Bài giảng toán hàm nhiều biến

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
BỘ MƠN TỐN

BÀI GIẢNG

 

 


Chương I: Hàm số nhiều biến
Số tiết: 10 lý thuyết + 5 bài tập, thảo luận
1.1. Khái niệm mở đầu
1.2. Đạo hàm và vi phân của hàm số nhiều biến số
1.3. Cực trị của hàm số nhiều biến số

 

 


1.1. Khái niệm mở đầu
1.1.1. Định nghĩa hàm số nhiều biến số

Định nghĩa
Ta gọi hàm số của n biến số xác định trên D, ký hiệu
f: D → R, là quy luật cho ứng mỗi x = (xÀ , x, , ..., xn) ∈
D với u = f(xớ, x, , ..., xn) ∈ R.
Ví dụ:

f:

R

→ R

2

x1 + x2
x = ( x1, x2 ) a f ( x ) = 2
2
x1 + x2
 

 


1.1.2. Miền xác định của hàm số nhiều biến số
Miền xác định của hàm số u = f(M), ký hiệu Df, là tập
các điểm M để f(M) có nghĩa.
Ví dụ . Trong R2, với f(x, y) = 1 − x 2 − y 2 thì
Df = {(x, y): x2 + y2 ≤ 1}.
x
3
Trong R , với f(x, y, z) =
thì
1 − x 2 − y2 − z2
Df = {(x, y, z): x2 + y2 + z2 < 1}.

 

 


1.1.3. Tập hợp trongR n
Giả sử M(x1, x2, ..., xn) và N(y1, y2, ..., yn) ∈ Rn
• Khoảng cách : d(M, N) =

n

2
(x
−
y
)
∑ k k .

k =1

• ε - lân cận của M tập Uε(M) = {N ∈Rn : d(M, N) < ε}.

• Lân cận của M, ký hiệu U(M), là mọi tập hợp chứa một
Uε(M) nào đó của M 
• M được gọi là điểm trong của tập E nếu tồn tại U ε(M)
nằm trọn trong E.

•Tập E được gọi là tập mở nếu mọi điểm của nó đều
là
điểm trong.
 

 


• Ta gọi quả cầu mở tâm M0 bán kính r là tập:
`
E = {N ∈Rn : d(M0, N) < r}

• Ta gọi là mặt cầu tâm M0 bán kính r là tập  
∂E = {N ∈Rn : d(M0, N) = r} 
• Ta gọi quả cầu đóng tâm M0 bán kính r là tập
E = {N ∈Rn : d(M0, N) ≤ r}
• Tập hợp E được gọi là bị chặn nếu tồn tại quả cầu nào
đó chứa nó 
 

 


1.1.4. Giới hạn của hàm số nhiều biến số
Định nghĩa 1: Hàm f(M) có giới hạn là L khi M → M0 khi
và chỉ khi ∀ε > 0, ∃δ = δ(ε, M0) > 0 sao cho d(M0, M) < δ
thì |f(M) – L| < ε .
Định nghĩa 2:
Hàm f(M) có giới hạn là +∞ khi M → M0 khi và ch ỉ
khi ∀ε > 0, ∃δ = δ(ε, M0) > 0 sao cho d(M0, M) < δ thì
|f(M)| >ε.
Định nghĩa 3:
Hàm f(M) có giới hạn là −∞ khi M → M0 khi và ch ỉ
khi ∀ε > 0, ∃δ = δ(ε, M0) > 0 sao cho d(M0, M) < δ thì
|f(M)|

> -ε.
 

 


• Ví dụ: Tính giới hạn
a)

x2 y
lim 2
x →0 x + y 2
y →0

b)

x2 y
lim 4
x →0 x + y 2
y →0

 

 


1.1.5. Tính liên tục của hàm số nhiều biến số
Định nghĩa. Giả sử f(x) xác định trong lân cận của điểm
M0 ∈D. Ta nói f(x) liên tục tại M0 nếu tồn tại giới hạn

lim f ( M ) = f(M0).

M →M 0

Với M0(x0, y0), khi đó:
 số gia của đối: ∆x = x – x0, ∆y = y – y0,
 số gia riêng theo biến x: ∆xf = f(x0 + ∆x, y0) – f(x0, y0 ),
 số gia riêng theo biến y: ∆yf = f(x0, y0 + ∆y) – f(x0, y0 ),
 số gia toàn phần: ∆f = f(x0 + ∆x, y0 + ∆y) – f(x0, y0 ).
 

 


• f(M) liên tục trong D nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc D .

Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm

 xy
x + y
f(x, y) = 
 0


 

x + y ≠0
x + y =0

 

1.2. Đạo hàm và vi phân của hàm số nhiều biến số
1.2.1. Đạo hàm riêng
Cho u = f(x, y) xác đ ịnh trong miền D và M0(x0, y0) ∈D.
Nếu cố đ ịnh y = y0 mà hàm m ột biến của x là f(x, y0) khả vi
tại x = x0 thì đạo hàm đó được gọi là đ ạo hàm riêng của f
đối với x tại M0.

∂f
∂u
(x 0 , y 0 ) ,
(x 0 , y 0 ) , tức là
Ký hiệu: f x '(x 0 , y0 ),
∂x
∂x
f (x 0 + ∆x, y0 ) − f (x 0 , y0 )
∂f
(x 0 , y 0 ) = lim
.
∆x → 0
∂x
∆x

• Đạo hàm riêng của f đ ối với y tại M0 và được ký hiệu là
∂f
∂u
f y '(x 0 , y 0 ) hay
(x 0 , y0 ) hoặc
(x 0 , y 0 ) .

 
∂y  
∂y


• Định lý:
0

0

Giả sử hàm số f(x,y) khả vi tại (x ,y ) và có các đạo
0

0

hàm riêng tại (x ,y ). Khi đó cơng thức đạo hàm tồn
phần là:
∂f
∂f
f ' ( x0 , y0 ) ( u , v ) = ( x0 , y0 ) u + ( x0 , y0 ) v
∂x
∂y

 

 


1.2.2. Đạo hàm của hàm số hợp
Cho ϕ: R2 ⊇ D ∋ (x, y) → (u(x, y), v(x, y)) ∈R2,

f: Rϕ ∋ (u, v) → f(u, v) ∈ R.
Khi đó foϕ: D ∋ (x, y) → f(ϕ(x, y)) = f(u(x, y),v(x, y))
được gọi là hàm hợp của f với ϕ.

Ví dụ:

 

 


∂f ∂f
,
Định lý: Nếu f có các đạo hàm riêng
liên tục
∂u ∂v
trong Dϕ và các hàm u, v có các đạo hàm riêng
∂u ∂u ∂v ∂v
, , ,
trong D, thì tồn tại các đạo hàm riêng
∂x ∂y ∂x ∂y
∂f ∂f
, trong D và
∂x ∂y

 ∂f
 ∂x =
 ∂f
 =
 ∂y

 

∂f
∂u
∂f
∂u
 

∂u ∂f
+
∂x ∂v
∂u ∂f
+
∂y ∂v

∂v
∂x
∂v
∂y


• Đặt

 u 'x
A=
v
'
 x

u 'y 

v 'y 

Jacobicủa u,v đối với x,y

 

 

gọi là matrận


Ví dụ Cho f = eulnv, với u = xy, v = x2 + y2. 
∂f
∂f
∂v
∂u
∂v
u
u 1 ∂u
= e ln v,
=e ,
= y,
= 2x,
= x,
= 2y .
∂u
∂v
v ∂x

∂x
∂y
∂y
Do đó

xy
∂f
1
2xe
 u 
u
xy
= e ln v y +  e  2x = ye xy ln(x 2 + y 2 ) + 2
=
e
2
∂x
v
x
+
y



(

)

xy
∂f

1
2ye


u
u
xy
2
2
xy 
= e ln v x +  e  2y = xe ln(x + y ) + 2
=e 
2
∂y
x +y
 v

 

(

 

)

 


1.2.3. Vi phân tồn phần
Ta nói f(x, y) khả vi tại (x0, y0) nếu có th ể biểu diễn

∆f = A∆x + B∆y + α∆x + β∆y,
trong đó: A và B là những hằng số ch ỉ phụ thuộc x0 và y0,
α và β dần tới 0 khi cả∆x và ∆y dần tới 0.
Ký hiệu : df = A∆x + B∆y,
và gọi là vi phân toàn phần của f tại (x0, y0).

Hàm f(x, y) được gọi là khả vi trong miền D nếu nó khả
vi tại mọi điểm thuộc D.
Rõ ràng, nếu f khả vi tại (x0, y0) thì nó liên tục tại (x0, y0).
 

 


Định lý : Nếu các đạo hàm riêng của f(x, y) liên tục tại
(x0, y0) thì f(x, y) khả vi tại (x0, y0) và
df = fx'(x0, y0)∆x + fy'(x0, y0)∆y.

1.02
Ví dụ Tính gần đúng arctg
.
0.95

 

 


1.2.4. Đạo hàm của hàm số ẩn
a) Khái niệm hàm ẩn

Cho phương trình F(x, y) = 0, trong đó F: R2 ⊇ U → R.
Nếu với mỗi giá trị x = x0 ∈I, có m ột (hay nhiều) y0 sao
cho F(x0, y0) = 0 thì ta nói phương trình F(x, y) = 0 xác
định một (hay nhiều) hàm ẩn y theo x ∈I. Nói khác đi,
∀x∈I, (x, f(x)) ∈U và F(x, f(x)) = 0.
Ví dụ :
2
2
x
+
y
= 1 , ta có y = ± 1 − x 2 .
Từ phương trình
Từ xy + yx = a (x > 0, y > 0, a > 0) ta khơng thể tìm được

dạng tường minh của hàm ẩn, m ặc dù nó có thể tồn tại.
 

 


b) Đạo hàm hàm ẩn
Fx '
dy
dy
Fx '+ Fy ' = 0 . Vì F'y ≠ 0, ta có
=− .
dx
dx
Fy '

Ví dụ:
F(x, y, z) = ez + xy + x2 + z3 – 1 = 0. Ta có Fx' = y + 2x,
Fy' = x, Fz' = ez +3z2.
Vì Fz' ≠ 0 ∀z, nên phương trình trên xác định một
hàm ẩn z = f(x, y) liên tục cùng với các đạo hàm riêng
2x + y
x
zx ' = − z
,z y ' = − z
.
2
2
e + 3x
e + 3z
 

 


1.2.5. Đạo hàm theo hướng và gradien.
Cho u = u(x, y, z) xác đ ịnh trong D ⊆ R3.
Qua điểm M0(x0, y0, z0) ∈D, vẽ m ột đường thẳng đ ịnh

hướng có véc tơ đơn vị là l .

Định lý:
Nếu hàm số u = u(x, y, z) khả vi tại M0(x0, y0, z0) thì tại điểm

đó nó có đạo hàm theo mọi hướng l , và ta có

∂u( M 0 )
∂u( M 0 )
∂u( M 0 )
∂u
( M0 ) =
cos α +
cos β +
cos
∂x
∂y
∂z
∂l
, trong đó cosα, cosβ , cosγ là các thành phần của l .
 

 


Građiên (gradient): Ta gọi građiên của u(x, y, z) tại M0, ký

hiệu grad u(M 0 ) , là véc tơ

∂u(M 0 )  ∂u(M 0 )  ∂u(M 0 ) 
grad u(M 0 ) =
i+
j+
k
∂x
∂y
∂z

 
với i, j, k tương ứng là các véc tơ đơn vị của các trục Ox,
Oy, Oz.

Định lý 1.2.8.

∂u
Nếu u(x, y, z) khả vi tại M0 thì  ( M 0 ) = chl grad u ( M 0 )
∂l

 

 


1.2.6. Đạo hàm và vi phân cấp cao
a) Đạo hàm riêng cấp cao
Cho hàm z = f(x, y) và các đạo hàm riêng cấp một fx', fy'. 

Đạo hàm riêng cấp hai:
∂  ∂f  ∂ 2f
  = 2 = f xx ",
∂x  ∂x  ∂x
∂  ∂f  ∂ 2f
= f xy ",
 =
∂y  ∂x  ∂y∂x

∂  ∂f  ∂ 2f
= 2 = f yy "



∂y  ∂y  ∂y
∂  ∂f  ∂ 2f
=
= f yx "


∂x  ∂y  ∂x∂y

Các đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp hai được
g  ọi là các đạo hàm riêng cấp ba,
vv...
 


Ví dụ:

 

 


Định lý 1.2.6. (Schwarz). Nếu trong lân cận nào đó của
điểm M0(x0, y0), hàm z = f(x, y) có các đạo hàm riêng fxy",
fyx" và các đạo hàm riêng đó liên tục tại M0 thì fxy"(x0, y0)
= fyx"(x0, y0).
b) Vi phân cấp cao
Xét hàm z = f(x, y). Vi phân tồn phần của nó là dz =
fx'dx + fy'dy nếu tồn tại thì cũng là những hàm của x, y.

Ta gọi vi phân toàn phần của dz (nếu tồn tại), được gọi
là vi phân toàn phần cấp hai của z, ký hiệu là d2z, tức là
d2z = d(dz) = d(fx'dx + fy'dy).
Vi phân của vi phân cấp hai là vi phân cấp ba, vv...