ giác có đáy là tứ giác lồi,…
- Đường cao là đường thẳng đi qua đỉnh và vng góc với mặt phẳng đáy.
- Nếu các cạnh bên bằng nhau hay hợp với mặt đáy các
góc bằng nhau thì chân đường cao chính là tâm đường
tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
- Nếu các mặt bên hợp với đáy các góc bằng nhau hay các

đường cao của các mặt bên xuất phát từ đỉnh hình chóp
bằng nhau thì chân đường cao là đường trịn nội tiếp đáy.
- Nếu hình chóp có mặt bên hay mặt chéo vng góc với
đáy thì đường cao của hình chóp sẽ là đường cao của mặt
đó.
- Các loại hình chóp thường gặp:
Trong thực tế, chúng ta thường gặp những kì quan
hay cơng trình, vật dụng có hình dạng hình chóp đa giác
đều hay hình chóp cụt đều.
* Hình chóp đa giác đều: Là hình chóp có đáy là các đa
giác đều ( ví dụ, tam giác đều, hình vng, ngũ giác đều,
lục giác đều,..) các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau.
Tâm đáy trùng với chân đường cao.
* Hình chóp cụt: Là phần chóp nằm giữa đáy và thiết diện cắt bởi mặt phẳng song song
với đáy của hình chóp. Hai đáy là hai đa giác đồng dạng, các mặt bên là các hình thang,
các đường thẳng chứa các cạnh bên đồng quy tại một điểm. Nếu được cắt từ một hình
chóp đều thì ta được một hình chóp cụt đều, khi đó các bên là các hình thang cân bằng
nhau.
- Các cơng thức liên quan đến hình chóp:
* Diện tích xung quanh của hình chóp đa giác đều: S xq  p.d
Trong đó S xq : là diện tích xung quanh, p là nửa chu vi đáy, d là trung đoạn ( nối đỉnh với
trung điểm cạnh đáy).
14


* Diện tích tồn phần: Stp  Sxq  Sđáy.
* Thể tích khối chóp: V = 1/3.Sđáy. h.(V là thể tích khối chóp, h là chiều cao).
* Diện tích xung quanh của hình chóp cụt tứ giác đều: S xq  4.

1

a  b .h  2 a  b .h
2

( a, b lần lượt độ dài cạnh hai đáy, h là chiều cao của mặt bên).
* Diện tích tồn phần của hình chóp cụt đều: Stp  S xq  S dl  S dn , ( Sdl , Sdn lần lượt là
diện tích đáy lớn và diện tích đáy bé của hình chóp cụt đều).
1
3

* Thể tích khối chóp cụt đều: V  h. a2  ab  b2 , ( a , b lần lượt độ dài cạnh hai đáy, h
là chiều cao khối chóp cụt).
b, Bài tập liên quan

Ảnh chụp lại từ trang hanoiled.com
Ví dụ 1: Hiện nay, trong các nhà hàng, quán cafe, phòng khách,… rất ưa chộng treo
đèn chùm thả phân tử, làm cho khơng gian nhìn đẹp sang trọng, lịch sự. Biết rằng, loại
đèn thả phân tử khung hình tứ diện đều có cạnh khung dài 30cm . Chủ nhà muốn dán
mỗi mặt của khung một loại gương phản quang sơn màu khác nhau giúp phòng thêm
lung linh hơn, giá tiền gương phản quang là 300 ngàn đồng một mét vuông, chủ nhà
muốn dán 3 đèn thì phải chi thêm bao nhiêu tiền?
Bước 1: GV hỗ trợ HS thu thập và tìm hiểu thông tin qua một số câu hỏi gợi ý như:
- Đề bài yêu cầu cần xác định gì? Khung đèn có hình dạng? Cạnh là bao nhiêu? Từ cạnh
ta xác định được gì? Tính chiều cao mỗi mặt của khung đèn cần xác định gì?
HS huy động kiến thức đã biết, tìm hiểu thơng tin và xác định được chiều cao mỗi mặt
của khung đèn.
Bước 2: GV giúp SV phát biểu tình huống thực tế ban đầu bằng ngơn ngữ tốn học:
“Cho tứ diện đều ABCD cạnh 30cm . Tính diện tích tồn phần của tứ diện?”.
Bước 3: HS chủ động sử dụng cơng cụ tốn học để giải quyết bài tốn tốn học.
+ Vì tứ diện ABCD đều nên 4 mặt của tứ diện là 4 tam giác đều bằng nhau.
15

1
2

+ Gọi M trung điểm của BC  AM  BC và MB  BC  15 cm .
+ S ABC 

1
1
AM .BC  .15.30  225 cm 2
2
2

 S tp  4.S ABC  4.225  900 cm 2

.

Bước 4: HS chủ động phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được ở bước 3 để xác
định mức độ phù hợp của mơ hình và kết quả tính tốn với vấn đề thực tế.
Trả lời: Chủ nhà cần chi thêm một khoản là: 3.

900
.300  81 (ngàn đồng).
10000

Ảnh chụp lại từ trang
Ví dụ 2: Giả sử Bảo tàng Hà Nội với kết cấu “kim tự tháp ngược” có hình dạng là
một hình chóp tứ giác đều với phần đỉnh chìm dưới mặt đất. Chiều cao 30,7m tính từ
mặt đất (gồm 4 tầng nổi), độ sâu 11,5m (2 tầng hầm), diện tích sàn tầng một là

12.000m 2 . Một chủ quán có ý định thuê mặt bằng tầng thượng để kinh doanh cafe sân
2
vườn, giá thuê 1 m là 100 ngàn đồng/ năm, tiền lãi từ lượng khách quen biết cũ của chủ
quán khoảng 28 đến 30 triệu mỗi tháng, chưa kể lượng khách lạ. Hỏi chủ quán đó cần
chi khoảng bao nhiêu tiền thuê mặt bằng trong 2 năm (Biết rằng tổng tiền lãi bình quân
gấp 1,5 lần tiền thuê là chủ quán sẽ thuê để đổi địa điểm, khơng kể chi phí đầu tư ban
đầu vì đã có sẵn ở qn cũ). Theo em, chủ qn có nên th tầng thượng để đổi địa điểm
khơng?
Bước 1: GV hỗ trợ HS thu thập và tìm hiểu thông tin qua một số câu hỏi gợi ý như:
- Đề bài yêu cầu cần xác định gì? Hình dạng của bảo tàng? Cạnh của sàn tầng 1 là bao
nhiêu? Từ cạnh ta xác định được gì? Xác định được cạnh của tầng thượng không?
HS huy động kiến thức đã biết, tìm hiểu thơng tin vẽ mơ hình minh họa và xác định được
cạnh của đáy.
Bước 2: GV giúp HS phát biểu tình huống thực tế ban đầu bằng ngơn ngữ tốn học:
“Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD . Thiết diện khi cắt hình chóp bởi mặt phẳng 
song song với đáy là tứ giác MNPQ có diện tích 12.000 m 2 . Biết khoảng cách từ
(MNPQ) tới ( ABCD) là 30,7m, từ (MNPQ) tới đỉnh S là 11,5m. Tính diện tích mặt đáy?”
Bước 3: HS chủ động sử dụng cơng cụ tốn học để giải quyết bài toán toán học.
Từ giả thiết suy ra ABCD và MNPQ là hình vng, MN  12.000  40 15 m .
16


Ta có (MNPQ) // ( ABCD)  MN // AB 

MN
11,5
11,5


AB 30, 7  11,5 42, 2

 2300 15  2
11,5
11,5
2300 15


2
.MN 
.40 15 
m ; S ABCD  AB  
 AB 
  1782,3 m 2
 211 
42,2
42,2
211


 Số tiền cần trả để thuê mặt bằng trong 2 năm là: 1782,3.2.0,1  356,5 (đồng).

+ Tỉ số tiền lãi và tiền thuê :

560
 1,57 .
356,5

Bước 4: HS chủ động phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được ở bước 3 để xác
định mức độ phù hợp của mơ hình và kết quả tính tốn với vấn đề thực tế.
Trả lời:  356,5 triệu đồng và nên thuê để đổi địa điểm.

Ảnh chụp lại
từ trang
kienviet.net

Ví dụ 3. Giả sử Bảo tàng Hà Nội với kết cấu “kim tự tháp ngược” có hình dạng là
một hình chóp tứ giác đều với phần nổi trên mặt đất là một hình chóp cụt đều, góc giữa
cạnh bên và mặt đáy là 600 . Chiều cao 30, 7m tính từ mặt đất (gồm 4 tầng nổi), diện
tích sàn tầng một là 12.000m 2 . Người ta dự định lắp điều hòa cho tồn bộ khơng gian
phía trong, phần nổi trên mặt đất, giả thiết tường mỏng khơng đáng kể. Ước tính
12.500m3 cần lắp một điều hịa cơng suất lớn, hỏi cần phải lắp ít nhất bao nhiêu cái
điều hịa như vậy để đảm bảo yêu cầu làm mát?
Bước 1: GV hỗ trợ HS thu thập và tìm hiểu thơng tin qua một số câu hỏi gợi ý như:
- Hình dạng bảo tàng? Chiều cao? Tính đường chéo AC nghĩa là cần xác định gì?
HS huy động kiến thức đã biết, tìm hiểu thơng tin và xác định được: Bảo tàng có hình
dạng hình chóp cụt tứ giác đều, đáy bé là hình vng có diện tích 12.000m 2 , khoảng cách
gữa hai đáy bằng 30, 7m ; Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là 600 .
Bước 2: GV giúp HS phát biểu tình huống thực tế ban đầu bằng ngơn ngữ tốn học:
“Cho hình chóp cụt tứ giác đều ABCD.MNPQ , các cạnh bên tạo với đáy một góc 600 , đáy
bé MNPQ có diện tích 12.000m 2 , chiều cao 30, 7m . Tính thể tích của hình chóp cụt
ABCD.MNPQ ?”
Bước 3: HS chủ động sử dụng công cụ toán học để giải quyết bài toán toán học.
+ Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của M và N trên mặt phẳng đáy lớn ( ABCD) 
H , K thuộc AC ; AH  CK  x và MP  HK  AC  2 x  MP .
17