Cơ học kết cấu tập 2 hệ siêu tĩnh

G S. TS. L Ê U T H Ọ T R ÌN H

C ơ HỌC
KÉT CẤU
T Ậ P II

Hê siêu tĩnh
(Tái bản lần thứ 3)

N H À X U Á T BẢN K H O A H Ọ C VÀ K Ỷ T H U Ậ T
H À N Ộ I - 2014



5

Phương pháp lực và
cách tính hệ phẳng siêu tĩnh

5.1. Khái niệm về hệ siêu tĩnh - Bậc siêu tĩnh
A . Đ in h n g h ĩa
T rons tập I đã eiới thiệu cách tính hệ tĩnh định tức là nhữna hệ trong đ(
chi cẩn dune các phươna trình càn bàns tĩnh học c ũ n s đu để xác địnl
phan lực và nội lực. Trên thực tế. thườns 2ặp nhữna hệ trons đó nếu ch
sư dụ n a các phươns trình càn bans tĩnh học khỏns thịi thì chưa đủ để xá<
định các phàn lực và nội lực. Đẽ tính các hệ đó cần bổ sung các phươn!
trình biểu thị điẻu kiện biến dạna. Như vậv:
H ệ được gọi là siêu ffnh n ếu trong toàn hệ hoặc trong m ộ t vài phẩi
cùa h ệ ta kh õ n g th ể ch ì dùng các phương trình cân bàng tĩnh học đt

xác định tất cả cá c phản lực và nội lực.
Hệ siêu tĩnh là hệ bất biến hình và có liên kết thừa.
Danh từ liên kết thừa d ù n s ờ đày chì là quy ước. Cần hiểu liên kết thừa 1;
nhữns! liên kết k h ị n2 cần thiết cho sự cáu tạo hình học của hệ nhưna vẫi
cần cho sự làm việc của cị n s trình.

D

Hình 5.1

H

Hình 5.2

V í dụ. dầm hai nhịp trẽn hinh 5 .la có bịn liên kết loại một nhưns ta ch
có ba phươn2 trình cân bans tĩnh học nên chưa đủ đế xác định bốn phả


lực trong bốn liên kết, vậy dầm đó là siêu tĩnh. Dầm này có một liên ket
thừa là một trong ba liên kết thanh thảng đứng. Nếu loại một liên kêt thưa
như trẽn các hình 5.1b, c. d thì dầm vẫn bất biến hinh nhưng tính chat lam
việc sẽ khác đi.
Đối với hệ cho trẽn hình 5.2 ta thấy: phần đầu thùa AS là tĩnh dinh V I co
thể chi dùng các phương trình cân bằng tĩnh học cũng đù đế xác đinh nọi
lực trong đó; phần BCD là siêu tĩnh vì với ba phương trình cân băng tĩnh
học chưa đù để xấc định bốn phản lực B, c, D và H. do đó cũng khóng
xác định được nội lực trona phần nàv. Vậy, nếu xét tồn bộ thì hệ này là
siêu tĩnh.
B. T ín h ch ấ t
Đối chiếu với hệ tĩnh định, hệ siêu tĩnh có những tính chất sau:

1) Chuyển vị, biến dạng và nội lực trong hệ siêu tĩnh nói chung nhỏ han
trong hệ tĩnh định có cùng kích thưởc và tải trọng.
Bảng 5.1 cung cấp kết quả tính độ võng ở giữa nhịp và mơmen uốn lớn
nhất trona dầm tĩnh định một nhịp V Ớ I dầm siêu tĩnh một nhịp có hai
đầu ngàm.
Bảng 5.1
1
Dẩm

jL ijjU -H iiiJ ,

ỉ)m> ~~r
,
1
Độ võng ờ giữa nhịp

' m frr
:
5 qí4

Giá tri mịmen uốn
lớn nhất

tai giữa nhip

ql2
M- —
8

(Ị

Er

—

Ị)

1 ql4
ymax = 384 El
. . .
..
tại ngàm M

ql2
=~

Qua nhữno sỏ liệu trẽn ta thấy chuyển vị và nội lực trong dầm siêu tĩnh
nhò hơn trona dầm tĩnh định khá nhiều. Bời vậy dùna hệ siêu tĩnh sẽ tiết
kiệm được vặt liệu hơn so với hệ tĩnh định tươna ứna. Đó là ưu điểm
chính của hệ siêu tĩnh.
2) Trong hệ siêu tĩnh phát sinh các nội lực do sự thay đổi nhiệt độ sư
chuyển vị các gối tựa. sự ch ế tạo và lắp rắp không chinh xác gãy ra
4


Đ ẽ thảv rõ tính chảx nàv. ta x á m ột vài ví dụ:
• So sánh dầm tĩnh định mộc nhíp (hình 5.3a) với dầm siêu tm h mộf
nhịp (hìn h 5.3b) c ù n s chịu sự thav đổi nhiệt độ khôDs đều. ở trẽn là ĩ!
ở dưới là f ' với I'> t] ta thảv: đuới tác d u n s cúa nhiệt độ. d im CC
khuynh huớna bị ưõn co n s, nhưns tron 2 dám tĩnh định các liên kẽì

khịne nễn cán bién dạn£ của dầm nẽn khò n s phát sinh phản lực V2
Dội lục. n su ạ c lại tro n s d im siêu ũnh. các liên kết (n s à m ) cán trc
khống cho phép d im biến d ạ n s tự do. do đó phát sinh phản lục và nội
lục.
ill
Ị
d)
" X
bế

bi
ằ
1

t.
T-*'

L_\
r i

Kinh 5.3

X
Hình 5.4

• Khi liên kết có chuvển \ ị cưỡns bức (bị lún I dầm tĩnh đinh cho trẽn
hình 5.4a bị n sh iẽn e di. các liên kếi k h õ n s n sã n căn và cho phép
chuyển VI tu do nên khôns phái sinh nội lực. N su ọ c lại. khi 2ỐÌ p*háj
của dầm siêu tĩnh trẽn hình 5.4b bị lún.£ÕÌtựa eiữa k h ỏ n s cho phép
dám chuyển vị tự do như trườn £ hợp trên. dầm bị uốn cong theo đườne

đũr nét. do đó ư o n s dám sẽ phát sinh nội lục.
• Khi chẽ tạo. ã á sử chiều dài của thanh
CD trcms bệ siêu tĩnh trẽn hình 5-5 bị
nsãn so vói chiều dài thiẽt kẽ m ột đoạn
hãng _1 Sau khi lãp ráp. ihanh CD bị
dãn ra đ ó n s thời d im AB cữns bị ũn
COD2. do đ ó tro n s bẽ tồn tai các nội luc
. _
'
han đàu.

c ĩ* ”
A

Q

u
— d L

.......
Hình 5.5

Khi ửuẽi kề kẽt cáu siẽu tĩnh ta cán đặc biệt lưu V đến nhữn£ nsuvẽn
nhản gãy ra nội lực kể tiên. Đ ơi khi có thể sử dựns tính chát nàv để tạc
sẩn trong bẽ những nội lục và biên d ạn s ban đầu nsuợ c chiều vói nội
lực và biên dạng do tải trọ n s 2ảv ra. Biện pháp nàv làm cho sạ phin
phõì nội lực trong các cảu kiện của c õ n s trình đưọc hợp K hơn và do đó
tiẻi kiệm đưcc vật liệu.

3) Nội lực trong hệ siêu tĩnh phụ thuộc vật liệu và kich thườc của tiêt chen
trong các thanh.
Như sau này sẽ thấy, đế tính hệ siêu tĩnh ta phái dựa vào điều kiện bien
dạng mà biến dạng lại phụ thuộc các độ cứng EI, EA... nên nội lực tronS
hệ siêu tĩnh cũng phụ thuộc El, EA của các thanh.
Tính các hệ siêu tĩnh thường phức tạp hơn tính các hệ tĩnh định. Có nhiêu
phương pháp tính hệ siêu tĩnh. Hai phương pháp cơ bán là:
Hí Phương pháp lực (được đề cập trong chương này).
❖ Phương plĩáp chuyển vị (được đề cập trong chương 6 ).
c . B ậ c s iê u tĩn h
Trong phạm vi những giá thiết được chấp nhận trong cơ học kêt cấu, ta có
thế định nghĩa bậc siêu tĩnh như sau:
Bậc siêu tĩnh của hệ siêu tĩnh bằng s ố liên kết tương đương loại một
ngoài s ố liên kết cần thiết đ ể cho hệ bất biến hình.
Ta có thể dùng các cơng thức (1.2), (1.3), (1,4), (1.5) liên hệ giữa số
lượng các miếng cứng và số lượng các liên kết đã nghiên cứu trong
chương 1 để suy ra bậc siêu tĩnh của hệ. Ví dụ, từ (1.3) ta suy ra cõng
thức xác định bậc siêu tĩnh n cúa hệ nối với trái đất là

n = T + 2K + 3H + c -3D ,
trong đó D - số các miếng cứng tĩnh định (miếng cứng có chu vi hớ).
Ngồi ra cịn có thể thiết lập công thức đơn giản hơn để xác định bậc siêu
tinh.
aị
h)
Trước khi thiết lập ta khảo
sát một ví dụ. Xét một
khung có chu vi hớ (hình
5.6a). Khung này là tĩnh
định, vì ta có thê chi sứ

dụng các phương trình cân
bằng tĩnh học đế xác định
nội lực tại một tiết diện bất
kỳ sau khi thực hiện mặt cắt
như trên hình vẽ.

c)

d)

P,

Hình 5 0

Nếu đặt thèm vào chu vi hớ đó một liên kết loại một (thanh), hệ sẽ thừa


mội liên kẽt (hình 5 .6bl. V ặv hệ này có bậc siêu tĩnh hãng một.
Nếu đặt thêm vào chu vi hỡ đó mội liên kết loại haĩ (khớp) hệ sẽ thừa hai
liên kẽt tươns đươne loại một (hình 5.6c). \ ậv hệ nàv có bậc siêu ũnh
hãne hai.
Nếu đặt thèm vào chu vi hỡ đó m ột m õĩ hàn (liên kết loại ba) hệ sẽ thừa
ha liên kẽt tươns đươne loại m ột (hình 5.6d). V ậy hệ này có bậc siêu tĩnh
bans ba.
Qua ví dụ trên ta có kết luận sau:
Mơt chu w kin có bâc siêu ữrth bàng ba. n ếu thêm vào chu vi kin đó
m ót khờp đơn giàn thì bậc siêu ữnh giảm xuống m ộ t đon vị.
Đe thiẽt lập cò n a thức xác định bậc siêu tĩnh, ta giả thiết tron2 hệ siêu
lĩnh có l chu vi kin và Ả’ khớp đon aiản.
Theo nhận xét trẽn, cứ mỗi chu vi kin có bậc siêu tĩnh hãn2 ba nên hệ có

V chu vi kín sẽ có bậc siêu tĩnh là -•'l\ Nêu thêm m ột khớp đơn aiản thì
bậc siêu tĩnh ãm xna một đơn vị. do đó K khớp đơn aiản làm bậc siêu
tĩnh của hệ eiàm K đơn vị. V ậv bậc siêu tĩnh n của hệ được xác định iheo
cõna thức:
n = S V -K .

(5.1)

Vỉ du 5.1. Tìm bặc siêu tĩnh của hệ trên hlnh 5.7.
Hệ này có v = 4 và K= 3. Do đó /J = 3.4- 3 - 9.

Vi du 5 J . Pưn bậc siêu tĩnh của hệ trên hình 5.8.
Hệ này có ba chu vi kin. Đẽ tinh sô khớp K ta cán chú Ý: các khớp A. c
là khớp đen giản nên mỗi khớp tinh bàng một đơn vị: khớp B là khớp
phức u p nên phái tính bẳns độ phức lạp của nó và bane 4 —1—
tống sị khỡp đơn giản là K - 5. Bặc siêu tĩnh n = 3.1 - > = 4

Yậv


Chú thích: Khi sử dụng cơng thức (5.1) cán quan niệm trái đát lá miếng cứng hở. Ví dụ,
khi xét hệ trên hình 5.9 thì số chu vi kín trong trường hợp náy bằng 3 chứ không phai
bằng 4 vi phải quan niệm trái đất là miếng cứng hở như trên hình vẽ. Bâc siêu tinh cua
hệ này bằng n = 3.3 -0=9.

5.2. Nội dung phương pháp lực và cách tính hẹ sieu
tĩnh chịu các nguyên nhân: tải trọng bất động, thay
đổi nhiệt độ, câu tạo chiểu dài khơng chính xac,
chuyển vị gối tựa
A. N ộ i d u n g p h ư ơ n g p h á p lực

Để tính hệ siêu tĩnh, ta khơng tính trực tiếp trẽn hệ đó mà tính trên một hệ
thay thế khác cho phép dễ dàng xác định nội lực. Hệ thay thế này suy ra
từ hệ siêu tĩnh đã cho bằng cách loại bớt các liên kết thừa gọi là hệ cơ
bản. Tất nhiên, để bảo đảm cho hệ cơ bản làm việc giống hệ siêu tĩnh đã
cho ta cần phải bổ sung thêm các điều kiện phụ. Đó là nội dung tóm tắt
của phương pháp lực.
Hệ cơ bản của phương pháp lực phải là hệ bất biến hình suy ra từ hệ
siêu tĩnh đã cho bằng cách loại bỏ tất cả hay m ột s ố liên kết thừa.
Nếu loại bỏ tất cả các liên kết thừa thì hệ cơ bản là tĩnh định còn nếu chỉ
loại bỏ một số liên kết thừa thì hệ cơ bản là siêu tĩnh có bậc thấp hơn.
Điều quan trọng là hệ cơ bản phải bất biến hình và cho phép ta xác định
được nội lực một cách dễ dàng. Bởi vậy trong đa sô trường hợp, ta thường
dùng hệ cơ bản tĩnh định.
a)
Đối với hệ siêu tĩnh trên
hình 5.1 Oa, ta có thể chọn
hệ cơ bản theo nhiều cách
~~^77T
khác nhau. Trên hình
B
/W
/77} *7T
/77777T
5.10b, c, d giới thiệu ba
cách chọn hệ cơ bản tĩnh
định cho hệ siêu tĩnh ở c)
d)
hình 5.1 Oa.

\p

J

Để thiết lập các điều kiện
phụ ta cần so sánh sự
khác nhau giữa hệ siêu
tĩnh đã cho (hình 5.1 Oa)
với hệ cơ bản (giả sử
8

/777777 6
Hình 5.10


dìina hệ cơ bản 5.10b). Ta nhận thấy:
Tại các vị tri loại bỏ liên kết (A và C):
_ trong hệ siêu tĩnh nói chung có các phản lực cịn trong hệ cơ bản
khơng có;
- t r o n g hệ siêu tĩnh, chuyển vị th eo phương CŨ3 các liên kết bị loại bỏ
đều b ằn g không; trong hệ cơ bản. các chuyển vị n ày có th ể tồn tại.

Như vậy. m uốn cho hệ cơ bản làm việc aiị n s hệ đã cho. ta cần:
• Trong h ệ cơ bản. đặt các lực X i,
X 2 .....X n tương ứng với vị trí và
phương của các liên k ế t bị loại bỏ.
Nhữna lực này chưa biết và siữ vai
trị ẩn sơ (hình 5.11). V ì các ẩn số là
lực (lực tập tru n s hoặc mòm en tập
trnna) nên phươna pháp này m ans
tên là phươììo pháp lực.

ịp

/
x 2

A

n

X 3

c
s
y
/^5 77?

X-

Hình 5.11

Thiết lập điều kiện: chuyển vị trong h ệ cơ bản tương ứng vởi vị trí và
phương của các liên kết bị loại bỏ bàng khơng. N ói khác đi. chuyển vị
ư o n s hệ cơ bán tươns ÚT12 với v ị ư í v à phươna của ẩn sò X j. X ; ..... X:

do các lực X /. X j.....Xn và do các nauỵên nhân bẽn nsoài (lải trọna p.
sự thav đổi nhiệt độ r. sự ch ế tạo chiều dài các thanh khịna chính xác
J . sự chuyển vị 2ối tựa ỉ ) sãv ra phải hãn 2 khôn2 .
Nếu hệ có bậc siêu tĩnh là n -và hệ cơ bản tĩnh định thì ta có n điều
kiện:

A \,'V

V-

..Vi. -V .p .i.± .Z i~ 0 vớ> k = l , 2 .....n.

(5.2)

Các điều kiện (5.2) là các phương trình cơ bán cùa phương pháp lực. Hệ
phương trình này nshiệm đúne với tát cả các hệ tuân theo cũ n s như
khỏna tuàn theo nauvèn 1Ý cộna tác dụns.
N ới hệ có bậc siêu tĩnh là n ta ứúết lập được n phươna ưình cơ ban đu đè
xác định n ẩn số Xj. X: .....Ai,. Sau khi tìm được các lực Xj. Aj......X,, ta xem
chún2 như các n so ại lực tác dựnọ trên hệ cơ bản (hình 5.11). Lúc này các
lực tác d ụ n s trẽn hệ cơ bản đều đã biết, ta có thể dễ dàna tìm được nội lực
và biến dạna tro n s hệ cơ bàn. đó chính là nội lực và biên d ạn s trons hệ
siêu tĩnh đã cho bời vì các lực Xi đã thóa m ãn hệ phươns ư ình cơ b in tức

9


là đã thỏa man điều kiện làm việc như nhau giữa hệ cơ bán với hệ đa cho.

Chú ý:
1) Khi chọn hệ cơ bản cho hệ siêu tĩnh chịu các chuyển vị cưỡng bức z
tại các gối tựa ta cần chú ý:
•

Đối với liên kết thừa khơng có chuyển vị cưỡng bức: có thể loại bo va
Đối với liên kết thừa có chuyển v| cưỡng bức ta quy định: chỉ đựợc

phép cắt và thay thế bằng cặp lực Xk ngược chiều nhau mà khong
được phép loại bỏ.

Thật vậy, giá sứ xét
b)
cì
A
hệ siêu tĩnh cho trẽn
'ỹj$*7Ta I
hình 5.12a nếu chọn
hệ cơ bán bằng cách
7T
loại bỏ liên kết A có
À77f77T
/77TƯT
chuyển vị cưỡng bức /77T77T
(hình 5.12b) thì điều
Hình 5.12
kiện biến dạng theo
phương của ẩn số X/ sẽ khác không.

a

5 tx ,

X,

Lúc này chuyển vị tương ứng với vị trí và phương của X/ do các ấn số X
và do chuyển vị cưỡng bức của các gối tựa gây ra sẽ có giá trị bằng
chuyển vị cưỡng bức tương ứng

A XINếu chọn hệ cơ bản bằng cách cắt liên kết có chuyển vị thì điều kiện
biến dạng vẫn bằng khơng (hình 5.12c) bởi vì lúc này chuyển vị tương
ứng với cạp ẩn số Xị là chuyển vị tương đối, tuy gối A có chuvển vị
cưỡng bức nhung chuyển vị tương đối giữa hai điểm cắt m và n vẫn bằng
khống

Do đó, để thống nhất điều kiện biến dạng luôn luôn bằng không trong
tất cả mọi trường hợp, ta quy định chỉ được phép cắt các liên kết tựa co
chuyển vị cưỡng bức.
2) Khi chọn hệ cơ bản cho hệ dàn siêu tĩnh, hệ siêu tĩnh có liên kết đàn
hổi hoặc các thanh hai đầu khớp với độ cứng hữu hạn (EA * x ) và tải
trọng không tác dụng trẽn thanh, để thống nhất điều kiện biến dạng
luôn luôn bằng không trong mọi trường hợp, ta quy định chỉ được phép

10


cắt các liên kết tựa có chuyển vị cưỡng bức, c á c liên kết đàn hồi hoặc
c ác th an h hai đầu khớp và thay th ế bằng các cặp lực X k ngược chiều
nhau m à

kh õ n g được p hép loại bỏ.
c)

IP

'n
Hình 5.13
Thật vậy, với hệ trẽn hình 5.13a: nếu chọn hệ cơ bàn bằng cách loại bỏ

thanh căng A B (hình 5.13b) thì phương trình cơ bàn biếu thị chuyến vị
tương đối giữa A và B theo phương AB, chuyên vị này khác không vì
tron2 thanh A B có biên dan2 dọc trục: nếu chọn hẹ cơ bán bàns cách cắt
lhanh AB (hình 5.13c) thì chuyển vị tương đổi giữa hai điếm m và n
bằn° khơng và phưcms trình cơ bàn ln bằn2 khỏng.
Cũng lập luận tươns tự. với hệ trẽn
hình 5.14a: nếu chọn hệ cơ bản
bẳng cách loại bò các liên kết đàn
hổi tại m và /í (hình 5.14b) thì
phương trình cơ bản biểu thị
chuyên vị tương ứn2 tại m và lì sẽ
khác khổng vì liên kết đàn hồi có
biến dạng: nếu chọn hệ cơ bán
bang cách cắt các liên kết đàn hồi
như trên hình 5.14c thì chuyển vị
tưitng đối tươns ÚT12 giữa hai tiết
diện ớ hai bèn m (m. m ’) và 11 (lì,
n ') bằna khơng và phương trình cơ
bản ln bằng khơng.

1

" '■ £ 1

m j7T
n

ĩx 2
’

n

X

^

tx,_____
Ị X,

/7&77

Hình 5.14

B . H ệ p h ư ơ n g tr ìn h c h ín h tấ c
Trong giáo trình này ta chỉ nghiên cứu nhữns hệ thoả mãn điều kiện áp
dụng nguyên lý cộng tác dụng, với nhữno hệ này ta có thế biểu thị
phươns trinh cơ bản thứ k của hệ (5.2) dưới dạng:
A \ ktXi.X2. ...V* .X„.P.!.J.Zi = Ax kx , + a xlx : + - + AXkXk + -- + AXkX„ +
+ A ỵkp + A ỵk, + A ỵkj + A ỵ k2 = 0.

II


Để cho gọn, ta bỏ bớt các chỉ sô' X
\ i + 4t2 + —+
+ —+ 4k« + Akp + Akl + AkA + 4t2 = 0.
trong đó:
ả kin - chuyển vị tương ứng với vị trí và phương cùa lực Xii do lực Xn
gây ra trong hệ cơ bản;
Aicp, Akh 4t/i, Akz - chuyển vị tương ứng với vị trí và phương của lực Xk

do riêng tải trọng, thay đổi nhiệt độ, chế tạo chiều dài các thanh
khơng chính xác, chuyển vị gối tựa gây ra trong hệ cơ bản.
Nếu gọi ôkm là chuyển vị tương ứng với vị trí và phương cùa lực Xk do
riêng lực Xm= 1 gây ra trong hệ cơ bản, ta có:
4b» = Shm XmDo đó phương trình cơ bản thứ k có dạng:
Ski X] + Ổk2 X2 + ...+ ôkk Xk + ...+ ổkn X, + Akp + Aici + AkA + 4 tz = 0 .

Với hệ có bậc siêu tĩnh bằng n sau khi lần lượt cho k = 1, 2,..., n ta sẽ có
hệ n phương trình cơ bản của phương pháp lực như sau:
ổi/Xi + Õ12X2 + ...+

ỏikXk + ...+ SinX,, + A/p

+

Alt + Aịa

+ A/Z = 0 ;

Ổ2 1X1 + Ổ22X2 +...+

Õ2kXk +•■■+ SỉnX,, + AĩP

+

A21 + Á 2 A

+^ 2Z = 0;

Ổk/X/ + ổk2Ẩ2 + ...+ SkkXk + ...+ ỏknXti + A p + A i + A a + Akz = 0;

ô„iXi + Ổ112X2 + ...+

SiikXk + ...+ S/uiX, + A„p

+

(5.3)

Ant + And

Hệ phương trình (5.3) gọi là hệ phương trình chính tắc của phương pháp
lực. Các hệ số ổkm (với k * m) cùa phương trình chính tắc gọi là hẽ số
phu. Các hệ số Skk gọi là hệ s ố chính. Các số hạng 4tp, 4t/.
là sô' hạng tự do.

, Af:z gọi

Ý nghĩa vật lý của các hệ số và số hạng tự do cùa hệ phương trình (5 3 ) là
các chuyển vị, do đó để xác định chúng, ta cần vận dụng cịn° thức
chuyển vị đã biết trong chương 4.
1. Cách tính các hệ số phụ và hệ số chính

Trong trường hợp hệ có các liên kết đàn hồi, áp dụng cõng thức chuvển
vị (4.33), sau khi thay Akm = ỏkm Xtn . ta được:

12

+ AIIZ = 0 .

4. - z í

^

♦1 í

s

^

s

+1

♦x*„ i t

Chia cá hai vế cho Xm ta CÓ:
1
A .- I J

r ^

- L

ĩv QkQm ds + y R RJ>"
. 1 GA
y
1 Cj

1

(5.4)
Tương tự:
ị
II

Í

^

X

j Í ®

- X

J
(5.5)

ưong đó:
M k , N k . Qk .R )k - các biểu thức giải tích của m ịm en uốn. Iực dọc. lực
cắt và phản lực tại sối đàn hồi thứ J do riêng lực khòna thứ nauyèn
X t= ỉ gây ra tron 2 hệ cơ bán:
M m . N m ,O m . Rp„ - cũ n 2 là nhữna đại lượns trẽn nhưno do riẽns lực
khòna thứ nguyên x ,!= l gãy ra trona hệ cơ bàn:
Cj - hệ sô' đàn hồi tại aối đàn hồi thứ j.
Dấu tổng của các số h ạ n s cuối được tính theo sỏ' lượns liên kết đàn hồi.
Đỏi với những trườnơ hợp có thè áp d ụ n s cách "nhàn biểu đổ" theo
Vêrẽxaghin. ta cổ:_________________________________________
& « = ( M k ) ( M m ) + ( N k ) { Nm ) + ( Q k ) ( Qm }+ X Rjk ^

i

:

c_ !

(5.6)

ổ u = { ĩ ĩ k X M t ) + { N k ) ( ĩ ĩ t ì + ( Q k X Q k ì + ỵ mR ;k^ j L .
_c ±
trons đó:

[____________________ ________________ J _

( M k ). ( N k ). ( Ok ) - các biểu đồ nội lực do riẽna lực khòna thứ nsuvẽn
Xk=l gày ra ư o n 2 hệ cơ bản:
( M m ), ( N m ). ( Qm ) - các biểu đồ nội lực do riẽns lực khôns thứ
nguyên Xin=I gàv ra trona hệ cơ bán.
Từ các côna thức trẽn ta thấy ln ln có:
ổ k k >0 :

<^,, = 0 .

(5 .7 )

1?


vì trong cóng thức xác định ồkt (5.5). các hàm số dưới dấu tích phán đeu

là bình phương của nội lực nên ln ln dương cịn trong cõng thưc
xác định Skm (5.4) thì các hàm số đó có dấu bất kv. Ngoài ra theo đinh
lý tương hỗ của các chuvển vị đơn vị, ta có:
ỏkjn=Smk .
,5 -8)
2. Cách tính các số hạng tự do

Ta iắn lượt xác định số hạng tự do tưcmg ứng với các nguvẽn nhàn sau:
a) Tải trọng
Akp là chuvến vị tương ứng với vị trí và phương cùa lực Xi. do riêng các
tải trọng gây ra trong hệ cơ bản. Do đó khi áp dụng cõng thức chuyên
vị (4.33) cho trường hợp này ta chi cần thay chỉ số m bằng chi số p .
Ngoài ra đế nhãn mạnh rằng chuvến vị Au> là do tái irọna gây ra trong
hệ cơ bàn. ta thêm chí số o vào các biểu thức nội lực và phan lực.
V'
- 1

*X

rNhNp

r Qt-Qp I

D

(5.9)
trong đó Mp. Afp, ỢỊi, «ỊP - biểu thức giải tích cùa mómen uốn. lực dọc.
lực cắt và phán lực tại gối đàn hồi thứ j do riêng tải trọng gây ra
trong hộ cơ bản.
Trong trường hợp có thê áp dụng cách "nhân biểu đồ" ta có:

4w>= ( M L) ( M pìf ) + ( N k )(N°p)+ ( ã ) ( ỡ ^ + X ^ —

.

(5.10)

Irong đó ( M"p), ( N p ), ( Q p ) - các biểu đồ nội lực do riéng tài trọng
gãy ra trong hệ cơ bản.
Chú ý: Trong những cấu kiên chiu uốn của hệ, ta thường có thể bỏ qua ảnh hưởng
của lực doc và lực cắt so VỚI ảnh hưởng của mòmen uốn khi xác đinh các hẽ
số và số hang tự do của hệ phương trinh chính tắc.

b) Thay đổi nhiệt độ
Au là chuyến vị tương ứng với vị trí và phương cùa lực Xí. do sư thav
đổi nhiệt độ gây ra trong hệ cơ bán. Nếu hệ cơ bán là tĩnh định, sư thav
đổi nhiệt độ khỏng gây ra phản lực và nội lực trong hệ tĩnh định nén t"a
xác đinh Alt, theo (4.30):


4tf=z

ff

w-v+X

Trong trường hợp hệ gồm những thanh thảng có tiết diện khõna đòi
trong từng đoạn thanh và nhiệt độ thay đổi như nhau dọc theo chiều
dài của từng đoạn thanh, ta dùng cóng thức (4.31) để xác định _ u ,:
4t/ = X f

- Um ) O ị M k ) + ỵ ^ a tcmn < N k ).

(5.11)

trong đó C ì(M k ) và D ( N k ) - diện tích biếu đồ m ơm en uốn và biểu đổ
lực dọc do riêng lực Xt= I gây ra trons hệ cơ bán.
Các ký hiệu còn lại cũna có V nohĩa như đã chi dẫn khi thiết lập cõns
thức (4.31).
c) C hế tạo chiều dài các thanh không chinh xác
4 u là chuyển vị tương ứng với vị trí và phươna cùa lực Xk do sự chẽ
tạo chiều dài các thanh khịng chính xác gâv ra trons hệ cơ bản. Nêu
hệ cơ bán là tĩnh định, nguvên nhàn này khôna gây ra phán lực và nội
lực trong hệ tĩnh định nên ta xác định 4 u theo (4.32):
4u= IX -4 .

(5.12)

trong đó:
4

- độ dơi cùa thanh thứ / khi thanh được chế tạo dài hơn chiều dài
cần thiết theo thiết kế;

Nlk- lực dọc trong thanh thứ / do riêng lực Xk=I gày ra trong hệ cơ
bản tĩnh định.
Dấu tổng được thực hiện theo số lượns các thanh có chiều dài chè tạo
khơng chính xác.
d) Chuyển vị gối tựa
Akz là chuyển vị tương ứng với vị trí và phươns của lực Xii do chuyến vị
cưỡng bức

z tại các liên kết tựa gây ra trong hệ cơ bán và được xác

định theo (4.25). Trong trường hợp hệ cơ bàn là tĩnh định, nsuyèn
nhân này không gây ra phàn lực và nội lực trona hệ tĩnh định nèn theo
(4.29). ta có:
(5.13)
15


trong đó:
Zj - chuyển vị cưỡng bức cho biết tại liên kết thứ j cùa hệ siéu tĩnh;
Rjk - phản lực tại liên kết j do lực Xk=J gây ra trong hệ cơ bản tĩnh
định.
Dấu tổng được thực hiện theo số lượng các liên kết có chuyên vị cưỡng
bức.
c . C ách tìm n ộ i lực và biến d ạ n g trong hệ siéu tĩn h
Khi tính hệ siêu tĩnh ta phải xác định được nội lực và biến dạng tại bất kỳ
vị trí nào của hệ. Dưới đây ta sẽ nghiên cứu cách xác định các đại lượng
đó sau khi đã biết giá trị của các ẩn Xj, X2 .... X,,.
1. Cách tính trực tiếp

Sau khi giải hệ phương trình chính tắc để tìm các ẩn X/c, ta xem các lực
này như ngoại lực tác dụng trên hệ cơ bản với giá trị vừa tìm được. Lúc
này, có thể thay việc tính nội lực và biến dạng trên hệ siêu tĩnh bằng
cách tính nội lực và biến dạng trên hệ cơ bản chịu các nguyên nhân bên
ngoài và các lực Xk. Vì hệ cơ bản thường là tĩnh định nên có thể sử dụng
các phương pháp đã biết để xác định các đại lượng cần tìm.
2. Cách áp dụng nguyên lý cộng tác dụng

Giả sử cần tính đại lượng s tại một vị trí bất kỳ của hệ. Đại lượng s có
thể là phản lực tại một gối tựa nào đó hay mơmen uốn, lực dọc, lực cắt,
chuyển vị tại một tiết diện nào đó. Theo cách tính trực tiếp nói trên, ta
thay việc tính đại lượng s trong hệ siêu tĩnh bằng cách tính đại lượng s
trong hệ cơ bản nhưng do các nguyên nhân bên ngoài và các lực Xk cùng
đổng thời tác dụng gây ra.
Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng ta có thể viết:
s = S(X/,X2... ,X„.P.I.A.Z) = SX/ + s x2 + -- + s x„ + S P + s ? + S A + S z trong đó SX/ ,S ỵ 2 ,-.,S Xịi , s ị , s ° , S ° A , Sz là giá trị của đại lượng 5 lần
lượt do riêng từng nguyên nhân X/, X2 ,..., x,„ p, t, A v à Z gáy ra trong hệ
cơ bản.

Nếu gọi s k là giá trị cùa đại lượng 5 do riêng lực Xk = 1 gáy ra trong hê
cơ bản ta có:
16

■" "

’


SX l = S t X k .

(5.14)

Thay (5.14) vào biểu thức trẽn ta được biểu thức tổng quát để xác định
nội lực và chuyển vị irong hệ siêu tĩnh:

s = 5/X, + s:x : +... + S„X' + s ị + s? +S^+Sị. I (5-15)
Tron® trucme hợp cần tìm các biều đồ nội lực hav chuvẽn vị. cũns 1\
luận tươns tự. ta có biểu thức tổng quát sau:

i

( S ) =ị S i ) X / + ( S - >) X i +. . . + ( SH)X„ + ( S p ) + (SỊ ) + ( S j 1+ ( S 2' )

Õ .16)
Ưong đó:
(Sk t - biểu đồ cùa đại lượn2 5 do riẽn® lực Xk= 1 gây ra ư o n s hệ cơ
bản:
(S lp ).(S° J.(S j ) . ( S ỵ ) - biểu đồ của đại lượna s do rièns tải trọna. riêns
sự thay đổi nhiệt độ. rièna sự c h ế tạo chiều dài các thanh khôns
chinh xác và riẽn2 chuyển vị 2ôi tựa gày ra trona hệ cơ ban.
Các biểu thức (5.15) và (5.16) áp d ụn2 ch u n s cho mọi trườns hợp. 2Íả
sử mn tim m ôm en uốn A/ hay độ võns V . ta cần thay thế ký hiệu s

bans ký hiệu tươns ứns h í hav V.
D ùns các biểu thức này có lợi khi đã có sẵn các trạn s thái đơn vị tức là
đã biết các aiá trị s t . Đơì với dám và khuns siêu tĩnh, vẽ biểu đồ
mịmen uốn theo cách này rất tiện lợi đă có sẵn các biểu đồ mỏmen
uốn đơn vị iro n s quá trình xác định các hệ số.
Chú ý: Nếu da lượng s chì là phàn lực hồc nội lực (knịrvg phải chuyển vi) và nẽ cơ
Dàn ià ữnh định thi các đai iượng 5 f .5 ^ .5 f v a các biểu đ ó ^ /x S ^ y .rô ^ /s ẽ
kho'ig tồn tại vi như ta đã biết những nguyên nhân này k^òna gây 'a phản lực

vá nội lực trong hệ ữnh đinh.
3. Cách vẽ biểu đồ lực cắt và lực dọc theo biếu đổ mỏmen uốn

Trong trường hợp dẳm và khun2 sồm nhữns thanh thảns. nsười ta
thường bó qua ánh hưỡnE cùa lực cãt và lực dọc so với anh huờns cua
mòmen uòn khi xác đinh chuyển vị. do đó tro n s các khâu tính tốn

trung gian ta khơng cần vẽ các biếu đồ đơn vị I Ok I và .V, ,. Boi vậy.
nêu vẽ biếu đồ •QI và I YI theo cách trẽn sẽ bãt lợi vì khịna có sẩn các
biểu đồ l Oị ) vù (s k ). Trong nhữns trườns hợp này. nên vẽ biểu đổ M
17


trước tién theo biểu thức (5.16), sau đó cãn cứ vào biểu đổ ( M ) đẽ suy ra
biểu đồ (Q) và (N).
Cách vẽ biểu đồ (Q) và (N) theo biểu đồ (M) dựa trên cơ sớ khảo sát sự
cán bằng cua từng đoạn thanh được tách riêng ra đống thời chú ý lới lién
hệ vi phân đã biết trong mục 2.4:
'
clM
cJN
-m;
— =-qr
Q =
clz
dz
Khi thực hiện, cần tách từng đoạn thanh trong đó tải trọng phân bố liên
tục.
Đế tiện lợi cho việc áp dụng ta lập công thức xác định lực cắt, lực dọc ớ
hai đầu của một đoạn thanh thẳng chịu tái trọng phân bõ liên tục với
quy luật bất kỳ như trẽn hình 5.15:
• lực phân bị pháp tuyến với cường độ q„(z);
• lực phán bơ tiếp tuyến với cường độ q,(z);
• mơmen phân bơ với cường độ m(z);
Sau khi tách thanh ab
(hình 5.15) ra khịi hệ
thanh ta cần thay thế tác

dụng của phần còn lại
bằng các lực cắt, lực dọc
chưa biết và các mômen
uốn đã biết từ biểu đồ (M).
Các nội lực chưa biết được
giả thiết là dương và vẽ
theo quy ước vể dấu đã
quy định.

Cũ ? J -----ị - ụ l

qt(z)
r r r y r r v m Y
m(z)
a/
a/

'Ú

Từ các điều kiện cán bãng
tống mõmen đối với điềm
b và điểm a, ta suy ra:
Q' = ị ( M p - M ' ) +
I
QP = Ị ( M p - M '
I

Hình 5.15

'

/

(5.17aj

I

trong đó:
Q , M và Qp, M1’- lần lượt là lực cắt. mômen uốn tại đáu trái và đấu


phải thanh iib đòi với người quan sát đứng sao cho lực phân bo hương
xuống phía dưới:
0) ((/„) —hợp lực cùa tài trọng phàn bơ hay diện tích biêu đơ tai trọng
phân bô (0 (ụr) — hợp lực của tải trọng phân bơ hay diện tích biêu đồ tải trọng
phân bô q t trẽn thanh ub:
À và /J - lần lượt là ti sô khoảns cách từ hợp lực (Oq đến đầu trái và đầu
phải thanh Lìb so với chiều dài theo phươna ngang / cúa thanh ab.
(Ún, —hợp lực của m ôm en phân bô hav diện tích biêu đổ m ơm en phân bõ
m trên thanh ưb.
Từ các điều kiện càn bầna hình chiếu lẽn phươno n san s. ta có hệ thức:
N p = N 1+

(5 M b )

Sau khi xác định được lực cắt ờ hai đầu thanh ta dẻ dàng vẽ được biểu
đồ lực cắt ưong thanh theo quy cách đã trình bày trons chươii2 2 .
T rư ờ n g hợp đ ặ c biệt:

❖ Khi thanh chịu các tải trọn2 phàn bó đều, (qn = const: q t = const: m=
= const): 2Íá trị của lực cắt và lực dọc được xác định như sau:

Q' =tgP + ^qnl - m:
(5.18)
QP = t g P - L q nì - m \

N p = \ J + q, I
Với:
Ta thấy p chính là 2ĨC nahiẽno so với đườna chuẩn cua đườna nòi hai
tung độ cũa m ồm en uốn ờ hai đầu đoạn thanh. Dấu của ĩ<ìP được xác
định như sau: đặt bút dọc theo đườns chuán của biểu đổ m ôm en uốn.
quay bút trong m iền có biểu đổ mòmen tới đườna nối hai tuns độ ờ hai
đầu đoạn thanh, nếu chiều quay thuận chiểu kim đổ n 2 hổ thì rg/ĩ
dương và naược lại.
❖ Khi thanh khịng chịu tải ư ọ n a phàn bô (q,ĩ = 0: qt = 0: m= 0): siá
trị cùa lục cắt và lực dọc được xác định như sau:
Q ' =Q P = to p

ỉ Np = s ' .

(5.19)
19


Các hệ thức về lực dọc nêu trên thường chưa đù để vẽ biếu đồ lực dọc.
Trong thực hành, cần vẽ biểu đồ lực dọc theo biểu đồ lực cắt đã biet tren
cơ sở khảo sát cân bằng của các nút hoặc của từng phần hệ được tach ra
khòi hệ thanh.
Khi khảo sát cân bằng, ngoài tải trọng đặt ớ nút hoặc đặt trẽn tùng phãn

hệ ta cần thay thế những phần còn lại bằng các nội lực bao gom mômen
uốn, lực cắt đã biết và lực dọc chưa biết. Các lực dọc chưa biết được vẽ
với giả thiết là dương. Sau khi vận dụng các phương trình cân băng
thích hợp ta có thể xác định được các lực dọc cần tìm. Nên dùng biện
pháp này để xác định lực dọc ớ hai đầu thanh. Sau khi xác định được lực
dọc ở hai đầu mỗi thanh, ta dễ dàng vẽ được biểu đồ lực dọc trong thanh
theo quy cách đã trình bày trong chương 2 .

5.3. Áp dụng
A . K h u n g siêu tĩn h c h ịu tải trọ n g bất đ ộ n g
Ví dụ 5.3. Vẽ biểu đồ nội lực trong khung cho trên hình 5.16a.
Q trình tính tốn được thực hiện theo thứ tự như sau:
1) Xác định bậc siêu tĩnli. Hệ đã cho có bậc siêu tĩnh bằng 2.
2) Chọn hệ cơ bản. Có nhiều cách chọn hệ cơ bản, ở đây ta chọn hệ cơ
bản như trên hình 5.16b.
a)
b)
3) Thiết lập hệ phương
trình chính tắc.
Hệ có bậc siêu tĩnh
bằng 2 nên ta có hai
phương trình chính tắc:

El = const

ỏ/lXi
+S/2 X2 +A1 P = 0 ;
S/1 X1 +Ổ12
S22 1X1 + Ổ
&Ị2

+Atp = 0 .
Ơ
22 X2 +A2P

vr

x2

Hình 5.16

Để xác định các hộ số và số hạng tự do của hệ phương trình chính tắc ta
sử dụng các công thức (5.6) và (5.10) với chú ý là hệ khơng có liên kết
đàn hồi đổng thời bỏ qua ảnh hưởng của lực dọc và lực cắt khi tính các
chuyển vị. Ta có:
3km= ( Mk )(M m );

ỗkk = ( Mk )( Mk ); Akp = ( M k )( Mp I

Như vậy, cần vẽ các biếu đổ mômen uốn lần lượt do X/= 1; X-y = / và tải
20


trọng gãy ra trong hệ cơ bản (hình 5.17a. b. c ). Ta có:
- I •> _
1
. í
4a
ổ n = ( M I H M ,) = j ĩ 2 3 - + a~ .a
JẼ7

-

-

EI 2 3

3E1

Sjt =àì/ =( M, XM, ) = ———
—a = —
-

E1 2

1 qa2

2EI

2a 2 qu~

;

a qa~

I 5qa4

2

1

- — — a -----------— a — + - — t/.ư = —r r —;

El

2

2



.í

2

;? s

2

2

S£/

4EI

gạ

28

s)

™ qa\ ®

hì

B7W ỷ qĨJ
a
oo I 1^

9a^íẽt ©

i)
Ow = — qa
£8
'BA

4
0 3c= ỷ q a

28

qa

o
o

£Ễ1

A/,
Hình 5.17

Thay các kết quả vào hệ phươna trình chính tắc. ta được:

:Qa


ự L Xl- j L X2+5J ! ^ = 0;
3E1

Hay

2E1

8E1

2EI

- X i - - X 2 +- q a = 0 ;

3E1

4E1

- - X / + - x2 -ỉ-q a = 0

4) Giải hệ phương trình chính tắc đ ể xác định các ẩn Xj, Xj. Két qua:
XV i _= ~ - q a ;

Y

±

x2 -= -z~
qa.

/

Zo

5) V ẽ biểu đồ mơmen uốn. Trong ví dụ này ta vẽ biểu đồ mõmen uốn theo
nguyên lý cộng tác dụng. Từ biểu thức (5.16) ta có:
(M)= ( M ị )X I + ( M- i )X-) + (M p ).
Như vậy, để vẽ biểu đồ mômen uốn trong hệ siêu tĩnh đã cho ta cần:
• Nhân các tung độ của biểu đồ ( M ị ) với giá trị Xj = -3qa 17 sẽ được
biểu đồ ( Mị ) ngược chiều thớ căng với biểu đồ ( M ị ) (hình 5.17d).
• Nhân các tung độ của biểu đổ {M->) với giá trị X2 = 3qal28 sẽ được
biểu đồ (Mỉ) (hình 5.17e).
• Cộng ba biểu đồ: biểu đồ

(M ị )

(hình 5.17d), biểu đồ (M2 ) (hình 5.17e)

và biểu đồ (M°p)(hình 5.17c); ta sẽ được biểu đồ mơmen uốn cuối
cùng cần tìm (Mp) (hình 5.17Í).
6) Vẽ biểu đồ lực cắt theo biểu đồ mơmen uốn
• Trên thanh ngang: biểu đồ lực cắt có dạng đường thảng song song với
dường chuẩn và có giá trị xác định theo (5.19):
Q ba = tgPnA = + -

( q2a _ + qcr2 \
28

14

3
= H— - qa .
28

>Trên thanh đứng: biểu đồ lực cắt có dạng bậc nhất, ta chỉ cán xác định
giá trị của lực cắt tại các đầu thanh Qcb và Qbc rồi nối lại với nhau
bằng đường thấng. Theo cơng thức (5.18) ta có:

qa2----1 + —qa

3
14 a
7
2
4
q j _ 1 -TL >
Qbc = Qp= tgfifCB
2
2 " 7 qa
14 a
Biểu đồ lực cắt vẽ trên hình 5.17g.
3

'CB

22

+

412

=- - +

z- q a


7) V ẽ biểu đ ồ lực dọc theo biểu đố lực cắt bâng cách tách nút
Trong trườns hợp nàv (Ịi — 0 nên lực dọc khơng thay địi trong từng
thanh, do đó chi cần xác định một 2Ìá ưị lực dọc tại một tièt diện nào đó
tron2 mỗi thanh là đù đẽ vẽ biểu đồ.
Tách nút B (hình 5.17h), sau khi đật tại những tiết diện bị cắt các lực cắt
có giá trị và chiểu đã biết theo biểu đồ 0 đ ồn2 thời đặt các lực dọc
và S bc chưa biết (siả thiết là dươna). ta viết phươns trình cân bàn2 hình
chiếu:
I X = N a b + — q d = 0.
2 ) = —s BC —

3

Qd — 0 .

28
Biểu đồ lực dọc vẽ trên hình 5.17Ĩ

suy ra

S \B = —- qa ;

suy ra

ì
A s c = —— qa28

Vi dụ 5.4. Vẽ biểu đổ (M). (N). (Oi cho khuna trẽn hình 5.18a. Cho biết
thanh AB có độ cứng khi kéo hoặc nén là EA = EI/10I'. Anh hưcmo
cùa lực dọc cần được xét đến trons thanh AB khi tính chuvển vị.
Hệ đã cho có bậc siêu tĩnh bằna một. Chọn hệ cơ hán bần2 cách cắt thanh
có hai đầu khớp như trẽn hình 5.18b.
Phươn2
tắc:

trình

chính

Ổ//Xi + Aj p = 0 .
Đẽ xác định ỔJ1 và J /P
ta cần \ ẽ biểu đồ ( Mị )

u)

b)

m
p

D________ c

X 7
p

và biểu đổ I M' p) (hình
5.18c. d).

—

N 2ồi ra. vì chi yêu
cầu xét đèn ảnh hườns
của lực dọc ư ona
thanh .45. nên ta chi
cần xác định lực dọc
trong thanh AB do
-V/ = / gãv ra và do tải
trọna 2àv ra trèn hệ cơ
bàn. kết quá shi trẽn hình 5.18c. d.

1—

Hình 5.18