PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC ĐẠI SỐ LỚP 8

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG
----------------------------------

ĐỖ THỊ BÍCH ĐỊNH

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA
TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC
ĐẠI SỐ LỚP 8

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Chuyên ngành: Lí luận và phương pháp DH bộ môn Toán
Mã số : 8140111

Phú Thọ, năm 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG
----------------------------------

ĐỖ THỊ BÍCH ĐỊNH

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA
TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC
ĐẠI SỐ LỚP 8

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Chuyên ngành: Lí luận và phương pháp DH bộ môn Toán

Mã số : 8140111
Người hướng dẫn khoa học: TS. Lê Văn Hồng

Phú Thọ, năm 2018


i

LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan đề tài nghiên cứu: “Phát triển năng lực mô hình hóa toán
học cho học sinh trong dạy học đại số lớp 8.” là của riêng em, không trùng với kết
quả của các tác giả khác. Các kết quả nghiên cứu trong luận văn có tính khách quan,
trung thực và kết quả của em trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu vừa qua, dưới
sự hướng dẫn của Thầy – TS. Lê Văn Hồng. Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách
nhiệm.

Phú Thọ, ngày

tháng

năm 2018

Học viên

Đỗ Thị Bích Định


ii

LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian nghiên cứu cùng với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của
Thầy- TS. Lê Văn Hồng luận văn của em đến nay đã được hoàn thành.
Qua đây em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Lê Văn Hồng, người đã trực
tiếp hướng dẫn, chỉ bảo cho em nhiều kinh nghiệm quý báu trong thời gian em thực
hiện luận văn này. Em cũng xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô
trong khoa Toán- Tin đã tạo điều kiện tốt nhất cho em trong thời gian em làm luận
văn.
Do lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, hơn nữa do thời gian
và năng lực của bản thân còn hạn chế nên không tránh khỏi những hạn chế, thiếu
sót trong luận văn. Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy, cô
giáo và các bạn học viên để luận văn của em được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Phú Thọ, ngày

tháng

năm 2018

Học viên

Đỗ Thị Bích Định


iii

MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN.......................................................................................................i
LỜI CẢM ƠN...........................................................................................................ii
MỤC LỤC................................................................................................................ iii

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT.....................................................vi
DANH MỤC CÁC HÌNH.......................................................................................vii
DANH MỤC CÁC BẢNG.....................................................................................viii
MỞ ĐẦU..................................................................................................................1
1. Tính cấp thiết của đề tài.........................................................................................1
2. Tổng quan vấn đề nghiên cứu................................................................................5
3. Mục đích nghiên cứu.............................................................................................7
4. Đối tượng nghiên cứu............................................................................................7
5. Nhiệm vụ nghiên cứu.............................................................................................8
6. Phạm vi nghiên cứu...............................................................................................8
7. Giả thuyết khoa học...............................................................................................8
8. Phương pháp luận và phương pháp nghiên cứu.....................................................9
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN.............................................10
1.1. Khái niệm mô hình hóa.....................................................................................10
1.1.1. Mô hình và mô hình hóa................................................................................10
1.1.2. Toán học hóa..................................................................................................12
1.1.3. Mô hình hóa ở cấp học trung học cơ sở.........................................................14
1.2. Quy trình mô hình hóa......................................................................................16
1.2.1. Bài toán mô hình hóa trong chương trình môn Toán của Việt Nam...............16
1.2.2. Vấn đề bồi dưỡng năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh trong dạy
học Toán cho học sinh Trung học cơ sở...................................................................18
1.2.3. Quy trình vận dụng mô hình hóa toán học trong dạy học toán THCS...........20
1.3. Vai trò của phương pháp mô hình hóa..............................................................22
1.3.1. Tạo tình huống có vấn đề trong dạy học toán................................................23
1.3.2. Làm sáng tỏ một số yếu tố của toán học trong thực tiễn................................24


iv

1.3.3. Hiểu được ý nghĩa của các số liệu thống kê từ thực tiễn................................26

1.4. Năng lực và cấp độ mô hình hóa.......................................................................27
1.4.1. Năng lực mô hình hóa của học sinh...............................................................27
1.4.2. Năng lực mô hình hóa của giáo viên..............................................................28
1.4.3. Cấp độ mô hình hóa.......................................................................................32
1.5. Thực trạng bồi dưỡng năng lực mô hình hóa toán học trong dạy học đại số lớp
8 ở trường THCS.....................................................................................................33
1.5.1. Học sinh.........................................................................................................33
1.5.2. Giáo viên.......................................................................................................34
Kết luận chương 1...................................................................................................36
CHƯƠNG 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM NHẰM PHÁT TRIỂN
NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CHO HS THÔNG QUA DẠY
HỌC ĐẠI SỐ 8......................................................................................................37
2.1. Định hướng vận dụng MHH trong dạy học đại số 8 THCS..............................37
2.1.1. Định hướng 1: Tăng cường đưa những tình huống trong cuộc sống thực vào
dạy học môn Toán ở bậc phổ thông, rèn luyện cho học sinh khả năng và ý thức
ứng dụng toán học vào thực tế.................................................................................37
2.1.2. Định hướng 2: Tăng cường các hoạt động thực hành nhằm rèn luyện các kĩ
năng thực hành toán học gần gũi thực tế..................................................................40
2.2. Một số biện pháp sư phạm nhằm góp phần bồi dưỡng năng lực mô hình hóa
toán học cho học sinh lớp 8 THCS trong dạy học Toán...........................................42
2.2.1. Biện pháp 1: Tạo hứng thú cho người học thông qua việc chỉ ra tác dụng
của các kiến thức toán học khi giải quyết các tình huống thực tiễn xung quanh......42
2.2.2. Biện pháp 2: Bổ sung những ví dụ, bài tập có nội dung thực tế vào hệ thống
ví dụ, bài tập trong sách giáo khoa..........................................................................46
2.2.3. Biện pháp 3: Tăng cường đưa những bài tập có nội dung thực tế vào kiểm
tra, đánh giá.............................................................................................................54
2.2.4. Biện pháp 4 : Xây dựng những bài tập có hệ thống câu hỏi nội dung thực tế
dùng cho ôn tập cuối chương, cuối năm..................................................................56

v

Kết luận chương 2...................................................................................................63
CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM.........................................................64
3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm........................................................................64
3.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm........................................................................64
3.2.1. Nội dung 1: GV phát phiếu điều tra về mức độ hiểu biết về chủ đề giải bài
toán bằng cách lập phương trình ở lớp 8 và đưa ra 1 bài toán để HS làm...............64
3.2.2. Nội dung 2: Tiến hành giảng dạy ở 2 lớp theo 2 hướng đã nêu ở trên 1 tiết
học........................................................................................................................... 64
3.2.3. Nội dung 3: Sau khi dạy 1 tiết học tiến hành kiểm tra 15 phút ở cả 2 lớp......67
3.2.4. Nội dung 4: Tiếp tục tiến hành dạy lớp 8B theo phương pháp phát triển năng
lực mô hình hóa như đã làm từ đầu thực nghiệm, đồng thời thay đổi cách dạy theo
phương pháp mới cho lớp 8A..................................................................................68
3.2.5. Nội dung 5: tiến hành kiểm tra lần 2 sau khi cả 2 lớp cùng được học phương
pháp tiếp cận phát triển năng lực mô hình hóa ........................................................74
3.3. Tổ chức thực nghiệm........................................................................................75
3.4. Kết quả thực nghiệm sư phạm..........................................................................75
Kết luận chương 3...................................................................................................83
KẾT LUẬN............................................................................................................84
TÀI LIỆU THAM KHẢO.......................................................................................85
PHỤ LỤC


vi

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT

STT

Từ viết tắt

Từ đầy đủ

1

THCS

2

CTGDPT TT

3

NL

Năng lực

4

HS

Học sinh

5

GV

Giáo viên

6

MHHTH

Mô hình hóa toán học

7

THPT

Trung học phổ thông

8

SGK

Sách giáo khoa

9

GQVĐ

Trung học cơ sở
Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể.

Giải quyết vấn đề


vii

DANH MỤC CÁC HÌNH
Hình 1.2. Sơ đồ quá trình MHH (Pollak, 1979).......................................................21
Hình 1.3. Lời giải bài toán thiết kế cầu....................................................................24
Hình 1.4. Quỹ đạo chuyển động của vòi phun nước Merlion.....................................25
Hình 1.5. Biểu đồ đánh giá mức độ khó của môn Toán...........................................34
Hình 2.1. Đồ thị biểu diễn nhịp tim theo công thức cũ và mới................................58
Hình 3.1 Biểu đồ kết quả bài kiểm tra ban đầu.......................................................77
Hình 3.2. Biểu đồ kết quả kiểm tra lần 1 của 2 lớp..................................................78
Hình 3.3. Biểu đồ so sánh kết quả bài kiểm tra của 2 lớp ở lần 2............................79
Hình 3.4. Biểu đồ so sánh kết quả giữa 2 lần kiểm tra của lớp 8A..........................80
Hình 3.5. Biểu đồ so sánh kết quả giữa 2 lần kiểm tra của lớp 8B............................81


viii

DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 1.1: Khảo sát các thành tố của năng lực MHH...............................................30
Bảng 1.2: Khảo sát các thành tố của năng lực tổ chức dạy học MHH.....................31
Bảng 1.3. Bảng thống kê về mức độ cần thiết của môn Toán trong cuộc sống........33
Bảng 1.4. Bảng thống kê về nhu cầu muốn biết về những ứng dụng thực tế của Toán
học trong cuộc sống.................................................................................................34
Bảng 2.1. Bảng nhịp tim đối đa được khuyến cáo...................................................57
Bảng 3.1. Phiếu kiểm tra ban đầu:...........................................................................76
Bảng 3.2. Kết quả bài kiểm tra ban đầu...................................................................77
Bảng 3.3. Kết quả kiểm tra lần 1 của 2 lớp..............................................................78
Bảng 3.4: Bảng so sánh kết quả bài kiểm tra của 2 lớp ở lần 2...................................79
Bảng 3.5: Bảng so sánh kết quả giữa 2 lần kiểm tra của lớp 8A.................................80
Bảng 3.6. Bảng so sánh kết quả giữa 2 lần kiểm tra của lớp 8B..................................81

-1-

MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
1.1. Xu thế chung mà các nền giáo dục toán tiên tiến trên thế giới không chỉ
đánh giá về kiến thức mà còn xem xét khả năng của học sinh trong việc áp dụng
kiến thức và kinh nghiệm của mình vào giải quyết những vấn đề thực tiễn và có thể
làm được những gì trên cơ sở những kiến thức đã học được. Phẩm chất và năng lực
là hai thành phần cơ bản trong cấu trúc nhân cách nói chung và là yếu tố nền tảng
tạo nên nhân cách của một con người. Do vậy, trong mọi thời đại, các chương trình
giáo dục được áp dụng, tuy có khác nhau về cấu trúc, phương pháp và nội dung giáo
dục... nhưng đều hướng tới mục tiêu nhân cách. Trong đó việc hình thành phẩm chất
và năng lực con người (đức, tài) được quan tâm nhấn mạnh. Qua các thời kỳ với các
giai đoạn lịch sử khác nhau, yêu cầu về nhân cách nói chung và phẩm chất, năng lực
nói riêng của con người với tư cách là thành viên trong xã hội cũng có những thay
đổi phù hợp với đòi hỏi của thời đại.
Theo xu thế toàn cầu hóa và hội nhập quốc tế hiện nay, nền giáo dục nước ta
cũng đang trong tiến trình đổi mới căn bản, toàn diện. Nếu như trước đây giáo dục
chú trọng mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh và giúp người học hình thành hệ
thống kiến thức, kỹ năng, thái độ thì ngày nay, điều đó vẫn còn đúng, còn cần
nhưng chưa đủ. Trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa với
những tác động tích cực của nền kinh tế tri thức và tiến bộ của thông tin, truyền
thông, giáo dục cần phải giúp người học hình thành một hệ thống phẩm chất, năng
lực đáp ứng được với yêu cầu mới. Hệ thống phẩm chất, năng lực đó được cụ thể
hóa phù hợp với sự phát triển tâm lý, sinh lý của người học, phù hợp với đặc điểm
môn học và cấp học, lớp học. Theo đó, những phát triển của phẩm chất, năng lực
người học trong quá trình giáo dục cũng sẽ là quá trình hình thành, phát triển, hoàn
thiện nhân cách con người.

-2-

Do đó dạy học phát triển phẩm chất, năng lực người học có vai trò trung tâm
chi phối đến sự thành công của việc thực hiện nội dung, chương trình, mục tiêu giáo
dục theo tinh thần đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo.
1.2. Hầu hết các nước trên thế giới, trong giảng dạy Toán đều chủ trương
giản lược lý thuyết hàn lâm, tăng cường thực hành và không ngừng vận dụng.
Nhiều nước đã dùng các bài toán có nội dung thực tiễn vào trong các kì thi ở bậc
phổ thông, điển hình là Pháp, Nga, Đức,… Theo chương trình đánh giá quốc tế
PISA, một quá trình cơ bản mà học sinh vận dụng toán học để giải quyết các vấn đề
thực tế được đề cập đến là “toán học hóa”. Việt Nam đang trên con đường hội nhập
với các quốc gia khác trên thế giới, giáo dục nước nhà cũng nằm trong xu hướng
tham dự PISA vào năm 2012. Do đó, quan tâm đến việc phát triển năng lực toán học
hóa tình huống thực tiễn cho học sinh phổ thông là một vấn đề cấp thiết, có tính thời
sự.
Năng lực mô hình hóa Toán học là một trong 5 năng lực thành tố cốt lõi đã
được CTGDPT TT Việt Nam quy định trong môn Toán [8,T15]. Có thể nói mô hình
là được dùng để mô tả một tình huống thực tiễn nào đó, mô hình hóa toán học được
hiểu là sử dụng công cụ toán học để thể hiện nó dưới dạng của ngôn ngữ toán học,
trong đó mô hình hóa là quá trình tạo ra mô hình nhằm hướng tới giải quyết một
vấn đề nào đó. Quá trình này tuân theo một quy trình sử dụng các quy tắc đặc biệt
để thành lập giả thuyết hay cấu trúc toán học như: công thức, thuật toán, phương
trình, bảng biểu, biểu tượng, đồ thị biểu diễn,…. Để từ đó học sinh có một cái nhìn
rõ ràng hơn về các vấn đề tồn tại trong thực tiễn.
Mô hình hóa trong dạy học toán là quá trình giúp học sinh tìm hiểu, khám
phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ toán học với sự hỗ trợ của
công nghệ thông tin. Quá trình này đòi hỏi các kỹ năng và thao tác tư duy toán học
như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa. Mô hình hóa cũng
cho thấy mối quan hệ giữa thực tiễn với các vấn đề trong sách giáo khoa dưới góc
nhìn của toán học. Cách tiếp cận này giúp việc học toán của học sinh trở nên có ý

nghĩa hơn, tạo động cơ và niềm say mê toán học.


-3-

1.3. Năng lực MHH vẫn còn khá mới mẻ đối với GV khi dạy học môn toán ở
các trường phổ thông của Việt Nam. Chưa có nhiều công trình nghiên cứu về việc
vận dụng năng lực này trong dạy và học toán ở nhà trường phổ thông. Một số
nghiên cứu về năng lực mô hình hóa toán học đã cho thấy tác dụng tích cực trong
dạy học môn Toán.
Tác giả Nguyễn Thị Tân An trong nghiên cứu của mình cũng đã đưa ra một
cách phân loại các tình huống toán học và xây dựng quá trình toán học hóa phù hợp
với chương trình. Nghiên cứu cung cấp các hướng dẫn cụ thể đối với mỗi bước của
quá trình toán học hóa giúp HS có thể định hướng khi đứng trước một tình huống
toán học hóa, GV có thể sử dụng để lên kế hoạch dạy học. Ngoài ra, nghiên cứu
cũng chỉ rõ mối liên hệ giữa các năng lực hiểu biết định lượng và quá trình toán học
hóa. Do đó, việc giải quyết những tình huống chứa đựng các yếu tố định lượng
thông qua quá trình toán học hóa sẽ giúp phát triển các năng lực hiểu biết định
lượng của HS. Đặc biệt, nghiên cứu này đã xây dựng được thang đánh giá giúp đo
các năng lực hiểu biết định lượng khi HS giải quyết một tình huống toán học hóa
chứa đựng yếu tố định lượng. Mỗi năng lực được chấm điểm trong ba giai đoạn của
quá trình toán học hóa theo bốn mức từ 0 đến 3 [2].
Nghiên cứu của tác giả Lê Thị Hoài Châu cũng đã làm rõ khái niệm mô hình
hóa toán học và vấn đề vận dụng MHH trong dạy học toán học bậc THPT ở Việt
Nam. Nghiên cứu này được tiến hành trên hai phương diện: (i) Phân tích sự lựa
chọn của chương trình và SGK môn Toán THPT đối với việc tính đến vấn đề MHH
trong dạy học hàm số, phương trình, bất phương trình. Phân tích này được thực hiện
trong sự đối chiếu với đặc trưng tri thức luận của tri thức đang bàn đến và sự so
sánh với một thể chế khác; (ii) Nghiên cứu thực trạng, đánh giá năng lực của HS
phổ thông trong việc sử dụng các kiến thức toán đã học vào giải quyết các vấn đề

của thực tiễn. Từ đó, tác giả đã thiết kế được các tình huống dạy học bằng MHH và
dạy học MHH trong dạy học các nội dung hệ bất phương trình hai ẩn, khái niệm đạo
hàm và khái niệm tích phân [4].


-4-

Trong các nghiên cứu gần đây của tác giả Nguyễn Danh Nam đã trình bày
một cách khái quát vai trò của MHH trong dạy học toán, phương pháp này giúp HS
làm quen với việc sử dụng các loại biểu diễn dữ liệu khác nhau; giải quyết các bài
toán thực tiễn bằng cách lựa chọn và sử dụng các công cụ, phương pháp toán học
phù hợp. Qua đó, giúp học hiểu sâu và nắm chắc các kiến thức toán học. Ngoài ra,
sử dụng MHH trong dạy học giúp HS phát triển các kỹ năng toán học, đồng thời nó
còn hỗ trợ GV tổ chức dạy học theo phương pháp phát hiện và GQVĐ có hiệu quả
hơn . Nguyễn Danh Nam cũng chỉ ra rằng, phương pháp MHH nâng cao tinh thần
hợp tác trong học tập, tăng cường tính độc lập và tự tin cho HS thông qua trao đổi
nhóm, sử dụng phần mềm dạy học hỗ trợ quá trình GQVĐ, MHH và cải tiến mô
hình cho phù hợp với thực tiễn. Qua đó, tăng cường tính liên môn trong học tập các
môn như địa lý, khoa học, lịch sử, môi trường[18].
1.4. Chương trình sách giáo khoa bộ môn Toán ở trường Trung học cơ sở hiện
hành kế thừa và phát huy truyền thống dạy học Toán ở Việt Nam, tiếp cận trình độ
giáo dục toán học phổ thông của các nước phát triển trong khu vực và trên thế giới.
Nội dung được biên soạn theo tinh thần lựa chọn những kiến thức toán học cơ bản,
thiết thực, có hệ thống, trình bày tinh giản; thể hiện tính liên môn và tích hợp các
nội dung dạy học; thể hiện vai trò công cụ của môn Toán, đồng thời tăng cường
thực hành và vận dụng, thực hiện dạy học gắn liền với thực tiễn. Đặc biệt, Toán học
tạo điều kiện rất lớn trong việc phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn
cho học sinh. Lĩnh vực phương trình, bất phương trình được trình bày một cách có
hệ thống, không những có tác dụng bồi dưỡng tư duy logic mà còn phát triển cả
ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học cho học sinh; tạo điều kiện cho người học

biểu diễn các tình huống thực tiễn dưới dạng biểu thức chứa biến. Chủ đề phương
trình còn là cơ hội tốt để học sinh giải các bài toán có nội dung thực tiễn. Các tác
giả trong [15] cho rằng: việc biểu diễn tình huống bằng biểu thức chứa biến là một
vấn đề vô cùng quan trọng trong việc phát triển năng lực toán học hóa tình huống
thực tiễn cho người học.


-5-

Trong chương trình đại số toán lớp 8 năng lực mô hình hóa để xây dựng một
số khái niệm có tính khái quát cao. Thông qua dạy học, những đơn vị kiến thức này
có thể hình thành cho học sinh lớp 8 năng lực mô hình hóa, một yếu tố quan trọng
cho việc phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn. Toán ứng dụng, nhất
là lĩnh vực thống kê, phương trình,…. rất quan trọng đối với thực tiễn cuộc sống
của con người, được đưa vào trong chương trình dạy học. Vì thế giáo viên có cơ hội
rèn luyện cho học sinh khả năng vận dụng toán học vào đời sống, cũng như phát
triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh.
Với những lý do trên đây, đề tài nghiên cứu được chọn là: “ Phát triển năng
lực mô hình hóa toán học cho học sinh trong dạy học Đại số lớp 8 ”.
2. Tổng quan vấn đề nghiên cứu
Một trong những chủ đề trọng tâm của giáo dục toán học trong suốt ba thập
kỉ qua đó là MHH toán học và ứng dụng của toán học trong thực tiễn cuộc sống.
Nói tổng quát hơn, đó chính là mối quan hệ giữa toán học với thực tiễn (thế giới bên
ngoài toán học). Tuy nhiên, chưa có nhiều công trình nghiên cứu về việc vận dụng
phương pháp này trong dạy và học toán ở nhà trường phổ thông. Trong các nghiên
cứu gần đây của tác giả Nguyễn Danh Nam đã trình bày một cách khái quát vai trò
của phương pháp MHH trong dạy học toán, phương pháp này giúp HS làm quen với
việc sử dụng các loại biểu diễn dữ liệu khác nhau; giải quyết các bài toán thực tiễn
bằng cách lựa chọn và sử dụng các công cụ, phương pháp toán học phù hợp. Qua
đó, giúp học hiểu sâu và nắm chắc các kiến thức toán học. Ngoài ra, sử dụng

phương pháp MHH trong dạy học giúp HS phát triển các kỹ năng toán học, đồng
thời nó còn hỗ trợ GV tổ chức dạy học theo phương pháp phát hiện và GQVĐ có
hiệu quả hơn . Nguyễn Danh Nam (2013) cũng chỉ ra rằng, phương pháp MHH
nâng cao tinh thần hợp tác trong học tập, tăng cường tính độc lập và tự tin cho HS
thông qua trao đổi nhóm, sử dụng phần mềm dạy học hỗ trợ quá trình GQVĐ, MHH
và cải tiến mô hình cho phù hợp với thực tiễn. Qua đó, tăng cường tính liên môn
trong học tập các môn như địa lý, khoa học, lịch sử, môi trường.


-6-

Tác giả Nguyễn Ngọc Anh trong công trình “Ứng dụng phép tính vi phân
(phần đạo hàm) để giải các bài tập cực trị có nội dung liên môn và thực tế trong dạy
học Toán lớp 12 THPT ” đã trình bày các định hướng xây dựng hệ thống bài tập cực
trị có nội dung liên môn và thực tế kèm theo những hướng dẫn về phương pháp dạy
học hệ thống bài tập có gắn với các tình huống thực tiễn. Tuy nhiên, nghiên cứu này
cũng chưa đề cập đến việc thiết kế và vận dụng các mô hình toán học.
Tác giả Bùi Huy Ngọc trong nghiên cứu “Tăng cường khai thác nội dung
thực tế trong dạy học số học và đại số nhằm nâng cao năng lực vận dụng toán học
vào thực tiễn cho HS bậc THCS” đã xây dựng các biện pháp khai thác nội dung
thực tế trong dạy học nội dung Số học và Đại số ở trường THCS nhằm phát triển
năng lực vận dụng toán học trong thực tiễn cho HS. Nghiên cứu này cũng đã làm rõ
về khái niệm bài toán có nội dung thực tiễn, một số tình huống điển hình trong vận
dụng toán học vào thực tiễn và một số thành tố của cấu trúc năng lực vận dụng toán
học vào thực tiễn.
Nghiên cứu của tác giả Phan Anh “Góp phần phát triển năng lực toán học
hóa tình huống thực tiễn cho HS THPT qua dạy học Đại số và Giải tích” cũng đã
làm rõ việc xây dựng mô hình toán học hóa các tình huống thực tiễn trong quá trình
dạy học HS THPT qua phần Đại số và Giải tích. Tuy nhiên, các kết quả nghiên cứu
chỉ mới đưa ra quan niệm về năng lực toán học hóa tình huống của HS phổ thông,

xác định các thành tố của năng lực này để từ đó đề xuất hệ thống các biện pháp giúp
GV tăng cường vận dụng toán học vào trong thực tiễn.
Tác giả Phan Thị Tình trong nghiên cứu “Tăng cường vận dụng toán học vào
thực tiễn trong dạy học môn Xác suất thống kê và môn Quy hoạch tuyến tính cho
sinh viên ngành Toán Trường Đại học Sư phạm” đã xây dựng kết nối giữa một số
kiến thức và bài toán trong môn học với kiến thức toán phổ thông phục vụ cho dạy
học Toán ở trường phổ thông, trong đó có việc tăng cường một số yếu tố lịch sử
trong quá trình dạy học môn học và hướng cho sinh viên tiếp cận với các dạng câu


-7-

hỏi trong đề kiểm tra đánh giá năng lực toán học phổ thông của HS theo chương
trình PISA.
Tác giả Nguyễn Thị Tân An trong nghiên cứu của mình cũng đã đưa ra một
cách phân loại các tình huống toán học và xây dựng quá trình toán học hóa phù hợp
với chương trình. Nghiên cứu cung cấp các hướng dẫn cụ thể đối với mỗi bước của
quá trình toán học hóa giúp HS có thể định hướng khi đứng trước một tình huống
toán học hóa, GV có thể sử dụng để lên kế hoạch dạy học. Ngoài ra, nghiên cứu
cũng chỉ rõ mối liên hệ giữa các năng lực hiểu biết định lượng và quá trình toán học
hóa.
Nghiên cứu của tác giả Lê Thị Hoài Châu cũng đã làm rõ khái niệm mô hình
hóa toán học và vấn đề vận dụng MHH trong dạy học toán học bậc THPT ở Việt
Nam.
Tóm lại, chưa có nghiên cứu tổng thể nào về việc vận dụng MHH trong dạy
học môn Toán ở trường THCS của Việt Nam. Do vậy, nghiên cứu này góp phần
khẳng định tính hiệu quả của việc vận dụng MHH trong dạy học nhằm phát tienr
NL MHH, tăng cường mối liên hệ giữa toán học nhà trường với thực tiễn cuộc sống.
3. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của đề tài là đưa ra một số phương pháp MHH trong dạy học Đại

số lớp 8 nhằm phát triển năng lực MHH toán học cho HS; góp phần nâng cao chất
lượng, hiệu quả dạy học đại số lớp 8.
4. Đối tượng nghiên cứu
- Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy học đại số lớp 8 ở trường Trung học cơ
sở.
- Đối tượng nghiên cứu: Biện pháp phát triển năng lực MHH toán học trong dạy học
Đại số 8.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu


-8-

Phân tích mục tiêu giáo dục để thấy rõ nhu cầu của việc hình thành năng lực
của người học nói chung và năng lực mô hình hóa toán học nói riêng.
- Phân tích các tài liệu giáo dục để làm rõ bản chất của năng lực mô hình hóa Toán
học ở người học.
- Phân tích các tài liệu tâm lí, giáo dục để khẳng định việc phát triển năng lực mô
hình hóa toán học là hoàn toàn phù hợp với đối tượng HS THCS.
- Đề xuất các biện pháp sư phạm nhằm phát triển năng lực mô hình hóa Toán học ở
HS.
6. Phạm vi nghiên cứu
6.1.Giới hạn về nội dung nghiên cứu
Luận văn tập trung phân tích vai trò của MHH và nghiên cứu quy trình vận
dụng MHH trong dạy học phương trình ở Đại số lớp 8 . Luận văn cũng đề xuất xây
dựng 1 số biện pháp nhằm phát triển năng lực MHH trong dạy học Phương trình ở
Đại số 8.
6.2. Giới hạn về khách thể điều tra
Đề tài tiến hành khảo sát thực trạng của việc tăng cường liên hệ toán học với
thực tiễn trong quá trình dạy học toán, thực trạng của việc sử dụng MHH trong quá
trình dạy học đại số 8 ở một số trường THCS.

7. Giả thuyết khoa học
Dựa trên cơ sở lý luận và thực tiễn có thể xác định được thực trạng việc vận
dụng mô hình hóa Toán học thông qua dạy học đại số lớp 8 THCS. Trên cơ sở đó,
nếu xây dựng và thực hiện được một số biện pháp sư phạm thích hợp trong dạy học
đại số 8 thì có thể bồi dưỡng năng lực này cho người học, góp phần vào việc nâng
cao chất lượng dạy học đại số 8.

8. Phương pháp luận và phương pháp nghiên cứu


-9-

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Phân tích, tổng hợp để tổng quan các công
trình nghiên cứu trong và ngoài nước về các vấn đề thuộc phạm vi nghiên cứu của
đề tài; xây dựng cơ sở lí luận cho mô hình hóa toán học thông qua dạy học môn
Toán THCS.
- Phương pháp điều tra: Điều tra hoạt động dạy của giáo viên, hoạt động học
tập của học sinh bằng phiếu hỏi và phỏng vấn nhằm đánh giá thực trạng việc vận
dụng mô hình hóa toán học vào bài học.
- Phương pháp chuyên gia: Xin ý kiến của các chuyên gia về phạm vi nghiên
cứu của đề tài.
- Thực nghiệm sư phạm: Thực nghiệm sư phạm thông qua quan sát dự giờ, xây
dựng và thử nghiệm được tiến hành để kiểm nghiệm giả thuyết và tính khả thi, hiệu
quả của một số biện pháp đã đề xuất.


-10-

CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Khái niệm mô hình hóa

1.1.1. Mô hình và mô hình hóa.
Trước tiên ta cần phân biệt được hai từ “mô hình” và “mô hình hóa”. Mô
hình có thể được hiểu là đối tượng vật lý (ví dụ mô hình hình không gian), mô hình
trong trí não sử dụng trong nhiều ngữ cảnh học tập khác nhau hoặc mô hình tổng
quát (như hệ tiên đề của hình học Ơclít). Mô hình được mô tả như một vật dùng
thay thế mà qua đó ta có thể thấy được các đặc điểm đặc trưng của vật thể thực tế .
Thông qua mô hình, ta có thể thao tác và khám phá các thuộc tính của đối tượng mà
không cần đến vật thật. Tuy nhiên điều này còn phụ thuộc vào ý đồ của người thiết
kế mô hình và bối cảnh áp dụng của mô hình đó . Mô hình ở đây còn có thể hiểu là
các hình vẽ, bảng biểu, hàm số, đồ thị, phương trình, sơ đồ, biểu đồ, biểu tượng hay
thậm chí cả các mô hình ảo trên máy vi tính . Mô hình toán học là một mô hình trừu
tượng sử dụng ngôn ngữ toán học để mô tả về một hệ thống nào đó. Nguyễn Danh
Nam liệt kê 5 loại mô hình sau đây [20]:
- Mô hình số học là mô hình được biểu diễn bởi bảng phép toán, bộ số có thứ tự,
véc-tơ và tương tự;
- Mô hình đại số - giải tích là mô hình được biểu diễn bởi một số loại phương trình
hoặc bất phương trình, hệ phương trình hoặc hệ bất phương trình với ẩn, tập hợp,
hàm số, véc-tơ, ma trận và tương tự.
- Đồ thị là mô hình được biểu diễn bởi đồ thị của một hàm số nào đó;
- Mô hình hình học được biểu diễn bởi các hình hình học;
- Mô hình hỗn hợp bao gồm các loại mô hình nêu trên.
Như vậy, mô hình là một mẫu, một đại diện, một minh họa được thiết kế để
mô tả cấu trúc, cách vận hành của một sự vật, hiện tượng, một hệ thống hay một
khái niệm. Về mặt trực giác, người ta thường nghĩ đến mô hình theo ý nghĩa vật lý .
Mô hình vật lý là một bản sao, thường khác về kích cỡ, nhưng có cùng nhiều tính


-11-

chất với đối tượng gốc mà mô hình đó biểu diễn. Ví dụ mô hình thuyền buồm cũng

có thể nổi và được đẩy đi bởi gió như thuyền thật.
MHH là quá trình tạo ra các mô hình để giải quyết các vấn đề toán học. Quá
trình này tuân theo một quy trình sử dụng các quy tắc đặc biệt để thành lập giả
thuyết hay cấu trúc toán học như: công thức, thuật toán, phương trình, bảng biểu,
biểu tượng, đồ thị biểu diễn,… để từ đó học sinh có một cái nhìn rõ ràng hơn về các
vấn đề tồn tại trong thực tiễn [20].
Quy trình mô hình hóa được Swetz & Hartzler (1991) mô tả gồm bốn giai
đoạn. Giai đoạn thứ nhất là quan sát hiện tượng, phác thảo tình huống và nhận ra
các yếu tố quan trọng (như biến số, tham số) có tác động đến vấn đề. Giai đoạn thứ
hai là lập giả thuyết về mối quan hệ giữa các yếu tố dưới góc nhìn của toán học. Từ
đó phác họa mô hình toán học tương ứng. Giai đoạn thứ ba là áp dụng các phương
pháp, công cụ toán học phù hợp để mô hình hóa vấn đề và phân tích mô hình. Giai
đoạn thứ tư là thông báo kết quả, đối chiếu mô hình với thực tiễn và kết luận. Quá
trình giải quyết vấn đề và mô hình hóa có những đặc điểm tương tự nhau, rèn luyện
cho học sinh những kỹ năng toán học cần thiết. Do đó, chúng hỗ trợ và bổ sung cho
nhau. Mô hình hóa có thể xem là một quy trình khép kín. Nó được nảy sinh từ các
tình huống thực tiễn và kết quả của nó được dùng để giải thích và cải thiện các vấn
đề trong thực tiễn.
Có rất nhiều định nghĩa và mô tả về khái niệm MHH toán học được chia sẻ
trong lĩnh vực giáo dục toán học tùy thuộc vào quan điểm lý thuyết mà mỗi tác giả
lựa chọn. Sau đây là định nghĩa của Edwards và Hamson (2001): MHH toán học là
quá trình chuyển đổi một vấn đề thực tế sang một vấn đề toán học bằng cách thiết
lập và giải quyết các mô hình toán học, thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh
thực tế, cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không thể chấp nhận . Một cách cụ thể
hơn, MHH toán học là toàn bộ quá trình chuyển đổi vấn đề thực tế sang vấn đề toán
và ngược lại cùng với mọi thứ liên quan đến quá trình đó, từ bước xây dựng lại tình
huống thực tế, quyết định một mô hình toán phù hợp, làm việc trong môi trường
toán, giải thích đánh giá kết quả liên quan đến tình huống thực tế và đôi khi cần

-12-

phải điều chỉnh các mô hình, lặp lại quá trình nhiều lần cho đến khi có được một kết
quả hợp lý. Như vậy, MHH toán học chính là mô tả các hiện tượng thực tiễn, trả lời
các câu hỏi về thế giới xung quanh, giải thích các hiện tượng thực tiễn, kiểm tra các
ý tưởng, dự đoán về thế giới xung quanh. Thế giới xung quanh được đề cập liên
quan đến kĩ thuật, vật lý, sinh học, sinh thái, hóa học, kinh tế, thể thao,…
Có thể nói MHH toán học được đặc trưng bởi môi trường mà trong đó HS
được yêu cầu khám phá tri thức thông qua môn toán hoặc các tình huống thực tế có
tính chất liên môn khác. Vì vậy, tích hợp các tình huống thực tế hàng ngày vào các
tình huống dạy học trên lớp học đóng vai trò rất quan trọng, với mục đích cho HS
thấy tính ứng dụng thực tiễn của toán học. Do đó, với tri thức toán học, GV có thể
sử dụng mô hình để giải thích và giúp HS hiểu về các hiện tượng trong thực tế cuộc
sống. Các mô hình toán học cụ thể như đồ thị, bảng biểu, phương trình, hệ phương
trình,… đều biểu thị các hiện tượng trong tự nhiên và xã hội. Mason & Davis
(1991) cho rằng mô hình được mô tả như một vật dùng thay thế mà qua đó ta có thể
thấy được các đặc điểm đặc trưng của vật thể thực tế. Thông qua mô hình, ta có thể
thao tác và khám phá các thuộc tính của đối tượng mà không cần đến vật thật. Điều
này còn phụ thuộc vào ý đồ của người thiết kế mô hình và bối cảnh áp dụng của mô
hình đó .
1.1.2. Toán học hóa.
Freudenthal coi toán học hóa là một hoạt động toán học. Ông giải thích rằng
nguồn gốc của động từ “toán học hóa” là sự tương tự như các từ tiên đề hóa, công
thức hóa, lược đồ hóa. Toán học hóa liên quan đến việc tổng quát hóa, công thức
hóa. Công thức hóa bao gồm MHH, biểu tượng hóa, lược đồ hóa và xác định, tổng
quát hóa để hiểu vấn đề. De Lange định nghĩa toán học hóa là “một hoạt động có tổ
chức và cấu trúc, ở đó kiến thức và kĩ năng được sử dụng để khám phá các mối
quan hệ, cấu trúc, quy luật chưa biết”. Khái niệm toán học hóa theo chiều ngang và
chiều dọc được sử dụng để giải thích sự khác nhau giữa biến một “vấn đề sang bài
toán” và “quá trình giải quyết trong nội bộ toán học” . Theo De Lange (1987) thì

toán học hóa theo chiều ngang liên quan đến việc chuyển vấn đề thực tiễn thành vấn


-13-

đề toán học còn toán học hóa theo chiều dọc là quá trình giải toán và gọt dũa lại bài
toán thực tiễn đã được chuyển thành bài toán “thuần túy”. Theo Freudenthal (1991)
thì toán học hóa theo chiều ngang là chuyển từ vấn đề thực tiễn đến bài toán thuần
túy, còn toán học hóa theo chiều dọc là giải bài toán trong nội bộ toán học. Nói cách
khác, nó là quá trình mô tả một vấn đề thực tế theo ngôn ngữ toán học để có thể
GQVĐ đó với công cụ toán. Trong trường hợp này, toán học hóa là hoạt động
chuyển đổi từ thế giới thực vào thế giới toán học. De Lange (1987) liệt kê các hoạt
động trong quá trình toán học hóa theo chiều ngang như: xác định kiến thức toán
học cụ thể trong ngữ cảnh chung; lược đồ hóa; lập công thức và phác thảo hình ảnh
về vấn đề theo nhiều cách khác nhau; khám phá các mối quan hệ; khám phá các quy
luật; nhận ra các khía cạnh tương tự trong ngữ cảnh khác nhau; chuyển vấn đề thực
tiễn thành bài toán; chuyển vấn đề thực tiễn thành mô hình toán học đã biết. Ông
cũng đề cập đến một số hoạt động chứa những thành phần của toán học hóa theo
chiều dọc như: biểu diễn mối quan hệ theo công thức; cung cấp các quy luật; gọt
dũa và điều chỉnh mô hình; sử dụng các mô hình khác nhau; kết nối và tích hợp các
mô hình; công thức hóa khái niệm toán học mới; tổng quát hóa khái quát hóa. Toán
học theo chiều dọc là quá trình xảy ra trong thế giới toán học. Thông qua quá trình
này, HS đạt được một trình độ toán học cao hơn. Như vậy, theo quan điểm này, quá
trình toán học hóa xảy ra không chỉ khi giải quyết một vấn đề thực tế mà ngay cả
khi giải quyết một vấn đề toán học, nhằm khám phá các cấu trúc toán học. Các tình
huống thực tế chỉ đóng vai trò là môi trường tạo động cơ hoặc minh họa cho sự xuất
hiện các kiến thức toán.
Freudenthal quan niệm rằng “toán học có quan hệ mật thiết với thực tế” và
“toán học là kết quả hoạt động của con người”. Vì vậy, học toán không phải là tiếp
nhận kiến thức có sẵn mà học toán là quá trình thiết lập và GQVĐ từ thực tế hay

trong nội tại toán học để xây dựng kiến thức toán và ông gọi quá trình đó là toán
học hóa. Sau đó, Treffers đã trình bày khái niệm này rõ ràng hơn bằng cách phân
biệt hai hình thức khác nhau của toán học hóa trong bối cảnh giáo dục.


-14-

MHH nhấn mạnh đến các quá trình chuyển đổi: xuất phát từ tình huống thực
tế, tìm kiếm kiến thức toán để giải quyết, sau đó quay trở lại thực tế xem xét tính
hữu ích của mô hình toán đã sử dụng để mô tả và phân tích tình huống thực. Do
vậy, ta có thể coi toán học hóa là một phần của quá trình MHH: Trong quá trình
MHH, thực tế và toán học thường được xem như hai thế giới riêng biệt và người
MHH sẽ thực hiện một số bước biến đổi giữa hai môi trường nàu cũng như trong
mỗi môi trường để giải quyết tình huống đặt ra[19]. Theo Blum và Leiß (2006),
Kaiser (2006), Niss (2012), bước biến đổi từ mô hình thực tế sang mô hình toán học
trong quá trình MHH được gọi là toán học hóa. Khi HS bước vào quá trình toán học
hóa, tình huống thực tế đã được đặc biệt hóa, lý tưởng hóa, lúc này HS cần chuyển
đổi các đối tượng và quan hệ ngoài toán thành các đối tượng và quan hệ toán học,
chuyển đổi câu hỏi đặt ra trong tình huống thực tế sang câu hỏi toán học, mục tiêu
là biểu diễn mô hình thực tế bằng ngôn ngữ toán. Nói cách khác, toán học hóa theo
quan điểm này là một hoạt động hay quá trình gắn liền với quá trình MHH nhằm
biểu diễn hoặc giải thích mô hình thực tế bằng các phương tiện toán học.
1.1.3. Mô hình hóa ở cấp học trung học cơ sở.
Đối với cấp trung học, HS tiếp cận với khối lượng tri thức lớn hơn, các chủ
đề rộng hơn. Bài tập toán thường được chia thành ba loại: sử dụng mối quan hệ giữa
các bộ môn toán học, giải quyết các vấn đề thực tiễn dưới dạng các vấn đề toán học
thuần túy và giải quyết các vấn đề thực tiễn phải sử dụng các kiến thức toán học.
HS cần phải linh hoạt trong việc giải hai dạng bài toán đầu tiên, đó là bài toán ứng
dụng toán học. Từ đó chuẩn bị cho việc tiếp cận dạng bài toán thứ 3 là giải toán
thực tế thông qua mô phỏng và MHH [13].

Khi GV cố gắng đề cập ứng dụng của toán học trong các ngành khác như kĩ
sư, y khoa, nông nghiệp, ngân hàng,… thì có nhiều HS không quan tâm đến những
nghề nghiệp này. Nhiều trong số em muốn trở thành lập trình viên, cầu thủ bóng đá,
… Ngoài ra nhiều nghề nghiệp khác cũng không cần nhiều đến toán như nghệ sĩ, ca
sĩ, tài xế taxi, nhà nghiên cứu lịch sử, GV ngôn ngữ,… Do đó, có cần phải dạy toán
cho tất cả HS? Nghiên cứu cho thấy học toán còn giúp HS phát triển tư duy và cách


-15-

GQVĐ. Ngoài ra, toán học có ứng dụng ngoài công việc hàng ngày như: động đất,
xổ số, chất lượng cuộc sống, phân tích thống kê,… Một số vấn đề MHH cho HS bậc
phổ thông như: Vấn đề đặt vị trí xây dựng bệnh viện ở một thành phố nhỏ, không có
giao thông; vấn đề tìm nghiệm của phương trình bậc hai; vấn đề tối ưu hóa quãng
đường giữa nhà của HS và trường học,...
Để vận dụng kiến thức toán học vào việc giải quyết những tình huống của
thực tế , người ta phải toán học hóa tình huống đó, tức là xây dựng một mô
hình toán học thích hợp cho phép tìm câu trả lời cho tình huống. Quá trình này
gọi là quá trình mô hình hóa toán học (mà dưới đây, để ngắn gọn sẽ gọi là mô
hình hóa).
Quá trình mô hình hóa toán học được mô tả qua 4 bước [14] :
Bước 1: Xây dựng mô hình trung gian của vấn đề, tức là xác định các yếu
tố có ý nghĩa quan trọng nhất trong hệ thống và xác lập các qui luật mà chúng
ta phải tuân theo.
Bước 2: Xây dựng mô hình toán học cho vấn đề đang xét, tức là diễn tả
lại dưới dạng ngôn ngữ toán học cho mô hình trung gian. Lưu ý là ứng với vấn
đề đang xem xét có thể có nhiều mô hình toán học khác nhau, tùy theo chỗ các
yếu tố nào của hệ thống và mối liên hệ nào giữa chúng được xem là quan
trọng.
Bước 3: Sử dụng các công cụ toán học để khảo sát và giải quyết bài toán

hình thành ở bước hai. Căn cứ vào mô hình đã xây dựng cần phải chọn hoặc
xây dựng phương pháp giải cho phù hợp.
Bước 4: Phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được trong bước ba. Ở
đây người ta phải xác định mức độ phù hợp của mô hình và kết quả tính toán
với vấn đề thực tế hoặc áp dụng phương pháp phân tích chuyên gia.
Ở bước này có thể xảy ra một trong hai khả năng :
Khả năng 1 : Mô hình và các kết quả tính toán phù hợp với thực tế.
Khi đó chỉ cần tổng kết lại cách đặt vấn đề, mô hình toán học đã xây dựng, các
thuật toán đã sử dụng, kết quả thu được.