Ứng dụng bài toán giá trị ban đầu vào quá trình dự báo lũ lụt và á thảm họa thiên nhiên
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (887.48 KB, 73 trang )
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
TRẦN THỊ HẰNG
ỨNG DỤNG BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BAN ĐẦU VÀO QUÁ TRÌNH
DỰ BÁO LŨ LỤT VÀ CÁC THẢM HỌA THIÊN NHIÊN
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Hà Nội, 2018
Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! 17057205065221000000
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
TRẦN THỊ HẰNG
ỨNG DỤNG BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BAN ĐẦU VÀO QUÁ TRÌNH
DỰ BÁO LŨ LỤT VÀ CÁC THẢM HỌA THIÊN NHIÊN
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
GS.TSKH. LÊ HÙNG SƠN
Hà Nội, 2018
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan bài luận văn “Ứng dụng bài tốn giá trị ban đầ u vào q
trình dự báo lũ lụt và các thảm họa thiên nhiên” là do tôi thự c hiện với s ự hướng
dẫn khoa học của GS.TSKH. Lê Hùng Sơn. Đây không phải là bản sao chép của bất
kỳ một cá nhân, tổ chức nào. Các s ố liệu, nguồn thông tin trong luận văn là do tơi
thu thập, trích dẫn và tham khảo.
Tơi xin hồn tồn ch ịu trách nhiệm về nhữ ng nội dung mà tơi đã trình bày
trong Luận văn này.
Hà Nội, ngày 10 tháng 9 năm 2018
Tác giả
Trần Thị Hằng
1
LỜI CẢM ƠN
Tơi xin bày tỏ lịng bi ết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến thầy giáo hướng
dẫn, GS.TSKH. Lê Hùng Sơn, người đã tận tình hướng dẫn, ch ỉ bảo để luận văn này
được hoàn thành, cũng như giúp tơi có thêm kiến thức, niềm đam mê nghiên cứu
khoa học.
Tơi xin chân thành cảm ơn Viện Tốn ứng dụng và Tin học, Viện Đào tạo
Sau đại học, trường Đại học Bách khoa Hà N ội, đã tạo mọi điều kiệ n thuận lợi cho
tơi trong q trình học tập và nghiên cứu tại trường. Tôi xin cảm ơn sự dạ y dỗ, chỉ
bảo tận tình và quan tâm của các thầ y cơ của Viện Tốn ứng dụng và Tin học trong
suốt thời gian tôi theo học và nghiên cứu.
Tôi xin chân thành c ảm ơn các đồng nghiệp trường Cao đẳng nghề Kỹ thuật
– Mỹ nghệ Việt Nam đã giúp đỡ, tạo điều kiện thu ận lợi cho tơi hồn thành luận
văn cũng như cơng tác.
Cuối cùng tơi xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã ln động viên khích lệ giúp
tơi hồn thành q trình học tập và luận văn này.
Xin chân thành cảm ơn!
2
MỤC LỤC
Lời cam đoan ............................................................................................................... 1
Lời cảm ơn .................................................................................................................. 2
Mục lục ........................................................................................................................ 3
Bảng ký hiệu ............................................................................................................... 5
Lời mở đầu .................................................................................................................. 6
CHƢƠNG 1. BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BAN ĐẦU ...................................................... 8
1.1. Bài toán tổng quát. ............................................................................................... 8
1.2. Ý tưởng giải bài tốn ............................................................................................ 8
1.3. Phương pháp giải ................................................................................................. 9
1.3.1. Khơng gian Metric. ......................................................................................... 9
1.3.1.1. Các tính ch ất cơ bản của không gian metric. ............................................. 9
1.3.1.2. Lân cận, tậ p mở và tập đóng. ................................................................... 12
1.3.1.3. Khơng gian metric đủ .............................................................................. 12
1.3.1.4. Ánh xạ co và nguyên lý điể m bất động ................................................... 13
1.3.2. Không gian Banach. ...................................................................................... 15
1.3.2.1 . Thang Banach ......................................................................................... 17
1.3.2.2. Nghiệm củ a bài toán giá trị ban đầ u trong thang Banach. ....................... 19
1.3.2.3. Phương pháp xấp xỉ liên tiếp trong thang các không gian Banach ......... 20
1.3.2.4. Khơng gian Banach có trọng và ứng d ụng .............................................. 22
1.3.2.5. Đánh giá các tốn tử vi-tích phân ............................................................ 25
1.3.3. Khơng gian liên kết ....................................................................................... 27
1.3.3.1. Tính chất đánh giá trong .......................................................................... 28
1.3.3.2. Cặp toán tử vi phân liên kết ..................................................................... 28
1.3.3.3. Áp dụng nguyên lý ánh xạ co giải bài toán giá trị ban đầu ..................... 29
1.3.4. Các định lý chính. ......................................................................................... 31
1.3.4.1. Định lý Cauchy – Kovalevskaya c ổ điển. ................................................ 31
CHƢƠNG 2. ỨNG DỤNG BÀI TỐN GIÁ TR Ị BAN ĐẦU VÀO Q
TRÌNH DỰ BÁO LŨ LỤT VÀ CÁC TH ẢM HỌA THIÊN NHIÊN ................. 35
2.1. Những thả m họa lũ lụt và các thiên tai do thời tiết gây ra. ................................ 35
3
2.1.1. Tình hình các th ảm họa thiên tai xả y ra ở Việt Nam. ................................... 35
2.1.2. Tình hình các th ảm họa thiên tai xả y ra trên Thế giới. ................................ 37
2.2. Tổng quan về dự báo .......................................................................................... 38
2.2.1. Đặc điểm của dự báo. .................................................................................... 38
2.2.2. Thiết lập mô hình dự báo lũ và các thả m họa thiên nhiên. .......................... 39
2.2.2.1. Phương trình liên tục ............................................................................... 39
2.2.2.2. Phương trình động lượng ......................................................................... 40
2.2.3. Phân tích định tính ........................................................................................ 40
2.2.4. Phân tích định lượng ..................................................................................... 41
2.2.5. Phương pháp dự báo lũ bằng mơ hình th ủy văn, thủy lực. ........................... 42
2.2.6. Quy trình dự báo ........................................................................................... 44
2.3. Ứng dụng bài tốn giá tr ị ban đầu vào q trình dự báo lũ lụt và các thảm
họa thiên nhiên. ............................................................................................ 45
2.3.1. Các bài toán ................................................................................................... 45
CHƢƠNG 3. ÁP DỤNG PHẦN MỀM MATHEMATICA ĐỂ GI ẢI BÀI TOÁN
DỰ BÁO LŨ LỤ T VÀ CÁC THẢM HỌ A THIÊN NHIÊN .............................. 55
3.1. Giới thiệu tổng quan về phần mềm Mathemitica ............................................... 56
3.1.1. Cách khai báo một số hàm cơ bản trên Mathematica. .................................. 56
3.1.1.1. Cách khai báo các hàm số cơ bản (có sẵn): ............................................. 56
3.1.1.2. Khai báo hàm thực biến véc tơ ................................................................ 57
3.1.1.3. Khai báo hàm giá trị véc tơ ..................................................................... 58
3.1.2. Giải toán bằ ng Mathematica ......................................................................... 58
3.1.2.1. Giải tốn đại số và giải tích .................................................................... 58
3.1.2.2. Giải tốn đại số tuyến tính ....................................................................... 62
3.2. Lập trình Mathematica ...................................................................................... 66
3.2.1. Kiểm tra ......................................................................................................... 66
3.2.2. Xây dựng các toán tử liên kết ....................................................................... 67
3.2.3. Kết luận ........................................................................................................... 69
KẾT LUẬN CHUNG .............................................................................................. 70
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 71
4
BẢNG KÝ HIỆU
tập hợp các số thực
tập hợp số thực k chiề u
bao đóng của tập Ω
x thuộc tập hợp X
x không thuộc tập hợp X
tồn tại một số x thuộc tập hợp X
biên của A
H(G)
không gian Banach H(G)
H(G’)
khơng gian Banach H(G’)
chuẩn trong H(G)
K
hằng số dương
tốn tử tuyến tính elliptic.
tốn tử vi phân liên kết với
5
LỜI MỞ ĐẦU
Từ trước tới nay, cuộc sống của con người luôn chịu ảnh hưởng của thời tiết
đến đời sống sinh hoạt và sản xuất. Nhưng thời tiết không lúc nào cũng thuận hòa
theo ý mu ốn của chúng ta. Con người đã phả i chịu rất nhiề u thảm h ọa thiên tai với
những tổn thất về người và của. Ở nước ta vấn đề lũ lụt nói riêng cũng như các thảm
họa thiên nhiên nói chung đang là vấn đề cấ p thiết có tính qu ốc gia. Vì mùa lũ luân
chuyển gần như quanh năm từ Bắc vào Nam và hậu quả của nó ảnh hưởng đến toàn
bộ mọi hoạt động kinh tế xã hội. Lũ bắt nguồn từ những cơn bão với lượng mưa
nhiều sức tàn phá lớn gây ra nhữ ng trận lũ quét tàn phá cơng trình, mùa màng, nhà
ở và cả tính mạng con người nữa. Việc phòng chống lũ lụt và giảm nhẹ thiên tai
luôn được quan tâm đặc biệt, đã và đang đầu tư thỏa đáng.
Vì vậ y, việc dự đốn trước thời tiết sẽ giúp ích được cho con người tránh
những tổn thất lớn do thời tiết gây ra, đặc biệt là kh ả năng dự báo lũ lụt và các thả m
họa thiên nhiên bằng các phương tiện thông tin tổng hợp, trong đó tính tốn khoa
học đóng vai trị đáng kể. Từ đó thấ y rằ ng việc nghiên cứu và thiết lập các mơ hình
tốn học để dự báo các cơn bão, lũ ở các chế độ bất kì là rất cần thi ết và cấp bách.
Với đề tài: “Ứng dụng bài toán giá tr ị ban đầu vào quá trình dự báo lũ lụt
và các thảm họa thiên nhiên‖, tơi xin trình bày giải pháp của bài toán giá trị ban
đầu vào dự báo lũ và các thảm họa thiên nhiên dựa trên phương pháp không gian
liên kết. Sau đó, áp dụng cơng nghệ phần mềm Mathematica tính giá trị ban đầu vào
dự báo lũ lụt và các th ảm họa thiên nhiên trong lĩnh vực thủ y lợi, tài nguyên nước
và cơ học thủ y khí.
Nội dung chính của luận văn gồm 3 chương:
Chương 1: Bài toán giá tr ị ban đầu. Chương này sẽ giới thiệu t ổng quát
chung về bài toán giá trị ban đầu và trình bày ý tưởng của bài tốn, nêu các phương
pháp giải bài toán giá trị ban đầu đó.
Chương 2: Ứ ng d ụng bài tốn giá trị ban đầ u vào quá trình d ự báo lũ
lụ t và các th ảm họa thiên nhiên. Chương này sẽ giới thiệ u tổ ng quan v ề d ự báo,
trình bày khái ni ệ m và mơ hình d ự báo, phương pháp phân tích định tính và định
lượ ng củ a dự báo. Trình bày m ột s ố bài toán giá tr ị ban đầu dự báo lũ lụt và các
6
thảm họ a thiên nhiên khác. Sau đó đưa ra các phương pháp và tìm lờ i gi ải cho
bài toán. Dự a vào các bài toán giá tr ị ban đầu đó để ứng dụng dự báo lũ lụ t và
các thảm h ọa thiên nhiên.
Chương 3. Áp d ụng phần m ềm Mathematica để giải bài toán dự báo lũ lụt
và các thảm họa thiên nhiên. Chương này tơi xin trình bày khái qt về phần mềm
Mathematica và áp d ụng phần mềm Mathematica để giải bài toán giá trị ban đầu.
Luận văn này được hoàn thành tại Viện Toán ứng dụng và Tin h ọc, trường
Đại học Bách khoa Hà N ội, dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH Lê Hùng Sơn. Mặc
dù đã rất cố gắng, song do nhiều hạn chế về kiến thức và thời gian nên lu ận văn
khơng tránh khỏi thiếu sót. Rất mong nh ận được sự góp ý và xây d ựng c ủa các thầy
cô và các bạn. Xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, 15 tháng 9 năm 2018
7
CHƢƠNG 1. BÀI TỐN GIÁ TRỊ BAN ĐẦU
1.1. Bài tốn tổng quát.
Xét bài toán giá trị ban đầu:
là điểm thuộc không gian là biến thời gian và
với
vế phải L trong (1.1) là một tốn tử vi phân tuyến tính cấp 1.
1.2. Ý tƣởng giải bài toán
Bài toán (1.1) và (1.2) tương đương với phương trình vi– tích phân sau:
(1.3)
Tức nghiệm của (1.1), (1.2) là điểm bất động của toán tử:
Do nhận xét trên ta có thể áp dụng nguyên lý ánh xạ co (cụ thể hơn là Nguyên lý
điểm bất động Banach) để giải bài toán (1.1), (1.2).
Nguyên lý điểm bất động Banach: Trong khơng gian định chuẩn đủ, mọi ánh xạ
đều có một điểm bất động duy nhất.
Nhiệm vụ chính khi giải bài toán giá trị ban đầu là : Xây dựng một không
gian định chuẩn đủ (Không gian Banach) sao cho:
1) Nghiệm của bài toán (1.1) -(1.2) (và tương đương là nghiệm của (1.3))
thuộc khơng gian đó.
2) Tốn tử T nói trên ánh xạ mọi điểm của khơng gian vào chính nó
3) T là ánh xạ co.
Một số nhận xét:
1) Có thể dùng nhiều định lý điểm bất động để giải Bài toán (1.1) – (1.2) .
Chẳng hạn nếu dùng nguyên lý Schauder thì điều kiện ràng buộc yếu hơn nhưng
nghiệm sẽ không duy nhất.
8
2) Trong luận án này ta sẽ dùng phương pháp của Walter để giải Bài toán
(1.1)–(1.2)
Để dùng phương pháp Walter ta cần một số khái niệm và kiến thức bổ sung sau:
Cặp Toán tử liên kết
Giả sử là toán tử vi phân elliptic cho trước. Toán tử vi phân được g ọi là
liên kết với toán tử vi phân nếu kéo theo với mọi
đó ta cũng gọi (l, ) là cặp toán tử liên kết (Associated pair of operators), và thuộc
không gian liên kết với cặp (l, )
Định lý về tồn tại và duy nhất:
Nếu thuộc không gian liên k ết với cặp ( và là một tốn tử elliptic
thì tồn tại sao cho bài tốn có nghiệm duy nhất ,
.
1.3. Phƣơng pháp giải
Để giải bài toán giá trị ban đầu (1.1)-(1.2) ta cần một số khái niệ m và kiế n
thức tốn học được trình bày dưới đây.
1.3.1. Khơng gian Metric.
Định nghĩa 1.3.1.1 Cho một tập hợp X và một ánh xạ từ tích Descartes X x X
vào tập hợp số thực dương R+ thỏa mãn các tiên đề sau đây:
1)
;
.
(tiên đề đối xứng).
2)
3)
( tiên đề tam giác).
Ánh xạ gọi là metric trên , số
gọi là khoảng cách giữa hai phần.
Tập hợp đươc trang bị một Metric được gọi là một không gian Metric.
Khi đó các phần tử của gọi là các điểm của không gian metric.Các tiên đề 1), 2),
3) gọi là các tiên đề metric.
1.3.1.1. Các tính chất cơ bản của không gian metric.
Dựa vào định nghĩa, dễ dàng chứng minh các tính chất đơn giản sau đây:
9
(bất đẳng thức tứ giác)
(bất đẳng thức tam giác).
Các ví dụ về khơng gian metric
Ví dụ 1.3.1.1 Một tập M bất kỳ của đường th ẳng , với khoảng cách thông thường
(độ dài nối x và y)
là một khơng gian metric.
Ví dụ 1.3.1.2 Tổng qt hơn, trong khơng gian k chiều có thể xác định khoảng
cách giữa hai điểm
và
Là khơng gian metric, vì rõ ràng hai tiên đề 1), 2) được thỏa mãn, cịn tiên đề 3) thì
chứng minh dễ dàng như sau. Với mọi số thực ,, ta có hằng đẳng thức:
Từ đó suy ra bất đẳng thức Cauchy
Giả sử
,
Đặt
= ,
= , ta được:
Chứng tỏ bất đẳng thức tam giác được nghiệm đúng.
10
Ví dụ 1.3.1.3.Trong tập các hàm số thực liên tục trên một đoạn [a,b], nếu lấy
khoảng cách giữa hai phần tử
bằng:
thì các tiên đề của metric cũng được thỏa mãn. Tập các hàm số thực liên tục trên
[a,b], với metric ấy, sẽ kí hiệu bằng
Khơng gian
thường được gọi tắt là
khơng gian .
Ví dụ 1.3.1.4. Trong tập vừa nói trên cũng có thể lấy khoảng cách bằng
Dễ thấy rằng đó cũng là một metric. Tập hợp các hàm số liên tục trên [a,b], sẽ được
kí hiệu
.
Định nghĩa 1.3.1.2. Cho hai metric
trên cùng tập X nào đấy. Hai metric
gọi là tương đương, nếu tồn tại hai số dương , sao cho
Ví dụ 1.3.1.5. Trên tập cho hai metric
thuộc vào
Với mọi
Hiển nhiên,
.
Vì v ậy, hai metric
tương đương.
Định nghĩa 1.3.1.3.Cho hai không gian metric X và Y (metric trên X kí hiệu
bằng
, metric trên Y kí hiệu bằng ). M ột ánh xạ từ X vào Y gọi là liên tục tại
điểm nếu
(
Cũng như trong giải tích cổ điển, điều này tương đương với:
cho
mọi dãy
11
Ánh xạ gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi điểm.
1.3.1.2. Lân cận, tập mở và tập đóng.
Định nghĩa 1.3.1.4. Cho không gian metric . Ta gọi là lân cận của điểm
trong không gian hình cầu mở tâm , bán kính , tức là tập hợp mọi
điểm y X sao cho d( y, x ) < r.
Cho không gian metric tập , điểm .
Điểm gọi là điể m trong của tâp , nếu tồn tại một lân cận của điểm bao
hàm trong tập
Điểm gọi là điểm ngoài của tập , nếu tồn tại một lân cận c ủa điểm
không chứa điểm nào của tập
Điểm gọi là điểm biên của tập , n ếu mọi lân c ận của điểm đều chứa
những điểm thuộc tập , và những điểm không thu ộc tập
Tập tất cả những điể m biên của tập ký hiệu là
Điểm gọi là điểm giới hạn của tập nếu mọi lân c ận của điểm đều ch ứa
ít nhất một điể m của tập khác . Tập tất cả các giới hạn của tậ p gọi là tập dẫn
suất và ký hiệu là .
Định nghĩa 1.3.1.5. Cho không gian metric M=(X,d) và tập A X. Tập A gọi là tập
mở trong không gian M, n ếu m ọi điểm thuộc A đều là điểm trong của A, hay nói
cách khác, nếu điểm x thì tồn tại một lân cận của x bao hàm trong A.
Tập A gọi là tập đóng trong không gian M, nếu mọi điểm không thuộc A đều là
điểm ngồi của A, hay nói cách khác, nếu điểm x A, thì tồn tại một lân cận của x
khơng chứa điểm nào thuộc tập A.
1.3.1.3. Không gian metric đủ
X gọi là
Định nghĩa 1.3.1.6. Cho không gian metric Dãy điểm(
dãy cơ bản trong M nếu
Không gian metric gọi là không gian đầy, nếu mọi dãy cơ bản trong
không gian này hội tụ.
Ví dụ 1.3.1.6. Khơng gian là khơng gian đầy.
Thật vậy, giả sử
là dãy cơ bản tùy ý
12
trong không gian Eukleides. Theo định nghĩa dãy cơ bản, (
hay
1.3.1.4. Ánh xạ co và nguyên lý điểm bất động
Một trường hợp riêng quan trọng khác của ánh xạ liên tục là ánh xạ co từ
một khơng gian vào chính nó.
Cho một khơng gian metric bất kỳ. Một ánh xạ từ vào bản thân nó gọi là ánh
xạ co, nếu có một số sao cho, với mọi
ta có
Trong một phép ánh xạ từ vào chính nó có thể có những điểm mà ảnh của
nó trùng với chính nó: những điểm như thế, tức là những điểm sao cho
gọi là điểm bất động trong ánh xạ. Việc tìm điểm bất động của một ánh xạ là vấn đề
có nhiều ứng dụng trong giải tích, nhất là trong lý thuyết các phương trình ( vi phân,
đạo hàm riêng, tích phân), vì m ột điể m bất động trong ánh x ạ chính là lời giải
của phương trình
Định lý 1.3.1.1. (Banach). M ọi ánh x ạ co từ một không gian metric đủ X vào bản
thân nó đều có một điểm bất động duy nhất.
Chứng minh.
Lấy một điểm bất kỳ và những điểm
Theo định nghĩa ánh xạ co:
A
………………………………..
13
Từ đó suy ra với mọi
Vì nên rõ ràng
, tức là là một dãy cơ bản
khi
trong X, và vì X đủ nên phải dần tới một giới hạn x. Ta có mà
Vậy nghĩa là
vì
là điểm bất động. Đó là điểm bất động duy nhất vì nếu y cũng là điểm bất động thì
Với điều này chỉ xả y ra nếu
tức là .
Ứng dụng: Xét phương trình vi phân
Trong đó
là một hàm số liên tục trong một miền phẳng G chứa điểm (
và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x tức là có một hằng số K sao cho
Với mọi cặp điểm
và
Ta hãy chứng minh định lý Picard: Trên một đoạn nào đó phương trình
(1.5) có lời giải duy nhất thỏa mãn điều kiện ban đầu (1.6).
Rõ ràng phương trình (1.5) với điều kiện ban đầu (1.6) tương đương với phương
trình
Ta hãy xét hình ch ữ nhật
Do sự liên tục của
nên trong hình chữ nhật đó
( L là một hằng số nào đó). Cho r
là một số dương bất kỳ sao cho
14
Và là không gian con của
gồm tất cả các hàm số x(t) mà
với mọi t trong đoạn là không gian đủ. Thật vậy, nếu
là một dãy cơ bản trong thì nó cũng là dãy cơ bản trong
cho
nên phải hội tụ tới một hàm số liên t ục nào đó (vì khơng gian này đủ). Cho
thì từ ta suy ra
, tức , chứng tỏ
không gian đủ.
Bây giờ ta xét ánh x ạ xác định bởi:
. Nếu thìrõ ràng liên tục và
Với
Cho nên và là một ánh xạ từ vào bản thân nó. Hơn nữa, theo (1.7)
thì
Cho nên
Và vì nên là ánh xạ co. Do đó theo định lý trên có một hàm số duy nhất
sao
cho tức là trênđoạn
phương trình vi phân
có lời giải duy nhất thỏa mãn điều kiện ban đầu (1.6).
1.3.2. Không gian Banach.
Không gian định chuẩn: Cho khơng gian tuyế n tính , nếu trang bị cho một
chuẩn, tức là môt ánh xạ từ vào tập hợp các số thực không âm thỏa mãn các
tiên đề về chuẩn khi đó trở thành một khơng gian metric. Nếu khơng gian metric
nhận được là đủ thì lúc đó ta gọi là không gian Banach. Như vậy không gian
Banach là một khơng gian tuyến tính định chuẩn và đầy đủ.
15
Ví dụ 1.3.2.1. Xét G là một miền bị chặn trong mặt phẳng
, H( là không
gian chứ a tất cả các hàm nhận giá trị phức, xác định liên tục trong và
chỉnh hình trong G. Trên H(G) trang bị chuẩn cực đại:
Với chuẩn được trang bị ở trên, trở thành không gian định chuẩn. Hàm
giới hạn của một dãy Cauchy các hàm thu ộc , hội tụ theo chuẩ n cực đại là hội
tụ đều, cũng là hàm liên tục. Hơn nữa, theo định lý Weierstrass, hàm gi ới hạn của
một dãy hộ i tụ đều c ủa các hàm chỉnh hình cũng là một hàm ch ỉnh hình. Do đó
với chuẩn cực đại trên nó trở thành khơng gian Banach.
Xét là một miền sao cho’ được chứa hoàn toàn trong miền . Gọi là
khoảng cách từ đến biên của . Khi đó, tất cả các đĩa trịn có tâm tại
đều nằm trong nếu bán kính r của nó nhỏ hơn . Sử dụng cơng thức tính tích phân
Cauchy, giá trị của đạo hàm
tại điểm có thể biểu diễn được dưới dạng tích
phân sau:
mọi nơi trên ,
Từ định nghĩa về chuẩ n (1.10) trên , chúng ta có
do đó có ước lượng:
Bất đẳng thức này đúng với mọi r < . Khi dần tới chúng ta được ước lượng sao
cho mỗi
(1.12)
Xây dựng tương tự như tương ứng với , xét không gian được xác
định như không gian tất c ả các hàm nhận giá trị phức chỉnh hình trong và liên tục
trong
Khi đó khơng gian được trang bị chuẩn cực đại:
16
Cũng là một không gian Banach. Để phân biệ t hai chuẩn trong không gian và
chuẩn trong được kí
hiệu
Sử
là
dụng kí hiệu này, chúng ta có:
(1.14)
Từ đó dẫn đến định lý sau:
Định lý 1.3.2.1. Đạo hàm phức là một toán tử giới nội ánh xạ H(G) vào H’(G) với
chuẩn được ước lượng bởi:
(1.15)
1.3.2.1 . Thang Banach
Xét hai không gian Banach và không gian đã nói ở trên, trên đó
trang bị chuẩn cực đại. Khơng chỉ đạo hàm
được biểu diễn như một toán tử giới
nội ánh xạ vào mà sự hạn chế lên một hàm thuộc
cũng có thể xem như là một toán t ử như vậy, ký hiệ u tốn tử đó là . Khi đó chúng
ta có là một hàm ch ỉnh hình trong và liên tục trong nếu thuộc
. Với chuẩn cực đại trên, chúng ta có ước lượng sau:
Do đó chúng ta có là tốn tử có chuẩn khơng vượt q 1, nghĩa là:
Hơn nữa chúng ta biết tính ch ất sau của hàm chỉnh hình: n ếu một hàm chỉnh hình
xác định trong miền triệt tiêu trê n một miền con thì hàm đó sẽ tri ệt tiêu trên
tồn bộ miền . Do đó, hai hàm chỉnh hình là đồng nhất trên miền nếu chúng
trùng nhau trên m ột miền con . Do đó, giới hạn
lên của hai hàm
chỉnh hình
xác định trên tồn miền là đồng nhất khi và chỉ khi
trên toàn miền Vì vậ y, tốn tử là đơn ánh.
Bổ đề 1.3.2.1. Phép hạn chế I thỏa mãn:
i.
I là tốn tử tuyến tính
ii.
I là tốn tử bị chặn với chuẩn không vượt quá 1
iii.
I là đơn ánh
17
Xét là không gian Banach. Một họ các miền con của với là tham số
là một số hữu hạn đã biết. Cụ thể
thực biến thiên trên mi ền , trong đó
là nếu là một miền đóng cho trước trong không gian phức, chúng ta chọn một họ
các miền thỏa
mãn các điều kiện sau:
i). Bao đóng của
là một tập con compact của
nếu
ii). Khoảng cách giữa đến biên của có thể được ước lượng bởi công thức:
trong đó là một hằng số khơng phụ thuộc vào
iii). Mọi điểm thuộc đều thuộc miền nào đó khi s đủ lớn.
Với tùy ý,
ta xác định một không gian gồm tất cả các hàm
, chúng
nhận giá trị phức liên tục trên và chỉnh hình trong , được trang bị chuẩn:
Khi đó là một khơng gian Banach. Ký hiệu phép hạn chế hàm lên ,
Khái niệm phép nội xạ: Không gian Banach B được gọi là nội xạ vào không gian
Banach B’ nếu tồn tại tốn tử đơn ánh tuyến tính, có chuẩn khơng vượt q 1, biến
B vào B’.
Khái niệm thang Banach: Một họ các không gian Banach , với s là bi ến thiên
trên miền , được là không giant hang Banach nếu mọi đều được nội
xạ vào , với . Với một thang Banach đã cho, chúng ta có một họ khơng
, tương ứng với chuẩn khơng
gian Banach và các tốn tử tuyến tính đơn ánh
vượt quá một ánh xạ vào .
Toán tử Cauchy - Riemann tổng quát trong thang Banach
Xét c ặp không gian Banach , các hàm chỉnh hình tương ứ ng trong ,
là toán tử giới nội ánh xạ
liên tục trong .Theo định lý 1.2.1.1, đạo hàm phức
vào với chuẩn của nó được ước lượng bởi cơng thức (1.15). Áp dụng
định lý 1.2.1.1 cho thang các không gian Banach , chúng ta có phát biểu sau:
Với mỗi cặp s’,s thỏa mãn s’
18
