Phát triển năng lực mô hình hóa toán học ở học sinh khi dạy học các bài toán giải bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Nguyễn Thị Hương

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC Ở
HỌC SINH KHI DẠY HỌC CÁC BÀI TOÁN GIẢI BẰNG
CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2016
1


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN
Nguyễn Thị Hương

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC Ở HỌC
SINH KHI DẠY HỌC CÁC BÀI TOÁN GIẢI BẰNG CÁCH LẬP
PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. Phạm Thị Diệu Thùy

Hà Nội – Năm 2016
2


LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian nghiên cứu cùng với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình
của cô – TS. Phạm Thị Diệu Thuỳ khoá luận của em đến nay đã được hoàn thành
Qua đây em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô Phạm Thị Diệu Thuỳ,
người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo cho em nhiều kinh nghiệm quý báu trong
thời gian em thực hiện khoá luận này. Em cũng xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ
của các thầy cô trong khoa Toán đã tạo điều kiện tốt nhất cho em trong thời gian
em làm khoá luận.
Do lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, hơn nữa do
thời gian và năng lực của bản thân còn hạn chế nên không tránh khỏi những hạn
chế, thiết sót trong khóa luận. Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các
thầy, cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 08 tháng 05 năm 2016
Sinh viên
Nguyễn Thị Hương

3


LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan đề tài nghiên cứu: “Phát triển năng lực mô hình hóa
toán học ở học sinh khi dạy học các bài toán giải bằng cách lập phương trình,
hệ phương trình.” là của riêng em, không trùng với kết quả của các tác giả khác.

Các kết quả nghiên cứu trong khóa luận có tính khách quan, trung thực và kết quả
của em trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu vừa qua, dưới sự hướng dẫn của
cô – TS. Phạm Thị Diệu Thùy. Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.

Hà Nội, ngày 08 tháng 05 năm 2016
Sinh viên
Nguyễn Thị Hương

4


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN
LỜI CAM ĐOAN
MỤC LỤC
BẢNG QUY ƯỚC VIẾT TẮT
Phần 1: MỞ ĐẦU………………………………………………………………8

1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................ .8
2. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu ...................................................................... 11
3. Đối tượng nghiên cứu . ................................................................................... 12
4. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................ 12
Phần 2: Nội dung
Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ............................................ 14
1.Mục tiêu giáo dục và mục tiêu dạy học môn Toán trong nhà trường phổ thông
hiện nay.................................................................................................................. 14
2.Khái niệm năng lực, các năng lực đặc thù trong quá trình dạy học môn Toán..18
2.1 Khái niệm năng lực………………………………………………………….18
5

2.2 Các năng lực đặc thù trong quá trình dạy học môn Toán……………………20
3.Các vấn đề cơ bản của mô hình hóa toán học………………………………….23
3.1. Khái niệm mô hình hóa toán học………………………………………….....23
3.2. Các biện pháp phát triển năng lực mô hình hóa toán học trong quá trình dạy
học môn Toán…………………………………………………………………….27
Kết luận chương 1
Chương 2 : PHAT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC Ở
HỌC SINH TRONG DẠY HỌC GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP
PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH……………………………..31
1. Bài toán giải bằng cách lập phương trình, hệ phương trình…………………31
2 . Các biện pháp phát triển năng lực mô hình hóa trong dạy học bài toán giải bằng
cách lập phương trình, hệ phương trình………………………………………….36
Kết luận chương 2
Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM……………………………………...77
1. Mục đích thực nghiệm sư phạm………………………………………………77
2. Nội dung thực nghiệm sư phạm………………………………………………77
3. Kết quả thực nghiệm sư phạm………………………………………………..80

6


Kết luận chương 3
Phần 3: KẾT LUẬN…………………………………………………………90
TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………...92
PHỤ LỤC

Bảng quy ước viết tắt
STT

Từ viết tắt

Từ đầy đủ

1

THCS

Trung học cơ sở

2

TS

Tiến sĩ

3

NL

Năng lực

4

HS

Học sinh

5

GV

Giáo viên

6

MHHTH

7

Mô hình hóa toán học


Phần 1: Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Hiện nay, Việt Nam đang hướng tới một nền giáo dục tiến bộ, hiện đại,
ngang tầm với các nước trong khu vực và thế giới và trong đó “ học để làm” là
một trong bốn trụ cột của giáo dục. Chương I, điều 3, khoản 2 của Luật Giáo
dục năm 2005 14nêu rõ: “hoạt động giáo dục phải thực hiện theo nguyên lý
học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, lý luận gắn liền
với thực tiễn, giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã
hội”. Và trong điều 28, mục 2, chương II, Luật Giáo dục năm 2005 14quy
định “ Nội dung giáo dục phổ thông phải đảm bảo tính phổ thông, cơ bản, toàn
diện, hướng nghiệp và có hệ thống; gắn với thực tiễn cuộc sống, phù hợp với
tâm sinh lý lứa tuổi HS, đáp ứng mục tiêu giáo dục ở mỗi cấp học”, “ Phương
pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng
tạo của học sinh; phù hợp với từng đặc điểm của lớp học, môn học, bồi dưỡng
phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm, rèn luyện kỹ năng vận
dụng kiến thức vào thực tế; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú
học tập cho HS.” Những quy định trên đã khẳng định giáo dục Việt Nam đang

hướng tới mục tiêu đảm bảo học đi đôi với hành, nội dung dạy học gắn liền với
thực tiễn cuộc sống. Giáo dục cần chuyển từ giúp người học “học được cái gì”
sang học thì phải “làm được cái gì”. Nói cách khác quá trình giáo dục phải tạo

8


điều kiện cho người học không chỉ có kiến thức khoa học mà còn vận dụng
được chúng để giải quyết các vấn đề thực tiễn.
Toán học có nguồn gốc thực tiễn và là chìa khóa trong rất nhiều hoạt động
của con người. Toán học là kết quả của sự trừu tượng hóa các sự vật hiện
tượng trong thực tiễn trên những bình diện khác nhau và có vai trò quan trọng
trong việc thực hiện mục tiêu chung của giáo dục phổ thông. Toán học có mối
liên hệ chặt chẽ với thực tế và có thể ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực
khác nhau: là công cụ học tập các môn học khác trong nhà trường, nghiên cứu
nhiều ngành khoa học và là công cụ để hoạt động trong sản xuất, trong đời
sống thực tiễn.
Trong chương trình toán THCS HS được nghiên cứu chủ đề “ giải bài toán
bằng cách lập phương trình và hệ phương trình”. Đây là một chủ đề quan trọng
trong chương trình toán THCS. Các bài toán trong chủ đề này chủ yếu thuộc
dạng toán có lời văn. Để giải các bài toán dạng này HS cần phải có kiến thức
toán học, kinh nghiệm thực tế, khả năng phân tích, tổng hợp, liên kết (xác định
mối liên hệ) giữa các đại lượng lập thành phương trình, hệ phương trình để
giải. Hầu hết các bài toán ở chủ đề này đều gắn với nội dung thực tiễn. Vì vậy
đòi hỏi ở HS vốn kinh nghiệm, trải nghiệm thực tiễn. Tuy nhiên, vốn trải
nghiệm thực tiễn của HS THCS còn ít nên khi giải bài toán HS thường mắc sai
lầm là thoát ly khỏi thực tiễn, quên điều kiện của ẩn số, không khai thác hết
mối liên hệ ràng buộc của các yếu tố bài toán…dẫn đến lời giải sai sót thiếu
chính xác, chặt chẽ. Vì vậy nhiều HS gặp khó khăn khi giải dạng toán này.

9


Để giải các bài toán trong chủ đề “ giải bài toán bằng cách lập phương trình
và hệ phương trình” đã nêu trên, HS cần toán học hóa các yếu tố thực tế trong
bài thông qua mối quan hệ giữa các đại lượng. Công việc đó chính là xây dựng
mô hình hóa toán học để giải các bài toán có nội dung thực tiễn. Trong các giai
đoạn của quá trình vận dụng toán học vào thực tiễn thì bước lập mô hình toán
học chiếm một vị trí đặc biệt quan trọng bởi các phương pháp toán học chỉ có
thể thực hiện trên các mô hình toán học. Rõ ràng, nếu không thiết lập được mô
hình toán học của bài tập toán học có nội dung thực tiễn thì không thể giải
được. Do đó chúng ta có thể phát triển năng lực mô hình hóa ở HS thông qua
chủ đề này.
Quá trình dạy học trong các giai đoạn trước đây không phải không phát
triển năng lực tư duy người học, nhưng phát triển năng lực chỉ là hệ quả của
quá trình cung cấp tri thức, kỹ năng, kỹ sảo cho người học. Với định hướng
dạy học phát triển năng lực như hiện nay, chúng ta cần phái xác định phát triển
NL người học là nhiệm vụ hàng đầu. Nghiên cứu về phát triển năng lực người
học cũng đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà tâm lý, giáo dục, nhà
nghiên cứu. Tuy nhiên, các nghiên cứu đó thiên về chương trình học trung học
phổ thông cho HS ở lớp 10, 11 và 12. Ví dụ như tác giả Trần Thị Cẩm Nhung

16nghiên cứu về phát triển NL phát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh
thông qua dạy học chủ đề tổ hợp xác suất lớp 11, tác giả Ngô Ánh Hồng

12cũng nghiên cứu về NL này trong chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt
phẳng ở hình học 10 hay tác giả Nguyễn Thị Kim Tiến 17 nghiên cứu về NL
mô hình hóa Toán học các bài toán thực tiễn trong dạy học Đại số 10. Trong
10

khi đó, phát triển NL người học cho HS trung học cơ sở cũng rất quan trọng
nhưng ít tác giả đi sâu nghiên cứu, đặc biệt là chủ đề giải bài toán bằng cách
lập phương trình và hệ phương trình.
Vì những lý do trên, em chọn “Phát triển năng lực mô hình hóa toán học
ở học sinh khi dạy học các bài toán giải bằng cách lập phương trình, hệ
phương trình” làm đề tài nghiên cứu cho khóa luận tốt nghiệp của mình.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
 Mục đích
Các biện pháp sư phạm nhằm phát triển năng lực mô hình hóa Toán học ở
HS khi dạy bài toán giải bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
 Nhiệm vụ
Phân tích mục tiêu giáo dục để thấy rõ nhu cầu của việc hình thành năng
lực của người học nói chung và năng lực mô hình hóa toán học nói riêng;
- Phân tích các tài liệu giáo dục để làm rõ bản chất của năng lực mô hình hóa
Toán học ở người học;
- Phân tích các tài liệu tâm lí, giáo dục để khẳng định việc phát triển năng lực
mô hình hóa toán học là hoàn toàn phù hợp với đối tượng HS THCS;
- Đề xuất các biện pháp sư phạm nhằm phát triển năng lực mô hình hóa Toán
học ở HS;
11


- Tiến hành thực nghiệm sư phạm để khẳng định tính hiệu qủa của các biện
pháp sư phạm đã đề xuất.
3. Đối tượng nghiên cứu
 Đối tượng: Năng lực người học, khả năng phát triển mô hình hóa, các bài
toán được giải bằng cách lập phương trình và hệ phương trình.
 Phạm vi : Đối tượng HS lớp 9 ở trường THCS thị trấn Sóc Sơn, huyện Sóc
Sơn, thành phố Hà Nội.

4.Phương pháp nghiên cứu:
 Phương pháp nghiên cứu lý luận:
+ Tập hợp, đọc, nghiên cứu, phân tích, tổng hợp hệ thống các nguồn tài
liệu các đề tài nghiên cứu, các giáo trình tham khảo có liên quan tới đề tài;
+ Nghiên cứu các vấn đề định hướng đổi mới phương pháp dạy và học ở
THCS;
+ Nghiên cứu chương trình sách giáo khoa về mục tiêu, nội dung dạy học
chủ đề “ Giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình” trong
môn toán THCS.
 Phương pháp điều tra, quan sát:
+ Điều tra thực trạng khả năng giải bài toán bằng cách lập phương trình
và hệ phương trình của học sinh thông qua phiếu điều tra và các bài kiểm tra;
12


+ Dự giờ, điều tra, phỏng vấn, trao đổi với các giáo viên dạy Toán , có
kinh nghiệm dạy học môn toán trong chủ đề” Giải bài toán bằng cách lập
phương trình và hệ phương trình” với hình thức phỏng vấn, lấy ý kiến đóng
góp qua phiếu thăm dò.
 Tổng kết kinh nghiệm:
Tổng kết kinh nghiệm của các GV giỏi, có kinh nghiệm dạy học chủ đề “
giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình” ở THCS, đồng
thời tự rút ra kinh nghiệm của bản thân khi đã được học dạng toán này.
 Lấy ý kiến chuyên gia:
Xin ý kiến giảng viên hướng dẫn, các giảng viên dạy môn Toán , đặc biệt
trong tổ Phương pháp của trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 và của một số
giáo viên dạy Giỏi Toán ở phổ thông nhằm hoàn thiện đề tài.
 Phương pháp thực nghiệm sư phạm:
Tổ chức thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi của các biện pháp
đã đề xuất.

13


CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
Chương 1 trình bày về các cơ sở lý luận và thực tiễn của sự phát triển NL
mô hình hóa ở HS. Trong đó chúng tôi sẽ làm rõ mục tiêu giáo dục, các vấn đề
cơ bản về năng lực (khái niệm, phân loại…)và mô hình hóa toán học (khái
niệm, quy trình, các biện pháp phát triển…) để từ đó thấy được sự cần thiết
phải phát triển năng lực người học trong quá trình dạy học, đặc biệt là năng lực
mô hình hóa Toán học ở học sinh THCS, đồng thời thấy được các hướng phát
triển năng lực phù hợp ở học sinh.
1. Mục tiêu giáo dục và mục tiêu dạy học môn Toán trong nhà trường phổ
thông hiện nay
Luật giáo dục nước ta năm 2005 14 quy định “Mục tiêu giáo dục là đào tạo
con người Việt Nam phát triển toàn diện, có đạo đức, tri thức, sức khỏe, thẩm
mỹ và nghề nghiệp, trung thành với lí tưởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa xã
hội; hình thành và bồi dưỡng nhân cách, phẩm chất và năng lực của công dân,
đáp ứng yêu cầu xây dựng và bảo vệ Tổ Quốc”.
Nghị quyết số 29 Hội nghị Trung ương 8 khóa XI 15 về đổi mới căn bản,
toàn diện giáo dục và đào tạo đã đưa ra quan điểm chỉ đạo “Phát triển giáo dục
và đào tạo là nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài. Chuyển
mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện
NL và phẩm chất người học”. Phát triển phẩm chất và NL người học trong giáo
14


dục phổ thông là định hướng hàng đầu mà nhiều nước tiên tiến đã và đang thực
hiện từ đầu thế kỉ XXI đến nay (Úc, Canada, New Zealand, Pháp...).
Trong những năm gần đây, giáo dục phổ thông Việt Nam đã đạt được

những thành tựu và có những đóng góp lớn trong việc đào tạo nguồn nhân lực
phục vụ công nghiệp hóa và hiện đại hóa đất nước. Tuy vậy, chúng ta vẫn chưa
thật sự quán triệt mục tiêu phát triển NL của HS mà còn coi trọng việc trang bị
kiến thức, kĩ năng cơ bản cho HS, chưa thực sự chú trọng giáo dục các kĩ năng
sống, các kĩ năng học tập suốt đời.
Trong những năm qua việc đổi mới giáo dục tuy đã được tiến hành, nhưng
thiếu đồng bộ, còn chắp vá và chưa tương xứng với yêu cầu. Không phải
không có những lúc tồn tại bất cập lớn giữa yêu cầu phải đổi mới với NL tiến
hành đổi mới của ngành Giáo dục và Đào tạo. Nếu không đổi mới căn bản toàn
diện giáo dục và đạo tạo thì tình trạng vừa thiếu vừa yếu về nhân lực sẽ là yếu
tố cản trở sự phát triển của đất nước. Đó chính là những vấn đề thực tiễn đặt ra
và cũng chính vì vậy, Nghị quyết Đại hội Đảng toàn quốc lần thứ XI đã xác
định “ Đổi mới căn bản toàn diện nền giáo dục theo hướng chuẩn hóa, hiện đại
hóa, xã hội hóa, dân chủ hóa và hội nhập quốc tế” và “ Phát triển nhanh nguồn
nhân lực, nhất là nguồn nhân lực chất lượng cao, tập trung vào việc đổi mới
căn bản và toàn diện nền giáo dục quốc dân” .
Tại Hội thảo khoa học về “Quản lý dạy học chuyển từ tiếp cận nội dung
sang tiếp cận năng lực, vấn đề và giải pháp” diễn ra 5/12/2014 tại Hà Nội, các
nhà khoa học, chuyên gia, nhà quản lý giáo dục cho rằng, cần phải thay đổi
15


ngay phương pháp kiểm tra, đánh giá HS theo hướng chú trọng NL của người
học, nhất là tư duy sáng tạo, vận dụng giải quyết những vấn đề trong cuộc
sống.
PGS. TS Hà Thế Truyền (Học viện Quản lý giáo dục) nhận định, để đổi mới
phương pháp dạy học theo hướng chú trọng phát triển NL HS phổ thông, cần
phải vận dụng dạy học theo tình huống, dạy HS định hướng hành động, tăng
cường sử dụng phương tiện dạy học và công nghệ thông tin hợp lý. Bên cạnh
đó, việc kiểm tra, đánh giá cũng phải chú trọng NL của người học, nhất là tư

duy sáng tạo, vận dụng giải quyết những vấn đề trong cuộc sống. Đặc biệt, sau
năm 2015, nhà trường phổ thông cần thay đổi theo hướng quan tâm phát triển
NL cá nhân, lấy HS làm trung tâm và việc đánh giá chỉ nhằm định hướng cho
người học phương pháp và con đường tiếp tục học tập.
Theo Thạc sĩ Lương Ngọc Bình (Học viện Quản lý giáo dục), dạy học theo
phương pháp tiếp cận NL là phương pháp dạy học nhắm trúng vào NL của
người học để thiết kế chương trình. “Muốn dạy học theo phương pháp tiếp cận
NL đạt hiệu quả mong muốn thì khâu xác định sở thích và năng lực người học
là quan trọng hàng đầu, nhưng chỉ dựa vào sở thích của người học thì đúng,
nhưng chưa đủ. Để quyết định thành công, yếu tố có tính quyết định ở đây là
NL người học. Từ trước đến nay, chúng ta chủ yếu dạy học theo phương pháp
tiếp cận nội dung. Chương trình và nội dung giáo dục được xác định là chuẩn
mực, không được phép xê dịch. Khi học họ không biết học để làm gì, khi làm
không hiểu tại sao phải làm,... Thạc sĩ Bình khẳng định, chính do sự nghiêm
túc thái quá vô hình trung là nguyên nhân sâu xa của sự thụ động không dám
16


sáng tạo, không dám vượt qua những yếu tố chuẩn mực truyền thống, mặc dù
những yếu tố đó đã lạc hậu, bất cập.
Phần lớn các đại biểu đều chung nhận định, việc dạy học theo hướng tiếp
cận NL người học được xem là chìa khóa để đổi mới giáo dục. Và để thực
hiện, đổi mới nội dung này thì giải pháp dạy học theo hướng tiếp cận NL cần
phải xác định chính xác ngưỡng nhận thức NL phù hợp của người học. Ngoài
ra, cần điều chỉnh lại mục tiêu, thiết kế xây dựng lại nội dung cho từng cấp,
bậc và ngành học; bổ sung điều kiện quan trọng khác như giáo trình, sách giáo
khoa,... Đây là yếu tố quan trọng, hướng tới một nền giáo dục tiên tiến, đáp
ứng yêu cầu đào tạo nguồn nhân lực có chất lượng, đủ sức cạnh tranh và hội
nhập quốc tế.
Trong nhà trường, quá trình hình thành và phát triển NL người học được

thực hiện thông qua quá trình nghiên cứu các môn học. Trong đó, Toán học
được coi là môn học có vị trí quan trọng để phát triển NL người học.
Môn Toán có tính trừu tượng cao độ, tính thực tiễn phổ dụng, tính logic
và tính thực nghiệm của Toán học.
Tính thực tiễn phổ dụng của Toán học được thể hiện từ nguồn gốc của nó.
Số học ra đời trước hết do nhu cầu đếm. Hình học phát ính do nhu cầu đo lại
ruộng đất sau những trận lụt ở ven bờ sông Nin hàng năm. Toán học có thể ứng
dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của đời sống. Chẳng hạn những tri thức
về tương quan tỷ lệ thuận biểu thị bởi công thức y=ax có thể được ứng dụng

17


vào hình học, điện học, hóa học…vì mối tương quan này phản ánh những mối
liên hệ trên những lĩnh vực đó.
Ví dụ: Diện tích S của 1 tam giác với 1 cạnh a cho trước tỷ lệ thuận với
đường cao h ứng với cạnh đó S=0.5ah; Quãng đường đi được S trong một
chuyển động đều với vận tốc cho trước v tỷ lệ thuận với thời gian đi t: S=vt…
2.Khái niệm năng lực, các năng lực đặc thù trong quá trình dạy học môn
Toán
2.1. Khái niệm năng lực
Có rất nhiều chuyên gia trong các lĩnh vực xã hội học, GD học, triết học,
tâm lý học và kinh tế học đã cố gắng định nghĩa khái niệm NL. Tại Hội
nghị chuyên đề về những năng lực cơ bản của Hội đồng châu Âu, sau khi phân
tích nhiều định nghĩa về NL, F.E. Weinert 6, tr45 kết luận: Xuyên suốt các
môn học "NL được thể hiện như một hệ thống khả năng, sự thành thạo hoặc
những kĩ năng thiết yếu, có thể giúp con người đủ điều kiện vươn tới một mục
đích cụ thể". Cũng tại diễn đàn này, J. Coolahan 6, tr26 cho rằng: NL được
xem như là “những khả năng cơ bản dựa trên cơ sở tri thức, kinh nghiệm, các
giá trị và thiên hướng của một con người được phát triển thông qua thực hành

GD.”
Theo Từ điển Hán Việt của tác giả Nguyễn Lân 13 , “NL là khả năng đảm
nhận công việc và thực hiện tốt công việc đó nhờ có phẩm chất đạo đức và
trình độ chuyên môn”. Đinh Quang Báo 9 đã đưa ra khái niệm về NL như
18


sau: “NL là một thuộc tính tích hợp nhân cách, tổ hợp các đặc tính tâm lí của
cá nhân, phù hợp với những yêu cầu của một hoạt động xác định, đảm bảo cho
hoạt động đó có kết quả tốt đẹp”.
Có thể thấy dù cách phát biểu có khác nhau, nhưng các cách hiểu trên đều
khẳng định: Nói đến năng lực là phải nói đến khả năng thực hiện, là phải biết
làm, chứ không chỉ biết và hiểu.
Tất nhiên hành động (làm), thực hiện ở đây phải gắn với ý thức và thái độ.
Phải có kiến thức và kĩ năng, chứ không phải làm một cách "máy móc", "mù
quáng".
Phân loại năng lực là một vấn đề rất phức tạp. Kết quả phụ thuộc vào quan
điểm và tiêu chí phân loại. Nhìn vào chương trình thiết kế theo hướng tiếp cận
năng lực của các nước (Úc, Canada, New Zealand, Pháp, Indonesia…) có thể
thấy 2 loại chính: Đó là những năng lực chung và năng lực cụ thể, chuyên biệt.
Năng lực chung là năng lực cơ bản, thiết yếu để con người có thể sống và
làm việc bình thường trong xã hội. Năng lực này được hình thành và phát triển
do nhiều môn học, liên quan đến nhiều môn học.
Vì thế có nước gọi là năng lực xuyên chương trình. Hội đồng châu Âu gọi là
năng lực chính. Cũng cần lưu ý là khái niệm năng lực chính được nhiều nước
trong khối EU sử dụng với các thuật ngữ khác nhau như 7: Năng lực nền
tảng, năng lực chủ yếu, kĩ năng chính, kĩ năng cốt lõi, năng lực cơ sở, khả
năng,phẩm chất chính; kĩ năng chuyển giao được...

19

Theo quan niệm của EU, mỗi năng lực chung cần: Góp phần tạo nên kết
quả có giá trị cho xã hội và cộng đồng; giúp cho các cá nhân đáp ứng được
những đòi hỏi của một bối cảnh rộng lớn và phức tạp; chúng có thể không quan
trọng với các chuyên gia, nhưng rất quan trọng với tất cả mọi người 1 .
Năng lực cụ thể, chuyên biệt là năng lực riêng được hình thành và phát triển
do một lĩnh vực/môn học nào đó; vì thế chương trình Quecbec 6gọi là năng
lực môn học cụ thể để phân biệt với năng lực xuyên chương trình- năng
lựcchung
Sáng tạo và đọc diễn cảm là ví dụ để phân biệt hai loại năng lực này. Sáng
tạo là năng lực chung. Nó là sản phẩm của tất cả các môn học /hoạt động và
đòi hỏi vận dụng ở tất cả các môn học/hoạt động.
Còn đọc diễn cảm là năng lực riêng, năng lực do môn tiếng Việt và văn học
đảm nhận. Trong cuộc sống rất cần năng lực sáng tạo. Không sáng tạo thì
không thể phát triển, thậm chí khó tồn tại. Nhưng không đọc diễn cảm được thì
cũng không có gì ảnh hưởng lớn.
2.2 Các năng lực đặc thù trong quá trình dạy học môn Toán
Theo OECD/PISA 1 (dựa trên công trình của Niss (1999) và các đồng
nghiệp Đan mạch của ông) có tám năng lực Toán học đặc trưng sau đây:
 Năng lực tư duy và suy luận toán học
Điều này liên quan đến việc đặt các câu hỏi đặc trưng toán (“Có hay
không…?”, “Nếu như vậy, có bao nhiêu?”, “Làm thế nào chúng ta tìm..?”);
biết loại câu trả lời mà toán học có thể đáp ứng cho những câu hỏi như vậy;
20


phân biệt các loại mệnh đề khác nhau (định nghĩa, định lý, phỏng đoán, giả
thuyết, ví dụ, khẳng định có điều kiện); hiểu và xác định phạm vi cũng như các
hạn chế của các khái niệm toán đã cho.

 Năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề
Điều này liên quan đến việc đặt, định dạng và xác định những loại khác
nhau của các vấn đề toán (ví dụ: “thuần túy toán”, “ứng dụng”, “kết thúc mở”
và “đóng”); và giải quyết nhiều dạng bài toán khác nhau theo nhiều cách.
Qua quá trình học tập trên lớp, HS sẽ phân tích được tình huống, phát hiện
và nêu được tình huống có vấn đề trong học tập, trong cuộc sống. Các em sẽ
thu thập và làm rõ các thông tin có liên quan đến vấn đề. Đề xuất và phân tích
được một số giải pháp giải quyết vấn đề, lựa chọn được giải pháp phù hợp.
Ngoài ra, HS còn đề xuất được giả thuyết khoa học khác nhau. Lập được kế
hoạch để giải quyết vấn đề đặt ra. Thực hiện kế hoạch độc lập sáng tạo hoặc
hợp tác trên cơ sở các giả thuyết đã đề ra.
Môn Toán sẽ giúp các em HS thực hiện và đánh giá giải pháp giải quyết
vấn đề, suy ngẫm về cách thức và tiến trình giải quyết vấn đề để điều chỉnh và
vận dụng trong bối cảnh mới
 Năng lực mô hình hoá toán học
Điều này liên quan đến việc cấu trúc lĩnh vực hay bối cảnh được mô hình
hóa; chuyển thể “thực tế” thành các cấu trúc toán; giải thích các mô hình toán
21


học theo nghĩa “thực tế”; làm việc với một mô hình toán; làm cho mô hình
thỏa đáng; phản ánh, phân tích và đưa ra sự phê phán cũng như các kết quả của
nó; giao tiếp về mô hình và các kết quả của nó (bao gồm hạn chế của các kết
quả như vậy); và giám sát và điều khiển quá trình mô hình hóa.
 Năng lực lập luận toán học
Điều này liên quan đến việc biết các chứng minh toán học là gì và chúng
khác với các loại suy luận khác như thế nào; theo dõi và đánh giá các chuỗi lập
luận toán của nhiều loại khác nhau; thu được cảm nhận về giải quyết vấn đề
bằng kinh nghiệm (“Điều có thể (không thể) xảy ra, và tại sao?); tạo nên và
trình bày các lập luận toán.

 Năng lực giao tiếp toán học
Điều này liên quan đến việc bộc lộ mình, theo nhiều cách, về những vấn đề
với một nội dung toán, theo dạng nói cũng như dạng viết, hiểu được những
mệnh đề được nói hay viết bởi những người khác về những vấn đề như vậy.
 Năng lực trình bày toán học
Điều này liên quan đến việc giải mã, mã hóa, chuyển thể, giải thích và phân
biệt giữa các dạng khác nhau của các biểu diễn của những đối tượng và bối
cảnh toán học, và những mối quan hệ bên trong giữa các biểu diễn khác nhau;
chọn và chuyển dịch giữa các dạng khác nhau của biểu diễn tùy theo bối cảnh
và mục đích.
22


 Năng lực sử dụng các công thức, kí hiệu, các yếu tố kĩ thuật
Điều này liên quan đến việc giải mã và giải thích các ngôn ngữ ký hiệu và
hình thức, và hiểu được mối quan hệ của nó với ngôn ngữ tự nhiên; chuyên thể
ngôn ngữ tự nhiên thành ngôn ngữ ký hiệu hay hình thức; xử lý các mệnh đề
và biểu thức chứa các ký hiệu và công thức; dùng các biến số, giải các phương
trình và thực hiện các phép tính.
 Năng lực sử dụng các đồ dùng hỗ trợ và công cụ toán học
Điều này liên quan đến việc biết về và có khả năng sử dụng nhiều loại
phương tiện hỗ trợ khác nhau (bao gồm cả công cụ công nghệ thông tin) có thể
trợ giúp cho hoạt động toán, và biết các hạn chế của những loại công cụ đó.
3. Các vấn đề cơ bản của mô hình hóa toán học
3.1. Khái niệm mô hình hóa toán học
Mô hình toán học: Một mô hình toán học là một cấu trúc toán học mô tả
gần đúng đặc trưng của một hiện tượng nào đó, một mô hình toán học bao gồm
các đối tượng toán học và mối quan hệ giữa các đối tượng đó 2.
Mô hình hoá toán học (MHHTH): Để vận dụng kiến thức toán học vào việc
giải quyết những tình huống của thực tế, người ta phải toán học hóa tình huống

đó, tức là xây dựng một mô hình toán học thích hợp cho phép tìm câu trả lời
cho tình huống. Quá trình này được gọi là mô hình hoá toán học. Một vài cấu
trúc toán học cơ bản có thể dùng để mô hình hoá là các đồ thị, phương trình
23


(công thức) hoặc hệ phương trình hay bất phương trình, chỉ số, bảng số hay các
thuật toán. MHHTH cho phép HS kết nối toán học nhà trường với thế giới
thực, chỉ ra khả năng áp dụng các ý tưởng toán, đồng thời cung cấp một bức
tranh rộng hơn, phong phú hơn về toán học, giúp việc học toán trở nên ý nghĩa
hơn 2.
Quy trình mô hình hóa Toán học:
Dựa vào quy trình mô hình hóa toán học của Kaiser và Blum trong [3,
tr.100], Ok Ki Kang trong [4], và của nhiều tác giả khác, ta có thể nhận thấy
được rằng nói chung quy trình mô hình hóa toán học bao gồm một số bước cơ
bản sau:
Bước 1: Hiểu tình huống thực tế, xác định các yếu tố có ý nghĩa quan trọng
nhất trong hệ thống và xác lập các qui luật mà chúng ta phải tuân theo, có thể
đưa vào các điều kiện và giả thiết phù hợp, có thể lý tưởng hóa, đơn giản hóa
vấn đề để từ đó tạo ra một mô hình thực tế của tình huống (mô hình trung
gian).
Bước 2: Mô hình thực tế được toán học hóa, tức là được thông dịch sang ngôn
ngữ toán học để dẫn đến một mô hình toán học của tình huống ban đầu. Chúng
ta nên lưu ý rằng là ứng với vấn đề đang xem xét có thể có nhiều mô hình toán
học khác nhau, việc xác định, đưa ra mô hình phụ thuộc vào việc chúng ta
đánh giá yếu tố nào của hệ thống và mối liên hệ nào giữa chúng là quan trọng.

24

Bước 3: Sử dụng các công cụ toán học để khảo sát và giải quyết bài toán hình
thành ở bước 2. Căn cứ vào mô hình đã xây dựng cần phải chọn hoặc xây dựng
phương pháp giải cho phù hợp.
Bước 4: Phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được trong bước 3. Ở đây
người ta phải xác định mức độ phù hợp của mô hình và kết quả tính toán với
vấn đề thực tế. Chúng ta lưu ý rằng: đây là một bước quan trọng giúp cho
người thực hiện nhận ra rằng giải pháp đó liên quan chặt chẽ đến ngữ cảnh.
Đây cũng là bước quan trọng khi mà sự mạnh, yếu của mô hình được xem xét,
thảo luận.
Ở bước này có thể xảy ra một trong hai khả năng :
Khả năng 1: Mô hình và các kết quả tính toán phù hợp với thực tế. Khi đó chỉ
cần tổng kết lại cách đặt vấn đề, mô hình toán học đã xây dựng, các thuật toán
đã sử dụng, kết quả thu được.
Khả năng 2: Mô hình và kết quả không phù hợp với thực tế. Lúc này phải tìm
nguyên nhân
Có thể đặt ra những câu hỏi sau :
- Các kết quả tính ở bước thứ ba có đủ độ chính xác không? Để trả lời, người
ta phải kiểm tra lại các thuật toán, các quy trình, các tính toán đã sử dụng. Ở
đây, người ta tạm chấp nhận rằng mô hình toán học (và cũng có nghĩa là mô
hình trung gian) xây dựng như vậy là thỏa đáng.

25